X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
USANDO SOFTWARE ÁRBOL NA CONSTRUÇÃO DE ÁRVORES DE
POSSIBILIDADES PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMBINATÓRIOS 12
Martha Cornélio Ferraz
Secretaria de Estado de Educação/PE
[email protected]
Rute Elizabete de Souza Rosa Borba
Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
[email protected]
Juliana Azevedo
[email protected]
Resumo: O presente estudo objetiva analisar de que maneira o software educativo Árbol pode
ajudar na compreensão do conhecimento combinatório através da construção de árvores de
possibilidades. Para alcançar este objetivo, foram coletados e analisados dados com 19 alunos
de uma escola particular da cidade do Recife, de 7º ano (6ª série), agrupados em duplas ou
trios. Os alunos resolveram um teste com oito questões acerca do conhecimento combinatório
e pelo menos um integrante de cada dupla ou trio foi entrevistado acerca das vantagens e
desvantagens do software educativo Árbol na construção do conhecimento combinatório.
Desta forma, foi possível destacar as qualidades e deficiências deste recurso, propondo
sugestões que facilitem o acesso aos softwares educativos com a finalidade de incluir a
tecnologia como fator favorável ao desenvolvimento do conhecimento combinatório.
Palavras-chave: Conhecimento combinatório; Software educativo; Árbol; Árvores de
possibilidades.
INTRODUÇÃO
A partir da proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – (Brasil, 1997)
de inclusão da Combinatória desde as séries iniciais, vislumbram-se mudanças significativas
para o ensino e aprendizagem deste conteúdo. Ao acrescentar ao estudo dos Números e
Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas, o bloco de conteúdos Tratamento da
Informação, que integra estudos relativos a noções de Estatística, de Probabilidade e de
Combinatória, envolvendo o princípio multiplicativo, oportuniza-se mais uma forma de
pensar matematicamente. O estudo da Combinatória possibilita levar o aluno à organização e
1
Projeto parcialmente financiado pela FACEPE – Fundação de Amparo à Ciência e Tecnologia do
Estado de Pernambuco (APQ 1095-7.08/08) e CNPQ (476665/2009-4).
2 *
As autoras deste trabalho fazem parte do Grupo de Estudos em Raciocínio Combinatório que é
constituído por professora e alunas da graduação e do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática
e Tecnológica do Centro de Educação da Universidade Federal de Pernambuco, bem como por professoras da
rede pública do Ensino de Pernambuco.
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análise de dados, ao desenvolvimento da criatividade e à tomada de decisões, em contextos
variados que favorecem o despertar do interesse/motivação.
Com o desenvolvimento de novas tecnologias, ampliam-se as iniciativas e buscas de
melhores resultados do ensino-aprendizagem de conteúdos matemáticos, no entanto, ainda
são escassas as pesquisas que analisam softwares educativos com foco no raciocínio
combinatório e sua contribuição para o desenvolvimento desse conhecimento pelo aluno.
Leite, Pessoa, Ferraz e Borba (2009), analisaram os seguintes softwares educativos e
objetos de aprendizagem: Arbol (Aguirre, 2005); ML Combiner (Less, 2001); Combinação
(RIVED, 2008); Permutação (RIVED, 2008) e Arranjo (RIVED, 2008), que trabalham o
raciocínio combinatório. Puderam constatar, em alguns destes recursos: a limitação às
fórmulas ou a indução que o aluno se utilize rapidamente dessa estratégia; o foco em um
único tipo de representação e tipo de problema; e o nome do recurso que já induz ao aluno o
cálculo relacional a ser feito. Apesar das críticas levantadas, verificaram situações ricamente
contextualizadas com possibilidades de despertar e manter o interesse do aluno.
O software Árbol foi usado no estudo no estudo de Sandoval, Trigueros e Lozano
(2007) e tem como proposta explorar o campo do raciocínio combinatório da Combinatória
através de diagramas de árvore. Sua interface apresenta opções para criar uma árvore com
elementos distintos ou iguais, permite usar exemplos já existentes na biblioteca do software e
adicionar novas árvores à biblioteca. A opção que permite verificar os exemplos existentes
tem uma apresentação gráfica composta por ferramentas que possibilitam ao usuário marcar e
colorir os vários níveis, ampliar ou reduzir um nível específico e navegar pelos vários níveis
da árvore. Com a vantagem de, sem usar fórmulas, e sem se restringir a apenas um dos
significados da Combinatória, este software permite que o usuário construa, para todos os
significados da Combinatória, árvores de possibilidades.
Neste trabalho analisou-se o aspecto didático-pedagógico do software Árbol,
procurando identificar suas contribuições e limites para o desenvolvimento do pensamento
combinatório de alunos do Ensino Fundamental.
Na Teoria dos Campos Conceituais, proposta por Gérard Vergnaud, enfatizam-se três
dimensões de conceitos: 1) Situações (S) que dão significado ao conceito, 2) Invariantes (I)
propriedades e relações que compõem o conceito e 3) Representações (R) utilizadas para
representar simbolicamente o conceito. Vergnaud considera que as representações consistem
de todos os símbolos – lingüísticos, gráficos ou gestuais – que podem ser usados para
representar as propriedades invariantes dos conceitos e as situações que dão significado aos
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mesmos, sendo as mesmas um dos aspectos básicos na compreensão dos conceitos
matemáticos.
Considerando a relevância da Combinatória e o papel das representações simbólicas
na compreensão matemática, o presente estudo analisou como árvores de possibilidades
podem auxiliar na compreensão de problemas combinatórios. Em particular, foi observada a
construção de árvores por meio do software Árbol e comparado com construções em lápis e
papel.
REVISÃO DA LITERATURA
Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1996) colocam a dificuldade de se definir a
Combinatória e resumir em poucas linhas seus numerosos campos de aplicação. No
entanto, ressaltam a descrição das características e importância deste conteúdo ,
oferecida por James Bernoulli, como “a arte de enumerar todas as maneiras possíveis
em que um determinado número de objetos pode ser misturado e combinado , de forma a
ter a certeza de não perder qualquer resultado possível”. Estes mesmos autores
enfatizam a capacidade combinatória como um componente fundamental do pensamento
formal, além de ser importante no desenvolvimento da idéia de probabilidade. Esta
afirmação se relaciona com o que Inhelder e Piaget (1955) defendem quanto ao
desenvolvimento do pensamento formal.
O estudo de Fischbein (1975) confronta os resultados de Inhelder e Piaget (1955).
Fischbein defende que a capacidade de resolução de problemas de combinatória não
poderá ser alcançada sem o ensino formal. Fischbein, Pampu e Minzat (1970) estudaram o
efeito de instruções específicas sobre a capacidade combinatória. Os resultados apontam que
crianças de 10 anos são capazes de aprender idéias combinatórias com a ajuda do diagrama de
árvore. Assim, o desenvolvimento do raciocínio combinatório pode iniciar-se cedo e tem forte
influência do ensino formal e das representações utilizadas na resolução das situações.
Pessoa (2009) cita Guirado e Cardoso (2007) que defendem a importância de permitir
ao aluno, num primeiro momento de aprendizado da Combinatória, descrever todos os casos
possíveis, para posteriormente contá-los. Desta forma, tomarão os primeiros contatos, mesmo
que intuitivos, com raciocínios combinatórios e observarão que, na maioria dos casos, a
contagem direta é impraticável. Eles afirmam, ainda, que a resolução de um problema de
Análise Combinatória, sem o compromisso inicial de utilização de fórmulas, promove o
pensar, de forma criativa e crítica.
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A literatura aponta, assim, que há diversos aspectos do ensino da Combinatória a
serem considerados, tais como, a importância do raciocínio combinatório no
desenvolvimento matemático e o papel de ensino formal, que deve possibilitar o uso de
estratégias informais e formais na resolução de situações combinatórias, baseadas
sempre na compreensão das situações por parte dos alunos.
MÉTODO
Este trabalho foi realizado com 19 alunos de 7º ano (6ª série) de uma escola particular
do Recife, agrupados em trios e duplas, utilizando nove computadores, com duração de
aproximadamente 100 minutos (duas aulas). Inicialmente foi apresentado o software “Arbol”
(apenas quatro dos alunos já conheciam este software), salientando que o mesmo nos fornece
todas as possibilidades, sejam elas válidas ou não. Os alunos precisavam observar bem os
resultados e destacar, colorindo ou não, o que era de interesse na solução do problema.
Cada aluno recebeu uma ficha contendo oito problemas com os quatro significados da
Combinatória (dois de cada tipo: produto cartesiano, combinação, arranjo e permutação).
Cada problema possuía dois itens (a) e (b) que envolviam números que levavam a menor (a) e
a maior (b) número de possibilidades na solução. O item (a) deveria ser solucionado com o
auxílio do software “Árbol” e o item (b) o aluno escolhia a sua estratégia de resolução.
Apresentamos, a seguir, as soluções das quatro primeiras questões, com o uso do “Árbol”.
1)
a)
Anna perguntou para Bia com que roupa ela iria à festa da Escola. Bia respondeu que ainda não sabia, pois tinha
separado 4 blusas de cores diferentes: amarela, branca, vermelha e preta; 3 saias: uma jeans, uma de flores e uma
estampada, e ainda 2 calças: uma preta e outra branca. Ela já decidiu que não vai de calça.
De quantas maneiras diferentes Bia pode se vestir?
(PRODUTO CARTESIANO)
2)
Arthur, Matheus, Pedro e Lucas disputam um torneio de pingue-pongue. Cada um enfrenta os demais apenas uma
vez.
a) Quantas são as partidas desse torneio? (COMBINAÇÃO)
3)
Quantas palavras diferentes (com ou sem sentido) poderei formar usando todas as letras:
a) da palavra LUA? (PERMUTAÇÃO)
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4)
a)
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Quantos números de dois algarismos podem ser formados? (ARRANJO COM REPETIÇÃO)
Na aula seguinte, após quatro dias do uso do software e sem discutir a experiência
vivenciada, foi aplicado um teste escrito individual, envolvendo os conteúdos trabalhados até
então na turma: percepção de padrões numéricos, critérios de divisibilidade e problemas de
combinatória (estes correspondentes às questões 6 a 10, analisadas a partir dos resultados
expostos na Tabela 2).
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS:
A Tabela 1 indica os desempenhos dos alunos nas diferentes questões, que variavam
em tipos de problemas de Combinatória, em contextos e em ordem de grandeza do número de
possibilidades. Estes resultados referem-se a soluções coletivas com o uso do Arbol (nos itens
a) e lápis e papel (nos itens b).
Tabela 1. Percentuais de acerto dos alunos por questão ao usarem coletivamente o software e
lápis e papel.
SIGNIFICADOS DA
PRODUTO CARTESIANO
COMBINAÇÃO
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
COMBINATÓRIA
QUESTÕES
1ª
2ª
5ª
6ª
3ª
8ª
4ª
7ª
ITENS
Nº DE
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
POSSIBILIDADES DA
12
45
8
88
6
45
6
105
6
720
27
3 125
36
1 296
24
1 680
SOLUÇÃO
VESTUÁRIO PARES P/
TORNEIO
APERTO DE
ANAGRAMA
SENHA C/
MATEMÁTICO
SEMIFINAIS
CONTEXTO
DANÇA
% de ACERTOS
100
100
74
PING-PONG
74
95
58
MÃOS
42
5
NÚMEROS
69
0
10
0
FUTEBOL
42
15
21
0
Observa-se que todos os alunos acertaram o primeiro problema de produto
cartesiano(PC) - com menor (12) e maior (45) número de possibilidades - possivelmente por
ser o problema combinatório mais trabalhado em sala de aula e no qual o produto é facilmente
identificado como procedimento adequado. O contexto de conjuntos de blusas e saias também
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é muito familiar. No segundo problema de PC – em contexto de pares que dançam juntos –
observou-se um desempenho inferior, mas ainda superior a 70%.
No primeiro problema de combinação observa-se um elevado número de acertos
quando o número de possibilidades é mais baixo (item a), mas apenas um pouco mais da
metade dos alunos chegou à solução correta no item b. Apenas uma dupla não identificou a
impossibilidade de considerar casos iguais, apresentando como resposta numérica 90.
Nos problemas de permutação há um relativo bom desempenho quando há poucas
possibilidades a serem listadas (no caso das letras da palavra LUA), mas o desempenho cai
drasticamente quando o número de possibilidades aumenta. No problema da senha com
números o desempenho é muito fraco, tanto no caso de menor quanto de maior número de
possibilidades – possivelmente devido ao tempo que os alunos julgaram insuficiente para
resolver todas as questões.
Nos problemas de arranjo os desempenhos foram os mais fracos. Uma possível
explicação é a dificuldade em listar todas as possibilidades, uma vez que neste tipo de
problema combinatório, a partir de um conjunto maior, deve-se selecionar um número menor
de elementos, devendo-se atentar que a ordem na qual estes elementos são dispostos geram
possibilidades distintas.
Verificou-se que o uso do software para os itens a, não foi suficiente, ao menos nesse
momento, para auxiliar os alunos na generalização necessária para o item b.
A Tabela 2 indica os desempenhos dos alunos ao resolverem individualmente
problemas com uso de lápis e papel. Nesta tabela ressaltam-se os acertos parciais, pois
embora alguns alunos não tenham chegado à solução final correta, estes indicaram que
compreenderam as relações envolvidas, mas não conseguiram esgotar todas as possibilidades.
Tabela 2. Percentuais de acerto dos alunos por questão ao usarem individualmente lápis e papel.
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SIGNIFICADOS DA
COMBINATÓRIA
PRODUTO
COMBINAÇÃO
ARRANJO
ARRANJO
PERMUTAÇÃO
7
8
9
10
24
1 250
24
CARTESIANO
QUESTÕES
6
ITENS
Nº DE
POSSIBILIDADES DA
12
a
b
6
45
SOLUÇÃO
SANDUICHE
TORNEIO PING- SEMIFINAIS
CONTEXTO
ANAGRAMA
PLACAS
PONG
FUTEBOL
"AMOR"
TIPO DE ACERTO
A
Ap
A
Ap
A Ap
A
Ap
A
Ap
A
Ap
PERCENTUAL
84
11
90
0
58 16
21
21
32
47
32
42
A - ACERTO; resposta correta explicitando a estratégia.
Ap - ACERTO PARCIAL; resposta incompleta - sem esgotar as possibilidades - usando uma estratégia
sistemática.
Observa-se, novamente, que quase todos os alunos acertaram o problema de produto
cartesiano, constatando o que pesquisas anteriores apontam (Pessoa, 2009) – que há grande
percentual de acertos em produtos cartesianos, por ser o problema combinatório mais
trabalhado nas séries iniciais. Os acertos sem esgotamento das possibilidades ocorreram por
desconhecimento de tipo de pão, ou esquecer-se de algum dos recheios (como a solução
apresentada na Figura 1). No entanto, estes alunos explicitaram estratégias (tabela ou árvore)
que comprovam sistematização nas resoluções.
Figura 1. Solução incompleta para um problema de produto cartesiano.
No problema de combinação, único a ter itens a (como a solução evidenciada na
Figura 2) e b (soluções evidenciadas nas Figuras 3 e 4), ainda observa-se um elevado número
de acertos (90%) quando o número de possibilidades era mais baixo e cerca de 70% dos
alunos acertaram ou se aproximaram da resposta quando havia mais possibilidades.
Figura 2. Solução correta para um problema de combinação.
Na solução destas questões, alguns alunos usaram árvores de possibilidades, enquanto
outros optaram pelo “Padrão de Gauss” (Imenes, 2007).
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Figura 3. Solução correta de problema de combinação.
Figura 4 - Padrão de Gauss em solução de problema de combinação.
Nos problemas de arranjo, o percentual de acertos é baixo, mas mesmo aqueles alunos
que não esgotam as possibilidades (como a solução da Figura 5), demonstram compreensão e
organização sistemática de estratégias, além de apresentarem diferentes representações
simbólicas em suas soluções (como as evidenciadas nas Figuras 6 e 7).
Figura 5 - Solução incompleta para um problema de arranjo.
Figura 6 - Solução completa para um problema de
arranjo.
Figura 7 Solução completa para um problema de
arranjo.
A Questão 9, um problema de Arranjo com repetição – não usado com o Arbol, mas
trabalhado em sala de aula – mesmo com um número muito alto de possibilidades na sua
solução, os alunos demonstram um bom desempenho – 79% dos alunos acertaram a questão
(como evidenciado na Figura 8) ou evidenciaram compreendê-la, mas não conseguiram
chegar ao resultado final correto.
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Figura 8 - Acerto num problema de arranjo com repetição com grande número de possibilidades.
No problema de permutação, neste caso com as letras (AMOR), percebe-se maior
sistematização, chegando a generalizar (como o caso da Figura 9).
Figura 9 - Solução completa para um problema de permutação.
A partir desse desempenho dos alunos, fica a pergunta: as modificações na
compreensão dos problemas se devem ao uso do software ou à exploração de diferentes
representações? Nesse sentido, continuaremos nossas pesquisas, vez que ainda não temos
resposta para estas indagações.
A seguir, apresentamos trechos de algumas entrevistas realizadas com alunos, nas
quais E é a fala do examinador e A refere-se ao que foi ditos pelos alunos.
Aluno 3:
E – Você prefere resolver esses problemas como?
A3 – Depende do problema. Porque tem um que não posso fazer 4x4 porque não posso repetir ele com
ele mesmo. Agora tem outro que pode repetir.
E – Ahh... E nesse caso aqui você tá dizendo que não pode fazer uma multiplicação?
A3 – É!
E – E pode fazer o que? Qual alternativa?
Aluno 4:
E – De quê tratam esses problemas?
A4 – De maneiras de relacionar as coisas... Sei não... Eles dão uma coisa, aí a gente tem que armar
alguma coisa, uma tabela ou uma árvore de possibilidades, para poder encontrar a resolução de uma
coisa que tá pedindo.
E – Você acha que o software ajudou em alguma questão?
A4 – Em algumas questões, porque tinha algumas coisas que a gente botava e... um exemplo: botava
é...Alemanha, Argentina, Japão, Inglaterra e Espanha, aí ficava Japão e Japão e tipo, no nosso papel a
gente sabe que os dois não podem ficar juntos e no software ele fazia isso.
E – E o software facilita ou dificulta?
A4 – Depende da questão. Quando são questões que podem usar elementos iguais, com números que
podem repetir aí eu prefiro o software. Mas questões como a do futebol dificulta porque a pessoa tem
que ir lá e pegar o vermelho e botar pra excluir um, e ainda tem que botar para ver quais estão
corretos. Em problemas que têm que descobrir de quantas maneiras pode fazer, o Árbol dificulta.
Aluno 5:
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E – Você prefere resolver esses problemas como?
A5 – Tanto faz... Tem uns que é bom fazer no papel e tem outros que é bom fazer no Árbol porque
tem uns que são complicados e tal e muito trabalhoso.
E – Você acha que construir a árvore de possibilidades ajuda na resolução?
A5 – Ajuda. Fica mais prático.
E – Você prefere fazer no Árbol ou com o lápis e papel?
A5 – Com o lápis e papel, mas alguns (problemas) prefiro no Árbol.
E – No que o Árbol ajuda?
A5 – Ajuda porque já tem tudo certinho. Não fica tudo apertado como no papel. Mas no Árbol é
complicado fazer a questão da LUA.
Aluno 8:
E – Qual a maneira que você gosta de resolver esses problemas de possibilidades?
A8 – Gosto de fazer árvores, mas o Árbol é mais complicado. A pessoa dispersa com o Árbol. Fica
dependendo de uma norma que com as possibilidades você demora mais ainda para fazer com o Árbol
do que sem.
E – Você prefere, então com o lápis e papel do que com o Árbol?
A8 – Prefiro.
E – Para todo tipo de problema?
A8 – Para todo o tipo de problema até porque dispersa.
E – Você acha que atrapalha mais do que ajuda?
A8 – Tipo... Pode ajudar em alguma coisa, mas para mim eu acho que não ajuda muito não.
CONCLUSÃO
Através das entrevistas realizadas com 60% dos alunos (11 dos 19 alunos que
responderam a ficha de questões), foi possível perceber que o Árbol possui vantagens e
desvantagens no que tange à resolução dos problemas de raciocínio combinatório.
A vantagem citada pelo Aluno 4 diz respeito à facilidade que o Árbol proporciona às
questões quando é permitido repetir os algarismos, pois o software resolve o problema de
maneira satisfatória Também é evidenciada a forma prática e organizada com que pode-se
resolver as questões através do Árbol. Quanto às desvantagens, notam-se vários motivos que
fazem com que os alunos optem por realizar a atividade no papel, tais como: a
impossibilidade de ver todas as possibilidades tela, dependendo do nº de ramos, não
possibilita ver todos os casos ao mesmo tempo; o idioma – pois todos os comandos estão em
espanhol, a dispersão gerada pelo computador, não é apresentado nenhum tipo de feedback; a
necessidade de enumerar todos os casos para depois ressaltar os casos válidos.
Diante do exposto, conclui-se que o software educativo Árbol apesar de suas
vantagens, apresenta certas limitações que causam dificuldades para a aprendizagem do aluno.
Se o professor estiver atento a estas restrições, é possível desenvolver um bom trabalho em
sala, mas ainda continuaremos nossas investigações, de modo a observar se a construção de
árvores no lápis e papel, não é uma alternativa tão boa ou melhor que o uso deste software.
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REFERÊNCIAS
BATANERO, Carmen; GODINO, Juan & NAVARRO-PELAYO, Virginia. Razonamiento
Combinatorio. Madrid: Editorial Síntesis, S.A., 1996.
BRASIL, MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. 3º e 4º ciclos. Secretaria de
Ensino Fundamental, Brasília, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos, 7º ano (6ª série). p.70. São
Paulo: Scipione, 2007.
LEITE, M., PESSOA, C., FERRAZ, M. e BORBA, R. Softwares educativos e objetos de
aprendizagem: um olhar sobre a análise combinatória. Anais do X Encontro Gaúcho de
Educação Matemática. Ijuí, 2009.
PESSOA, Cristiane. Quem dança com quem: o desenvolvimento do raciocínio combinatório
do 2º ano do ensino fundamental ao 3º ano do ensino médio. Tese de Doutoramento,
Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2009.
RIVED. Rede Interativa Virtual de Educação. SEED/MEC. Objetos de Aprendizagem
Combinação,
Permutação,
Arranjo.
Disponível
em:
http://RIVED.mec.gov.br/atividades/matematica/combinacao/combinacao.swf Acesso: jun.
2009.
SANDOVAL, Ivone; TRIGUEIROS, Maria & LOZANO, Dolores. Uso de un interactivo para
el aprendizaje de algunas ideas sobre combinatoria en primaria. In: Anais do XII Comitê
Interamericano de Educação Matemática, Querétaro, México, 2007.
VERGNAUD, Gérard. El niño, las matemáticas y la realidad - Problemas de la enseñanza de
las matemáticas en la escuela primaria. Mexico: Trillas, 1991.
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