UNIVERSIDADE FEDERAL DE PARAÍBA
CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
LINHA DE PESQUISA: POLÍTICAS PÚBLICAS E PRÁTICAS EDUCATIVAS
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
UM ESTUDO DAS CONCEPÇÕES DE PROFESSORES
POLIVALENTES SOBRE ÁREA E PERÍMETRO
RENATO DA SILVA IGNÁCIO
1
Agradecimentos
Dedico este trabalho a minha Mãe, minha esposa e
a meus filhos: Lucieni, Renan e Gabriel. E em
especial a meu irmão Ricardo amo você demais.
A realização deste trabalho só foi possível graças a colaboração direta e indireta
de muitas pessoas. A todas elas minha eterna gratidão.Em especial quero
agradecer:
A Deus, por sempre me acompanhar em todos os momentos de minha vida,
mesmo naqueles em que menos mereço, mas, nos que eu mais preciso.
Aos meus irmãos e a minha mãe Maurinilda da Silva, aos quais devo uma palavra
de carinho e admiração.A eles eu devo tudo que sou.
A Rogéria Gaudêncio, por ter acreditado em mim e me guiado com serenidade e
paciência, nesta árdua caminhada.
A Renilda, sem seu incentivo eu não estaria realizando esse sonho.A você minha
eterna gratidão.
As professoras participantes da pesquisa que, embora anônimos neste texto,
ganharam
renome
para
mim
ao
se
disponibilizarem
a
participar
incondicionalmente deste trabalho.
Aos professores do programa de Pós-graduação da UFPB que contribuem muito e
auxiliam na formação dos futuros mestres. Em especial a Vitória e a Mônica pela
receptividade e cordialidade sincera que me sempre teve comigo.
Aos Professores: Rômulo Marinho do Rêgo, Paula Baltar Bellemain e Janine
Marta Coelho Rodrigues pela forma atenciosa como atenderam à nossa
solicitação para compor a banca examinadora e pela forma criteriosa como
conduziram a sua avaliação, enriquecendo nosso trabalho com considerações
significativas.
2
RESUMO
O presente trabalho de pesquisa teve como objetivo investigar as concepções de
professores de atuação polivalente relativas a conceitos geométricos, qual sua
relação com o que e como ensinam e com os conhecimentos dos alunos, relativos
aos mesmos conceitos. Pretende trazer contribuições para os cursos de formação
inicial e continuada desses professores e para ampliação das investigações dessa
formação no âmbito da pesquisa em Educação Matemática. Fundamenta-se nas
pesquisas de Douady e Perrin-Glorian (1989), que interpreta as concepções dos
conceitos de área e perímetro através do jogo de quadros; nas pesquisas de Lima
& Baltar (2002) relativas a esses conceitos; e de Câmara dos Santos & Gerard
Perrot (1998), que estudaram as concepções sobre área e perímetro de alunos do
ensino fundamental e de professores de Matemática. O texto ainda apresenta,
além do resultado das pesquisas citadas, uma comparação com as concepções
identificadas nesses estudos com aqueles da presente pesquisa, apontando para
a semelhança entre as concepções errôneas de alunos e dos professores
investigados, relativas aos conceitos de área e perímetro.
Palavras-chave: concepções geométricas, grandezas geométricas, jogo de
quadros, área e perímetro.
3
ABSTRACT
The following text has as objective to investigate ideas to teach
math,that must be
constituted by teachers who work with different
subjects and who interfere in a marking up up of mathematical
knowledges.It intends to make contributions for the courses of inicial
and continuous graduation of these teachers and enlarge the research
about mathematician education. It is based on DOUADY and perringlorian (1989), researchs,that interprets conceptions of the area and
perimeter concepts through Lima & Baltar(2002) and CÂMARA DOS
SANTOS and Gerard Perrot (1989) who study the conceptions about
area of students on elementary education and math teachers. The text
still shows the result of the quoted researchs up there and it setsout a
comparison between the conceptions identified in these studies witch
results of the following research.
Main words: making up of teachers who work with different
subjects, geometrical greatness,game of blocks area and perimeter.
4
SUMÁRIO
CAPÍTULO1
1.1
Construção do problema e as questões do estudo.....................7
1.2
Justificativa da pesquisa............................................................11
1.3
Metodologia................................................................................14
1.4
Instrumentos de pesquisa...........................................................16
1.5
Critérios de análise.....................................................................17
CAPÍTULO 2
2.1
Breve estudo histórico das principais tendências de ensino da
matemática.................................................................................18
2.1.1 Tendência formalista Clássica....................................................19
2.1.2 Tendência empírico-ativista........................................................20
2.1.3 Tendência formalista moderna – o tecnicismo...........................22
2.1.4 O momento atual.......................................................................24
2.2
O (S) significados do termo CONCEPÇÃO...............................29
2.3
Em torno das concepções dos professores..............................37
2.4
O ensino aprendizagem de área e perímetro............................40
2.4.1 Recomendações nos parâmetros curriculares nacionais de
matemática - PCN......................................................................40
2.4.2 Perímetro e área nos livros textos de matemática do 1º e 2º
ciclos do ensino fundamental.....................................................42
5
CAPÍTULO 3
APRESENTAÇÃO E análise dos dados da pesquisa......................44
3.1
Os espaços e os sujeitos da pesquisa........................................44
3.2
As concepções dos sujeitos acerca de nosso objeto de estudo: O
que pensam os professores sobre área e perímetro.................47
3.2.1 Concepções sobre área.............................................................48
3.2.2 Concepções sobre perímetro.....................................................50
3.3
A presença do conteúdo na sala de aula...................................51
3.4
A relevância do conteúdo para a formação do aluno.................52
3.5
As dificuldades de ensino e aprendizagem ..............................54
3.6
A metodologia utilizada.............................................................56
3.7
Análise dos procedimentos de resolução das questões pelos
professores.................................................................................58
3.7.1 Sobre a dissociação área e perímetro........................................59
3.7.2 Sobre o uso de fórmulas............................................................65
3.7.3 Sobre o uso de unidades de medidas........................................67
CAPÍTULO 4
CONSIDERAÇÕES FINAIS..............................................................72
REFERÊNCIAS.................................................................................80
ANEXOS..........................................................................................89
6
CAPÍTULO 1
AS QUESTÕES CENTRAIS DO ESTUDO
Este capítulo apresenta a área em que o estudo está inserido, o problema e
as questões que estão associadas à pesquisa e as principais razões de seu
desenvolvimento.
1.1 CONSTRUÇÃO DO PROBLEMA E AS QUESTÕES DO ESTUDO.
Não é de hoje que o ensino de matemática suscita insatisfação e
controvérsias. É comum ouvirmos que o ensino de matemática não anda bem no
país, em razão do péssimo desempenho de nossos alunos em testes nacionais e
internacionais do qual participaram, relativos ao seu domínio de conhecimento
matemático.
O PISA é um programa internacional de avaliação comparada, do qual têm
participado mais de 30 países de todo o mundo, que tem como principal objetivo
produzir indicadores sobre a efetividade de seus sistemas educacionais,
analisando o desempenho de alunos na faixa etária de 15 a 16 anos, idade em
que ocorre o fim da escolaridade básica obrigatória na maioria dos países
envolvidos, em conhecimentos que vão além daqueles de natureza estritamente
escolar. O programa é desenvolvido e coordenado pela Organização para
Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), instituto internacional, com a
coordenação nacional sob a responsabilidade do Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisas Educacionais “Anísio Teixeira” – INEP/MEC.
O Brasil ocupou o último lugar no PISA 2000, tendo nossos alunos
apresentado uma média geral de 396 pontos, contra a média geral de 546 dos
alunos da Finlândia, país que ocupou a primeira posição no teste, que priorizou o
7
domínio da linguagem. No ano de 2003, a avaliação foi centrada no domínio do
conhecimento matemático e os indicadores levaram nosso país a ocupar o último
lugar. Na área de Matemática, o teste visa avaliar “a capacidade individual de
identificar e compreender o papel da Matemática no mundo, de fazer julgamentos
bem fundamentados e de se envolver com a Matemática de maneira a atender às
suas necessidades atuais e futuras como um cidadão construtivo, consciente e
reflexivo”. (Relatório PISA 2000, p. 21).
Dos 5.235 alunos do Brasil que participaram do PISA 2003, a média geral
alcançada foi de 356 pontos, abaixo do total correspondente ao nível 1, o nível
mais baixo da escala de avaliação, estando metade de nossos alunos abaixo dele;
43% dos alunos ficaram entre os níveis 1 e 3 e apenas 4% entre os níveis 4 e 6.
os mais altos da escala. Considerando o conteúdo “Espaço e Forma”, elemento da
avaliação, a média geral dos estudantes brasileiros foi de 350 pontos, índice
alcançado por 55% de nossos alunos, colocando-os abaixo do nível 1 (mais
detalhes em: www.inep.gov.br/download/internacional/pisa).
Considerando os resultados de uma avaliação nacional realizada pelo
Sistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB, coordenado pelo INEP/MEC,
os testes vêm ano a ano apresentando o fracasso dos alunos em todos os
conteúdos de Matemática, em especial na área de Geometria. Na análise dos
testes do SAEB a Geometria se destaca, pois é onde se observa uma maior
quantidade de erros e respostas em branco. Segundo o relatório final relativo à
avaliação do ano de 2001, as questões referentes a grandezas e medidas, para
alunos da 4ª série do ensino fundamental, estavam ligadas a atividades do
cotidiano e enfatizavam competências associadas à estimativa de diferentes tipos
de medidas de tempo, espaço, peso, capacidade, e ao sistema monetário.
8
Em razão do fraco desempenho dos alunos, em relação a esse campo de
conhecimento, o relatório sugere:
A escola necessita expressar, a partir de atividades lúdicas, as
vivências das crianças, evitando a simples memorização de
definições e fórmulas. Em termos escolares, os conceitos de
medida têm um papel fundamental, relacionando-se a outros
campos como números e operações, espaço e forma. Estas
relações aparecem claramente nos itens selecionados para
exemplificar o tema em questão. Todos os itens que envolvem
raciocínios mais elaborados, relacionando mais de uma
operação, apresentam baixos percentuais de acertos. Quando
a relação parte/todo, envolvendo a relação de décimos ou
centésimos com o inteiro, é exigida, os alunos também
apresentam dificuldades. A matemática vivenciada pelos
alunos fora da escola não é suficiente para resolver
determinadas questões, como fica bem claro quando os itens
se referem ao uso mais elaborado do sistema monetário. As
conquistas cognitivas dos alunos realizadas extraescolarmente são ricas de sentido, mas carecem da lógica
que a escola pode fornecer-lhes, se levar em conta os
processos de construção do conhecimento por eles utilizados
e explorá-los convenientemente. Em suma, a matemática da
escola deve se aproximar da matemática da vida, organizá-la
logicamente e superá-la. (Relatório SAEB 2001, p.29)
De acordo com os dados apresentados no citado relatório, 52,32% dos
alunos da 4ª série do ensino fundamental encontram-se em um nível crítico ou
muito crítico de aprendizagem matemática, concluindo a primeira etapa de
escolaridade do ensino fundamental sem ter o domínio de conhecimentos
necessários para a continuidade dos estudos.
O estudo das grandezas geométricas, em particular, apresenta sérias
dificuldades de aprendizagem pelos alunos. Vários estudos, entre eles os de
Câmara dos Santos & Perrot (1998), Baltar1 (1996) e Lima (1995), e avaliações
nacionais e regionais de desempenho indicam esse insucesso.
Em Pernambuco, a análise dos resultados do Sistema de Avaliação do
Ensino de Pernambuco - SAEPE (Pernambuco, 2003) aponta os baixos índices de
1
Apesar de ser uma pesquisa realizada com alunos franceses não deixa de ser um indicador do
insucesso dos alunos, pois as demais pesquisas citadas foram realizadas no Brasil e comprovam que as
dificuldades dos alunos franceses são sentidas pelos alunos brasileiros.
9
desempenho dos alunos nas questões referentes a conteúdos de geometria,
inclusive se compararmos esses índices com aqueles apresentados por outros
campos da matemática. Dos 29 descritores relativos à matemática na 4ª série,
apenas cinco apresentaram taxas de acerto superiores a 50% e um descritor teve
taxa de acerto inferior a 30%. Nos demais, as taxas de acerto situaram-se entre
30% e 50%, conclusões de um estudo realizado por Baltar (2003).
O estudo também aponta que dentre os descritores curriculares na
avaliação citada da 4ª série, em matemática, seis eram relativos ao campo das
grandezas e medidas. Destes, quatro tinham relação com grandezas geométricas
(comprimento, área e perímetro). O descritor de menor taxa de acerto, único para
o qual tal índice foi de apenas 24,3%, foi “resolver problemas envolvendo o cálculo
e/ou comparação de áreas de figuras planas, desenhadas em malhas
quadriculadas, ou não” (BALTAR, p. 44). Os demais descritores relacionados a
grandezas geométricas obtiveram taxas de acerto em torno de 40%.
Em sete dos 41 descritores da 8ª série, os alunos apresentaram índice de
acerto superior a 50%; em 12 deles apresentaram acerto entre 30% e 50%; em
17, índice de 20 a 30% e em cinco descritores índice inferior a 20%.
Os quatros descritores relativos ao campo das grandezas e medidas estão
explicitados abaixo, com suas respectivas taxas de acerto:
-
resolver problema envolvendo perímetro de figuras planas (26,3%);
-
resolver problema envolvendo área de figuras planas (19,1%);
-
resolver problema envolvendo noções de volume (23,2%);
-
resolver problema envolvendo relações entre diferentes unidades de
medida (20,7%)
1
Os descritores relativos às grandezas geométricas estão, portanto, entre os
de pior desempenho, tanto nas avaliações da 4ª série quanto nas de 8ª série do
ensino fundamental.
Embora não possam ser tomados como referência única ou central para a
discussão acerca da qualidade da educação em nosso país, os testes apontam
elementos que têm uma dimensão pedagógica que educadores e gestores não
podem ignorar. Na medida em que fornecem dados sobre o desempenho de
nossos alunos, possibilitam refletir sobre bases mais concretas alguns problemas
do processo de ensino e aprendizagem, sendo o de matemática nosso objeto de
estudo geral, tendo como pando de fundo o campo específico da geometria.
Nas escolas do Ensino Fundamental, principalmente públicas, a situação é
preocupante e sintomática. Para Lorenzatto (1995), o ensino de Geometria dessas
escolas está doente de uma enfermidade que chamou de “omissão geométrica”.
Sabemos que, guardadas as devidas diferenças entre um problema de saúde e a
geometria, o aluno que “sofre” dessa omissão geométrica carregará “seqüelas” em
sua formação acadêmica, o que implicará em prejuízos para sua atuação
profissional e o desenvolvimento pleno de sua cidadania.
Para muitos pesquisadores, entre eles Pavanello (1989), Passos &
Nacarato (2003), Pires & Campos (2001), esse fenômeno não é novo ou fruto do
acaso e não é o caso de ser justificado por uma preferência dos alunos por outros
ramos da matemática. Isso se deve a um histórico e gradual abandono do ensino
de geometria nas salas de aula, notadamente nas escolas públicas.
Esses pesquisadores enumeram alguns fatores que desencadearam tal
abandono destacando, entre vários: o formalismo moderno ou Movimento da
Matemática Moderna (MMM); o período anterior ao MMM, denominado formalismo
1
clássico e um momento posterior ao MMM no Brasil, em que prevaleceu o
tecnicismo e ocorreu a promulgação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional, Lei 5692/71, dos quais trataremos com mais detalhes adiante
O ponto comum nas conclusões dos trabalhos dos estudiosos que tomamos
como referência em nossa pesquisa é que o abandono da geometria não se
justifica pelo desenvolvimento da matemática nas últimas décadas, que aponta
para a necessidade e relevância da geometria para a formação geral do aluno.
1.2 JUSTIFICATIVA DA PESQUISA
Por ter se tornado um campo fértil para investigações e pesquisas, a
preocupação de resgatar o ensino de grandezas geométricas como uma das
áreas
fundamentais
da
matemática,
tem
levado
muitos
professores
e
pesquisadores a se dedicarem à reflexão, elaboração, implementação e avaliação
de alternativas que busquem superar as dificuldades não raro encontradas na
abordagem desse tema na escola básica ou em níveis superiores de ensino.
Dentre os frutos das preocupações desses estudiosos, destacamos a
ênfase dada às grandezas e medidas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) de Matemática. O conteúdo de Geometria agora se encontra distribuído em
dois blocos: ESPAÇO E FORMA; GRANDEZAS E MEDIDAS, sendo que neste
último é possível identificar, de modo imediato, maior interligação entre os campos
da aritmética e da geometria.
De um lado, os PCN destacam a forte relevância social e o evidente caráter
prático e utilitário do bloco de grandezas geométricas, o qual está presente em
quase todas as atividades realizadas na vida em sociedade. Em contrapartida,
estudos como os de Pavanello (1994) e Lorenzatto (1995) apontam para o fato de
1
que os conteúdos de grandezas geométricas não têm recebido a mesma
relevância da escola, sendo um campo praticamente esquecido na sala de aula.
Baltar e Lima (2002) destacam a importância da geometria para a formação
do aluno, enfatizando entre os conhecimentos deste campo, o conceito de área. A
justificativa para tal destaque se dá pelo fato de, se examinarmos as atividades
mais simples que o ser humano executa, constatarmos a presença direta ou
indireta dos conceitos que envolvem as medidas geométricas, principalmente em
termos de área e perímetro. Do ponto de vista escolar, essa experiência de
aprendizagem é considerada extremamente valiosa por sua riqueza e facilidade
de confluírem em sua direção os diversos ramos da matemática, tais como:
números, operações e álgebra, além de se fazer necessário em outras áreas do
conhecimento.
A realidade educacional sobre o ensino de grandezas geométricas tem
revelado conseqüências diretas aos educandos, como apontam os estudos de
Usiskin (1994), que concluiu que 48% dos alunos quase nada sabem sobre essa
matéria quando terminam seus estudos. É interessante observar, nos vários
estudos citados, que distintas são as razões utilizadas pelos professores para
justificar a ausência da geometria da sala de aula nos diferentes níveis de ensino:
“porque não sei”, “porque não dá tempo”, “porque os alunos preferem contas”,
entre outras.
Percebemos em nossa experiência como professor das séries iniciais do
ensino fundamental, tanto na rede estadual quanto na rede municipal de ensino,
que existe um desconforto por parte da maioria dos colegas ao tratar os conceitos
de área e perímetro em sala de aula. Ao abordarem estes tópicos limitam-se, em
geral, ao uso de fórmulas e exercícios padronizados que o aluno resolve a partir
1
de um modelo apresentado previamente pelo docente: “Quando esses temas são
tratados em sala de aula os alunos são capazes apenas de reconhecer e nomear,
as primárias figuras planas e memorizar e aplicar as regras para o cálculo de seu
perímetro e de sua área” (PAVANELLO, p.8, 1994). As mesmas conclusões foram
apontadas em algumas pesquisas, a exemplo das realizadas por Câmara dos
Santos (1998) e Pavanello (1993), acerca das concepções dos alunos em se
tratando de área e perímetro.
Os PCN ressaltam a importância das grandezas e medidas e afirmam sua
forte relevância social devido a seu caráter prático e utilitário e pela variedade de
possíveis conexões com outras áreas do conhecimento, apontando dificuldades
nas concepções dos alunos relativas a elas. Afirmam, por exemplo, que “no
trabalho com medidas é bastante freqüente os alunos confundirem noções de área
e perímetro ou estabelecerem relações não verdadeiras entre elas. Quando
comparam dois polígonos concluem que a figura de maior área é a figura de maior
perímetro e vice-versa2”.
Os estudos de Câmara dos Santos & Perrot (1998) identificaram, de forma
mais específica, as concepções dos alunos acerca dos conteúdos de área e
perímetro. Contudo, inexiste uma investigação de natureza científica a respeito
das concepções dos professores relativas a esses mesmos conceitos. Esta lacuna
observada motivou nossa escolha em abordar o processo de ensino e
aprendizagem destes conteúdos (área e perímetro), e se inscreve com o objetivo
de identificar e analisar as concepções e relações do professor com os mesmos.
Nossa investigação se apresenta na área da prática docente, especificamente em
aspectos diretamente vinculados ao ensino e aprendizagem da matemática das
séries iniciais do ensino fundamental.
2
Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, 5ª a 8ª série, p.130.
1
Pretendemos,
com
essa
pesquisa,
identificar
as
concepções
dos
professores das séries iniciais do ensino fundamental sobre área e perímetro e
analisar em que medida essas concepções se relacionam com as concepções dos
alunos desse nível de ensino3.
Assim, este estudo foi orientado, principalmente, pelas questões
apresentadas em seguida.
•
Quais são as concepções dos professores polivalentes sobre área e
perímetro?
•
Existem semelhanças entre as concepções dos professores
polivalentes e as concepções de alunos do ensino fundamental? Em
caso afirmativo, quais?
Para consolidar nossa pesquisa, realizamos ações que constituíram o seguinte
percurso:
1. Identificar se os professores, no estudo de área, distinguiam os três pólos:
geométrico, numérico e das grandezas;
2. Identificar se os professores percebiam a passagem de um pólo para o
outro;
3. Identificar se os professores polivalentes confundiam:
a) Área com perímetro;
b) As fórmulas para o cálculo de área e perímetro de figuras planas.
c) A noção de grandeza (área e perímetro) com sua medida.
4. Traçar um paralelo entre os resultados de nosso estudo e daqueles relativos
a alunos de mesmo nível de ensino, já citados.
3
Pretende-se realizar uma comparação dos resultados da presente pesquisa com as conclusões dos
estudos, das concepções dos alunos sobre área e perímetro, de Lima & Bellemain (2000) e Perrot & Câmara
dos Santos (1998), Baltar (1996).
1
1.3 METODOLOGIA
A presente investigação buscou ampliar a compreensão, de forma mais
detalhada
possível,
dos
significados
e
das
características
situacionais
apresentadas pelos sujeitos da pesquisa, compreendendo um estudo de natureza
predominantemente qualitativo.
O fato das convicções subjetivas serem uma preocupação de grande
relevância na etnografia crítica fez-nos reconhecer nela o caminho mais adequado
para o que pretendíamos no presente trabalho. A finalidade era ir além de
descrever formas diferentes de consciência, buscando explicar como e porque
elas se desenvolveram, para tanto não nos interessando o número de
entrevistados que compartilharam informações, mas a qualidade da informação
obtida.
Como instrumento de pesquisa, aplicamos uma entrevista semi-estruturada
para identificar o perfil acadêmico e profissional dos professores envolvidos no
estudo e suas concepções sobre área e perímetro, procurando identificar qual o
significado que eles (professores) lhes atribuem; se área e perímetro são objetos
de ensino em sua prática pedagógica; quais dificuldades observam no processo
de ensino e aprendizagem desse conteúdo e qual a importância que atribuem a
esse estudo para a formação do aluno.
Na etapa seguinte da entrevista propusemos algumas questões que
abordavam os conteúdos de área e perímetro para que o professor respondesse
de acordo com suas concepções acerca desses conceitos. O objetivo era termos
dados suficientes que nos permitissem comparar o que o professor diz fazer para
ensinar seus alunos, com aquilo que ele demonstra saber sobre área e perímetro.
1
As questões (em anexo) foram aplicadas em pesquisas já mencionadas
acerca das concepções dos alunos do ensino fundamental sobre área e perímetro,
tendo sofrido pequenos ajustes em seus enunciados para se adequarem à nossa
pesquisa.
1.4 INSTRUMENTOS DE PESQUISA
Aplicamos um questionário para identificar o perfil acadêmico e profissional
de professores e as concepções, dos mesmos, sobre área e perímetro procurando
identificar qual o significado que eles (professores) atribuem a área e perímetro, se
área e perímetro são objetos de estudo quando eles estão ensinando, se na
opinião deles (professores), esses conteúdos são abordados em sala de aula,
quais dificuldades eles observam no processo de ensino e aprendizagem e qual a
importância desse estudo para a formação do aluno.
Na etapa seguinte propusemos algumas questões que abordavam os
conteúdos de área e perímetro para que o professor respondesse de acordo com
suas concepções acerca desses conceitos. O objetivo era termos dados
suficientes que nos permitissem comparar o que o professor diz fazer para ensinar
seus alunos com aquilo que ele demonstra saber sobre área e perímetro.
As questões, apresentadas em seguida, foram aplicadas em pesquisas já
mencionadas aqui sobre as concepções dos alunos do ensino fundamental sobre
área e perímetro. As questões sofreram evidentemente algumas alterações em
seus enunciados para se adequarem a nossa pesquisa.
Todos os instrumentos utilizados encontram-se nos Anexos.
1.5 – CRITÉRIOS DE ANÁLISE
1
Analisamos os dados coletados com os professores, considerando os
seguintes aspectos:
1. Suas concepções acerca de área e perímetro;
2. A metodologia que utilizam quando trabalham os conteúdos acima
explicitados;
3. A relevância que atribuem ao conteúdo para a formação do aluno;
4. As dificuldades que apontam para o ensino e a aprendizagem.
As respostas dadas pelos professores às questões foram comparadas com as
respostas dos alunos pesquisados por Baltar (2003) e Câmara dos Santos (2000),
buscando identificar as semelhanças e/ou diferenças nas concepções dos dois
grupos de sujeitos.
CAPÍTULO 2
CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
Este capítulo contém uma breve descrição de alguns modelos de ensino de
Matemática no Brasil, a fim de subsidiar a análise das práticas pedagógicas dos
professores que participaram da pesquisa. Contém uma revisão da literatura sobre
o significado e a importância do estudo das concepções pessoais dos atores
envolvidos no processo educativo. Apresenta os vários entendimentos do que vem
a ser concepção, relata alguns estudos que procuraram identificar as concepções
dos alunos e dos professores e que fazem parte do suporte teórico de nossa
pesquisa. Apresenta, ainda que sucintamente, os fenômenos estudados pela
didática francesa e os aspectos metodológicos que nortearam o presente trabalho.
1
2.1 BREVE ESTUDO HISTÓRICO DAS PRINCIPAIS TENDÊNCIAS DE ENSINO
DA MATEMÁTICA
Para melhor compreender a constituição das concepções dos professores
das séries iniciais do ensino fundamental, apresentamos um breve recorte com as
principais tendências do ideário da matemática nos últimos anos. Partimos do
pressuposto de “que o modo de ensinar sofre influência também dos valores e das
finalidades que o professor atribui ao ensino da matemática, da forma como
concebe a relação professor-aluno e, além disso, da visão que tem de mundo, de
sociedade e de homem”. (FIORENTINI, p.5,1995).
Os estudos acerca do ensino de matemática no Brasil analisam como as
diversas tendências historicamente contribuíram para o desaparecimento gradual
do ensino de geometria e para a formação de muitas concepções existentes sobre
o ensino da mesma, destacando como fonte de consulta os trabalhos de Miorim
(1993), Fiorentini (1995), Pavanello (1993) e Souza (1999). Alguns desses estudos
abordam as principais tendências ocorridas no Brasil, de modo mais amplo, outros
procuram aprofundar a investigação e discussão acerca de uma ou outra
tendência específica. Esse aporte histórico poderá nos proporcionar uma visão
geral de como o currículo em ação4 foi sendo formulado ao longo da trajetória da
influência de cada uma das tendências de ensino da matemática no país aqui
apresentadas.
Destacaremos a tendência formalista classista; a tendência empíricoativista; o discurso do Movimento da Matemática Moderna ou formalismo
moderno; a tendência tecnicista e suas variações e o momento atual.
4
Currículo em ação significa aqueles conteúdos que efetivamente são estudados pelos alunos na sala
de aula.
1
2.1.1 TENDÊNCIA FORMALISTA CLÁSSICA
Pavanello (1993), analisando os fatores que motivaram o processo de
abandono da geometria afirma que esse fenômeno é histórico e mundial: “a
inquietação com o abandono - abandono este que é, na verdade um fenômeno
mundial - parece estar ligado a questões de ordem educacional” (p.7,1993)
Pavanello lembra que no início do século passado o nosso país era
essencialmente agrícola, com uma população maciçamente analfabeta e pouca
preocupação com a demanda por educação, tanto por parte da população quanto
dos governantes da época. O modelo de educação dos primeiros anos do século
20 no país era uma continuação do Brasil colônia, onde só uma minoria5 tinha
acesso ao ensino em todos os níveis, inclusive o superior, tendo como área mais
procurada a jurídica, que exigia pouco interesse pelos estudos científicos.
Os conteúdos da matemática (aritmética, álgebra, geometria) eram
ensinados separadamente e o tratamento dado a eles era de pura abstração.
Segundo Miorim, Miguel & Fiorentini (1993) esse período, que antecedeu ao
Movimento da Matemática Moderna (MMM) obedecia à seqüência: o estudo
completo de álgebra sucedia ao estudo completo de aritmética e antecedia o
estudo de geometria, ou seja, a geometria era o último dos principais campos da
matemática estudado pelos alunos.
A geometria ministrada nas salas de aulas tinha como ponto central a
aprendizagem da nomenclatura de linhas e figuras, o cálculo de perímetros, áreas
e volumes apoiados na memorização de fórmulas. Sua ênfase residia no modelo
euclidiano, o qual perdurou durante séculos. Segundo Fiorentini (1995), o ensino
baseado nesse modelo partia de determinados elementos (termos primitivos,
axiomas e postulados) e didaticamente centrado na figura do professor, no papel
5
Filhos de latifundiários e seus parentes
2
de transmissor e expositor de conteúdos, seguia um ensino acentuadamente
livresco, baseado em uma aprendizagem passiva memorística.
2.1.2 TENDÊNCIA EMPÍRICO -ATIVISTA
Para Pavanello (1993) alguns fatos históricos, como o fim da 1ª guerra
mundial, a expansão industrial no país, a crise de 1929, a revolução de 1930 e o
início da segunda guerra mundial, desencadearam uma pressão para escolarizar
maciçamente a população. Uma das mudanças significativas nessa direção foi a
criação do Ministério da Educação e Saúde em 1930 e, junto com ela, a reforma
Francisco Campos6. No campo da matemática a reforma curricular recebeu forte
influência da proposta curricular implementada no colégio Pedro II pelo professor
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo: “quanto aos programas de matemática e
suas instruções pedagógicas, a reforma Francisco Campos apenas apropriou-se
das inovações que vinham sendo implementadas de forma paulatina, desde 1929,
no colégio Pedro II, tendo como protagonista o professor Euclides Roxo” (ROCHA,
2001, p.237).
Essa reforma praticamente criou a disciplina Matemática, uma vez que a
geometria, a álgebra e a aritmética constituíam disciplinas separadas, sendo seu
grande mérito no campo da matemática foi a unificação desses ramos, o que
visava estabelecer correlações entre álgebra, geometria e aritmética quando
possível:
A matemática será sempre considerada como um conjunto harmônico
cujas partes estão em viva e íntima correlação. A acentuação clara dos
três pontos de vista algébrico, aritméticos e geométricos - não deve, por
isso estabelecer barreiras intransponíveis que impeçam o estudante de
perceber as conexões entre aquelas disciplinas. [...] Para dar unidades à
matéria, estabelecendo-se na estreita correlação entre as diferentes
modalidades do pensamento matemático, será adotada, como idéia
6
Indicado para chefiar o recém criado ministério
2
central do ensino, a noção de função, apresentada, a princípio,
intuitivamente e desenvolvida, nas séries sucessivas do curso, de modo
gradativo, tanto sob a forma geométrica como sob a analítica (Werneck
2003p. 44).
A unificação fez parte de uma proposta mais ambiciosa de ensino da
matemática idealizada por Euclides Roxo e Everardo Backheuser e inspirada na
visão empirista de Locke (séc. XVIII), no pragmatismo de John Dewey e no
movimento renovador de ensino da Matemática, liderado na Europa por Felix Klein
(MIORIM, MIGUEL & FIORENTINI, 1993, p.23). Outros seguidores dessa proposta
surgiram nas décadas de 1940 e 1950 tais como Melo e Souza (Malba Tahan),
Manoel Jairo Bezerra e Irene Albuquerque, entre outros.
Sua principal reivindicação era transferir o centro do processo de ensino do
professor para o aluno através da experimentação, ou seja, a tese central seria que
o aluno “aprende fazendo”, por essa razão, procurava valorizar a pesquisa, a
descoberta, a resolução de problemas, e as atividades experimentais. Inspirava-se
na filosofia de John Dewey, para quem a educação seria uma constante
reconstrução da experiência, na busca de habilitar os indivíduos a um constante
desenvolvimento. Ou seja, a educação destinar-se-ia a levar o indivíduo a adquirir
mais educação, capacitando-o a desenvolver-se sempre mais.
Essa concepção iria valorizar a manipulação e visualização de objetos,
atividades práticas envolvendo contagens, medições, levantamento e comparações
de dados, entre outras. No entanto, o ideário do movimento renovador do ensino
de matemática não conseguiu se impor sem sofrer muitas resistências. Mudanças
profundas só aconteceram nas décadas de 1960 e 1970, com o surgimento do
movimento que se convencionou chamar de Matemática Moderna ou, como alguns
pesquisadores denominam, formalismo moderno.
2
2.1.3 TENDÊNCIA FORMALISTA MODERNA - O TECNICISMO
O lançamento do Sputnik pelos soviéticos em 1957 desencadeou no campo
educacional, e principalmente na matemática, grandes mudanças curriculares. Tal
acontecimento foi interpretado pelos norte-americanos com uma prova de que a
matemática e a ciência ensinada em suas escolas de uma maneira geral estavam
ultrapassadas.
Os curriculistas norte-americanos atribuíram os maus resultados de seus
alunos em matemática e seu pouco interesse pela disciplina, ao fato dos
conteúdos então trabalhados serem anteriores ao século XVIII, trazendo a
topologia, a lógica e a álgebra de Boole, entre outras, para substituir os tópicos
considerados arcaicos.
Essa reestruturação não representou apenas uma troca de conteúdos e
nem se limitou a uma reforma do sistema educacional dos Estados Unidos. Ela
procurou:
•
Unificar os três campos fundamentais da matemática através da teoria dos
conjuntos e
•
Substituir o caráter pragmático e mecanizado da matemática ao dar uma
maior ênfase aos seus aspectos lógicos.
Na verdade, esse movimento, que ficou conhecido como Matemática
Moderna e que arregimentou muitos adeptos em todo o mundo, representou um
retorno ao formalismo matemático, só que revestido da linguagem algébrica com
uma abordagem internalista e auto-suficiente da Matemática.
O
relacionamento
professor-aluno
permaneceu
inalterado,
sendo
acentuadamente autoritário e centrado na figura do professor. A abordagem desse
2
movimento parecia intencionar a formação do especialista matemático e não a
formação do cidadão.
O estudo da geometria, por sua vez, foi reduzido justamente no momento
em que a escola secundária se democratizava no Brasil. A crise do ensino da
geometria, já bastante acentuada no ensino tradicional, ganhou proporções ainda
mais críticas com o advento da Matemática Moderna no Brasil coincidindo com a
reformulação da legislação educacional (lei 5692/71).
Para Pavanello (1989) essa nova lei permitiu ao professor uma liberdade de
montar “de acordo com as necessidades da clientela” seu próprio programa de
ensino. Esse argumento impresso na lei teve um efeito imediato: de acordo com a
referida autora, a geometria deixou de ser objeto de estudo dos alunos das séries
iniciais do ensino fundamental (1° grau, à época), pois os professores polivalentes
se limitavam a trabalhar a aritmética e as noções de conjuntos.
A preferência pela a álgebra em detrimento da geometria é interpretada por
Pavanello (1989) com uma opção meramente política. Para a autora, o argumento
de que a álgebra conduziria os alunos à execução de operações mecânicas pelo
fato das transformações algébricas serem determinadas por leis formais,
regulamentaram o que podia ou não ser feito. Uma característica desejável para
formar indivíduos seria a obediência a regras pré-estabelecidas, sem questionálas. Pavanello (1989) não defende a tese de que a geometria desenvolve um
espírito argumentador e que a álgebra é fundamentalmente alienante. O que ela
pretende afirmar é que uma formação acadêmica que se pretende completa deve
proporcionar
oportunidades
de
se
desenvolver
todos
os
processos
de
pensamento.
2
2.1.4 O MOMENTO ATUAL
O ensino e a aprendizagem passam por um processo profundo de
renovação, como reflexo da transição da era industrial para a da informação, que
tem proporcionado mudanças cada vez maiores e mais rápidas nas formas de
trabalho, nas relações sociais e em praticamente todas as esferas de atuação do
homem.
A renovação no campo educacional não se restringe apenas aos conteúdos
mas, sobretudo, aos objetivos e metodologias de ensino. Nessa nova perspectiva
a aprendizagem é entendida como um processo de construção cognitiva (DEWEY,
1959) e não mais como um simples processo de transmissão e recepção.
A partir da década de 1980 o movimento de reformulação no ensino
começou a ganhar forma, tendo a globalização como o principal desencadeador
do processo. Nesse ano, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM),
dos Estados Unidos, publicava, sob o título genérico "Uma Agenda para a Ação",
as "Recomendações para o Ensino da Matemática nos Anos 807“.
7
Editadas em Portugal pela Associação de Professores de Matemática.
2
Oito recomendações estavam presentes no texto publicado pelo NCTM,
procurando cobrir todos os aspectos do ensino e da aprendizagem da Matemática,
desde o Currículo à Formação de Docentes, das Metodologias à Avaliação, sem
esquecer os aspectos sociais e organizacionais do ensino. A primeira
recomendação era “colocar a resolução de problemas como ponto de
convergência para o ensino de matemática”, visando provocar mudanças
significativas nas concepções dos professores acerca do que significa ensinar e
aprender, pondo em xeque o antigo modelo8 de ensino centrado na memorização
de regras e técnicas de cálculo.
Segundo Câmara dos Santos (2002), "o papel da resolução de problemas
no ensino de matemática foi, durante muito tempo, pautado pela idéia que
“aprender matemática é resolver muitos problemas”, no sentido que os neurônios
se assemelhariam a músculos, que somente seriam desenvolvidos à custa de
“muita malhação”."
Nessa concepção, a finalidade educativa da resolução de
problemas era a de apenas fixar os conteúdos aprendidos, os quais eram
apresentados aos alunos, seguidos de alguns “exercícios resolvidos”, que
serviriam de modelo para os “exercícios de fixação”. Só então o aluno iria resolver
uma bateria extremamente longa de problemas de mesma estrutura.
O desenvolvimento de estudos em Educação Matemática vieram
evidenciar as limitações da utilização desse recurso de aprendizagem e
demonstraram a importância da resolução de problemas para uma aprendizagem
matemática significativa. O objetivo central da utilização da situação problema
como recurso didático, "é colocar o aluno, guardadas as devidas proporções, na
situação do matemático exercendo sua atividade; o aluno deve, então, face a
8
Modelo ainda presente na prática pedagógica de muitas escolas.
2
problemas desses tipos, ser capaz de realizar TENTATIVAS, estabelecer
HIPÓTESES, TESTAR essas hipóteses e VALIDAR seus resultados." (CÂMARA
DOS SANTOS,2002,p.4 – destaques do autor).
Para desempenhar, com eficiência, funções do mundo atual, os alunos
precisarão de um conjunto mais vasto de competências matemáticas. Nessa
perspectiva, um certo números de competências têm sido apontadas como
essenciais para o trabalho com a matemática escolar, destacando que não se
pretende estabelecer uma seqüência ordenada ou prioridades entre elas. De fato
elas estão inter-relacionadas: a competência em uma área influência o
desenvolvimento de competências em outras áreas.
No Brasil, a reforma curricular no ensino fundamental se materializou
através dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). No texto oficial verificamos
que as reflexões e propostas da área de Educação Matemática são incorporadas.
É nos PCN que pela primeira vez o estudo de grandezas e medidas é organizado
em um bloco de conteúdos específicos e com identidade própria. Anteriormente,
tanto nos currículos oficiais quanto nos livros didáticos, os conteúdos relativos a
grandezas e medidas pertenciam ao bloco da geometria ou da aritmética. O bloco
das Grandezas e Medidas nos PCN recebe o status de articulador entre os
campos da álgebra, geometria e da aritmética.
A compreensão de como ocorreu o desenvolvimento do ensino de
Matemática nas últimas décadas no Brasil ajuda-nos a vislumbrar parte das
respostas para os problemas do ensino de geometria. Outros elementos são
trazidos pela análise da prática docente de professores das séries iniciais.
Buscando ampliar a compreensão acerca das maneiras como se processa
o ensino de geometria nas séries iniciais do ensino fundamental, Fonseca e outras
2
pesquisadoras (FONSECA, et al, 2001) acompanharam sessenta professoras da
rede estadual de Minas Gerais, analisando, entre outros aspectos: o que se
ensina de geometria? Qual o conhecimento de geometria dos professores? Por
que se ensina geometria?
De acordo com as autoras, a descrição de conteúdos relativos a números e
operações é, em geral, feita de modo detalhado pelo professor, quando isto lhe é
solicitado, o mesmo não ocorrendo quando se trata da discussão de elementos do
ensino de geometria. Para elas, tem-se a impressão “de que são poucos
trabalhados em sala de aula e que os professores não se sentem à vontade ao
abordá-los” (p. 21).
Da análise da listagem de conteúdos de matemática trabalhados nas quatro
primeiras séries do ensino fundamental feita pelos professores, as pesquisadoras
concluíram que se pode perceber, em geral, que: (1) o desenvolvimento do
conteúdo de geometria é deixado para o final do ano letivo; (2) o estudo de
geometria tem início com aspectos topológicos (linhas fechadas e abertas; interior
e exterior de uma curva, etc), “o que sugere uma permanência da influência do
Movimento da Matemática Moderna” (p.22); (3) o ensino de geometria está
centrado em atividades de nomeação e classificação das figuras planas mais
conhecidas (quadrado, retângulo, retângulo, círculo); (4) estuda-se figuras planas
antes das espaciais, em uma organização que as autoras identificam com a
“exposição euclidiana”, em oposição às propostas que destacam “a experiência e
a manipulação como pontos de partida (o que sugeriria antepor o estudo dos
sólidos ao estudo das figuras planas)” (p. 22) e, finalmente, (5) é freqüente a
apresentação formal de conteúdos, como ponto, reta, plano, ângulos, entre outros,
nas séries iniciais, “em detrimento da exploração dos conceitos” (p. 22).
2
A partir da análise de três coleções de livros-texto de Matemática para as
séries iniciais do ensino fundamental, as autoras confrontaram as diferentes
visões acerca do ensino de geometria apresentadas nas obras avaliadas com a
prática dos professores em sala de aula. Concluíram que a geometria que se
apresenta na sala de aula aproxima-se de uma abordagem linear e estática.
Os entes geométricos são apresentados às crianças via
desenhos e definições e sucedem-se numa ordem hierárquica
dos conteúdos mais simples aos mais complexos. Os conceitos
geométricos estudados exigem da criança um nível de abstração
incompatível com o desenvolvimento do pensamento geométrico
das mesmas e não apresentam uma preocupação explícita com
as etapas desse desenvolvimento. (FONSECA, et al, 2001, p. 46)
Embora não defendam que o ensino das formas geométricas planas deva
ter início apenas nas séries mais avançadas, afirmam que “esse estudo deve ser
precedido da exploração do espaço físico, do espaço real com o qual a criança
tem contato” (p. 47). Essa mesma proposta é defendida pelos PCN e diversos
pesquisadores da área, a exemplo de Lopes e Nasser (1996); Pires e Campos
(2001); Silva, Lourenço e Côgo (2004), entre outros.
Fonseca e as demais pesquisadoras que acompanharam o grupo de
professores das séries iniciais em processo de formação continuada (FONSECA
et at, 2001) afirmam que, apesar do entusiasmo apresentado pelos educadores
quando da apresentação de novas propostas para o ensino de geometria, poucos
são os seus reflexos imediatos na sala de aula. Para elas,
Parece delinear-se a necessidade de a formação inicial e
continuada do professor não limitar-se à apresentação de
atividades alternativas para o ensino de geometria, mas
contemplar um repensar das concepções desse ensino, do
conteúdo a ser abordado e da intencionalidade e viabilidade de
aplicação dos recursos didáticos à sua disposição. (pp. 50, 51)
2
Neste sentido, trataremos de aprofundar o que se entende por “concepção”
e qual sua influência na prática pedagógica do professor. Destacaremos aspectos
pertinentes à geometria e, mais especificamente, aos conceitos de área e
perímetro, tanto relativos aos professores que investigamos quanto presentes em
estudos diversos sobre o tema.
2.2 O(S) SIGNIFICADO(S) DO TERMO “CONCEPÇÃO”
Segundo o dicionário Houaiss (2003, p.113) a palavra concepção pode
significar: “5. faculdade ou ato de apreender uma idéia ou questão, ou de
compreender algo; compreensão, percepção. 6. modo de ver ou sentir, ponto de
vista; entendimento, noção’.
No campo da Educação Matemática essa palavra ganha notável
importância de estudo e é um conceito chave para a presente investigação.
Entretanto, visitando alguns trabalhos que se dedicam à temática, percebemos
que definir tal conceito é uma intricada tarefa. Diversos pesquisadores têm
enfatizado, notadamente, as concepções dos alunos acerca de conteúdos
específicos, enquanto outros se dedicam a investigar as concepções dos
educandos acerca da matemática e do que significa aprender esta ciência, de uma
maneira mais ampla.
Para Garofalo (1989) as concepções influenciam na forma como os alunos
participam das aulas, bem como pensam, abordam e resolvem as tarefas
matemáticas. De forma semelhante, Winograd (1991) acredita que as concepções
dos alunos têm poder de produzir um efeito sobre a aprendizagem de conceitos,
processos e estratégias e, conseqüentemente, em seu desempenho.
3
Schoenfeld (1985), citado por Ponte (1992), entende que a visão que a
pessoa tem do mundo da Matemática, a forma como aborda suas tarefas e a
forma como representa essa Ciência, tudo isso significa um sistema de
concepções, indicando-nos assim esse pesquisador que elas (concepções) não
operam individualmente.
Thompson (1992) identifica concepções como estruturas mentais que
abrangem tanto as crenças como todo tipo de conhecimento adquirido através da
experiência, conceitos, proposições, regras, imagens mentais, preferências, entre
outros.
Alguns autores, porém, associam concepções a convicções, visão,
expectativas, representações. Schoenfeld (1992) define concepção como
“compreensões e sentimentos individuais que moldam as formas como cada um
conceitualiza e se envolve no comportamento matemático” (p.158). Ponte (1992),
por sua vez, entende que a concepção fornece meios de ver o mundo e organizar
conceitos, sendo este o significado que adotaremos em nosso estudo, quando nos
referirmos ao termo nas páginas e capítulos seguintes.
Como ponto de partida para identificar as concepções dos professores,
objeto de estudo dessa pesquisa, consideramos as concepções dos alunos,
identificadas como resultado de estudo realizado no Pró-Matemática, um acordo
de cooperação franco-brasileiro com o objetivo de melhorar a qualidade de ensino
nas séries iniciais do ensino fundamental.
Como parte desse programa, foi criado um grupo permanente de pesquisa
que estuda, em particular, as grandezas geométricas. Esse grupo, particularmente
o pólo-Recife juntamente com o consultor francês Gérard Perrot, identificou alguns
3
dos obstáculos referentes à aprendizagem das grandezas geométricas pelos
alunos, resultantes de suas concepções relativas aos conceitos observados.
Um dos obstáculos observados nesses estudos (PERROT & CÂMARA DOS
SANTOS, 1999) é que os alunos acabam associando a idéia de área à operação
de multiplicação e perímetro à de adição. Tanto os conceitos de área quanto os de
perímetro são apresentados aos alunos quase que no mesmo momento, o que
pode possibilitar a confusão entre as duas grandezas.
Os alunos quase nunca são convidados a calcular área e perímetro de
polígonos sem particularidades especiais, os injustamente chamados de
“polígonos quaisquer”. As figuras não poligonais, com exceção da circunferência,
sofrem do mesmo abandono. Calcular área e perímetro de figuras não poligonais
não faz parte dos trabalhos dos alunos em sala de aula.
Os erros e lacunas mencionados são interpretados pelas pesquisadoras
Régine Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989) como conseqüência do
tratamento dos problemas que envolvem o conceito de área. Segundo suas
pesquisas, existem dois tipos de concepção, a concepção geométrica e a
concepção numérica, que são desenvolvidas pelos alunos. Na maioria dos casos,
porém, as duas concepções atuam de forma isolada uma da outra, ou seja, os
alunos não estabelecem relações entre elas.
As concepções numéricas são aquelas nas quais o aluno só considera os
aspectos pertinentes ao cálculo. As concepções geométricas, segundo Balacheff
(1988), são aquelas relacionadas à forma da figura. Entre elas há as concepções
em que o aluno confunde área com superfície e perímetro com contorno. Para ele,
uma vez que a forma é conservada, qualquer modificação na área corresponderia,
necessariamente, a uma modificação no perímetro e vice e versa. Tais aspectos
3
estão presentes, por exemplo, nas pesquisas de Câmara dos Santos e Gerard
Perrot (1998).
Régine Douady e Marie–Jeanne Perrin-Glorian (1989) apresentaram uma
seqüência de aprendizagem para alunos de 9 a 12 anos utilizando o quadro
teórico da “dialética ferramenta-objeto e jogo de quadros9 “ com o objetivo de
associar um número máximo de áreas (principalmente polígonos) e fazer
comparações e cálculos.
As autoras partem do pressuposto de que é necessário diferenciar área de
superfície e área de número antes de se constituir área com grandeza autônoma.
Para tanto, o estudo de área deve distinguir três pólos: o geométrico, que
considera superfícies como parte do plano; o pólo da grandeza, que se refere às
áreas; e o pólo numérico, que diz respeito às medidas. Os pesquisadores Lima &
Baltar (2002) completam o jogo de quadros quando lembram que a área é uma
grandeza bidimensional cuja relação de grandezas (altura x largura, por exemplo)
conduz necessariamente ao quadro algébrico funcional, ao qual pertencem as
fórmulas que expressam a área de figuras geométricas.
No esquema abaixo são apresentados os quatros quadros. Eles são
propostos por Lima e Baltar (2002) para organizar os problemas relativos ao
conceito de área que podem ser abordados no Ensino Fundamental.
Quadro Geométrico
9
Quadro
Quadro da Medida
da
SegundoGrandeza
Lima & Baltar (2000) o do termo quadros usado como um termo técnico por Douady &
Perrin-Glorian (1989) pode ser traduzido como domínio de conceitos.Essa é a opção feita pela presente
pesquisa.
Quadro Algébrico Funcional
3
Para Douady e Perrin-Glorian (1989), o jogo de quadros geométricos e
numéricos facilita a aprendizagem dos alunos sobre a noção de área e favorece
uma dissociação dos conceitos de área e perímetro.
Passaremos agora a observar separadamente os termos usados por essas
pesquisadoras, que usamos como referência para analisar os dados de nossa
investigação.
Segundo Douady & Glorian, um quadro, é constituído de relações entre
objetos de um ramo da Matemática e de suas formulações, juntamente com as
imagens mentais que o sujeito associa a estes objetos e relações em um dado
momento. Dois quadros podem admitir os mesmos objetos e diferir por imagens
mentais da problemática desenvolvida. Por isso, as imagens mentais têm um
papel importante como ferramenta.
A mudança de quadros é um mecanismo que possibilita obter formulações
diferentes de um problema, sem que estas sejam necessariamente equivalentes,
permitindo um novo acesso às dificuldades encontradas e o desenvolvimento de
ferramentas e técnicas que não surgem nas primeiras formulações.
O jogo de quadros representa as mudanças de quadros provocadas pelo
professor através de situações de aprendizagem propostas por ele para os alunos,
com o intuito de fazer progredir as concepções destes. Vale observar que em
3
nossa pesquisa procuramos verificar se os professores escolhidos percebem a
passagem do quadro geométrico para o numérico e vice-versa.
As pesquisas de Douady e Perrin-Glorian (1989) derivam de outros estudos
da linha da didática francesa que se atêm aos fenômenos do ensino–
aprendizagem
em
Matemática,
principalmente
na
noção
de
obstáculo.
Desenvolvida por Guy Brousseau, esta noção não se caracteriza por uma
dificuldade ou uma falta de conhecimento, mas expressa um conhecimento, uma
concepção, compreendendo um meio de transformar o entendimento do
significado e da função do erro na aprendizagem da Matemática, como sugerem
Lima & Baltar (2002).
Esses autores citam uma passagem de um texto de Artigue, de 1991, que
trata do que acabamos de mencionar em relação à reabilitação da idéia comum do
significado e da função do erro e que vale a reprodução:
O erro e o fracasso não têm o papel simplificado que se quer fazê-los
desempenhar.O erro não é apenas o efeito da ignorância, da
incerteza, do acaso que se crê nas teorias empiristas da
aprendizagem, mas o efeito de um conhecimento anterior, que tinha
seu interesse, seus sucessos, mas que agora se revela falso ou
simplesmente inadaptado.Os erros deste tipo não são erráticos e
imprevisíveis, eles se constituem em obstáculos.Tanto no
funcionamento do professor quanto no do aluno, o erro é constitutivo
do sentido do sentido do conhecimento adquirido.(Apud Lima &
Baltar, 2002, p. 18)
Como informa Chiummo (1998), a noção de obstáculo se preocupa em
analisar a evolução do aluno e a gênese histórica de um conhecimento.
O texto de Marie-Jeanne Perrin-Glorian, traduzido por Vicenzo Bongiovanni
e Saddo Ag Almouloud, traz uma caracterização dos obstáculos que será
reproduzida aqui e que ajuda a esclarecer essa noção:
3
a) Um obstáculo é um conhecimento uma concepção, não uma dificuldade ou
uma falta de conhecimento;
b) Este conhecimento produz respostas adaptadas num certo contexto,
freqüentemente encontrado;
c) Ele produz respostas falsas fora deste contexto. Uma resposta correta e
universal exige um ponto de vista notavelmente diferente;
d) Além disso, este conhecimento resiste às contradições com as quais ele é
confrontado e ao estabelecimento dum conhecimento melhor. Não basta
possuir um conhecimento melhor
para que o precedente desapareça. É,
então, indispensável identificá-lo e incorporar a sua rejeição ao novo saber;
e) Depois da tomada de consciência de sua inexatidão, ele continua a
manifestar-se de modo intempestivo e obstinado.
De acordo com Brousseau, os obstáculos podem ser de origem
epistemológica, dos quais não se pode nem se deve esquivar, pois fazem parte do
conhecimento que se tem em vista; de origem didática, que surgem a partir da
estratégia adotada para o ensino e admite desenvolver, no período de
aprendizagem, conhecimentos equivocados ou inacabados que se manifestarão
mais tarde como obstáculos ao desenvolvimento da conceituação, sendo, por isso,
inevitáveis e inerentes à transposição didática; ou de origem ontogenética,
surgidos a partir das limitações momentâneas do sujeito no seu processo de
desenvolvimento.
O reconhecimento de um obstáculo implica reformular o contrato didático
que os professores fazem com a turma. Surge então outra categoria da didática
francesa que está interligada com o estudo que pretendemos realizar. O contrato
3
didático trata-se em linhas gerais, de um conjunto de comportamentos do
professor esperados pelos alunos e vice-versa.
O trabalho de Ana Chiummo (1998) estabelece características de um
contrato didático tomando como referência M.Henry (1991):
a) a relação professor aluno depende de um grande número de regras e de
convenções que não colocam sistematicamente em jogo o saber;
b) a aquisição do saber pelos alunos é a causa fundamental do contrato didático.
A cada nova etapa, o contrato didático deve ser renovado e renegociado. A
maior parte do tempo, esta negociação passa despercebida;
c) a manifestação do contrato didático acontece, principalmente, quando ocorre a
transgressão das regras por um dos parceiros da relação didática. Muitas
vezes a origem das dificuldades tem sua gênese nos efeitos de um contrato
didático mal colocado ou incompreendido;
d) As escolhas pedagógicas, o estilo de trabalho pedido aos alunos, os objetivos
das atividades, a formação e as concepções do professor relativas ao objeto
de conhecimento, as condições de avaliação, entre outros, fazem parte dos
determinantes essenciais do contrato didático.
As noções relativas ao contrato didático podem constituir um importante
referencial de análise das relações entre professor, alunos e os saberes
pertinentes a uma situação didática, objetivando identificar caminhos para a
melhoria das estratégias metodológicas que permitissem ao professor alcançar os
objetivos educacionais traçados. Em nosso caso, centramos nosso estudo em um
ponto específico do último item apresentado, as concepções do professor relativas
aos conceitos de área e perímetro.
3
2.3
EM TORNO DAS CONCEPÇÕES DOS PROFESSORES
Partindo do princípio de que o professor é o responsável pela organização
das aprendizagens estando, portanto, em um lugar importante para influenciar as
concepções dos alunos, é que estabelecemos um dos objetivos da presente
pesquisa: verificar as relações que possam existir entre suas concepções e as
concepções dos professores. Podemos também nos perguntar se existe alguma
relação entre as concepções dos professores e suas práticas em sala de aula.
Para realizar essa tarefa precisamos analisar as interfaces do que se considera
uma concepção.
Para Ponte (1992), as concepções são de natureza essencialmente
cognitiva, atuando como uma espécie de filtro, selecionando o que considera
indispensável. Segundo este autor, as concepções estruturam o sentido das
coisas e, por outro lado, atuam inibindo e limitando nossas possibilidades de
atuação. Ele ainda afirma que: “as concepções formam-se num processo
individual - como resultado da elaboração sobre a nossa experiência - e social como resultado do confronto das nossas elaborações com as dos outros”
(PONTE,1992, p.1).
Sendo assim, nossas concepções sobre a Matemática resultam das
concepções sociais dominantes e de nossa experiência pessoal e profissional com
a disciplina. Como citamos anteriormente, as principais tendências de ensino da
Matemática contribuíram para a formação de concepções ainda tão presentes,
como a que considera o cálculo sua parte mais substancial ou a que a reduzem ao
aspecto dedutivo, que consiste essencialmente em demonstração de proposições
a partir de axiomas ou ainda a concepção que a considera uma ciência desligada
3
da realidade, onde prevalece o rigor e não há espaço para erros, dúvidas ou
hesitações.
Todas essas concepções têm raízes históricas e se formaram no período
que predominava um ensino fortemente elitista, mas não podemos esquecer de
um componente importante nesse processo que é a experiência dos professores.
Ponte (1992) destaca em seus estudos que, apesar do surgimento de novas
orientações curriculares, da participação dos professores em cursos de formação
em serviço, da leitura de materiais educativos, entre outros, suscitarem novas
perspectivas em relação à prática pedagógica, há uma tendência dos professores
se apropriarem desse discurso renovador, apresentados nesses momentos de
formação, e acomodá-lo as práticas pré-existentes.
O autor procura fazer a distinção entre as concepções manifestadas pelos
professores e as concepções ativas. Segundo ele existe uma distância entre
esses dois tipos de concepções.
As concepções manifestadas podem sofrer uma influência
significativa do que o discurso social e profissional é tido como
adequado, mas não serem (parcial ou integralmente) de informar a
prática.Isto pode ocorrer por uma variedade de factores: (a) falta de
recursos materiais e organizativos, (b) falta de recursos conceptuais
(não saber como vencer as dificuldades que a sua concretização
suscita), ou ainda (c) pelo esforço exagerado que se antevê como
necessário. Admitindo a distinção entre estes dois tipos de
concepções, podemos dizer que existe (por definição!) uma relação
forte entre as concepções ativas e as práticas, podendo ser mais
forte ou mais fraca a relação entre as concepções manifestadas e
as práticas (e daí os problemas da consistência). (PONTE, p.25,
1992).
Podemos identificar nos estudos de Ponte (1992) a possibilidade de
conflitos entre as concepções e as práticas. A resolução dos conflitos, segundo
ele, passa por dois aspectos: a acomodação (como vimos, forma mais imediata,
3
mais econômica e menos traumática para o professor) e a reflexão, que procura
mediar e ver o conflito sob diversos ângulos.
No que diz respeito ao ensino de área e perímetro, o que foi comprovado
nos estudos de Baltar & Rousset-Bert (1999), é que, na opinião de 52% dos
professores investigados, tais conteúdos são importantes na vida social e noções
consideradas fáceis de ensinar. Apenas 18% dos professores consideram que os
alunos não têm dificuldade em aprendê-las.
Estamos diante de uma enorme contradição. De um lado as dificuldades de
aprendizagem dos alunos são visíveis e persistentes e, de outro, os professores
que, de acordo com os entrevistados no trabalho acima citado, não reconhecem
sua existência.
Algumas hipóteses foram sugeridas para essa contradição, nos estudos de
Bellemain e Lima (2000). No entanto, três hipóteses merecem destaque:
•
As escolhas da transposição didática do ensino fundamental brasileiro evitam
os aspectos problemáticos da construção do conceito de área, dando ênfase a
outras propriedades do conceito, que não provocam dificuldades conceituais
significativas;
•
Os professores pesquisados desconhecem os resultados das pesquisas e a
amplitude do campo de problemas que dão sentido ao conceito de área e uma
ilusão de transparência quanto à aprendizagem dos conceitos de área e
perímetro;
•
Os professores pesquisados desconhecem aspectos do conceito de área do
ponto de vista matemático e podem cometer, eles próprios, alguns dos erros
observados nos alunos.
4
Os primeiros resultados das pesquisas de Bellemain & Lima (2000)
indicaram a pertinência das hipóteses acima citadas, ou seja, a escolha da
transposição didática parece evitar os aspectos problemáticos da construção
destes conceitos. Além disso, há lacunas na formação dos professores de
matemática, tanto do ponto de vista conceitual quanto didático, no domínio das
grandezas geométricas e suas medidas.
Na investigação realizada por estes autores observa-se que a maioria dos
professores associava área a um campo restrito de problemas e desconhecia os
resultados de investigações relativos ao ensino-aprendizagem desse conceito.
Procuramos, com nossa pesquisa, trazer contribuições às investigações
relativas ao tema, aprofundando o estudo de elementos relativos aos conceitos
em tela, em especial no que diz respeito ao professor das séries iniciais do ensino
fundamental e sua prática pedagógica, o que apresentaremos no Capítulo
seguinte.
2.4 – O ENSINO APRENDIZAGEM DE ÁREA E PERÍMETRO
2.4.1 RECOMENDAÇÔES NOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
DE MATEMÁTICA – PCN
Os conteúdos matemáticos a serem trabalhados no ensino fundamental (1ª
a 8ª séries) estão divididos, nos Parâmetros Curriculares de Matemática – PCN,
em quatro blocos: “Números e operações”; “Espaço e forma”; “Grandezas e
medidas” e “Tratamento da informação”.
Bellemain e Lima (2002) destacam a importância da constituição de um
bloco dedicado às grandezas e medidas, no documento, afirmando que “é
possível que disso resultem reorientações futuras dos currículos de Matemática no
4
ensino Fundamental, nos quais, atualmente, se observa, em geral, uma
abordagem bastante insatisfatória desse campo conceitual”. (p.47)
De acordo com o texto dos PCN, o bloco das Grandezas e Medidas:
(c)aracteriza-se por sua forte relevância social, com evidente
caráter prático e utilitário. (...) As atividades em que as noções
de grandezas e medidas são exploradas proporcionam melhor
compreensão de conceitos relativos ao espaço e às formas.
São contextos muito ricos para o trabalho com os significados
dos números e das operações, da idéia de proporcionalidade
e escala, e um campo fértil para uma abordagem histórica”.
(BRASIL, PCN – Matemática, 1ª a 4ª séries, p.56).
O documento destaca, portanto, a riqueza do campo quanto às
possibilidades de inter-relação com outros conteúdos da matemática, bem como
de uso de metodologias de ensino diversas, a exemplo do recurso à História da
Matemática. Recomenda, para o segundo ciclo do ensino fundamental (3ª e 4ª
séries), o trabalho com o “cálculo de perímetro e de área de figuras desenhadas
em malhas quadriculadas e comparação de perímetros e áreas de duas figuras
sem uso de fórmulas”. (p. 90)
Nas “Orientações Didáticas”, os PCN ressaltam que, apesar dos alunos
lidarem com situações envolvendo marcação de tempo ou medidas de massa,
capacidade e temperatura, “isso não significa que tenham construído uma sólida
compreensão dos atributos mensuráveis de um objeto, nem que dominem
procedimentos de medida” (p. 130). Recomendam, portanto, a vivência de
situações diversificadas pelos alunos, envolvendo grandezas físicas, para que
possam ser capazes de identificar o que e como determinado atributo será
medido, e o que significa medir.
4
2.4.2 PERÍMETRO E ÁREA NOS LIVROS TEXTOS DE MATEMÁTICA DO 1° e 2°
CICLOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Utilizando o Guia de Livros Didáticos – PNLD 2004, da área de Matemática
para a 1ª a 4ª séries do ensino fundamental, realizamos um levantamento para
identificar a série em que os conteúdos que tomamos como objeto de estudo são
abordados ao longo de cada coleção apresentada (Quadro resumo anexo). Para
tanto, lançamos mão das informações contidas apenas nas resenhas elaboradas
pelos avaliadores, as quais descrevem, entre outros aspectos, os conteúdos
desenvolvidos em cada livro da coleção.
Vale destacar que não realizamos uma análise da forma ou seqüência
como os conteúdos são abordados nos livros, o que pode constituir um trabalho
de pesquisa não só interessante, mas também necessário, considerando a
importância do uso do livro didático pelo professor. Também é importante ressaltar
que a avaliação foi feita considerando que a descrição dos conteúdos de cada
volume corresponde ao que efetivamente nele se apresenta, sem qualquer
omissão por parte de quem elaborou a resenha.
Verificamos a presença do conteúdo por meio da especificação dos termos
“perímetro”, “área”, ou ainda, “contorno” e “medida de superfície” nas
apresentações (detalhes na tabela presente nos Anexos). Na grande maioria das
31 coleções apresentadas no Guia, os conteúdos citados são abordados nos
livros da 3ª e 4ª séries. Apenas quatro coleções abordam um ou mais desses
temas a partir da 2ª série e uma única coleção trabalha com a idéia de “contorno”,
já no livro da 1ª série. Do mesmo modo, apenas uma coleção utiliza fórmulas para
o cálculo de áreas e algumas coleções referem-se especificamente a “perímetro
de polígonos”, bem como ao estudo das “relações entre área e perímetro”. Em
4
uma delas destaca-se o trabalho com unidades convencionais e nãoconvencionais e a comparação de área usando sobreposição e malha
quadriculada.
Deste modo, concluímos que a maior parte das coleções segue as
recomendações dos PCN quanto ao ciclo em que tais conteúdos devem ser
inseridos no ensino fundamental sem considerarmos, entretanto, a qualidade do
modo como tal abordagem é feita, o que deve ser fruto de pesquisas relativas ao
tema.
CAPÍTULO 3
4
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS DA PESQUISA
No presente Capítulo, apresentamos e analisamos os dados coletados junto
a 20 professoras de duas escolas da rede pública municipal do Recife-PE, por
meio da resolução de um conjunto de questões relativas ao nosso tema de
pesquisa, por meio do qual buscamos investigar suas concepções sobre área e
perímetro, considerando os aspectos conceituais e metodológicos.
3.1 OS ESPAÇOS E OS SUJEITOS DA PESQUISA
As duas escolas selecionadas para o estudo fazem parte da rede municipal
de ensino do Recife-PE e estão localizadas na periferia da capital pernambucana.
Ambas são escolas que atendem exclusivamente alunos do grupo IV e V (5 e 6
anos de idade, correspondentes a dois níveis da Educação Infantil – e 1ª a 4ªsérie
do ensino fundamental).
Essas escolas foram selecionadas por se localizarem na área mais
populosa do Recife e por ter o mesmo quantitativo de turmas. Procuramos escolas
com condições semelhantes: de infraestrutura, de comunidades, de acesso e de
equipe.
Participaram da entrevista dez professoras de cada escola. Trabalhamos
com a quantidade total de professoras das duas escolas, mas apenas os
professores de uma das escolas foram convidados a responder as questões de
aprofundamento relativas aos conteúdos de área e perímetro (nos Anexos), para
que pudéssemos fazer uma análise mais detalhada e qualitativa do processo de
resolução das mesmas.
4
Como o objetivo não era comparar as professoras das escolas, nomeamos
as professoras com as letras maiúsculas de A a T, sendo as dez primeiras
pertencentes ao quadro de uma escola e as dez últimas, da outra escola.
O quadro abaixo mostra o perfil acadêmico das professoras que
participaram da pesquisa.
Quadro 01 – Perfil profissional das professoras
PROFESSORA
FORMAÇÃO
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
História
Letras
Letras
Pedagogia
Pedagogia
Pedagogia
Pedagogia
Pedagogia
Pedagogia
Pedagogia
Normal Médio
Pedagogia
Biologia
Normal Médio
Letras
Normal Médio
Pedagogia
Pedagogia
Normal Médio
Pedagogia
TURMA
(ensino fundamental)
Grupo IV
1ª série
4ª série
4ª série
3ª série
3ª série
2ª série
2ª série
4ª série
1ª série
4ª série
2ª série
2ª série
4ª série
4ª série
2ª série
Grupos IV e V
3ª série
4ª série
1ª série
TEMPO DE
MAGISTÉRIO
22 anos
9 anos
8 anos
9 anos
28 anos
20 anos
20 anos
5 anos
22 anos
21 anos
1 ano
18 anos
15 anos
26 anos
32 anos
2 anos
16 anos
26 anos
3 anos
19 anos
É importante observar que, das 20 professoras entrevistadas, apenas
quatro não tinham formação superior, embora possamos observar a presença de
cinco delas com curso de graduação em áreas específicas (Letras, História e
Biologia), nenhuma das quais com formação em Matemática. A maioria tem mais
de 10 anos de exercício de Magistério, com quase metade delas com uma prática
de sala de aula igual ou superior a 20 anos.
4
Considerando o tempo de permanência na atividade docente, vale destacar
a importância que teriam os cursos de formação continuada na promoção de
avanços nas práticas dos professores de todos os níveis de ensino, em especial
se esses forem capazes de produzir mudanças em suas concepções, mais do que
ampliações de seu repertório de atividades didáticas. Para tanto, faz-se
necessário identificar o que pensam para, por meio de ações não convencionais e
reflexões sobre estas ações, realizar transformações efetivas em sua atividade em
sala de aula.
De acordo com os dados de uma pesquisa realizada no ano de 1997 pelo
MEC, que gerou o documento “Perfil do Magistério da Educação Básica – Censo
do professor 1997”, a maioria dos professores que atuavam à época nos dois
primeiros ciclos do ensino fundamental no estado de Pernambuco (cerca de 71%
do total) tinha, no máximo, até o ensino médio completo. Este índice era bastante
próximo dos valores nacionais para profissionais que atuavam nesse nível de
escolaridade.
De acordo com dados do Censo da Educação Básica realizado pelo
INEP/MEC no ano de 2005, dos 40.017 docentes que atuam da 1ª a 4ª séries da
educação básica em Pernambuco, seja na zona urbana ou rural, um total de
14.800 possui curso superior completo, o que corresponde a cerca de 37% do
total. Comparando os índices das duas pesquisas, constata-se que o percentual
de professores, desse nível de ensino, que possuem curso superior completo,
passou de 29% para 37% na última década. Tal aumento representa um avanço
ainda muito tímido, se considerarmos a necessidade de melhoria da formação dos
docentes que atuam no ensino fundamental, em especial frente aos resultados
4
que os alunos apresentam nos sistemas de avaliação nacional e internacional do
qual participam.
3.2 AS CONCEPÇÕES DOS SUJEITOS ACERCA DE NOSSO OBJETO DE
ESTUDO: O QUE PENSAM OS PROFESSORES SOBRE ÁREA E PERÍMETRO?
Na entrevista, entre as questões voltadas para a identificação das
concepções dos professores sobre área e perímetro, destacamos as seguintes: (i)
Se um aluno lhe pergunta o que significa área e perímetro de uma figura, o que
você responde? (ii) Você acha que existe diferença entre área e perímetro?
Justifique sua resposta; (iii) Abaixo temos algumas figuras geométricas. Há
alguma(s) que você acha que não serve(m) para trabalhar o cálculo de área e
perímetro? E por quê?
e (iv) Você acha que existe diferença entre área e superfície? Justifique sua
resposta.
As perguntas (i), (ii) e (iv) visavam levantar dados que nos permitissem
identificar o significado que os professores atribuem à área e perímetro e suas
respostas foram comparadas com as respostas dadas pelos professores
analisados na pesquisa de Lima (1995), resultados que apresentamos adiante.
3.2.1 CONCEPÇÕES SOBRE ÁREA
4
Em resposta à questão (iv), seis das 10 professoras entrevistadas,
consideraram que não há diferença entre área e superfície e uma professora não
respondeu a pergunta. As três professoras que consideram área e superfície como
sendo diferentes, afirmaram:
Professora A: “Sim, porque elas se diferenciam entre si”.
Professora C: ”Sim, área é a parte interna de uma figura, objeto ou lugar, e
superfície é a parte externa das mesmas”.
Professora D: "Sim, área seria toda a figura e superfície só uma parte”.
Podemos perceber nas respostas das professoras que, mesmo indicando
que área é diferente de superfície, as mesmas não conseguem apontar tais
diferenças claramente ou, quando o fazem, suas justificativas não são adequadas.
Na questão (iii) apenas uma não respondeu a questão. O círculo foi apontado por
cinco das 10 professoras entrevistadas como sendo uma figura que não pode ter
sua área e perímetro calculados. Para essas professoras, apenas as figuras
formadas por segmentos de retas podem ter um comprimento. As demais
professoras responderam de variadas formas:
Professora A: “Trabalho as figuras geométricas, som, pinturas, contornos, cores”.
Professora B: “Todas servem, porém algumas só vão ser mais compreensíveis
no fundamental que são: círculo e trapézio, pois o poder de abstração está maior
nessa fase”.
Professora D: “Não. Na verdade acho que essa marcada (trapézio) seria a mais
difícil”.
Professora E: “Para o cálculo da área seria o quadrado e as demais figuras seria
para calcular o perímetro. Porque o quadrado está pintado aparentando ter
calculado a área”.
4
Na análise das respostas à pergunta (i) faremos uma comparação das
respostas das professoras com as apresentadas em um estudo de Lima (1995),
pois a questão é semelhante à usada na pesquisa que envolveu professores de
matemática que realizavam um curso de Especialização.
No estudo, o pesquisador toma como ponto de partida uma atividade de
sondagem desenvolvida por ele com um grupo de 35 professores de matemática.
A atividade consistia em duas perguntas abertas feitas a esses professores: A que
você associa a palavra área? E a que você associa a palavra perímetro?
O resultado mostrou que uma parcela significativa de 11 professores, dos
35 pesquisados, associa área a espaço; oito deles associam área a uma região
plana; um grupo de 10 desses professores afirma que área é a medida de uma
superfície; um professor afirma que área é o produto de duas medidas e as
demais respostas, segundo o autor, não puderam ser classificadas, pois
continham ambigüidades.
A questão (i) de nosso estudo foi respondida por um grupo de 20
professoras, tendo quatro delas afirmado que área significa espaço; cinco
professoras consideram que área significa medida de uma superfície; três
afirmaram que área é a parte interna de uma figura; duas professoras afirmaram
que não saberiam responder ao aluno; uma professora respondeu que seria a
soma dos triângulos e outra professora afirmou que área é o cálculo de toda
extensão da figura. Três delas consideraram que não existe diferença entre área e
perímetro.
Organizando os resultados acerca do conceito de área a sob o ponto de
vista dos quadros propostos por Douady e Perrin-Glorian (1989), evidencia-se
que, ao considerar ou associar área a uma região plana, o professor situa essa
5
concepção apenas no quadro geométrico, o que está presente nas duas
pesquisas.
Uma zona fronteiriça entre a concepção geométrica e a concepção de área
como uma propriedade da região aparece, segundo Lima (1995), quando o
professor associa área a espaço. Um grupo, como vimos anteriormente, associa
área a medida de uma superfície, situando essa concepção predominantemente
no quadro numérico, ou seja, tomando como parâmetro os quadros, poderíamos
inserir essa concepção no quadro de medida. No entanto, lembra-nos Lima
(1995), no cotidiano do ensino em nosso país a palavra “medida” é utilizada para
significar tanto grandeza quanto a medida da grandeza. Por isso evitaremos uma
leitura apressada dos dados e afirmamos que apenas com uma análise mais
precisa poderíamos delimitar melhor
a concepção destes professores neste
aspecto.
3.2.2 CONCEPÇÕES SOBRE PERÍMETRO
No estudo de Lima (1995), o que sobressai é o considerável número de
professores que afirmou que perímetro é a soma dos lados ou é a soma das
medidas dos lados, ou ainda a soma dos lados de uma figura geométrica.
No presente estudo, identificamos seis professores para os quais perímetro
compreende a soma dos lados de uma figura, entre dez que foram entrevistados.
Algumas das definições apresentadas por ela são apresentadas em seguida.
Para a Professora B, perímetro seria a soma de todos os lados de uma
figura geométrica e a área o cálculo de toda extensão dessas figuras. Para a
Professora C, a área mede o comprimento e a largura de um objeto ou lugar (parte
interna) e o perímetro seria o contorno de uma determinada área.
5
A Professora E afirmou que a área é a parte interna de uma figura
geométrica e perímetro são as linhas que formam (contornam) as figuras
geométricas. Para a Professora F, área é a medida de uma figura e perímetro a
medida do contorno de uma figura.
Segundo a Professora H, área é a medida de uma superfície plana e
perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica plana, é a linha que
limita uma determinada área ou região.
De acordo com a Professora I, perímetro é a soma das medidas dos lados
de um polígono e área a medida de uma figura. Segundo a Professora J, área é a
medida de uma superfície plana e perímetro a medida do contorno de uma figura
geométrica plana.
De acordo com as respostas das professoras de nosso estudo, apenas uma
referiu-se ao perímetro como sendo a soma das medidas dos lados de um
polígono, embora várias delas tenham dado respostas a outras questões da
pesquisa que evidenciam a concepção de que só é possível determinar a área e o
perímetro de figuras poligonais.
3.2.3
A PRESENÇA DO CONTEÚDO NA SALA DE AULA
Para identificar a presença do estudo de área e perímetro na sala de aula,
foram feitos os seguintes questionamentos:
(a) A turma com que você trabalha esse ano estudou área e perímetro?
(b) Você já trabalhou esses conteúdos (área e perímetro) em alguma turma que
lecionou?
(c) A partir de qual série esses assuntos (área e perímetro) podem ser abordados
na sala de aula? Por que?
5
(d) Você acha que esses assuntos (área e perímetro) são trabalhados nas salas
de aula da rede pública? Por que?
De acordo com as respostas dadas a estas questões, apenas três das dez
professoras abordaram esses conteúdos na sala de aula no ano corrente. De dez
professoras, cinco já trabalharam com área e perímetro em alguma turma que
ensinou antes e, para quatro professoras, o ensino de área e perímetro deve
acontecer a partir da 3ª e 4ª séries. Três professoras consideram que na educação
infantil já é possível trabalhar com área e perímetro; duas professoras
consideraram que na primeira série é possível falar sobre área e perímetro com os
alunos e apenas uma professora não respondeu a pergunta.
Esse mesmo grupo de professoras descreveu como seria a aula que dariam
para os alunos:
Se você fosse abordar esses assuntos (área e perímetro) em uma turma
como seria sua aula?
Professora K: Com dinâmicas e figuras de várias formas geométricas possíveis,
também trabalharia em grupos com alunos.
Professora L: sinceramente não sei
Professora M: acho que começaria medindo a perímetro do bureau, quadro e
área também.
Professora N: não tenho a menor idéia
Professora O: Iniciaria mostrando a semelhança dos objetos da sala com as
figuras geométricas e mostrando que os lados tem medidas. Quanto à área (base
x altura) faria a medida prática da sala.
Professora P: Começaria com brinquedos simples, blocos lógicos e isomorfos,
depois aulas com lugares onde teria esses assuntos então daria a aula com
5
especificação
e
por
fim
continuaria
mostrando
em
outras
matérias
(interdisciplinaridade).
Professora Q: No pátio do colégio iríamos brincar, observar, medir com passos,
fitas, registrar, desenhar reduzidamente como na foto. Mostrar como o Homem
reduz como se estivesse observando longe.
Professora R: Um pouco lúdica, através do jogo utilizando a linguagem dos
alunos e os instrumentos adequados de medida.
Professora S: Revisão das quatros operações, trabalharia figuras, régua, com
atividades, problemas
Professora T: Exploração do espaço da própria sala de aula, revendo conceitos,
nomes de figuras geométricas já trabalhadas, etc. A partir de então, iria propor
situações que levassem os alunos a se aproximarem mais do que seria realmente
trabalhado, utilizando recursos como corda, papel ofício, objetos de formas
variadas...e só depois dessas atividades partiria para uma explanação sobre o
assunto.
Que atividades você considera interessantes para produzir a noção de área e
perímetro no seu aluno?
Professora A: Na minha série usamos figuras geométricas, noções.
Professora B: Fazer medições da sala de aula, calcular seu perímetro e área,
desenhar a planta da sala, trabalhar escala, fazer maquetes, utilizar figuras
concretas construídas pelos alunos.
Professora C: Dobraduras, contornos de objetos ou lugares com barbantes
comparações de figuras geométricas, etc.
Professora D: Atividades que usasse o concreto, tangran etc.
5
Professora E: Quando estiver utilizando a planta de uma casa ou da escola,
pintando ou desenhando as figuras e utilizando as medidas de comprimento e
superfície de figuras planas.
Professora F: medir o espaço físico da sala de aula, os materiais como livros,
cadernos, mesas.
Professora G: As atividades relacionadas à própria vivência do aluno.
Professora H: Atividade de medida de comprimento da sala e de figuras
geométricas planas.
Professora I: Verificar e medir o espaço físico na sala de aula, os objetos que
existem na sala, bem como, cadeira e outros.
Professora J: Fazer com que a criança trabalhe com espaço em que vive: a sala
de aula, o pátio da escola...
Podemos verificar na transcrição feita acima que muitas atividades lúdicas
foram descritas e muitas delas, simples de serem feitas. Vale destacar que,
embora seja um conteúdo que está sendo abordado nas séries iniciais do ensino
fundamental, há professores que afirmam não fazer a menor idéia de como
trabalhá-los em sala de aula.
De acordo com as respostas das professoras o conteúdo é fácil de se
ensinar, é importante, tem atividades diferentes e lúdicas com metodologias ativas
que favorecem a aprendizagem e deve ser ensinado já nas primeiras séries do
ensino fundamental.
Entretanto, esses mesmos conteúdos nunca foram trabalhados por metade
do grupo de professoras em todo período de docência das mesmas e a falta de
maturidade dos alunos foi apontada pela maioria das professoras como o fator que
mais dificulta a aprendizagem. Entendemos que o termo “maturidade”, utilizado
5
pelas professoras, refere-se, na verdade, ao domínio das operações básicas pelo
aluno, como veremos adiante.
3.3 A RELEVÂNCIA DO CONTEÚDO PARA A FORMAÇÃO DO ALUNO
Procuramos identificar qual a importância que as professoras atribuem para
o ensino de área e perímetro. Foram feitas duas perguntas:
(I) Você acha importante trabalhar com os alunos o cálculo área e perímetro de
figuras geométricas?Cite as figuras geométricas que você trabalha?
(II) Você acha que esses assuntos (área e perímetro) são importantes para a
formação do aluno? Por que?
Na questão (I) as figuras mais lembradas pelos professores foram
triângulos, quadrados e retângulos. Esse aspecto reforça o fato de que, no
entendimento das professoras, apenas as figuras formadas por segmentos de
retas podem ter seu perímetro e área calculados, o que já havia sido evidenciado
em questões que lhes foram apresentadas anteriormente no presente estudo.
De acordo com as respostas à questão (II), a maioria dos dois grupos de
professoras considerou que o ensino de área e perímetro é importante e que o
ensino destes conteúdos deve acontecer nas primeiras séries do ensino
fundamental, aspecto também apontado anteriormente. Chama a atenção o fato
de que, apesar da maioria dos professores afirmar que esses conteúdos são
importantes e que deveriam ser introduzido nas séries iniciais da educação básica,
eles nunca foram trabalhados com as turmas às quais lecionaram até então.
Apenas uma professora considerou que o ensino de área e perímetro não é
fundamental. Como justificativa a professora alegou que:
5
“Creio que não é fundamental, pois independentemente dele dominar esse
conhecimento, ele sabe se localizar, e efetuar os cálculos necessários para
resolver os problemas práticos do dia a dia.”
Na resposta da professora podemos perceber que aprender matemática
significa saber fazer cálculos e realizar ações práticas associadas ao cotidiano.
Pesquisa realizada com professores em processo de formação continuada
oferecida pelo Laboratório de Ensino de Matemática da Universidade Federal de
Pernambuco (LEMAT), aponta que uma de suas características é a “busca da
funcionalidade da Matemática, e esta funcionalidade é, para os professores
pesquisados, quase que exclusivamente dirigida para a utilização da Matemática
na resolução de problemas da vida cotidiana” (MAIA et al, 1998, in BELLEMAIN e
LIMA, 2002, p.33).
Bellemain e Lima (2002) trazem resultados de uma pesquisa realizada com
professores do 3°e 4° ciclos do ensino fundamental que apontam que estes, em
sua maioria, também indicam como essenciais ou importantes os conteúdos de
área e perímetro para a formação do aluno. Para os participantes do estudo
citado, estes temas não apenas apresentam bom aproveitamento por parte dos
alunos, como também despertam seu interesse. Apenas 5% dos professores das
séries consideradas no estudo reconhecem dificuldades conceituais pertinentes à
construção dos conceitos de perímetro e área, o que, como afirmamos no início do
presente trabalho, contraria os resultados apresentados pelos alunos nas diversas
avaliações das quais participam relativas ao domínio de conteúdos matemáticos,
em especial do campo geométrico.
3.4 AS DIFICULDADES DE ENSINO E APRENDIZAGEM
5
Procuramos saber quais as principais dificuldades que os professores
enfrentam ao trabalhar os conteúdos de área e perímetro na sala de aula, quando
o fazem. Para tanto, realizamos quatro perguntas: (1ª) Que dificuldades você
observa no trabalho com a noção de área e perímetro na sua sala de aula? (2ª)
Que erros os alunos cometem com mais freqüência? (3ª) Você considera esses
assuntos (área e perímetro) fáceis de ensinar? Por que? (4ª) Você acha que para
o aluno aprender a noção de área e perímetro é necessário para que ele aprenda
primeiro outro conteúdo matemático? Se sua resposta na pergunta anterior foi
SIM, qual ou quais seriam esses conteúdos prévios? Se sua resposta foi NÃO,
justifique sua resposta.
Para oito professoras em um grupo de 10, a dificuldade se concentra no
aluno, por sua falta de preparo e maturidade. A falta de material foi apontada por
uma das professoras como elemento que dificulta o ensino de área e perímetro e
apenas uma delas acredita que a maior dificuldade está na formação dos
professores.
Quando perguntadas sobre os erros que os alunos frequentemente
cometem ou sobre as dificuldades que eles sentem para aprender área e
perímetro as professoras dividem as opiniões:
9 Três professoras afirmam que nunca ensinaram esses conteúdos;
9 Uma professora considera que a dificuldade está no registro dos
algarismos e nas fórmulas do cálculo de área das figuras geométricas;
9 Duas consideram os cálculos o maior obstáculo para os alunos;
9 Uma professora aponta a formação do professor como maior obstáculo
para o ensino de área e perímetro, por esta não favorecer o domínio
desses conteúdos.
5
9
As três professoras restantes deram respostas que não puderam ser
categorizadas, em razão de sua falta de clareza.
No que se refere ao ensino de área e perímetro, seis professoras
consideram que esses assuntos são fáceis de ensinar e quatro professoras
afirmam o contrário. Podemos perceber uma aparente divergência nas respostas,
pois, de um lado as professoras apontam dificuldades para o aluno aprender e, no
entanto, a maioria considera que área e perímetro são conteúdos fáceis de serem
ensinados.
Essa divergência decorre da concepção de que os conteúdos são fáceis
de ensinar mas difíceis de aprender por falta de preparo do aluno. Podemos
perceber essa visão nas respostas que as professoras deram quando perguntadas
se para aprender área e perímetro é necessário aprender outros conteúdos
matemáticos primeiro. Nove delas responderam que sim e, desse grupo, sete
professoras apontaram as quatro operações como aprendizagem essencial para
que os alunos possam aprender área e perímetro.
Como, para as professoras, os alunos apresentam deficiências claras no
domínio das quatro operações básicas, isso implica em dificuldade para aprender
conteúdos que dependem de sua capacidade de efetuar cálculo, apontando, entre
esses os conteúdos que compreendem nosso objeto de pesquisa. Tal postura
aponta uma concepção numérica preponderante no ensino de área e perímetro.
3.5 A METODOLOGIA UTILIZADA
Nessa etapa da entrevista as professoras responderam sobre as
metodologias que utilizam quando trabalham os conteúdos de área e perímetro
em sala de aula.
5
As perguntas foram as seguintes:
(a) Como você introduz a noção de área e perímetro na sua sala de aula? Em que
momento você introduz as fórmulas para área e perímetro?
(b) Que atividades você considera interessantes para produzir a noção de área e
perímetro no seu aluno?
(c) Se você fosse abordar esses assuntos (área e perímetro) em uma turma como
seria sua aula?
A maioria das professoras (sete delas) ao responder como seria uma aula
sobre área e perímetro, descreveu recursos metodológicos simples e que
evidenciam a participação ativa dos alunos partindo sempre do concreto para o
abstrato. Suas respostas foram:
Professora P: “Começaria com brinquedos simples, blocos lógicos e isomorfos,
depois, aulas com lugares onde teriam esses assuntos então daria a aula com
especificação
e
por
fim
continuaria
mostrando
em
outras
matérias
(interdisciplinaridade)”.
Professora Q: “No pátio do colégio iríamos brincar, observar, medir com passos,
fitas, registrar, desenhar reduzidamente como na foto. Mostrar como o Homem
reduz como se estivesse observando longe”.
As respostas das professoras apontam para uma certa ambigüidade, pois
como verificamos anteriormente, apenas metade desse grupo docente trabalhou
com esses conteúdos em algum momento da carreira. Outro fator que a pesquisa
revela é que todas as professoras consideram que os conteúdos relativos a área e
perímetro podem ser estudados nas quatro primeiras séries do ensino
fundamental e algumas que já na educação infantil as noções relativas a esses
conceitos podem ser estudadas.
6
Na concepção de duas professoras o estudo de área e perímetro só pode
ser introduzido na sala de aula quando os alunos atingirem “maturidade” para
compreender o assunto. As respostas da professora (A) e da professora (J),
respectivamente, evidenciam suas posições:
“Não trabalho a esse nível, por ensinar a alunos entre 5 e 6 anos de idade”
(professora A)
“Trabalho com crianças com carências gritantes na área de linguagem e o
tempo que disponho na sala de aula é para trabalhar com conteúdos ditos
elementares em linguagem e matemática”. (professora J)
A professora aponta as deficiências dos alunos na área de linguagem como
fator que impede a introdução das noções de área e perímetro na sala de aula,
conteúdos matemáticos que considera “não elementares”. Para ela, o tempo que
dispõe em sala de aula deve ser dedicado a conteúdos básicos de linguagem e,
na matemática, ao domínio das quatro operações. Quando perguntada sobre
quais atividades considera que seriam interessantes para trabalhar área e
perímetro na sala de aula, sua resposta foi a seguinte:
“Fazer com que a criança trabalhe com o espaço em que vive: a sala de
aula, o pátio da escola”.
Para Silva, Lourenço e Côgo (2004), “os conhecimentos geométricos,
trabalhados de forma interdisciplinar com as demais ciências, (...) poderão
desenvolver no aprendiz o sentido espacial, isto é, contribuirão para que possa
descrever, representar e interpretar organizadamente o mundo em que vive”.
(p.54). Deste modo, os conhecimentos geométricos poderiam ser desenvolvidos
ao mesmo tempo que os relativos à linguagem, bem como os conhecimentos
6
aritméticos concernentes às quatro operações, em especial nas séries iniciais do
ensino fundamental.
O fato da ação didática ser realizada por um único professor, pelo menos
do ponto de vista teórico, deveria facilitar uma prática interdisciplinar, o que parece
não se evidenciar na realidade de nossas salas de aula, quando os conteúdos, até
de uma mesma disciplina, são trabalhados de maneira estanque.
3.6 ANÁLISE DOS PROCEDIMENTOS DE RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES
PELOS PROFESSORES
Nessa etapa analisamos três aspectos conceituais de área e perímetro e
que foram focalizados nas pesquisas de Lima (1995), Baltar (2003) Câmara dos
Santos (2000) e Perrot & Câmara dos Santos (1998), considerados como fontes
de erros recorrentes nos alunos:
a dissociação entre a área e perímetro; a
utilização de fórmulas errônea e o uso inadequado de unidades de medida.
Em nosso trabalho reproduzimos as questões utilizadas nos estudos dos
pesquisadores mencionados, acrescentando algumas que não foram utilizadas
pelos mesmos, mas que versam sobre os mesmos aspectos da pesquisa feita
com os alunos. O nosso objetivo era fazer uma comparação com as pesquisas
anteriores e verificar semelhanças e diferenças entre os procedimentos utilizados
pelos alunos e as formas de resolução utilizadas pelos professores pesquisados
por este estudo.
6
3.6.1 SOBRE A DISSOCIAÇÃO ENTRE ÁREA E PERÍMETRO
Para a questão 1 apresentada em seguida, sete das 10 professoras
consideraram não ser possível calcular área e perímetro das figuras irregulares
nela apresentadas.
Questão 1: Abaixo temos algumas figuras geométricas:
Você acha que todas servem para trabalhar o cálculo de área e perímetro? Se
sua resposta for SIM justifique sua resposta. Se sua resposta for NÃO Indique as
figuras geométricas que não servem para trabalhar e justifique sua resposta.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Nas
justificativas
que
as
professoras
apresentaram
houve
uma
preocupação explícita quanto às linhas que compõem as figuras:
Professora N: Não, porque para calcular a área a figura tem que ter lados iguais.
Professora L: Não porque área e perímetro só podem ser calculados de figuras
com lados congruentes.
Professora K: Não porque as linhas não são retas.
Duas concepções distintas, que podem ser ou não relacionadas,
apresentam-se nas justificativas. Na primeira, os cálculos de área e perímetro
6
estão ligados apenas a figuras regulares. Na segunda, há uma ligação desses
conceitos com as figuras poligonais. Para Perrot & Câmara dos Santos (1998) o
uso exclusivo da régua como ferramenta para medir comprimento contribui para a
formação dessa concepção errada.
Na atividade seguinte (Questão 2), seis professoras consideraram que as
duas figuras têm contornos iguais.
Questão 2: Observe as figuras abaixo representadas em malha pontilhada de
1,0cm:
Assinale a resposta verdadeira:
I — O contorno do quadrado é mais longo do que o da cruz.
II — O contorno do quadrado é mais curto do que o da cruz.
III — Os contornos das duas figuras têm o mesmo comprimento.
Explique como chegou a essa resposta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
O fato das duas figuras serem compostas por segmentos de reta e de estar
em malha pontilhada pode ter contribuído para que a maioria das professoras
tenha encontrado a solução correta, uma vez que, na questão anterior, das seis
6
professoras, apenas duas responderam que as figuras irregulares não poderiam
ter área e perímetro.
Para as quatro professoras restantes, do grupo de dez, o contorno do
quadrado é mais curto que o da cruz. Em suas justificativas as professoras
acreditam que as “curvas” ou “entradas” como assim chamaram, são responsáveis
por tornar o perímetro da cruz menor.
Na resolução dessa atividade não identificamos nas respostas das
professoras nenhuma estratégia utilizada para chegarem à conclusão citada, pois
bastava realizar uma contagem para verificar que as figuras têm perímetros iguais.
As professoras podem ter sido levadas a responder de forma equivocada, por
acreditarem em uma relação direta entre área e perímetro de figuras quando
comparadas, ou seja, a de menor área teria, necessariamente, menor perímetro.
A atividade seguinte (Questão 5) foi respondida por 30 alunos da 4ª série
de uma escola pública estadual de Pernambuco, como parte da Pesquisa
realizada por Câmara dos Santos (1998).
Questão 5: Observe as quatro figuras abaixo, e responda:
a) Qual figura tem o menor perímetro?
( )A
B( )
C(
)
D (
)
b) Qual das figuras tem o maior perímetro?
( )A
B( )
C(
)
D (
)
Quanto aos alunos pesquisados por Câmara dos Santos (1998), os
resultados demonstraram que 39% apontaram a figura de contorno mais curto
6
como sendo a figura A. Já as professoras de nossa pesquisa, de um total de 10
apenas duas delas (20%) apontaram a figura A
Para a figura de contorno mais comprido (figura D), o índice de acertos dos
alunos ficou em 35%. Entre as professoras de nosso estudo, sete delas indicaram
a figura D como a correta.
As duas questões abaixo (questão 7 e questão 8), foram respondidas por
27 alunos de 7ª série de uma escola pública municipal da Região Metropolitana de
Recife no estudo realizado por Baltar (2003). Utilizamos as mesmas questões
com as professoras e confrontarmos os resultados obtidos nos dois casos. As
duas questões tratam da ordenação de figuras segundo suas áreas e segundo
seus perímetros, embora não mencionem explicitamente estes termos.
Questão 7: Observe as figuras abaixo:
José fez a figura A
Joana fez a figura B
Severino fez a figura C
Graça fez a figura D
a) Quais as figuras gastam a mesma quantidade de cartolina?
b) Qual das figuras gasta mais cartolina?
c) Qual das figuras gasta menos cartolina?
6
Questão 8: Na questão acima, José, Joana, Severino e Graça cobriram a borda
de suas figuras (os contornos) com uma volta de cordão:
a) Em qual figura se gastou mais cordão?
b) Em qual figura se gastou menos cordão?
c) Quais figuras gastaram a mesma quantidade de cordão?
O resultado da pesquisa de Baltar (2003) revela que apenas 7,4% dos
alunos responderam corretamente aos três itens da questão 7 e 29,6% dos alunos
responderam corretamente os três itens da questão 8. Além disso, deve-se
ressaltar que 37% dos alunos deram para as questões 7 e 8 as mesmas
respostas, o que pode ser interpretado em termos de confusões entre área e
perímetro (seja em termos da natureza dos objetos – interior da figura ou seu
contorno - ou em termos de variação).
Essa dificuldade também é evidenciada nas respostas de oito das 10
professoras, que indicaram que as figuras A e B tem a mesma área, ou seja, a
maioria delas também confunde área e perímetro.
Na questão abaixo, nove das 10 professoras pesquisadas consideraram
que os perímetros das duas figuras são iguais e apenas uma professora
considerou que o perímetro da figura B é maior que o da figura A.
Questão 3: Nos desenhos abaixo a figura A foi recortada e, em seguida, colada,
formando a figura B, segundo o esquema indicado. Marque um x na afirmação
que você considera correta.
A
B
6
A ( ) O perímetro das duas figuras são iguais.
B ( ) O perímetro da figura A é maior do que o da figura B.
C ( ) O perímetro da figura B é maior do que o da figura A.
D ( ) É impossível saber
Explique como chegou a essa resposta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Essas respostas indicam que as professoras pesquisadas apresentam
dificuldade na construção da diferenciação entre os conceitos de área e perímetro,
relacionando explicitamente os dois (“figuras de mesma área têm mesmo
perímetro e vice-versa”). Não foram apresentadas justificativas para as respostas
dadas.
De acordo com Perrin-Glorian (in BELLEMAIN e LIMA, 2002), há evidências
que apontam para a hipótese de existência de um obstáculo em torno da relação
entre perímetro e área, “que sugere o estudo e a classificação das situações nas
quais o amálgama se produz, para poder decidir se se trata de um obstáculo e de
que natureza ele é” (p. 32). Discutindo sobre as dificuldades que os alunos
apresentam, confundindo os dois conceitos,
Bellemain e Lima (2002) trazem os resultados de pesquisas que evidenciam
que, para os professores em formação que delas participaram, área e perímetro
variam no mesmo sentido. Segundo os dois autores, a permanência das
6
dificuldades de aprendizagem relativas a esses conteúdos é reforçada pelo
domínio insuficiente que os professores têm dos mesmos.
3.6.2 SOBRE O USO DE FÓRMULAS
Aqui serão apresentadas as análises feitas por Baltar (2003) na pesquisa
realizada com 22 alunos de uma turma de 1ª série do Ensino Médio de uma
escola da rede pública estadual situada em Recife e a comparação com as
respostas de 10 professoras que participaram de nossa pesquisa.
Em relação à questão, trata-se do cálculo da área e do perímetro de um
paralelogramo (Questão 6, abaixo}.
Questão 6:
Calcule a área e o perímetro da figura abaixo.
V
E
8 cm
5 cm
4 cm
O
L
A área do paralelogramo VELO é: _______
Justifique sua resposta:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
O perímetro do paralelogramo VELO é: __________
Justifique sua resposta:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
6
O levantamento quantitativo dos acertos e erros dos alunos mostra que as
fórmulas de área e perímetro de paralelogramo não estão disponíveis para um
elevado percentual de alunos da primeira série do ensino médio.
Essa mesma dificuldade é apresentada entre as professoras que
participaram
do
presente
estudo.
Devemos
ressaltar
que
aqui
foram
desconsiderados os erros relativos ao uso de unidades de medida. Por exemplo,
um cálculo de área correto do ponto de vista numérico, mas indicado em
centímetros ou sem unidades, foi considerado acerto no levantamento abaixo,
uma vez que nosso foco aqui era o uso de fórmulas para calcular área e
perímetro.
Os alunos acertaram mais as questões relativas ao perímetro do que
aquelas relativas à área. Apenas 18% dos alunos pesquisados calcularam
corretamente a área do paralelogramo e 23% calcularam corretamente o
perímetro do paralelogramo.
Em nossa pesquisa apenas três professoras acertaram o valor da área do
paralelogramo (embora uma tenha utilizado uma unidade de medida inadequada –
Professora T) e quatro calcularam corretamente seu perímetro (embora uma não
tenha indicado a unidade de medida correspondente – Professora R).
Duas professoras deixaram ambos os itens em branco e duas responderam
que não sabiam o assunto cobrado (não sabiam as “regras”), evidenciando
desconhecimento da fórmula utilizada para o cálculo de área e perímetro do
paralelogramo. As respostas válidas estão apresentadas no quadro abaixo.
QUADRO DE RESPOSTAS PARA O CÁLCULO DE ÁREA E PERÍMETRO DO
PARALELOGRAMO
7
PROFESSORA
S
RESPOSTAS (área)
RESPOSTAS (perímetro)
L
32cm
33 cm
M
40 centímetros quadrados
26 centímetros
N
40centímetros quadrados
26 centímetros
R
100
26
S
32cm
26 cm
Não foram apresentadas justificativas para as respostas apresentadas.
Como destacamos na análise da introdução dos conteúdos relativos a
perímetro e área nos livros texto de Matemática para os dois primeiros ciclos do
ensino fundamental, com base no Guia de Livros Didáticos PNLD – 2004, apenas
uma das 31 coleções presentes no Guia trabalha com o uso de fórmulas para o
cálculo de área (do retângulo, paralelogramo e triângulo), contrariando as
recomendações dos PCN que apontam para o cálculo de tais elementos com base
em malhas quadriculadas e sua comparação “sem uso de fórmulas” (p. 90)
3.6.3 SOBRE O USO INADEQUADO DE UNIDADES DE MEDIDA
Podemos observar que esse aspecto permeia de forma mais evidente nas
questões 4 e 10, apresentadas em seguida. Algumas professoras dão um
resultado numérico sem explicitar a unidade, como ocorreu na questão
apresentada anteriormente. Essas questões foram as que mais deixaram de ser
respondidas pelas professoras.
Questão 4: O piso de um salão retangular que mede 8 metros de comprimento
por 3 metros de largura está coberto completamente por um carpete. Quanto vai
medir esse carpete?
7
Essa questão foi retirada de uma pesquisa nacional denominada Indicador
Nacional de Alfabetismo Funcional – INAF, que nasceu de uma iniciativa do
Instituto Paulo Montenegro e da ONG Ação Educativa. O objetivo é divulgar
informações que ajudem a compreender e solucionar o problema da exclusão
educacional no país.. Essa pesquisa consiste no levantamento periódico de dados
sobre as habilidades de leitura, escrita e matemática da população brasileira.
Na pesquisa realizada com cerca de 2.000 (dois mil) entrevistados,
esperava-se que os sujeitos respondessem “vinte e quatro metros quadrados,”
multiplicando 8 por 3 e usando a unidade de área adequada. Como o termo área
não se apresenta de forma explícita, uma resposta possível e admitida como
correta seria “8 metros por 3 metros”, designando os comprimentos dos lados do
retângulo que representa o carpete. As alternativas vinte e quatro metros e vinte e
quatro também eram esperadas, supondo que uma quantidade razoável de
entrevistados omitiria a unidade ou utilizaria uma unidade inadequada (metros).
Como foi discutido no marco teórico, esse tipo de erro é apontado na literatura
como sendo freqüente.
A partição dos 2.000 entrevistados nas categorias “ausência de resposta,”
“acertos” e “erros” para a questão é dada no gráfico abaixo:
Questão 28
34%
39%
Ausência de
resposta
Acertos
Erros
27%
7
Segundo os dados do INAF, aproximadamente um terço dos entrevistados
(34%) não responderam à questão e cerca de um quarto dos entrevistados
responderam-na corretamente (27%). Os 39% restantes deram respostas
incorretas.
Essa questão foi respondida por 10 professoras e, apesar de ser um grupo
pequeno se comparado com o universo da pesquisa do INAF, verificamos,
comparando os resultados obtidos nos dois levantamentos, dificuldades
semelhantes.
É
importante
destacar
que
não
estamos
comparando
a
proporcionalidade absoluta dos dados das duas pesquisas, mas as semelhanças
relativas entre os dois grupos.
A comparação se justifica, pois o grupo de 2,000 entrevistados são pessoas
com graus de escolaridade diversos, desde o analfabetismo matemático até o
nível 3 (pessoas que tem o ensino médio ou mais) de alfabetismo matemático.
As respostas dadas pelas professoras de nosso estudo estão presentes no
quadro seguinte.
QUADRO DE RESPOSTAS DAS PROFESSORAS À QUESTÃO: O piso de um
salão retangular que mede 8 metros de comprimento por 3 metros de largura está
coberto completamente por um carpete. Quanto vai medir esse carpete?
PROFESSORAS
RESPOSTAS
K
Não respondeu
L
24m
M
24 metros quadrados
N
8 de comprimento e 3 de largura
7
O
3 x 8 (base x altura)
P
Não respondeu
Q
24 metros quadrados
R
24
S
Não respondeu
T
24 metros quadrados
Em nossa pesquisa, três professoras deixaram de responder a questão, o
que corresponderia a 30% do total;
30% responderam-na corretamente (24
metros quadrados) e 40% deram respostas variadas, com a omissão ou uso
incorreto da unidade de medida para a área (Professoras L O e R) ou a
especificação das dimensões dos lados da figura. Retirada diretamente do
enunciado da questão.
Como o nosso grupo tem grau de escolaridade exclusiva de nível 3,
segundo os critérios do INAF, não se esperaria que essa mesma variedade de
respostas se apresentasse.
O uso inadequado ou ausência das unidades de medidas também pode ser
verificado na Questão 10, apresentada em seguida.
Questão 10: A figura abaixo representa o terreno que Maria Júlia recebeu como
herança de seus avós paternos. Nessa figura os lados
são sempre
perpendiculares entre si.
70 m
70 m
50 m
90 m
7
(a) Maria Júlia pretende cercar o terreno com cerca de 3 fileiras de
arame,
conforme a figura ao lado.
(a) Quantos metros de arame ela terá de comprar?
Cálculos:
Resposta:
(b) Qual é a área do terreno de Maria Júlia?
Cálculos: Resposta:
As respostas dadas pelas professoras aos itens da questão estão
apresentadas no quadro a seguir.
QUADRO DAS RESPOSTAS À QUESTÃO:
7
PROFESSORA
S
RESPOSTAS (perímetro)
RESPOSTAS (área)
L
960m
Não respondeu
Não respondeu
Não respondeu
M
960m
7200 metros quadrados
N
1890
630 metros quadrados
O
960m
63,00 m
P
960m
Não sei
Q
420 m
140 metros quadrados
R
840m
9400 metros quadrados
S
960m
5900 metros quadrados
K
Para responder ao item a, bastava calcular o perímetro do terreno e
multiplicar o valor obtido por três, obtendo como resposta, 960 metros de arame.
Para a área bastava realizar o produto da medida da base da figura (90 m) pela
medida de sua altura (70 m) e, em seguida, subtrair a área do quadrado que foi
retirado do canto superior esquerdo da figura, e que corresponde a 400 metros
quadrados, totalizando uma área de 5.900 metros quadrados para o terreno.
Deste modo, verifica-se que apenas uma professora calculou corretamente
a área do terreno, tendo também acertado o perímetro, valor que foi identificado
corretamente por outras quatro professoras.
Apesar de envolver uma figura relativamente simples, um fator pode
complicar os cálculos pedidos, nos casos em que os envolvidos não apresentam
um nível adequado de domínio dos conteúdos considerados: a omissão das
medidas de parte dos segmentos presentes na figura, implicando na necessidade
de deduzir seus valores a partir dos que foram dados, por meio de operações
aritméticas simples (subtrações de números naturais).
7
Considerações finais
Nossa pesquisa teve como principal propósito identificar as concepções das
professoras polivalentes sobre o conceito e o ensino de área e perímetro e
comparar essas concepções de alunos com as identificadas em estudos de outros
pesquisadores.
Após a aplicação de um questionário e um exercício com questões sobre
área e perímetro, com um grupo de 20 professoras polivalentes de duas escolas
municipais de Recife-PE, identificamos concepções previstas por outras pesquisas
(PERRIN – GLORIAN & DOUADY 1989, PERROT & CÂMARA DOS SANTOS
1998, LIMA & BALTAR, 2002)
O estudo aponta para uma tendência de uma concepção numérica relativa
a perímetro e área, tendo a maioria das professoras indicado as quatro operações
fundamentais como conteúdo prévio indispensável para o aluno poder aprender os
conteúdos de área e perímetro.
No que diz respeito à dissociação entre área e perímetro, nosso estudo
revelou um número expressivo de professoras que consideram não existir
diferença entre os dois conceitos, estabelecendo uma relação direta entre eles. O
pesquisador Balacheff (1998) categoriza essa confusão entre área e perímetro
como uma concepção geométrica.
Na entrevista verificamos que, para as professoras, o ensino de área e
perímetro é importante para a formação dos alunos e consideram que seu ensino
deve acontecer desde as primeiras séries do ensino fundamental, algumas delas
defendendo o estudo já na educação infantil. No entanto, apenas três professoras
7
declararam que ensinaram esses conteúdos em suas salas de aula e apenas
cinco afirmaram que já ensinaram esses conteúdos alguma vez durante sua
atividade docente.
Isso demonstra uma ambigüidade, pois as professoras que consideram
relevante o estudo de área e perímetro são as mesmas que afirmam que nunca
ensinaram esses assuntos em sala de aula.
Quando procuramos identificar quais são as dificuldades que as
professoras enfrentam para ensinar área e perímetro, a falta de maturidade dos
alunos foi apontada como o principal fator que dificulta a aprendizagem dos
alunos. Mais uma contradição que o estudo revela pois uma parcela considerável
de professoras afirma que esses conteúdos são fáceis de ensinar, tanto que
defendem que o estudo de área e perímetro deve se dar desde as primeiras séries
do ensino fundamental.
Vimos que, em se tratando da formação acadêmica, a maioria (16) das
professoras possui curso superior e que o curso de Pedagogia é predominante no
grupo que participou da pesquisa.
Embora o aspecto da formação e do tipo de formação não tenha sido a
preocupação central da pesquisa, pois o objetivo principal foi a busca das
concepções das professoras sobre área e perímetro no entanto, o que a pesquisa
mostrou também é que o grau de formação e experiência de ensino não interferiu
nos resultados. As professoras com formação em nível médio apresentaram
concepções semelhantes às das graduadas, e professoras no início da carreira
apresentaram concepções semelhantes às que tinham uma experiência maior no
magistério.
7
É necessário que o estudo de área e perímetro esteja presente na sala de
aula da educação básica, mas que nos cursos de formação de professores este
estudo também esteja presente. Não é possível afirmar que o estudo de área e
perímetro acontece nos cursos de formação de professores e, consequentemente,
não podemos afirmar que no curso de pedagogia a abordagem do estudo de área
e perímetro modifica ou ratifica as concepções aqui identificadas ou que essas
concepções são, de forma genérica, as concepções dos professores polivalentes.
Só estudos posteriores poderão trazer indícios que respondam essas questões.
Apontamos ainda como possibilidades de pesquisas futuras relativas ao
tema, em virtude de sua importância para a formação do aluno, além da análise da
formação dos professores polivalentes relativas aos conteúdos específicos de
perímetro e área, entre outros:
- investigar, a partir das concepções que apresentam acerca dos conteúdos que
tomamos como objeto de estudo, como os professores os desenvolvem em sala
de aula;
- realizar estudo sobre a formação geral desses professores em geometria;
- analisar os livros texto destinados aos alunos das séries iniciais do ensino
fundamental (1° e 2° ciclos), verificando a seqüência, a metodologia, os tipos de
atividades propostos, entre outros aspectos relativos aos conteúdos citados;
- analisar as inter-relações dos conteúdos perímetro e área com outros conteúdos
de matemática das séries iniciais e sua importância na ampliação do domínio
numérico dos alunos;
- elaborar e analisar propostas metodológicas para o desenvolvimento adequado
desses conteúdos nas séries iniciais do ensino fundamental e em cursos de
formação inicial e continuada de professores.
7
O que pretendemos, com a realização de nosso trabalho, foi trazer
contribuições para o processo de compreensão da formação matemática dos
alunos das séries iniciais, contemplando sua relação com as concepções dos
professores relativas a conteúdos específicos do campo das grandezas e
medidas, especificamente relativas aos conceitos de área e perímetro.
Acreditamos ter cumprido nosso papel de pesquisador em construção, não apenas
de saberes para nosso crescimento pessoal, mas também para o uso de outros
que pretendam trilhar o mesmo caminho e dos professores que se encontram,
como nós, em processo de formação continuada.
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8
4. ANEXOS:
Entrevista
Sua experiência com o ensino e a aprendizagem da noção de área
OBSERVAÇÃO:
Caros colegas;
As perguntas que se seguem fazem parte de uma pesquisa desenvolvida
por mim a propósito da concepção dos professores polivalentes sobre área e
perímetro. Peço a fineza de respondê-las com toda sinceridade. Agradeço sua
colaboração.
1- Série ou ciclo que está lecionando: ____________Tempo de Magistério: _____
2-Qual é sua formação profissional?____________________________________
3-Se um aluno lhe pergunta o que significa área e perímetro o que você
responderia?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4-Como você introduz a noção de área e perímetro na sua sala de aula? Em que
momento você introduz as fórmulas para área e perímetro?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
5- Que atividades você considera interessantes para produzir a noção de área e
perímetro no seu aluno?
__________________________________________________________________
9
__________________________________________________________________
6- Que dificuldades você observa no trabalho com a noção de área e perímetro na
sua sala de aula? Que erros os alunos cometem com mais freqüência?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
7-Você acha importante trabalhar com os alunos o cálculo área e perímetro de
figuras geométricas?Cite as figuras geométricas que você trabalha?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
8- Abaixo temos algumas figuras geométricas qual você acha que não serve
para trabalhar o cálculo de área e perímetro? E porque?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
9- Você acha que existe diferença entre área e superfície? Justifique sua
resposta?
9
Instruções:
Professor (a):
Agradeço desde já a generosidade e disposição de participar da
pesquisa.Sua participação consiste em responder a uma entrevista com 12
perguntas e 9 questões sobre área e perímetro.
Para que as análises dos dados fornecidos pelo questionário e pelas questões
não fiquem comprometidas peço que os/as colegas, ao respondê-las, observem
as seguintes considerações:
1. Procure responder de acordo com suas reais concepções.As respostas
devem seguir fielmente aquilo que a professora acredita e que faz na sala
de aula.
2. Esta análise independe da série ou ciclo que o professor (a) esteja
lecionando atualmente.
3. As respostas devem se originar das concepções que você possue sem o
auxílio de livros ou de outro (a) colega.
4. A forma e os instrumentos para resolução das questões também devem
estar de acordo com a prática de sala aula do (a) professor (a).
Mais uma vez aproveito a oportunidade de agradecer desde já a participação
de todas.
Muito obrigado.
9
ENTREVISTA
1- Série ou ciclo que está lecionando: _________Tempo de Magistério: ________
2-Qual é sua formação profissional?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3- A turma que você trabalha, esse ano, estudou área e perímetro?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4-Você acha que existe diferença entre área e perímetro? Justifique sua resposta?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
5- Você já trabalhou esses conteúdos (área e perímetro) em alguma turma que já
lecionou?
__________________________________________________________________
6-A partir de qual série esses assuntos (área e perímetro) podem ser abordados
na sala de aula? Por que?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
7-Você considera esses assuntos (área e perímetro) fáceis de se ensinar? Por
que?
9
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
8-Se você fosse abordar esses assuntos (área e perímetro) em uma turma como
seria sua aula?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
9-Você acha que para o aluno aprender a noção de área e perímetro é necessário
que ele aprenda primeiro outro conteúdo matemático?
__________________________________________________________________
10-Se sua resposta na pergunta acima foi SIM qual ou quais seriam esses
conteúdos prévios?Se sua resposta foi NÃO justifique sua resposta.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
11-Você acha que esses assuntos (área e perímetro) são trabalhados nas salas
de aula da rede pública? Por que?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
12-Você acha que esses assuntos (área e perímetro) são importantes para
formação do aluno?Por que?
9
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
CADERNO DE QUESTÕES
Questão 1: Abaixo temos algumas figuras geométricas:
Você acha que todas SERVEM para trabalhar o cálculo de área e perímetro? Se
sua resposta for SIM justifique sua resposta. Se sua resposta for NÃO Indique as
figuras geométricas que não servem para trabalhar e justifique sua resposta.
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Questão 2: Observe as figuras abaixo representadas em malha pontilhada de
1,0cm:
9
Assinale a resposta verdadeira:
I — O contorno do quadrado é mais longo do que o da cruz.
II — O contorno do quadrado é mais curto do que o da cruz.
Explique como chegou a essa resposta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Questão 3: Nos desenhos abaixo a figura A foi recortada e, em seguida, colada,
formando a figura B, segundo o esquema indicado.Marque um x na afirmação que
você considera correta.
A
B
A ( ) O perímetro das duas figuras são iguais.
B ( ) O perímetro da figura A é maior do que o da figura B.
C ( ) O perímetro da figura B é maior do que o da figura A.
D ( ) É impossível saber
Explique como chegou a essa resposta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Questão 4: O piso de um salão retangular que mede 8 metros de comprimento
por 3 metros de largura está coberto completamente por um carpete. Quanto vai
medir esse carpete?
9
Explique como chegou a essa resposta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Questão 5: Observe as quatro figuras abaixo, e responda:
a) Qual figura tem o menor perímetro:
( )A
B( )
C(
)
D (
)
c) Qual das figuras tem o maior perímetro?
( )A
B( )
C(
)
D (
)
c) Qual das figuras gasta menos cartolina?
( )A
B( )
C(
)
D (
)
Explique como chegou a essa resposta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Questão 6:
Calcule a área e o perímetro das figuras abaixo.
V
E
8 cm
5 cm
4 cm
O
L
9
A área do paralelogramo VELO é: _______
Justifique sua resposta:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
O perímetro do paralelogramo VELO é: __________
Justifique sua resposta:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Questão 7: Observe as figuras abaixo:
José fez a figura A
Joana fez a figura B
Severino fez a figura C
Graça fez a figura D
d) Quais as figuras gastam a mesma quantidade de cartolina?
e) Qual das figuras gasta mais cartolina?
f) Qual das figuras gasta menos cartolina?
Questão 8: Na questão acima, José, Joana, Severino e Graça cobriram a borda
de suas figuras (os contornos) com uma volta de cordão:
9
d) Em qual figura se gastou mais cordão?
e) Em qual figura se gastou menos cordão?
f) Quais figuras gastaram a mesma quantidade de cordão?
Explique como chegou a essa resposta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Questão 9: A figura abaixo representa o terreno que Maria Júlia recebeu como
herança de seus avós paternos. Nessa figura os lados são sempre
perpendiculares entre si.
70 m
70 m
50 m
90 m
(a) Maria Júlia pretende cercar o terreno com cerca de 3 fileiras de
arame, conforme a figura ao lado.
Quantos metros de arame ela terá de comprar?
Cálculos:
Resposta:
(b) Qual é a área do terreno de Maria Júlia?
Cálculos:
9
Resposta:
5 ANEXOS:
3.1 O QUE PENSAM OS PROFESSORES SOBRE ÁREA E PERÍMETRO?
Para identificar qual a concepção dos professores sobre área e perímetro
foi os seguintes questionamentos:
(3) Se um aluno lhe pergunta o que significa área e perímetro o que você
responderia?
Professora A: (3) Não saberia responder, porque não corresponde a minha série
e não tenho compreensão.
Professora B: (3) Perímetro seria a soma de todos os lados de uma figura
geométrica e a área o cálculo de toda extensão dessas figuras.
Professora C: (3) A área do comprimento e da largura de um objeto ou lugar
(parte interna) e o perímetro seria o contorno de uma determinada área.
Professora D: (3) Diria que não sei bem, que iria pesquisar e pediria que todos
pesquisassem para discutirmos.
Professora E: (3) Área é a parte interna de uma figura geométrica.Perímetro são
as linhas que formam (contornam) as figuras geométricas.
Professora F: (3) Área é medida de uma figura.Perímetro a medida do contorno
de uma figura.
Professora G: (3) Que vem relacionado a espaço, dando exemplos da nossa sala
de aula.
1
Professora H: (3) Área é a medida de uma superfície plana; e perímetro é a
medida do contorno de uma figura geométrica plana, é a linha que limita uma
determinada área ou região.
Professora I: (3) Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono.Área
é a medida de uma figura.
Professora J: (3) Área é a medida de uma superfície plana e perímetro é a
medida do contorno de uma figura geométrica plana.
(10) Você acha que existe diferença entre área e superfície? Justifique sua
resposta?
Professora A: (10) Sim, porque elas se diferenciam entre si.
Professora B: (10) Posso está enganada, mas acho que é sinônimo calcular a
área e superfície são a mesma coisa.Faz cinco anos que estou com a educação
infantil e ingressei novamente esse ano no ciclo com os menores.Trabalho as
principais figuras geométricas, relacionando as com objetos da sala, caixas,
contornamos figuras com palitos de fósforo, contamos quanto precisamos para
formar cada figura.
Professora C: (10) Sim, área é a parte interna de uma figura, objeto ou lugar e
superfície é a parte externa das mesmas.
Professora D: (10) Sim. Área seria toda a figura, superfície só uma parte.
Professora E: (10) Não. Porque para mim a área é a superfície interna de uma
figura plana.
Professora F: (10) Não, pois a medida da área é o mesmo que medida da
superfície.
Professora G: (10) Não respondeu.
Professora H: (10) Não porque área é uma medida de uma superfície.
1
Professora I: (10) Não a medida da área é o mesmo que mede a superfície.
Professora J: (10) Não, porque área é uma medida de uma superfície.
(4) Você acha que existe diferença entre área e perímetro? Justifique sua
resposta?
Professora K: (4) sim, porque perímetro é a soma dos lados e área é a soma dos
triângulos.
Professora L: (4) Não existe diferença, porém não sei justificar.
Professora M: (4) Sim perímetro é a soma dos lados e a área a de
cada
superfície.
Professora N: (4) Não tenho certeza
Professora O: (4) Considero perímetro a soma dos lados área é o espaço é
ocupado
Professora P: (4) Não, pois perímetro é a borda da área e para calcular a área é
necessário, as vezes, saber o perímetro.
Professora Q: (4) Sim a área está ligada ao espaço e o perímetro a linha de
comprimento desse espaço ou área.
Professora R: (4) Sim, pois a área seria um espaço e perímetro, ao meu ver as
linhas dessas áreas lados.
Professora S: (4) Sim as fórmulas de cálculo.
Professora T: (4) Sim, acho que área é a medida interna das figuras e perímetro
a medida externa ou ainda, a medida dos lados da figura.
Os quadros abaixo sintetizam as opiniões dos professores quanto as duas
perguntas feitas acima
O significado de Área
Não sabe
Parte interna
Medida de uma figura
Professoras
A, D
C,E T
F,I
1
Espaço
Medida de uma superfície
Soma dos triângulos
Espaço ocupado
As formulas
G,Q, R
H,J,M
K
O
S
O significado de perímetro
Não sabe
Contorno
Soma dos lados
Linha de comprimento
Espaço
Linha dessas áreas (lados)
Não existe diferença
As fórmulas
Medida externa
Professoras
A, D
C,E, F, H
B, O, I, J, K, M
Q
G
R
L
S
T
(9) Abaixo temos algumas figuras geométricas qual você acha que não
serve para trabalhar o cálculo de área e perímetro? E porque?
Professora A: (9) trabalho as figuras geométricas, som, pinturas, contornos,
cores.
Professora B: (9) Todas servem, porém algumas só vão ser mais compreensíveis
no fundamental II que são: círculo e trapézio, pois o poder de abstração está maior
nessa fase.
Professora C: (9) O círculo
Professora D: (9) Não. Na verdade acho que essa marcada seria a mais difícil.
(trapézio)
1
Professora E: (9) Para o cálculo da área seria o quadrado e as demais figuras
seria para calcular o perímetro.Porque o quadrado está pintado aparentando ter
calculado a área.
Professora F: (9) O círculo, pois a não dá para utilizar régua para medir seu
contorno.
Professora G: (9) Não respondeu.
Professora H: (9) A figura de nº 4 porque não é uma figura geométrica plana.
(referindo-se ao círculo)
Professora I: (9) O círculo porque não seria possível utilizar a régua para medir
seu contorno.
Professora J: (9) A de nº 4 porque não é uma figura geométrica plana. (referindose ao círculo)
(10) Você acha que existe diferença entre área e superfície? Justifique sua
resposta?
Professora A: (10) Sim, porque elas se diferenciam entre si.
Professora B: (10) Posso está enganada, mas acho que é sinônimo calcular a
área e superfície são a mesma coisa.Faz cinco anos que estou com a educação
infantil e ingressei novamente esse ano no ciclo com os menores.Trabalho as
principais figuras geométricas, relacionando as com objetos da sala, caixas,
contornamos figuras com palitos de fósforo, contamos quanto precisamos para
formar cada figura.
Professora C: (10) Sim, área é a parte interna de uma figura, objeto ou lugar e
superfície é a parte externa das mesmas.
Professora D: (10) Sim. Área seria toda a figura, superfície só uma parte.
1
Professora E: (10) Não. Porque para mim a área é a superfície interna de uma
figura plana.
Professora F: (10) Não, pois a medida da área é o mesmo que medida da
superfície.
Professora G: (10) Não respondeu.
Professora H: (10) Não porque área é uma medida de uma superfície.
Professora I: (10) Não a medida da área é o mesmo que mede a superfície.
Professora J: (10) Não, porque área é uma medida de uma superfície.
3.2 A METODOLOGIA UTILIZADA
Para identificar a metodologia utilizada pelos professores quando trabalham
área e perímetro foram feitos os seguintes questionamentos:
(4) Como você introduz a noção de área e perímetro na sua sala de aula? Em
que momento você introduz as fórmulas para área e perímetro?
Professora A: (4) Não trabalho a este nível por ensinar a alunos entre 5 e 6 anos.
Professora B: (4) Para introduzir essas noções temos que ter trabalhado bem as
figuras geométricas, as medidas de comprimento e transformações, em seguida
procurar dar problemas mais reais para trabalhar.
Professora C: (4) Trabalharia com o concreto utilizando palitos de picolés, folhas
de ofício, barbante, dobraduras etc. Depois que os alunos entendessem o
concreto partiria para as fórmulas.
Professora D: (4) Acho que buscaria introduzir de forma concreta e só após estar
bem entendido por todos introduziria as fórmulas.
1
Professora E: (4) Desenharia as formas no chão e com uma brincadeira os
alunos compreenderiam os conceitos de área e perímetro.Ex; dia da bandeira e
em outras necessidades de usar as formas.
Professora F: (4) Acompanhando a seqüência do conteúdo do livro didático
Professora G: (4) Em momento nenhum, pois trabalho com fundamental I e
trabalho geometria básica e vou introduzindo com as figuras do nosso contexto.
Professora H: (4) Trabalho com a noção de área e perímetro de acordo com o
livro de matemática, mas dou só uma pincelada nestes assuntos não chego a
trabalhar as fórmulas.
Professora I: (4) Seguindo a seqüência do livro didático e trabalhando com os
alunos os conteúdos que são importantes para a aprendizagem.
Professora J: (4) Trabalho com crianças muito pequenas que apresentam
carências gritantes na área de linguagem e o tempo na sala de aula de que
dispondo é para trabalhar com conteúdos ditos elementares em linguagem e
matemática.
(5) Que atividades você considera interessantes para produzir a noção de
área e perímetro no seu aluno?
Professora A: (5) Na minha série usamos figuras geométricas, noções.
Professora B: (5) Fazer medições da sala de aula, calcular seu perímetro e área,
desenhar a planta da sala, trabalhar escala, fazer maquetes, utilizar figuras
concretas construídas pelos alunos.
Professora C: (5) Dobraduras, contornos de objetos ou lugares com barbantes
comparações de figuras geométricas, etc.
Professora D: (5) Atividades que usasse o concreto, tangran etc.
1
Professora E: (5) Quando estiver utilizando a planta de uma casa ou da escola,
pintando ou desenhando as figuras e utilizando as medidas de comprimento e
superfície de figuras planas.
Professora F: (5) medir o espaço físico da sala de aula, os materiais como livros,
cadernos, mesas.
Professora G: (5) As atividades relacionadas à própria vivência do aluno.
Professora H: (5) Atividade de medida de comprimento da sala e de figuras
geométricas planas.
Professora I: (5) Verificar e medir o espaço físico na sala de aula, os objetos que
existem na sala, bem como, cadeira e outros.
Professora J: (5) Fazer com que a criança trabalhe com espaço em que vive: a
sala de aula, o pátio da escola...
(8) Se você fosse abordar esses assuntos (área e perímetro) em uma turma
como seria sua aula?
Professora K: (8) Com dinâmicas e figuras de várias formas geométricas
possíveis, também trabalharia em grupos com alunos.
Professora L: (8) sinceramente não sei
Professora M: (8) acho que começaria medindo a perímetro do birô, quadro e
área também.
Professora N: (8) não tenho a menor idéia
Professora O: (8) Iniciaria mostrando a semelhança dos objetos da sala com as
figuras geométricas e mostrando que os lados tem medidas. Quanto à área (base
x altura) faria a medida prática da sala.
Professora P: (8) Começaria com brinquedos simples, blocos lógicos e isomorfos,
depois aulas com lugares onde teria esses assuntos então daria a aula com
1
especificação
e
por
fim
continuaria
mostrando
em
outras
matérias
(interdisciplinaridade).
Professora Q: (8) No pátio do colégio iríamos brincar, observar, medir com
passos, fitas, registrar, desenhar reduzidamente como na foto. Mostrar como o
Homem reduz como se estivesse observando longe.
Professora R: (8) Um pouco lúdica, através do jogo utilizando a linguagem dos
alunos e os instrumentos adequados de medida.
Professora S: (8) Revisão das quatros operações, trabalharia figuras, régua, com
atividades, problemas
Professora T: (8) Exploração do espaço da própria sala de aula, revendo
conceitos, nomes de figuras geométricas já trabalhadas, etc. A partir de então, iria
propor situações que levassem os alunos a se aproximarem mais do que seria
realmente trabalhado, utilizando recursos como corda, papel ofício, objetos de
formas variadas...e só depois dessas atividades partiria para uma explanação
sobre o assunto.
3.3
A PRESENÇA DO CONTEÚDO NA SALA DE AULA
Para identificar a presença de área e perímetro na sala de foram feito os
seguintes questionamentos:
(3) A turma que você trabalha, esse ano, estudou área e perímetro?
Professora K: (3) Não
Professora L: (3) Não
Professora M: (3) Não
1
Professora N: (3) Não
Professora O: (3) sim (perímetro)
Professora P: (3) Não
Professora Q: (3) Sim
Professora R: (3) Sim
Professora S: (3) Não
Professora T: (3) Não
(5) Você já trabalhou esses conteúdos (área e perímetro) em alguma turma
que já lecionou?
Professora K: (5) Não
Professora L: (5) Não
Professora M: (5) Sim
Professora N: (5) Não
Professora O: (5) Sim
Professora P: (5) Não
Professora Q: (5) Sim
Professora R: (5) Sim
Professora S: (5) Não
1
Professora T: (5) Sim
(6) A partir de qual série esses assuntos (área e perímetro) podem ser
abordados na sala de aula? Por que?
Professora K: (6) Não respondeu
Professora L: (6) Séries iniciais
Professora M: (6) No segundo ciclo
Professora N: (6) Na 3ª e 4ª séries
Professora O: (6) 1º ano do 1º ciclo
Professora P: (6) 1ª série
Professora Q: (6) Educação infantil
Professora R: (6) Educação infantil
Professora S: (6) Na 3ª série
Professora T: (6) Na 3ª séries e 4ª séries
(11) Você acha que esses assuntos (área e perímetro) são trabalhados nas
salas de aula da rede pública? Por que?
Professora K: (11) Sim, porque é um assunto bastante importante e com
conteúdo muito amplo.
Professora L: (11) Não sei opinar
Professora M: (11) Sim, pois já trabalhei e percebo colegas que também o fazem.
1
Professora N: (11) Não
Professora O: (11) Acho que são trabalhados por um ou outro
professor.Subestima a capacidade do professor.
Professora P: (11) Não, por dois motivos: os livros só têm o assunto no final e é
difícil usar o livro todo; o outro é a falta de conhecimento dos educandos.
Professora Q: (11) Sim, talvez alguns não trabalhem por desconhecer a
importância do conteúdo, ou até trabalhe com outro nome.
Professora R: (11) Muito pouco, pois muitas vezes, os professores perdem as
oportunidades por não conhecer e dominar tal conteúdo.
Professora S: (11) Vagamente o ano letivo é pouco para muitos conteúdos.
Professora T: (11) Não.Porque os professores não dominam tais conteúdos e têm
medo das dúvidas, perguntas dos alunos e de que percebam que ele (professor)
não sabe o conteúdo a ser trabalhado.
(8) Você acha importante trabalhar com os alunos o cálculo área e perímetro
de figuras geométricas?Cite as figuras geométricas que você trabalha?
Professora A: (8) Não acho porque não trabalho por não corresponder a minha
área.
Professora B: (8) Acho, com figuras; quadrado retângulo, triângulo.
Professora C: (8) Sim
Professora D: (8) Sim, basicamente as figuras que fazem parte do tangran.
Professora E: (8) É importante, apesar de não trabalhar com valor devido as
figuras (vagamente).Pois geralmente trabalho com as 1 e 2 séries e alfabetização
e na 3 a preocupação esta no sistema de numeração decimal e as operações
fundamentais, deixando de lado as figuras geométricas; quadrado, triangulo,
1
circulo.Mesmo sabendo que para calcular área e perímetro existe as operações
fundamentais.
Professora F: (8) É importante porque eles precisam ter noção de medidas das
coisas as figuras são: quadrado, retângulo, triângulo, outros sólidos geométricos.
Professora G: (8) Claro, pois faz parte do dia a dia do aluno especificamente nas
séries maiores.
Professora H: (8) Acho bastante importante e válido porque é um assunto
interessante e está no nosso dia-a dia trabalho com as seguintes figuras
retângulo, quadrado, esfera triângulo, cubo.
Professora I:
(8) Não respondeu
Professora J: (8) Importante é, porém é uma área que precisa ser mais
investigada e resgatada sua importância no cotidiano.
(12) Você acha que esses assuntos (área e perímetro) são importantes para
formação do aluno?Por que?
Professora K: (12) Sim, pois esse conteúdo é muito importante para o futuro.
Professora L: (12) Sim, porque na vida prática ele vai precisar também desse
conhecimento matemático.
Professora M: (12) Sim, ele certamente usará tal conhecimento em sua vida a
fora.
Professora N: (12) Sim
Professora O: (12) Sim, principalmente porque são úteis na prática em alguns
casos.
1
Professora P: (12) Sim, porque faz parte da vida cotidiana de todos, assunto do
vestibular e em alguns trabalhos é importante ter esse conhecimento e quanto
mais cedo aprender melhor.
Professora Q: (12) Sim, porque constantemente ele vai ter que usá-los: na
compra de uma casa; terreno; numa reforma; no seu próprio quarto para uma
decoração, arrumação, cálculos financeiros, etc.
Professora R: (12) Creio que não é fundamental, pois independentemente dele
dominar esse conhecimento ele sabe localizar-se e efetuar os cálculos
necessários para resolver os problemas práticos do dia a dia.
Professora S: (12) Sim, porque vivemos a matemática no nosso dia a dia.
Professora T: (12) Deve ser, apesar de não saber ao certo porque, acredito que
seja para que possam compreender e situar-se melhor nos espaços que ocupam e
também para facilitar a compreensão de outras noções não só relativas a
matemática ,como também a outras áreas do conhecimento como a Geografia
por exemplo, que utiliza-se de várias noções matemáticas no dia-a dia.
3.4 A RELEVÂNCIA DO CONTEÚDO PARA A FORMAÇÃO DO ALUNO
Para identificar se o professor considera relevantes os conteúdos de área e
perímetro na sala de aula foi feito os seguintes questionamentos:
(8) Você acha importante trabalhar com os alunos o cálculo área e
perímetro de figuras geométricas?Cite as figuras geométricas que você
trabalha?
1
Professora A: (8) Não acho porque não trabalho por não corresponder a minha
área.
Professora B: (8) Acho, com figuras; quadrado retângulo, triângulo.
Professora C: (8) Sim
Professora D: (8) Sim, basicamente as figuras que fazem parte do tangran.
Professora E: (8) É importante, apesar de não trabalhar com valor devido as
figuras (vagamente).Pois geralmente trabalho com as 1 e 2 séries e alfabetização
e na 3 a preocupação esta no sistema de numeração decimal e as operações
fundamentais, deixando de lado as figuras geométricas; quadrado, triangulo,
circulo.Mesmo sabendo que para calcular área e perímetro existe as operações
fundamentais.
Professora F: (8) É importante porque eles precisam ter noção de medidas das
coisas as figuras são: quadrado, retângulo, triângulo, outros sólidos geométricos.
Professora G: (8) Claro, pois faz parte do dia a dia do aluno especificamente nas
séries maiores.
Professora H: (8) Acho bastante importante e válido porque é um assunto
interessante e está no nosso dia-a dia trabalho com as seguintes figuras
retângulo, quadrado, esfera triângulo, cubo.
Professora I: (8) Não respondeu
Professora J: (8) Importante é, porém é uma área que precisa ser mais
investigada e resgatada sua importância no cotidiano.
(12) Você acha que esses assuntos (área e perímetro) são importantes para
formação do aluno?Por que?
Professora K: (12) Sim, pois esse conteúdo é muito importante para o futuro.
1
Professora L: (12) Sim, porque na vida prática ele vai precisar também desse
conhecimento matemático.
Professora M: (12) Sim, ele certamente usará tal conhecimento em sua vida a
fora.
Professora N: (12) Sim
Professora O: (12) Sim, principalmente porque são úteis na prática em alguns
casos.
Professora P: (12) Sim, porque faz parte da vida cotidiana de todos, assunto do
vestibular e em alguns trabalhos é importante ter esse conhecimento e quanto
mais cedo aprender melhor.
Professora Q: (12) Sim, porque constantemente ele vai ter que usá-los: na
compra de uma casa; terreno; numa reforma; no seu próprio quarto para uma
decoração, arrumação, cálculos financeiros, etc.
Professora R: (12) Creio que não é fundamental, pois independentemente dele
dominar esse conhecimento ele sabe localizar-se e efetuar os cálculos
necessários para resolver os problemas práticos do dia a dia.
Professora S: (12) Sim, porque vivemos a matemática no nosso dia a dia.
Professora T: (12) Deve ser, apesar de não saber ao certo porque, acredito que
seja para que possam compreender e situar-se melhor nos espaços que ocupam e
também para facilitar a compreensão de outras noções não só relativas a
matemática ,como também a outras áreas do conhecimento como a Geografia
por exemplo, que utiliza-se de várias noções matemáticas no dia-a dia.
1
3.5 AS DIFICULDADES DE ENSINO E DE APRENDIZAGEM
(6) Que dificuldades você observa no trabalho com a noção de área e
perímetro na sua sala de aula? Que erros os alunos cometem com mais
freqüência?
Professora A: Na minha série nenhuma porque trabalhamos o básico.
Professora B: Como relacionar esses conceitos de forma prática e concreta e
também a imaturidade dos alunos.
Professora C: Minha turma não teve aptidão para serem introduzidos estes
conteúdos.Portanto a dificuldade é o nível de aprendizagem da turma. É
importante observar que ao responder a pergunta
como trabalharia esses
conteúdos na sala de aula a mesma professora responde que trabalharia com
palito de picolé dobraduras folhas de ofício e que só partiria para as fórmulas
quando o aluno entendesse o concreto.
Professora D: Acho que material impresso figuras e réguas para recortar e medir
figuras e trabalhar conceitos.
Professora E: As fórmulas para calcular as áreas e os perímetros (na
compreensão dos alunos)
Professora F: Falta de material e dificuldade que o aluno tem nas operações
fundamentais.
Professora G: Várias, pois acredito que o professor não foi trabalhado para
explicitar esses conteúdos, a defasagem vem das universidades que não prepara
o educador para tal.
Professora H: Tenho dificuldade para trabalhar estes conteúdos por falta de
material didático e devido às dificuldades que os alunos apresentam com as
operações fundamentais.
1
Professora I: Falta de material adequado bem como, a dificuldade que os nossos
alunos apresentam nas operações fundamentais; adição, subtração, etc.
Professora J: As crianças são muito pequenas e imaturas para trabalhar estes
conceitos: o raciocínio lógico das crianças nesta faixa etária encontra-se
em
desenvolvimento.
(7) Os alunos cometem erros ou sentem dificuldades para aprender esses
conteúdos?Quais são essas dificuldades
Professora A: Meus alunos são do grupo V na chegam a esse nível
Professora B: creio que eles sentem dificuldades não para entender o perímetro,
mas como calcular a área porque envolve vários conhecimentos.
Professora C: não trabalhei esses conteúdos
Professora D: Não sei nunca trabalhei esses conteúdos.
Professora E: Alguns alunos sentem dificuldades de registrar com algarismos as
fórmulas das figuras geométricas.
Professora F: Sim, pois quando esses conteúdos são trabalhados pela primeira
vez essas dificuldades são mais visíveis.
Professora G: Acredito que sim, pois o próprio educador sente dificuldades em
dominar o conteúdo.Como o aluno vai aprender se não houve falhas no repasse?
Professora H: Sim, porque eles apresentam dificuldades com cálculos
matemáticos simples e assuntos mais complexos como estes é mais difícil de ser
absorvido por eles.
Professora I: Sim, uma vez que os conteúdos propostos de matemática,
especificamente, os alunos sentem dificuldades e principalmente tratando-se de
geometria.
1
Professora J: Na verdade nunca trabalhei estes conteúdos na sala de aula nunca
fez parte do currículo, nem das escolas particulares nem da rede pública.
(7) Você considera esses assuntos (área e perímetro) fáceis de se ensinar?
Por que?
Professora K: Não requer bastante atenção tanto do professor como do aluno.
Professora L: São desde que o professor esteja sempre se reciclando e
estudando
Professora M: Sim, por ser fácil encontrar exemplos, calcular com que
encontramos no dia a dia.
Professora N: Não
Professora O: Sim, inclusive as crianças gostam de desenhar as figuras
geométricas e pintá-las.
Professora P: Sim, tudo que é conhecido é fácil e hoje há muitas maneiras de dar
aulas sobre área e perímetro. Perguntada se já ensinou esses assuntos nas
turmas as quais já trabalhou a professora respondeu que não
Professora Q: É fácil ou se torna fácil, a partir do conhecimento que o professor
irá trabalhar, ou até mesmo possui de tal conteúdo.
Professora R: Sim, porque estamos sempre ocupando um determinado espaço e
podemos através dos jogos favorecer a compreensão das crianças. Acredito estar
diante de uma contradição, pois em outro momento a mesma professora não
considerou esses conteúdos como fundamentais para a formação do aluno. E
quando questionada se ela acredita que área e perímetro são conteúdos
1
abordados nas salas de aula da rede pública a professora afirma que são poucos
professores que trabalham tais conteúdos e eles perdem a oportunidade por não
conhecer e dominar tal conteúdo.
Professora S: Nem tanto, pelas dificuldades dos alunos com outros conteúdos. A
afirmação da professora revela que os conteúdos são fáceis, mas se tornam não
tão fáceis assim porque os alunos não dominam outros conteúdos.Na visão da
professora existem alguns conteúdos matemáticos que são pré-requisitos para o
trabalho com área e perímetro. É o que ela chamou, respondendo uma outra
pergunta, de base e essa base só seria atingida na 3ªsérie. Na pergunta de
número 8 a professora afirma que é necessário fazer uma revisão das quatro
operações para abordar área e perímetro na sala de aula.
Professora T: Não, porque nunca aprendi realmente esses assuntos (desde que
cursei a escola quando criança, até os dias de hoje), pois acho que nem mesmo
meus professores de matemática sabiam e o que me passaram foram informações
elementares que só contribuíram para “responder algumas questões de provas”
de forma bem mecânica.
(9) Você acha que para o aluno aprender a noção de área e perímetro é
necessário que ele aprenda primeiro outro conteúdo matemático?
Professora K: Sim
Professora L: Não
Professora M: Sim
Professora N: Sim
Professora O: Sim
Professora P: Sim
1
Professora Q: Sim
Professora R: Sim
Professora S: Sim
Professora T: Sim
(10) Se sua resposta na pergunta acima foi SIM qual ou quais seriam esses
conteúdos prévios?Se sua resposta foi NÃO justifique sua resposta.
Professoras
Conteúdos
K, M,N, S.
As quatros operações
O
Adição e multiplicação
P
Números e quantidades
Q
A noção de espaço, comprimento, largura, altura.
R
Sistema de numeração, noção de espaço e forma, e as operações.
T
Medidas (aqueles de cm, mm, m...) formas geométricas.
1
QUADRO COM COLEÇÕES DE MATEMÁTICA DO GUIA DE LIVROS DIDÁTICOS – PNLD 2004
1ª a 4ª séries do ensino fundamental
Autor
SOARES,
Sarquis
Título/Editora
Eduardo Matématica com o
Sarquis / FORMATO
Classifcação
Recomendada
com distinção
1ª série
2ª série
Perímetro de
polígonos;
comparação de
área usando
sobreposição e
malha
quadriculada;
articulação entre
área e perímetro
3ª série
4ª série
Comparação e
medida de áreas
de figuras usando
unidades
convencionais e
nãoconvencioinais;
relações entre área
e perímetro
Perímetro; noções
de área
Área
Contornos e
medida de
comprimento (de
formas
geométricas
planas)
Comprimento
(perímetro); área
Contornos
IMENES, Luis M.;
LELLIS, Marcelo C.;
JAKUBOVIC, José
DANTE,
Luiz
Roberto
Novo
tempo/SCIPIONE
Recomendada
com distinção
Área; perímetro
Vivência e
construção/ÁTICA
Recomendada
com distinção
CARDOSO, Mário
Lúcio;
GONÇALVES,
OtÂnio A.
DARIN,
Áurea
Joana S.; SANTO,
Ieda M. C. Espírito
SOSSO, Juliana
Alegria de aprender
matemática/BRASIL
Recomendada
Colibri –
Matemática/IBEP
Recomendada
Contornos;
perímetro
Área
Convivendo com a
matemática/SARAIVA
Recomendada
Comprimento
(perímetro)
Comprimento
(perímetro); área
SANCHEZ, Lucília
B.;
LIBERMAN,
Manhúcia P.; WEY,
Regina L. da Motta
PADOVAN, Daniela;
GUERRA,
Isabel
Fazendo e
compreendendo
matemática/SOLUÇÃ
O
Matemática/MODERN
A
Recomendada
Cálculo de
perímetro
Áreas
Comprimento
(perímetro); área
12
Recomendada
Área e perímetro
12