•
EXATAS
Considere o gráfico da função y = log10 x.
y
Questão 1
Sabendo-se que (X , 3 , Y , Z , 24), nesta ordem, constituem uma P.A. de razão r,
a) escreva X, Y e Z em função de r;
b) calcule a razão r da P.A. e os valores de X,
Y e Z.
2,4814
log 302
2,4786
301 302 303
x
Resposta
a) Sendo r a razão da PA, temos X = 3 − r, Y = 3 + r
Por interpolação linear, temos:
e Z = 3 + 2r (ou Z = 24 − r).
b) Temos Z = 3 + 2r = 24 − r ⇔ r = 7. Assim,
(log 302) − 2,4786
2,4814 − 2,4786
=
⇔
302 − 301
303 − 301
X = 3 − 7 = −4, Y = 3 + 7 = 10 e Z = 24 − 7 = 17.
⇔ log 302 = 2,4800
Questão 2
Questão 3
A tabela mostra 3 números com as correspondentes mantissas de seus logaritmos na
base 10.
Resolva as equações exponenciais, determinando os correspondentes valores de x.
x
Mantissa de x
301
4786
303
4814
304
4829
a) 7 (x − 3) + 7 (x − 2) + 7 (x − 1) = 57
x
1
1
b)   +  
 3
 3
x+1
1
−  
 3
x −2
= −207
Resposta
a) 7 (x − 3) + 7 (x − 2) + 7 (x −1) = 57 ⇔
a) Escreva os valores dos log10 ( x ).
b) Calcule os valores aproximados
log10 (3,04 ), log10 (3010) e log10 (302).
de
Resposta
a) Como 100 < x < 1 000 ⇔ 2 < log x < 3, de acordo com os dados da tabela temos log 301 =
= 2,4786, log 303 = 2,4814 e log 304 = 2,4829.
 304 
b) • log 3,04 = log 
 = log 304 − log 100 =
 100 
= 2,4829 − 2 = 0,4829;
• log 3 010 = log (301 ⋅ 10) = log 301 + log 10 =
= 2,4786 + 1 = 3,4786;
⇔ 7 x − 3 (7 0 + 71 + 7 2 ) = 57 ⇔
⇔ 7 x − 3 ⋅ 57 = 57 ⇔ 7 x − 3 = 1 ⇔
⇔ x −3 = 0 ⇔ x = 3
1 
b)  
3 
x
1 
⇔ 
3 
x −2 
1 
+ 
3 
x +1
  1 
 3 

1 
⇔  
3 
x −2
x −2
1 
⇔ 
3 
⇔ −(x − 2)
2
V = {3}
1 
− 
3 
1 
+ 
3 
3
x −2
= −207 ⇔
0
1  
−    = −207 ⇔
3  
 3 + 1 − 27 

 = −207 ⇔


27
 −23 
−(x − 2)
⋅
= 35 ⇔
 = −207 ⇔ 3
 27 
V = {−3}
= 5 ⇔ x = −3
matemática 2
Questão 4
Questão 6
Dados os sistemas lineares,
x − y = 0
C1 x + C2 y = 1
e S2 : 
S1 : 
x + y = 2
C1 x − C2 y = 2
Numa certa empresa, os funcionários desenvolvem uma jornada de trabalho, em termos
de horas diárias trabalhadas, de acordo com o
gráfico:
e admitindo-se que S1 e S2 são equivalentes,
a) defina o que são sistemas lineares equivalentes;
b) encontre os valores de C1 e C2 .
Resposta
a) Sistemas lineares equivalentes são sistemas
cujos conjuntos universo são iguais e cujos conjuntos verdade são iguais.
b) Sejam V1 e V2 os conjuntos verdade de S1 e S 2 ,
x − y = 0
x =1
respectivamente. Como 
,
⇔
x
y
2
+
=

y =1
V1 = {(1; 1)}.
Logo V2 = V1 = {(1; 1)} e, portanto,
3

 C1 = 2
 C1 ⋅ 1 + C 2 ⋅ 1 = 1
.
⇔

 C1 ⋅ 1 − C 2 ⋅ 1 = 2
 C2 = − 1
2

Pode-se verificar que se C1 =
então V2 = {(1; 1)}.
a) Em média, quantas horas eles trabalham
por dia durante uma semana?
b) Numa dada semana ocorrerá um feriado
de 1 dia. Qual a probabilidade de eles trabalharem ao menos 30 horas nessa semana?
3
1
e C2 = − ,
2
2
Questão 5
 3 −2
Dada a matriz A = 
 , uma matriz
 −1 a 
B, (2 × 2), e sabendo-se que det(AB) = 26,
a) expresse det(B) em termos de a.
5 3
b) Sendo B = 
 , calcule o valor de a.
6 4
Resposta
a) det(A ⋅ B) = 26 ⇔ det A ⋅ det B = 26 ⇔
⇔ (3 ⋅ a − ( −2) ⋅ ( −1)) ⋅ det B = 26 ⇔
26
2
.
,a ≠
⇔ det B =
3a − 2
3
5 3 
26
b) Com B = 
⇔
 , det B =
6 4 
3a − 2
26
⇔ 5 ⋅4 −3 ⋅6 =
⇔ a = 5.
3a − 2
Resposta
Observando o gráfico, o número de horas trabalhadas por funcionário por dia é 2ª: 8 h; 3ª: 7 h; 4ª:
10 h; 5ª: 11 h; 6ª: 4 h. Portanto, o número total de
horas trabalhadas por semana é 8 + 7 + 10 + 11 +
+ 4 = 40 horas.
a) O número médio de horas trabalhadas por fun40
cionário por dia é
= 8 horas.
5
b) Eles trabalharão pelo menos 30 horas se, e somente se, o feriado cair em um dia no qual eles
trabalham no máximo 40 − 30 = 10 horas.
Assim, o feriado não poderá cair na 5ª, o que, supondo que o feriado ocorra em um dia de traba4
lho, ocorre com probabilidade .
5
Questão 7
Um farol localizado a 36 m acima do nível do
mar é avistado por um barco a uma distância
x da base do farol, a partir de um ângulo α,
conforme a figura:
matemática 3
a) Admitindo-se que sen(α ) =
3
, calcule a
5
distância x.
b) Assumindo-se que o barco se aproximou do
farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo α passou exatamente
para 2α, calcule a nova distância x’ a que o
barco se encontrará da base do farol.
Resposta
a) Sendo 0 < α <
π
, temos
2
Resposta
3 
cosα = 1 − sen 2 α = 1 −  
5 
2
=
4
e
5
3
senα
3
5
. Assim,
=
=
tgα =
4
cosα
4
5
tgα =
36
3
36
⇔
=
⇔ x = 48 m.
x
4
x
3
24
4
,
b) Como tg 2 α =
=
=
2
7
1 − tg 2 α
3 
1− 
4
2 tgα
temos tg 2 α =
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.
b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e
que antes da esfera ser mergulhada, a água
3
ocupava
da altura do cilindro. Calcule
4
quantas esferas de aço idênticas à citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para
que a água atinja o topo do cilindro sem
transbordar.
2 ⋅
36
24
36
⇔
=
⇔ x’ = 10,5 m.
x’
7
x’
a) Após o mergulho da esfera, o nível da água
1
sobe
R. Assim, o volume da esfera de raio r
6
mergulhada é igual ao volume de um cilindro com
1
raio da base R e altura R. Logo
6
4 3
1
R
.
πr = πR 2 ⋅ R ⇔ r =
3
6
2
b) Para que a água atinja o topo do cilindro
sem transbordar, como H = 4R e o nível da
3
água era inicialmente H = 3R , este deve subir
4
4R − 3R = R .
Pelo item a, a cada esfera de aço mergulhada, o
R
nível da água sobe . Logo serão necessárias 6
6
esferas das citadas para a água atingir o topo do
cilindro sem transbordar.
Questão 8
Questão 9
Em um tanque cilíndrico com raio de base R
e altura H contendo água é mergulhada uma
esfera de aço de raio r, fazendo com que o ní1
R, conforme mostra a fivel da água suba
6
gura.
É dado o polinômio cúbico P(x) = x 3 + x2 − 2x,
com x ∈ R.
a) Calcule todas as raízes de P(x).
b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no
plano (x , P(x)), fazendo-o passar por suas raízes.
matemática 4
Resposta
3
2
a) P(x) = 0 ⇔ x + x − 2x = 0 ⇔
⇔ x(x 2 + x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ou
x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 0 ou x = −2 ou x = 1
Assim, as raízes de P(x) são −2, 0 e 1.
b) Estudemos o sinal de P(x).
Sejam A(x) = x e B(x) = x 2 + x − 2 . Como
B(x) = 0 ⇔ x = −2 ou x = 1, temos:
−2
0
1
sinal de A(x)
−
−
+
+
sinal de B(x)
+
−
−
+
sinal de P(x) = A(x) ⋅ B(x)
−
+
−
+
Desse modo, o gráfico de P(x) está acima do eixo
das abscissas para −2 < x < 0 e x > 1 e abaixo
do eixo das abscissas para x < −2 e 0 < x < 1.
Podemos, portanto, esboçar o gráfico de P(x):
a) Sabendo-se que o vértice da parábola do
projétil de ataque é dado pelas coordenadas
(15,45) e baseado nos dados da figura, calcule a equação da parábola do projétil de
ataque.
b) Um projétil de defesa é lançado a partir
das coordenadas (6,0) e sua trajetória também descreve uma parábola segundo a equação y = −0,25 x2 + 9 x − 45. Considerando-se
que o projétil de defesa atingirá o projétil de
ataque, calcule as coordenadas onde isto
ocorrerá e diga se o alvo estará a salvo do
ataque.
Resposta
a) Supondo que o eixo de simetria da parábola do
projétil de ataque é paralelo ao eixo Oy, seja
y = ax 2 + bx + c , com a, b, c ∈ R, a ≠ 0, sua
equação. Como seu gráfico passa pelos pontos
(0; 0), (5; 25) e (15; 45):
0 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c
25 = a ⋅ 5 2 + b ⋅ 5 + c
45 = a ⋅ 15 2 + b ⋅ 15 + c
Questão 10
Suponha que um projétil de ataque partiu da
origem do sistema de coordenadas cartesianas
descrevendo uma parábola, conforme a figura.
a = −0,2
⇔ b = 6
c =0
Logo a equação procurada é y = −0,2x 2 + 6x.
b) Os projéteis irão se encontrar no ponto de coordenadas (x; y) tais que −0,2x 2 + 6x = −0,25x 2 +
+ 9x − 45 ⇔ x = 30 e assim,
y = −0,2 ⋅ 30 2 + 6 ⋅ 30 = 0. Logo o ponto onde os
projéteis se encontram é (30; 0), ponto em que
está localizado o alvo.