O remate do Ronaldo
...e o Modellus
António Manuel Marques do Amaral - LAMEGO - 1998
O remate do Ronaldo
e o Modellus
António Manuel Marques do Amaral - LAMEGO - 1998
O remate do Ronaldo
Educação e Matemática n.º 45
José Paulo Viana
A que distância da linha
de fundo vai ele rematar?
Ronaldo, o melhor
avançado do mundo,
corre com a bola nos
seus pés ao longo da
linha lateral do campo
de futebol,
perseguido de muito
perto por um defesa
da equipa
adversária...
Ronaldo quer rematar
à baliza mas claro que
só vai fazê-lo quando
estiver nas melhores
condições, isto é,
quando o ângulo com
que vê a baliza seja o
maior possível.
A distância à linha de fundo do remate do
Ronaldo
30
7,32
De acordo com os elementos da
figura, podemos obter:
37,32 30

d
7,32  d
d
d
tg  tg (    ) 

37,32 30 30  37,32  d 2
1

d
d




• Quando a amplitude do ângulo for máxima também será
máximo o valor da expressão anterior.
Os valores obtidos são:
dmax  30  37,32
max  Arctg
7,32
2  30  37,32
O Ronaldo rematará aproximadamente a 33,46 metros
da linha de fundo (6,24º).
O ângulo de remate em qualquer posição no
campo de futebol
C
Sejam C o comprimento de
meia linha de fundo,B a
largura da baliza, d a
distância do Ronaldo à linha
de fundo e x a distância à
linha lateral, conforme é
esquematizado na figura.
B
x
d




• Em qualquer posição no campo de futebol, a amplitude do
ângulo de remate é dada por:
  Arctg
Bd
d 2  (C  x)  B.(C  x)
A distância à linha de fundo para um ângulo de
remate máximo, em qualquer posição no campo
de futebol
O ângulo de remate é máximo para a distância da linha de
fundo dada pela expressão:
dmax 
(C  x)  B.(C  x) 
(C  B  x)(C  x)
• sendo a amplitude máxima do ângulo de remate dada pelo
valor de:
 max
B (C  x )  B.(C  x )
B
B
 Arctg
 Arctg
 Arctg
2(C  x )  B.(C  x )
2  dmax
2 (C  x )  B.(C  x )
O ângulo máximo de remate é obtido
2
B

quando Ronaldo se posicionar no terreno  x  C  
2
d2

de jogo sobre uma hipérbole equilátera de

1
2
2
B
B
vértices nos postes da baliza
e
focos


 
2
2
2
distanciados destes de  B   2
2
Outras curiosidades do ângulo máximo no
terreno de jogo
Considerando a figura, que esquematiza uma situação de
ângulo máximo de remate, obtém-se:
C
tg 



Cx
(C  x)  B.(C  x)
(C  x ) (C  x )  B.(C  x )
(C  x)  B.(C  x) d máx
(C  x)  B.(C  x)
(C  x )  B
B
x
T1
 máx

T2

 tg 
Fora da «faixa da baliza», o ângulo máximo de remate é obtido
quando forem iguais os ângulos adjacentes a este, com um
dos seus lados paralelo a um das linhas de fundo ou lateral.
Outras curiosidades do ângulo máximo no
terreno de jogo
C
B
x
T1
d máx
 máx

T2

Fora da «faixa da baliza», o ângulo máximo de remate é obtido
quando forem semelhantes os triângulos rectângulos T1 e T2,
sendo a razão de semelhança:
T1
r

T2
Cx
(C  x)  B.(C  x)

(C  x)  B.(C  x)
(C  x )  B
Outras curiosidades do ângulo máximo no
terreno de jogo
C
B
x
T1
d máx
 máx

T2

Fora da «faixa da baliza», o ângulo máximo de remate é obtido
quando forem semelhantes os rectângulos, R1 e R2,
construídos pelas respectivas diagonais, cujos extremos são a
posição do Ronaldo e cada um dos postes da baliza.
Outras curiosidades do ângulo máximo no
terreno de jogo
C
B
x
T1
d máx
 máx

T2

A distância à linha de fundo, para se obter ângulo máximo de
remate, é meio proporcional entre a largura de R1 e o
comprimento de R2, isto é:
dmax
Cx

dmax
(C  x )  B
Outras curiosidades do ângulo máximo no
terreno de jogo
Para se obter
ângulo máximo de
remate, a distância
à linha de fundo é o
comprimento do
lado do quadrado
de área equivalente
à do rectângulo
cujos comprimentos
dos lados são as
distâncias da
posição do Ronaldo
às rectas que são
paralelas às linhas
laterais e contêm os
postes das balizas.
Isto é:
C+B-x
C-x
d
 máx
x
d
 máx
O PROBLEMA DO Ronaldo É APENAS UM
PROBLEMA DE QUADRATURA DE UM
RECTÂNGULO.
Posição no campo de futebol para um ângulo de
remate constante
Como já vimos, tg  
Bd
d 2  (C  x)  B.(C  x)
Fazendo tg   k
Podemos obter:


2
B 
B 
B k 1 


 x  C    d 
 

2
2
k
2
k



 



2
2
2
Para ângulo de remate constante, o Ronaldo deve
posicionar-se sobre arcos de circunferência de raio e centros
variáveis, deslocando-se estes sobre uma recta paralela à linha
lateral e que contém o centro do terreno.
O remate do Ronaldo
...e o Sketchpad
António Manuel Marques do Amaral - LAMEGO - 1998
Ronaldo e o Sketchpad
(segundo a solução de João Janeiro)
C: (0.00, 0.00)
A: (30.00, 0.00)
B: (37.32, 0.00)
R: (0.00, -33.54)
C
A
B
Ronaldo e o Sketchpad
Segundo a s oluç ão de João J aneiro
yB - yR = 33.54
O des enho está feito à es c ala.
AB designa a baliza e R a posiç ão do Ronaldo s obre a linha lateral
Podemos desloc ar o ponto R sobre a linha lateral
m BRA = 6.24°
Animate
R
Sho w
Hid e
Ronaldo e o Sketchpad
(segundo a solução de Eduardo Veloso)
p
C: (0.00, 0.00)
A: (30.00, 0.00)
B: (37.32, 0.00)
R: (0.00, -33.47)
V
A
M B
C
Ronaldo e o Sketchpad
Segundo a solução de Eduardo Veloso
yB - yR = 33.47
m BRA = 6.24°
O desenho está feito à escala.
AB designa a baliza e R a posição do Ronaldo sobre a linha lateral
Podemos deslocar o ponto R sobre a linha lateral
m BOA = 12.48°
Anim ate
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C (A, MC)
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C (O, OA)
R
O
O remate do Ronaldo
FIM
António Manuel Marques do Amaral - LAMEGO - 1998