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PRÓ-REITORIA
DE GRADUAÇÃO
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TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Sherley
Matemática
Análise de erros em funções matemáticas com alunos do
1º Ano do Ensino Médio de Escola Pública.
Autora: Nayara Tavares de Brito Souza
Orientador: Vilmondes Rocha
NAYARA TAVARES DE BRITO SOUZA
ANÁLISE DE ERROS EM FUNÇÕES MATEMÁTICAS COM ALUNOS DO 1º ANO
DO ENSINO MÉDIO DE ESCOLA PÚBLICA.
Artigo apresentado ao curso de graduação em
Matemática da Universidade Católica de
Brasília, como requisito parcial para obtenção
do Título de Licenciado em Matemática.
Orientador: Vilmondes Rocha
Brasília
2009
2
Artigo de autoria de Nayara Tavares de Brito Souza, intitulado Análise de erros em funções
matemáticas com alunos do 1º Ano do Ensino Médio de Escola Pública, apresentado como
requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática da Universidade
Católica de Brasília, em 18 de novembro de 2009, defendido e aprovado pela banca
examinadora abaixo assinada:
_____________________________________________________
Prof. Mestre Vilmondes Rocha
Orientador
Matemática – UCB
_____________________________________________________
Prof. Mestre Maria Auxiliadora Antunes dos Santos
Matemática – UCB
_____________________________________________________
Prof. Mestre Ana Sheila Perdigão Faleiros
Matemática – UCB
Brasília
2009
3
ANÁLISE DE ERROS EM FUNÇÕES MATEMÁTICAS COM ALUNOS DO 1º ANO
DO ENSINO MÉDIO DE ESCOLA PÚBLICA.
NAYARA TAVARES DE BRITO SOUZA
Resumo:
O trabalho desenvolvido tem como proposta analisar quais as dificuldades apresentadas pelos
alunos quando se trata de funções matemáticas, o que sabem, quais as dificuldades ou o que
não assimilaram. Foi aplicada uma avaliação a 75 alunos do 1 o Ano do Ensino Médio de duas
escolas públicas, para obtenção dos dados a serem analisados. Através dos que se coletou
procurou-se trabalhar com o estudo da Análise de Erros, na tentativa de classificá-los e
entender como está o aprendizado dos estudantes. Concluiu-se que muito ainda há de ser feito
para que os alunos tenham o mínimo de conhecimento básico em funções matemáticas.
Palavras-chave: Ensino Médio. Análise de erros. Educação Matemática.
1. INTRODUÇÃO
Este trabalho de pesquisa está direcionado à área de Educação Matemática, com o objetivo de
estudar por meio da Análise de Erros – metodologia que investiga as soluções dos alunos –
classificando os erros de alunos do 1o Ano do Ensino Médio na expectativa de apresentar
contribuições para uma melhoria na aprendizagem do aluno.
Os alunos terminam o Ensino Médio e, em sua maioria, não sabem trabalhar, analisar e
utilizar funções, como mostram os últimos resultados do Saeb – Sistema Nacional de
Avaliação da Educação Básica, em um quadro preocupante, pois menos da metade dos alunos
que concluem o Ensino Médio atingem os maiores níveis (níveis de recomendação do
conhecimento que deveria ter sido adquirido nesta fase), principalmente, quando falamos de
escola pública. Com isso, percebemos uma ambiguidade, os alunos conseguem aprovação nas
séries em que cursam, afinal concluíram o Ensino Médio, mas o desempenho do Saeb é
insignificante.
Uma alternativa para compreender esse quadro preocupante do ensino brasileiro é a Análise
de Erros, pois quando um professor consegue perceber qual é o motivo do erro cometido pelo
aluno fica mais fácil definir como trabalhar com esse aluno para sanar o obstáculo que o
impede de avançar no processo de aprendizagem.
O estudante geralmente tem medo de mostrar ao professor que não sabe resolver uma questão
porque ele mesmo considera sua dificuldade “boba” e, o próprio professor usando esta
metodologia pode detectar essa dificuldade, afinal é mais fácil para o professor trabalhar o
déficit do aluno, porque, em geral, o estudante sabe alguma coisa.
Fazer um trabalho usando essa metodologia com alunos de 1 o Ano do Ensino Médio é mais
que analisar o conhecimento deles sobre funções, é fazer um pequeno demonstrativo da
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familiarização que eles têm com essa área tão importante da Matemática, pois muito do que se
estuda em Matemática se reverte em função. Daí a necessidade do trabalho, se o aluno sabe,
por exemplo, encontrar a área de uma figura, mas não sabe resolver uma equação do segundo
grau. Existem problemas que ele não consegue resolver, pois recai em algum aspecto do
estudo de funções não assimilado.
2. A ANÁLISE DE ERROS
Segundo o dicionário Aurélio online 1 erro é definido como
s.m. Opinião, julgamento contrário à verdade: cometer erro. / Falsa doutrina; opinião
falsa: o erro dos heresiarcas. / Engano, equívoco: erro de cálculo. / Imperícia: foi um
erro essa intervenção. / Metrologia Diferença entre o valor exato de uma grandeza e
o valor dado por uma medição. / &151; s.m.pl. Desregramentos, desvarios no
proceder: erros da juventude.
A definição mostra as perspectivas dos professores em relação ao erro dos alunos, afinal, ele é
visto na educação em geral, como algo mau, ruim, onde o estudante deve ser simplesmente
punido, sem a preocupação da compreensão de como ocorreu o erro. É assim que o erro acaba
sendo esquecido, não trabalhado e o aluno passa a cometer o mesmo erro nas séries seguintes
sem, na maioria das vezes, perceber onde ele está errando.
Segundo Macedo (1990, p. 352), “Há professores que defendem o ponto de vista de que não
se pode permitir que o erro aconteça, pois ele se fixa e uma vez fixado dificilmente será
eliminado da criança”. Mas se o erro não acontece significa que o aluno tem o domínio do
conhecimento? Na vida temos o direito de errar, mas na escola não? Morin (2002, p. 143)
afirma que “a cada instante, a vida conhece o risco do erro”. Cabe a nós futuros e presentes
profissionais educar o cidadão através da percepção do erro para tentar corrigi-lo.
Cora Coralina2 já dizia "todos estamos matriculados na escola da vida, onde o mestre é o
tempo", ou seja, a oportunidade do erro está sempre presente e o tempo é quem pode nos
ajudar a repará-lo, pois através do erro se pode aprender. Com isso percebemos que o estudo
dos erros deveria fluir naturalmente no sistema educacional, pois um verdadeiro professor só
conhece de fato as dificuldades do aluno quando se preocupa com os erros que ele comete.
Afinal de contas acertar não significa ter o conhecimento do conteúdo, pois existem “chutes”,
“colas” e até mesmo as provas que são cópias de exercícios resolvidos. Para Popper (apud
Kuhn, 1979, p.17), “todos podemos aprender, e aprendemos, com nossos erros”.
Segundo o dicionário Aurélio online 3 analisar é definido como
v.t. Fazer análise, decompor um todo em suas partes: analisar uma substância. /
Estudar, examinar: analisar documentos. / Criticar: analisar um romance.
1
Disponível em http://www.dicionariodoaurelio.com/dicionario.php?P=Erro, acessado em 16/08/2009 às 08h20.
2
Disponível em http://bcccv.blogspot.com/2008/07/estamos-todos-matriculados-na-escola-da.html, acessado em
16/08/2009 às 9h.
3
Disponível em http://www.dicionariodoaurelio.com/dicionario.php?P=Erro, acesso em 16/08/2009 às 08h20.
5
Com a definição de “erro” e “analisar” juntas podemos entender melhor a proposta deste
trabalho, pois quando um professor passa a analisar o erro que o aluno comete
automaticamente se estuda o que a criança fez de errado e com isso surge a possibilidade do
acerto e mais do que isso, da aprendizagem.
A Análise de Erros é uma abordagem de pesquisa que vem crescendo dentro dos estudos da
Educação Matemática com os objetivos distintos, pois possui fundamentações variadas que
podem ser trabalhadas conforme a necessidade. Entretanto, a Análise de Erros também é uma
metodologia de ensino que pode favorecer a aprendizagem e o desenvolvimento do aluno
dentro do universo matemático.
Segundo Costa (1988, p. 20), “A análise do „erro‟ pode oferecer pistas ricas para o
redimensionamento de uma prática pedagógica que seja mais comprometida com as nossas
crianças brasileiras”. O aluno que corrige um erro e o entende pode mudar sua aprendizagem.
Costa (1988, p.16) diz: “A análise do „erro‟ nos permite valorizar o processo subjacente às
respostas, não apenas a resposta com um produto que se encerra em si mesmo.” E ainda
completa que: “A análise dos processos utilizados pelas crianças nos leva a verificar o que há
de positivo nela, a sua construção lógica, não apenas os seus supostos déficits”. Cury (2007)
nos faz perceber que a Análise de erros é uma opção para o professor, pois trata-se de uma
metodologia de ensino que pode auxiliá-lo, pois quando se consegue detectar uma dificuldade
é mais fácil explorá-la durante a aula.
Temos que entender que os alunos têm suas dificuldades e que, em geral, tem medo de expôlas ao professor, os motivos podem ser vários, mas no caso deste trabalho não se é necessário
conhecê-los. O importante é perceber que através da Análise de Erros o professor tem a
oportunidade de encontrar esta dificuldade e de trabalhar com ela de forma diferenciada.
A Análise de erros leva o profissional da Educação Matemática a investigar erros, observar
como os alunos resolvem um determinado problema e a partir daí encontrar metodologias de
ensino que vão favorecer o conhecimento do aluno.
A Análise de Erros é uma metodologia que causa discussões, pois estamos no século onde o
cidadão é avaliado simplesmente pela alternativa correta ou incorreta que se marca na prova
do vestibular, do concurso público ou até mesmo em uma seleção simples de emprego. Uma
sociedade que se acostumou a contar os acertos e se preparar para preencher um cartão de
respostas dentro do tempo estabelecido sem cometer enganos.
Para Cury (2007, p 93)
As pesquisas sobre erros na aprendizagem de Matemática devem fazer parte do
processo de formação dos futuros professores, pois, ao investigar erros, ao observar
como os alunos resolvem um determinado problema, ao discutir as soluções com os
estudantes, os licenciandos em Matemática estão refletindo sobre o processo de
aprendizagem nessa disciplina e sobre as possíveis metodologias de ensino que vão
implementar no inicio de suas praticas, podendo ajudar seus alunos logo que
detectarem alguma dificuldade.
6
Os futuros professores devem estar dispostos a expandir seus estudos e trabalhar
metodologias para serem capazes de modificar a realidade da aprendizagem no ensino e a
Análise de erros é uma possibilidade de se fazer diferente.
No quadro a seguir, Borasi mostra como podemos analisar o erro sobre outra perspectiva:
através do erro reconstruir com o aluno aquilo que não foi bem entendido e que fará falta lá na
frente, pois se o educador considera importante somente o que o aluno sabe, lá na frente,
aquilo que ele não compreendeu vai fazer falta e de repente o aluno nunca vai chegar a
descobrir onde está errando.
conteúdo técnicomatemático
Eliminação do O erro é visto como
erro
um sinal de falha do
processo de aprendizagem. Sua causa é
diagnosticada
na
tentativa de eliminar
o erro pela raíz.
natureza da
matemática
O erro é visto como
projeção da incompreensão de caráter
mais geral, relativa à
natureza da Matemática. Tal incompreensão é diagnosticada
com a intenção de
remediá-la, eliminando-a.
Exploração e O erro é visto como
descoberta
um
estágio
necessário, positivo
no
processo
de
pesquisa.
Pode
motivar novas direções para a exploração e levar a descobertas inesperadas.
O erro é visto como
um instrumento para
pôr em evidência os
limites e características de uma disciplina.
Pode motivar e levar a
reflexões sobre a
natureza da disciplina
Foco/objetivo
processo de aprendizagem
O erro é visto como um
instrumento para identificar
dificuldades
comuns
da
aprendizagem e métodos de
ensino ineficazes. O currículo
e os métodos de ensino
podem ser conseqüentemente
melhorados, para evitar tais
dificuldades (e erros) no
futuro.
O erro é visto como projeção
dos mecanismos com os
quais a mente opera. Pode
constituir-se em instrumento
para compreender melhor os
processos cognitivos e o
próprio desenvolvimento.
( Cf BORASI, 1988 b, p 380, apud CURY, 1994, p 86).
3. MÉTODO E ANÁLISE DE DADOS
Como foi dito anteriormente, com base nos conhecimentos básicos do estudo de funções, foi
elaborada uma avaliação contento quatro questões abertas, justamente para que os alunos
colocassem os cálculos ou raciocínios obtidos para a resolução.
7
A avaliação foi aplicada em duas escolas públicas do Distrito Federal, ambas localizadas na
cidade satélite de Brazlândia. Na primeira escola foram aplicadas 45 avaliações em uma única
turma, entretanto, 15 destas foram entregues totalmente em branco. Na segunda foram
aplicadas 30 avaliações, em uma única turma, sendo que destes 11 foram devolvidas
totalmente em branco. Durante a aplicação da avaliação, em ambas as escolas, foram várias as
vezes que os alunos disseram não saber fazer as questões, pois eram muito difíceis.
Para fazer a análise das questões foram reunidas todas as avaliações sem distinguir a escola ou
o aluno, mesmo porque os alunos foram orientados a não se identificar. Desta forma foram
totalizadas 75 avaliações, sendo que 26 foram entregues em branco e 10 devolvidas sem
resoluções, com isso a análise foi realizada em 39 avaliações.
A questão número um teve o seguinte enunciado:
Observe no quadro a medida do lado (em cm) de uma região quadrada e sua área (em cm2).
a)
Medida do lado (em cm)
1
3
4
5,5
10
,,,
l
Área (em cm2)
1
9
16
30,25
100
,,,
l
2
Qual é a área de uma região quadrada cujo lado mede 12 cm?
b) Qual é a medida do lado da região quadrada cuja área é de 169 cm2 ?
Como nem todos os alunos resolveram os dois itens da questão, eles foram analisadas
separadamente. A letra a não foi respondida por 9 alunos. Com isso ficaram 30 avaliações a
serem analisadas, um aluno apresentou um raciocínio diferente, somou 12 mais 12 obtendo 24
e, outro ainda apresentou a soma de 6 com 6 igual a 12 como resposta da questão, as outras 28
avaliações foram classificadas em quatro classes:
Classe A: correspondem as resoluções corretas. Os 13 alunos realizaram desenvolvimentos
parecidos com o que é apresentado na Figura 1.
Figura 1
Classe B: correspondem as resoluções corretas, mas os alunos deixaram de colocar a unidade
de medida correspondente. Os 7 alunos resolveram de forma semelhante ao apresentado na
Figura 2.
8
Figura 2
Classe C: correspondem as 3 respostas em que os alunos fizeram uma mistura entre o cálculo
da área e o cálculo do perímetro, como mostra a Figura 3.
Figura 3
Classe D: correspondem as 5 respostas em que os alunos calcularam o perímetro ao invés da
área, como mostra a Figura 4.
Figura 4
O item b não foi respondido por 11 alunos e 4 colocaram uma resposta sem resolução. Desta
forma foram analisadas, neste item, 23 avaliações classificadas em quatro classes:
Classe E: correspondem as resoluções corretas. Os 7 alunos realizaram um desenvolvimento
parecido com o desenvolvido na Figura 5.
9
Figura 5
Classe F: correspondem as resoluções corretas, mas onde os alunos deixaram de colocar a
unidade de medida correspondente. Os 5 alunos fizeram respostas semelhantes a apresentada
na Figura 6.
Figura 6
Classe G: correspondem as 3 respostas em que os alunos resolveram como se fosse o valor de
um perímetro, como mostra a Figura 7.
Figura 7
Classe H: correspondem as 6 respostas em que os alunos calcularam como se fossem
encontrar a área, exemplo apresentado na Figura 8.
10
Figura 8
Um aluno ainda somou 169 com 169, mas ainda obteve um erro no cálculo, encontrando
336cm2 e, outro ainda realizou 169 vezes 4 igual a 676.
Fazendo uma análise do conjunto da primeira questão pode-se perceber que no 1o Ano do
Ensino Médio, os alunos não conseguem analisar uma tabela, pois com a descoberta das
relações que a tabela apresenta fica fácil resolver os itens da questão, não havia a necessidade
de se utilizar de fórmulas decoradas.
Ao que tudo indica os alunos já se acostumaram à simples memorização de fórmulas e não
conseguem desenvolver um raciocínio dedutivo, as fórmulas ficam misturadas na cabeça do
aluno e ele não é capaz de diferenciar o conceito de perímetro e área, exemplificado nas
classes C, D e G.
A questão número dois teve o seguinte enunciado:
Para transformar graus Fahrenheit em graus Celsius usa-se a fórmula C
5
( F 32) , em que
9
F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus Celsius.
a) Qual é a temperatura em Celsius que é a metade do valor correspondente em graus
Fahrenheit?
b) Qual é a temperatura em Fahrenheit que é 5 vezes o valor da temperatura em graus
Celsius?
Nenhum dos itens da questão foi analisado, pois 20 alunos não resolveram a questão,
deixaram completamente em branco, e os 19 que tentaram encontrar a resposta não
conseguiram, além de não ter ocorrido nenhum padrão de resolução para a análise das classes.
Mas é necessário ressaltar que ninguém fez a substituição correta no local das variáveis dadas
e em alguns casos não foi possível nem compreender o raciocínio desenvolvido pelo aluno.
A questão número três tinha o seguinte enunciado:
Seja f ( x)
2x2
3x 1 . Calcule f
2
.
3
Considerando que esta pode ter sido a questão mais complicada do questionário, pelo fato de
envolver muitos conteúdos matemáticos justifica-se o fato de 19 alunos deixarem a questão
em brando e dos 20 que responderam ninguém chegou a uma resposta certa. Não ocorreu um
padrão capaz de desenvolver uma análise de classes, entretanto, é possível relacionar algumas
considerações interessantes das resoluções apresentadas. Alguns alunos chegaram a substituir
11
o
f
2
, mas não conseguiram desenvolver os cálculos ou nem tentaram, outros,
3
simplesmente, resolveram a equação f ( x) 2 x 2 3x 1 pela conhecida fórmula de Báskara
e encontraram as raízes dela. Houve diversas tentativas diferentes, mas que não
representavam a resposta da questão. Dois exemplos interessantes aparecem na Figura 9 e na
Figura 10.
Figura 9
Figura 10
A questão número quatro teve o seguinte enunciado:
Um total de 160 pessoas, dentre homens e mulheres, participou de um evento. O número de
homens excedia em 30 o número de mulheres. Qual era o número de homens deste evento?
Considerando que 5 alunos não resolveram a questão e 9 colocaram uma resposta sem
apresentar sua resolução, temos que 25 alunos tentaram resolver a questão e foram
distribuídos em três classes. Entretanto, 2 alunos montaram a equação, mas não resolveram e
8 desenvolveram diversas resoluções em que não pode se identificar um padrão entre elas:
Classe I: correspondem as resoluções corretas. Apenas 1 aluno conseguiu encontrar a
resposta de forma algébrica, como apresentado na Figura 11.
Figura 11
12
Classe J: correspondem a 3 alunos que acertaram a questão, apresentando um raciocínio
geralmente desenvolvido no 7º Ano do Ensino Fundamental, como mostra a Figura 12.
Figura 12
Classe K: correspondem aos 11 alunos que se limitaram a utilizar os números do problema,
exemplos das resoluções aparecem na figura 13 e na figura 14.
Ou,
Figura 13
Figura 14
Ao fazer uma análise da questão percebe-se claramente que os alunos não têm o domínio da
construção de uma equação simples, vê-se que eles baseiam a resolução das questões
simplesmente na manipulação dos dados visíveis, a leitura e a interpretação da questão não
são realizadas.
Durante a aplicação da avaliação vários foram os alunos que questionaram sobre o seguinte
trecho do enunciado da questão “o número de homens excedia em 30 o número de mulheres”,
esse fato unido as questões de categoria K mostra que o problema dos alunos não está só na
matemática, mas também na compreensão linguística, pois eles não conseguem interpretar o
que a questão apresenta de recursos para a sua resolução.
No geral a avaliação mostra que os alunos não encontram nenhum significado no que
estudam, parece que há um predomínio da memorização, simplesmente. Após a realização das
provas, o conteúdo não significativo é apagado da memória, como se não tivesse importância.
13
O fato da avaliação ter sido aplicada um bimestre depois deles terem iniciado o estudo de
funções apresenta claramente isso, pois eles acabaram de ver o conteúdo e não tem domínio
de situações bastante simples
5. RESULTADOS E CONCLUSÕES
Durante a realização do trabalho pensei que poderia conseguir fazer um diagnostico positivo
em relação ao conhecimento dos alunos do 1o Ano do Ensino Médio, mas me decepcionei
bastante, não com o trabalho mais com o resultado dele, afinal de contas, o desinteresse dos
alunos começou durante a realização da avaliação, pois apenas 52% dos alunos colaboram
com a avaliação. Ficará sempre o questionamento, os outros 48% que não fizeram, não
sabem, não tentaram ou não quiseram fazer.
A metodologia de Análise de Erros realmente é uma boa opção para trabalhar em sala de aula,
pois o professor consegue identificar as dificuldades dos alunos e a partir daí trabalhar a
dificuldade de cada um. Na maioria das vezes os alunos vêm com dificuldades das séries
anteriores e assim não conseguem progredir no conhecimento matemático.
Os futuros e atuais profissionais da educação, os professores, precisam compreender e
entender os erros apresentados pelos alunos para assim desenvolverem o conteúdo
gradativamente. Afinal de contas, não adianta querer avançar em cima do que não se sabe. O
mecanismo da memorização de fórmulas prontas, acabadas e sem significados mostra que os
alunos não conseguem assimilar muita coisa e fazem uma grande confusão em relação a elas.
Assim, os alunos destroem a capacidade de raciocinar, de construir um pensamento lógico e
perdem muito tempo tentando lembrar qual seria a fórmula adequada para resolver cada
questão.
A avaliação trabalhada com os alunos do 1o Ano do Ensino Médio de duas escolas públicas
foi fundamental para perceber que os alunos estão, em sua maioria, perdidos, pois não
conseguem desenvolver questões simples com relação ao estudo de funções matemáticas,
logo a área da matemática que está direcionada a qualquer área da matemática, ou até mesmo,
de outras disciplinas. Os alunos não compreendem o que é uma função, não sabem analisá-la,
não sabem calculá-la, ou seja, não sabem trabalhar com ela.
Entretanto, é importante perceber que as dificuldades dos alunos não estão só na falta do
conhecimento matemático, na falta do interesse ou mesmo na falta de visão, mas também na
falta de domínio da língua materna, pois os alunos não conseguem interpretar o enunciado de
uma questão, não entendem o querem, o que dizem ou que devem fazer diante do que foi
apresentado.
Esse trabalho não teve a pretensão de esgotar o assunto, mas chamar a atenção para o
problema e apresentar uma sugestão de trabalho que pode contribuir significativamente para o
processo de ensino e aprendizagem de matemática. Outras pesquisas sobre o assunto devem
ser feitas, com o objetivo de melhorar cada vez mais o nível de compreensão sobre o assunto.
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4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Trabalho apresentado no 3º CIEAEM, realizado em Sherbrooke, Canada, em julho de 1987.
COSTA, Dóris Anita Freire. A análise do Erro como caminho de Descoberta do Pensamento da Criança.
AMAE Educando. v. 21, n.199, p. 14-20, out. 1988.
CURY, Helana Noronha. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo
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FELTES, Rejane Zeferino. Análise de erros em potenciação e radiciação: um estudo com alunos de ensino
fundamental e médio. Porto Alegre, 2007.
KUHN, Thomas. S. Lógica da Descoberta ou Psicologia da Pesquisa? In: LAKATOS, I; MUSGRAVE, A.
(Org.) A Crítica e o Desenvolvimento do Conhecimento. São Paulo: Cultrix, 1979.
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da educação. São Paulo, 1990. v.1. p. 346-362.
MORIN, Edgar. Ciência com Consciência. 6. ed. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 2002.
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