Desenvolvimento de Sistemas
Baseados em Conhecimento
CSP - Constraint Satisfaction Problems
Motivação
• Estratégias de busca
– Cada estado é estado é uma caixa preta
– Não existe uma estrutura que suporte operações
» Teste de objetivo, avaliação, função sucessor
– Heurísticas específicas para cada domínio
• CSP
– Estado é definido por variáveis Xi com possíveis valores dentro de
um domínio Di
– Teste é um conjunto de restrições que especificam as
combinações de valores possíveis para subconjuntos de variáveis
– Exemplo de uma simples Linguagem de Representação Formal
– Permite o uso de algoritmos de propósito geral com mais poder
que algoritmos de busca padrão
Definição Formal para um CSP
• CSP
– Conjunto de variáveis X1, X2, ..., Xn
– Conjunto de restrições C1, C2,..., Cm
– Cada variável X1 tem um domínio Di   de possíveis valores
– Um estado do problema é definido como uma atribuição de
valores para todas as variáveis
» { xi = vi, xj = vj, ... }
– Uma atribuição que não viola qualquer restrição é dita consistente
– Uma atribuição que considera todas as variáveis é dita completa
– Uma atribuição consistente e completa é dita uma solução
Exemplo 1 – Coloração de mapas
• Colorir um mapa com três cores, de modo que nenhuma
cor seja vizinha a outra
– Variáveis
» WA, NT,Q,AS,NSW,V,T
– Domínios
» Di = {red,green,blue}
– Restrições: regiões adjacentes
devem ter cores diferentes
» WANT, WAAS, NTQ,...
ou
» (WA,NT)  {(red,green),(red,blue),
(green,red),(green,blue)...}
Exemplo – Coloração de mapas
• Colorir um mapa com três cores, de modo que nenhuma
cor seja vizinha a outra
Gráfico de Restrições
• CSP Binário: cada restrição está relacionada a no máximo duas
variáveis
– Facilmente representada via um gráfico de restrições
Arcos = restrições
Nós = variáveis
Tipos de Variáveis
• Variáveis discretas
– Domínio finito
– Exemplo: Coloração de mapas
– Problema das oito rainhas pode ser modelado com variáveis
discretas?
• Variáveis contínuas
– Domínios infinitos
– Exemplo: agendamento das observações do telescópio Hubble
» Start/end times
Tipos de Restrições
• Restrições unárias
– Envolvem uma simples variável
» E.g., SA  green
• Restrições binárias
– Envolvem pares de variáveis
» E.g., SA  WA
• Restrições de alta ordem
– Envolvem 3 ou mais variáveis
» E.g., Problemas de cryptarithmetic
• Preferências (soft-constraints)
– Restrições que só são obedecidas se for possível (idéia de custo)
» Vermelho é melhor do que azul
Exemplo: cryptarithmetic
• Substitua letras por números de forma que a operação esteja correta
– Variáveis
» F, T, U, W, R, O, X1, X2, X3
– Domínios
» D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
– Restrições:
» alldiff(F,T,U,W,R,O)
» O+O = R+ 10 . X1
» ...
Formulação Utilizando Busca Padrão
• Vamos iniciar com uma abordagem dump e melhorá-la
– Estados são definidos como cada possível atribuição
– Estado inicial: a atribuição vazia, { }
– Função sucessor: atribui um valor para uma variável não utilizada
que não conflita com as atribuições atuais
» Falha se não existe atribuição possível
– Teste de objetivo: a atribuição atual é completa
• Vantagens:
– Solução solução em profundidade n, sendo n número de variáveis
• Desvantagem
– Altamente ineficiente (Dump)
Formulação usando Backtracking
• Tomar vantagem da característica de comutatividade
– Atribuição de variávei sem CSP são comutativas
– [WAred e então NTgreen]  [WAgreen e então NT red]
Formulação usando Backtracking
Formulação usando Backtracking
Formulação usando Backtracking
• Importância de se escolher uma boa estratégia
Melhorando a Eficiência
• Métodos de propósito geral podem gerar grandes ganhos
em velocidade
–
–
–
–
Qual variável deve ser atribuída em seguinte?
Em que ordem os seus valores devem ser atribuídos?
É possível detectar falhas previamente?
Podemos tomar vantagem da estrutura do problema?
Melhorando a Eficiência
• Ordem das variáveis
– Feita de forma estática
• Minimum Remaining Values (MRV)
– Escolher variável com o menor conjunto de valores possíveis
Próximo melhor variável
Melhorando a Eficiência
• Característica do MRV
– Se existe uma variável X com zero valores legais restantes, o
MRV irá selecionar X e uma falha será detectada imediatamente.
Isso evita buscas “mortas” através de outras variáveis que irão
sempre falhar quando X é finalmente selecionado.
– Considerável ganho, de acordo com a tabela anterior
» Performance de 3 a 3000 melhor
» Comparação justa?
Não é considerado o custo extra de calcular os valores heurísticos
Melhorando a Eficiência
• A heurística MRV não ajuda na escolha da primeira região
da Austrália a ser colorida
– No início todas as regiões possuem três cores legais
• Uso da Degree Heuristic como critério de desempate
– Seleção da variável envolvida com maior número de constraints
sobre outras variáveis não atribuídas
5 constraints
Melhorando a Eficiência
• Métodos de propósito geral podem gerar grandes ganhos
em velocidade
–
–
–
–
Qual variável deve ser atribuída em seguinte?
Em que ordem os seus valores devem ser atribuídos?
É possível detectar falhas previamente?
Podemos tomar vantagem da estrutura do problema?
Melhorando a Eficiência
• Heurística least-constraining-value
– Prefere valores que excluem o menor número de escolhas para as
variáveis vizinhas no gráfico de restrição
Tentar uma máxima flexibilidade para a atribuição de variáveis subsequentes
Melhorando a Eficiência
• Métodos de propósito geral podem gerar grandes ganhos
em velocidade
–
–
–
–
Qual variável deve ser atribuída em seguinte?
Em que ordem os seus valores devem ser atribuídos?
É possível detectar falhas previamente?
Podemos tomar vantagem da estrutura do problema?
Melhorando a Eficiência
• Até o momento consideramos as constraints sobre
variáveis apenas no momento que a variável é escolhida
pelo método SELECT-UNASSIGNED-VARIABLE
• Olhar previamente algumas constraints na busca, ou
antes mesmo da busca, pode reduzir dramaticamente o
espaço de busca
Melhorando a Eficiência
• Método FORWARD CHECKING
– Toda vez que uma variável X é atribuída, o sistema olha cada
variável Yi não atribuída que está conectada a X por uma
constraint e apaga do domínio de Yi qualquer valor que é
inconsistente como valor escolhido para X.
Melhorando a Eficiência
• Método FORWARD CHECKING
Melhorando a Eficiência
• Método FORWARD CHECKING
Melhorando a Eficiência
• Método FORWARD CHECKING
Melhorando a Eficiência
• Limitações do FORWARD CHECKING
– Não consegue detectar todas as inconsistências existentes
NT e SA não podem ter a cor azul ao mesmo tempo
Melhorando a Eficiência
• Propagação de Constraints
– Termo geral para a propagação de implicações de uma constraint
sobre uma variável em outras variáveis
– Neste exemplo é necessário propagar de WA e Q para NT e SA
Melhorando a Eficiência
• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)
– Arcos se referem a uma ligação direta no gráfico de restrições
Dado o domínio de SA e NSW, o arco é
considerado consistente se, para todo
valor x de SA, existe algum valor y de
NSW que é consistente com x.
Melhorando a Eficiência
• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)
– Uma simples forma de propagação é fazer cada arco consistente
X arc Y é consistente sss
x (x  X)  y (y  Y)
Melhorando a Eficiência
• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)
– Lembrar que se um X perde um valor, os seus visinhos precisam
ser reavaliados
Melhorando a Eficiência
• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)
– Obviamente esta técnica detecta falhas mais cedo do que a
forward checking
•Tecnica pode ser utilizada como um pre-processo ou depois de
cada atribuição
Melhorando a Eficiência
• Método ARCO CONSISTÊNCIA (Arc Consistency)
Melhorando a Eficiência
• Busca Local para CSP
– Usam uma formulação de estados completa
» No estado inicial é atribuído um valor para toda variável
» A função sucessor modifica o valor de uma variável de cada vez
– Heurística Min-conflicts: seleciona o valor que resulta em um
número mínimo de conflitos com outras variáveis
Estado inicial?
Função sucessor?
Melhorando a Eficiência
• Busca Local para CSP
– Pode ser usada em correções em tempo real quando o problema
é modificado
– Característica muito importante para problemas de scheduling
“O schedule de uma companhia aérea pode envolver milhares de vôos e dezenas de
milhares de alocações de funcionários, mas um mau tempo em um aeroporto pode
tornar o schedule inválido. Um sistema ideal deveria reparar o schedule com o mínimo
de modificações. Isto pode ser facilmente feito com um algoritmo de busca local, que
tem o seu estado inicial setado como o schedule corrente”
Melhorando a Eficiência
• Métodos de propósito geral podem gerar grandes ganhos
em velocidade
–
–
–
–
Qual variável deve ser atribuída em seguinte?
Em que ordem os seus valores devem ser atribuídos?
É possível detectar falhas previamente?
Podemos tomar vantagem da estrutura do problema?
Melhorando a Eficiência
• Tirando vantagem da estrutura do problema
– Tasmania e a parte continental são sub-problemas independentes
– Facilmente identificável
– Solução final é a união das sub-soluções
Caso muito raro
Melhorando a Eficiência
• Tirando vantagem da estrutura do problema
– Na maioria dos casos todos os nós estão conectados
– Caso mais simples é quando o gráfico de restrições forma uma
árvore
» Qualquer duas variáveis são conectadas no máximo por uma ligação
Melhorando a Eficiência
• Tirando vantagem da estrutura do problema
– Algoritmo para uma árvore CSP estruturada
» 1. Escolha uma variável como root, ordene as variáveis do root para
as folhas tal que todo pai do nó
» 2. Para j de n até 2, aplique REMOVEINCONSISTENT(Parent(Xj),Xj)
» 3. Para j de 1 até n, atribua Xj consistentemente com Parent(Xj)
Melhorando a Eficiência
• Árvores quase estruturadas
– Tentar transformar para estruturadas
• Algoritmo
– Instancie todas as variáveis de modo que as variáveis restantes
(não instanciadas) virem uma árvore
– Ajuste os domínios visinhos
Melhorando a Eficiência
•
•
O valor para SA pode ser escolhido erroneamente
Algoritmo geral
1. Escolha um subconjunto de S de VARIABLES[csp] tal que o
gráfico de restrições torne-se um árvore depois da remoção de S.
S é chamado de “Cycle cutset”
2. Para cada possível atribuição para a variável em S que satisfaça
todas as restrições em S
a. Remova do domínio das variáveis restantes qualquer valor
que seja inconsistente com a atribuição para S
b. Se o CSP resultante tem uma solução, retorne ele com a
atribuição para S
Melhorando a Eficiência
•
Outra abordagem é baseada na construção de uma
árvore de decomposição do grafo de restrições em um
conjunto de subproblemas conectados
–
Cada solução é trabalhada individualmente e as soluções combinadas
Melhorando a Eficiência
•
A decomposição da árvore deve satisfazer três requisitos
–
–
–
•
Toda variável no problema original aparece no mínimo em um
subproblema
Se duas variáveis estão conectadas por uma restrição no problema
original, elas devem aparecer juntas (com suas restrições) no mínimo em
um dos subproblemas
Se uma variável aparece em dois subproblemas na árvore, deve haver
uma restrição dizendo que o valor de tais variáveis deve ser igual
Resolução
–
–
Se uma dos subproblemas não tem solução, o problema não tem
solução
Se todos os subproblemas tem solução, tenta-se encontrar uma solução
global
Melhorando a Eficiência
•
Resolução (continuação)
– Resolução global:
»
Considerar cada subproblema como uma mega-variável cujo
domínio é o conjunto de todas as soluções para o subproblema
Domínio com 6 elementos:
e.g. {WA = red, AS = blue, NT = green
»
Utilizar o algoritmo para árvores anterior, onde as restrições entre
subproblemas simplesmente forçam que as soluções para os
subproblemas cheguem a um acordo quanto as variáveis
compartilhadas
Única solução possível
{AS = blue, NT = green, Q = red}