MATERIAL DIDÁTICO DE CÁLCULO I
Acadêmico(a): __________________________________________
Turma: ________________________________________________
2009/ 1
Cálculo I
Capítulo 1: Funções
1.1 ANÁLISE GRÁFICA DAS FUNÇÕES
1.1.1 EXERCÍCIOS
Abaixo estão representadas graficamente algumas funções. Analise cada uma dessas funções e responda
às perguntas referentes a cada exercício.
1. Ao acionar o freio de um automóvel, a distância para que ele pare, é denominada “espaço de
frenagem”. Este depende de vários fatores, entre eles, a velocidade em que o carro se encontra quando o
freio é acionado.
Espaço de frenagem (m)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
Velocidade (km/h)
a) Quantos metros o automóvel ainda deverá percorrer quando freado a uma velocidade de 60 km/h? E
a 80 km/h? E a 120 km/h?
b) A que velocidade deve estar o veículo para que o espaço de frenagem seja de 40 m?
c) Quando aumentamos a velocidade de 80 para 120 km/h, em quantos metros aumentará o espaço de
frenagem?
2. Um reservatório, contendo 500 litros de água, dispõe de uma válvula na sua parte inferior. Um
dispositivo foi utilizado para registrar o volume de água a cada instante, a partir do momento em que a
válvula foi aberta. Os valores obtidos durante a operação permitiram construir o gráfico do volume de
água (em litros) em função do tempo (em minutos).
Volume (litros)
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Tempo (min)
a) Quais as variáveis envolvidas?
b) O volume de água permaneceu constante no reservatório?
c) Após 10 minutos, qual o volume de água existente no reservatório?
d) Quantos minutos decorreram até que o volume da água existente no reservatório caísse pela metade?
Em quanto tempo o reservatório foi esvaziado?
e) Qual o significado do intercepto vertical? E do intercepto horizontal?
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
2
Cálculo I
3. Em Química e Física, estudamos os estados da matéria. Um gráfico representativo da temperatura, em
oC, em função do tempo, em minutos, de aquecimento da água inicialmente a –20oC até a temperatura de
120oC é:
Com os dados do gráfico, responda:
a) Qual o domínio da função?
b) Qual o conjunto imagem?
c) Que “trechos” da função são constantes?
d) Para qual intervalo de tempo a temperatura é maior que zero, ou seja, para que valores de t temos
a temperatura positiva?
e) Para qual intervalo de tempo a temperatura é menor que zero, ou seja, para que valores de t temos a
temperatura negativa?
140
120
100
60
o
T( C)
80
40
20
0
-2 0 0
5
10
15
20
25
30
-4 0
t (m in )
4. Sob temperatura constante, o volume de certa massa de gás é função da pressão a que o mesmo está
submetido, como se vê no gráfico abaixo:
50
3
Volume (cm )
40
30
20
10
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Pressão (atm)
Observando o gráfico, responda:
a) Qual a variável independente?
b) O que significa o fato, do gráfico, à medida que avança para a direita, ir descendo?
c) Qual é a variação do volume deste gás quando alteramos a pressão a que está submetido de 0,5 para 1
atmosfera?
d)E de 2 para 2,5 atmosferas?
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3
Cálculo I
5. Uma peça esférica de diâmetro 5” de aço 1035, com temperatura 1600°F, foi resfriada em água não
agitada com temperatura 123°F. As temperaturas foram lidas em 2 pontos da peça: ½“ e 2.½“ abaixo de
sua superfície, conforme o gráfico abaixo.
Temperatura (oF)
Resfriamento: esfera de aço 1035
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Tempo (min)
Profundidade 1/2"
Profundidade 2 1/2"
a) qual a temperatura da peça quando medida a uma profundidade de ½” abaixo de sua superfície, após
5 minutos de resfriamento? E à profundidade de 2.½”?
b) depois de quanto tempo de resfriamento a peça atinge a temperatura de 800°F, à profundidade de ½”?
E à profundidade de 2.½”?
o
Temperatura ( C)
6. O gráfico abaixo representa a temperatura, em oC, em função do tempo, em horas, numa dada
experiência:
25
22,5
20
17,5
15
12,5
10
7,5
5
2,5
0
-2,5 0
-5
-7,5
-10
-12,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tempo (horas)
Com os dados do gráfico, responda:
a) Qual o domínio da função?
b) Qual o conjunto imagem?
c) Determine em quais momentos a temperatura é igual a zero.
d) Para qual intervalo de tempo a temperatura é maior que zero.
e) Para qual intervalo de tempo a temperatura é menor que zero.
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4
Cálculo I
1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
A velocidade também é outra grandeza variável, já que o
automóvel pode andar em diversas velocidades. Portanto, o
espaço de frenagem e a velocidade são variáveis, mas seus
valores não são independentes entre si. O espaço de frenagem
depende da velocidade do veículo ou, em outras palavras, para
cada velocidade há um único espaço de frenagem.
80
Espaço de frenagem (m)
No gráfico ao lado, pode-se observar que o espaço de frenagem
representa uma grandeza variável: ele pode ser de 10 metros ou
de 30 metros (citando apenas dois exemplos).
Assim, pode-se considerar as duas variáveis em questão, uma
assumindo valores num conjunto A (Domínio) e a outra num
conjunto B (Contradomínio), de modo que o gráfico retrate uma
situação tal que cada elemento do conjunto A corresponda a um
único elemento do conjunto B.
●
70
60
50
40
30
20
10
0
●
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110
Velocidade (km/h)
Matematicamente, a função pode ser definida como um tipo especial de relação entre grandezas:
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e “ f ” uma relação de A em B. Essa relação “ f ” é uma função de
A em B quando a cada elemento “x” do conjunto A está associado um, e apenas um, elemento “y” do
conjunto B.
• O conjunto A de valores que podem ser atribuídos a “x” é chamado domínio da função e indica-se por
D ou Df (sendo que a variável “x” é chamada variável independente).
• O valor de “y”, correspondente a determinado valor atribuído a “x”, é chamado imagem de x pela
função e é representado por f(x). A variável “y” é chamada variável dependente.
• O conjunto Im, formado pelos valores que “y” assume em correspondência aos valores de “x”, é
chamado conjunto imagem da função. Obs.: podemos representar y = f(x).
1.2.1 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO
Para indicar que uma função “ f ” tem domínio em A e contradomínio em B, usa-se: f : A → B. (lê-se: f de
A em B).
• No exemplo apresentado acima, temos que:
- Variáveis envolvidas:
independente (x) → velocidade (km/h)
dependente (y) → espaço de frenagem
(m)
- Domínio da função: D = [ 0 , 120 ] ou D = { x ∈ | 0 ≤ x ≤ 120 }
- Imagem da função: Im = [ 0 , 70 ] ou Im = { y ∈ | 0 ≤ y ≤ 70 }
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5
120
Cálculo I
1.2.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO (No Sistema Cartesiano Ortogonal)
O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano (2 ou E2) é formado por
dois eixos reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadas quadrantes.
O eixo “x”, também é dito eixo das abscissas e o eixo “y” também é dito eixo das ordenadas.
A intersecção dos eixos coordenados determina um ponto único, denominado origem → (0 , 0). Cada
ponto neste plano é determinado por um par ordenado na forma (x , y), sendo que “x” e “y” formam as
coordenadas de um ponto.
Observações:
•
•
Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (x , 0).
Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (0 , y).
Construindo um Gráfico de Função através da Fórmula Matemática
O gráfico, ou a representação gráfica de uma função, é uma forma de apresentarmos o comportamento
de um fenômeno numa forma visual (geométrica), o que em muitos casos, facilita a compreensão do
fenômeno, possibilitando perceber o seu comportamento de uma forma mais ampla. Para tanto,
utilizaremos o sistema cartesiano ortogonal, indicando os valores de “x” e “y” nos seus eixos
correspondentes.
Etapas para a construção de um gráfico:
• Montar uma tabela, atribuindo valores para “x” (conforme o Domínio da função) e calculando os
respectivos valores de “y”;
• Marcar no plano cartesiano os pontos gerados pelos pares ordenados (x , y) encontrados na tabela;
• Ligar (ou não) os pontos marcados no plano cartesiano por meio de uma curva (de acordo com a
função e o domínio desta).
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6
Cálculo I
1.3 FUNÇÕES ELEMENTARES
1.3.1 FUNÇÃO CONSTANTE
1.3.1.1 EXEMPLOS
1) Sob temperatura ambiente, variando de 16oC a 54oC, o corpo humano é capaz de manter
indefinidamente, uma temperatura de 36,7º C.
Esta função, na faixa de temperatura mencionada, pode ser assim representada:
f : [16 , 54] → ℜ definida por f(x) = 36,7
Temperatura do Corpo
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
60
Tem peratura Am biente
Logo, nesta faixa de temperatura ambiente, tem-se uma função constante.
2) Em um determinado ano, uma empresa em expansão contratou 100 funcionários em março e 100 em
outubro. Em janeiro deste mesmo ano o número de funcionários era 200. Matematicamente, podemos
equacionar esta situação como sendo uma função f : D → com D = {meses do ano} definida por:
 200 , se x ∈ { janeiro , fevereiro }

f ( x ) =  300 , se x ∈ { março , abril , maio , junho , julho , agosto , setembro }
 400 , se x ∈ {outubro , novembro , dezembro }

Foi solicitada pelo setor de recursos humanos desta firma uma representação visual, de modo a
relacionar os meses do ano com o número de funcionários empregados (meses X funcionários).
Assim temos:
Número de
funcionários
400
300
200
J
F
M
A
M
J
J
A
S
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O
N
D
Meses do ano (200X)
7
Cálculo I
1.3.1.2 DEFINIÇÃO
Uma função cuja lei de associação é do tipo f(x) = k (ou y = k), com k ∈ é chamada de função
constante, pois para qualquer valor atribuído à variável “x”, sua imagem “y” será sempre a mesma, de
valor “k”. Podemos acrescentar ainda, que se trata de uma função que não é crescente, nem decrescente,
mas sim constante, pois o valor da função (y) não cresce nem decresce, permanecendo o mesmo, ou seja,
constante.
Podemos observar que neste caso a taxa se variação é nula.
Lembre-se que: y = f(x).
Graficamente, tem-se uma reta paralela ao eixo das abscissas, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0
, k).
Se k > 0:
Se k = 0:
y
k
Se k < 0:
y
y
•
0
x
0
•
x
0
x
•
k
1.3.1.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Construa os gráficos das funções dadas por:
a) f(x) = 4
com D = b) g(x) =
40
3
−
d) y = –
com D = +
c) y = π com D = f) h(x) = 51
e) y = 0
3
com D = [–5 , 2 [
com D = { x ∈ | – 4 < x ≤ 3 }
com D = g) y = – 7
com D = { x ∈ | x < 6 }
2) Determine o conjunto imagem para cada uma das funções do exercício anterior.
3) Em uma cidade, o departamento de água da prefeitura decidiu fazer uma experiência e passou a
cobrar as contas de água dos consumidores com preços fixos para intervalos de consumo. Assim, por
exemplo, para qualquer consumo inferior a 20m3, a conta será de R$ 18,50. Abaixo, você pode ver a lei de
formação utilizada para determinar o valor “V” da conta, em reais, em função do consumo “c”, em
metros cúbicos.
 18,50 se 0 ≤ c < 20

V (c ) =  47,50 se 20 ≤ c < 50 Obs.: O consumo é medido mensalmente.
 59,00 se c ≥ 50

a) Construa o gráfico no plano cartesiano V x c (valor da conta por consumo) determinando o D e Im.
b) Quanto pagará um morador que consumir 20m3 de água em um mês? E se consumir 36,4m3 num mês?
c) Qual foi o consumo de uma casa cuja conta apresentou um valor de R$ 59,00?
d) Quanto pagou um morador que supostamente não consumiu nenhuma quantidade de água num mês?
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8
Cálculo I
4) Abaixo, pode-se ver parte de um gráfico que mostra o valor “y” a ser pago (em reais) pelo uso de um
determinado estacionamento por um período de “x” horas. Suponha que o padrão observado no gráfico
não se altere quando “x” cresce. Nestas condições, pergunta-se:
R$
6,5
5
3,5
2
0
1
2
4
3
Horas
a) Quanto deverá pagar uma pessoa, por utilizar o estacionamento durante meia hora? E durante duas
horas?
b) Quanto deverá pagar alguém que estacionar das 8h e 46min até as 11h e 50min?
c) Quanto tempo ficou no estacionamento um carro se o proprietário pagou R$ 8,00?
d) Quanto pagará um indivíduo que estacionar seu veículo das 22h de um dia até as 8h e 30min do dia
seguinte?
Respostas:
1a)
1b)
y
4
1c)
y
1d)
y
y
π
•
•
0
0
x
–5
0
x
0
2
x
x
•
−
– 40/3
1e)
1f)
y
y
1g)
y
3
•51
–4
0
x
x
x
0
–7
2a) Im = { 4 }
6
0
3
2b) Im =
{ }
− 40
3
2c) Im = { π }
{ }
2d) Im = − 3
2e) Im = { 0 }
2f) Im = { 51 }
2g) Im = { –7 }
•
3a) D = { c ∈ | c ≥ 0 } e
Im = { 18,50 ; 47,50 ; 59,00 }
3b) R$ 47,50 e R$ 47,50
3a) Valor conta (R$)
3c) c ≥ 50 m3
59,00
3d) R$ 18,50
47,50
4a) R$ 2,00 e R$ 3,50
4b) R$ 6,50
18,50
4c) { x ∈ | 4 < x ≤ 5 }
4d) R$ 17,00
0
20
50
Consumo (m3)
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9
Cálculo I
1.3.2 FUNÇÃO DO 1º. GRAU (ou Função linear)
1.3.2.1 EXEMPLO
Uma panela com água à temperatura de 15oC é levada ao fogo e observa-se que, a cada 1 minuto, a
temperatura sobe 2oC. De acordo com os dados, forneça a lei (fórmula) que representa o aumento de
temperatura em função do tempo.
Resolução:
Tempo inicial (to): 0 min
Tempo (min)
0
1
2
3
Temperatura inicial (To) : 15o C
Temperatura (oC)
15
17 (17 = 15 + 2.1)
19 (19 = 15 + 2.2)
21 (21 = 15 + 2.3)
Cada temperatura é a temperatura inicial mais um acréscimo de 2oC por minuto.
Logo, a lei que relaciona o aumento de temperatura em função do tempo é:
T(t) = 15 + 2t , sendo esta, a solução do problema em questão.
1.3.2.2 DEFINIÇÃO
São funções que têm taxa constante de crescimento ou decrescimento. Uma função é dita do 1º. grau se
sua inclinação, ou taxa de variação, é a mesma em toda parte. E é o fato da taxa de variação ser constante
que faz de seu gráfico uma reta.
Logo, esta inclinação pode ser calculada com valores das funções em 2 pontos, m e n, usando a fórmula:
Inclinação =
subida
∆y f (b) − f (a )
=
=
= taxa média de var iação de f ( x) entre a e b.
percurso ∆x
b−a
Para uma função não linear, a taxa de variação varia.
Esta função tem a forma y = ax + b, com a≠ 0 e a e b Є R, com domínio e contra-domínio real.
Seu gráfico é uma reta tal que:
• a é a inclinação, ou taxa de variação de y com relação a x ou ainda, coeficiente angular da reta.
• O valor da abscissa onde o gráfico corta o eixo “x” denomina-se raiz ou zero da função, que pode ser
determinado algebricamente fazendo f(x) = 0.
• b é o intercepto vertical ou intercepto y, ou seja, é o valor de y quando x é zero.
• A raiz também é conhecida como intercepto horizontal ou intercepto x.
1.3.2.3 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
Os termos crescente e decrescente podem ser aplicados a outras funções, não apenas às lineares.
Qualquer função é crescente se os valores de y = f(x) crescem quando x cresce e é decrescente se os
valores de y= f (x) decrescem quando x cresce.
Uma função linear, y = ax + b, é crescente quando a taxa de variação for positiva, ou seja, quando
“a > 0”.
Uma função linear, y = ax + b, é decrescente quando a taxa de variação for negativa, ou seja, quando
“a < 0”.
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
10
Cálculo I
1.3.2.5 GRÁFICO
Geometricamente, a função polinomial do 1º grau é representada por uma linha reta oblíqua aos eixos
coordenados, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , b).
Se a > 0 ⇒ f(x) é crescente
Se a < 0 ⇒ f(x) é decrescente
y
y
f(x)
f(x)
b
•
•
x’
•
0
x
0
b
x’
Raiz ou zero
da função
•
x
Raiz ou zero
da função
1.3.2.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por:
1
x
9
d) F = C + 32
g) y = − x
j) y = −1 + 3 x com D = { x ∈ x ≤ 0 }
a) y = −
5
4
2
b) f ( x ) = −2 x + 5
e) f ( x ) = x + 3
h) y = −3 x com D = [ –2, + ∞ [
c) − x + 2 y + 3 = 0
f) g ( x ) = −1 − x
i) h( x ) = 2 x + 2 com D = [ –1, 2 [
2) Construa, num mesmo sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por f(x) = x e g(x)
= – x.
Respostas:
1a)
1b)
1c)
y
1d)
y
1e)
F
y
5●
●
0
–1
1f)
5/2
●
0
x
1g)
3
●
0
x
–3/2 ●
1h)
y
0
x
x
–2
●
C
●
–3
0
x
1j)
y
6
–1
1/2 ●
● –1
0
y
6
●
–1
●
y
1/2
●
3
–160/9
x
1i)
y
0
●
● 32
4
●
y
0
x
–1
0
x
2●
–1
2
x
●
–4
2)
y
f(x)
3
45º
●
45º
3
x
–3
●
g(x)
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
11
Cálculo I
1.3.2.7 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU A PARTIR DO SEU GRÁFICO
Relembrando: f(x) = ax + b, sendo: a → coeficiente angular (declividade) e b → coeficiente linear
Calculando o coeficiente angular “a” através do gráfico:
Conhecendo o ângulo “α” (inclinação) formado entre a reta “r” e o eixo “x” (no sentido anti-horário),
usa-se: a = tgα
Conhecendo dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB), pertencentes a reta “r”, usa-se: a = tgα =
∆y
∆x
y
B
yB
•
yA
•
Observações:
∆y
α
A
• Variação da inclinação da reta de uma função
do 1º grau: 0 < α < 180° com α ≠ 90 º .
•n
α
•x’
r
0
Raiz ou zero
da função
xA
xB
x
• Se α = 0 ⇔ a = 0, tem-se neste caso uma
“função constante” (reta paralela ao eixo “x”).
∆x
1.3.2.8 EXEMPLOS
1) Uma barra de aço com temperatura inicial de – 10ºC foi aquecida até 30ºC. O gráfico abaixo representa
a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nesta experiência. Determine:
a) a taxa de variação da temperatura em função do tempo;
b) a função (fórmula matemática) que representa o fenômeno em questão;
c) em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0ºC;
d) o Domínio e o conjunto Imagem desta situação.
temperatura (ºC)
30
tempo (min)
5
- 10
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12
Cálculo I
2) O gráfico abaixo representa a variação da pressão da água do mar em função da profundidade.
Construa a função que relaciona pressão e profundidade Calcule a pressão sofrida pelo mergulhador se
estiver a uma profundidade de 35 metros. Qual o domínio e a imagem da função sabendo que a
profundidade máxima do local é de 35 metros?
Pressão (atm)
3
1
20
profundidade (m)
3) Um certo encanador (A) cobra por serviço feito um valor fixo de R$ 60,00 mais R$ 10,00 por hora de
trabalho. Um outro encanador (B) cobra um valor fixo de R$ 40,00 mais R$ 15,00 por hora de trabalho.
Determine a lei da função que relaciona preço e tempo de serviço para cada um dos encanadores. Faça o
gráfico das duas funções num mesmo plano cartesiano. Considerando o menor custo para a realização de
um trabalho, analise as vantagens e desvantagens da contratação dos serviços de cada um dos
encanadores.
4) Analisando o gráfico abaixo, determine:
a) as funções f(x) e g(x);
b) as raízes de f(x) e g(x);
c) as coordenadas do ponto P (intersecção das retas).
y
f(x)
g(x)
P
1
0
–2
•
x
•
•
–3
–5
•
2
•
5) Determine a função geradora do gráfico abaixo:
y
1
–2
3
0
x
–9
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
13
Cálculo I
1.3.2.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Duas operadoras de telefonia celular apresentam planos similares para seus usuários. O plano da
operadora “V” tem uma mensalidade no valor de R$ 25,00 e uma tarifa de R$ 0,70 por minuto em
ligações locais. O plano da operadora “T” tem custo de R$ 0,50 por minuto para ligações locais e uma
mensalidade no valor de R$ 30,00. Utilizando seus conhecimentos sobre função polinomial do 1º grau,
determine a lei da função que relaciona preço e tempo de ligação para cada um dos operadoras, faça o
gráfico das duas funções num mesmo plano cartesiano e analise as vantagens e desvantagens de cada
uma das operadoras.
2) Determine a função geradora de cada um dos gráficos a seguir.
y
a)
y
b)
6
4●
2
●
–2
y
c)
●
●
0
3
0
x
2
●
0
x
●
2
x
3) O valor total cobrado por um eletricista inclui uma parte fixa correspondente à visita e outra variável
correspondente à quantidade de fio requerida pelo serviço. O gráfico abaixo representa o valor do
serviço efetuado em função da metragem de fio usada no serviço. Construa a lei da função que
determina a pressão em função da quantidade de fio e determine quanto cobrará o eletricista se usar 18
metros de fio para executar o serviço?
Preço (R$)
72
60
6
14
20
metros
4) Um fabricante vende um produto por R$ 2,00 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa
fixa de R$ 120,00 mais o custo de produção de R$ 0,40 por unidade.
a) Qual a função matemática que expressa o lucro em função das peças vendidas?
b) Qual o gráfico desta função?
c) Se vender 200 unidades desse produto, qual será o lucro?
d) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo?
y
5) Observando o gráfico ao lado, determine as equações das
retas (funções); as coordenadas do ponto P e os zeros das funções.
P
•
2
–4
•
•
2
–2
f
•
1
x
•
g
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
14
Cálculo I
6) O gráfico ao lado apresenta uma situação de frenagem, onde a velocidade do veículo varia em função
do tempo. Sendo assim, responda:
a) Qual a taxa de variação da velocidade em função do tempo?
v (m/s)
b) Qual a velocidade do veículo no instante 3s?
c) O que acontece com o veículo após 5s de frenagem?
20
d) Qual o Domínio e o Conjunto Imagem do problema?
0
5
t (s)
Nota: Para se ter uma melhor noção da velocidade (neste caso), podemos convertê-la de m/s para km/h,
que é a unidade mais utilizada em nosso cotidiano. Para isto, basta multiplicar o valor da velocidade em
m/s por 3,6 que teremos o resultado em km/h.
7) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje
ela vale 10.000 dólares, e daqui 5 anos, 1.000 dólares, qual será seu valor em 3 anos?
8)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Uma companhia tem função de custo C (q ) = 4000 + 2q e função receita R(q ) = 10q .
Qual é o custo fixo da companhia.
Qual é o custo variável por unidade?
Que preço a companhia está pedindo por seu produto?
Faça os gráficos de R(q) e C(q) no mesmo plano cartesiano.
Ache o ponto de equilíbrio.
Faça a análise econômica da situação.
9) Uma fábrica que produz quebra-cabeças tem custo fixo de R$6000 e custo variável de R$2 por jogo. A
companhia vende os jogos a R$5 cada.
a) Ache as funções custo, receita e lucro.
b) Esboce os gráficos das funções receita e custo no mesmo plano cartesiano.
c) Esboce o gráfico da função lucro.
d) Ache o ponto crítico.
e) Analise a situação econômica da fábrica.
10) Gráficos das funções custo e receita para uma empresa são dados abaixo.
2500
2250
2000
1750
1500
1250
1000
750
500
250
0
receita
custo
0
100
200
300
400
500
600
a) Aproximadamente, que quantidade a empresa deve produzir para ter lucro?
b) Avalie o lucro se a empresa produzir 600 unidades.
c) O que representa o ponto onde as funções receita e custo se interceptam?
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
15
Cálculo I
11) Considerando as funções f(x) = 8 – x e g(x) = 3x, determine:
a) as raízes das funções “f” e “g” dadas;
b) as coordenadas do ponto P, que representa a interseção das retas em questão;
c) qual a classificação [crescente ou decrescente] para cada uma das funções.
12) Dada as equações 2x – y – 1 = 0 e x – y = 2 , determine:
a) O ponto de intersecção das retas;
b) Os pontos de encontro das retas com os eixos coordenados.
c) Construa o gráfico das duas retas no mesmo plano cartesiano.
Respostas:
1)
R$
V
42,50
T
●
30,00
V(x) = 0,7x + 25
25,00
T(x) = 0,5x + 30
0
2x
2a) y =
5
+
25
4
Resposta: “d”
min
2b) y = –2x + 4 2c) y = 3x
5
3) y = 2 x + 32 , R$ 68,00
4a) L = 1,6x – 120
5) f(x) =
1
4b) Gráfico
4c) R$ 200,00
4d) 75 unidades
4
3x
x + 2 e g(x) =
− 2 / P(4 , 4) raiz de f(x): x = – 4, raiz de g(x): x =
3
2
2
6a) – 4 m/s2 (que é o coef. angular) 6b) 8 m/s 6c) Sua velocidade torna-se “zero”, ou seja, o veículo pára.
6d) D = { t ∈ | 0 ≤ t ≤ 5 } e Im = { v ∈ | 0 ≤ v ≤ 20 }
8a) 4000
8b) 2
8c) 10
8d) gráfico
9a) C = 6000 +2q ; R = 5q ; L= 3q - 6000
10a) acima de 300 unidades
12 a) (–1, –3)
8e) 500
9) b,c) gráficos
10b) 1000
11a) raiz de f(x): x = 8, raiz de g(x): x = 0
7) 4.600 dólares
9d) 2000
10c) ponto de equilíbrio
11b) P(2 , 6) 11c) f(x) é decrescente e g(x) é crescente.
12 b) (1/2 , 0) e (0 , –1) / (2 , 0) e (0 , –2)
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
16
Cálculo I
1.3.3 FUNÇÃO DO 2º GRAU (ou quadrática)
1.3.3.2 DEFINIÇÃO
Função Polinomial do 2º grau é toda função definida pela lei f(x) = ax2 + bx + c, com a ∈ R*, b ∈ R e c ∈
R.
Exemplos:
2
Na função f ( x ) = x − 4 x + 7
2
Na função g( x ) = −2 x − 1 + 5 x
2
Na função h( x ) = − x + 3 x
2
Na função P ( x ) = x − 9
Na função y = x
2
temos: a = 1, b = – 4 e c = 7.
temos: a = –2, b = 5 e c = –1.
temos: a = –1, b = 3 e c = 0.
temos: a = 1, b = 0 e c = –9.
temos: a = 1, b = 0 e c = 0.
Graficamente, a função polinomial do 2º grau é representada por uma figura “aberta” e “infinita”
denominada parábola.
Particularidades:
O gráfico de uma função de 2o grau é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
Se o coeficiente de x2 for positivo (a > 0), a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
A intersecção do eixo de simetria com a parábola determina um ponto chamado vértice (V).
•
Se a parábola interceptar o eixo x, então a intersecção define as raízes x1 e x2 da função [para
isto, faz-se f(x) = 0].
• A parábola intercepta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0 , c) [para isto, faz-se x = 0].
•
•
•
•
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
17
Cálculo I
No esquema abaixo, caracterizamos as diversas possibilidades gráficas:
c
∆ = b2 – 4ac > 0
∆ = b2 – 4ac = 0
∆ = b2 – 4ac < 0
a parábola intercepta o
eixo x em dois pontos
distintos.
a parábola intercepta o
eixo x em um único ponto.
a parábola não intercepta
o eixo x.
c •
•
V
x1•
a>0
•
V
a<0
•x
2
•
V
•
x1 =• x2 = xV
x1 , x2 ∈ x1 , x2 ∈ V
•
•
x1
•
x2
c
•
c•
•
c
x1 = x2 = xV
•
V
V
•
c•
As Coordenadas do Vértice da Parábola e o Conjunto Imagem da Função Quadrática:
a>0
V (ponto de máximo)
valor máximo ← yV
•
xV
xV
valor mínimo ← yV
•
V → (ponto de mínimo)
a<0
• Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo: V(xV , yV).
O valor mínimo é o yV e seu conjunto Imagem é Im = { y ∈ R | y ≥ yV }.
• Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo: V(xV , yV).
O valor máximo é yV e seu conjunto Imagem é Im = { y ∈ R | y ≤ yV }.
As coordenadas do vértice V são
xV = −
(xV
, yV ) , podendo ser calculadas através de:
b
∆
e yV = −
.
2a
4a
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
18
Cálculo I
1.3.3.3 EXEMPLOS
1. Construir a representação gráfica da função y = x2 - 5x + 6.
a)
Concavidade para cima pois a > 0.
b)
Raízes da função (fazer y = 0):
d)
Coordenadas do vértice
5
−b
−(−5)
xv =
⇒ xv =
⇒ xv =
2a
2.(1)
2
x2 - 5x + 6 = 0 (a = 1, b = -5 , c = 6)
−∆
4a
yv =
∆ = b2 − 4ac
⇒
yv =
−1
−1
⇒ yv =
4.(1)
4
∆ = (-5)2 – 4.(1).(6) = 1
e)
− (−5) ± 1
−b± ∆
x=
2a
2.(1)
5 ±1
5 +1
5 −1
x=
e x2 =
⇒ x1 =
⇒
2
2
2
x=
Gráfico:
15
10
x1 = 3 e
x2 = 2
5
c) Intercepto y (ponto onde a parábola corta o eixo
y):
Fazendo x = 0 temos que a parábola corta o eixo
y em (0,c) logo esta função intercepta o eixo y
em (0, 6)
0
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
-5
2. Construir a representação gráfica da função y = -x2 + 7x - 10.
a) Concavidade para baixo pois a < 0.
b)Raízes da função (fazer y = 0):
-x2 + 7x - 10 = 0 (a = -1, b = 7, c = -10)
c) Intercepto y (ponto onde a parábola corta o eixo
y):
Fazendo x = 0 temos que a parábola corta o eixo y
em (0,c), logo esta função intercepta o eixo y em
(0, -10)
∆ = (7)2 – 4.(-1).(-10) = 9
x=
- (7 ) ± 9
2.( −1)
−7+3
x1 =
−2
x1 = 2
e
x=
e
−7±3
−2
⇒
−7−3
x2 =
−2
d) Coordenadas do vértice
⇒
x2 = 5
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
xv =
-b
2a
⇒x
v
=
- ( 7)
2.(−1)
⇒x
yv =
-∆
4a
⇒y
v
=
-9
4.(−1)
⇒y
v
v
=
=
−7
7
⇒ xv =
−2
2
-9
9
⇒ yv =
−4
4
19
Cálculo I
e) gráfico
10
5
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-5
-10
-15
-20
3. Construir a representação gráfica da função y = -x2 + 3x - 10.
a)
Concavidade para baixo pois a < 0.
b)
Raízes da função (fazer y = 0):
d)
Coordenadas do vértice
-x2 + 3x - 10 = 0 (a= -1, b = 3, c = -10)
∆ = b 2 − 4ac
yv =
⇒x
-b
2a
xv =
-∆
4a
⇒y
v
v
=
=
⇒x
v
=
⇒y
v
=
4
5
- (+3)
2.(−1)
- (-31)
4.(−1)
-3
-2
31
−4
⇒x
⇒y
v
v
=
3
2
=−
31
4
∆ = (3)2 – 4.(-1).(-10) = -31
e)
Gráfico:
Portanto essa equação não tem raízes.
5
c)
Intercepto y (ponto onde a parábola corta o
eixo y):
Fazendo x = 0 temos que a parábola corta o
eixo y em (0,c), logo esta função intercepta o
eixo y em (0, -10)
0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-5
1
2
3
6
7
8
9 10
-10
-15
-20
-25
-30
4. Construir a representação gráfica da função y = x2 - 2x + 1.
a)
Concavidade para cima pois a > 0.
b)
Raízes da função (fazer y = 0):
x2 - 2x + 1 = 0 (a =1, b = -2, c = 1)
-(−2) ± 0
-b ± ∆
x=
2a
2.(1)
2±0
2+0
2-0
x=
x1 =
1 e x2 =
2
2
2
∆ = b2 − 4ac
x1 = x 2 = 1
x=
⇒
⇒
∆ = (-2)2 – 4.(1).(1) = 0
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
20
Cálculo I
e) Gráfico:
c) Intercepto y (ponto onde a parábola corta o
eixo y):
Fazendo x = 0 temos que a parábola corta o
eixo y em (0,c) logo esta função intercepta o
eixo y em (0, 1)
d) Coordenadas do vértice
-b
-(−2 )
xv =
xv =
2a
2.(1)
⇒
15
10
5
⇒x
v
=
2
=1
2
0
-5 -4 -3 -2 -1
yv =
⇒
-∆
4a
yv =
0
4.(1)
⇒y
v
0
1
2
3
4
5
6
7
-5
=0
5. Um objeto lançado verticalmente, do solo para cima, tem posições no decorrer do tempo dadas pela
função horária s = 40t – 5t2 ( t em segundos e s em metros).
Esboce o gráfico que esta função descreve.
Qual a altura máxima atingida? Em quanto tempo?
b) A altura máxima atingida por este objeto é
exatamente a coordenada do ponto chamado
vértice. Logo, basta calcular yv.
-∆
yv =
, ∆ = b 2 - 4.a.c
4a
a)
90
80
posição (metros)
70
60
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
tempo (segundos)
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
⇒
∆ = (40) 2 - 4.(−5).(0) ∆ = 1600
- 1600
yv =
y v = 80 ,
4.(−5)
logo a altura máxima é 80 metros.
O tempo gasto para se atingir a altura máxima é a
abscissa do vértice. Logo basta calcular xv.
−b
−40
xv =
⇒ xv =
xv = 4,
2.a
2.(−5)
logo o tempo é de 4 segundos.
⇒
50
⇒
21
Cálculo I
6. O centro de gravidade de um golfinho saltador descreve uma parábola conforme o desenho. Sendo
assim, determine a altura máxima atingida pelo mesmo.
Resolução:
Neste exemplo, temos a trajetória do golfinho dada por uma parábola do tipo y = ax2 + bx + c. De acordo
com a figura acima, percebemos que o golfinho passa pelos pontos (0 ; 0), (1,0 ; 2,4) e (3,5 ; 1,4).
Como o golfinho sai da origem, ou seja, do ponto (0 ; 0), o valor de c é igual a zero. Sendo assim ficamos
com duas incógnitas, a e b. Com os pontos dados montamos um sistema de duas equações e duas
incógnitas:
2,4 = a + b

1,4 = 12,25a + 3,5b
Isolando o valor de a na primeira equação temos a = 2,4 – b. Substituindo este valor na segunda equação
obtemos:
1,4 = 12,25(2,4 − b ) + 3,5b
1,4 = 29,4 − 12,25b + 3,5b
− 28 = −8,75b
b = 3,2
Se b = 3,2 e a = 2,4 – b, então
a = 2,4 − 3,2
a = −0,8
Assim:
y = −0,8 x 2 + 3,2 x
Agora podemos calcular a altura máxima atingida pelo golfinho.
altura máxima = yv
(
)
∆
b 2 − 4ac
(3,2)2
yv = −
=−
=−
= 3,2 metros
4a
4a
4(− 0,8)
1.3.3.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando o valor máximo (ou mínimo) e o conjunto
imagem para cada item.
a) f(x) = x 2 − 9
b) g(x) = 2x
2
c) f(x) = −3x
2
− 5x + 2
d) f(x) = 2 x 2
e) g(x) = − x
2
− 8x − 16
+ 12x
2) O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos telefônicos é dado por C(x) = x2 – 86x +
2500, onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem
ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
22
Cálculo I
3) Um foguete experimental é disparado do topo de uma
colina, toca a extremidade superior de uma árvore, sem
mudar sua trajetória e atinge o solo, conforme a figura a
seguir. Determine a altura máxima atingida.
4) Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu
valor máximo às 14 h. Suponhamos que, neste dia, a temperatura f(t) em graus Celsius era uma função
do tempo t, medido em horas, dada por f(t) = – t2 + bt – 160, quando 8 ≤ t ≤ 20.
Obtenha:
a) o valor de b;
b) a temperatura máxima atingida nesse dia;
c) o gráfico de f.
5) Duas plantas de mesma espécie A e B, que
nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde
o início com adubos diferentes. Um botânico
mediu todos os dias o crescimento (em
centímetros) destas plantas. Após 10 dias de
observação, ele notou que o gráfico que
representa o crescimento da planta A é uma
reta que passa por (2 , 3) e o que representa o
crescimento da planta B pode ser descrito pela
a) a “lei” que descreve o crescimento da planta
A;
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a
mesma altura e qual foi essa altura.
Altura y
(cm)
Planta A
Planta B
2
24 x − x
. Um esquema desta
função y =
12
situação está apresentado ao lado. Calcule:
3
0
2
Tempo x (dias)
6) Qual a função geradora da párabola abaixo?
10
5
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
-5
-10
-15
-20
7) Sabendo-se que uma curva que representa uma função de segundo grau passa pelos pontos (-3, 1), (1,
1) e (0, 6), determine a lei desta função.
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
23
Cálculo I
8) Sabe-se que o lucro total “L” de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que, “R” é a receita
total e “C” é o custo total da produção (em reais). Numa certa empresa que produziu “p” unidades em
determinado período, verificou-se que R(p) = 1000p – p2 e C(p) = 300 + 40p + p2. Nestas condições,
determine:
a) a função L(p);
b) a produção “p” para que o lucro da empresa seja o máximo possível para esta situação;
c) o lucro máximo;
d) o lucro obtido para uma produção de 300 unidades.
9) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que L é o lucro total, R é
a receita total e C é o custo total de produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que
R(x) = 600x – x2 e C(x) = x2 + 2000. Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da
empresa seja máximo?
Respostas:
y
1. a)
• Valor mínimo = - 9
• Ponto de mínimo → (0,- 9)
• Im = { y ∈ | y ≥ - 9 }
–3
x
3
-9
b)
y
• Valor mínimo = - 9/8
• Ponto de mínimo → (5/4,- 9/8)
• Im = { y ∈ | y ≥ - 9/8 }
2
•1/2
2
x
5/4
-9/8
c)
y
12
0
• Valor máximo = 12
• Ponto de máximo → (2, 12)
• Im = { y ∈ | y ≤ 12 }
V
2
4
x
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
24
Cálculo I
d)
y
•
8
•
• Valor mínimo = 0
• Ponto de mínimo → (0,0)
• Im = { y ∈ | y ≥ 0 }
2 •
•
•
–2 –1
1
x
2
y
e)
–8
–4
•
V
0
x
• Valor máximo = 0
• Ponto de máximo → (– 4, 0)
• Im = { y ∈ | y ≤ 0 }
• –16
•
2) 43 aparelhos
3) ≅ 29,3 m
4a) b = 28
4b) temper. máxima = 36 ºC (YV)
4c)
temperatura (ºC)
V
36
0
8
14
20
tempo (h)
5 a) y = 3x/2
b) atingiram a mesma altura, de 9 cm, no 6º dia
6) y= -x2+7x-10
7) y = (-5/3) x2- (10/3) x+6
8.a) L(p) = – 2p2 + 960p – 300; b) p = 240; c) 114.900;
d) 107.700
9) 150
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
25
Cálculo I
1.3.4 FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA
1. Em uma experiência sobre deterioração de alimentos, constatou-se que a população de um certo tipo
de bactérias dobrava a cada hora. Se no instante que começaram as observações havia 50 bactérias, qual a
população de bactérias após 4 horas?
Resolução:
No instante inicial : 50 bactérias
Após 1 hora será: 50 . 2
Após 2 horas será: 50 . 2. 2 = 50 . 22
Após 3 horas será: 50 . 22. 2 = 50 . 23
Após 4 horas será: 50 . 23. 2 = 50 . 24 , logo, teremos 800 bactérias depois de 4 horas.
Enfim, para cada hora x que se escolha há um número y de bactérias. O valor de y, portanto, é uma
função de x, e a lei que expressa y em função de x é y = 50 . 2x, que é um caso particular de função
exponencial.
2. Considere os dados da tabela a seguir, que mostram o crescimento de uma população (em milhares) de
bactérias.
x
(geração)
P(x)
(milhares)
0
140
1
182
2
236,6
3
307,58
4
399,854
5
519,81
6
675,753
Qual a equação que descreve esse crescimento populacional de bactérias? Esboce o gráfico.
Resolução:
Os dados da tabela acima mostram o crescimento de uma população (em milhares) de bactérias
inoculadas em um meio de cultura. Para avaliar como a população está aumentando, observa-se seu
crescimento a cada geração nos dados da terceira coluna. Se a população estivesse crescendo
linearmente, todos os números na terceira coluna seriam iguais. Também, podem-se analisar a segunda e
a terceira variações para concluir que estas não tendem a se estabilizar. Assim, este crescimento
populacional não pode ser descrito por polinômios. De fato, populações em geral crescem muito
rapidamente, pois a cada geração são mais indivíduos para se reproduzir, o que justifica o fato de os
valores da terceira coluna serem sempre crescentes.
Dividindo a população de cada geração pela da geração anterior, obtém-se:
população da geração 1 182
=
= 1,3
população da geração 0 140
população da geração 2 236,6
=
= 1,3
população da geração 1
182
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
26
Cálculo I
Efetuando os mesmos cálculos para os outros dados, ter-se-á também o valor 1,3. Considerando-se x o
número de gerações, a população pode ser escrita da seguinte maneira:
P( x) = 140 ⋅ (1,3)x
ou seja,
quando x = 0, a população = 140 = 140 ⋅ (1,3) ;
0
quando x = 1, a população = 182 = 140 ⋅ (1,3) ;
1
quando x = 2, a população = 236,6 = 140 ⋅ (1,3) ;
2
quando x = 3, a população = 307,58 = 140 ⋅ (1,3) ;
3
Esta é uma função exponencial com base 1,3, assim chamada porque a variável x está no expoente. A
base representa um fator de crescimento pelo qual a população muda a cada geração. Considerando r a
taxa percentual, diz-se neste caso que a taxa de crescimento é r = 30% = 0,3.
Se a equação for válida para as próximas 10 gerações, a população será P(10) = 140 ⋅ (1,3)10 = 1930,02 .
Graficamente, tem-se:
População de Bactérias
2500
P(x)
2000
1500
1000
500
0
0
2
4
6
8
10
12
x
P(x) é uma função crescente, pois os valores aumentam para valores crescentes de x. Note também que a
população cresce mais rápido quanto maior é o número de gerações. Este comportamento é próprio das
funções exponenciais.
Embora o gráfico seja uma linha cheia, isto é, contínua, ele mostra apenas uma boa aproximação da
realidade, pois sabe-se que não há fração de população.
Para reconhecer que os dados de uma tabela descrevem uma função exponencial, basta observar se as
razões dão um fator constante.
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
27
Cálculo I
1.3.4.1 DEFINIÇÃO
Toda função f: ℜ → ℜ definida por f(x) = y0. ax , com a ∈ ℜ , a > 0 e a ≠ 1 e x ∈ ℜ é denominada
função exponencial de base a.
Propriedades:
•
Se a > 1 a função f(x) = y0. ax será crescente. Exemplos: f(x) = 2x, g(x) =
•
Se 0 < a < 1 a função f(x) = y0. ax será decrescente . Exemplos: f(x) =
( 32 )x
( 12 )x ,
g(x) = (0,3)x
•
Sendo a função f(x) = ax, definida anteriormente, temos que ∀ x ∈ R, encontraremos ax > 0. Como
todos os valores de “y” serão positivos, o gráfico se localizará totalmente acima do eixo “x”, concluindose então que o conjunto imagem da função será dado por Im = { y ∈ R / y > 0 } ou ainda, de forma mais
∗
breve: Im = R + .
•
Decorrente do item anterior teremos, coincidente com o eixo das abscissas, uma assíntota horizontal.
1.3.4.2 GRÁFICOS
Exemplo 1:
y = 2x
9
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
0,125
0,25
0,5
1
2
4
8
y
8
y = 2x
7
6
5
4
3
2
1
x
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Exemplo 2:
y = (1/2)x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
8
4
2
1
0,5
0,25
0,125
8
7
6
5
4
3
2
x
1
0
-4
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
y
9
x
y =(1/2)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
28
Cálculo I
1.3.4.3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Construa cada dupla de gráficos das funções abaixo no mesmo sistema cartesiano ortogonal.
a) f ( x ) = 3
x
e g ( x) =
( 13 )
x
b) f ( x ) = 2
x +1
x
e g ( x) = 2 + 1
2) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando o conjunto imagem e representando também
as respectivas assíntotas.
x
x
b) y = 2 + 2
a) f ( x ) = 2 − 1
e) f ( x ) = 2
f) g ( x ) =  1 
3
2x
c) g ( x ) = 3
x −1
1
g) y =  
 3
2x
d) h ( x ) = 3
x −2
−x
1.3.4.4 LOGARITMAÇÃO
Resolver as seguintes equações exponenciais:
a) 2x – 512 = 0
b) 3 . 4x+1 = 96
c) 3x = 2
Utilizando somente os conceitos usuais de equações exponenciais, não poderemos solucionar a
equação do item “c”. Para chegarmos à solução da referida equação precisaremos conhecer os
logaritmos.
Matematicamente, podemos escrever um número de várias formas:
O número
3
4
pode ser escrito na forma 3 ⋅
1
4
= 3.( 0, 25) .
Observe que na forma 1ª forma, a fração pode ser considerada uma divisão e na 2ª forma, a operação
utilizada é a multiplicação. Podemos trocar a operação de um número sem alterar o seu valor.
Utilizando um raciocínio similar, podemos transformar as equações:
3
x
⇔
= 2
log 3 2 = x
↳ forma exponencial
↳ forma logarítmica
Desta maneira, temos a definição da operação logaritmação:
Simbolo da
operação
Logaritmo
log b = x
a
base
⇔
Expoente
ax = b
logaritmando ou
antilogaritmo
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
b>0

com  a > 0 e a ≠ 1
 x ∈ℜ

Base
29
Cálculo I
Através da definição podemos observar que o logaritmo é um expoente. Assim sendo...
3
⇔
2 = 8
log 2 8 = 3
5
⇔
log 2 32 = 5
x
⇔
log 3 81 = x
2 = 32
3 = 81
Neste último caso, resolvendo o logaritmo, temos que:
log 3 81 = x
x
3 = 81
3
x
= 3
4
x = 4
∴ log 3 81 = 4
• Logaritmo decimal (base 10) → log 100 = log 10 100 = 2
• Logaritmo natural ou neperiano (base
e ) → ln 1 = log e 1 = 0
↳ e = 2,7182818284... (número de Euler ou Neperiano)
Propriedades Importantes dos Logaritmos:
log a b = log a c ⇔ b = c
log b (a.c) = log b a + log b c
log b n = n . log b
a
log b   = log b a − log b c
c
Mudança de Base:
Para mudarmos a base “a” de um logaritmo, para uma base “c” de livre escolha (c > 0 e c ≠ 1),
utilizamos a fórmula:
log a b =
log c b
log c a
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
30
Cálculo I
1.3.4.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente
entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este
indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão
que:
Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário;
t = meses de experiência;
Q = 700 − 300e −0,5t , em
a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 1 mês de experiência deverá
produzir mensalmente?
b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?
Compare esse resultado com o resultado do item a. Há coerência entre eles?
c) Construa o gráfico Q X t
2) A produção de uma peça numa empresa é expressa pela função y = 100 – 100.e-0,2d, onde y é o
número de peças e d o número de dias. A produção de 87 peças será alcançada em quantos dias?
Esboce o gráfico que representa esta função.
3) Uma imobiliária acredita que o valor v de um imóvel no litoral varia segundo a lei v(t) =
50.000•(0,9)t, em que t é o número de anos contados a partir de hoje.
a) Qual é o valor atual desse imóvel?
b) Qual é a desvalorização percentual anual desse imóvel?
c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos?
d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$ 29.524,50?
0 , 05 t
fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em
4) A expressão P (t ) = k • 2
função do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes,
aproximadamente, ela possuía no ano 2000?
5) Um corpo com temperatura de 200oC é exposto ao ar e após 30 segundos sua temperatura atinge
120oC. Sabendo que seu resfriamento obedece a função: T = c.ekt + Ta
Onde: T ⇒ temperatura; t ⇒ tempo; c, k ⇒ constantes; Ta ⇒ 20oC.
a) Determinar a temperatura após 1 hora.
b) Determinar o tempo necessário para atingir 40oC.
6) Sabe-se que a população de bactérias em uma cultura pode ser modelada pela função p = c.ekt,
onde “p” representa o número de bactérias e “t” o tempo. Sabe-se que em 8 horas de cultura a
população era de 1200 bactérias, isto para uma população inicial de 250 bactérias. Determine a
população para 1 dia e 2 dias.
7) Um estudo revelou que a população de peixes de um lago está crescendo à taxa de 25% ao ano.
Isso significa que a população de peixes em um determinado ano é 1,25 vez maior que a população
do ano anterior. Atualmente, essa população está estimada em 1.000 peixes.
a) Obtenha a lei que define o número de peixes n nesse lago daqui a t anos.
b) Qual será a população de peixes daqui a 1 ano? E daqui a 3 anos?
c) Esboce o gráfico dessa função.
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
31
Cálculo I
8) Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos freqüentadores de um restaurante. Uma
investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei:
n(t ) = 200 • 2 at , em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas
após o início do almoço e a é uma constante real.
a) Determine o número inicial de bactérias.
b) Sabendo que após 3 horas do início do almoço o número de bactérias era de 800, determine o valor
da constante a.
c) Determine o número de bactérias após 1 dia da realização do almoço.
9) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação
−0 , 25t
ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação: P (t ) = P (0) • 4
. Sendo P(0)
uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população t anos após,
determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à metade.
10) Considerando-se as taxas de natalidade e mortalidade, a população da cidade A apresenta
crescimento de 5% ao ano, e a população da cidade B aumenta, a cada ano, 1.500 habitantes em
relação ao ano anterior. Em 1990, a população da cidade A era de 200.000 habitantes e a população da
cidade B era de 220.000 habitantes.
a) Obtenha a lei que representa a população P de cada uma das duas cidades em t anos, a partir de
1990.
b) Forneça a população de A e de B em 2003.
c) Faça um esboço dos gráficos que representam as leis obtidas no item a no mesmo plano cartesiano.
11) No primeiro dia útil de 2003 (data que será chamada de “data-base”), um investidor tem o saldo
de R$ 15.000,00 numa aplicação financeira (estamos supondo que os rendimentos do último período
que antecedeu à data-base já tenham sido creditados).
Durante os próximos meses, são pagos a esse investidor rendimentos a uma taxa de 15% ao mês.
Supondo que a partir da data-base não foram feitos nem depósitos nem retiradas, calcule o saldo
dessa conta com relação à data-base, após:
a) 1 mês;
b) 2 meses;
c) 3 meses;
d) 12 meses;
e) n meses (n inteiro, n≥ 0).
12) Suponha que você deposite R$ 1000 numa conta que rende juros cuja taxa é 2% ao mês e
acumule esse juro ao seu capital inicial mensalmente. Quanto você terá após 6 meses de aplicação?
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
32
Cálculo I
13) O gráfico abaixo é gerado pela função y = c.ekx + 10. Determinar:
a) o valor de y para x = 30
b) o valor de x para y = 12
y
50
20
10
x
Respostas:
1) a) 518 peças; b) 400 peças
2) 10,2 dias
3) a) R$ 50.000,00; b) 10%; c) R$ 40.500,00; d) 5 anos
4) 424.264 habitantes
5) a) T = 20oC; b) t ≅ 112 segundos
6) P(24) = 27.647 bactérias e P(48) = 3.057.647 bactérias
7) a) n = 1000•(1,25)t; b)1250 peixes; 1953 peixes; c) Gráfico
8) a) 200 bactérias; b) a = 2/3; c) 13.107.200 bactérias
9) 2 anos
10) a) PA = 200.000 • (1,05)t e PB = 220.000 + 1500t; b) PA = 377.129 habitantes e PB = 239.500 habitantes; c) Gráfico
11) a) R$ 17.250,00; b) R$ 19.837,50; c) R$ 22.813,13; d) R$ 80.253,75; e) saldo = 15.000 • (1,15)n
12) R$ 1126,16
13) a) y = 10,6255 b) x = 21,6142
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
33
Cálculo I
1.3.5 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1.3.5.1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considerando o triângulo retângulo da figura:
B
hipotenusa
a
cateto
c
cateto
b
A
C
Teorema de Pitágoras: a hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos
(a
2
= b2 + c2 )
Obs. a hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo.
Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, define-se:
Seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da
hipotenusa.
Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da
hipotenusa.
Tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto
adjacente a esse ângulo.
b
a
c
sen Ĉ =
a
c
a
b
cos Ĉ =
a
sen B̂ =
cos B̂ =
b
c
c
tg Ĉ =
b
tg B̂ =
1.3.5.2 CICLO TRIGONOMÉTRICO
Denomina-se ciclo trigonométrico uma circunferência de raio unitário, fixada em um plano cartesiano,
de centro O, sobre a qual marcamos um ponto A (origem), e adotamos como sentido positivo de
percurso o sentido anti-horário.
y
B
C
+
Os pontos A(1, 0); B(0,1); C(-1, 0) e D(0, -1) pertencem a
circunferência e a dividem em 4 partes iguais
denominadas quadrantes.
A
O r=1
x
_
D
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
34
Cálculo I
1.3.5.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
TABELAS DOS VALORES NOTÁVEIS
sen
3
2
1
1 Π/2 π/3
30o
(/6)
1
2
45o
(/4)
2
2
cosseno
3
2
2
2
tangente
3
3
π/4
2
2
π/6
2
1 2 3
2 2 2
seno
0
1
cos
1
0o
(0
rad)
90o
(/2
rad)
180o
(
rad)
270o
(3/2
rad)
360o
(2
rad)
seno
0
1
0
-1
0
cosseno
1
0
-1
0
1
tangente
0
∃/
0
∃/
0
60o
(/3)
3
2
1
2
3
Observações:
•
Relação Fundamental entre o seno e o cosseno: sen2 x + cos2 x = 1
senx
•
tg x =
cos x
1.3.5.4 FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE
a. Função seno é a função que faz corresponder a cada número real x o número y = sen x.
b. Função Cosseno é a função que faz corresponder a cada número real x o número y = cos x.
c. Função Tangente é a função que faz corresponder a cada número real x, x≠ /2 + k, onde k є Z,
o número y = tg x.
Função Seno e Função Cosseno:
• Domínio: D = R
• Conjunto Imagem: Im = [-1,1]
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
35
Cálculo I
1.3.5.5 GRÁFICOS
1. SENO
Função Seno
x
0
π/2
π
3π/2
2π
y
0
1
0
-1
0
y
-2π -3π/2 -π
1,5
1
0,5
0
-π/2-0,5
-1
-1,5
π/2
π
3π/2
2π
x
2. COSSENO
X
0
π/2
π
3π/2
2π
Y = cos x
1
0
-1
0
1
Função Cosseno
y
-2π
-3π/2
-π
-π/2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
π/2
π
3π/2 2π
x
1.3.5.6 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
a. Função Limitada
Estas funções são limitadas pois : -1 ≤ sen x ≤ 1 e -1 ≤ cos x ≤ 1, para todo x real.
b. Amplitude
Amplitude é a metade da diferença entre os valores máximo e mínimo de uma função.
Os valores máximo e mínimo das funções seno e cosseno são 1 e –1, assim a amplitude de ambas as
funções é 1.
c. Função Periódica
Período: é o tempo para que a função execute um ciclo completo.
O gráfico da função seno e também o da função cosseno, percorre um ciclo completo de 0 a 2Π, todo o
resto do gráfico é só uma repetição deste pedaço. Portanto o período destas 2 funções é p = 2Π.
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
36
Cálculo I
1.3.5.7. EXEMPLOS
1. Esboce o gráfico de y = 3 sen t e use-o para determinar a amplitude e o período.
y = 3 sen t
3
2
1
0
-1
-2
-3
y
-2π
-3π/2 -π
-π/2
π/2
π
3π/2 2π
t
As ondas têm um máximo de 3 e um mínimo de –3, assim a amplitude é 3.
O gráfico completa um ciclo entre t = 0 e t = 2Π, sendo assim o período é 2Π.
2. Esboce o gráfico de y = cos 2 t e use-o para determinar a amplitude e o período.
y = cos 2 t
y
1,5
1
0,5
0
-2π
-3π/2 -π
-π/2
-0,5
π/2
π
3π/2
2π
-1
t
-1,5
As ondas têm um máximo de 1 e um mínimo de –1, logo a amplitude é 1.
O gráfico completa um ciclo entre t = 0 e t = Π, logo o período é p = Π.
3. Esboce o gráfico de y = sen (t + Π/2) e use-o para determinar a amplitude e o período.
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
37
Cálculo I
y = sen (t+π/2)
y 1,5
1
0,5
0
-2π
-3π/2 -π -π/2
-0,5
π/2 π
3π/2
2π
t
-1
-1,5
Tem amplitude A = 1.
Tem período p = 2.
É o gráfico de y = sen t deslocado de /2 unidades para a esquerda. (Observe que é o gráfico de
y = cos t)
4. Faça o gráfico de y = A sen t para diferentes valores de A. Descreva o efeito de A sobre o gráfico.
4
y
3
Nos gráficos de y = A sen t para A = 1, 2, 3,
valores positivos, observa-se que A é a
amplitude.
Faça o gráfico de y = A sen t para valores
negativos de A e descreva o efeito de A sobre
o gráfico.
2
1
0
2π
π
-1
-2
-3
t
-4
5. Faça o gráfico de y = sen B t para diferentes valores de B. Descreva o efeito de B sobre o gráfico.
y = sen 2t (B = 2)
y
y = sen 1/2 t ( B =1/2)
y = sen t ( B = 1)
1,5
y 1,5
y 1,5
1
1
1
0,5
0,5
0,5
0
0
-0,5
-1
-1,5
π
2π
3π
4π
t
-0,5
4π
2π
t
0
-0,5
-1
-1
-1,5
-1,5
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
2π
4π
t
38
Cálculo I
Os gráficos de y = sen Bt, para B = 1/2 o período é 4, quando B = 1 o período é 2Π, quando B = 2 o
período é Π . O valor de B afeta o período da função. Os gráficos sugerem que quanto maior for B,
“mais depressa” a onda se repete e mais curto é o período.
1.3.5.8 FAMÍLIA DE CURVAS
As constantes A, B, C e D são chamadas parâmetros. Pode-se estudar as famílias de curvas variando
um dos parâmetros de cada vez.
As funções y = A sen (Bt + C) + D e y = A cos (Bt + C) + D são periódicas com:
• Amplitude = IAI,
2π
• Período p =
,
IBI
• Deslocamento horizontal = - C/B
• Deslocamento vertical = D
1.3.5.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Esboce o gráfico das funções abaixo. Quais são seus períodos e suas amplitudes?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
y = 3 sen x
y = -3 sen x
y = 5 cos t
y = -5 cos t
y = sen (x) + 1
y = cos (x/2)
y = sen (5x) + 1
y = sen(x + Π)
i) y = 2 sen (x + Π )
j) y = ½ (cos 3x) +1
k) y = cos(t/4) – 2
l) y = 2 sen(4x) – 2
m) y = 3 cos (x + Π) -1
n) y = 2 sen (x + Π/2) + 1
o) y = -1cos (2t) -2
p) y = -3 cos (x + Π) +1
2) A 10 de fevereiro de 1990, a maré alta em determinada cidade foi à meia noite. A altura de água
no porto é uma função periódica, pois oscila regularmente entre maré alta e baixa. A altura (em pés) é
aproximada pela fórmula
π
y = 5 + 4,9 cos( t ) ,
6
onde t é o tempo em horas desde a meia noite de 10 de fevereiro de 1990.
a)
b)
c)
d)
e)
Esboce um gráfico dessa função em 10 de fevereiro de 1990 (de t = 0 a t = 24)
Qual era a altura da água à maré alta?
Quando foi a maré baixa e qual era a altura da água nesse momento?
Qual é o período desta função e o que ele representa em termos das marés?
Qual é a amplitude desta função e o que ela representa em termos das marés?
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
39
Cálculo I
Respostas:
1) a)
e)
y = sen (x) + 1
y = 3 sen x
2
3
2
1
1
0
-1 0
0
90
180
270
360
0
90
180
270
360
-1
-2
-3
-2
b)
f)
y = -3 sen x
y = cos(x/2)
3
1
2
0,5
1
0
-1 0
90
180
270
0
360
0
180
360
540
720
-0,5
-2
-3
-1
c)
g)
y = 5 cos t
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
y=sen(5x)+1
2
1,5
1
0,5
90
180
270
360
0
-0,5 0
18
36
54
72
-1
d)
h)
y = -5 cos t
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
y=sen(x+p)
1
0,5
0
90
180
270
360
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
-0,5
-1
40
Cálculo I
i)
m)
y=2 sen(x+p)
y=3cos(x+p)-1
2
2
1
1
-270
0
-270
-180
-90
0
90
180
270
-180
0
-1 0
-90
90
180
270
360
-2
360
-1
-3
-4
-2
j)
n)
y=0,5(cos3x)+1
y=2sen(x+p/2)+1
1,5
3
1
2
0,5
1
0
-0,5 0
30
60
90
120
0
-180
-1
-90
0
90
180
270
360
-1
-1,5
-2
k)
o)
y=(cosx/4)-2
0
-0,5 0
360
720
y=-cos(2x)-2
1080
-1
1440
0
45
90
135
180
-1,5
-1
-1,5
-2
-2
-2,5
-2,5
-3
-3
l)
p)
y=2sen(4x)-2
y=-3cos(x+p)+1
0
0
22,5
45
67,5
4
90
-1
3
-2
2
1
-3
0
-4
-270
-180
-90
-1
0
90
180
270
360
-2
2)a) gráfico; b) 9,9 m; c) 6 e 18 horas e altura de 0,1 m; d) 12 horas; e) 4,9
Material elaborado por Deborah Jorge e Karina Borges Mendes
41