ÁLGEBRA
LIVRO 4
Resoluções das atividades
Sumário
Capítulo 12 – Probabilidade II – Probabilidade condicional e multiplicação de probabilidades ...............................................................................................................1
Capítulo 13 – Probabilidade III – Distribuição binomial .............................................................................................................................................................................2
Capítulo 14 – Estatística I – Variável e tabelas de frequências...................................................................................................................................................................4
Calcula-se a probabilidade condicional:
Capítulo 12
Probabilidade II – Probabilidade
condicional e multiplicação de probabilidades
P ( saudável / negativo) =
n ( saudável ∩ negativo)
n (negativo)
Portanto, de acordo com o diagrama, tem-se:
Atividades para sala
380
380 + 40
19
P ( saudável / negativo) =
21
P ( saudável / negativo) =
01 D
O número total de espécies animais é dado por 263 + 122 +
93 + 1 132 + 656 = 2 266.
04 D
Portanto, a probabilidade pedida é dada por:
P=
1132
⋅ 100% ≅ 49, 96%
2 266
10 5
=
14 7
05 A
O jogador I converte chutes em gol com probabilidade
02 D
De acordo com os dados da tabela, pode-se obter o seguinte
diagrama:
U
580
S
R
50
90
45 3
= , enquanto o jogador II converte chutes em gol com
60 4
50 2
= .
probabilidade
75 3
3 2
Portanto, como > , o jogador I deve ser escolhido para ini4 3
ciar a partida.
80
20
40
30
M
110
Atividades propostas
Portanto, a probabilidade de um estudante selecionado ao
110
acaso preferir apenas MPB é dada por
⋅ 100% = 11%.
1000
01 D
Sejam os eventos A: “amostra pertence à cultura A ” e B:
“amostra escolhida germinou”.
Deve-se calcular a probabilidade condicional P(A | B). Portanto,
de acordo com os dados da tabela, tem-se
03 C
P (A | B) =
Considere o diagrama a seguir.
n ( A ∩ B) 392
=
n (B)
773
Portador
60
40
Positivo
Negativo
20
380
Saudável
02 B
3 doses → (1 - 0,93) · 100% = 27%
4 doses → (1 - 0,94) · 100% = 34%
5 doses → (1 - 0,95) · 100% = 41%
Resposta: 4 doses.
2a Série – Ensino Médio
1
ÁLGEBRA
LIVRO 4
03 B
Verde: 25 segundos
Amarelo: 5 segundos
Vermelho: 70 segundos
Total: 100 segundos
Logo, a probabilidade de se encontrar um sinal verde é:
25
1
=
100 4
1 1
1
Nas duas vezes que passar, tem-se: = ⋅ =
(princípio
4
4
16
multiplicativo).
08 Considerando os eventos:
A: sair número ímpar na 1a retirada.
B: sair número ímpar na 2a retirada.
B/A: sair número ímpar na 2a retirada, sabendo que na 1a já
saiu número ímpar.
1
2
0, 2% ⋅ 0, 2% ⋅ 99, 8% ⋅ 99, 8% =
P4 2,2 ⋅ ( 0, 2%)2 ⋅ ( 99, 8%)2 =
4!
⋅ ( 0, 2%)2 ⋅ ( 99, 8%)2 ⇒
2!2!
⇒ 6 ⋅ ( 0, 2%)2 ⋅ ( 99, 8%)2
06 Ω = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 5), (6, 6)} → n(Ω) = 36
Evento A: sair soma 8 → A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
Evento B: sair 3 no primeiro dado → B = {(3, 1), (3, 2), (3, 3),
(3, 4), (3, 5), (3, 6)}
1
6
1
A ∩ B = {(3, 5)}; P( A ∩ B) =
=
; P(B) =
36
36 6
1
P( A ∩ B) 36 1
p( A| B) =
=
=
P(B)
1 6
6
09 Ω = {(M, M, M), (M, M, F), (M, F, M), (M, F, F), (F, M, M),
(F, M, F), (F, F, M), (F, F, F)}; n(Ω) = 8
3
Evento A: o casal tem duas meninas ⇒ P(A) =
8
4
Evento B: primeira criança é menina ⇒ P(B) =
8
A ∩ B: duas meninas, sendo a primeira uma menina ⇒
1
P(A ∩ B) =
4
Logo:
1
P( A ∩ B) 4 1
= =
P(A | B) =
4 2
P(B)
8
10 Possíveis códigos:
4 567
4 568
Evento A: a pessoa é advogada
Evento B: a pessoa é do sexo feminino
Procura-se P(A|B).
4 569
4 578
4 579
4 589
4 678
4 679
4 689
4 789
5 678
5 679
5 689
5 789
6 789
Número de códigos possíveis de digitar: 15
1
a)
15
280 14
=
500 25
n( A ∩ B) = 20
P(B) =
2
2 1
=
4 2
na 2a retirada é:
3 1 3
P(B ∩ A ) = ⋅ =
= 0, 30 ou P(B ∩ A ) = 30%
5 2 10
07 Considere:

1


5
1
2
=
 ⇒ P( A | B) =
14
14
20
1
P( A ∩ B) =
= 
25
500 25 
Outra maneira:
Em vez de considerar a população toda, pode-se restringir
o estudo apenas às mulheres e perguntar qual é a probabilidade de ser advogada uma mulher tomada ao acaso. Dessa
forma:
20
1
P( A | B) =
=
280 14
3
5
Sabendo que P(B|A) =
05 C
sem defeito
P( A ) =
P(B ∩ A )
, então P(B ∩ A) = P(A) · P(B|A).
P( A )
Assim, a probabilidade de sair um número ímpar na 1a e
Os ilhos poderão ser: homem, homem e mulher; mulher,
homem e homem; ou homem, mulher e homem.
Logo, a probabilidade será:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = 0, 375 = 37, 5%
2 2 2 2 2 2 2 2 2 8
sem defeito
5
Por outro lado, a probabilidade de que o 2o número sorteado seja ímpar, sabendo-se que o 1o foi ímpar, é:
P(B|A ) =
com defeito
4
Ímpares
04 E
com defeito
3
b)
14 13 1
1
⋅
⋅
=
15 14 13 15
Probabilidade III – Distribuição
Capítulo 13 binomial
Atividades para sala
01
U = {cara, coroa}

n (U) = 2
2a Série – Ensino Médio
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Assim:
Atividades propostas
1
A = cara ⇒ P ( A ) = = p = 1
2
A = coroa ⇒ P ( A ) = 1− p = 1 −
01 D
O espaço amostral do lançamento dos dois dados é:
1 1
=
2 2
Logo:
(1, 1), (1, 2 ), (1, 3 ), (1, 4 ), (1, 5 ), (1, 6), 
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,, 4 ), (2, 5 ), (2, 6 ), 


(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4 ), (3, 5), (3, 6), 
Ω=

( 4, 1), ( 4, 2), ( 4, 3 ), ( 4, 4 ), ( 4, 5 ), ( 4, 6 ), 
( 5, 1), ( 5, 2), ( 5, 3), ( 5, 4 ), ( 5,, 5 ), ( 5, 6 ), 


( 6, 1), ( 6, 2), ( 6, 3), ( 6, 4 ), ( 6, 5), ( 6, 6) 
 n
n −k
Pk ( A ) =   pk ⋅ (1 − p)
k
 
3
 5  1  1
P3 ( A ) =      
 3  2   2 
5−3
1 1 10 5
P3 ( A ) = 10 ⋅ ⋅ = =
8 4 32 16
Desse modo, como a soma dos dados é igual a 6 em (5, 1),
(4, 2), (3, 3), (2, 4) e (1, 5), segue que a probabilidade de
02 A
Tem-se uma face com soma máxima em 6.
1
Logo: P =
6
Pedro ganhar o sorteio é
5
.
36
Por outro lado, os únicos resultados favoráveis a Tadeu e
Ricardo são, respectivamente, (1,1) e (6,6).
Logo, a probabilidade de Tadeu e Ricardo icarem com a
4
8
12
soma 24 (máxima)
3
7
11
soma 21
2
6
10
soma 18
1
5
9
soma 15
taça é
1
1
2
+
=
.
36 36 36
5
2
>
, Tadeu e Ricardo tinham razão,
36 36
pois os dois juntos tinham menos probabilidade de ganhar
a guarda da taça do que Pedro.
Portanto, como
02 A
03 A
De acordo com as informações do enunciado, pode-se construir a seguinte tabela:
Deve-se calcular P (P ∩ Q ):
P (P ∪ Q ) = P (P) + P (Q ) − P (P ∩ Q ) ⇔
40% = 36% + 16% − P ( P ∩ Q ) ⇔
P (P ∩ Q ) = 52% − 40% = 12%
2013
2014
1o
B
C
2o
D
B
3
04 D
De acordo com o gráico, a única peixaria que vende peixes
frescos na condição ideal é a V. Portanto, a probabilidade
de a peixaria selecionada vender peixes frescos na condição
1
ideal é .
5
05
Posição
C
A
4o
A
D
Portanto, como nenhum dos times obteve mesma classiicação no torneio em 2013 e 2014, segue que a probabilidade pedida vale zero (evento impossível).
03 E
De acordo com o gráico, pode-se concluir que o número
total de ilhos é dado por 7 · 1+ 6 · 2 + 2 · 3 = 25. Portanto,
como cada uma das sete mães teve um único ilho, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a)
7
.
ilho(a) único(a) é
25
n = 10

1
p =

5

q = 1 − p = 1 − 1 = 4

5 5
r = 6

6
 10  1  4 
 n
P =   pr ⋅ qn−r ⇒ P =   ⋅   ⋅  
 6   5  5
 r
6
o
4
10 − 6
 10  1   4 
 10 4 4
⇒ P =   ⋅   ⋅   ⇒ P =   ⋅ 10
 6   5  5
 6 5
⇒
04 D
No método I, a probabilidade de um aluno do turno diurno
ser sorteado é:
1 1
1
⋅
=
2 300 600
2a Série – Ensino Médio
3
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LIVRO 4
10 km
enquanto que a probabilidade de um aluno do turno noturno
ser sorteado é:
1 1
1
⋅
=
2 240 480
No método II, a probabilidade de um aluno do turno
diurno ser sorteado é:
A
Município
10 km
1 1
1
⋅
=
,
16 30 480
10 km
enquanto que a probabilidade de um aluno do turno
noturno ser sorteado é:
1 1
1
⋅
=
16 40 600
Portanto, no método I, a probabilidade de um aluno do
noturno ser sorteado é maior do que a de um aluno do
diurno, enquanto no método II ocorre o contrário.
Observação: Chance de ocorrência de um evento é a razão
entre a probabilidade de sua ocorrência e a probabilidade
de sua não ocorrência. Desse modo, chance e probabilidade não são sinônimos.
05 C
Se possui duas bolas nas linhas 4 e 5, logo, cada uma das
linhas restantes terá apenas uma bola (total de 7 bolas).
Portanto, a probabilidade de ganhar o prêmio será:
P=
1 1 1 2 2
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
3 4 3 3 2 54
B
08 E
3
= 30%.
10
8 9
⋅
Ganhar na segunda opção: 1 −
(perder nos dois
10
10
sorteios) = 28%
Ganhar na primeira opção:
9 9 9
(perder nos três
Ganhar na terceira opção: 1 −
⋅
⋅
10
10 10
sorteios) = 27,1%
Portanto, X > Y >Z.
09 C
P=
8 9
⋅
= 72% (perder nos dois)
10 10
10 D
Probabilidade não é algo exato, não signiica que a cada
dez anos cairá um raio, mas que existe chance de que isto
ocorra, portanto a alternativa D é a correta.
Estatística I – Variável e tabelas de
Capítulo 14 frequências
06 D
Imagina-se uma pessoa chegando depois das 7h ao terminal.
Se ela chegar entre 7h e 7h10, ela tomará o ônibus Bompasseio.
Se ela chegar entre 7h10 e 7h30, ela tomará o ônibus Andabem
Se ela chegar entre 7h30 e 7h40, ela tomará o ônibus Bompasseio
Se ela chegar entre 7h40 e 8h, ela tomará o ônibus Andabem.
Portanto, a cada hora, o tempo de espera para um ônibus
da empresa Andabem é o dobro do tempo de espera para
um ônibus da empresa Bompasseio.
Logo, a probabilidade de Carlos viajar em um ônibus da
empresa Andabem é duas vezes maior do que a probabilidade de ele viajar em um ônibus da empresa Bompasseio.
Atividades para sala
01 C
De acordo com o gráico, o polo com maior crescimento foi o
de Guarulhos, e o menor, a capital de São Paulo. Por conseguinte, a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias é 60,52 – 3,57 = 56,95%.
02 C
De acordo com o gráico, tem-se que 200 · 0,25 = 50 hotéis
cobram diárias de $ 200,00; 200 · 0,25 = 50 hotéis cobram
diárias de R$ 300,00; 200 · 0,4 = 80 hotéis cobram diárias de
R$ 400,00; e 200 · 0,1 = 20 hotéis cobram diárias de R$ 600,00.
Considere a tabela abaixo, em que X i é o valor da diária, em
reais, para um quarto padrão de casal, ƒi é a frequência simples absoluta e Fi é a frequência absoluta acumulada.
07 B
Considerando os dois setores juntos, têm-se um semicírculo
de raio 10 km.
Portanto, a probabilidade será dada por:
2
π ⋅ 10
2
P=
= 0, 25 = 25%
628
4
10 km
Xi
ƒi
Fi
200
50
50
300
50
100
400
80
180
600
20
200
n=
2a Série – Ensino Médio
∑ ƒ = 200
i
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LIVRO 4
Portanto, como EMd =
diária é Md =
Por conseguinte, a vaca que apresentou o melhor índice de
eiciência foi a mateira.
n 200
=
= 100, o valor mediano da
2
2
300 + 400
= R$ 350, 00.
2
02 E
De acordo com o gráico, a maior venda absoluta ocorreu
em junho e a menor em agosto.
03 B
Considere a seguinte tabela.
Avaliador
Xi
Yi
Xi + Yi
A
18
16
34
B
17
13
30
C
14
1
15
D
19
14
33
E
16
12
28
03 E
De acordo com a tabela, um jovem entre 12 e 18 anos gasta
5 · 5 + 2 · 1 = 27 horas de seu tempo, durante a semana
inteira, com atividades escolares.
Σ (x + y ) = 140
i
i
140
= 14.
10
Descartando-se a nota maior e a nota menor, obtém-se
140 − 1− 19
m' =
= 15.
8
Portanto, a nova média, em relação à média anterior, é
15 – 10 = 1,00 ponto maior.
Logo, a média anterior é dada por m =
04 C
Os países com notas abaixo da média são: Rússia, Portugal, México, Itália e Israel. Dentre esses países, o que apresenta maior quantidade de horas de estudo é Israel.
04 A
Colocando os dados em ordem crescente, tem-se:
- 449 444, 11 796, 13 117, 25 363, 29 595, 47 436, 58 836,
94 893, 101 425, 105 384, 123 785, 211 068, 260 823
A mediana (Ma) é o termo central da sequência anterior.
05 E
Como o gráico correspondente ao ano 2007 apresenta a
menor extensão de gelo marítimo em setembro, pode-se
concluir que houve maior aquecimento global nesse ano.
06 E
Desvio padrão:
1
saca
90 kg
30 kg
2
=
=
30 000 m2 10 000 m2 hectare
Logo, a variância das produções dos talhões será dada por:
2

 1
saca
1

 2
2
 hectare  = 4 = 0, 25 ( saca / hect )


05 B
Considere a tabela abaixo.
07 C
O período de queda mais vertiginosa ocorreu entre 2003 e
2006.
8
12
10
10
6
Em % ano a ano
30
24,6
25,7
25,1
23,7 23,3
23,5 22,2 22,1
23,7
22,9
23,6
22,5
21,8
01 D
Considere a tabela abaixo, em que ej é o índice de eiciência descrito no enunciado.
Vj
Tj
Pj
lj
ej =
Tj ⋅ Pj
lj
Malhada
360
12,0
15
288,0
Mamona
310
11,0
12
284,2
Maravilha
260
14,0
12
303,3
Mateira
310
13,0
13
310,0
Mimosa
270
12,0
11
294,5
08 B
85, 56 16, 73
−
= 0, 46 − 0,17 = 0, 29
185
100
09 C
25
⋅ 279 ≅ 70
100
Portanto, mais de 50 e menos de 75.
2a Série – Ensino Médio
5
2011
2012
1998
1999
1996
1997
20
1994
Atividades propostas
1995
24,1
2010
24,2 24,6
2009
25
25,1
2007
26,1
2008
26,4
2006
Assim, a empresa G apresentou o maior lucro médio anual e,
portanto, deve ter sido a escolhida pelo empresário.
2005
3,0
2,0
2,5
1,5
1,5
2003
24
24
25
15
9
Li
Ti
2004
F
G
H
M
P
Li =
2001
Ti
2002
Li
2000
Empresa
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LIVRO 4
10 B
Colocando os dados em ordem crescente:
13,5 - 13,5 - 13,5 - 13,5 - 14 - 15,5 - 16 - 18 - 18 - 18,5 - 19,5 20 - 20 - 20 - 21,5
A média é 17 ºC, pois todas as alternativas apresentam
este valor como resposta.
A mediana é o termo central de distribuição em ordem
crescente. Portanto, a mediana é o oitavo termo, ou seja,
18 ºC.
A moda é 13,5 ºC, pois é o termo que apresenta maior
frequência (4 vezes).
6
2a Série – Ensino Médio
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LIVRO 4
Resoluções de ENEM e vestibulares
01 D
Tem-se U = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 5), (6, 6)} e n(U) = 36.
Para que a soma seja igual a 7:
A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} e n(A) = 6
Para que a soma seja igual a 9:
B = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} e n(B) = 4
Logo, P(A ∪ B) = P(A) + P(B), pois A ∩ B = ∅.
Portanto:
Em que:
1
P( A) =
3
1
2
Probabilidade condicional – ocorre B, se ocorrer A:
1 1 1
P ( A ∩ B) = ⋅ =
3 2 6
P(B/A ) =
06 E
Evento A ⇒ “dama” (4 cartas)
Evento B ⇒ “copas” (13 cartas)
Evento A ∩ B ⇒ “dama de copas” (1 carta)
A probabilidade de ocorrer “dama”, sabendo-se que ocorreu “copas”, é:
6
4 10
5
P(A ∪ B) = 36 + 36 + 36 = 18
02 D
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
B = {5, 10, 15, 20}
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
10
4
2
12 3
+
−
=
=
P(A ∪ B) =
20 20 20 20 5
P ( A/B) =
1
n ( A ∩ B)
=
13
n(B)
07 A
Masculino
03 E
Comédia
Matemática
20
10
30
Não comédia
20
30
50
Química
10
10
20
Total
50
50
100
45
100
55
100
B
20
100
80
100
50
100
50
100
Evento A ⇒ evento: sexo feminino e do curso de Matemática
n(A) = 10
n(U) = 50
10 1
P=
=
50 5
Não assistir comédia:
em A ou em B ou em C
1 55
1 80
1 50
55 + 80 + 50 37
⋅
+ ⋅
+ ⋅
⇒ P=
=
3 100 3 100 3 100
300
60
04 B
Evento A ⇒ “dama” (4 cartas)
Evento B ⇒ “ouros” (13 cartas)
Evento A ∩ B ⇒ “dama de ouros” (1 carta)
A probabilidade de ocorrer “ouros”, sabendo-se que ocorreu “dama”, é:
P (B/A ) =
Total
Física
A
C
Feminino
n (B ∩ A ) 1
=
n( A )
4
05 E
A ⇒ Evento: cartão com as duas cores.
B ⇒ Evento: face vermelha para o juiz, tendo ocorrido o
cartão de 2 cores.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B/A)
08 E
Em pelo menos 6 questões, tem-se:
1o 6 questões certas:
6
1
 7  1   1 
P1 =   ⋅   ⋅  
6  2   2 
1 1 7
P1 = 7 ⋅ 6 ⋅ = 7
2 2 2
ou
2o 7 questões certas:
7
0
 7  1   1 
P2 =   ⋅   ⋅  
 7  2   2 
1
1
P2 = 1 ⋅ 7 ⋅ 1 = 7
2
2
8
7
1
P = P1 + P2 = 7 + 7 = 7
2
2 2
1
1
23
P= 7 = 4 =
2
2
16
2a Série – Ensino Médio
1
ÁLGEBRA
LIVRO 4
09 A
Considerando P o número estimado de pessoas na foto,
tem-se:
P = 500 · (1,5 · 2 + 2 · 4 + 3 · 5 + 2 · 4 + 1,5 · 3)
P = 500 · (3 + 8 + 15 + 8 + 4,5)
P = 500 · 38,5 = 19 250
10 a) O resultado pedido é (1 – 0,53) · 1,5 · 10 = 705 000 pizzas
consumidas diariamente no Brasil.
b) O número de pizzas de muçarela e calabresa consumidas diariamente no Estado de São Paulo é igual a: 0,53
(0,35 + 0,25) · 1,5 ·106 = 477 000.
11 20 alunos correspondem a 360o
3 alunos correspondem a 54o
9 alunos correspondem a 162o
6 alunos correspondem a 108o
2 alunos correspondem a 36o
Logo, o maior ângulo apresentado é o de 162o, correspondente ao setor B.
12 A
Observando o valor da população e os ângulos dos setores correspondentes, conclui-se que o gráico da alternativa A é o que melhor representa os dados da tabela.
2
2a Série – Ensino Médio