GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
1. Faz-se uma cavidade esférica em uma esfera de chumbo de raio R, tal que sua superfície tangencie a superfície externa
da esfera de chumbo e passe pelo centro desta. A massa primitiva da esfera de chumbo era M. De acordo com a Lei da
Gravitação Universal, qual será a força com que a esfera de chumbo atrairá uma pequena esfera de massa m localizada à
distância d, ao longo da reta que passa pelos centros das esferas e da cavidade?
2. Um par de estrelas gira em torno do centro de massa comum. A massa de uma dela é M, o dobro da massa m da outra.
A distância d entre os centros das estrelas é grande, comparada ao tamanho de qualquer delas. Deduza uma expressão
para o período de rotação das estrelas em torno de seu centro de massa, em função de d, m e G.
3. Um sistema com três estrelas é constituído por duas estrelas com a mesma massa m, que giram em torno de uma estrela
central de massa M na mesma órbita circular. As duas estrelas de massa m encontram-se em posições diametralmente
opostas, como mostra a figura. Sendo r o raio da órbita, deduza uma expressão para o período de revolução destas
estrelas.
4. Três corpos idênticos, de massa m, estão locazilizados nos vértices de um triângulo equilátero de lado a. Calcule a
velocidade angular com que eles devem se mover, para que todos realizem movimento circular que circunscreve o
triângulo. Dê a resposta em função de G, m e a, onde G é a constante da gravitação universal.
5. A velocidade máxima da rotação de um planeta é aquela para qual a força centrífuga exercida sobre o material no
equador é suficiente para igualar a força de atração exrciada sobre o material na superfície do planeta. Mostre que o
período mais curto correspondente para essa rotação é dado por:
T=
3π
Gρ
onde ρ é a densidade do planeta, suposta constante.
6. Um astronauta realiza uma órbita rasante a um planeta desconhecido. Calcule a densidade do planeta sabendo que o
astronauta possui um relógio.
7. (IME) Um planeta descreve uma órbita elíptica em torno de uma estrela, conforme representa o esquema. Os pontos P1
e P2 indicados correspondem ao periélio e ao afélio, respectivamente, e nesses pontos, o planeta apresenta velocidades de
intensidades v1 e v2.
Supondo conhecidas as distâncias de P1 e P2 ao Sol (d1 e d2), mostre que d1v1 = d2v2.
8. No problema anterior, considere que o semi eixo maior da órbita elíptica vale a. Calcule os valores de v1 e v2 em
função de G, M, e e a, onde G é a constante da gravitação universal, M é a massa da estrela e e é a excentricidade da
órbita elíptica.
9. Mostre para a órbita do problema 7, que é válida a terceira Lei de Kepler.
T2
4π
=
3
a
GM
10. Dois planetas de massas m e M encontram-se inicialmente em repouso e separados por uma distância infinita. Calcule
o módulo da velocidade de cada um deles, quando a distância entre os seus centros valer d. Dê a resposta em função de
m, M, G e d.
Gabarito
1.
Para resolver este problema devemos considerar que a esfera cheia (sem a cavidade) exerce uma força de atração de
intensidade F1 no corpo de massa m e depois descontar a contribuição da massa que compõe a cavidade, que exerce uma
força de intensidade F2. Repare que isto equivale a dizer que a cavidade “exerce uma força de repulsão” no corpo de
massa m.
Cálculo da massa M’, que foi retirada da cavidade:
Como a esfera de chumbo era homogênea:
M
M'
M
⇒ M' =
=
3
4
8
π R 3 4 π ⎛⎜ R ⎞⎟
3
3 ⎝2⎠
Cálculo de F1:
F1 =
GMm
d2
Cálculo de F2:
M
m
GMm
8
=
F2 =
2
2
R⎞
R⎞
⎛
⎛
−
8
d
d
−
⎜
⎟
⎜
⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
G
Portanto, a força resultante será:
GMm
GMm
−
F = F1 − F2 =
2
2
d
R⎞
⎛
8⎜ d − ⎟
2⎠
⎝
⎛
⎞
⎜
⎟
1
⎜ 1
⎟
F = GMm⎜ 2 −
2 ⎟
d
R⎞
⎛
⎜
8⎜ d − ⎟ ⎟⎟
⎜
2⎠ ⎠
⎝
⎝
3
2. T = 2π . 3d
GM
3. T = 4π .
r3
GM
4.
F F FR Os três corpos realizarão um movimento circular ao redor do centro de massa comum, que é o baricentro do triângulo
formado por eles.
Na figura acima F representa o módulo da força de atração gravitacional entre dois corpos e FR, representa a força
resultante em um dos corpos.
Cálculo de FR:
3Gm 2
FR = 2F cos(30o ) =
a2
Cálculo de ω:
FR = Fcp
3Gm 2
2
3
= mω 2 . a
a2
3 2
3Gm
ω=
a3
5. –
6.
FG R A figura acima ilustra a órbita rasante realizada pelo astronauta.
Como o astronauta possui um relógio, ele pode medir o período de revolução de seu movimento. Considere que m seja a
massa do astronauta e sua nave, M e R sejam, respectivamente, a massa e o raio do planeta e T o período do movimento
do astronauta.
Temos que :
FG = Fcp
2
GMm
GM ⎛ 2π ⎞
M
M
π
π
= mω 2 R ⇒ 3 = ⎜
=
⇒
=
⎟ ⇒
2
3
2
2
4
R
R
4π R
GT
⎝ T ⎠
3. π R 3 GT
3
M
3π
π
=
⇒ρ=
3.V GT 2
GT 2
7.
Considere que num intervalo de tempo ∆t muito pequeno o planteta descreveu um arco de comprimento ∆s1 em torno do
ponto P1 e num mesmo intevalo de tempo ∆t, descreveu um arco ∆s2 em torno do ponto P2, conforme mostra a figura
acima.
Como os intevalos de tempo são pequenos, podemos considerar que a velocidade do planeta foi praticamente constante no
trecho considerado, portanto:
∆s1 = v1.∆t
∆s 2 = v 2 .∆t
As áreas A1 e A2 podem ser calculadas considerando-as triângulos de alturas d1 e d2, respectivamente, portanto:
1
1
∆s1d1 = v1d1∆t
2
2
1
1
A 2 = ∆s 2 d 2 = v 2 d 2 ∆t
2
2
A1 =
Utilizando a 2a Lei de Kepler, vem:
A1 = A 2 ⇒ d1v1 = d 2 v 2
8.
Fazendo d1 = a – c e d2 = a + c, vem:
( a − c)
v1
( a + c)
Dividindo por a em cima em em baixo, vem :
1− e
a
v2 =
v1 , onde e =
1+ e
c
(a − c) v1 = (a + c) v 2 ⇒ v 2 =
Conservando a energia mecânica nos pontos P1 e P2, vem:
E M1 = E M 2
E C1 + E P1 = E C2 + E P2
1
GMm 1
GMm
mv12 −
= mv 22 −
2
( a − c) 2
(a + c)
2
1 2 1 ⎛ 1 − e ⎞ 2 GMm GMm
v1 − ⎜
−
⎟ v1 =
2
2 ⎝1+ e ⎠
(a − c) (a + c)
1 2 ⎛ 4e 2 ⎞
2c
⎟= 2
v1 .⎜⎜
GM
2 ⎟
2 ⎝ (1 + e) ⎠ a − c 2
Fazendo c = e.a e simplificando, vem :
⎛ 1 − e ⎞ GM
⎛ 1 + e ⎞ GM
v1 = ⎜
e v2 = ⎜
⎟
⎟
⎝1 − e ⎠ a
⎝1 + e ⎠ a
9.
Vamos aplicar a 2a Lei de Kepler com a área A1 e a área total da órbita
1
v1 (a − c)∆t
A1
π ab
π ab
=
=
⇒ 2
T
T
∆t
∆t
2 2 2
1 2
1 1 + e GM
π a b
π 2a 2 b 2
2
⇒
−
=
v1 (a − c) 2 =
.
.
(
a
c
)
4
T2
4 1− e a
T2
1 + e GM (a − c) 2
4π 2 (a 2 − c 2 )
GM 1 + e
4π 2 (1 − e)(1 + e).a 2
2
=
⇒
−
=
.
.
.(
1
e
)
1− e a
a2
T2
a 1− e
T2
Simplificando, temos:
T 2 4π 2
=
a 3 GM
10.
v1 =
2GM 2
2Gm 2
e v2 =
( M + m)d
( M + m)d
SUGESTÃO: Para resolver a questão veja o artigo sobre Conservação da Quantidade de Movimento e Consevação da
Energia Mecânica localizado em Tópicos Especiais.