&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&DStWXOR±
(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
>
x
5HVROXomR 1XPpULFD GH (TXDo}HV 1mR /LQHDUHV
o SUREOHPD : Determinar os valores de [ que satisfazem a HTXDomR,
I ([) = 0
¨ (TXDo}HV 'LRIDQWLQDV
x
Equações polinomiais, apenas com VROXo}HVLQWHLUDV.
'LRIDQWRde Alexandria [ sec. III ]
Caminhante! Aqui jaz Diofanto.
Os números dirão a duração da sua vida.
Cuja sexta parte foi ocupada por uma doce infância.
Decorrida mais uma duodécima parte da sua vida, o seu rosto cobriu-se
com barba. Passado mais um sétimo da sua vida casou. Cinco anos
depois, nasceu-lhe o seu único filho, que apenas durou metade da vida
do pai. Triste com a morte do seu filho, Diofanto viveu ainda quatro anos.
Diz-me, Caminhante, que idade tinha Diofanto quando a morte o levou?
x
As equações diofantinas nem sempre têm solução. Por exemplo,
[Q \Q
não tem solução para Q ! .
]Q
ÒOWLPRWHRUHPDGH)HUPDWVyGHPRQVWUDGRHP
¨ (TXDo}HV SROLQRPLDLV OLQHDUHV TXDGUiWLFDV F~ELFDV H TXiUWLFDV
x
Equações polinomiais que têm IyUPXODVUHVROYHQWHV, umas mais
complicadas do que outras...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Vamos considerar apenas o caso de I[ser uma IXQomRUHDOGHYDULiYHOUHDO.
x
¨ (TXDo}HV WUDQVFHQGHQWHV
x
As HTXDo}HVDOJpEULFDV, como por exemplo as polinomiais, envolvem
apenas as operações aritméticas básicas. As HTXDo}HVWUDQVFHQGHQWHV
envolvem também funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas,...
x
As VROXo}HV das equações transcendentespodem obter-se apenas
recorrendo a PpWRGRVQXPpULFRV.
5Dt]HV =HURV H 0XOWLSOLFLGDGH
Å
x
I(D) = 0 diz-se que D é uma UDL]GDHTXDomR I(x) = 0 ou que D é um
]HURGDIXQomR I(x):
Se
a)
]HURVLPSOHV :
b)
]HURGXSOR:
c)
]HURWULSOR:
I(D) = 0
I(D) = I¶(D) = 0
I(D) = I¶(D) = I¶¶(D) = 0
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
GHILQLomR A PXOWLSOLFLGDGHGHXP]HUR D da função I(x) é o supremo P dos valores N
tais que,
Se P = 1 o zero diz-se VLPSOHV, se P = 2 o zero diz-se GXSOR, ...
H[HPSOR D = 0 é um zero VLPSOHV da função I(x) = VLQ[ porque,
H[HPSOR D = 0 é um zero GXSOR da função I(x) = 1 í FRV[ porque,
QRWD
a multiplicidade de um zero pode não ser um número inteiro, nem sequer finita.
WHRUHPD
Se D for um zero da função I(x) e se I(x)for P vezes diferenciável em D
então a PXOWLSOLFLGDGH de D é P se e só se,
mas
H[HPSOR paraI(x) = VLQ[ , I(0) = 0 mas I ¶ (0)  portanto P = 1
H[HPSOR paraI(x) = 1 í FRV[ , I(0) = I ¶ (0) = 0 mas I ¶¶(0)  portanto P = 2
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Vamos utilizar apenas PpWRGRVLWHUDWLYRV ou de DSUR[LPDo}HVVXFHVVLYDV.
0pWRGRV ,WHUDWLYRV &RQYHUJrQFLD H (UUR
Å
x
Os PpWRGRVLWHUDWLYRVpara aproximar uma raiz D da equação I
x
Este processo iterativo gera uma VXFHVVmRGHDSUR[LPDo}HV [N , cada uma com
HUUR associado,
x
O método iterativo é FRQYHUJHQWH se,
([) = 0, partem
do conhecimento de V valores aproximados [0 [1 [Ví1 da raiz D e com
estes constroem uma QRYDDSUR[LPDomR [N :
ou seja,
GHILQLomR Seja {[N } uma sucessão convergente para D.
Se existirem duas constantes positivas
S
e
F
tais que
então diz-se que a sucessão {[N } é FRQYHUJHQWH para D GHRUGHP S
com uma FRQVWDQWHGHFRQYHUJrQFLDDVVLPSWyWLFD igual a F.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Se
Se
Se
x
S=1
S !1
S=2
a convergência diz-se de SULPHLUDRUGHP ou OLQHDU ( 0
a convergência diz-se VXSUDOLQHDU.
F”1 ).
a convergência é de VHJXQGDRUGHP ou TXDGUiWLFD,
...
Quanto maior for a RUGHPGHFRQYHUJrQFLDde um método iterativo menor será,
em princípio, o Q~PHURGHLWHUDo}HV necessárias para atingir uma dada precisão.
No entanto a rapidez depende também do HVIRUoRFRPSXWDFLRQDO requerido em
cada iteração.
x
,QGHSHQGHQWHPHQWHGRPpWRGRXWLOL]DGR, muitas vezes é possível obter um
PDMRUDQWHSDUDRHUUR:
WHRUHPD
Seja D a UDL]H[DFWD e [N um YDORUDSUR[LPDGR da raiz da equação
I([) = 0
Se
I([)
com D [N ± [DE].
for diferenciável em [DE] e
| I ([) | • P!0, [ ± [DE]
então,
GHPRQVWUDomR
Pelo teorema do Valor Médio,
aplicando módulos,
e portanto,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
/RFDOL]DomR H 6HSDUDomR GDV 5Dt]HV
Å
x
x
$QWHVGHDSOLFDUXPPpWRGRLWHUDWLYR para resolver a equação I ([) = 0, é
necessário obter uma DSUR[LPDomRLQLFLDO, o que exige a VHSDUDomR das
possíveis raízes em intervalos tão pequenosquanto possível.
O método mais prático consiste em analisar a UHSUHVHQWDomRJUiILFD de I([), ou
da combinação dos termos que formam a sua expressão analítica.
Por exemplo, para
I[ _[_íH[ ,
primeiro, verificamos que
H[LVWH um SRQWRGHLQWHUVHFomR de _[_com
H[
no intervalo (-1,
0)
Depois, FRQILUPDPRV essa observação, com base em GRLVUHVXOWDGRV:
Se I([) é uma função real e contínua entre [
números reais, tendo I
= D e [ = E, sendo D e E
(D) e I (E) VLQDLVFRQWUiULRV, então H[LVWH pelo
menosuma raiz real entre D e E.
Se a GHULYDGD de I([) H[LVWH, é FRQWtQXD e PDQWpPRVLQDO no intervalo
(DE), então D UDL]p~QLFD.
Para o exemplo:
I ([) ± &((-1, 0))
I (-) = 0.632 > 0 e I(0) = -1 < 0
I¶(x) = -1 - ex < 0 em todo o intervalo (-1, 0)
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
0pWRGRV ,QWHUYDODUHV
¨
0pWRGR GDV %LVVHFo}HV 6XFHVVLYDV
•
x
Partindo de um intervalo (D, E) que contém a raiz, construir uma
VXFHVVmRGHVXELQWHUYDORV, sendo cada um deles o semi-intervalo do
anterior que contém a raiz.
$OJRULWPR
{ D ± (D, E) ¼ ™ ± ¸+ ¼ I(D) I(E) < 0 }
ID  I(D)
HQTXDQWR
|D – E| / 2 • ™ ID]HU
PHLR  (D + E) / 2
IP  I (PHLR)
VH ( ID > 0 ) = (IP > 0 )
HQWmR
{ D ± (PHLR, E) } D  PHLR
VHQmR
{ D ± (D, PHLR) } E  PHLR
ILPHQTXDQWR
{ D ± (D, E) ¼ |a – b| / 2 < ™ }
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
note que:
x
x
x
x
x
Só é necessário calcular o valor de I([) XPDYH] por iteração.
Não é necessária uma PXOWLSOLFDomR para comparar os sinais.
Em aritmética de reais é extremamente improvável atingir o valor
exacto da raiz, pelo que não vale a pena WHVWDUDLJXDOGDGH.
A sequência de subintervalos { ( DN, EN
sucessivos valores das variáveis D e E.
) } foi representada pelos
Para um dado HUURDEVROXWRPi[LPR ™, em cada iteração N, utilizámos o WHVWH:
de modo a que o HUUR cometido seja LQIHULRUjVHPLDPSOLWXGHGRLQWHUYDOR.
Deste modo, sendo FN os sucessivos SRQWRVPpGLRV,
o que nos permite estimar oQ~PHUR Q GHLWHUDo}HV necessárias, para garantir
uma aproximação da raiz com um erro absoluto máximo de ™:
ou seja,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
SDUDRPHVPRH[HPSOR
I([) = |x| í H
x
, com
™ = 10-6
N
= 0.00000095
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
DN
-1.000000
-1.000000
-0.750000
-0.625000
-0.625000
-0.593750
-0.578125
-0.570313
-0.570313
-0.568359
-0.567383
-0.567383
-0.567383
-0.567261
-0.567200
-0.567169
-0.567154
-0.567146
-0.567146
-0.567144
EN
0.000000
-0.500000
-0.500000
-0.500000
-0.562500
-0.562500
-0.562500
-0.562500
-0.566406
-0.566406
-0.566406
-0.566895
-0.567139
-0.567139
-0.567139
-0.567139
-0.567139
-0.567139
-0.567142
-0.567142
= 19.931569
x
x
x
x
Uma YDQWDJHP do método das bissecções sucessivas é que FRQYHUJHVHPSUH
(desde que exista raiz no intervalo inicial).
Outra YDQWDJHP é a possibilidade de SUHYHUXPPDMRUDQWH para o erro cometido
ao fim de um certo número de iterações.
O FXVWR computacional de cada iteração é PXLWREDL[R.
A pior GHVYDQWDJHP reside no facto da sua FRQYHUJrQFLD ser PXLWROHQWD (muitas
iterações) quando comparada com a dos outros métodos.
Verifique que o método das bissecções sucessivas é OLQHDU, com FRQVWDQWHGH
FRQYHUJrQFLD igual a .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
¨
0pWRGR GD &RUGD )DOVD
•
O Método da Corda Falsa pode ser encarado como um PHOKRUDPHQWR do
Método das Bissecções Sucessivas.
Em vez do ponto médio, um ponto FN é determinado como a LQWHUVHFomR
•
GDVHFDQWH que passa pelos pontos (DN
dos [[.
•
A partir da equação da secante,
I(DN)) e (EN I(EN)) com o eixo
e fazendo \ = 0 obtemos,
•
Note-se que os sucessivos cálculos desta fórmula QmRSURYRFDP efeitos
de FDQFHODPHQWRVXEWUDFWLYR pois I (EN) e I (DN) têm sinais contrários.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
0pWRGRV LWHUDWLYRV GHSHQGHQWHV GH XP Vy SRQWR
x
Em cada iteração, a nova aproximação GHSHQGHDSHQDVGDDQWHULRU.
¨ 0pWRGR ,WHUDWLYR GR 3RQWR )L[R
•
Pretendemos GHWHUPLQDUDVROXomR
[ J([)
D
de uma equação não linear da forma,
•
Dada uma equação na forma I ([) = 0 é sempre possível fazer,
•
Mais geralmente podemos considerar,
onde F([) é uma função contínua, QmRQXOD e OLPLWDGD no
intervalo ,
= [DE] que contém a raiz D de I ([) = 0.
GHILQLomR Um SRQWRIL[R de uma função J([) é um número real D
tal que D
•
= J(D).
± , R PpWRGRLWHUDWLYRGRSRQWRIL[R
consiste numa VXFHVVmRGHDSUR[LPDo}HV { [N }
D tal que,
Dada uma aproximação inicial [0
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
•
•
Geometricamente, os SRQWRVIL[RV de uma função \
intersecção de \
= J([) com \ = [
= J([) são os pontos de
I([) = 0 x x = J([) , GHWHUPLQDUDUDL] de I([) = 0 em [D, E]
é o mesmo que SURFXUDURSRQWRIL[R de J([) em [D, E] .
Assim, se
¨ ([HPSOR 0pWRGR %DELOyQLFR $& SDUD FDOFXODU D 5DL] 4XDGUDGD GH XP Q~PHUR
&RPHoDUFRPXPDHVWLPDWLYD
'LYLGLURQ~PHURSHODHVWLPDWLYD
&DOFXODUDPpGLDHQWUHHVVDGLYLVmRHDHVWLPDWLYD
)D]HUGHVWDPpGLDDQRYDHVWLPDWLYD
H YROWDUD
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
¹D
consiste na VXFHVVmRGHDSUR[LPDo}HV:
•
Ou seja, o cálculo de
•
Experimentemos para D = 16,
•
O método utilizado tem por base a HTXDomR,
0
1
2
3
4
5
começando com [0 = 10 :
10.00000000
5.80000000
4.27931034
4.00911529
4.00001036
4.00000000
obviamente equivalente a
e consiste na SHVTXLVDGH
XPSRQWRIL[R da função J([)
Para D = 16 a função J([)
tem GRLVSRQWRVIL[RV,
em [ = 4 e [ = í
•
E de facto, se partirmos de uma HVWLPDWLYD
LQLFLDOQHJDWLYD, o método babilónico
encontra a UDL]QHJDWLYD de 16.
0
1
2
3
4
5
í10.00000000
í5.80000000
í4.27931034
í4.00911529
í4.00001036
í4.00000000
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Como funciona?
A partir de uma aproximação inicial [0, uma VXFHVVmRGHDSUR[LPDo}HV
da forma
[N = J([N)
FRQYHUJHSDUDXPSRQWRIL[R da função J([).
[ [
x
[
Porque funciona?
WHRUHPD
Seja J([) uma IXQomRFRQWtQXD e ^
PpWRGRLWHUDWLYRGRSRQWRIL[R
Se
OLP
GHPRQVWUDomR
N‘ˆ
Se OLP
[N = D
N‘ˆ
[N ` uma sucessão gerada pelo
[N = J([N) .
então D é um SRQWRIL[R de J[.
[N = D então também OLP N‘ˆ [N = D
e como J([) uma função contínua,
portanto D é um SRQWRIL[R de J([).
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Quando H[LVWH ponto fixo?
WHRUHPD
Seja J([) ±
&([D, E]).
Se para todo o [ ± [D, E], se verifica que J([) ± [D, E]
( isto é, se J for uma FRQWUDFomR)
então J tem SHORPHQRVXPSRQWRIL[Rem [D, E].
GHPRQVWUDomR
Se J(D) = D ou J(E) = E então o ponto fixo é óbvio.
Caso contrário defina-se a função auxiliar K em [DE],
K([) = [ íJ([)
Como K é contínua em [DE] e
J(D) ± [D, E] Á
J(E) ± [D, E] Á
K(D) = D íJ(D) 0
K(E) = E íJ(E) ! 0
então existe SHORPHQRV um valor D ± (D, E) tal que K(D) = 0.
Logo D
x
J(D) e D é um SRQWRIL[R.
Quando é ~QLFR o ponto fixo?
WHRUHPD
Se J¶([) está definida em [D, E] e existe uma FRQVWDQWHSRVLWLYD / ,
com _ J [ _ ”/ para todo o [ ± [D, E],
então J([) tem XP~QLFRSRQWRIL[R em [D, E].
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
GHPRQVWUDomR
Suponhamos que existiam GRLVSRQWRVIL[RV
D1 , D2 ± [D, E] .
Então, pelo Teorema do Valor Médio, existiria um
F ± ( D1, D2 ) ° (D, E) tal que,
mas nesse caso, sendo D1 e
donde J (F)
D2
pontos fixos,
= 1, contradizendo a hipótese de _ J ([) _ 1
para todo o [ ± [DE].
Logo QmRpSRVVtYHO existirem GRLVSRQWRVIL[RV.
x
Quando FRQYHUJH o método do ponto fixo?
7HRUHPDGR3RQWR)L[R
Sejam
J([) , J¶([) ± &([D, E]) :
J([) ± [D, E]
| J¶([) | < 1
[ ± [D, E].
para todo o [
para todo o
[ ± [D, E],
Então a sucessão {[N} gerada por [N+1 =
FRQYHUJHSDUDR~QLFRSRQWRIL[R D
± [D, E],
J([N), N = 0 1 2 ±[DE].
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
GHPRQVWUDomR
Nas condições da hipótese e pelo teorema anterior, H[LVWHHp
~QLFR um SRQWRIL[R D da função J([) no intervalo [D, E] .
Resta demonstrar que o método FRQYHUJH para ele.
Consideremos o HUURDEVROXWR na iteração N+1 :
Pelo Teorema do Valor Médio, existe
tal que,
Consideremos o número positivo /, tal que _J ([)_ = / 1 para
todo o [ ± [DE] . Assim,
ou seja,
_ HN+1 _ ”/_HN _
para N = 0, 1, 2, ...
Aplicando esta relação indutivamente, temos,
e uma vez que / 1, então,
Assim, desde que a aproximação inicial [0
iterativo de ponto fixo é FRQYHUJHQWH.
± [DE], o método
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
&RPRFRQYHUJH o método do ponto fixo?
Convergência PRQyWRQD quando 0
< J¶0([) < 1 :
Convergência RVFLODQWH quando íJ¶0([)
<0:
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Quando GLYHUJH o método do ponto fixo?
WHRUHPD
Seja
Se:
J:'°¸
J , J¶ ± &(')
¸
.
J([) WHPXPSRQWRIL[R D ± [D, E] ¯ ' ,
| J¶([) | > 1
para todo o
[±',
[ ± [D, E] ( com [ œ D) .
Então a sucessão {[N} gerada por [N+1 =
QmRFRQYHUJHpara o ponto fixo D
GHPRQVWUDomR
J([N), N = 0 1 2 ,
±[DE].
De modo análogo ao anterior,
considerando o HUURDEVROXWR na iteração N+1 :
Pelo Teorema do Valor Médio, existe
tal que,
Ou seja,
Contudo, neste caso
e portanto
Assim, o método iterativo de ponto fixo é GLYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
&RPRGLYHUJH o método do ponto fixo?
Divergência PRQyWRQD quando
J¶([) > 1 :
Divergência RVFLODQWH quando
J¶([) < í1 :
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Quando converge, qual aRUGHPGHFRQYHUJrQFLDdo método do ponto fixo?
Consideremos que
J([), J¶([) ± &([D, E])
e que o método do ponto fixo é FRQYHUJHQWH para D.
No caso de
J’(D) œ 0
Como vimos,
ou seja,
Portanto, no caso de J’(D)
œ 0, e como | J¶(D) | < 1,
então o método do ponto fixo apresenta RUGHPGHFRQYHUJrQFLDOLQHDU
sendo |
J¶(D) |
No caso de
a FRQVWDQWHDVVLPSWyWLFD de convergência.
J’(D) = 0
e
J’’(D) œ 0
J([) ± &2([D, E]), consideremos o desenvolvimento de
Taylor de ordem 1 em torno de D :
Assumindo que
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Para
[ = [N
e como J’(D)
e uma vez que D
= 0, com J’’(D) œ 0,
= J(D) ,
Assim, se o método for convergente,
Portanto, no caso de J’(D)
= 0 e J’’(D) œ 0,
o método do ponto fixo apresenta RUGHPGHFRQYHUJrQFLDTXDGUiWLFD
sendo |
J¶¶(D) | / 2
a FRQVWDQWHDVVLPSWyWLFD de convergência.
De um modo geral, assumindo que
J([) ± & ([D, E]), se
Q
mas
prova-se que o método iterativo do ponto fixo apresenta RUGHPGH
FRQYHUJrQFLDQ .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
¨ 9ROWDQGRDR0pWRGR%DELOyQLFR
SDUDFDOFXODUD5DL]4XDGUDGDGHD
•
Onde,
tem uma descontinuidade em [ = 0
•
Derivando,
e
J’(4) = 0
verificamos que, na maior parte dos casos, | J¶([) | < 1
•
A segunda derivada,
•
Portanto a convergência é TXDGUiWLFD, com,
N
0
1
2
3
4
5
e
[N
10.00000000
5.80000000
4.27931034
4.00911529
4.00001036
4.00000000
J’’(4) / 2 = 0.125
|HN|
|HN| |HN 2|
6.00000000
1.80000000
0.27931034
0.00911529
0.00001036
0.00000000
0.05000000
0.08620690
0.11684126
0.12471579
0.12499660
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
0pWRGR GH 1HZWRQ5DSKVRQ RX 0pWRGR GD 7DQJHQWH ¨ ,QWHUSUHWDomR *HRPpWULFD
x
Em cada iteração [N , a curva \
= I([) é aproximada pela suaWDQJHQWH e
a LQWHUVHFomR desta com o eixo dos[[ é a nova aproximação [N .
x
A HTXDomRGDWDQJHQWH à curva no ponto ([N,
I ([N))
é,
e a sua LQWHUVHFomR com o eixo dos [[ determina a QRYDDSUR[LPDomR,
x
A partir de uma aproximação inicial [ esta fórmula gera uma VXFHVVmR
{ [N }
que, em certos casos, deverá convergir para um zero da função.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo, para a função I([)
e para o caso particular de D
= [ – D ,
= ,
com a aproximação inicial
[ [
a sucessão das aproximações tende para um ]HUR de I([)
N
0
1
2
3
4
5
[ = ,
[
= [ – .
[N
10.00000000
5.80000000
4.27931034
4.00911529
4.00001036
4.00000000
o que já não era novidade na antiga Babilónia ...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
¨ 1HZWRQ5DSKVRQ FRPR FDVR SDUWLFXODU GR 0pWRGR GR 3RQWR )L[R
x
Dada uma equação I([)
através da relação,
= 0, podemos passar para a forma [ J([)
onde F([) é uma função contínua, QmRQXOD e OLPLWDGD no intervalo [DE]
que FRQWpPDUDL] D de I([)
= 0.
x
Pretendemos GHILQLU F([) de modo a que o método do ponto fixo ( no caso
de convergir ) tenha uma ordem de FRQYHUJrQFLDSHORPHQRVTXDGUiWLFD.
x
Assumindo que I([) e F([) são GLIHUHQFLiYHLV em [DE],
e calculando no ponto D,
x
Para que a convergência seja TXDGUiWLFD, devemos ter J’(D)
E como I(D)
= 0.
= 0 então,
Assim, EDVWDHVFROKHU,
assumindo que I¶([)
 em todo o intervalo [DE].
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Substituindo, temos a nova forma,
que corresponde ao 0pWRGRGH1HZWRQ5DSKVRQ,
e que, por esta construção, VHFRQYHUJLUpTXDGUiWLFR.
¨ 2 0pWRGR GH 1HZWRQ5DSKVRQ D SDUWLU GD VpULH GH 7D\ORU
x
Suponha-se que I ± & ([DE]), que o Método de Newton-Raphson é
convergente e considere-se o desenvolvimento de Taylor de ordem 1 em
torno de [N :
2
Calculando em [
=D,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
donde,
e assim obtemos a QRYDDSUR[LPDomR [N e o HUUR cometido.
x
Note-se que assumimos que |D
aproximação inicial N = 0.
- [N|
é pequeno, para todo o N, incluindo a
¨ 2UGHP GH &RQYHUJrQFLD GR 0pWRGR GH 1HZWRQ5DSKVRQ
•
Pela expressão anterior,
donde, tomando módulos,
•
Assim, no caso de o método convergir,
e a FRQYHUJrQFLDpTXDGUiWLFD
com FRQVWDQWH de convergência assimptótica igual a
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
2EVHUYDomR
Se o zero de I não for simples a ordem do método degrada-se. Mostra-se que,
no caso dos ]HURVGHPXOWLSOLFLGDGH a convergência é apenas OLQHDU.
¨ 8P 0DMRUDQWH GR (UUR $EVROXWR
•
Pela expressão anterior,
,
temos,
•
Se identificarmos um PDMRUDQWHGDVHJXQGDGHULYDGD e um PLQRUDQWHGD
SULPHLUDGHULYDGD, para todo o intervalo,
é simples calcular:
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
¨ 8PD HVWLPDWLYD GR (UUR $EVROXWR
•
Assumindo que I ± &([DE]) e que o Método de Newton-Raphson é
convergente, pelo Teorema do Valor Médio,
Donde, assumindo ainda que
•
Por outro lado, da expressão do próprio método,
•
Para N suficientemente grande,
, donde,
e portanto,
•
Assim, podemos estimar,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
•
Em termos algorítmicos, é mais cómodo calcular,
HN ž | [N – [N |
•
De facto, para o H[HPSORDQWHULRU,
N
0
1
2
3
4
5
[N
10.00000000
5.80000000
4.27931034
4.00911529
4.00001036
4.00000000
|HN|
6.00000000
1.80000000
0.27931034
0.00911529
0.00001036
0.00000000
|HN|
6.00000000
1.80000000
0.27931034
0.00911529
0.00001036
|[N í [N|
4.20000000
1.52068966
0.27019506
0.00910492
0.00001036
¨ &ULWpULR GH &RQYHUJrQFLD GR 0pWRGR GH 1HZWRQ5DSKVRQ
WHRUHPD
Então, para qualquer [ ±
[DE], a sucessão {[N} gerada pelo Método
de Newton-Raphson FRQYHUJHSDUDR~QLFR]HUR de I em[DE].
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
REVHUYDo}HV
x
(i) + (ii) garantem a H[LVWrQFLDGHXPDVyVROXomR em [DE].
x
(iv) garante que as WDQJHQWHV à curva em (DI(D)) e em (EI(E))
LQWHUVHFWDP o eixo dos xx em (DE).
x
(ii) + (iii) garantem que a função é PRQyWRQD, convexa ou côncava.
¨ 9DQWDJHQV GR 0pWRGR GH 1HZWRQ5DSKVRQ
x
x
Quando converge, tem FRQYHUJrQFLDTXDGUiWLFD.
Necessita apenas de XPSRQWR, para estimativa inicial.
¨ 'HVYDQWDJHQV GR 0pWRGR GH 1HZWRQ5DSKVRQ
x
x
x
Exige uma ERDDSUR[LPDomRLQLFLDO. Caso contrário pode divergir, ou
encontrar outra raiz.
Exige o FiOFXORGDGHULYDGD em cada iteração, o que pode ser lento ou
mesmo impossível.
Exige que a GHULYDGD (no denominador) QXQFDVHDQXOH. Note que, mesmo
para valores da derivada SUy[LPRVGH]HUR, a intersecção da tangente com o
eixo dos [[ é um ponto muito afastado...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD
&DStWXOR±(TXDo}HVH6LVWHPDVGH(TXDo}HV1mR/LQHDUHV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
¨ $OJXQV FDVRV SDWROyJLFRV GR 0pWRGR GH 1HZWRQ5DSKVRQ
x
Para a função I[
o método calcula [
[ í [, se escolhermos [
,
, gerando a sucessão de aproximações:
x
Para a função
o método gera uma sucessão tal que,
x
Para
[N í[N
I[ ¹ [, obtém-se [N í[N
de modo que, para qualquer [, o método gera a sucessão:
[ [ [ [ [ [ x
Todo o SRQWRGHLQIOHFomR provoca um afastamento da raiz.
x
...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
$QiOLVH1XPpULFD5RViOLD5RGULJXHVH$QWyQLR3HUHLUD