Universidade do Vale do Paraı́ba
Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo
APOSTILA DE TERMODINÂMICA
Profa. Dra. Ângela Krabbe
Prof. Dr. Caius Selhorst
Ao Aluno
Esta apostila será elaborada ao longo da disciplina de Termodinâmica, ministrada nos
cursos das Engenharias da Univap.
A apostila será uma compilação das notas de aula que estarão fundamentadas nos
livros listados na bibliografia recomendada.
Estas notas de aula não substituirão o uso dos livros textos, mas poderão auxiliá-lo no
entendimento dos conteúdos dessa disciplina. Recomenda-se que o emprego desses livros
seja utilizado para uma melhor compreensão dos conteúdos desse curso.
São José dos Campos - 2013
1
Sumário
1 Temperatura
1.1 Temperatura e Equilı́brio
1.2 Escalas de Temperatura
1.2.1 Escala Kelvin . .
1.2.2 Escala Celsius . .
1.2.3 Escala Fahrenheit
1.3 Dilatação Térmica . . .
térmico
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2 Teoria Cinética dos Gases
2.1 O Gás Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Massa Molar . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriedades Moleculares dos Gases . . . . . . .
2.2.1 Uma visão molecular da pressão . . . . .
2.2.2 Trajetória Livre Média . . . . . . . . . .
2.2.3 Distribuição das velocidades moleculares
2.2.4 Distribuição das Energias moleculares . .
3 Primeira Lei da Termodinâmica
3.1 A absorção de calor . . . . . . . . . . .
3.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Primeira Lei da Termodinâmica . . . .
3.4 Calor especı́fico molar de um gás ideal
3.4.1 Volume constante . . . . . . . .
3.4.2 Pressão Constante . . . . . . .
3.5 Mecanismos de transferência de calor .
3.5.1 Condução . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Radiação . . . . . . . . . . . . .
4 Máquinas
4.0.3
4.0.4
4.0.5
4.0.6
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Térmicas, entropia e a Segunda
Máquinas Térmicas . . . . . . . . .
Processos reversı́veis e irreversı́veis
Máquinas Térmicas . . . . . . . . .
A máquina de Carnot . . . . . . . .
2
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Lei da Termodinâmica
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3
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5
7
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43
Capı́tulo 1
Temperatura
A termodinâmica – a ciência da energia no contexto mais amplo – surgiu lado a lado
com a revolução industrial em decorrência do estudo sistemático sobre a conversão de
energia térmica em movimento e trabalho mecânico. Daı́ o nome termo + dinâmica.
De fato, a análise de motores e geradores de vários tipos permanece sendo o foco da
termodinâmica para a engenharia. Porém, como ciência, a termodinâmica agora se estende
a todas as formas de conversão de energia, incluindo as que envolvem os organismos vivos.
Por exemplo:
• Motores convertem energia dos combustı́veis em energia mecânica de pistões, engrenagens e rodas de movimento;
• Células de combustı́vel convertem energia quı́mica em energia elétrica;
• Células fotovoltaicas convertem energia eletromagnética da luz em energia elétrica;
• Organismos convertem energia quı́mica dos alimentos em uma variedade de outras
formas de energia, incluindo energia cinética, energia sonora e energia térmica;
1.1
Temperatura e Equilı́brio térmico
O conceito central da termodinâmica é a temperatura. Estamos tão familiarizados com
essa palavra que temos a tendência de sermos excessivamente confiantes. Começaremos
com a idéia do senso comum de que a temperatura seja uma medida de quão ”quente”ou
”frio”está um sistema. Essa ”sensação de temperatura”nem sempre é confiável.
Por exemplo, em um dia frio de inverno, um corrimão de ferro parece estar mais
frio ao toque do que uma estaca de uma cerca de madeira, apesar de ambos estarem a
mesma temperatura. Por quê? Esse erro na nossa percepção ocorre porque o ferro remove
energia dos nossos dedos mais rapidamente do que a madeira. Portanto, vamos entender
o conceito de temperatura mais profundamente.
Suponha que tivéssemos dois corpos, com temperaturas diferentes, um em contato com
o outro e isolados de influências externas. Você poderia perceber que o corpo mais quente
iria se esfriando, enquanto o mais frio iria se aquecendo. Depois de um certo tempo, você
perceberia, usando o seu tato, que os corpos atingiram uma mesma temperatura. A partir
desse momento, as temperaturas dos corpos não sofrerão alterações, isto é, eles atingirão
uma situação final, denominada estado de equilı́brio térmico.
3
1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA
Temperatura
LEI ZERO DA TERMODINÂMICA - Se cada um dos sistemas A e B está
em equilı́brio térmico com um terceiro sistema C, então A e B estão em equilı́brio
térmico entre si.
Em linguagem menos formal, a mensagem da lei zero é: ”Todo corpo possui uma
propriedade chamada temperatura”.
A lei zero surgiu no século XX, na década de 1930, muito depois da primeira e segunda
leis da termodinâmica terem sido propostas. Por ela servir de base para o conceito de
temperatura, a qual é fundamental para a primeira e segunda leis, recebeu um número
de ordem menor para designá-la.
1.2
Escalas de Temperatura
A temperatura é uma das sete grandezas básicas do S.I. e está relacionada à energia
térmica de um sistema. Para que a temperatura possa ser considerada uma grandeza
fı́sica, é necessário que saibamos medi-la, para que se tenha um conceito quantitativo
desta grandeza. Esta medida é feita com termômetros.
1.2.1
Escala Kelvin
A escala que universalmente adotada em fı́sica é a escala Kelvin, na qual o zero da
escala representa o limite mais baixo que a temperatura pode atingir, ou o zero absoluto
da temperatura.
A escala Kelvin é calibrada no chamado ponto trı́plice da água, na qual o gelo, água
lı́quida e vapor d’água coexistem em equilı́brio térmico e vale exatamente:
T3 = 273, 16K
1.2.2
(1.1)
Escala Celsius
O grau Celsius (◦ C) designa a unidade de temperatura, assim denominada em homenagem ao astrônomo sueco Anders Celsius (1701–1744), que foi o primeiro a propô-la em
1742. Esta é utilizada em quase todos os paı́ses do mundo para as medidas do dia a dia
e comerciais.
Originalmente, esta escala era baseada em dois pontos de calibração:
• o ponto de congelamento da água corresponde - 0◦ C
• o ponto de ebulição da água - 100 ◦ C
Enquanto que os valores de congelação e evaporação da água estão aproximadamente
corretos, a definição original não é apropriada como um padrão formal: ela depende da
definição de pressão atmosférica padrão, que por sua vez depende da própria definição de
temperatura. A definição oficial atual de grau Celsius define 0,01 ◦ C como o ponto triplo
da água, e 1 grau Celsius como sendo 1/273,16 da diferença de temperatura entre o ponto
triplo da água e o zero absoluto. Esta definição garante que 1 grau Celsius apresenta a
mesma variação de temperatura que 1 kelvin.
4
1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA
Temperatura
A temperatura na escala Celsius Tc em termos da escala Kelvin é dada pela equação:
Tc = T − 273, 15◦ C
1.2.3
(1.2)
Escala Fahrenheit
A escala Fahrenheit também foi originalmente baseada em dois pontos fixos:
• o ponto de congelamento da água corresponde - 32◦ F
• o ponto de ebulição da água - 212 ◦ F
A Fig.1.1 mostra as relações entre as essas três escalas de temperatura.
Transformando ◦ F para ◦ C:
TF − 32
Tc − 0
=
100 − 0
212 − 32
TF − 32
Tc
=
100
180
5
Tc = (TF − 32)
9
(1.3)
Transformando ◦ F para K:
TF − 32
T − 273
=
373 − 273
212 − 32
T − 273
TF − 32
=
100
180
5
T − 273 = (TF − 32)
9
5
T = (TF − 32) + 273
9
5
(1.4)
1.2. ESCALAS DE TEMPERATURA
Temperatura
Figura 1.1: Escalas de Temperatura
Exercı́cios
1. A que temperatura as escalas Fahrenheit e Celsius coincidem? R: -40
2. A que temperatura as escalas Fahrenheit e Kelvin coincidem? R: 574,25
3. A resistência de uma certa bobina de fio de platina aumenta um fator de 1,392 entre
o ponto trı́plice da água e o ponto de ebulição da água na pressão atmosférica. Qual
a temperatura medida por este termômetro para o ponto de ebulição normal da
água? R: 380,2K
4. Você deve se preocupar se o seu médico lhe disser que a sua temperatura é de 310
K? Explique sua resposta. R: 36,85 ◦ C
5. A que temperatura a leitura da escala Fahrenheit é igual a :
(a) duas vezes a da escala Celsius? R: 320 ◦ F
(b) metade da escala Celsius? R: -12 ◦ F
6. Em 1964, a temperatura no vilarejo siberiano de Oymyakon atingiu -71 ◦ C. Que
temperatura é esta na escala Fahrenheit e Kelvin? R: 202,15 K; -95,8 ◦ F
7. Suponha que você encontre antigas anotações cientı́ficas que descrevem uma escala
de temperatura chamada Z, na qual o ponto de ebulição da água é 65 ◦ Z e o ponto de
congelamento é de -14◦ Z. A que temperatura na escala Farenheit uma temperatura
T= -98,0◦ Z corresponderia? R: F=-159,4 ◦ F
8. Supondo que em um livro de fı́sica muito antigo você encontre a referência a uma
escala P, cujos pontos fixos eram -20 ◦ P para a fusão do gelo e 130 ◦ P para a água
em ebulição. Determine: (a) a relação entre a escala Celsius e essa escala e (b) a
temperatura em graus Celsius que corresponde a 70 ◦ P. R: - - ; 60 ◦ C
9. Para medir a febre de pacientes, um estudante de medicina criou sua própria escala
linear de temperatura. Nessa nova escala, os valores 0 e 10 correspondem, respectivamente, a 37◦ C e 40◦ C. Qual a temperatura em que o valor número de ambas
escalas coincidem? R: T≈ 52,9 ◦ C
6
1.3. DILATAÇÃO TÉRMICA
Temperatura
Figura 1.2: Trilhos ferroviários deformados por causa da expansão térmica.
1.3
Dilatação Térmica
Praticamente todas as substâncias, sejam sólidas, lı́quidas ou gasosas, dilatam-se com
o aumento da temperatura e contraem-se quando sua temperatura é diminuı́da e o efeito
da variação de temperatura, especialmente a dilatação, tem muitas implicações na vida
diária. A dilatação térmica de um sólido sugere um aumento da separação média entre
os átomos do sólido.
Você já deve ter notado um espaçamento nos blocos de concreto das ruas e avenidas,
bem como nos trilhos do trem ou em algumas pontes. Esse espaçamento é necessário
justamente por causa da dilatação que os materiais sofrem.
Também em casa, aplicamos o efeito do aumento da temperatura, por exemplo, para
abrirmos tampas de vidros de conserva, aquecendo-os de alguma forma.
O controle da temperatura feito através de termostatos com lâminas bimetálicas, utilizadas no ferro elétrico e em termopares que são os dispositivos que constam em automóveis
e outros tipos de termômetros, ocorre com base na dilatação de certos materiais.
Dilatação Linear
Se a temperatura de uma haste metálica de comprimento L for elevada de uma quantidade ∆T , verifica-se que o seu comprimento aumenta uma quantidade
∆L = Lα∆T,
(1.5)
onde α é uma constante chamada de coeficiente de expansão linear de um dado
material.
Exemplo 1. De quanto se dilata um trilho de ferro de 10 m de comprimento, quando
aquecido de 0◦ C a 30 ◦ C? Dado: αF erro = 12×10−6 (◦ C)−1 .
∆L = Lα∆T = 12 × 10−6 (◦ C)−1 ×10m × (30◦ C–0◦ C) = 0, 0036m = 3, 6mm.
7
(1.6)
1.3. DILATAÇÃO TÉRMICA
Temperatura
Dilatação Superficial e Volumétrica
Para muitos sólidos os coeficientes de dilatação são os mesmos nas diversas dimensões
(dilatação isotrópica). Considerando que uma placa de dimensões L01 e L02 para uma
dada temperatura inicial Ti sofra dilatação para L1 e L2 quando variamos a temperatura
em ∆T .
muito menor que 1 (α∆T << 1)
Sendo α∆T = ∆L
L0
∆L = L − L0
(1.7)
substituindo 1.7 em 1.5, temos
L − L0 = L0 α∆T
L = L0 + L0 α∆T
L = L0 (1 + α∆T )
(1.8)
Para os comprimentos L1 e L2 , temos:
L1 = L01 (1 + α∆T )
(1.9)
L2 = L02 (1 + α∆T )
(1.10)
Podemos, então, definir uma relação entre a variação de área sofrida pela placa, onde:
A0 = L01 L02
(1.11)
A = L1 L2
(1.12)
A = L01 (1 + αδT )L02 (1 + α∆T )
A = L01 L02 (1 + 2α∆T + (α∆)2 )
A = A0 (1 + 2α∆T + (α∆)2 )
(1.13)
Como α∆T << 1, então α∆T >> (α∆T )2 , podemos assim desconsiderar o termo
(α∆T )2
A = A0 (1 + 2α∆T )
A = A0 + 2αA0 ∆T
A − A0 = 2αA0 ∆T
8
1.3. DILATAÇÃO TÉRMICA
Temperatura
∆A = 2αA0 ∆T
(1.14)
O mesmo procedimento pode ser feito em relação à dilatação volumétrica dos sólidos,
chegando a equação
∆V = 3αV0 ∆T
(1.15)
Também é possı́vel deduzir essa relação usando o cálculo diferencial. Consideremos
um cubo de um material com um lado L e volume V = L3 . Na temperatura inicial, os
valores são L0 e V0 . Quando a temperatura aumenta de dT , a aresta aumenta de dL, e o
volume aumenta uma quantidade dV dada por
dV =
dV
dL = 3L2 dL
dL
(1.16)
Substituı́mos agora L e V pelos valores iniciais L0 e V0 . Conforme a equação 1.5, dL
é dado por
dL = αL0 dL
(1.17)
Como V0 = L30 , podemos expressar dV do seguinte modo
dV = 3L20 αL0 dT = 3αV0 dT
(1.18)
O comportamento incomum da água
Lı́quidos geralmente aumentam em volume com o aumento de temperatura e têm
coeficientes médios de expansão de volume dez vezes maiores do que dos sólidos. A água
fria é uma exceção à regra, como você pode ver a partir da curva de densidade versus
temperatura, mostrada na Fig. 1.3. Conforme a temperatura aumenta de ◦ C a 4◦ C, a
água se contrai e, então, sua densidade aumenta. Acima de 4◦ C, a água se expande com o
aumento de temperatura e, então, sua densidade diminui. Portanto, a densidade da água
atinge um valor máximo de 1 g/cm3 a 4◦ C.
Podemos usar esse comportamento incomum de expansão térmica da água para explicar por que uma lagoa começa a congelar na superfı́cie em vez de no fundo. Quando a
temperatura do ar cai de, por exemplo, 7◦ C para 6◦ C, á agua da superfı́cie também esfria
e, consequentemente, diminui em volume. A água da superfı́cie é mais densa que abaixo
da superfı́cie, que não esfriou e diminui em volume. Como resultado, a água da superfı́cie
afunda, e a mais quente do fundo se move para a superfı́cie. Quando a temperatura do
ar está entre 4◦ C e 0◦ C, no entanto, a água da superfı́cie se expande à medida que esfria,
ficando menos densa que a abaixo da superfı́cie. O processo de mistura para, e eventualmente a água da superfı́cie congela. À medida que a água congela, o gelo permanece na
superfı́cie, porque é menos denso que a água. O gelo continua a se acumular na superfı́cie,
enquanto a água perto do fundo permanece a 4◦ C. Se não fosse esse o caso, peixes e outras
formas de vida marinha não sobreviveriam.
9
1.3. DILATAÇÃO TÉRMICA
Temperatura
Figura 1.3: Variação na densidade da água à pressão atmosférica com a temperatua.
Exercı́cios
1. Uma régua métrica de aço está para ter a sua marcação gravada e deseja-se que os
intervalos de milı́metros apresentem uma exatidão de 5 × 10−5 a uma determinada
temperatura. Qual é a variação máxima da temperatura que pode ocorrer durante
a gravação? Dado: αaço = 11 × 10−6 (◦ C)−1 R: 4,54 ◦ C
2. Uma barra feita com uma liga de alumı́nio mede 10 cm a 20 ◦ C e 10,015 cm no
ponto de ebulição da água. (a) Qual o seu comprimento no ponto de congelamento
da água? (b) Qual é a sua temperatura, se o seu comprimento é de 10,009 cm? R:
(a) 9,99625cm; (b) 68◦ C
3. Um furo circular em uma placa de alumı́nio possui um diâmetro de 2,725 cm a 12
◦
C. Qual o diâmetro do furo quando a temperatura da placa é aumentada até 140
◦
C? Dado: αAl = 23 × 10−6 (◦ C)−1 R: 2,733cm
4. Um cubo de latão tem aresta de 30 cm. Qual o aumento de sua área superficial, se
a temperatura subir de 20 para 75 ◦ C? Dado: αlatão = 19 × 10−6 (◦ C)−1 . R: 11, 29
cm2
5. Uma barra de aço a 25 ◦ C tem 3 cm de diâmetro. Um anel de latão tem diâmetro interior de 2,992 cm a 25 ◦ C. A que temperatura comum o anel se ajustará exatamente
a barra? R: 361 ◦ C.
6. O comprimento de um fio de alumı́nio é de 40 m a 20 ◦ C. Sabendo-se que o fio é
aquecido até 60 ◦ C e que o coeficiente de dilatação térmica linear do alumı́nio é
24 × 10−6 (◦ C)−1 , determine: (a) a dilatação do fio e (b) o comprimento final do fio.
R: 0,0384 m; R: 40,0384 m
7. Uma placa retangular de alumı́nio tem área de 40 cm2 a 0 ◦ C. Calcule a área final
da placa a (a) 50 ◦ C e (b) -20 ◦ C. R: 40,096 cm2 ; R: 39,9616 cm2
8. Uma barra de estanho tem a forma de um prisma reto de base 4 cm2 e comprimento
1 m à temperatura de 68 ◦ F. Determine o comprimento e o volume dessa barra à
temperatua de 518 ◦ F. Considere αestanho = 20.10−6◦ C −1 . R: 100,5 cm; 406 cm3
10
Capı́tulo 2
Teoria Cinética dos Gases
2.1
O Gás Ideal
A equação de expansão de volume ∆V = 3αV0 ∆T é baseada na suposição de que o
material tem volume inicial Vi antes que a variação na temperatura ocorra. Esse é o caso
para lı́quidos e sólidos, porque têm volume fixo a certa temperatura.
Para gases, o caso é completamente diferente. As forças interatômicas dentro dos
gases são muito fracas, e, em muitos casos podemos imaginá-las como não existentes e,
ainda assim, fazer boas aproximações. Portanto, não há separação de equilı́brio para os
átomos e nenhum volume “padrão” a certa temperatura; o volume depende do tamanho
do recipiente. Como resultado, não podemos expressar variações no volume ∆V em um
processo em um gás com a equação 1.15.
Para um gás é útil saber as quantidades volume V , pressão p e temperatura T se
relacionam para uma amostra de gás de massa m. Em geral, a equação que relaciona
essas quantidades, chamada equação de estado é muito complicada. Se o gás é mantido
a uma pressão muito baixa (ou massa especı́fica baixa), no entanto, a equação de estado
é bastante simples, e pode ser determinada a partir de resultados experimentais. Um gás
de densidade tão baixa é geralmente chamado de gás ideal.
Gás ideal é um gás cujas propriedades representam o comportamento limite de gases
reais com massas especı́ficas suficientemente baixas.
O gás ideal é uma abstração, mas é uma abstração útil porque:
1. Gases reais - com massas especı́ficas suficientemente baixas apresentam um comportamento próximos de um gás ideal;
2. as propriedades termodinâmicas de um gás ideal estão relacionados entre si através
de uma forma simples.
Através de experimentos desenvolvidos em laboratório com gases reais descobriu-se
que as suas pressões p , volume V , e temperatura T estão estão relacionadas por
pV = N kT
(2.1)
Aqui N é o número de moléculas contidas no volume V e k é uma constante chamada
constante de Boltzman. O seu valor medido é:
11
2.1. O GÁS IDEAL
Teoria Cinética dos Gases
k = 1, 38 × 10−23 J/K
A temperatura T na equação acima será sempre expressa em Kelvins.
Frequentemente é útil expressar a quantidade de gás em termos do número de mols n:
N
NA
onde NA é a constante de Avogrado, isto é, o número de moléculas contidas em um mol
de qualquer substância. O cientista italiano Amadeo Avogrado (1776-1856) sugeriu que
todos os gases contêm o mesmo número de átomos ou moléculas quando eles ocupam
o mesmo volume sob as mesmas condições de temperatura e pressão. O seu valor é
NA = 6, 02 times1023 moléculas/mol
O mol é uma das sete unidades de base do SI e é definido como o número de átomos
em uma amostra de 12 g de carbono-12.
Em termos de número de mols, pode-se escrever a equação 2.1 como
n=
pV = nRT
(2.2)
onde R = k/NA é uma constante, chamada constante molar do gás. O seu valor é R = 8, 31
J/mol K.
Considerando somente gases contidos em recipientes lacrados, o número de mols (e o
número de moléculas) não mudará durante um problema deste tipo. Neste caso,
pV = nRT = constante
(2.3)
Se o gás estiver inicialmente no estado i, caracterizado pelas variáveis de estado pi ,
Vi , e Ti , e em algum momento posterior estiver em outro estado final f , as variáveis de
estado para esses dois estados estarão relacionadas por :
pi V i
pf Vf
=
Tf
Ti
2.1.1
(2.4)
Massa Molar
A massa de uma molécula é determinada somando-se as massas dos átomos constituintes da molécula. As massas atômicas são geralmente fornecidas em unidades de u.
Por exemplo, a massa de uma molécula de dióxido de enxofre (SO2 ) é
m(SO2 ) = m(S) + 2 · m(O)
= 32, 1u + 2 · (16, 0u)
= 64, 1u
onde: 1u = 1, 661 · 10−24 g ou 1, 661 · 10−27 kg.
Como muitas vezes descrevemos um gás em termos do número de mols (n), podemos
fazer o mesmo com a massa de uma molécula e calcular a chamada massa molar M , a
qual é simplesmente a massa da molécula multiplicada pelo número de moléculas por mol
12
2.1. O GÁS IDEAL
Teoria Cinética dos Gases
M = m · NA
A massa molar, medida em gramas é numericamente igual à massa molecular, medida
em u. Assim, a massa molar do SO2 é
M = 64, 1 g/mol = 0, 0641 kg/mol.
Exercı́cios
1. Um cilindro isolado com um êmbolo montado contém oxigênio a uma temperatura
de 20◦ C e uma pressão de 15 atm em um volume de 22 litros. O êmbolo é baixado,
diminuindo o volume do gás para 16 litros e, simultaneamente, a temperatura é
aumentada para 25◦ C. Supondo que o oxigênio comporta-se como um gás ideal sob
estas condições, qual é a pressão final do gás? R : pf = 21atm
2. (a) Calcule o volume ocupado por 1 mol de um gás ideal em condições normais, isto
é, pressão de 1 atm e temperatura de 0◦ C. R : V = 2, 246 · 10−2 m3 = 22, 46l
(b) Mostre que o número de moléculas por cm3 em condições normais é 2, 68 × 1019 .
3. O melhor vácuo que pode ser obtido em laboratório corresponde a uma pressão de
aproximadamente 10−18 atm, ou, ou 1, 01 × 10−13 Pa. Quantas moléculas existem
por cm3 neste vácuo a 22 ◦ C. R : N = 22, 8 moléculas
4. Uma quantidade de gás ideal ocupa um volume de 2,47 m3 a 12,0 ◦ C e a 108 kPa.
(a) Quantos mols do gás estão presentes? R : n = 112, 64 mols
(b) Se a pressão é aumentada para 316 kPa e a temperatura é aumentada para 31,0
◦
C, qual é o novo volume ocupado pelo gás? R : Vf = 0, 900m3
5. Gás oxigênio com volume de 1130 cm3 a 42,0 ◦ C e a uma pressão de 101 kPa expande
até que o seu volume seja 1530 cm3 e sua pressão seja 106 kPa. Determine
(a) o número de mols de oxigênio no sistema. R : n = 0, 044 mols
(b) a sua temperatura final. Tf = 447, 62K
6. Certa massa gasosa sob pressão de 3 atm ocupa um volume de 20 l a temperatura de
27 ◦ C. Determine: (a) o volume ocupado pelo gás a 127 ◦ C, sob a mesma pressão.R :
26, 7litros
(b) a pressão que o gás exerce ◦ C quando ocupa o volume de 40 l. R : 1, 5litros
(c) em que temperatura o volume de 20 l do gás exerce a pressão de 5 atm. R : 500K
7. Uma seringa de injeção com o êmbolo na marca de 20 cm3 , à temperatura ambiente
de 27 ◦ C e à pressão de 1,0 . 105 Pa, é vedado e colocado em um freezer a -13 ◦ C.
Verifica-se que, ao atingir o equilı́brio térmico, o êmbolo está na marca de 18 cm3 .
Determine nesas condições a pressão do ar aprisionado na seringa. R : 9, 6.104 Pa
8. Um freezer, regulado para manter a temperatura em seu interior a -10 ◦ C, foi ligado
quando a temperatura ambiente estava 30 ◦ C. Calcule a pressão em seu interior após
certo tempo de funcionamento. R : 0, 87atm
13
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
2.2
Teoria Cinética dos Gases
Propriedades Moleculares dos Gases
Nesta seção estudaremos o modelo de gás ideal do ponto de vista microscópico. Construiremos um modelo estrutural de um gás mantido em um recipiente. A estrutura matemática e as previsões feitas por este modelo constituem a teoria cinética dos gases.
Em nosso modelo estrutural, faremos as seguintes suposições:
1. O número de moléculas no gás é alto e a separação média entre elas é grande quando
comparada com suas dimensões.
2. As moléculas obedecem às leis do movimento de Newton, mas, como um todo se
movem aleatoriamente.
3. As moléculas interagem somente por meio de forças de curto alcance durante colisões
elásticas.
4. As moléculas fazem colisões elásticas com as paredes.
5. O gás ideal em consideração é uma substância puras, isto é, todas as moléculas são
idênticas.
2.2.1
Uma visão molecular da pressão
Considere que as N moléculas de um gás ideal estejam confinadas em um recipiente
cúbico de lado L, conforme mostra a figura 2.1.
Prof. Romero Tavares da Silva
As moléculas desse gás estão continuamente colidindo com as paredes do recipiente. Vamos analisar especificamente a colisão de uma molécula, que se dirige para
colidir com a parede do recipiente paralela
ao plano yz e que passa pela origem.
Quando ela colide com a parede, não acontecerá mudança nas componentes y e z
do momento linear, mas a componente x
do momento linear mudará de sinal, acontecerá uma reversão neste movimento. Estamos considerando que as colisões são
perfeitamente elásticas. A variação do momento dever-se-á apenas a mudança da
componente x .
- mvx
x
+mvx
y
A2
A1
x
!p = pf – pi = mvx – (-mvx) = 2mvx
z
Sejam A1 e A2 as paredes do cubo
perpendiculares ao eixo x . A molécula vai
colidir com a face A1 e levar um intervalo
de tempo !t para colidir com a face oposta A2 e depois colidir novamente com A1 .
O tempo
necessário
para essa
molécula
de uma
face até outra
é dadoas
porparedes do recipiente cúbico.
Figurat 2.1:
Choque
elástico
deiruma
partı́culas
contra
t=L/vx , e desse modo:
2L
!t = 2 t =
Vamos nos concentrar
na vanálise
de uma única molécula de massa m, cuja velocidade
X
~v pode ser decomposta segundo as componentes vx , vy e vz . Quando essa molécula atinge
A variação do momento linear de uma molécula, num intervalo !t entre duas colia face
A1face
dodocubo
mostrado
na figura 2.1, ela rebate com componente de velocidade na
sões com
a mesma
recipiente
é dada por:
direção x invertida, uma vez que todas as colisões são admitidas como elásticas, isto é,
2mv X
mv 2X
!p X
=
=
2L / v X
L
!t
A equação anterior nos dá a força que uma molécula exerce14
na face considerada.
Para se encontrar a força total exercida por todas as moléculas, devemos considerar as
contribuições de todas as N moléculas:
FX =
m 2
v X 1 + v X2 2 + ! + v 2XN
L
(
)
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
Teoria Cinética dos Gases
vx → −vx .
Não haverá qualquer efeito sobre vy ou vz , de modo que a variação da quantidade de
movimento linear da molécula possui apenas uma componente na direção x, expressa por
(Quantidade de movimento final) − (Quantidade de movimento inicial) =
(−mvx ) − (mvx ) =
−2mvx
Uma vez que a quantidade de movimento linear total é conservada durante a colisão,
a quantidade de movimento linear atribuı́da à sua área A1 é +2mvx .
Suponha que essa molécula atinja a área A2 sem colidir com qualquer outra molécula
ao longo de sua trajetória. O tempo necessária para cruzar o cubo é
∆t =
L
.
vx
Em A2 ela novamente possui componente de velocidade na direção x invertida, retornando para A1 . Admitindo que não haja colisão com outra molécula, a trajetória
completa leva um tempo igual a
2L
,
∆t =
vx
que é o tempo entre as colisões com a superfı́cie A1 . A força impulsiva média exercida
por essa molécula sobre A1 é igual à quantidade de movimento transferida dividida pelo
intervalo de tempo entre as transferências, isto é,
Fx =
2mvx
mvx2
.
=
2L/vx
L
2
x
para todas as
Para obter a força total sobre A1 , deve-se somar as quantidades mv
L
moléculas
m 2
2
2
+ v2x
+ v3x
+ ...).
Fx = (v1x
L
Em seguida, para obter a pressão, divide-se essa força pela área A1 , ou seja, L2 . A
pressão é, portanto,
Fx
p=
=
área
=
2 +v 2 +v 2 +...)
m(v1x
2x
3x
L
L2
m 2
2
2
(v + v2x
+ v3x
+ ...).
L3 1x
Se N é o número total de moléculas do recipiente, então N m é a massa total, e a
massa especı́fica (ρ) será dada por
Nm
ρ= 3 ,
L
assim,
m
ρ
=
3
L
N
15
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
e
p=ρ
2
2
2
+ ...
+ v3x
+ v2x
v1x
N
Teoria Cinética dos Gases
.
A quantidade entre parênteses é o valor médio de vx2 para as moléculas do recipiente,
que será representada por (vx2 )med . Assim,
p = ρ(vx2 )med .
Para qualquer molécula,
v 2 = vx2 + vy2 + vz2 .
Uma vez que existem muitas moléculas e tendo em vista que elas se movem de forma
totalmente aleatória, os valores médios de vx2 , vy2 e vz2 são idênticos, e o valor de cada um
é exatamente um terço do valor médio de v 2 . Logo,
(vx2 )med =
(v 2 )med
3
assim,
A raiz quadrada de (v 2 )med
vale
1
p = ρ(v 2 )med .
3
é chamada velocidade média quadrática das moléculas, e
p
(v 2 )med
r
3p
=
.
ρ
vrms =
vrms
Exercı́cios
1. Verifica-se que cinco moléculas escolhidas ao acaso possuem velocidades de 500, 600,
700, 800 e 900m/s.
(a) Ache sua velocidade média. R : vmed = 700m/s
(b) Qual a velocidade média quadrática das moléculas? R : vrms = 714m/s
2. Calcule a velocidade média quadrática das moléculas de hidrogênio na temperatura
de 0,00◦ C e a uma pressão de 1,00atm, admitindo que o hidrogênio seja um gás
ideal. Nessas condições, o hidrogênio possui massa especı́fica ρ de 8, 99 · 10−2 kg/m3 .
R : vrms = 1836m/s
3. Um recipiente cúbico possui 10cm de lado e contém oxigênio a uma pressão de
1,0atm e uma temperatura de 300K.
(a) Quantos mols de oxigênio estão presentes no interior do recipiente?
R : n = 0, 041 mols
(b) Quantas moléculas? R : N = 2, 5 · 1022 moléculas
4. Uma massa gasosa ocupa um volume de 20 l, em condições normais de pressão e
temperatura. Se a pressão sobre o gás for dobrada e sua temperatura for elevada
até atingir um valor de 1040 ◦ F, qual o volume que esse gás ocupará? R: V≈ 30,5l
16
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
2.2.2
Teoria Cinética dos Gases
Trajetória Livre Média
(a)
(b)
(c)
v.!tv.t
Figura 2.2: a) Choque entre duas moléculas idênticas de diâmetro d. b) Descrição alternativa: choque entre uma molécula com diâmetro 2d e outra pontual. c) Cilindro gerado
pelo deslocamento da partı́cula de diâmetro 2d.
Entre colisões sucessivas, o movimento de uma molécula de um gás ideal é retilı́neo e
uniforme. A distância média que uma molécula percorre entre duas colisões sucessivas é
chamada trajetória livre média.
Se tivermos duas moléculas de diâmetro d, ocorrerá uma colisão quando seus centros
se aproximarem de uma distância d (Figura 2.2a).
Uma descrição equivalente das colisões entre moléculas consiste em considerar uma
delas pontual e a outra com diâmetro 2d, pois a colisão ocorrerá quando os seus centros
se aproximarem de uma distância d (Figura 2.2b), assim como na situação anterior.
Se estivermos observando uma molécula nas suas múltiplas colisões, podemos considerar que ela tem um diâmetro 2d e as outras são pontuais.
Em um intervalo de tempo ∆t, a molécula ‘maior’ percorre um cilindro cuja área de
seção transversal é πd2 , o comprimento é Lcil = v · ∆t, onde v é a velocidade da molécula
(Figura 2.2c). O volume do cilindro será:
Vcil = área da base × comprimento
Vcil = πd2 × v · ∆t
Considere que o volume do recipiente no qual o gás está confinado seja V e que o
recipiente contenha N moléculas. Assim, o número de moléculas pontuais no cilindro é
Ncil = N
N πd2 v∆t
Vcil
=
V
V
17
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
Teoria Cinética dos Gases
Uma vez que a molécula em movimento e as moléculas pontuais exercem forças umas
sobre as outras, esse é também o número de colisões associadas à moléculas em movimento
no intervalo de tempo ∆t.
A trajetória livre média λ é a distância total percorrida pela molécula em movimento
no intervalo de tempo ∆t, dividida pelo número de colisões ocorridas neste intervalo, ou
λ=
v∆tV
Lcil
=
Ncil
N πd2 v∆t
V
N πd2
Esse resultado é apenas uma primeira aproximação, pois ele se baseia na hipótese de
que apenas uma molécula se move e que todas as outras estão em repouso.
Uma conclusão similar sobre a média pode ser obtida para o caso em que as moléculas
possuem velocidades diferentes. Um cálculo completo, considerando a distribuição real
das velocidades das moléculas fornece
√
vrelativa = 2 · vmédia .
λ=
Como resultado, temos que a trajetória livre média média é:
λ= √
V
2N πd2
ou, em termos da pressão p e temperatura T
kT
λ= √
2pπd2
Exercı́cios
1. Quais são (a) a trajetória livre média e (b) a taxa média de colisões para o nitrogênio
à temperatura ambiente (T = 300K) e à pressão atmosférica (p = 1, 01 · 105 P a)?
Uma molécula de nitrogênio possui diâmetro efetivo d = 3, 15 · 10−10 m e, para as
condições estabelecidas, uma velocidade média vmed = 478m/s.
R: a) λ = 9, 3 · 10−8 m; b) taxa = 5, 1 · 109 colisões/segundo
2. A 2500 km acima da superfı́cie da Terra, a massa especı́fica é de aproximadamente
1 molécula/cm3 . Qual a trajetória livre média prevista? Suponha o diâmetro molecular igual a 2, 0 · 10−8 cm. R: λ = 5, 6 · 1012 m
3. O livre percurso médio das moléculas de nitrogênio, a 0◦ C e 1atm, é 0, 80·10−5 cm. A
esta temperatura e pressão há 2, 7 · 1019 molécula/cm3 . Qual o diâmetro molecular?
R: 3, 2 · 10−10 m
18
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
2.2.3
Teoria Cinética dos Gases
Distribuição das velocidades moleculares
O fı́sico escocês James Clerk Maxwell (1831-1879) foi quem primeiro resolveu o problema da distribuição das velocidades em um gás contendo um grande número de moléculas.
A distribuição de moléculas de Maxwell para uma amostra de gás com temperatura T
contendo N moléculas, cada uma com massa m, é dada por
N (v) = 4πN
m
2πkB T
3/2
v 2 e−mv
2 /2k T
B
.
(1)
A figura 2.3 mostra duas distribuições de velocidades para N = 105 moléculas de
nitrogênio (N2 ), considerando as temperaturas de 300K (curva azul) e 900K (curva laranja).
Figura 2.3: Exemplos da distribuição das velocidades moleculares para o N2 .
N (v) é o produto N (v) · dv (adimensional) e fornece o número de moléculas que
possuem velocidades na faixa de v a v +dv. Ao integrar os números de moléculas presentes
entre v = 0 e v → ∞, devemos obter o número total de moléculas do sistema (N ). Isto
é, deve ser verdadeira a equação
Z ∞
N=
N (v) · dv
0
Consequências da Distribuição de Velocidades
Pode-se obter muitas informações úteis a partir da equação de distribuição das velocidades moleculares (Eq. 1).
1. A velocidade mais provável (vp ): Essa é a velocidade para a qual (N (v)) apresenta seu valor máximo. Esse valor pode ser obtido impondo
N (v)
=0
dv
19
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
e resolvendo para v. O resultado é
r
2kB T
vp =
m
Teoria Cinética dos Gases
r
ou
vp =
2RT
M
2. A velocidade média (vméd ): Para se obter a velocidade média das moléculas,
adiciona-se todas as velocidades individuais e divide-se pelo número de moléculas,
isto é:
Z
1 ∞
vméd =
v · N (v) · dv
N 0
O resultado é
r
r
8kB T
8RT
ou
vméd =
vméd =
πm
πM
3. A velocidade média quadrática (vrms ): Essa quantidade já foi obtida no inicio
do capı́tulo. Para obtê-la a partir da equação de distribuição de velocidades, procedemos conforme descrito no item anterior, exceto pelo fato de se obter o valor médio
de v 2 , ou seja:
Z
1 ∞ 2
2
(v )méd =
v · N (v) · dv
N 0
Esta integração resulta em
3kB T
.
(v 2 )méd =
m
A velocidade
média quadrática é igual à raiz quadrada dessa quantidade, isto é,
p
vrms = (v 2 )méd . Como resultado temos:
r
r
3kB T
3RT
vméd =
ou
vméd =
m
M
4. A energia cinética média de translação por molécula (Ktrans ): Devido à
hipótese de que o gás ideal é monoatômico, a energia cinética de translação é a
única forma de energia que a molécula pode possuir. Uma molécula pontual não
pode possuir energia de rotação e admite-se que não hajam variações nas energias
internas da molécula.
Para obtermos Ktrans , devemos, inicialmente, obter a energia cinética de translação
total do conjunto de N moléculas e, em seguida, dividi-la por N . A energia total
K é
1
2
)
m(v12 + v22 + ... + vN
K =
2
2
1
(v 2 + v22 + ... + vN
)
K =
mN 1
2
N
1
2
K =
mN vrms
2
2
Substituindo vrms
= 3kB T /m, temos
3
K = N kB T
2
Dividindo por N, teremos Ktrans
3
Ktrans = kB T
2
20
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
Teoria Cinética dos Gases
Exercı́cios
1. As velocidades de dez partı́culas em m/s são:
0,0; 1,0;
2,0; 3,0; 3,0; 3,0; 4,0; 4,0; 5,0
e
6,0.
Determine:
(a) a velocidade média; R: vméd = 3, 1 m/s
(b) a velocidade média quadrática; R: vrms = 3, 5 m/s
(c) a velocidade mais provável. R: vp = 3, 0 m/s
2. Um tanque de volume de 0, 300m3 contém 2 mols de gás Hélio a 20, 0◦ C. Supondo
que o Hélio comporta-se como um gás ideal, encontre:
(a) a energia interna total do gás. R: K = 7, 30 · 103 J
(b) a energia média por molécula. R: Ktrans = 6, 07 · 10−21 J
3. Calcule a massa de uma molécula de nitrogênio, N2 . O peso molecular é 28 kg/kmol.
R: 4, 65x10−26 kg
4. Quantos átomos de hélio, He, existem em 2,0 g de hélio? (M= 4kg/kmol para o
He.) R: 3, 01.1023 kmol
5. Uma gotinha de mercúrio tem um raio de 0,5 mm. Quantos átomos de mercúrio
existem na gotinha? (Para Hg, M = 202 Kg/ kmol e ρ = 13 600 kg/m3 ). R:
2, 1x1019
6. Quantas moléculas existem em 70 cm3 de benzeno? (Para o benzeno, ρ= 0,88 g.cm−3
e M = 78 kg/mol). R: 4,8 x 1023
7. Calcule a velocidade quadrática média de uma molécula de nitrogênio (M = 28
kg/kmol) no ar, a O◦ C. R: 490 m/s
8. Calcule as seguintes razões para os gases hidrogênio (M=2kg/kmol) e nitrogênio
(M=28 kg/kmol), à mesma temperatura:
(a) (Ec )H /(Ec )N
(b) (vq m)H /(vq m)N
21
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
2.2.4
Teoria Cinética dos Gases
Distribuição das Energias moleculares
Uma descrição alternativa do movimento das moléculas pode ser obtida observando
a distribuição das energias ao invés da distribuição das velocidades. Isto é, observando
a distribuição de N (E), de modo que N (E) · dE fornece o número de moléculas com
energias entre E e E + dE.
Sendo o número de moléculas com energias cinéticas entre E e E + dE idêntico ao
número de moléculas com velocidades entre v e v + dv, matematicamente temos:
N (E) · dE = N (v) · dv,
dv
(1)
dE
Considerando que as moléculas possuam apenas energia cinética, temos:
N (E) = N (v) ·
1
E = mv 2
2
1/2
2E
v=
(2)
m
1/2
1 −1/2 2
dv
= E
(3)
dE
2
m
3/2
m
2
v 2 e−mv /2kB T
Dado: N (v) = 4πN
2πkB T
(4)
Substituindo as equações (2), (3) e (4) na equação (1), temos:
2N
1
N (E) = √
E 1/2 e−E/kB T
π (kB T )3/2
(5)
A equação (5) é a distribuição das energias de Maxwell-Boltzmann. A partir desta
equação, pode-se calcular a fração de moléculas de um gás que possuem energias entre E
e E + dE, que é expressa por
N (E)dE
.
N
Conforme considerado anteriormente, N é o número total de moléculas, e pode ser determinado por
Z
∞
N (E) · dE.
N=
0
22
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
Teoria Cinética dos Gases
Lista de revisão I
1. Em um dia quando a temperatura alcança 60 ◦ F, qual é a temperatura em graus
Celsius e em kelvins? R:288,56 K e 15,56 ◦ C
2. O ouro tem ponto de fusão de 1.064 ◦ C e um ponto de ebulição de 2.660 ◦ C. (a)
Expresse estas temperaturas em graus Fahrenheit e kelvis. (b) Calcule a diferença
entre estas temperaturas nas 3 escalas termométricas utilizadas. R: (a) 1947,2 ◦ F
e 4820 ◦ F; 1337 K e 2933 K (b) ∆=1596 ◦ C, 1596 K e 2872,8 ◦ F
3. A variação diária da temperatura da ponte Golden Gate em São Francisco pode
exceder 20 ◦ C. O comprimento da ponte é de aproximadamente 2 km e ela é feita
de aço (α = 1, 1 × 10−5 ◦ C−1 ). Qual é aproximadamente a variação do comprimento
da ponte para esta variação de temperatura? R: ∆L = 44 cm
4. Um mastro de alumı́nio de uma bandeira possui 33 m de altura. De quanto aumenta
o seu comprimento quando a temperatura sobe 15 ◦ C? (αAl = 2, 3 × 10−5 ◦ C−1 ) R:
∆L = 1,138 cm
5. Uma esfera oca de alumı́nio tem um raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a
15 ◦ C. O coeficiente de dilatação linear do alumı́nio é 2, 3 × 10−5 ◦ C−1 . De quantos
cm3 varia o volume da cavidade interna quando a temperatura sobre para 40◦ C?
O volume da cavidade aumenta ou diminui? R: ∆Vi = 7, 23cm3
6. Uma barra retilı́nea é formada por uma parte de latão soldada em outra de aço. A
20 ◦ C, o comprimento total da barra é 30 cm, dos quais 20 cm de latão e 10 cm
de aço. Os coeficientes de dilatação linear são 1, 9 × 10−5 ◦ C−1 para o latão e
1, 1 × 10−5 ◦ C−1 para o aço. Qual é o coeficiente de dilatação linear da barra? R:
α = 1, 63 × 10−5 /◦ C
7. O comprimento de uma haste, medido com uma régua de aço (α = 1, 1 × 10−5 ◦ C−1 )
a temperatura ambiente de 20 ◦ C, é igual a 20,05 cm. Em seguida, a haste e a régua
são colocadas em um forno a 270 ◦ C. Dentro deste forno, o comprimento da haste
medida com a mesma régua é de 20,11 cm. Calcule o coeficiente de dilatação térmica
do material da haste. R: α = 2, 3 × 10−5 /◦ C. A haste é feita de alumı́nio.
8. Um gás ideal ocupa um volume de 100 cm3 a 20, 0 ◦ C e 100 Pa. (a) Encontre
o número de mols do gás no recipiente. (b) Quantas moléculas do gás estão no
recipiente? R: n = 4, 1 × 10−6 mols e N = 2, 47 × 1018 moléculas
9. Massa especı́fica é massa dividida pelo volume. Se o volume V depende da temperatura, a massa especéfica ρ também depende. Mostre que a variação na massa
especéfica ∆ρ com uma variação de temperatura ∆T é dada por
∆ρ = −βρ∆T,
onde β é o coeficiente de dilatação volumétrica. Explique o sinal negativo.
10. Dado um tanque de hélio com volume de 0, 100 m3 e pressão 150 atm. Quantos
balões este tanque pode inflar se cada balão cheio for uma esfera de 0,300 m de
diâmetro em uma pressão absoluta de 1,20 atm? R: 892 balões
23
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
Teoria Cinética dos Gases
11. Um gás ideal é mantido em um recipiente de volume constante. Inicialmente, sua
temperatura é 10, 0 ◦ C e sua pressão 2,50 atm. Qual será sua pressão quando sua
temperatura for 80, 0 ◦ C? R: p = 3, 15 × 105 Pa
12. Um cilindro contém oxigênio é temperatura de 20 ◦ C, pressão de 15 atmosferas e
volume de 100 litros. Um êmbolo é deslocado no cilindro de modo a diminuir o
volume do gás para 80 litros e aumentando sua temperatura para 25 ◦ C. Supondo
que o oxigênio se comporte como gás ideal nestas condições, determinar sua pressão
final. R: p= 19,07 atm
13. Sendo a velocidade quadratica média das moléculas de um gás dada por
r
3p
,
vrms =
ρ
encontre uma equação que relacione a vrms com a temperatura (T ) e a massa molar
1/2
(M ). R: vrms = 3RT
M
14. A 0 ◦ C e à pressão de 1, 000 atm a densidade do ar, do oxigênio e do nitrogênio são,
respectivamente 1, 293 kg/m3 , 1, 429 kg/m3 e 1, 251 kg/m3 . Calcule a percentagem
de nitrogênio no ar, a partir desses dados, supondo apenas a presença destes dois
últimos gases. R: 76,4 %
15. Em um perı́odo de 1, 00 s, 5, 00 × 1023 moléculas de nitrogênio atingem uma parede
com uma área de 8, 00 cm2 . Se as moléculas deslocam-se com uma velocidade
de 300 m/s e atingem a parede frontalmente em colisões perfeitamente elásticas,
qual a pressão exercida na parede? (A massa molecular de uma molécula de N2 é
4, 68 × 10−26 kg.) R: p=1, 76 × 104 Pa
16. A massa da molécula de H2 é 3, 32 × 10−24 g. Se 1023 moléculas de hidrogênio
chocam-se por segundo contra 2, 0 cm2 de uma parede inclinada de 45◦ em relação
à direção da velocidade, que vale 105 cm/s, qual é a pressão que elas exercem sobre
a parede? R: p=2, 35 × 103 Pa
17. Uma bolha de ar de 19, 4 cm3 de volume está no fundo de um lago com 41,5 m de
profundidade, onde a temperatura é de 3, 80 ◦ C. A bolha sobe até a superfı́cie, que
está à temperatura de 22, 6 ◦ C. Considere que a temperatura da bolha é a mesma
da água à sua volta e determine o seu volume no instante imediatamente anterior à
chegada da bolha à superfı́cie. R: Vf = 106, 7cm3
18. A 273◦ F e 1, 00 × 10−2 atm a densidade de um gás é de 1, 24 × 10−5 g/cm3 . (a)
Determinar a vrms para as moléculas do gás. (b) Determinar a massa molar do gás.
R: (a) vrms = 494m/s; (b) 4,15 ×10−2 kg/mol
19. (a) Determinar o valor médio da energia cinética das moléculas de um gás ideal a
0, 00 ◦ C e a 100, 0 ◦ C. (b) Qual é a energia cinética por mol de um gás ideal nessas
temperaturas? (a)5, 65 × 10−21 J e 7, 72 × 10−21 J; (b) 3401 J e 4647 J
20. (a) Quantos átomos de gás hélio enchem um balão de 30, 0 cm de diâmetro a 20, 0 ◦ C
e 1,00 atm? (b) qual é a energia cinética média dos átomos de hélio? (c) Qual é a
24
2.2. PROPRIEDADES MOLECULARES DOS GASES
Teoria Cinética dos Gases
velocidade média quadrática dos átomos de hélio? R: (a) 3, 53×1023 moléculas;
(b) 6, 07 × 10−21 J; (c) 1,35 km/s
21. Um reservatório de aço contém 315 g de amônia (NH3 ) a uma pressão absoluta de
1, 35×106 Pa e a uma temperatura de 77, 0 ◦ C. (a) Qual o volume desse reservatório?
(b) Faz-se uma verificação posterior no reservatório quando a temperatura diminuiu
para 22 ◦ C e a pressão absoluta caiu para 8, 68 × 105 Pa. Quantos gramas de gás
escapou do reservatório? R: (a) 39,9 l; (b) 14,13 mols; (c) 74,71g
22. Nas CNTP (Condições Normais de Temperatura e Pressão - 0 ◦ C e 1,00 atm) a
trajetória livre média dos átomos no hélio é de 285 nm. Determinar (a) o número
de moléculas por metro cúbico e (b) o diâmetro efetivo dos átomos de hélio. R: (a)
2, 68 × 1025 moléculas; (b) 1, 72 × 10−10 m = 0,172nm
23. Um reservatório cilı́ndrico com 56,0 cm de comprimento e 12,5 cm de diâmetro,
mantém 0,350 mols de gás nitrogênio a uma pressão de 2,05 atm. Determine a
velocidade média quadrática (vrms ) das moléculas de nitrogênio. R: 660m/s
24. A 2500 km acima da superfı́cie da Terra, a massa especı́fica é de aproximadamente
1 molécula/cm3 . Qual a trajetória livre média? Suponha um diâmetro molecular
igual a 2, 0 × 10−8 cm. R: 5, 6 × 1012 m
25. Calcule a velocidade média quadrática das moléculas de amônia (NH3 ) a 56, 0 ◦ C.
Um átomo de nitrogênio possui uma massa de 2, 33 × 10−26 kg e um átomo de
hidrogênio possui massa de 1, 67 × 10−27 kg. R: 694 m/s
26. A temperatura no espaço interestrelar é de 2,7 K. Determine a velocidade média
quadrática das moléculas de hidrogênio a essa temperatura. R: 183 m/s
27. O livre percurso médio das moléculas de nitrogênio, a 0 ◦ C e 1 atm, é 0, 80 ×
10−5 cm. A essa temperatura e pressão há 2, 7 × 1019 moléculas/cm3 . Qual o
diâmetro molecular? R: 3, 2 × 10−10
28. Considere uma amostra de gás argônio a 35, 0 ◦ C e sob pressão de 1,22 atm. Suponha
que o raio de um átomo (esférico) de argônio seja de 0, 710×10−10 m. Calcule a fração
do volume do recipiente que é realmente ocupada pelos átomos. R:4, 34 × 10−5
29. Dez partı́culas se movem com a seguinte distribuição de velocidades: quatro a
200 m/s, duas a 500 m/s e quatro a 600 m/s. Calcule as velocidades média e
média quadrática. R: 458 m/s
25
Capı́tulo 3
Primeira Lei da Termodinâmica
Calor (Q) é a energia que flui entre um sistema e a sua vizinhança devido a uma
diferença de temperatura entre eles. Calor não é uma propriedade dos sistemas termodinâmicos, e por tal não é correto afirmar que um corpo possui mais calor que outro, e
tão pouco é correto afirmar que um corpo ”possui”calor. O conceito de calor utilizado
pela população, em senso comum, de forma não cientı́fica, geralmente é apegado à ideia
do calórico. Assim, costuma-se ouvir casos como: “que calor!”, “que frio!”e outros. Percebemos que isso é errado uma vez que o termo ”calor”é a transição de energia de um
corpo mais quente para um corpo mais frio.
Podemos transferir energia entre um sistema e o seu ambiente na forma de Trabalho
W por meio de uma força atuando sobre um sistema. Calor e trabalho , diferentemente
da temperatura, da pressão e do volume, não são propriedades intrı́nsecas de um sistema.
Eles possuem significado apenas quando descrevem a transferência do ambiente para o
sistema. O calor é positivo quando energia se transfere do seu ambiente para uma
energia térmica do sistema (dizemos que o calor é absorvido). O calor é negativo quando
se transfere energia de uma energia térmica do sistema para o seu ambiente (dizemos que
o calor é liberado ou perdido). Essa transferência de energia é mostrada na figura 3.1
Antes de os cientistas se darem conta de que o calor é energia transferida, o calor
era medido em termos da sua capacidade de aumentar a temperatura da água. Assim, a
caloria (cal) foi definida como a quantidadade de calor que elevaria a temperatura de 1
g de água de 14,5 ◦ C para 15,5 ◦ C .
Em 1948, a comunidade cientı́fica decidiu que já que o calor é energia transferida, a
unidade SI para o calor deveria ser a que usamos para energia, ou seja, o joule (J). As
relações entre as várias unidades de calor são:
1cal = 3, 969 × 10−3 Btu = 4, 186J
3.1
(3.1)
A absorção de calor
Capacidade Calorı́fica
Quando certa quantidade de calor é transmitida para um corpo, na maioria dos casos sua
temperatura aumenta. A propriedade fı́sica que define a quantidade de calor Q necessária
26
3.1. A ABSORÇÃO DE CALOR
Primeira Lei da Termodinâmica
Figura 3.1: Se a temperatura de um sistema exceder a do seu ambiente como em (a), o
sistema perde Calor (Q) para o ambiente até que se estabeleça um equilı́brio térmico (b).
(c) Se a temperatura do sistema estiver abaixo da temperatura do ambiente, o sistema
absorve calor até se estabelecer o equilı́brio térmico.
para aquecer determinado material ∆T é chamada capacidade térmica, sendo definida
matematicamente como:
C=
Q
ou Q = C∆T
∆T
(3.2)
Desse modo poderemos calcular a capacidade térmica de 1 litro de água, de 2 litros de
água, 1 litro de azeite, etc. A capacidade térmica caracteriza o corpo, e não a substância
que o constitui. Dois corpos de massas e de substâncias diferentes podem possuir a mesma
capacidade térmica. Dois corpos de massas diferentes e de mesma substância possuem
capacidades térmicas diferentes.
A grandeza que caracteriza uma substância é o calor especı́fico.
Calor Especı́fico
É definido como sendo a quantidade de calor Q necessária para elevar em 1o C a massa de
1g de determinado material, ou seja:
c=
Q
m∆T
27
3.1. A ABSORÇÃO DE CALOR
Primeira Lei da Termodinâmica
Q = mc∆T
(3.3)
A unidade no SI é J/(kg.K). Uma outra unidade mais usual para calor especı́fico é
cal/(g.◦ C).
Calores de Transformação
Como foi mencionado, uma substância altera a sua temperatura quando ela troca calor
com a sua vizinhança. No entanto, um corpo pode absorver certa quantidade de calor e
manter sua temperatura constante. Por exemplo, uma pedra de gelo a 0 ◦ C é retirada do
congelador e colocada dentro de um copo na temperatura ambiente de 30 ◦ C. Esse material
irá absorver calor da sua vizinhança e transformar-se em água a uma temperatura de 0◦ C.
No exemplo acima não houve mudança de temperatura, mas houve mudança de estado
fı́sico, do estado sólido para o lı́quido.
A propriedade fı́sica que define a quantidade de calor (Q) necessária para uma mudança
de fase de uma massa m de determinada substância é chamada calor latente, e é definida
como
L=
Q
m
Q = Lm
(3.4)
(3.5)
A unidade do calor latente é cal/g. Calor latente de fusão Lf é o termo usado
quando a mudança de fase é do sólido para o lı́quido (fundir significa “combinar por
derretimento”), e o calor latente de vaporazição Lv é o termo usado quando a mudança
de fase é do lı́quido para o gasoso ( o lı́quido “vaporiza”). O calor latente de várias
substâncias varia consideravelmente.
Exercı́cios
1. Em um episódio de gripe, um homem de 80 kg tem 39◦ C de febre (cerca de 2
◦
C acima da temperatura normal de 37 ◦ C). Considerando que o corpo humano é
constituı́do essencialmente de água, qual seria o calor necessário para produzir essa
variação de temperatura? Dado: c =1,00 cal/g ◦ C R: 160 kcal.
2. Calcule a energia necessária para elevar a temperatura de 0,500 kg de água por 3
◦
C . R: 1500 cal
3. Qual o calor especı́fico da água no S.I.? 4190 J/kg K
4. A temperatura de uma peça de metal de 0,0500 kg é elevada para 200,0 ◦ C e então
é colocada em um béquer isolado contendo 0,400 kg de água inicialmente a 20 ◦ C.
Se a temperatura final de equilı́brio do sistema combinado for 22,4 ◦ C, descubra o
calor especı́fico do metal. Despreze as trocas de calor com o béquer. R: 0,108 cal/
g ◦C
28
3.2. TRABALHO
Primeira Lei da Termodinâmica
Qagua + Qmetal = 0
5. Um estudante faz uma refeição que contém 2000 kcal de energia. Ele deseja realizar
uma quantidade equivalente de trabalho na academia levantando o objeto de 50,0
kg. Quantas vezes ele deve levantar o objeto para gastar esta quantidade de energia?
Considere que ele levanta o peso a uma distância de 2,00 m cada vez. R: 8542 vezes
W = P h = mgh
6. Que quantidade de calor deve ser absorvida por uma massa de gelo m = 720 g a
-10◦ C para levá-la ao estado lı́quido a 15 ◦ C? R: 71856 cal
7. Que massa de vapor d’água a 100 ◦ C deve ser misturada com 150 g de gelo no seu
ponto de fusão, em um recipiente isolado termicamente, para produzir água lı́quida
a 50◦ C? Dados: cagua = 1 cal/g◦ C, Lf = 79, 5 cal/g, Lv = 539 cal/g R: 32,97 g
3.2
Trabalho
Nesta seção, olhamos com algum detalhe como a energia pode ser transferida na forma de
calor (Q) e trabalho (W) entre um sistema e o seu ambiente. As grandezas Q e W não são
caracterı́sticas do estado de equilı́brio do sistema, mas sim dos processos termodinâmicos
pelos quais o sistema passa de um estado de equilı́brio para outro. Desse modo, se o
sistema vai de um estado de equilı́brio inicial i para outro estado de equilibrio final, por
dois caminhos diferentes, para cada caminho ele terá um valor de (Q) e (W) especı́fico.
Neste caso, Q e W são definidos como:
Q = calor transferido para o sistema
W = trabalho realizado pelo sistema
Por exemplo, considere um sólido ou um fluido em um cilindro com um pistão móvel,
como mostrado na Figura 3.2. Suponha que a seção reta do cilindro possua área A e que
a pressão exercida pelo sistema sobre a face do pistão seja igual a P . A força total F
exercida pelo sistema sobre o pistão é dada por F = P A. Quando o pistão se move uma
distância infinitesimal dx, o trabalho dW realizado por essa força é
Figura 3.2: O trabalho infinitesimal realizado pelo sistema durante a pequena expansão
29
3.2. TRABALHO
Primeira Lei da Termodinâmica
dW = F dx = P Adx
(3.6)
Adx = dV
(3.7)
Porém,
onde dV é uma variação infinitesimal do volume do sistema. Logo, o trabalho realizado
pelo sistema durante essa variação infinitesimal do volume é
dW = P dV
(3.8)
Para uma variação finita de volume entre o estado inicial e o final, temos
Z
Vf
P dV
W =
(3.9)
Vi
Em geral, a pressão do sistema pode variar durante a variação do volume. Esse é o
caso, por exemplo, dos cilindros de um motor de automóvel quando os pistões movem-se
para frente e para trás. Para calcular a integral na equação 3.9, devemos saber como a
pressão no sistema varia em função do volume. A figura 3.3 é representada graficamente
pela área embaixo da curva de P em função de V entre os limites V1 e V2 . O trabalho é
positivo quando o sistema se expande (Fig. 3.3a). Quando um sistema é comprimido,
seu volume diminui e ele realiza trabalho negativo sobre as vizinhanças.
Figura 3.3: O trabalho realizado é dado pela área embaixo da curva em um diagrama P V
Trabalho realizado a temperatura constante
Suponha que um gás ideal em um arranjo pistão-cilindro se expanda de um volume inicial
Vi até um volume final Vf enquanto mantemos a temperatura T do gás constante. Um
processo como este, em temperatura constante, é chamado de expansão isotérmica e o
inverso (quando o V se reduz pela compressão) é chamado de compressão isotérmica.
Neste caso, o trabalho é:
W = N KT ln
30
Vf
Vi
(3.10)
3.3. PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
Primeira Lei da Termodinâmica
Trabalho realizado a pressão constante
W = p(Vf − Vi ) = p∆V
(3.11)
Trabalho realizado a volume constante
W =0
3.3
(3.12)
Primeira Lei da Termodinâmica
Para o processo de compressão de gás em um cilindro, o trabalho realizado depende
da trajetória especı́fica percorrida entre o estado inicial e o final, conforme sugerido na
Figura 3.3. Existe sempre uma infinidade de caminhos possı́veis. A Figura 3.5 mostra
três caminhos diferentes para ir do estado 1 para o estado 2.
Figura 3.4: O trabalho realizado pelo sistema durante uma transição entre dois estados
depende do caminho escolhido.
Define-se uma grandeza, chamada energia interna E, caraterizada pelos diversos tipos
de energia possı́veis de existir em uma substância quando ela está em um determinado
estado.
No caso mais simples, de um gás monoatômico, a energia interna depende apenas do
movimento dos átomos (energia cinética de translação).
A diferença de energia interna entre os estados inicial e final ∆Eint = Ef − Ei é uma
grandeza de grande importância na termodinâmica, porque independe do percurso usado
para ir de um estado para outro. Assim temos que:
31
3.3. PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
∆Eint = Q − W
Primeira Lei da Termodinâmica
(3.13)
Podemos reagrupar a equação anterior na forma
Q = ∆Eint + W
(3.14)
Está é a Primeira Lei da Termodinâmica, que é um princı́pio da conservação da
energia para incluir a transferência de energia sob forma de calor, assim como a realização
de trabalho mecânico. “A diferença entre a quantidade de calor Q e o trabalho W envolvidos em um percurso entre os estados inicial e final, depende apenas dos estados, e
fornece o mesmo valor independente do percurso escolhido.
Casos especiais da Primeira Lei da Termodinâmica
1. Processos adiabáticos. Um processo adiabático é um processo que ocorre tão
rapidamente ou ocorre em um sistema que está tão bem isolado que não ocorre
nenhuma transferência de energia na forma de calor entre o sistema e o seu ambiente.
Num processo adiabático, Q = 0 e de acordo com a Primeira Lei da Termodinâmica:
∆Eint = −W
(3.15)
2. Processos a volume constante. São os chamados processos isovolumétricos.
Usando a definição de trabalho executado pelo sistema entre os estado inicial e
final, encontramos que:
Z
f
P dV = 0
Wif =
(3.16)
i
pois não aconteceu variação de volume. Através da Primeira Lei da Termodinâmica
encontramos que:
∆Eint = Q
(3.17)
3. Processos Cı́clicos. Num processo cı́clico o sistema passa por várias transformações,
mas ao final do processo ele retorna ao estado inicial. Desse modo, temos que
Ei = Ef e portanto não existe variação de energia interna, logo:
Q=W
32
(3.18)
3.3. PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
Primeira Lei da Termodinâmica
Exercı́cios
1. Calcule o trabalho realizado por um gás ideal que se expande isotermicamente desde
o volume inicial Vi até o volume final Vf . R : Wif = NKT ln Vf
Vi
2. Um mol de oxigênio (suponha que ele seja um gás ideal) se expande a uma temperatura constante de T de 310 K de um volume inicial Vi de 12 l para um volume final
de Vf de 19 l. Qual o trabalho realizado pelo gás durante a expansão? R: 1180J
3. O diagrama P V da figura abaixo mostra uma série de processos termodinâmicos.
No processo ab, 150 J de calor são fornecidos ao sistema, e no processo bd, 600 J de
calor são fornecidos ao sitema. Calcule a) a variação da energia interna no processo
ab, abd e acd R : Eint,ab = 150J, Eint,abd = 510J, Eint,acd = 600J
Figura 3.5: Um diagrama PV mostrando os diversos processos termodinâmicos
4. Um sistema termodinâmico é levado de um estado inicial A para um outro estado
B e de volta ao estado A, passando pelo estado C, como mostrado pela trajetória
ABCA no diagrama p − V .
(a) Complete a tabela da Figura abaixo preenchendo-a com + ou - para o sinal de
cada grandeza termodinâmica associada com cada etapa do ciclo.
(b) Calcule o valor numérico do trabalho realizado pelo sistema para o clico ABCA
completo.
R: -20 J
5. Quando um sistema é levado do estado i para o estado f ao longo da trajetória iaf
na Figura abaixo, Q = 50 cal e W = 20 cal. Ao longo da trajetória ibf , Q = 36 cal.
(a) Qual o valor de W ao longo da trajetória ibf ? R: 6 cal
(b) Se W = −13 cal para a trajetória de volta f i, qual será Q para esta trajetória?
R: -43 cal
33
3.4. CALOR ESPECÍFICO MOLAR DE UM GÁS IDEAL
Primeira Lei da Termodinâmica
(c) Considere Eint,i = 10 cal. Qual é Eint,f ? R: 40 cal
(d) Se Eint,b = 22cal, qual o valor de Q para a trajetória ib e para a trajetória bf ?
R: 18 cal
3.4
Calor especı́fico molar de um gás ideal
Energia Interna
A energia interna Eint de um gás monoatômico é função apenas da temperatura de um
gás; ela não depende de nenhuma outra variável. Para um gás monoatômico, a energia
interna do gás ideal é simplesmente a soma das energias cinéticas de translação de seus
atómos. Considerando uma amostra de n mols de um gás ideal é, a energia interna é dada
por:
3
Eint = nRT
2
3.4.1
(3.19)
Volume constante
A figura 3.6 mostra n moles de um gás ideal na pressão p e temperatura T , confinados
em um cilindro de volume fixo V . Este estado inicial i do gás está marcado no diagrama
34
3.4. CALOR ESPECÍFICO MOLAR DE UM GÁS IDEAL
Primeira Lei da Termodinâmica
p − V . Suponha agora que você adiciona uma pequena quantidade de energia ao gás sob
a forma de calor Q aumentando lentamente a temperatura do reservatório térmico. A
temperatura do gás se eleva de uma pequena quantidade para T + ∆T , e a sua pressão
se eleva para p + ∆p, levando o gás ao estado final f .
Figura 3.6: Processo a volume cosnatante em um diagrama p − V .
O calor está relacionado com a variação de temperatura por :
Q = nCV ∆T
(volume constante)
(3.20)
onde CV é uma constante chamada calor especı́fico molar a volume constante.
Como o volume é mantido constante, o gás não consegue se expandir e portanto não
consegue realizar nenhum trabalho. Assim podemos escrever a ∆Eint como:
∆Eint = nCV ∆T
(3.21)
Esta equação nos diz que uma variação na energia interna Eint de um gás ideal confinado depende apenas da variação de temperatura do gás; ela não depende de qual tipo
de processo produz a variação na temperatura.
3.4.2
Pressão Constante
Agora supomos que a temperatura do gás ideal é aumentada da mesma pequena quantidade ∆T como antes, mas que a energia necessária (calor Q) é adicionada com o gás
sujeito a pressão constante. Esse processo é mostrado na figura 3.7.
O calor está relacionado com a variação de temperatura por :
Q = nCp ∆T
(pressão constante)
(3.22)
onde Cp é uma constante chamada calor especı́fico molar a pressão constante. Este
Cp é maior do que o calor especı́fico molar a volume constante CV , pois agora deve-se
fornecer energia não apenas para elevar a temperatura do gás, mas também para que o
gás realize trabalho.
35
3.4. CALOR ESPECÍFICO MOLAR DE UM GÁS IDEAL
Primeira Lei da Termodinâmica
Figura 3.7: Processo a pressão constante em um diagrama p − V . O trabalho p∆V é dado
pela área sombreada.
Exercı́cios
1. Encontre os valores dos calores especı́ficos molares para os casos isobárico e isovolumétrico para um gás ideal a partir da Primeira Lei da Termodinâmica.
R : Cv = 12, 5J/mol K e Cp = 20, 8J/mol K
2. Dado que as curvas do diagrama (p − V ) abaixo representam variações isotérmicas,
e que as variações de energia ∆Eab e ∆Eac são iguais, encontre uma relação entre
CV e Cp a partir da Primeira Lei da Termodinâmica. R : Cp − Cv
3. A partir da relação para os gases ideais pV γ = constante, encontre uma relação
entre V e T sejam as únicas variáveis R : TVγ−1 = constante
4. Um cilindro contém 3 mols de gás hélio à temperatura de 300 K.
(a) Quanta energia deve ser transferida para o gás pelo calor para aumentar sua
temperatura para 500 K se ele for aquecido a volume constante? R: 7479 J
(b) Quanta energia deve ser transferida para o gás pelo calor a pressão constante
para aumentar a temperatura para 500 K? R: 12465 J
36
3.5. MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Primeira Lei da Termodinâmica
5. Qual o trabalho realizado no exercı́cio anterior no processo isobárico? R: 4986 J
6. A mistura ar-combustı́vel no cilindro de um motor a diesel a 20 ◦ C é comprimida
a partir de uma pressão inicial de 1 atm e volume de 800 cm3 para um volume de
60 cm3 . Considerando que a mistura se comporta como um gás ideal com γ = 1, 40
e a compressão é adiabática, descubra a pressão e a temperatura finais da mistura.
R: 826 K
3.5
Mecanismos de transferência de calor
A transferência de calor de um ponto a outro de um meio se dá através de três processos
diferentes: convecção, radiação e condução.
Figura 3.8: Exemplos dos mecanismos de transferência de calor.
A convecção ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o calor
é transferido pelo movimento do próprio fluido, que constitui uma corrente de convecção.
Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por conseguinte tende
a subir sob o efeito gravitacional, sendo substituı́do por um fluido mais frio, o que gera
naturalmente correntes de convecção. O borbulhar da água fervente em uma panela é o
resultado de correntes de convecção.
A radiação transfere calor de um ponto a outro através da radiação eletromagnética. A
radiação térmica é emitida de um corpo aquecido e ao ser absorvida por outro corpo pode
aquecê-lo, convertendo-se em calor. O aquecimento solar é uma forma de aproveitamen
to da radiação solar para a produção de calor. Um ferro em brasa emite radiação térmica
e aquece a região que o rodeia.
A condução de calor só pode acontecer através de um meio material, sem que haja
movimento do próprio meio. Ocorre tanto em fluidos quanto em meios sólidos sob o efeito
de diferenças de temperatura.
3.5.1
Condução
Considere um bloco cujo material tem espessura ∆x e um corte transversal de área A
com as faces opostas a temperaturas diferentes T1 e T2 , onde T2 > T1 .
O bloco permite que a energia seja transferida da região de alta temperatura para a
de baixa temperatura por meio da condução térmica. A taxa de transferência de energia
37
3.5. MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Primeira Lei da Termodinâmica
pelo calor
P=
Q
∆t
T2
A
Fluxo de energia
T2>T1
T1
!x
é proporcional à área do corte transversal do bloco e à diferença de temperatura e
inversamente proporcional à espessura do bloco:
Q
∆T
∝A
∆t
∆x
Como cada material tem uma condutividade térmica especı́fica, introduzimos a constante
k na equação, assim:
∆T
P = kA
(Watts).
∆x
P=
Resistência Térmica à condução (R)
Se você estivesse interessado em isolar a sua casa ou em manter as latinhas de refrigerante geladas em um piquinique, você está mais interessado em maus condutores de
calor do que em bons condutores. Por esse motivo, o conceito de resistência térmica R
foi introduzido na prática de engenharia. O valor R de uma parede de espessura ∆x é
definido como
∆x
(3.23)
k
Quanto menor for a condutividade térmica do material do qual uma parede é feita,
maior será o valor de R, assim algo que possua um alto valor R é um mau condutor
térmico, portanto um bom isolante térmico.
A unidade normalmente usada para R (que nos Estados Unidos pelo menos, quase
nunca é indicada é: ft2 ◦ F h/Btu.
Para uma barra composta contendo diversos materiais de espessuras ∆x1 ,∆x2 , ... e
condutividade térmicas k1 , k2 , ... a taxa de trasnferência de energia pela barra no estado
estável é
R=
A∆T
P = P
R
38
(3.24)
3.5. MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Primeira Lei da Termodinâmica
3.5.2
Radiação
Radiação térmica é a radiação eletromagnética emitida por um corpo em qualquer temperatura. A radiação é uma forma de transmissão de calor pela qual um segundo corpo
pode absorver as ondas que se propagam pelo espaço em forma de energia eletromagnética
aumentando sua temperatura.
A taxa de emissão de energia de um corpo por meio da radiação térmica a partir de
sua superfı́cie é proporcional à quarta potência de sua temperatura superficial absoluta.
Este princı́pio é conhecido como a Lei de Stefan e é expressa por:
P = σAeT 4 ,
onde:
P é a potência irradiada pelo corpo (W);
σ é a constante de Stefan-Boltzmann e vale 5, 6696 × 10−8 W/(m2 K4 );
A é a área da superfı́cie do corpo (m2 );
e é a emissividade;
T a temperatura da superfı́cie do corpo (K).
Exercı́cios
1. Uma janela cuja área é de 2,0m2 é envidraçada com vidro de espessura de 4,0 mm. A
janela está na parede de uma casa e a temperatura externa é 10 ◦ C . A temperatura
no interior da casa é 25◦ C. Quanta energia é transferida através da janela pelo calor
em 1h? Dados: kvidro = 0, 8W/(m◦ C) R : 2, 16 × 107 J
2. O filamento de tungstênio de uma lâmpada de 100W irradia 2W de luz (os demais
98W são carregados para fora por convecção e condução). O filamento tem área
superficial de 0,250mm2 e a emissividade de 0,950. Descubra a temperatura do
filamento. R: 3491 K
3. Uma barra de ouro esá em contato térmico com uma barra de prata de mesmo
comprimento e área. Uma extremidade da barra composta de ouro é mantida a
80◦ C e a extremidade oposta está a 30◦ C. Quando a transferência de energia atinge
o estado estacionário, qual a temperatura da junção?
Dados: kAu = 314W/(m◦ C) e kAg = 427W/(m◦ C) R: 51,18 ◦ C
4. A figura abaixo mostra a seção transversal de uma parede feita de pinho branco
com espessura La e de tijolos com espessura Ld , envolvendo duas camadas de um
material desconhecido com espessuras e condutividades idênticas. A condutividade
térmica do pinho é ka e a do tijolo é kd . A área da face A da parede é desconhecida.
A condução térmica através da parede já atingiu o regime permanente; as únicas
temperaturas de interface conhecidads são T1 = 25◦ C, T2 = 20◦ C e T5 = −10.◦ C.
Considerando Ld = 2La e kd = 5ka , qual é a temperatura da interface T4 ? R: - 8
◦
C
39
3.5. MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Primeira Lei da Termodinâmica
Figura 3.9: Exercı́cio 5
40
Capı́tulo 4
Máquinas Térmicas, entropia e a
Segunda Lei da Termodinâmica
4.0.3
Máquinas Térmicas
Máquina térmica ou motor é um dispositivo que extrai energia do ambiente, na forma de
calor, e realiza trabalho útil. Por exemplo, em um processo tı́pico, no qual uma usina
de energia produz eletricidade, um combustı́vel - por exemplo, carvão - é queimado e os
gases produzidos a altas temperaturas são usados para converter água lı́quida em vapor.
Esse vapor é direcionado para as lâminas de uma turbina, colocando-a em rotação. A
energia mecânica associada a essa rotação é usada para acionar um gerador elétrico.
A máquina térmica carrega alguma substância que trabalha por um processo cı́clico
durante o qual (1) a substância que trabalha absorve energia do calor de um reservatório
de energia em alta temperatura, (2) o trabalho é realizado pelo motor, e (3) a energia é
expelida pelo calor para um reservatório em temperatura mais baixa.
Figura 4.1: Representação esquemática de uma máquina térmica
A figura 4.1 representa esquematicamente uma máquina térmica. O motor absorve
uma quantidade de energia |Qq | (usamos valores absolutos para realizar todas as trans41
Máquinas Térmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
ferências de enegia por calor positivo, e a direção da transferência é indicada com um
sinal negativo).
Wmaq −→ máquina realiza trabalho
−Wmaq −→ máquina realiza trabalho
Qf −→ calor fornecido para o reservatório frio
Como a substância de trabalho passa por um ciclo ∆Eint = 0 . A partir da Primeira
Lei da Termodinâmica , ∆Eint = Q − W = Q − Wmaq , e o trabalho resultante Wmaq
realizado sobre uma máquina térmica é igual à energia resultante Qtot transferida para
ele. Portanto:
Wmaq = |Qq | − |Qf |
(4.1)
A eficiência térmica de uma máquina é definida como:
e=
|Qq | − |Qf |
|Qf |
Wmaq
=
=1−
|Qq |
|Qq
|Qq |
(4.2)
A equação 4.2 mostra que uma máquina térmica tem 100% de eficiência (e = 1)
somente se |Qf | = 0, isto é se a energia não é expelida para o reservatório frio. Como as
eficiências de máquinas reais são bem abaixo de 100%, a seguinte versão alternativa da
Segunda Lei da Termodinâmica nos diz:
Não é possı́vel nenhuma série de processos cujo único resultado seja a transferência
de energia de calor de um reservatório térmico e a completa conversão desta energia em
trabalho.e
4.0.4
Processos reversı́veis e irreversı́veis
Um processo reversı́vel é aquele no qual o sistema pode retornar as suas condições iniciais
pelo mesmo caminho e no qual cada ponto ao longo da trajetória é um estado de equilı́brio.
Um processo que não satisfaça a essas exigências é irreversı́vel.
Sabe-se que a maioria dos processos naturais é irreversı́vel, o processo reversı́vel é uma
idealização.
Exemplo: Se oxigênio e nitrogênio forem mantidos em um recipiente, separados por
uma membrana, e esta membrana for perfurada, as moléculas de oxigênio e nitrogênio se
misturam, Nunca vemos oxigênio e nitrogênio de uma mistura se separarem espontaneamente em lados opostos do recipiente.
Por outro lado, se um processo real ocorrer muito lentamente, de tal forma que o sistema esteja muito próximo do equilı́brio, esse processo pode ser modelado como reversı́vel.
Por exemplo, imagine comprimir um gás muito lentamente ao deixar cair alguns grãos de
areia em um pistão sem atrito (veja Figura 4.2). A pressão, o volume e a temperatura do
gás são bem definidos durante essa compressão isotérmica. Cada grão de areia adicionado
representa um pequena mudança para um novo estado de equilı́brio. O processo pode ser
revertido pela lenta remoção dos grãos de areia do pistão.
42
Máquinas Térmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
Figura 4.2: Pistão comprimindo um gás muito lentamente, ao cair grãos de areia.
4.0.5
Máquinas Térmicas
Máquinas térmicas ou motor é um dispositivo que extrai energia do ambiente, na forma
de calor, e realiza trabalho útil. Na interior de toda máquina térmica está uma substância
de trabalho, que sofre as transformações termodinâmicas que possibilitam as mudanças
de forma de energia.
Para que uma máquina funcione de maneira permanete, é necessário que ela opere em
ciclos, ou seja, a substância de trabalho passa por diversas transformações termodinâmicas
até retornar ao estado inicial, completando um ciclo.
4.0.6
A máquina de Carnot
Em um ciclo de uma máquina de Carnot a substância de trabalho passa por quatro
processos diferentes, onde dois processos são isotérmicos (AB e CD) e ou outros dois são
adiabáticos (BC e DA).
Figura 4.3: Partindo de A, o gás realiza uma expansão isotérmica AB, recebendo calor
de Q1 ( fonte quente). A seguir, ocorre a expansão adiabática BC, durante a qual não há
troca de calor. A compressão isotérmica CD se verifica à temperatura T2 da fonte fria,
e nesta etapa o gás “rejeita” a quantidade Q2 que não foi transformada em trabalho. A
compressão adiabática DA se completa sem a troca de calor.
43
Máquinas Térmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
O sistema absorve uma quantidade de calor Q2 isotermicamente a uma temperatura
T2 quando vai do estado A ao estado B. E de maneira equivalente, o sistema rejeita uma
quantidade de calor Q1 isotermicamente a uma temperatura T1 quando sai do estado
C ao D. As transformações BC e DA ocorrem adiabaticamente, ou seja, sem que ocorra
troca de calor com o ambiente.
O trabalho executado pelo sistema na transformações isotérmica de A para B é calculado como
Z
B
WAB =
pdV
(4.3)
A
Para um gás ideal termos: p =
ou seja,
nRT
V
Z
VB
WAB = nRT2
VA
VB
dV
= nRT2 ln( )
V
VA
(4.4)
De maneira similar, na transformação CD o trabalho será dado por
WCD = nRT1 ln(
VD
)
VC
(4.5)
Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a sua energia interna
depende explicitamente da temperatura, como a temperatura se mantém constante ao
longo das transformações acime, anetão:
E(T2 ) = EA = EB
E(T1 ) = EC = ED
(4.6)
(4.7)
Pela Primeira Lei da Termodinâmica
dE = dQ − dW
(4.8)
∆EAB = QAB − WAB ⇒ Q2 ≡ QAB = WAB
∆ECD = QCD − WCD ⇒ Q1 ≡ QCD = WCD
(4.9)
(4.10)
encontramos que:
44
Máquinas Térmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
Lista de revisão II
1. Uma geóloga trabalhando no campo toma seu café da manhã em uma xı́cara de
alumı́nio. A xı́cara possui uma massa igual a 0,120 kg e estava inicialmente a 20 ◦ C
quando a geóloga a encheu com 0,300 kg de um cafe que estava inicialmente a uma
temperatura de 70 ◦ C. Qual é a temperatura final depois que o café e a xı́cara
atingem o equilı́brio térmico? (Suponha que o calor especı́fico do café seja igual
ao da água (cH2 O w 4190 J/kgK), e que não exista nenhuma troca com o meio
ambiente (cAl w 910 J/kgK)). Resp.: Tf = 66 ◦ C
2. Um calorı́metro de alumı́nio de 250 g contém 0, 5 l de água a 20 ◦ C, inicialmente
em equilı́brio. Coloca-se dentro do calorı́metro um bloco de gelo de 100 g. Calcule
a temperatura final do sistema. O calor especı́fico do alumı́nio é 0, 21 cal/g◦ C e o
calor latente de fusão do gelo é de 80 cal/g (durante o processo de fusão, o gelo
permanece a 0 ◦ C). Resp.: Tf = 4, 7 ◦ C
3. Um calorı́metro de latão de 200 g contém 250 g de água a 30 ◦ C, inicialmente
em equilı́brio. Quando 150 g de álcool etı́lico a 15 ◦ C são despejadas dentro do
calorı́metro, a temperatura de equilı́brio atingida é de 26, 3 ◦ C. O calor especı́fico
do latão é 0, 09 cal/g◦ C. Calcule o calor especı́fico do álcool etı́lico.
Resp.: c = 0, 59 cal/g◦ C
4. Um calorı́metro de capacidade térmica igual a 50 cal/g contém uma mistura de
100 g de agua e 100 g de gelo, em equilı́brio térmico. Mergulha-se nele um aquecedor
elétrico de capacidade térmica desprezı́vel, pelo qual se faz passar uma corrente, com
potência P constante. Após 5 minutos, o calorı́metro contém água a 39, 7 ◦ C. O
calor latente de fusão é 80 cal/g. Qual é a potência (em W) do aquecedor? Resp.:
P = 250 W
5. A uma temperatura ambiente de 27 ◦ C, uma bala de chumbo de 10 g, com uma
velocidade de 300 m/s, penetra num pêndulo balı́stico de massa igual a 200 g e
fica retida nele. se a energia cinética dissipada pela bala fosse totalmente gasta
em aquecê-la, daria para derreter uma parte dela? Em caso afirmativo, quantas
gramas? O calor especı́fico do chumbo é 0, 031 cal/g◦ C, sua temperatura de fusão é
de 327 ◦ C e o calor latente de fusão é 5,85cal/g. Resp.: md = 1, 6 g
6. Uma chaleira de alumı́nio contendo água em ebulição, a 100 ◦ C, está sobre uma
chama. O raio do fundo da chaleira é de 7,5 cm e sua espessura é de 2 mm. A
condutividade térmica do alumı́nio é 0, 49 cal/s cm ◦ C. A chaleira vaporiza 1 l de
água em 5 min. O calor de vaporização da água a 100 ◦ C é de 540 cal/g. A que
temperatura está o fundo da chaleira? Despreze as perdas pelas superfı́cies laterais.
Resp.: T = 104, 6 ◦ C
7. Uma caixa de isopor usada para manter as bebidas frias em um piquenique possui
área total (incluindo a tampa) igual a 0, 80 m2 , e a espessura de sua parede mede
2,0 cm. A caixa esté cheia de água, gelo e latas de Coca-Cola a 0 ◦ C. Qual é a taxa
de fluxo de calor para o interior da caixa, se a temperatura da parede externa for
de 30 ◦ C? Qual é a quantidade de gelo que se liquefaz durante um dia? Resp.:
H = 12 W = 12 J/s e m = 3, 1 kg
45
Máquinas Térmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
8. Uma barra de aço de 10,0 cm de comprimento é soldada pela extremidade a uma
barra de cobre de 20,0 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente
isoladas em suas partes laterais. A seção reta das duas barras é um quadrado de
lado igual a 2,0 cm. A extremidade livre da barra de aço é mantida a 100 ◦ C pelo
contato com vapor d’água obtido por ebulição, e a extremidade livre da barra de
cobre é mantida a 0 ◦ C por estar em contato com gelo. Calcule a temperatura
na junção entre as duas barras e a taxa total da transferência de calor. Resp.:
T = 20, 7 ◦ C e H = 15, 9 W
9. Uma placa quadrada de aço, com lado igual a 10 cm, é aquecida em uma forja até
uma temperatura de 800 ◦ C. Sabendo que a emissividade é igual a 0,60, qual é a
taxa de energia transmitida por radiação? Resp.: H = 900 W
10. Sabendo que a área total do corpo de uma pessoa é 1, 20 m2 , e que a temperatura
da superfı́cie é de 37 ◦ C, calcule a taxa total de transferência de calor do corpo
por radiação. Se o meio ambiente está a uma temperatura de 20 ◦ C, qual a taxa
resultante de calor perdido pelo corpo por radiação? A emissividade do corpo é
próxima da unidade. Resp.: H = 628 W e Htotal = 127 W
11. Você deseja comer um sundae com calda quente com um valor alimentı́cio de 900
Calorias (kcal) e a seguir subir correndo vários lances de escada para transformar
em energia a sobremesa ingerida. Até que altura terá de subir? Use a sua massa
como parâmetro de entrada. Resp.: uma pessoa com 60 kg teria que subir
∼ 6400 m
12. Um grama de água (1 cm3 ) se transforma em 1671 cm3 quando ocorre o processo de
ebulição a uma pressão constante de 1 atm. O calor de vaporizao para essa pressão
é Lv = 2, 256 × 106 J/kg. Calcule a) o trabalho realizado pela água quando ela se
transforma em vapor; b) o aumento de sua energia interna. Resp.: a) W = 169 J
e ∆E = 2087 J
13. À pressão atmosférica, a vaporização completa de 1 l de água a 100 ◦ C gera 1, 671 m3
de vapor de água. O calor latente de vaporização da água a esta temperatura é
539,6 cal/g.
(a) Quanto trabalho é realizado pela expansão do vapor no processo de vaporização
de 1 l de água?
(b) Qual é a variação de energia interna do sistema nesse processo?
Resp.: a)W = 1, 64 · 105 J; b)∆E = 2, 09 · 106 J
14. Um quarto tópico contém cerca de 2500 moles de ar. Calcule a variação de energia
interna para essa quantidade de ar quando ele é resfriado de 23, 9 ◦ C até 11, 6 ◦ C
mantendo-se uma pressão constante igual a 1, 0 atm. Considere o ar um gás ideal
com γ = 1, 40. Resp.: ∆E = −6, 39 · 105 J
15. A razão de compressão de um motor diesel é 15 para 1; isto significa que o ar é
1
do seu volume inicial.
comprimido no interior do cilindro até um volume igual a 15
Sabendo que a pressão inicial é de 1, 015 Pa e que a temperatura inicial é 27 ◦ C,
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Máquinas Térmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
calcule a temperatura final e a pressão final depois da compressão. O ar é basicamente uma mistura dos gases diatômicos oxigênio e hidrogênio; considere o ar um
gás com γ = 1, 40. Resp.: Tf = 613 ◦ C; Pf = 44 Pa
16. No exercı́cio anterior, qual é o trabalho realizado pelo gás durante a compressão,
sabendo que o volume inicial é de 1, 0 litro? Considere o CV igual a 20, 8 J/mol · K.
Resp.: W = −494 J
17. O motor a gasolina de um caminhão grande consome 10 kJ de calor e realiza 2 kJ
de trabalho mecânico em cada ciclo. O calor é obtido pela queima de gasolina com
calor de combustão LC = 5, 0 × 104 J/g.
(a) Qual é a eficiência têrmica dessa máquina?
(b) Qual é a quantidade de calor rejeitada em cada ciclo?
(c) Qual é a quantidade de gasolina queimada em cada ciclo?
(d) Se o motor completa 25 ciclos por segundo, qual é a potência fornecida em
watts?
(e) Qual é a quantidade de gasolina queimada por segundo? E por hora?
Resp.: a) e = 20%, b) QC = −8000 J, c) QH = 0, 20 g, d) P = 50 kW, e)
5,0 g/s ou 18 kg/h
18. Calcule o trabalho por mol realizado por um gás ideal que se expande isotermicamente, quer dizer, à temperatura constante, desde o volume inicial Vi até o volume
final Vf . Obs.: O trabalho realizado pode ser representado como:
Z Vf
p dV
W =
Vi
19. Um fluido homogêneo pode passar de um estado inicial i a um estado final f no
plano (p, V) através de dois caminhos diferentes, representados por iaf e ibf no
diagrama indicador (fig.). A diferença de energia interna entre os estados inicial e
final é Ef − Ei = 50 J. O trabalho realizado pelo sistema na passagem de i para b
é de 100 J. O trabalho realizado pelo sistema quando descreve o ciclo (iaf bi) é de
200 J. A partir desses dados, determine, em magnitude e sinal:
(a) A quantidade de calor Q(ibf ) , associada ao caminho ibf ;
(b) O trabalho W(iaf ) ;
(c) A quantidade de calor Q(iaf ) associada ao caminho iaf ;
(d) Se o sistema regressa do estado final ao estado inicial seguindo a diagonal f ci
do retângulo (fig.), o trabalho W( f ci) e a quantidade de calor Q( f ci) associados
a esse caminho.
Resp.: a)Qa = 150 J; b)W(iaf ) = 300 J; c) Qc = 350 J; d) Q = −250 J
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Máquinas Térmicas, entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
p (Pa)
f
a
i
c
b
V (m3)
0
20. O diagrama indicador da Figura abaixo, onde a pressão é medida em bar (1 bar =
105 Pa) e o volume em l, está associado com um ciclo descrito por um fluido homogêneo. Sejam W , Q e ∆E, respectivamente o trabalho, quantidade de calor e
variaçãoo de energia interna do sistema associados com cada etapa do ciclo e com
o ciclo completo, cujos valores (em J) devem ser preenchidos na tabela abaixo.
p (Bar)
Etapa
ab
bc
ca
Ciclo (abca)
W (J)
Q (J)
800
∆E (J)
2
c
b
1
-100
a
0
5
10
V (l)
21. Quando centenas de abelhas japonesas formam uma bola compacta ao redor de uma
vespa gigante que tenta invadir a sua colmeia, elas conseguem aumentar rapidamente
a temperatura dos seus corpos da temperatura normal de 35 ◦ C para 47 ◦ C ou 48
◦
C . Essa temperatura mais alta é letal para a vespa, mas não para as abelhas.
Suponha o seguinte: que 500 abelhas formam uma bola de raio R = 2 cm por um
tempo t = 20 min, que a principal perda de energia pela bola seja por radiação
térmcia, que a superfı́cie da bola tenha emissividade e = 0.8 e que a bola apresente
temperatura uniforme. Em média, que energia adicional deve ser produzida por
cada abelha durante os 20 min para manter 47 ◦ C ? Resp.: 0,81 J
22. O teto de uma habitação familiar em um clima frio deveria ter um valor R de 30.
Para fornecer um isolamento como este, qual deveria a espessura de uma camada
de (a) de espuma de poliuretano e (b) de prata? Resp.: (a) 0,13 m e (b) 2,3
km.
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