FORMAÇÃO DE PROFESSORES
Caderno Bimestral II
Matemática
Ensino Fundamental I
O programa Ação Educação da Fundação Vale tem como objetivo contribuir
para o desenvolvimento humano nos territórios onde atua, apoiando os municípios
em ações que contribuam para fomentar a justiça social e promover a inclusão
no mercado de trabalho da forma mais equânime possível.
Diretora Fundação Vale
Isis Pagy
Gerente - geral de Educação Fundação Vale
Joaquim Antônio Gonçalves
Equipe de Educação Fundação Vale
Andreia Prestes
Anna Cláudia Eutrópio B. d’Andrea
Cláudia Costa
Lílian Neves
Apoio editorial
Departamento de Comunicação Corporativa Vale
Parceiro
Comunidade Educativa CEDAC
Projeto Gráfico e Diagramação
Crama Design
Inventum Design
Matemática – Caderno Bimestral II
A resolução de problemas
do campo aditivo
Professor(a)
Neste segundo bimestre, vamos aprofundar o trabalho com a resolução de problemas que foi iniciado
no bimestre anterior, focando os problemas do campo aditivo. Teremos a oportunidade de trocar experiências, discutindo as dificuldades e os avanços que vivenciamos no trabalho com os problemas na
perspectiva colocada pelo Caderno Bimestral I.
Vamos conhecer uma classificação que se baseia nos vários significados que as operações de adição e
de subtração podem assumir. A ideia é incorporar a diversidade existente na prática com o ensino das
operações de adição e subtração ao longo dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Nossa tarefa prática será a de planejar o trabalho com problemas do campo aditivo. Também vamos coletar, organizar e analisar os procedimentos das crianças para resolvê-los, com a finalidade de refletir sobre como podemos intervir para favorecer as aprendizagens dos alunos.
Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes
neste bimestre:
Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo.
■
Apropriar-se do recurso à resolução de problemas, reconhecendo-o como ponto
de partida da aprendizagem matemática.
■
Reconhecer a importância da interação entre pares na elaboração do conhecimento,
promovendo as condições para que essa interação ocorra nas aulas.
■
Ampliar o repertório de possibilidades do ensino das operações do campo aditivo.
■
Coletar, organizar, analisar e interpretar informações sobre procedimentos dos alunos.
■
Elaborar e desenvolver projetos pessoais de estudo e trabalho, empenhando-se
em compartilhar a prática e produzir coletivamente.
■
1
Formação de Professores
Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos
os seguintes conteúdos:
Operações do campo aditivo: ideias da adição e subtração.
■
Identificação e classificação de problemas do campo aditivo.
■
Potencialidade da interação entre pares no trabalho com a resolução de problemas.
■
Acompanhamento das aprendizagens dos alunos relativas aos problemas do campo aditivo.
■
2
Matemática – Caderno Bimestral II
Encontro Presencial
Duração: 4h
Para começo de conversa
Duração: 30min
Pensar sobre a prática e compartilhar resultados
Começaremos este encontro retomando suas impressões a respeito da atividade de Aplicação Prática
proposta no bimestre anterior. Vamos centrar nossa atenção na dinâmica da atividade, nas interações e
no envolvimento dos alunos. O objetivo dessa atividade é promover uma troca a respeito dos fatores
que mais influenciaram os sucessos e as dificuldades naquela experiência vivida por todos do grupo.
Para isso, retome o seu “Registro da atividade: resolução de problemas”. Depois de relê-lo, prepare-se para trocar experiências com seus colegas.
1.Discuta com o grupo como foi aquela experiência. Nessa conversa, procure refletir e identificar:
Quais foram os ganhos para os alunos?
n
Quais foram os ganhos para você, na perspectiva do seu processo de formação?
n
Que dificuldades os alunos encontraram?
n
Que dificuldades você encontrou?
n
2.Leia com seus colegas, de forma compartilhada, os depoimentos de seis professores a respeito de
uma prática similar à que vocês realizaram. Durante a leitura, procure semelhanças entre o que é relatado e o que você vivenciou na realização daquela atividade.
Depoimento 1
Eu propus o problema para que os alunos resolvessem sozinhos. Depois, pedi que discutissem seus resultados em duplas ou trios. Da primeira vez, o resultado foi muito pobre, pois eles
não se engajaram em discutir, eles queriam acertar, alguns copiavam do colega que havia terminado e pronto. Precisei deixar muito claro, na discussão coletiva, que não estávamos interessados somente nas respostas certas, mas nos diferentes procedimentos. Na segunda vez
que trabalhei com problemas dessa maneira, percebi que eles já começaram a conversar mais
entre si, trocar ideias, comparar o que haviam feito.
Depoimento 2
Quando chamei alguns alunos para mostrar na lousa como haviam resolvido o problema, surgiram formas de chegar ao resultado que eu nem supunha que eles utilizassem. E, ainda por
cima, outras crianças diziam que tinham feito da mesma maneira! Foi uma surpresa para mim,
descobri muito a respeito dos procedimentos de resolução que eles usam.
3
Formação de Professores
Depoimento 3
Eu propus um problema sobre área que extraí do livro didático. Não houve muita troca entre
os alunos, eles queriam apenas corrigir as respostas. Na hora de discutir coletivamente os procedimentos de resolução, como não teve muita diversidade, também não houve muita discussão. Pensando a respeito, percebi que aquele problema era inadequado, já que não trazia
nenhum desafio novo, eles já tinham ferramentas para resolvê-lo. Foi apenas um treino, um
exercício. É preciso selecionar problemas desafiantes, em que as ferramentas ainda não estão
disponíveis. Para mim, isso é um desafio grande, pois o livro que eu adoto não tem essa abordagem, os problemas servem mais como aplicação do que já foi ensinado.
Depoimento 4
Eu acho que alguns alunos descobriram que a forma de eles pensarem pode estar certa, mesmo
quando é diferente da dos outros alunos ou da convencional. Viram que o que eles pensam e
acham tem valor, pois validamos na lousa aquele procedimento como um entre tantos outros.
Eles ficaram mais confiantes em si mesmos, e era isso mesmo o que eu queria que acontecesse.
Depoimento 5
Tive dificuldades quando um aluno foi mostrar na lousa para a turma como resolveu o problema. Ele se deu conta de que havia cometido um erro e ficou inseguro, com medo de ser ridicularizado pelos colegas. Por isso, não conseguiu pensar sobre seu erro.
Para evitar esse tipo de situação, já que sabemos da importância de formar nossos alunos sobre o respeito e a ética, percebi que temos de discutir com a classe como ajudar o amigo sem
constrangê-lo. Percebi que nós temos de criar um hábito de trabalhar com o erro, não valorizar o acerto e pronto, mas começar a tirar proveito dos erros, dar valor aos procedimentos de
cada um e extrair conclusões. Isso leva tempo!
Depoimento 6
No início, quando propus um problema que eles ainda não sabiam como resolver, foi difícil.
Algumas crianças nem começaram! Eu acho que elas estavam acostumadas de outro jeito.
Mas, depois, pedi que se agrupassem e mostrassem uns aos outros como pensaram. Também
pedi que escolhessem uma das soluções nos grupos. Quando fomos discutir as soluções com
toda a turma, aos poucos as crianças foram falando, entrando no jogo! Todos queriam explicar seus porquês! Foi muito rico.
Comunidade Educativa CEDAC
4
Matemática – Caderno Bimestral II
3.Com quais dos depoimentos lidos você mais se identificou, em relação àquela situação específica?
Selecione ao menos dois depoimentos que tenham relação com a sua vivência.
4.Depois de verificar as situações que foram mais frequentes para o grupo, conversem sobre os
prováveis fatores que as determinaram, sejam elas favoráveis ou não, respondendo a duas perguntas:
a. Quais foram os fatores que mais contribuíram para as vivências positivas?
b. Quais foram os fatores que mais contribuíram para as dinâmicas difíceis ou desfavoráveis? O que
vocês poderiam colocar em prática para mudar isso?
Para pensar
Para promover um clima favorável à aprendizagem, é fundamental que você conheça
os seus alunos, a realidade em que estão inseridos e a relação que têm com a escola
e o conhecimento. Aprender é desafiador! E as atividades matemáticas podem imprimir
um clima favorável e afetivo a essa relação.
Atividade de contextualização
Duração: 30min
1.Organize-se com seus colegas em grupos para ler a seguinte proposta:
Ana, professora do segundo ano, propôs alguns problemas aos seus alunos. Como sempre faz, ela os
orientou a registrar como fizeram para chegar ao resultado (seus procedimentos de resolução).
Depois da atividade, ao analisar os procedimentos utilizados pelos alunos, ela verificou que, para um
mesmo problema, alguns alunos usavam procedimentos de adição, enquanto outros utilizavam procedimentos ligados à ideia de subtração. Outro fato que ela verificou foi que a maioria dos alunos
mostrava maior dificuldade em alguns problemas, mesmo que os números envolvidos não fossem
maiores que nos outros problemas.
Ela ficou intrigada a respeito desses fatos. Gostaria de entender os porquês dos procedimentos diferentes e das dificuldades.
Eis os registros de alguns procedimentos de resolução. Em alguns deles, a professora anotou as falas
e justificativas dos alunos.
5
Formação de Professores
Problema 1.
Elisa tinha 12 balas, mas chupou 7. Quantas balas restaram?
Marineide
Paola
Problema 2.
Eu tinha algumas figurinhas. Joguei com meu amigo e ganhei 5. Por isso, fiquei com 11 figurinhas. Quantas eu tinha antes de jogar?
Luíza
“Das 11 , tiro essas que eu ganhei”
Felipe
”5 mais 6 dá 11”
Problema 3.
Marcos e seu primo, juntos, têm 13 bonequinhos de heróis. Se Marcos tem 8, quantos bonequi­
nhos tem o seu primo?
José Luís
“Oito. (Apontando) 9, 10, 11, 12, 13” 6
Cristiane
”Tirando os 8 do Marcos, ficam os do primo”
Matemática – Caderno Bimestral II
Problema 4.
Flora tem 5 anos e sua irmã Helena tem 3 a mais. Quantos anos a Helena tem?
Beatriz
João
“Estes aqui são os que a Helena tem a mais”
2.Analise com seu grupo os procedimentos utilizados pelos alunos para resolver os problemas.
Quais procedimentos podem ser associados à ideia de adição? E de subtração?
n
Um mesmo problema foi resolvido tanto por procedimentos ligados à ideia de adição
quanto de subtração?
n
Todas as resoluções foram consideradas corretas pela professora. O que você acha a respeito?
Também agiria assim? Por quê?
n
Qual (ou quais) problema(s) parece(m) ser mais desafiante(s)? Por quê?
n
3.Coletivamente, comparem as respostas do seu grupo com as dos demais grupos.
A prática em questão
Duração: 2h40min
Momento 1 – Os problemas do campo aditivo
1.Organize-se com seus colegas de grupo para ler de forma compartilhada o texto a seguir.
No trabalho proposto no bimestre anterior, enfatizamos a importância de assegurar que os
alunos busquem suas estratégias de resolução de problemas nas aulas de matemática.
Na atividade de contextualização deste caderno, constatamos que, ao resolver problemas de
adição e de subtração, as crianças alcançam seus resultados a partir de diferentes procedimentos, ora de adição, ora de subtração. Vimos que isso acontece mesmo naqueles problemas que nós, tradicionalmente, consideramos de adição ou de subtração. Também verificamos que os problemas são mais ou menos complexos graças às ideias que eles envolvem, e
não somente por apresentarem números grandes ou pequenos.
7
Formação de Professores
Essas questões foram objeto de interesse do pesquisador francês Gérard Vergnaud.
A partir de suas pesquisas, ele propôs que os problemas que tradicionalmente conhecíamos
como “problemas de adição” e “problemas de subtração” fossem reunidos em um só grupo denominado “problemas do campo aditivo”. Propõe que esses problemas sejam classificados de
uma nova forma: a partir das ideias que eles envolvem e não mais por uma só operação.
Assim, os problemas do campo aditivo são aqueles que envolvem ideias de adição e de sub­
tração. Eles são considerados pertencentes a uma mesma família, a um mesmo campo conceitual.
Veremos que no campo dos problemas aditivos existem tipos de problemas mais complexos
que outros, mas as dificuldades não se devem ao fato de eles serem “de adição” ou “de subtração”,
ou de envolverem números grandes ou pequenos (embora este seja um fator importante a ser
considerado). Veremos que há outros fatores que tornam os problemas mais ou menos complexos e desafiantes para os alunos: as ideias envolvidas (juntar, transformar, comparar), a própria
forma como o problema é proposto (seu enunciado) e o que é pedido nele (a incógnita).
Essa abordagem traz novas reflexões e indicações a respeito do ensino das operações fundamentais. Tradicionalmente, o ensino da adição tem sido proposto antes do ensino da subtração,
porque a adição é considerada uma operação mais fácil. Quando trabalhamos na abordagem
do campo aditivo, abandonamos essa separação e essa ordem no ensino das operações1. Passamos a considerar a importância de trabalhar com uma grande variedade de problemas do
campo aditivo durante todo o Ensino Fundamental 1, explorando a diversidade de ideias existente, com o intuito de ampliar progressivamente os conhecimentos das crianças a respeito
das operações de adição e de subtração.
Para saber mais
Gérard Vergnaud é um psicólogo francês que valoriza os caminhos que o aluno percorre para
solucionar um problema. Discípulo de Jean Piaget (1896-1980) e Lev Vygotsky (1896-1934),
Vergnaud sugere que diversas áreas do conhecimento sejam ensinadas sob a perspectiva dos
campos conceituais, a apreensão progressiva de conceitos por meio de um conjunto variado
de problemas, conteúdos, situações, estruturas e relações. Em matemática, desenvolveu a teoria dos campos conceituais (aditivo e multiplicativo).
Para saber mais sobre o trabalho desse pesquisador, leia as entrevistas em:
Revista Nova Escola - Edição Especial no 14, ano 2007, ou no link http://revistaescola.abril.
com.br/matematica/fundamentos/somar-subtrair-operacoes-irmas-500497.shtml
n
Revista Nova Escola, no 215, ano 2008, ou no link http://revistaescola.abril.com.br/matematica/ fundamentos/todos-perdem-quando-nao-usamos-pesquisa-pratica-427238.shtml
n
Comunidade Educativa CEDAC
1Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, a Prova Brasil e o Saeb incorporaram essas propostas didáticas ao tratar
das operações.
8
Matemática – Caderno Bimestral II
2.Vamos nos deter agora a estudar os tipos de problemas do campo aditivo. A proposta aqui é que
você, junto com seus colegas, realize duas ações, tal como proposto na formação em língua portuguesa, quando também estudaram um texto de fundamentação teórica:
a. Leiam o texto “Problemas aditivos”, a respeito da classificação de problemas.
b. Grifem no texto as ideias que interessam a este estudo. Dessa forma, vocês estarão trabalhando
também uma importante competência para a profissão docente, que é a de estudar textos teóricos.
Problemas aditivos
Apresentaremos uma classificação de problemas a partir das características dos enunciados
e das ideias das operações, a saber:
Problemas em que algo mudou, uma quantidade aumentou ou diminuiu, enfim, ocorreu uma
transformação positiva ou negativa (ideia de acrescentar, da adição, ou de tirar, da subtração)
n
Esta classe de problemas inclui aqueles nos quais encontramos um estado inicial, uma transformação que opera sobre ele e que conduz a um estado final. Por exemplo: “Pedro tinha 17 figurinhas
em seu álbum. Ganhou algumas de seus colegas e agora tem 29. Quantas figurinhas Pedro ganhou?”
Dentro desta estrutura, a transformação pode ser positiva ou negativa: “Tinha 17 figurinhas
e ganhou 12...” (ideia de acrescentar) ou “Tinha 17 figurinhas e perdeu 12...” (ideia de tirar).
É possível também variar o lugar da incógnita, do termo desconhecido. Ela pode estar no
estado final (“Tinha 17 figurinhas e ganhei 12, com quantas fiquei?”), na transformação (“Tinha 17 figurinhas, ganhei algumas, fiquei com 29, quantas ganhei?”) ou no estado inicial (“Tinha algumas figurinhas, ganhei 12 e fiquei com 29, quantas tinha inicialmente?”).
Dentro desta categoria, os problemas de transformação positiva ou negativa cujas perguntas se referem ao estado final são os que, em geral, apresentam menor grau de dificuldade em sua resolução, porque basta aplicar a transformação que se propõe ao estado inicial. A procura pelo estado inicial é muito mais complexa para as crianças.
Problemas em que duas ou mais medidas se combinam para formar outra medida (ideia de
juntar da adição e de separar da subtração)
n
Por exemplo: “No pomar de Pedro há 17 pés de laranja-lima e 12 limoeiros. Quantas árvores
frutíferas há no pomar de Pedro?” (ideia de juntar).
Neste caso, não ocorrem transformações, nem acontecem mudanças numa sequência temporal: 17 e 12 são medidas das duas coleções, e 29 é o resultado de uma composição de medidas.
A partir dessa situação, podemos encontrar dois tipos de problemas: um mais simples,
quando é preciso encontrar o total, como no exemplo acima, e outro mais complexo,
quando é preciso encontrar uma das medidas: “Pedro tem 29 árvores frutíferas em seu pomar. Algumas são pés de laranja-lima e 12 são limoeiros. Quantos pés de laranja-lima há no
pomar de Pedro?” (ideia de separar ou completar).
9
Formação de Professores
Problemas que relacionam duas medidas (ideia de comparação)
n
Este tipo de problema envolve uma relação estática entre ambas as medidas, uma comparação entre elas. Não existem transformações. Por exemplo: “Pedro tem 17 figurinhas e Carlos
tem 23. Quantas figurinhas Carlos tem a mais que Pedro?”
Nota-se que a quantidade de figurinhas de cada menino não se altera.
Também neste caso é possível variar o lugar onde está a pergunta. É possível formular um
enunciado em que a pergunta recaia sobre a relação entre as medidas, como no nosso exemplo, mas também é possível formular enunciados em que a pergunta incida sobre uma das coleções. Por exemplo: “Pedro tem 17 figurinhas. Carlos tem 6 a mais que Pedro. Quantas figurinhas
Carlos tem?”. As variações também podem ocorrer na maneira como se formula a relação entre
as medidas: “mais que” ou “menos que”, “quantos a mais”, “quantos a menos”, “qual é a diferença”.
Este tipo de problema é de uma complexidade maior que os dois precedentes, porque
não é simples a associação de uma operação com a ideia de comparação. A compreensão
da situação enunciada representa um obstáculo para as crianças, pois a relação com a subtração não é evidente inicialmente. Além disso, os termos “mais que” ou “quantos a mais”
podem-se configurar como pistas falsas da operação a ser utilizada, levando os estudantes
a realizarem uma adição ao invés da subtração.
Problemas que envolvem a composição de duas ou mais transformações que dão lugar
a outra transformação
n
São problemas do tipo: “Pedro perdeu 8 figurinhas na primeira partida de um jogo e, na segunda, perdeu outras 4. Quantas figurinhas Pedro perdeu no jogo?” ou “Pedro perdeu 7 figurinhas na
primeira partida de um jogo e ganhou 5 na segunda partida, terminando o jogo com 16 figurinhas. Com quantas figurinhas Pedro iniciou o jogo?”
Também neste grupo, os problemas podem variar de acordo com as transformações, positivas ou negativas. As duas podem ser do mesmo tipo ou de tipos diferentes. O segundo
caso torna o problema bem mais complexo. É possível ainda variar o lugar da pergunta,
que pode recair sobre a transformação composta, como no primeiro exemplo citado anteriormente, ou também pode pedir para que se encontre uma das transformações elementares. Por exem­plo: “Na primeira partida, Pedro perdeu 8 figurinhas e, na segunda, perdeu mais
algumas. No total Pedro perdeu 13 figurinhas. Quantas ele perdeu na segunda partida?”
Outros exemplos de questões que exploram a composição de transformações são os seguintes:
“João está juntando dinheiro para comprar uma televisão e um fogão. Ele já possui R$ 976,00.
Resolveu comprar o fogão, que custou R$ 599,00. Quanto ainda precisa juntar para comprar
uma televisão que custa R$ 750,00?”
“Júlia estava brincando com seus amigos de bolinhas de gude. Júlia tinha várias bolinhas, mas,
na primeira partida, perdeu 5 bolinhas. Na segunda, ganhou 8 bolinhas. E na terceira partida,
perdeu 4 bolinhas, ficando com 21 bolinhas. Quantas bolinhas Júlia tinha no início do jogo?”
10
Matemática – Caderno Bimestral II
É necessário, então, explorar toda essa diversidade de tipos de problemas em sala de aula, para
que os estudantes se familiarizem com os diferentes tipos, podendo relacionar problemas já
conhecidos e discutidos durante as aulas com os novos problemas que terão de enfrentar.
[...]
É importante destacar que os nomes das diferentes categorias ou subclasses de problemas são
instrumentos de trabalho para o professor – para selecionar, comparar, analisar e propor diferentes problemas para os estudantes –, mas essa classificação não deve ser apresentada às crianças.
Matemática: orientações para o professor. Saeb/Prova Brasil – 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental. pp. 98-100.
3.A seguir, temos uma lista de problemas do campo aditivo. Leia os problemas com seus colegas, procurando identificar quais são as ideias contidas em cada um: combinar, transformar e comparar. Para
fazer essa tarefa, retome as ideias apresentadas no texto lido.
Lista de problemas
1. Camila tem 6 anos e André tem 11. Quantos anos André tem a mais que Camila?
2. Guilherme foi ao supermercado com algum dinheiro na carteira. Gastou com suas compras R$ 15,00
e voltou para casa com R$ 24,00. Quanto Guilherme tinha na carteira antes de fazer a compra
no supermercado?
3. Paulo tem 5 livros que estão guardados no seu armário e 7 que estão em cima de sua mesa.
Quantos livros ele tem?
4. Pedro tinha no seu cofrinho R$ 86,00. Ganhou de seus avós R$ 15,00, e também colocou no cofrinho. Quanto ele já tem guardado?
5. No minizoo da minha cidade há 36 animais. Se já vi 15 animais, quantos estão faltando para eu ver?
6. Dona Bete deu um pacote com 12 balas a cada um dos netos: Fábio, Valéria e Marcelo.
a. A Valéria comeu 8 balas do pacote. Quantas restam?
b. O Fábio comeu 6 balas, deu algumas para seu amigo e ainda restam 4. Quantas ele deu ao amigo?
c. O Marcelo comeu 2 na mesma hora, outras 5 no cinema e mais 3 em casa. Quantas balas ele
ainda tem?
7. Depois de ganhar de aniversário 26 adesivos, a coleção de Camila passou a ter 80 adesivos. Quantos
ela tinha antes de seu aniversário?
8. Eu e meu irmão fomos à praia e apanhamos conchinhas. Eu peguei 7 conchinhas. Se ele pegou 6
a mais que eu, quantas ele apanhou?
9. Mariana, Gabriel e Laura estavam jogando.
a. A peça da Mariana estava na casa 8. Ela jogou o dado e avançou para a casa 13. Quantos pontos ela tirou no dado?
b. A peça do Gabriel estava na casa 15. Nessa casa, havia uma penalidade: depois de lançar o dado, ele
teria que recuar em vez de avançar. Ele jogou o dado e voltou para a casa 9. Quanto ele tirou no dado?
c. Laura também sofreu penalidade e teve de recuar 5 casas, até a casa 10. Em que casa a peça
da Laura estava?
11
Formação de Professores
4.Utilizando a proposta de classificação apresentada no texto que foi lido, organize os problemas do
item anterior neste quadro :
Quadro de classificação dos problemas do campo aditivo
Classificação
Quais problemas fazem
parte desse grupo?
Identifique-os pela
numeração usada
na lista de problemas
Esquema
Problemas em que duas
ou mais medidas se combinam
para formar outra medida
A
O valor desconhecido (a incógnita)
é o resultado da combinação
B
Problemas em que duas
ou mais medidas se combinam
para formar outra medida
A
O valor desconhecido (a incógnita)
é uma das medidas
?
{
?
{
C
Problemas de transformação positiva
O valor desconhecido
(a incógnita) é o estado final
A
+B
?
?
+B
C
A
?
C
A
-B
?
?
-B
C
Problemas de transformação positiva
O valor desconhecido
(a incógnita) é o estado inicial
Problemas de transformação positiva
O valor desconhecido
(a incógnita) é a transformação
Problemas de transformação negativa
O valor desconhecido
(a incógnita) é o estado final
Problemas de transformação negativa
O valor desconhecido
(a incógnita) é o estado inicial
12
Matemática – Caderno Bimestral II
Problemas de transformação negativa
O valor desconhecido
(a incógnita) é a transformação
A
C
?
?
Problemas que relacionam duas
medidas (ideia de comparação)
O valor desconhecido
(a incógnita) é uma das medidas
A
B
C
Problemas que relacionam duas
medidas (ideia de comparação)
O valor desconhecido (a incógnita)
é a relação entre as medidas
A
Duas transformações se compõem
para dar lugar a outra transformação
±B
O valor desconhecido (a incógnita) varia:
pode ser um dos estados (inicial ou final)
ou uma das transformações
A
?
±D
C
E
Observação: no âmbito do estudo deste Caderno Bimestral não estão incluídos os problemas de estados relativos (a exemplo dos Parâmetros Curriculares Nacionais). Entretanto, para os professores do
4º e 5º anos, sugerimos a leitura das páginas 21 e 22 do livro As operações matemáticas no ensino fundamental I, indicado na seção Sugestões de Leituras Complementares.
5. Para verificar as respostas e dúvidas, consultem o gabarito comentado desse quadro presente no fim
desta publicação.
Momento 2 – Como o trabalho com o campo aditivo
está sendo realizado em sua sala de aula?
Nesta etapa, continuaremos pensando sobre a complexidade envolvida no trabalho com o campo aditivo na sala de aula.
1.Individualmente, a partir do que foi discutido no momento anterior, responda às questões abaixo:
Como você trabalha com os problemas do campo aditivo em sua sala de aula? Já tinha se dado conta da diversidade de problemas que fazem parte desse campo? Como esses diferentes tipos aparecem em sua prática?
13
Formação de Professores
2.Coletivamente, socializem suas anotações e busquem identificar o que, para o grupo:
está assegurado em relação ao trabalho com o campo aditivo;
n
ainda não aparece no trabalho realizado em sala de aula;
n
quais são as maiores dificuldades por parte de vocês, professores, e de seus alunos.
n
3.É importante destacar que o planejamento do trabalho com os diferentes tipos de problemas do
campo aditivo deve ocorrer ao longo de todo o Ensino Fundamental. Leiam as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais:
A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta
de diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração
deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos números
e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades
lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que
os alunos dispõem.
Parâmetros Curriculares Nacionais (1ª a 4ª série) – Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. pp. 105.
Momento 3 – Planejamento passo a passo
1.No desenvolvimento das atividades que você realizou até este momento, pôde compreender a diversidade de problemas que fazem parte do campo aditivo. Agora vamos pensar na prática de sala
de aula. Para isso, planejaremos uma situação de trabalho com problemas desse campo do tipo
transformação positiva, considerando as incógnitas nos diferentes lugares. Para tanto, tenha em
mãos o livro didático adotado por sua escola.
No contexto do estudo deste bimestre, em que a proposta é realizar um levantamento diagnóstico
a respeito de como seus alunos resolvem os problemas de transformação positiva do campo aditivo,
introduzimos mais um conteúdo de reflexão: o acompanhamento das aprendizagens dos alunos.
Esse conteúdo estará presente em outros bimestres também. Ao fim desta etapa de planejamento,
discutiremos a importância dos registros para auxiliar o acompanhamento.
14
Matemática – Caderno Bimestral II
Quadro de etapas a serem asseguradas para o planejamento da atividade
de resolução de problemas do campo aditivo
Etapas
Orientações
Eleja três problemas para trabalhar com seus alunos.
n
Você pode escolher os problemas do livro didático
adotado ou da lista de problemas usada no Momento 1,
mas, nesse caso, pode ser necessário adequar a ordem de
grandeza dos números para a série com a qual trabalha.
É importante que todos os problemas selecionados
sejam de transformação positiva, e que cada um tenha
a incógnita em lugares diferentes: um no estado inicial,
um na transformação e um terceiro no estado final.
Selecionar, conhecer e preparar a situação
Como se trata de um levantamento diagnóstico,
n
você precisará recolher as produções dos alunos.
Então, pense em como o problema será apresentado
para eles. Qual suporte será utilizado pelos alunos na
resolução (caderno, folha xerografada, livro didático...)?
Descritor 19 – resolver problemas com números
n
naturais, envolvendo diferentes significados da adição
ou subtração: juntar, alteração do estado inicial (positiva
ou negativa), comparação e mais de uma transformação
(positiva ou negativa).
Obs.: para os fins deste estudo, vamos trabalhar com
as transformações positivas considerando as incógnitas
no estado inicial, final e na transformação.
Competências e habilidades discentes
a serem desenvolvidas
Inclua outras competências envolvidas na resolução
n
de problemas usando o quadro (*) que se encontra
no fim do item 2.
Como serão organizadas as etapas desse trabalho?
n
Os três problemas serão propostos juntos ou serão
divididos por aulas?
Organizar as etapas de trabalho com os alunos no
tempo e no espaço da sala de aula
Como os alunos estarão organizados em cada etapa?
n
Para planejar esse item, retome o que foi discutido
no caderno do bimestre anterior sobre interação entre
pares. Destacamos que somente a etapa inicial de
resolução precisa ser individual para que você possa
registrar as resoluções dos alunos, mas as seguintes
podem ser em grupos ou coletiva.
Procure antecipar qual será seu papel em cada etapa
n
de trabalho, como irá intervir com os alunos que
tiverem mais dificuldade (só tenha em mente que, por
se tratar de um levantamento diagnóstico, é importante
registrar as dificuldades que os alunos apresentarem).
O papel do professor
Como irá orientar seus alunos para a realização dessa
n
Conversar com os alunos
tarefa? O que poderá ser ou não antecipado para
o aluno? Por exemplo, deixar claro que devem escolher
a estratégia para a resolução de cada problema, mas
não antecipar a operação que deverão usar.
15
Formação de Professores
Depois de ter preenchido a pauta de observação,
n
Desenvolvimento do momento coletivo
após a resolução dos problemas
após a primeira etapa individual, como será realizada
a socialização das resoluções dos problemas? Você fará
uma socialização após a resolução de cada um dos
problemas ou depois da realização dos três?
Como fará em relação às diferentes estratégias que
n
provavelmente irão aparecer? Vai pedir que os alunos
contem como fizeram ou você irá expor as estratégias
dos alunos? Usará o registro na lousa como apoio?
Organize-se para preencher a pauta de
n
Avaliar a atividade
acompanhamento das aprendizagens. Ela será
importante para você conhecer as estratégias,
os saberes e as dificuldades dos seus alunos.
Para pensar
Durante a etapa de socialização, é importante ficar atento à participação de seus alunos
para acolher, respeitar e considerar seus comentários, dando voz a todos, principalmente
àqueles que pouco participam.
2.Em pequenos grupos (organizados pelo ano escolar em que atuam), utilizem o roteiro de planejamento que segue e planejem a atividade de resolução de problemas do campo aditivo do tipo transformação positiva. Usem como referência o quadro de planejamento anterior.
Roteiro para planejamento da atividade de levantamento diagnóstico de resolução
de problemas do campo aditivo – transformação positiva
Situações-problema:
123Fonte:
Etapas:
Selecionar, conhecer e preparar
a situação-problema
16
Planejamento: descrever os procedimentos a serem
feitos, o material que será utilizado e o tempo previsto
para a atividade (ou cada parte da atividade).
Matemática – Caderno Bimestral II
Competências e habilidades
discentes a serem desenvolvidas
Organizar as etapas de trabalho com alunos
no tempo e no espaço da sala de aula
O papel do professor
Conversar com os alunos
Desenvolvimento do momento coletivo
após a resolução da situação-problema
* Para definir as competências discentes que serão trabalhadas, você pode se basear também no
quadro que segue:
Competências dos alunos envolvidas
na interação entre pares
Competências dos alunos envolvidas
na resolução de problemas
Trabalhar coletivamente supõe uma série
de aprendizagens, como:
Resolver um problema pressupõe que o aluno:
n
perceber que, além de buscar a solução
para uma situação proposta, devem cooperar
para resolvê-la e chegar a um consenso;
n
n
n
saber explicitar o próprio pensamento e tentar
compreender o pensamento do outro;
discutir as dúvidas, assumir que as soluções
elabore um ou vários procedimentos de resolução
(como, por exemplo, realizar simulações, fazer
tentativas, formular hipóteses);
n
compare seus resultados
com os de outros alunos;
n
valide seus procedimentos.
dos outros fazem sentido e persistir na tentativa
de construir suas próprias ideias;
n
incorporar soluções alternativas, reestruturar
e ampliar a compreensão acerca dos conceitos
envolvidos nas situações e, desse modo, aprender.
Parâmetros Curriculares Nacionais – (1ª a 4ª série) Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. p. 41 e p. 44.
3.Neste estudo, apresentamos um modelo de pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos (essa pauta encontra-se presente na seção Aplicação Prática desta publicação e no Portal de
Aprendizagem). Junto com seu grupo, analise como esse instrumento foi organizado, o que há em
cada campo e antecipe seu preenchimento tirando dúvidas com os colegas. O preenchimento dessa pauta será feito no momento de Aplicação Prática; a proposta agora é apenas a discussão e análise
desse documento.
17
Formação de Professores
Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos
Conteúdo: PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO – TRANSFORMAÇÃO POSITIVA
Data:
Nome
dos
alunos
Acertou
tudo
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Utilizou
estratégia
adequada,
mas errou
algum
cálculo
Utilizou
estratégia
adequada,
mas errou
algum
cálculo
Utilizou
estratégia
adequada,
mas errou
algum
cálculo
Não
acertou
Acertou
tudo
Não
acertou
Acertou
tudo
Não
acertou
Possibilidades interdisciplinares: a pauta de acompanhamento é um instrumento
importante para o professor em qualquer campo disciplinar, na medida em que
permite orientar a prática de forma fundamentada nas reais necessidades dos alunos.
Quando o professor realiza esse acompanhamento de forma sistemática, além
de conhecer as demandas da classe, ele se apropria de informações a respeito
dos processos individuais de seus alunos. Essas informações são indispensáveis
para avaliar as crianças e pensar nas melhores estratégias para potencializar
suas aprendizagens.
3.Leiam a contribuição dos Parâmetros Curriculares Nacionais.
Mudanças na definição de objetivos para o Ensino Fundamental, na maneira de conceber a
aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam
repensar sobre as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que
inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução de problemas, o
trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros.
Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos para registrar observações sobre os alunos. (...)
18
Matemática – Caderno Bimestral II
Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, postura
em sala, constituem indícios de competências e, como tal, devem ser considerados. A tarefa do
avaliador constitui um permanente exercício de interpretação de sinais, de indícios, a partir dos
quais manifesta juízos de valor que lhe permitem reorganizar a atividade pedagógica.
Parâmetros Curriculares Nacionais - (1ª a 4ª série) – Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. p. 58 e p. 59.
E depois...
Nesta formação presencial, propusemos que você planejasse, desenvolvesse e avaliasse uma atividade
com problemas envolvendo transformação positiva.
Sugerimos que você desenvolva com sua turma atividades similares com problemas que envolvam os
outros sentidos da adição e da subtração: combinação, transformação negativa, comparação e composição de mais de uma transformação.
Enfim, a sugestão é explorar os problemas do campo aditivo ao longo de todo o ano, ampliando cada
vez mais a compreensão dos alunos sobre a adição e subtração.
Avaliação do encontro
Duração: 10min
Este é um momento para você avaliar como foi este Encontro Presencial.
Você terá acesso a uma avaliação avulsa. Preencha com bastante atenção e empenho, pois o objetivo é
melhorar cada vez mais esse programa de formação para você.
Preparação para o próximo encontro
Para o próximo Encontro Presencial, você vai precisar:
Do livro didático de matemática adotado pela sua escola.
n
De alguns registros (diferentes entre si) de resoluções de problemas feitos pelos seus alunos.
n
Do registro que você fez sobre a atividade de Aplicação Prática
(que foi planejada no 2° encontro e desenvolvida em sua sala de aula).
n
Do texto e seu registro da atividade de Reflexão sobre a Prática.
n
Do Caderno de Metodologia.
n
Deste Caderno Bimestral II.
n
19
Formação de Professores
Sugestões de leituras complementares
BROITMAN, Claudia. Mudam os problemas, mudam os procedimentos de resolução. In: BROITMAN,
Claudia (trad. Rodrigo Vilela). As operações matemáticas no ensino fundamental I: contribuições para o
trabalho em sala de aula. São Paulo: Ática, 2011. (Nós da educação).
n
BROITMAN, Claudia. Somar não é sempre juntar, subtrair nem sempre é tirar. In: BROITMAN, Claudia
(trad. Rodrigo Vilela). As operações matemáticas no ensino fundamental I: contribuições para o trabalho
em sala de aula. São Paulo: Ática, 2011. (Nós da educação).
n
VERGNAUD, Gérard. A criança, a matemática e a realidade – Problemas do ensino da matemática na escola elementar. Curitiba: UFPR, 2009.
n
PENAS, Fernanda. Suma y resta, in CASTRO, Adriana et al. Enseñar matemática em la escuela primaria.
Buenos Aires: Tinta Fresca, 2011.
n
Aplicação Prática
Duração: 4h
A proposta aqui é que você desenvolva com seus alunos a atividade de levantamento diagnóstico de
resolução de problemas do campo aditivo que foi planejada. Para isso, siga os passos a seguir:
Releia o planejamento e procure esclarecer eventuais dúvidas com seus colegas de escola.
n
Lembre-se das competências discentes que trabalhará na atividade e também dos encaminhamentos
que planejou.
n
Se planejou usar como suporte para apresentação da atividade algum material, como cartaz ou folha
xerografada, é preciso já ter em mãos esse material no momento da aplicação da atividade.
n
Realize a atividade em sua sala de aula, levando em consideração os aspectos discutidos no Encontro Presencial sobre o trabalho com o campo aditivo. Considere também os princípios de trabalho
discutidos no bimestre anterior sobre o papel da resolução de problemas e da interação entre pares
nas aulas de matemática.
n
20
Matemática – Caderno Bimestral II
Registrando a prática
1.Depois do desenvolvimento da atividade em sua sala de aula, preencha a pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos (para isso você precisará ter em mãos as produções de seus alunos).
Use como modelo a pauta a seguir, que já foi analisada por você no Encontro Presencial. Se preferir,
você pode imprimir uma versão desta pauta no Portal de Aprendizagem.
Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos
Conteúdo: PROBLEMAS DO CAMPO ADITIVO – TRANSFORMAÇÃO POSITIVA
Data:
Nome
dos
alunos
Acertou
tudo
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Utilizou
estratégia
adequada,
mas errou
algum
cálculo
Utilizou
estratégia
adequada,
mas errou
algum
cálculo
Utilizou
estratégia
adequada,
mas errou
algum
cálculo
Não
acertou
Acertou
tudo
Não
acertou
Acertou
tudo
Não
acertou
21
Formação de Professores
2.Agora faça o registro reflexivo da atividade utilizando o modelo a seguir:
Registro da atividade – problemas do campo aditivo (transformação positiva)
Município:
Escola:
Professor:
Ano/Série:
Quantidade de alunos presentes no(s) dia(s) da atividade:
Tempo utilizado para realização da atividade:
1. Quais foram os problemas propostos? Preencha a tabela abaixo, anotando o problema utilizado em cada caso:
Classificação do problema
Problema 1
Envolve uma transformação
positiva, com a incógnita no
estado inicial.
Problema 2
Envolve uma transformação
positiva, com a incógnita na
transformação.
Problema 3
Envolve uma transformação
positiva, com a incógnita no
estado final.
Problema
2. Comente como os alunos participaram de cada etapa (concentração, envolvimento etc.).
Por que você acha que eles agiram dessa maneira?
Quantos alunos acertaram?
Quantos alunos erraram?
Problema 1
Problema 2
Problema 3
3. Houve algum (ou alguns) problema(s) que todos acertaram? Qual (ou quais)?
4. Na sua avaliação, em qual dos problemas os alunos tiveram mais dificuldade? Por que isso ocorreu?
5. Analise as estratégias de resolução usadas pelos alunos nos três problemas propostos.
Registre na tabela a estratégia mais frequente em cada caso.
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Releia e revise o texto das suas respostas antes de colocá-lo no Portal de Aprendizagem (esses documentos também estarão disponíveis no Portal de Aprendizagem).
22
Matemática – Caderno Bimestral II
Atividade Virtual
Duração: 4h
Para ampliar sua reflexão sobre os problemas do campo aditivo, analise o estudo de caso que está no
Portal de Aprendizagem. Reflita e registre suas conclusões participando do Fórum de Discussões.
Primeiro, uma retomada importante
1. Na atividade de Aplicação Prática deste Caderno Bimestral, uma de suas tarefas era identificar quais tipos de problemas de transformação positiva os alunos de sua turma já conseguem realizar. Além disso, você procurou identificar como os alunos resolveram esses problemas. Esse levantamento permite que você planeje novas situações e atividades com problemas do campo aditivo que contemplem as reais necessidades de seu grupo. Ou seja, se a maioria dos alunos já consegue resolver problemas em que a incógnita está no estado final (A + B = ?), é sinal de que essa situação não é muito
complexa para eles. Por isso, situações desse tipo não podem mais ser consideradas como problemas,
mas como exercícios. Uma de suas metas de trabalho seria, então, planejar situações que envolvam
as outras ideias do campo aditivo e que sejam desafiadoras para os alunos.
Para que você pudesse ter um panorama, uma fotografia dos conhecimentos de sua turma em relação
a essa categoria de problemas, introduzimos uma reflexão sobre a importância do acompanhamento das aprendizagens dos alunos. E propusemos um instrumento de verificação e análise.
É possível que em sua turma você tenha encontrado muitos tipos de procedimentos diferentes entre si. Que intervenções você, professor, pode fazer a esse respeito, para favorecer a aprendizagem
dos alunos? Esse é o tema deste Encontro Virtual.
Agora, a nova proposta
2.O objetivo da Atividade Virtual é ampliar a discussão sobre os problemas do campo aditivo e retomar
o importante conteúdo tratado no Caderno Bimestral I – a interação entre pares –, pois acreditamos
que tais interações são férteis para o aprendizado de todos. Por isso, escolhemos colocar em debate
a potencialidade das discussões em grupos e coletivas no trabalho com a resolução de problemas
desse campo. Participe do fórum refletindo e dando sua opinião.
Estudo de caso – É ”de mais” ou é “de menos”?
Apresentamos fragmentos de uma aula que aconteceu no início do ano em uma turma de 2o
ano do Ensino Fundamental. Leia as três partes destacadas e, em seguida, analise as reflexões
de duas professoras sobre a aula, respondendo às propostas que serão feitas ao final.
Primeira parte
A professora Cristina escreveu a situação-problema na lousa e estipulou um tempo para que
pensassem na resolução individualmente.
23
Formação de Professores
Luiz ganhou 15 figurinhas da sua tia. Depois de colar todas elas em seu álbum, verificou que ficou com
um total de 35. Quantas figurinhas havia no álbum antes de Luiz colar as que ganhou da sua tia?
Em seguida, ela organizou grupos de quatro crianças e entregou uma única cópia da situação-problema para cada grupo. Pediu que conversassem sobre como poderiam resolver e
que registrassem seus procedimentos. Também informou que, depois de chegarem a um
acordo sobre a resolução, deveriam apresentar o resultado ao grupo todo. Ela ficou circulando entre os grupos, observando as discussões e ajudando a resolver pequenos conflitos.
Segunda parte
A professora Cristina pede que cada grupo apresente sua resolução aos demais colegas da
turma, divide a lousa em sete partes (que é a quantidade de grupos) e observa as explicações.
Grupo 1: A gente pensou que ele colou 35, mas a tia dele só deu 15 figurinhas, então a gente precisava descobrir quantas ele tinha antes. Deu 20 antes, porque 20 mais 15 dá 35. É de mais.
20 + 15 = 35 (João explica: 20 + 10 a gente já sabia que dava 30; e 30 + 5 é 35.)
Grupo 2: A gente concorda que é de mais, porque ele ganhou, então é de mais mesmo. Só que
o nosso deu 50. Olha:
15 + 35 =
10 + 30 = 40
5 + 5 = 10
40 + 10 = 50
Grupo 3: A gente acha que é de tirar, porque tem que tirar o 15 que a tia dele deu pra ficar o que ele tinha antes dela dar as outras. Aí, 35 tirando o 15 dá 20, porque 30 tira 10 é 20 e 5 tira 5 é zero. Só 20 mesmo.
35 – 15 = 20
Ana Paula, que é do grupo 1 diz: Como pode ser de tirar se ele ganhou figurinhas da tia dele? Não
dá pra ser de tirar!
Viviane, que é do grupo 3 responde: É que a gente se lembrou do problema que a gente fez outro dia
e podia ser de tirar também. Aqui precisava tirar pra achar quanto ele tinha antes.
Grupos 4 e 5 repetem o resultado 50, assim como o grupo 2.
Grupo 6: O que foi difícil foi achar quanto que ele tinha antes da tia dele dar as 15 figurinhas, porque só
depois que ele ficou com 35. Então a gente foi acrescentando do 15 até chegar no 35, um por um. Deu 20.
15 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 35
20
24
Matemática – Caderno Bimestral II
Luísa, que é deste mesmo grupo: Mas a gente acha que é de mais porque ele ganhou e não perdeu.
E o grupo da Pietra (que é do grupo 3) falou que é de tirar. Cada grupo fez como conseguiu fazer!
Grupo 7: Bom, deu 20 também. A gente tá concordando que é de tirar porque se ele ganhou 15
não dava pra saber quantas ele tinha antes de colar no álbum. Mas foi o Lucas que deu essa dica
pra gente. Aí, eu resolvi dar a dica de colocar as 35 figurinhas e tirar as 15 que ele ganhou. O que sobrou foi o que ele já tinha antes da tia dele dar as figurinhas. Aí ficou bem fácil tirar.
/////////////////////////////////// 20
Terceira parte
A professora toma a palavra e começa a direcionar a discussão:
Professora Cristina: Primeiro, vamos pensar nos resultados que os grupos expuseram na lousa,
certo? Alguns acham que o resultado é 20 e outros acham que é 50. Vamos verificar juntos. Podemos ter esses dois resultados como certos?
Lucas: Eu acho que 50 não pode ser, é muito.
Professora Cristina: Mas por que é muito?
Lucas: Porque ele só colou 35 e 50 é mais que 35. No problema não fala que ele colou 50 figurinhas,
o máximo que ele colou foi 35.
Sérgio: É mesmo, nunca pode ser mais que 35! 35 já é o máximo que ele colou.
Professora Cristina: Quer dizer então que ele ficou com 35 figurinhas no fim de tudo? Então, ele
tinha menos de 35 antes de ganhar?
Vários alunos: É, é!
Professora Cristina: Então, nós conseguimos chegar a uma conclusão, não foi? Não é possível
somar os números que aparecem no problema, apenas. O 35 significa o total de figurinhas que o
Luiz colou em seu álbum e 15 foram as figurinhas que ele ganhou. Qual era o maior desafio, então?
Ana Paula: Era descobrir quantas figurinhas ele tinha antes da tia dele dar as outras figurinhas para ele, pra juntar com as que ele ganhou dela e ficar 35 no total pra colar.
Professora Cristina: E por que alguns grupos acham que o problema pode ser resolvido com
uma subtração?
Viviane: Porque quando a gente TIROU AQUI (falou dando ênfase às palavras) foi pra achar quanto ele tinha antes de ganhar. A gente tirou o que ele ganhou pra saber quanto ele tinha antes de ganhar. Então é de menos, de subtrair, mesmo que ele ganhou figurinhas. É de menos só pra descobrir
quantas ele já tinha. Dá pra ser de menos, sim.
25
Formação de Professores
Professora Cristina: Isso mesmo! Mas outros grupos também chegaram ao mesmo resultado
SOMANDO (ressaltou essa palavra). É possível descobrir quantas figurinhas já havia partindo do 15
que ele ganhou e somar até completar o 35, não é? Como eles fizeram aqui (indica a resolução do
grupo 6 na lousa).Então, a gente pode chegar à conclusão de que, no caso deste problema, foi possível resolver com a soma ou com a subtração e de diferentes maneiras. Deu certo de jeitos diferentes, não foi de um jeito só, mas o resultado é mesmo o 20!
Comunidade Educativa CEDAC
Para refletir, registrar e postar no Portal de Aprendizagem
Duas professoras analisaram os mesmos fragmentos desta aula e se posicionaram de diferentes maneiras diante de algumas questões. Leia os registros dessas professoras e identifique a justificativa
que você também daria à pergunta.
1. Fórum – parte 1
Por que a professora Cristina pede que os alunos, inicialmente, pensem a respeito do problema indivi­dualmente?
Fórum – parte 1
Município:
Escola:
Professor:
Ano/série:
Professora Elizabeth
Ela pede para que pensem sozinhos porque é
muito tradicional e não valoriza o trabalho em
grupos. Acho que não precisava dessa parte,
poderia ir diretamente para os grupos. O nosso
tempo já é bem curto e não podemos ficar tanto
tempo por conta de um único problema.
Tirando essa parte, seria mais rápido.
Sua reflexão
26
Professora Maria do Carmo
Ela pede que cada um faça uma reflexão individual porque
é importante que cada criança tenha um tempo com o
problema para pensar em como pode resolvê-lo. É nesse
momento que a criança vai acionar o que sabe e poderá
pensar em como resolver, em quais estratégias utilizar.
Acho que não precisa ser um tempo longo, pois
precisamos controlar e dividir o tempo muito bem pra não
ficar cansativo e não perdermos tempo de estudo com as
crianças. Precisamos considerar as outras partes da aula,
que também são muito importantes.
Matemática – Caderno Bimestral II
2. Fórum – parte 2
Por que a professora Cristina não faz nenhuma intervenção na segunda parte da aula?
Fórum – parte 2
Município:
Escola:
Professor:
Ano/série:
Professora Elizabeth
Professora Maria do Carmo
Claro que isso foi intencional. Ela queria
saber o que as crianças realmente pensavam.
Se ela falasse alguma coisa, poderia influenciar
nas respostas.
Porque ela queria favorecer o intercâmbio entre as
próprias crianças sobre o resultado alcançado. Penso
que ela organizou a situação para fazer as intervenções
apenas no momento seguinte.
Sua reflexão
3. Fórum – parte 3
Podemos considerar que essa situação foi realmente um problema para os alunos
porque ela reúne algumas condições necessárias, que indicamos a seguir:
– ter sentido no campo do conhecimento da criança, para que ela possa
imaginar uma estratégia para resolvê-lo, mesmo que não seja a correta,
nem a mais econômica;
– que o problema envolva um desafio: a estratégia conhecida não pode ser
suficiente – ou eficiente – para resolvê-lo;
– que seja suficientemente aberto para dar espaço ao surgimento de diferentes
estratégias de resolução válidas, para que seja possível confrontá-las e extrair
conclusões a partir delas.
Matemática: orientações para o professor. Saeb/Prova Brasil. p. 97.
27
Formação de Professores
Alguns alunos erraram o problema e outros tiveram dificuldade para entender que ele poderia ser resolvido tanto por meio da adição quanto pela subtração. Isso é esperado para essa série? A quantidade
de acertos não deveria ter sido maior, já que os números envolvidos no problema não eram tão altos?
Qual o motivo das dificuldades?
Fórum – parte 3
Município:
Escola:
Professor:
Ano/série:
Professora Elizabeth
Professora Maria do Carmo
Eu nem achei que os alunos foram mal, não. Talvez os
meus alunos nem tivessem conseguido resolver das
diferentes maneiras que essa turma apresentou.
Primeiramente, eu até achei os números baixos, mas,
depois que eu percebi que a dificuldade estava no que
era pedido pelo problema – que a incógnita não estava
no estado final, mas sim no estado inicial, vi que esse
era o maior desafio para os alunos.
Eu não costumo trabalhar com esses problemas mais
difíceis com minhas crianças. Agora começo a perceber
que é importante trabalhar também com esse tipo. Pelo
exemplo dessa turma, eu reparo que as crianças podem
conseguir resolver, sim. No meu caso, eu ainda teria
que iniciar o trabalho, pois nunca tentei. No meu livro
didático não tem esse tipo de problema; se tiver algum,
eu pulei, pois nem me lembro.
Porque para mim também é novidade essa história
de poder resolver tanto pela adição quanto pela
subtração, então acho que é esperado, sim, que
alunos tão pequenos ainda sintam dificuldade para
resolver. Mas estou sentindo que o importante é
planejar situações-problema desse tipo também
pra eles aprenderem mais.
Eu penso que era realmente para ser uma atividade
desafiadora e foi por isso que a professora organizou
a aula dessa maneira (primeiro a reflexão individual,
depois o trabalho em grupos, depois a apresentação
dos grupos e a argumentação sobre as resoluções e,
por fim, as suas intervenções para fechar a atividade).
Para mim, esse é um tipo de problema mais difícil,
e nós não estamos acostumados a trabalhar com ele.
Portanto, as crianças também não estão tão acostumadas a pensar sobre eles. É um problema que apresenta
a incógnita no estado inicial, ou seja, é preciso encontrar
o primeiro número e não o resultado final (? + B = C)
e isso muda completamente a maneira de pensar.
Então, mesmo que alguns alunos tenham errado o
problema (aqueles que responderam 50) e outros nem
tenham entendido muito bem o porquê de se resolver
pela adição ou pela subtração, TODOS tiveram de
refletir muito para resolvê-lo e tiveram oportunidade
de pensar sobre esse tipo de resolução. É a continuidade do trabalho com problemas da mesma categoria
que vai possibilitar o avanço de todos.
Sua reflexão
28
Matemática – Caderno Bimestral II
4.Fórum – parte 4
Fórum – parte 4
Município:
Escola:
Professor:
Ano/série:
Você acredita que realizar essa Atividade Virtual ajudou você a pensar sobre sua prática? Justifique e compartilhe
sua resposta.
Reflexão sobre a prática
Duração: 4h
Estamos terminando o estudo do material do 2º bimestre. No caderno anterior, começamos a refletir
sobre a importância dos problemas nas aulas de matemática e o papel das interações entre pares na
construção dos conhecimentos envolvidos nessas situações. Continuando e ampliando esse estudo,
neste caderno, focamos os problemas que fazem parte do campo aditivo. Já deu para perceber o tanto
de coisas que temos de considerar ao planejarmos nossas aulas, não é mesmo?
Agora, sua tarefa é ler o texto Problemas complexos, mas não impossíveis. Esse texto traz relatos de professoras sobre como encaminharam algumas situações desafiadoras para seus alunos com os problemas do campo aditivo – e como esse trabalho ajudou seus alunos a avançarem nas estratégias de reso­
lução de problemas e na compreensão das ideias envolvendo a adição e a subtração.
Para pensar
Quando consideramos válidos os procedimentos dos alunos para resolver um problema,
estamos confirmando que sua lógica de pensamento é correta, contribuindo para que
construam uma relação positiva com o conhecimento matemático.
29
Formação de Professores
Problemas complexos, mas não impossíveis
Ao colocar a incógnita em lugares diferentes, os enunciados ficam mais complexos, o que
obriga a turma a trabalhar dentro dos conceitos de campo aditivo.
Danielle Amaral Ambrósio entrou na sala do 3º ano da Escola Castanheiras, em Santana de
Parnaíba, município da Grande São Paulo, com suas colegas Adriana Mercês e Laura Bugni.
Com ela, uma balança portátil para pesar as professoras convidadas. Os alunos se amontoa­
ram para observar o ponteiro: quanto pesava Adriana? Minutos depois, todos anotaram o
enunciado que estava no quadro: “Adriana pesa 68 quilos. Juntas, ela e Laura pesam 125 quilos. Quanto pesa Laura?”
Em problemas de composição como esse, a professora se preocupa em variar o lugar da incógnita para tornar o enunciado mais complexo e, com isso, exigir que a turma raciocine dentro dos princípios do campo aditivo. Em vez de propor “Adriana pesa 68 quilos e Laura pesa 57,
quanto pesam as duas juntas?”, Danielle apresentou os valores parcial inicial e final, deixando
a busca da outra parte da composição para as crianças.
Quem ainda não entendeu o que o problema solicita logo pergunta: “É para fazer conta de
mais ou de menos?” Outras dúvidas surgiram:
Como posso calcular o peso da professora Laura se o problema não diz nada sobre ela?
n
De 125 posso tirar 68. Mas como tiro 8 de 5? (referência às unidades.)
n
Num primeiro momento, a tendência de algumas crianças é somar os números apresentados
antes de notar que não é o valor final a resposta solicitada.
É quando Danielle retoma o texto e ajuda na análise das informações. No caso da balança, a
professora ressaltou que o peso da Laura sozinho não poderia ser maior do que o das duas
juntas. Alguns alunos decompõem o 125 e retiram dele os 68 por vários caminhos. Outros utilizam direto o algoritmo da subtração. Um deles optou por conservar o 68 e completar com
pauzinhos até chegar ao 125, o que pediu uma intervenção dela no fim do raciocínio: “Será
que não há uma maneira mais econômica de realizar a conta?”
Depois dos cálculos individuais, a professora analisou as várias resoluções, anotou as dúvidas e
organizou a classe em quartetos. Nesses pequenos grupos, os estudantes expuseram suas estratégias e conheceram as dos colegas. Coube a Danielle expor outros procedimentos possíveis –
ainda que não tenham aparecido durante a atividade – e discuti-los. Dessa forma, a turma aumentou o repertório de soluções e todos os caminhos foram registrados no quadro e nos cadernos.
Hora de avançar
Quando as crianças já estão familiarizadas com problemas envolvendo números baixos –
usan­do com destreza os dedos ou o cálculo mental para resolvê-los –, Danielle começa a dificultar, aumentando gradualmente os valores e sempre mudando a incógnita de lugar. Com
a primeira estratégia, ela faz a turma sentir necessidade de voltar a registrar o raciocínio no pa30
Matemática – Caderno Bimestral II
pel para chegar à resposta. Já com a segunda – que também demanda anotações –, a criança
é levada a pensar na adição por outro viés e a construir o significado da operação.
Para ajudar na transição dos trabalhos com os números baixos para os altos, Renata Praxedes, também da Castanheiras, propôs à turma de 1º ano colecionar tampinhas. Conforme as
peças eram trazidas pelos pequenos, a contagem ia ficando mais complexa. Primeiro eles
verificavam a quantidade, apontando os objetos do pote de um em um e acrescentando os
recém-chegados. Depois de alguns dias, a professora quis saber como eles poderiam continuar a somar sem ter de partir sempre do começo: “Já temos 56 tampinhas. Como fazemos para
continuar o registro?” Um dos alunos sugeriu: “Vamos contar a partir do 56! Assim fica mais fácil saber quanto a gente tem no final”. Esse processo, chamado de sobrecontagem, ajuda a entender os problemas de transformação.
“Algumas crianças ainda não tinham percebido que conservar a quantidade já obtida e a partir dela acrescentar novos elementos facilita o processo”, recorda Renata. Em uma das situações, a turma chegou a 146 tampinhas – mas faltava contar muitas que estavam na mochila
de uma colega. “Sugeri que meninos e meninas formassem dois grupos e dividissem as novas
tampinhas para contar.” Os meninos foram de um em um e chegaram a 107. As meninas sepa­
raram em montinhos e foram somando de pouco em pouco.
A soma desses valores parciais deu 88. “Se imaginarmos que os meninos têm mais ou menos
100 e as meninas 88, quanto temos ao todo?”, perguntou a professora. As crianças responde­
ram 188 em coro. Para o valor final, faltava apenas acrescentar o 7 (dos 107) e, em seguida, as
146 que já estavam no pote. Total: 341. Assim, fazendo sobrecontagem e trabalhando dia após
dia problemas de transformação positiva, a turma acabou juntando 2.000 tampinhas. Para
manter o controle preciso do acervo, os alunos preencheram uma tabela na qual registravam
a quantidade arrecadada e a que chegava a cada dia.
Outro desafio levou a garotada a ter contato com a transformação negativa: confeccionar uma
bandeira com as tampinhas, um processo em que as crianças subtraíam as peças da coleção. “Todos aprenderam as operações antes de conhecer a conta armada”, explica Cíntia Fondora Simão,
coordenadora pedagógica dos primeiros anos do Ensino Fundamental da Escola Castanheiras.
Guilherme Santinho Jacobik, que trabalha há 12 anos com formação de professores de Educação Infantil para a rede pública, também optou por ensinar o raciocínio antes do algoritmo
após conhecer a teoria dos campos conceituais. Hoje ele não ensina conta armada para turmas dos primeiros anos do Ensino Fundamental: “Valorizo o caminho que o aluno optou e o
cálculo mental. Nós, adultos, fazemos isso naturalmente, começando pela maior grandeza numérica. Já as crianças precisam aprender essas estratégias, que são as mais usadas no dia a dia”.
As anotações são fundamentais para entender não só o caminho adotado pelo estudante
mas, principalmente, quais são suas dificuldades. “Quando comecei a dar aulas, não me preocupava em ensinar diferentes caminhos. Ia direto à técnica operatória. Com isso, deixava de
ensinar conteúdos essenciais, como a decomposição numérica, o valor posicional de uso social e o uso de registros diversos. Tudo isso é importante para mostrar como se dá a comunicação matemática e a linguagem própria da disciplina”, admite Guilherme.
31
Formação de Professores
“Pensei com a cabeça”
A turma de 4º ano de Glads Mari da Silva de Oliveira, da EM Mewton Borges dos Reis, em Curitiba, já está acostumada com a perspectiva dos campos aditivos e reclama quando o desafio
é muito fácil. Para complicar um pouco, ela elabora enunciados com composição de transformação. Numa atividade, Glads levou para a escola encartes de supermercados da região.
Divididas em pequenos grupos, as crianças analisaram as promoções para resolver o seguinte
enunciado: “Precisamos realizar um almoço, mas só temos 50 reais. Vamos fazer o cardápio e
descobrir o que é possível comprar?” Os alunos pesquisaram os preços e discutiram a melhor
maneira de gastar o dinheiro. “Peço também que eles comprem mercadorias saudáveis, mas
que não as repitam na lista”, adianta Glads.
Um grupo selecionou primeiro os produtos que queria e, num cálculo prévio, ultrapassou o
orçamento. “Pensem no que podem tirar”, sugeriu a professora. Mesmo sem o macarrão, a
conta não fechou. Decidiram tirar a carne, a mercadoria mais cara, e recolocar a massa.
Outra equipe escolheu frango e propôs uma seleção tão enxuta que sobraram 4,60 reais. Nova
dúvida: quantos refrigerantes é possível comprar com o que sobrou se cada refrigerante custa
1,20 real? Um dos alunos subtraiu o valor de uma garrafa e percebeu que ainda sobravam 3,40
reais. A professora quis saber se o troco ainda dava para mais. Registro de uma criança:
1,20 + 1,20 = 2,40
2,40 + 1,20 = 3,60
Ela tentou mais uma adição para ter certeza de que o valor é superior a 4,60 reais. Resultado:
três refrigerantes. A calculadora foi usada para fazer a conferência. Depois da “compra”, cada
grupo expôs seu cardápio e o valor gasto.
“Sempre peço que eles expliquem como pensaram”, afirma Glads. Num primeiro momento, o
mais comum é o aluno escrever “pensei com a cabeça”. “Com o tempo, ele consegue se expressar muito bem e passa a usar os termos apropriados”, diz a professora.
www.novaescola.org.br, maio de 2007
Depois da leitura desse texto, continue a pensar no seu trabalho em sala da aula, considerando tudo o
que foi discutido até este momento, tanto no Encontro Presencial como na Atividade Virtual:
a. O texto faz referências a situações que propiciam que os alunos avancem em suas aprendizagens.
n
n
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Identifique no texto quais são elas.
Situações semelhantes a essas aparecem no seu trabalho em sala de aula?
Procure relatar como você faz isso.
Matemática – Caderno Bimestral II
b. Considerando a diversidade dos problemas do campo aditivo, procure fazer uma avaliação sobre como esses problemas estão sendo contemplados no seu trabalho com os alunos.
c. Releia a proposta realizada no início do Encontro Presencial deste bimestre, intitulada Para começo
de conversa. Retome o depoimento com o qual você mais se identificou. À luz de tudo o que estudou neste bimestre, procure explicar melhor os porquês, tanto dos bons resultados como das situações mais complicadas que teve que gerenciar em sala de aula.
Autoavaliação
Terminamos mais uma etapa de nossa formação. Após a realização das atividades e reflexões que fizeram parte deste Caderno Bimestral, propomos que você faça uma autoavaliação. Como já comentado
no caderno anterior, trata-se de um conjunto de competências específicas que, juntas, constituirão
aquelas competências mais amplas, cujo desenvolvimento é o propósito deste processo formativo.
Sendo assim, os critérios de avaliação são os mesmos utilizados no caderno do 1º bimestre. Leia cada
item da coluna à esquerda e, após refletir, marque com X a coluna que corresponde à sua avaliação.
Competências e habilidades
para o trabalho docente
Plenamente
desenvolvida/
ampliada
Parcialmente
desenvolvida/
ampliada
Não foi
desenvolvida/
ampliada
Envolver-se em atividades formativas na
perspectiva do aprimoramento da prática
pedagógica e do atendimento de objetivos
e metas estabelecidos.
Trabalhar em equipe, interagindo com
os colegas e colaborando com a formação
do grupo.
Identificar a adequação das diferentes formas
de organização do grupo (trabalho individual,
em pequenos grupos e coletivo) e considerar
suas potencialidades para a aprendizagem.
Refletir sobre a importância da interação
entre pares nas aulas de matemática.
Demonstrar compreensão do recurso à
resolução de problemas como caminho para
a elaboração do conhecimento matemático.
Realizar leitura profissional, explorando
as potencialidades do texto e relacionando
a teoria com a prática docente.
Identificar os principais elementos que
constituem um problema, diferenciando-o
de exercício.
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Formação de Professores
Planejar atividades que possam se
constituir em situações-problema ajustadas
às possibilidades dos alunos, de forma
a favorecer as aprendizagens de conteúdos
e desenvolvimento de competências discentes.
Utilizar o livro didático integrado a atividades
planejadas com objetivos claros.
Agora reflita...
-Houve avanço em relação às competências e habilidades que no encontro anterior ainda não haviam sido plenamente desenvolvidas ou ampliadas por você?
-Há ainda alguma competência e/ou habilidade na qual houve pouco ou nenhum avanço em relação ao primeiro caderno?
O que acha que precisa acontecer para desenvolver plenamente essas competências e habilidades?
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Matemática – Caderno Bimestral II
Durante este bimestre, novas competências foram colocadas em jogo, ampliando nosso quadro de avaliação.
Competências e habilidades
para o trabalho docente
Plenamente
desenvolvida/
ampliada
Parcialmente
desenvolvida/
ampliada
Não foi
desenvolvida/
ampliada
Reconhecer a variedade de situações-problema
relacionadas ao campo aditivo.
Coletar e organizar informações sobre
os procedimentos dos alunos.
Analisar e interpretar informações sobre
os procedimentos dos alunos.
No próximo caderno a proposta será avançar nos estudos sobre a resolução de problemas,
já que é o conteúdo estruturante deste programa e formação, levando em consideração os
resultados já identificados por vocês, professores, no trabalho com seus alunos. O foco será dado
ao campo multiplicativo – que propõe o estudo da multiplicação e da divisão conjuntamente.
A partir de quando é possível abordar a multiplicação e a divisão na escola?
Elas já podem aparecer nos primeiros anos do Ensino Fundamental? Problemas envolvendo
ambas as situações devem ser explorados em um trabalho continuado que percorra toda a
escolaridade? Por que tratá-los como etapas diferentes se a ligação entre eles é tão estreita?
Aguardem!
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Formação de Professores
Gabarito comentado
Quadro de classificação dos problemas do campo aditivo
Classificação
Esquema
Problemas em que duas ou mais
medidas se combinam para formar
outra medida
A
O valor desconhecido (a incógnita)
é o resultado da combinação
B
Problemas em que duas ou mais
medidas se combinam para formar
outra medida
A
O valor desconhecido (a incógnita)
é uma das medidas
?
{
{
Quais problemas fazem parte
desse grupo? Identifique-os
pela numeração usada na lista
de problemas
?
Problema 3
O número de livros do armário
e da mesa são duas medidas que
se juntam para formar uma nova
medida (o total).
C
Problema 5
O número de animais que eu vi (15)
e os que eu não vi (incógnita) são
duas medidas que se combinam
para formar o total de animais (36).
Problemas de transformação positiva
O valor desconhecido
(a incógnita) é o estado final
A
+B
?
Problemas de transformação positiva
O valor desconhecido
(a incógnita) é o estado inicial
?
+B
C
Problema 4
O valor que havia no cofrinho, os
86 reais, são o estado inicial de uma
transformação positiva (acrescentar
15 reais). A incógnita é o valor total
no cofrinho (estado final).
Problema 7
A coleção sofreu uma transformação positiva (recebeu 26 adesivos).
O estado final é conhecido:
80 adesivos.
A incógnita é a quantidade de
adesivos que Camila tinha inicialmente, ou seja, é o estado inicial.
C
Problema 9.a
Sabemos os valores do estado
inicial (casa de partida) e do estado
final da transformação (casa de
chegada). A incógnita é a transformação sofrida, ou seja, o número
de casas que a peça avançou.
?
Problema 6.a
As balas recebidas (estado inicial)
sofrem uma transformação negativa
(chupou 8 balas). O valor desconhecido (balas restantes) é o estado
final da transformação.
Problemas de transformação positiva
O valor desconhecido
(a incógnita) é a transformação
A
?
Problemas de transformação negativa
O valor desconhecido
(a incógnita) é o estado final
36
A
-B
Matemática – Caderno Bimestral II
C
Problemas 2 e 9.c
O valor desconhecido é o estado inicial (dinheiro que havia na carteira
ou casa em que a peça estava).
São dados: a transformação
negativa (valor que foi gasto
e número de casas que recuou)
e o estado final (o dinheiro restante
ou a casa em que a peça chegou).
C
Problema 9.b
A casa em que ele está (15)
é o estado inicial, a incógnita está
na transformação (saber os pontos
que ele tirou no dado para voltar
as casas). O estado final é a casa
em que ele parou (9).
Problemas de transformação negativa
O valor desconhecido
(a incógnita) é o estado inicial
?
-B
Problemas de transformação negativa
O valor desconhecido
(a incógnita) é a transformação
A
?
Problemas que relacionam duas medidas (ideia de comparação)
?
O valor desconhecido
(a incógnita) é uma das medidas
B
A
Problemas que relacionam duas medidas (ideia de comparação)
O valor desconhecido (a incógnita)
é a relação entre as medidas
Problema 1
As idades de Camila e André
constituem duas medidas.
A relação de comparação (“ter x a
mais”) é a incógnita do problema.
C
A
Duas transformações se compõem
para dar lugar a outra transformação
O valor desconhecido (a incógnita)
varia: pode ser um dos estados (inicial
ou final) ou uma das transformações
Problema 8
As duas medidas (número de
conchinhas de cada um) estão
sendo comparadas pela relação “ter
6 a mais”. A incógnita é a uma das
medidas (número de conchinhas
do irmão).
?
±B
A
±D
C
E
Problemas 6.b e 6.c
Nos dois problemas, o estado inicial
(12 balas) sofre duas transformações
negativas. No problema 6.b, uma
das transformações tem valor
desconhecido. No problema 6.c,
o valor desconhecido é o resultado.
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Formação de Professores
Anotações
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Matemática – Caderno Bimestral II
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Formação de Professores
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