SOBRE O FUNCIONAMENTO DAS DISCIPLINAS DE ANÁLISE
MATEMÁTICA NA FCT/UNL
ESTUDO COMISSIONADO PELO DIRECTOR DA FCT/UNL
Manuel L. Esquı́vel
R ESUMO . Neste estudo, descreve-se um problema relativo ao funcionamento das
disciplinas de análise matemática das licenciaturas em engenharia da FCT/UNL,
aponta-se a necessidade de definir objectivos constituindo uma solução para o
problema e propõe-se um conjunto de iniciativas a implementar com vista a atingir os objectivos definidos. São ainda apresentados alguns dados que esclarecem aspectos do problema e um modelo matemático que permite, com auxı́lio de
simulações, calcular estimativas a três anos para o número de alunos inscritos no
conjunto das disciplinas de análise matemática consoante três cenários distintos.
Sublinha-se que o problema é muito complexo pelo que só apelando às melhores contribuições de todos e, de cada um dos intervenientes, é que se poderá ter
esperança na sua resolução. Acentua-se, também, que o Conselho Directivo deve
assumir as suas competências de lı́der dos processos a implementar para resolver o
problema, definindo objectivos, apelando às contribuições dos intervenientes para
tornar estes objectivos propostos em objectivos comuns e providenciando os meios
para a implementação das soluções encontradas.
1. O PROBLEMA
O funcionamento das disciplinas de Análise Matemática vem colocando ao Conselho Directivo da FCT/UNL um problema que, apesar das medidas tomadas desde há mais de oito anos, continua a agravar-se. Esse problema pode ser assim
descrito:
1. número anormalmente elevado de alunos a frequentar o conjunto de disciplinas de Análise Matemática I e II;
2. número anormalmente elevado de alunos inscritos com algumas das disciplinas de análises matemática em atraso e, muitas vezes, com todas essas disciplinas por realizar.
O normal funcionamento da instituição ressente-se com as consequências gravosas
e com outros aspectos deste problema. Referimos, apenas,
1. o esforço extraordinário que é requerido aos docentes encarregados dessas
disciplinas;
2. o significativo aumento do tempo necessário para o aluno médio concluir a
sua licenciatura (7,5 anos em vez dos 5 anos previstos nos planos curriculares
em geral);
Date: 6 de Junho de 2003.
Este trabalho foi muito influenciado por troca de ideias com alguns membros do Conselho Directivo, muito em especial com o Subdirector, Professor Doutor Luı́s Monteiro.
1
2
ESTUDO COMISSIONADO PELO DIRECTOR DA FCT/UNL
3. a sobrecarga nos custos financeiros para acomodar o aumento necessário do
número de docentes e
4. a perda de qualidade que naturalmente incide sobre o ensino em geral.
É ponto assente que a causa deste problema reside nas duas condicionantes seguintes sendo a primeira a causa determinante e a mais importante.
1. Elevadas taxas de reprovação, com especial relevo para as taxas da Análise
Matemática I e da Análise Matemática II.
2. Elevado número de alunos que, tendo uma disciplina do conjunto em atraso
ou nela não se inscrevem ou inscrevendo-se não a frequentam.
O agravamento deste problema é nı́tido nos dados reportados nas tabelas apresentadas na figuras da secção 4. Por exemplo, na tabela da página 9 pode-se constatar
o aumento do número de alunos inscritos pela terceira, quarta ou mais vezes.
Com o fim de tentar resolver o problema descrito, o Conselho Directivo decidiu
implementar em 1996-1997 a repetição, no semestre par, da Análise Matemática
I, tendo-se-lhe seguido a implementação das repetições das outras disciplinas de
análise matemática 1 . Tendo-se constatado que a repetição das análises não permitiu melhorar a situação (veja-se a secção 4) é pois imperativo que este problema
seja tratado de outra forma. Sublinhamos que dada a complexidade deste problema não é de esperar que uma solução simples, baseada numa visão mecanicista do
problema - por exemplo, uma alteração do modo de funcionamento com diminuição do número de alunos por turma ou a passagem a aulas teórico-práticas - possa
vir a constituir-se em fonte de progresso significativo.
Apresentamos seguidamente uma proposta de um programa abrangente de acções.
2. A T ÁCTICA
Aquella Arte militar que ensina como as tropas devem executar os seus movimentos, como devem formar as suas ordens
de batalha , e como deve combater, chama-se Tactica; e divide-se em Tactica elementar, e Tactica sublime: esta he relativa aos
Exercitos, e aquella he relativa aos corpos particulares, de que elles se compõe. A Tactica sublime divide-se em Strategia e
grande Tactica. Strategia he a parte da Tactica sublime, que tem por objecto os movimentos das tropas, que não se referem aos
combates senão de huma maneira indirecta, ou mediata, isto he, os movimentos, que as tropas executão, quando se achão
ainda a tal distância do inimigo que não podem ataca-lo, nem podem ser atacadas por elle. Estes movimentos chamão-se
movimentos strategicos.
in José de Sousa Moreira, Principios Geraes de Tactica Elementar, Castrametação e Pequena Guerra, Lisboa, Imprensa Nacional
1834.
Propomos seguidamente um programa para a promoção do sucesso escolar nas
disciplinas de análise matemática Este programa repousa no princı́pio descrito
seguidamente. Na instituição cada órgão, sector, comissão, etc, tem as competências e as responsabilidades associadas que lhe são próprias. Só apelando a estas
competências e responsabilidades próprias é que se poderá esperar resultados significativos de um conjunto de medidas abrangentes.
1
Na altura, o Departamento de Matemática exprimiu as suas preocupações quanto ao previsı́vel aumento do número de alunos que se iria verificar com a modalidade das repetições.
Um estudo de simulação, efectuado por um conjunto de docentes deste departamento (vejase [Comissão ad-hoc/DM95]), apontava para que com uma probabilidade inferior a 10% se iriam
ter entre 4938 e 5351 alunos inscritos no conjuntos das duas primeiras análises em 1998-1999. Veio
a verificar-se que nesse ano se inscreveram 5077 alunos.
AS DISCIPLINAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA NA FCT
3
É responsabilidade, do Conselho Directivo da FCT/UNL, implementar o conjunto de quatro iniciativas descritas nos pontos seguintes.
Ponto 1: Propor um objectivo comum pragmático e realista, definindo-o de forma clara
para o conjunto dos intervenientes no problema - docentes das disciplinas,
alunos, Comissão Pedagógica da Licenciatura, Coordenador da Licenciatura,
Conselho Cientı́fico, Conselho Pedagógico, etc. Propomos que este objectivo
seja o seguinte:
1. Aumentar gradual e sustentadamente as taxas de escoamento nas disciplinas de Análise Matemática, para atingir um mı́nimo de 60% em todas
elas, num prazo máximo de três anos;
2. Concomitantemente, melhorar a preparação escolar, o nı́vel cientı́fico e as
capacidades de desempenho dos alunos aprovados;
3. Ter sempre em consideração que a distribuição estatı́stica das classificações finais deve reflectir a não homogeneidade da população e ser obtida
como resultado de aplicação de avaliações exigentes, mas de nı́vel adequado, apresentando, em consequência, uma dispersão estatı́stica significativa.
Ponto 2: Solicitar, ao conjunto de todos os intervenientes, reflexão sobre o objectivo
fixado e, seguidamente, obter, de cada interveniente, propostas relativas aos
meios e condições necessárias a cada parte para atingir o objectivo comum.
Ponto 3: Negociar e formalizar contratos, com todos os intervenientes, contendo as
condições os meios, o objectivo final e os objectivos intercalares, bem como,
os prazos inerentes à concretização de cada um destes objectivos.
Ponto 4: Acompanhar permanentemente o cumprimento dos contratos estabelecidos
por cada um dos intervenientes suscitando, sempre que necessário, as medidas de correcção e controlo para que os objectivos acordados sejam atingidos
nos prazos definidos.
3. A E STRAT ÉGIA
... E porque nenhũa regra que tem ho fundamento na parte especulativa ou theorica: pode ser bem praticada e entẽdida:
sem noticia daqueles principios em que se funda: porque doutra sorte os que della usassem facilmente se enganarião.
in Pedro Nunes - 1537 - Tratado em defensam da arte de marear, Obras, Imprensa Nacional de Lisboa 1945, vol. I, pág. 218.
...1 - Sendo os Exercicios necessarios em todas as Faculdades, para obrigar os Estudantes a darem a attenção, que convem
ás Lições, e Explicações dos Professores; e para tirarem dellas o maior fruto, que for possivel; ainda nas Mathematicas
são mais necessarios; porque estas são entre todas as Sciencias as que requerem maior attenção, constancia, e esforço do
entendimento; e as que mais necessitam da voz do Mestre. 2 - Por isso os Lentes de Mathematica deveráõ distinguir-se na
maior diligencia em fazer circular pelos seus Discipulos hum Exercicio vivo, e efficaz, que os anime, e interesse no estudo
importante destas Sciencias: Considerando que Ellas estão collocadas em huma esféra de luzes muito sublime, e distante
das idéas vulgares, aonde se não póde chegar sem grande trabalho, e applicação: E valendo-se para isso dos meios, que
Tenho indicado na Primeira Parte deste Livro, Titulo Quarto, Capitulo Primeiro; e de tudo o mais, que lhes suggerir o zelo,
que devem ter do aproveitamento dos seus Discipulos.
in Titulo V. Dos Exercicios Literarios do Curso Mathematico, Capitulo I Dos Exercicios em Geral, Estatutos Pombalinos da
Universidade de Coimbra (1772) página 197.
Com o fim de criar as condições para atingir o objectivo definido acima é imperativo que se tomem em consideração os conhecimentos existentes sobre o problema
em apreço. Por exemplo, uma primeira ideia que naturalmente surge é a de identificar a fonte principal do problema como residindo no facto de estarmos face a
4
ESTUDO COMISSIONADO PELO DIRECTOR DA FCT/UNL
um ensino de massas; a consequência natural é propor a diminuição do número de
alunos por turma. No entanto, de acordo com [Krantz 99][p. 78]:
... There are no studies that show significant improvement in learning performance, or
retention when students are taught in small classes rather than large classes.
Assim, para além de contribuir para aumentar os custos com o ensino das Análises, esta proposta a ser implementada não iria, provavelmente, contribuir para
melhorar a situação.
Os problemas associados ao ensino de massas foram objecto de estudos num
passado recente, nomeadamente a propósito da reforma, nos finais dos anos 80, do
ensino superior no Reino Unido. Em [Leclercq 98][p. 137–159] são passadas em revista algumas das metodologias já experimentadas para lidar com o problema dos
grandes números e são referidos os resultados de aplicação dessas metodologias
em casos concretos. Por outro lado, no ensino superior os problemas pedagógicos
- como lidar com o ensino a grande número de alunos? - não podem ser desligados do contexto cientı́fico em que ocorrem, nomeadamente o tratar-se, neste caso,
de disciplinas de Matemática. Também neste contexto há estudos feitos que importa conhecer. Por exemplo, a International Comisssion for Mathematics Instruction
(divisão da International Mathematical Union), reunida numa conferência em Singapura em 1998 (veja-se [ICMI 98]) estudou algumas perspectivas do problema dos
grandes números no ensino da Matemática.
Impõe-se, portanto, estudo e reflexão sobre as abordagens referidas - nestes e
noutros documentos - com o fim de delinear estratégias que possam vir a ter alta
probabilidade de sucesso.
3.1. Algumas Propostas Concretas. Importa clarificar as responsabilidades próprias de cada um dos intervenientes neste problema. Neste sentido, apresentamos
algumas propostas indicando a quem se deve atribuir a responsabilidade da respectiva execução.
Docentes As disciplinas de Análise Matemática poderiam ser reestruturadas contemplando os aspectos seguintes.
1. Definição muito clara dos objectivos da disciplina separando os objectivos
do conhecimento dos objectivos operativos relacionados com o saber fazer.
Sem uma definição clara do que se pretende que aluno seja capaz de saber
fazer - análises crı́ticas, cálculos, problemas tipos, etc - o aluno médio não
consegue dirigir o seu trabalho de forma produtiva e, ou desiste ou, adopta métodos contraproducentes. Note-se que os objectivos relacionados
com o conhecimento serão sempre atingidos de forma muito variável de
aluno para aluno. Em consequência, a imposição de nı́veis standard únicos,
para este tipo de objectivos, vai conduzir a resultados gerais maus, não
permitindo, por outro lado, que os bons alunos se exprimam.
2. Indicação de materiais de estudo adequados a todo o momento para os
nı́veis e para as capacidades dos alunos. Note-se que se é certo que o aluno
médio saı́do do secundário não domina a linguagem matemática então é
AS DISCIPLINAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA NA FCT
3.
4.
Directivo 1.
2.
3.
2
5
inútil e contraproducente que os materiais de estudo iniciais sejam redigidos de acordo com os cânones de rigor que só um matemático treinado
pode apreciar.
Redistribuição dos conteúdos programáticos pelas três disciplinas iniciais, contemplando uma curva de aprendizagem menos exigente a princı́pio, na Análise Matemática I e mais exigente no final, isto é, na Análise
Matemática III ou IV. Tal permitiria ter em consideração a insuficiente
preparação dos alunos à saı́da do secundário, sem que no conjunto se alterassem, substancialmente, os conteúdos programáticos de Análise Matemática nas licenciaturas.
Implementação de processos de avaliação que estimulem os alunos a trabalhar fornecendo-lhes auto controlo sobre os trabalhos efectuados. A
este propósito limitemo-nos a citar David Bressoud (veja-se ainda a obra
[Krantz 99][p. 176–177]). Assessment is the carrot and the stick that you can
use to shape student attitudes and study habits and to communicate what you
want students to learn from your course.
...If you want students to be able to use definitions and theorems correctly and
unambiguously, then have them write assignments where this is required. If there
are basic skills that you want students to master, then test these skills and set the
bar for as passing grade as high as you feel is needed, whether that be 80%, 90%
or 100%. Assess early; assess often. In my experience students react positively to
this. They appreciate the feedback and direction it gives to them.
...There is nothing wrong with putting probing challenging questions in your
examinations provided that this is nothing new and that the students have been
given the means to tackle such questions. There lies the nub of the difficulty.
Implementação de regras de controlo de fluxos do tipo: um aluno deve
estar sempre inscrito nas disciplinas em atraso.
Diferenciação do tipo de aulas/apoio à aprendizagem segundo o número de
inscrições na disciplina em que o aluno se encontra. Por exemplo: só em
casos excepcionais devidamente justificados, por motivos de saúde por
exemplo, deveria ser permitido a um aluno em terceira inscrição, quarta
inscrição, etc, ter acesso à frequência das aulas leccionadas nas condições
usuais para alunos de primeira e segunda inscrição. Em contrapartida, os
alunos em terceira inscrição, quarta inscrição, etc, deveriam ter meios de
apoio à sua preparação para exame (planificação personalizada e semanal
do trabalho, sessões de problemas com avaliação para preparação de exames, gravações de aulas de resolução de problemas, acesso a tutores de
acompanhamento de progresso e avaliação, etc).
Apoio à preparação de meios de auxı́lio à inserção nas matemáticas de
nı́vel universitário. Damos como exemplo a tradução para lı́ngua portuguesa e/ou a adaptação para o nosso contexto de obras como as seguintes: [Miller 91a], [Miller 91b] e [Miller 91c]. Ou ainda, tradução e adaptação
das metodologias de preparação para as matemáticas superiores que se
podem encontrar na página da Universidade de Missouri-Columbia 2 .
http://www.math.missouri.edu/escgi/math10test.cgi
6
ESTUDO COMISSIONADO PELO DIRECTOR DA FCT/UNL
4. O S D ADOS
Nesta secção apresentamos algumas tabelas referidas na secção 1 com vista a
melhor esclarecer as afirmações feitas. Os dados com que estas tabelas foram construı́das foram retirados do MIAU-FCT/UNL e, em certos casos, os dados foram
fornecidos pela docente encarregada das duas primeiras análises. Por vezes, os
dados relativos a anos mais recuados, constantes em tabelas diferentes, não são
exactamente coerentes. Tal fica a dever-se ao método que foi usado pelo Serviço de
Informática da FCT/UNL para a recuperação da informação relativa a esses anos
em que esta informação não foi lançada no MIAU pelos docentes. Nas tabelas desta
secção, usaram-se as seguintes denominações.
• Escoamento: a rácio dada pelo número dos alunos aprovados sobre o número
dos alunos inscritos;
• Aprovação: a rácio dada pelo número dos alunos aprovados sobre o número
dos alunos avaliados.
AMI
Anos
93-94
94-95
95-96
96-97
97-98 1º
97-98 2º
97-98
1º+2º
98-99 1º
98-99 2º
98-99
1º+2º
99-00 1º
99-00 2º
99-00
1º+2º
00-01 1º
00-01 2º
00-01
1º+2º
01-02 1º
01-02 2º
01-02
1º+2º
02-03 1º
Inscritos
1168
1158
1481
1679
1598
1380
2978
1854
1674
3528
1806
1612
3418
2066
1176
3242
1576
783
2359
1777
Avaliados
845
852
1137
1286
1103
863
1966
1198
1074
2272
977
881
1858
1346
784
2130
1305
568
1873
1370
Aprovados
Escoamento
638
55%
337
29%
564
38%
702
42%
198
12%
385
28%
583
20%
168
9%
466
28%
634
18%
373
21%
277
17%
650
19%
475
23%
357
30%
832
26%
454
29%
93
12%
547
23%
386
22%
Aprovação
76%
40%
50%
55%
18%
45%
30%
14%
43%
28%
38%
31%
35%
35%
46%
39%
35%
16%
29%
28%
F IGURA 1. Os resultados de Análise Matemática I
Os resultados para a Análise Matemática I permitem as conclusões seguintes.
• Não se constata melhoria sensı́vel das taxas de aprovação ou das taxas de
escoamento quando se compara com os quatro anos lectivos anteriores (93-94
a 96-97) em que não houve repetições.
• Ao longo do tempo as repetições não conduziram a uma melhoria sensı́vel das
taxas. Pode, de facto, observar-se uma ligeira tendência para a deterioração
das taxas de aprovação.
Os resultados para Análise Matemática II permitem as conclusões seguintes.
AS DISCIPLINAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA NA FCT
7
AMII
Anos
93-94
94-95
95-96
96-97
97-98
98-99 1º
98-99 2º
98-99
1º+2º
99-00 1º
99-00 2º
99-00
1º+2º
00-01 1º
00-01 2º
00-01
1º+2º
01-02 1º
01-02 2º
01-02
1º+2º
02-03 1º
Inscritos
Avaliados
812
1155
1351
956
856
693
1549
711
872
1583
620
736
1356
595
955
1550
763
Aprovados
525
791
1103
729
561
564
1125
441
623
1064
443
573
1016
489
762
1251
661
Escoamento
356
352
507
342
282
366
648
199
277
476
275
350
625
228
117
345
445
Aprovação
44%
30%
38%
36%
33%
53%
42%
28%
32%
30%
44%
48%
46%
38%
12%
22%
58%
68%
45%
46%
47%
50%
65%
58%
45%
44%
45%
62%
61%
62%
47%
15%
28%
67%
F IGURA 2. Os resultados de Análise Matemática II.
• O ano 2001-2002 teve resultados excepcionalmente baixos.
• Sob reserva da excepção feita no ponto anterior, constata-se uma estabilização
das taxas de aprovação ou das taxas de escoamento relativamente aos quatro
anos lectivos anteriores (93-94 a 96-97) em que não houve repetições.
• Não é possı́vel distinguir qualquer tendência marcada nos resultados, ao longo das repetições.
AM-III
2002/2003
1º Sem
2º Sem
Insc
587
513
Apro
333
Rep
100
Fal
101
Ex
53
Au
0
2001/2002
1º Sem
2º Sem
789
353
417
75
163
177
205
101
0
0
0
0
4
0
71%
30%
53%
21%
2000/2001
1º Sem
2º Sem
736
490
386
137
134
148
216
204
0
0
0
0
0
1
74%
48%
52%
28%
1999/2000
1º Sem
2º Sem
656
521
317
178
101
242
0
0
339
0
48%
64%
48%
34%
1º Sem
2º Sem
727
0
461
0
63%
0
0
0
266
0
63%
0
1998/1999
Lançar A p r o v a ç ã o Escoamento
0
69%
57%
F IGURA 3. Os resultados de Análise Matemática III.
Os resultados para a Análise Matemática III, obtidos no MIAU-FCT/UNL, permitem as conclusões seguintes.
• O valor médio das taxas de aprovação da disciplina no semestre ı́mpar foi de
65%. Na repetição, a ocorrer no semestre par, este valor foi de 47%.
8
ESTUDO COMISSIONADO PELO DIRECTOR DA FCT/UNL
• Para a disciplina realizada no semestre ı́mpar, é apreciável uma melhoria das
taxas de aprovação. Para a repetição que é realizada no semestre par os resultados pioram significativamente.
• Para a disciplina realizada no semestre ı́mpar, é menos apreciável a melhoria
das taxas de escoamento. Para a repetição, realizada no semestre par, o valor
médio das taxas de escoamento piora (28% contra 55%).
AM-IV
2002/2003
1º Sem
2º Sem
Insc
107
297
Apro
38
Rep
25
Fal
39
Ex
5
Au
0
Lançar A p r o v a ç ã o Escoamento
0
56%
36%
2001/2002
1º Sem
2º Sem
174
440
34
215
88
125
52
68
0
30
0
0
0
2
28%
58%
20%
49%
2000/2001
1º Sem
2º Sem
298
407
117
255
76
67
104
85
0
0
0
0
1
0
60%
79%
39%
63%
1999/2000
1º Sem
2º Sem
236
385
93
175
16
73
127
132
0
0
0
0
0
5
85%
69%
39%
45%
1998/1999
1º Sem
2º Sem
0
422
0
226
0
0
0
0
0
196
54%
54%
F IGURA 4. Os resultados de Análise Matemática IV.
Os resultados para a Análise Matemática IV, obtidos no MIAU-FCT/UNL, permitem as conclusões seguintes.
• O valor médio das taxas de aprovação na disciplina no semestre par foi de
65%. Na repetição, a ocorrer no semestre ı́mpar, este valor foi de 57%.
• Para a disciplina realizada no semestre par, não é perceptı́vel uma qualquer
tendência nas taxas de aprovação tendo-se verificado oscilações de grande
amplitude. Para a repetição realizada no semestre ı́mpar os resultados pioram.
• Não se constata variação apreciável nas taxas de escoamento. Para a repetição realizada no semestre ı́mpar o valor médio das taxas de escoamento piora
(33% contra 53%).
4.1. A evolução do número de alunos consoante o número de inscrições. Na
tabela relativa a esta secção pode observar-se que corresponde já a um valor médio
de 41% a percentagem de alunos inscritos três ou vezes em Análise Matemática I,
sendo o correspondente valor para a Análise Matemática II de 31%. Estes números
são uma medida não só do esforço imposto aos docentes mas também do desaproveitamento desse esforço por parte dos discentes.
5. U M MODELO
Nesta secção apresentamos um modelo e os correspondentes resultados de aplicação, obtidos por simulações efectuadas com o objectivo de estimar, para o prazo
de três anos, o número de alunos inscritos nas diferentes disciplinas e, no caso de
estarmos a considerar repetições, o número de alunos inscritos nas edições semestrais destas disciplinas.
AS DISCIPLINAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA NA FCT
Ano
2002-2003
2º Semestre
2001-2002
2º Semestre
2000-2001
2º Semestre
1999-2000
2º Semestre
1998-1999
2º Semestre
1997-1998
2º Semestre
1996-1997
Inscritos
1777
1095
1576
784
2038
1176
1822
1612
1902
*
1614
*
1686
2002-2003
2º Semestre
2001-2002
2º Semestre
2000-2001
2º Semestre
1999-2000
2º Semestre
763
845
595
955
619
736
711
878
120
380
333
475
248
443
368
333
329
138
156
272
149
121
113
243
314
327
106
208
222
172
230
302
41%
39%
18%
22%
36%
23%
32%
34%
31%
A M - I I I 2002-2003
2º Semestre
2001-2002
2º Semestre
2000-2001
2º Semestre
1999-2000
2º Semestre
587
515
788
353
736
490
656
521
145
384
404
197
438
258
416
166
230
39
188
82
15
135
162
230
212
92
196
74
283
97
78
125
36%
18%
25%
21%
38%
20%
12%
24%
24%
A M - I V 2002-2003
2º Semestre
2001-2002
2º Semestre
2000-2001
2º Semestre
1999-2000
2º Semestre
107
300
174
440
298
407
236
385
35
139
94
242
148
243
90
210
43
79
45
96
72
71
79
78
29
82
35
102
78
93
67
97
27%
27%
20%
23%
26%
23%
28%
25%
25%
AM-I
AM-II
1ª
Insc. 2ª Insc. 3 ª + 4 ª + . . .
906
45
826
4
650
441
733
49
794
7
438
339
1016
4
1018
2
654
520
891
490
441
76
760
776
1063
419
420
*
*
*
836
424
354
*
*
*
868
374
444
9
%
46%
40%
50%
43%
50%
44%
24%
48%
22%
*
22%
*
26%
41%
F IGURA 5. A variação do excesso de inscrições.
5.1. Os resultados. Nas tabelas seguintes apresentamos os resultados para os quantis da distribuição do número de alunos, obtida por simulação segundo regras simples que são explicitadas na subsecção 5.3.
Primeiramente o caso em que se consideram as repetições.
10
ESTUDO COMISSIONADO PELO DIRECTOR DA FCT/UNL
1 % 5% 10% 20% 50% 80% 90% 95% 99%
AMI-1
2089 2150 2186 2231 2328 2430 2484 2523 2600
AMI-2
1631 1696 1733 1781 1876 1980 2033 2078 2160
AMII-1
739 807 854 908 1024 1158 1226 1283 1386
AMII-2
642 704 742 797 909 1027 1089 1138 1234
AMIII-1 396 430 453 485 569 664 710 744 806
AMIII-2 128 143 153 167 198 233 252 268 296
AMIV-1
360 389 407 432 486 543 572 594 639
AMIV-2
284 310 325 346 387 433 456 476 513
Total
6268 6628 6855 7147 7775 8467 8822 9104 9633
Um exemplo de utilização da primeira tabela é o seguinte. Com uma probabilidade de 80%(= 100% − (10% + 10%)), o número de alunos inscritos em Análise
Matemática I no primeiro semestre estará no intervalo [2186, 2484] e o número total
de alunos nas análises estará no intervalo [6855, 8822].
Na tabela seguinte o caso sem repetições supondo-se precedências estritas, isto
é, só se inscrevem numa dada análise os alunos que tiverem obtido a aprovação na
análise anterior ou que estejam a ingressar na FCT pela primeira vez.
1 % 5% 10% 20% 50% 80% 90% 95% 99%
AMI-1
2953 3030 3077 3143 3288 3438 3512 3569 3668
AMII-2 1104 1186 1232 1295 1421 1553 1617 1671 1761
AMIII-1 631 690 725 778 892 1009 1067 1114 1180
AMIV-2
487 530 553 587 658 731 770 800 863
Total
5175 5435 5587 5802 6259 6730 6966 7154 7473
Na tabela seguinte o caso sem repetições mas supondo-se que são admitidos a
frequentar uma dada análise não só os aprovados na anterior mas também uma
percentagem correspondendo aos alunos que obtiveram frequência. Pressupõe-se,
nesta simulação, que aproximadamente 50 % dos alunos satisfaçam as condições
necessárias para frequentarem as disciplinas mais avançadas sem terem obtido a
aprovação nas atrasadas.
1%
AMI-1
2954
AMII-2 2212
AMIII-1 1246
AMIV-2
967
Total
7379
5%
3029
2305
1329
1047
7710
10%
3077
2359
1387
1090
7914
20%
3142
2435
1473
1152
8201
50%
3285
2613
1656
1279
8833
80%
3435
2805
1840
1415
9495
90% 95% 99%
3510 3563 3656
2893 2961 3069
1921 1985 2081
1485 1539 1641
9808 10048 10447
5.2. Uma conclusão. Os resultados apresentados acima permitem muitas leituras
e conclusões. Observe-se que o modelo utilizado não incorpora, entre outros factos
observados na realidade, o dos alunos não se inscreverem nas análises que têm em
atraso. Em consequência, a principal utilidade deste modelo é permitir estabelecer
uma comparação entre diferentes regimes de funcionamento das análises.
Na tabela seguinte, que apresentamos para melhor comparação, transcrevem-se
os limites superiores e inferiores com uma probabilidade de 80 %, para o número
total de inscritos nas disciplinas de análise matemática, de acordo com os três
AS DISCIPLINAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA NA FCT
11
cenários distintos explorados na secção anterior. Note-se que, em qualquer dos
três cenários, não consideramos haver alteração substancial das taxas de escoamento observadas até agora, e se supõe que os alunos se inscrevem sempre nas
disciplinas em atraso.
Total de Inscritos nas Análises c/ prob 80% Lim. Inf. Lim. Sup.
S/ repetições c/ precedências estritas
5587
6966
C/ repetições
6855
8822
S/ repetições c/ precedências frouxas
7914
9808
Fica claro, tal como já fora observado em 1995, que o cenário com menor número
de alunos é o do funcionamento sem repetições com com precedências estritas e
que o cenário sem repetições mas com precedências frouxas, isto é, em que se permite que alunos frequentem as análises avançadas sem obterem a aprovação nas
análises matemáticas precedentes, fará aumentar muito o número de alunos. O
cenário das repetições tem um número de alunos intermédio. Sublinha-se ainda
que as diferenças entre os números totais de alunos para os três cenários escolhidos
são da ordem do milhar de inscrições, isto é, são muito significativas. Com efeito,
com quarenta alunos por turma prática, mil alunos correspondem a 25 turmas, ou
seja, nas condições actuais, a pelo menos oito docentes.
5.3. Descrição do modelo. O modelo tem como variáveis (Eijn )n∈{1,...,N } com i =
1, . . . , 4, j = 1, 2 em que para n, i, j fixos
n
representa o número de alunos inscritos na disciplina Análise Matemática
• Ei1
i no ano n.
n
representa o número de alunos inscritos na repetição da disciplina Análise
• Ei2
Matemática i no mesmo ano n.
Os parâmetros do modelo são as taxas de escoamento (aij ) com i = 1, . . . , 4,
j = 1, 2 tendo-se para cada i, j fixos:
aij =
número de alunos aprovados
número de alunos inscritos
na disciplina Análise Matemática i em que j = 2 se se tratar de uma repetição e j =
1 no caso contrário. Também consideramos como parâmetro do modelo o número
de alunos admitidos a frequentar o primeiro ano denominado nc. Utilizamos como
notação:
N C = (nc, 0, . . . , 0)t .
12
ESTUDO COMISSIONADO PELO DIRECTOR DA FCT/UNL
Para a transição de alunos entre disciplinas, supomos serem verificadas as regras
naturais que representamos nas fórmulas seguintes.
n
n−1
=(1) nc + (1 − a12 )E12
E11
n
n
E12
=(2) (1 − a11 )E11
n
n
n
E21
=(3) a11 E11
+ (1 − a22 )E22
(1)
n
n−1
n−1
E22
=(4) a12 E12
+ (1 − a21 )E21
n
n−1
n−1
E31
=(5) a21 E21
+ (1 − a32 )E32
n
n
E32
=(6) (1 − a31 )E31
n
n
n
E41
=(7) a31 E31
+ (1 − a42 )E42
n
n−1
n−1
E42
=(8) a32 E32
+ (1 − a41 )E41
.
Em que se tem a justificação destas relações dada com dois exemplos seguidamente.
(1) O número de alunos inscritos na edição normal de Análise Matemática I à data
n é a soma do número de alunos que ingressaram nesse ano com o número de
alunos inscritos à data n − 1 na repetição que não aprovaram.
(2) O número de alunos inscritos na edição repetição de Análise Matemática I à
data n é igual ao número de alunos inscritos à data n na edição normal da
disciplina que não aprovaram3 .
Tendo como objectivo exprimir os efectivos à data n como resultado de uma
transformação linear (de facto, trata-se de uma transformação afim) dos efectivos à
data n − 1 podem-se efectuar algumas substituições de umas fórmulas noutras no
série de fórmulas 1. Assim sendo, obtem-se o seguinte.
n
n−1
= N C + (1 − a12 )E12
E11
n
n−1
E12
= (1 − a11 )N C + (1 − a11 (1 − a12 )E12
n
n−1
n−1
E21
= a11 N C + (a11 (1 − a12 ) + a12 (1 − a22 )) E12
+ (1 − a22 )(1 − a21 )E21
n
n−1
n−1
E22
= a12 E12
+ (1 − a21 )E21
n
n−1
n−1
E31
= a21 E21
+ (1 − a32 )E32
n
n−1
n−1
E32
= (1 − a31 ) a21 E21
+ (1 − a31 )(1 − a32 )E32
n
n−1
n−1
n−1
E41
= a31 a21 E21
+ (a31 (1 − a32 ) + a32 (1 − a42 )) E32
+ (1 − a42 )(1 − a41 )E41
n
n−1
n−1
E42
= a32 E32
+ (1 − a41 )E41
.
Em consequência, se for
n
n
n
n
n
n
n
n
, E12
, E21
, E22
, E31
, E32
, E41
, E42
),
E n = (E11
3
Note-se que este modelo supõe que um aluno está sempre inscrito na disciplina de Análise
Matemática em que ainda não obteve aprovação. Na realidade isto não acontece.
AS DISCIPLINAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA NA FCT
13
virá, finalmente, que
E n = AE n−1 + N˜C
em que, pondo ρij := 1 − aij , vem que a matriz A é dada por:

0
ρ12
0
0
0
ρ11 ρ12

0 a11 ρ12 + a12 ρ22 ρ22 ρ21

ρ21
a12
0
A=
0
a21
0
0
0
0

0
0
a31
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ρ32
0
ρ31 ρ32
0
0 ρ31 a21
0
0
a31 ρ32 + a32 ρ42 ρ42 ρ41
ρ41
0
0
a32

0
0

0

0

0
0

0
0
e o vector N˜C é dado por
N˜C = (nc, (1 − a11 ) nc, a11 nc, 0 . . . , 0)t .
5.4. Protocolo para as simulações. Pretende-se determinar estimativas para os números de alunos inscritos nas disciplinas de análise matemática no ano lectivo de
2005/2006, isto é num horizonte a três anos. Consideram-se como efectivos iniciais
os alunos inscritos em 2002/2003 isto é:
E 1 := (1777, 1087, 763, 844, 587, 513, 107, 297) ,
somando 5975 inscrições. Consideram-se como taxas de escoamento as que podem
ser observadas na secção sobre os dados e determinam-se os correspondentes valores médios E[aij ] e desvios padrões σ[aij ]. Para efeitos de simulação considera-se
que aij é aleatória e está uniformemente distribuı́da no intervalo
[E[aij ] − σ[aij ], E[aij ] + σ[aij ]] .
Note-se que em consequência a matriz A é aleatória. Considera-se ainda que nc é
aleatório e uniformemente distribuı́do no intervalo [950,1050]. Determina-se E 2 =
AE 1 + N˜C seguidamente E 3 = AE 2 + N˜C e, finalmente, E 4 = AE 3 + N˜C, obtendose assim uma observação (ou amostra) dos efectivos três anos após a data inicial
escolhida. Efectuaram-e 10000 simulações obtendo-se assim uma série de 10000
amostras que permite descrever a variável aleatória vectorial E 4 que tem como
componentes os efectivos previstos nas disciplinas de Análise Matemática no ano
2005/2006. Estudou-se sumariamente a distribuição empı́rica de E 4 e determinaram-se os quantis empı́ricos desta variável.
Procedeu-se de igual modo para o modelo das disciplinas de análise matemática
mas sem repetições.
Os resultados e as correspondentes conclusões foram apresentados nas subsecções 5.1 e 5.2.
14
ESTUDO COMISSIONADO PELO DIRECTOR DA FCT/UNL
R EFER ÊNCIAS
[Comissão ad-hoc/DM95] Comissão ad-hoc JTM, BL, JPL, AS, MLE, Modelos Matemáticos para a
Evolução do Número de Alunos em AM1 e AM2, Departamento de Matemática FCT/UNL, 26 de
Junho de 1995.
[ICMI 98] ICMI, On the Teaching and Learning of Mathematics at University Level, Proceedings of the
ICMI Study Conference, 1998.
[Krantz 99] S G. Krantz, How to Teach Mathematics, second edition, American Mathematical Society
1999.
[Leclercq 98] D. Leclercq, Pour une Pédagogie Universitaire de Qualité, Mardaga 1998.
[Miller 91a] B. Miller, Bob Miller’s Pre-Calc Helper, McGraw-Hill 1991.
[Miller 91b] B. Miller, Bob Miller’s Calc I Helper, McGraw-Hill 1991.
[Miller 91c] B. Miller, Bob Miller’s Calc II Helper, McGraw-Hill 1991.