Apostila de Estatística Prof. Ms. Osorio Moreira Couto Junior Estatística Capítulo 1 - Introdução 1.1 Histórico A estatística é um ramo da matemática aplicada. A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de registros diversos como os de nascimento, óbitos, riquezas, casamentos. Esses registros eram utilizados para principalmente cobrar impostos. No século XVIII , Godofredo Achenwall batizou esses estudos como uma nova ciência com o nome de Estatística. Surgiram tabelas mais complexas, representações gráficas e cálculo de probabilidade. Formou-se a ferramenta que através da observação de partes (amostras) chega-se a conclusões sobre um todo (população). 1.2 Estatística A Estatística é parte da Matemática Aplicada que fornece métodos de coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, úteis nas tomadas de decisão. Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados. Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e interpretação dos dados. Permite obter conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente, objetivo essencial da Estatística. Probabilidade: útil para analisar situações que envolvem o acaso. Ex: a decisão de parar de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra determinada doença. 1.3 Método Estatístico (Pesquisa) Exemplos: - Indústrias realizam pesquisa entre os consumidores para o lançamento de um novo produto - As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha - Emissoras de tevê utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para organizar sua programação - A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentos A pesquisa é composta basicamente de 5 fases 1a Coleta de Dados Após planejamento e determinação das características mensuráveis do objeto em estudo, inicia-se a coleta de dados. Esta pode ser direta ou indireta. 1 A coleta direta é feita sobre registros diversos: nascimento, casamento, óbitos, importação, registros escolares; ou ainda quando os dados são coletados diretamente pelo pesquisador através de questionários (ex: censo). A coleta direta pode ser: contínua; periódica (censos); ocasional A coleta indireta é uma coleta feita sobre dados colhidos de uma coleta direta (ex: mortalidade infantil) 2a Crítica dos Dados Os dados coletados devem ser observados, à procura de falhas e imperfeições, a fim de não causarem erro nos resultados. Exemplo 1 : Perguntas tendenciosas. Foi realizada a seguinte pesquisa: O tráfego contribui em maior ou menor grau do que a indústria para a poluição atmosférica ? Resposta: 45 % para o tráfego e 32 % para a indústria. A indústria contribui em maior ou menor grau do que o tráfego para a poluição atmosférica ? Resposta: 24 % para o tráfego e 57 % para a indústria. Exemplo 2: Preservação da auto-imagem. Em uma pesquisa telefônica 94 % dos entrevistados disseram que lavam as suas mãos após usar o banheiro, mas a observação em banheiros públicos esse percentual cai para 68 %. Exemplo 3: Más Amostras. As pessoas devem ser escolhidas aleatoriamente para a pesquisa, como por exemplo, numa pesquisa de opinião na rua, deve-se entrevistar somente quem pisou em uma determinada marca pré-determinada na calçada. Exemplo 4. Más perguntas. A pergunta deve conter o linguajar próprio do entrevistado. Geralmente, se o entrevistado não entender a pergunta, ele responderá qualquer coisa, pois tem vergonha de perguntar. 3a Apuração dos Dados É o processamento dos dados obtidos 4a Exposição dos Dados Através de tabelas ou gráficos, tornando mais fácil seu exame e aplicação de um cálculo estatístico. 5a Análise dos Resultados Através de métodos de estatística indutiva ou inferencial obtêm-se conclusões e previsões de um todo através do exame de apenas uma parte desse todo. 2 1.4 Variável Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. A variável pode ser qualitativa, quando seus valores são expressos por atributos (ex: sexo, cor), ou pode ser quantitativa, quando seus valores são expressos em números. A variável quantitativa pode ser contínua, quando assume qualquer valor entre dois limites (ex: peso, altura, medições), ou pode ser discreta, quando só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável (ex: número de filhos, contagens em geral, números inteiros). 3 Capítulo 2 - População e Amostra 2.1 População e Amostra População é o conjunto de portadores de, pelo menos, uma característica comum. Amostra é um subconjunto finito de uma população. A amostra é escolhida através de processos adequados que garantam o acaso na escolha 2.5 Amostragem É o processo de colher amostras. Nesse processo, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido. Dentre os processos de amostragem pode-se destacar três: amostragem casual ou aleatória simples, amostragem proporcional estratificada e amostragem sistemática. a) Amostragem casual ou aleatória simples: É um sorteio, por exemplo, para retirar uma amostra de 9 alunos de uma sala de 50 alunos, utilizase um sorteio com todos os números dos alunos escritos em papéis dentro de um saco. Para amostras grandes utiliza-se a Tabela de Números Aleatórios (Página 52). Assim para o exemplo da sala de aula, utilizando aleatoriamente duas colunas (dois algarismos), obtém-se: Por exemplo na 1ª e 2ª colunas: 40 94 91 18 54 89 33 45 09 00 40 48 83 94 72 75 05 77 87 91 13 64 66 36 60 29 Como a população vai de 1 a 50 escolhe-se os 9 primeiros números dentro dessa faixa: 40 18 33 45 09 48 05 13 36 b) Amostragem proporcional estratificada: É comum termos populações que se dividam em subpopulações (estratos) e como cada estrato pode ter um comportamento diferente do outro, a amostra deve considerar a existência desses estratos e a sua proporção em relação à população. Exemplo: supondo que uma sala de aula seja composta de 54 meninos e 36 meninas. Determine uma amostra de 9 pessoas: Sexo População Masculino Feminino Total 54 36 90 Cálculo Proporcional Regra de três simples 54 x 9 / 90 = 5,4 36 x 9 / 90 = 3,6 9 Amostra 5 4 9 Posteriormente, utiliza-se a tabela de números aleatórios para escolher 5 meninos e 4 meninas. 4 Verifica-se que foi realizado um arredondamento dos números 5,4 e 3,6. Esse arredondamento é efetuado utilizando as regras de arredondamento. Exercício: Em uma escola existem 250 alunos, distribuídos em séries conforme a tabela. Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha a tabela. Séries 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a Total População 35 32 30 28 35 32 31 27 250 Cálculo Proporcional Amostra 40 c) Amostragem sistemática É quando a amostragem é feita através de um sistema possível de ser aplicado pois a população já se encontra ordenada. Exemplo 1: em uma linha de produção, a cada 10 itens fabricados, retira-se 1 para inspeção, tem-se uma amostra de 10 % da população. Exemplo 2: em um lote de 900 peças ordenadas, deseja-se uma amostra de 50. 900/50 =18 (50 grupos de 18 peças cada). Faz-se um sorteio entre 1 e 18, por exemplo 4, então pesquisaríamos a 4o peça, a 22o , a 40o , 58o , assim por diante. Exercícios de População e Amostra 1) Uma universidade apresenta o seguinte quadro relativo aos seus alunos do curso de Administração. Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 100 alunos. Série 1a Qtde 140 2a 118 3a 96 4a 75 Total Amostra 100 5 2) Uma empresa X apresenta o seguinte quadro relativo às quantidades de funcionários em cada um dos setores: Setor Homens Mulheres A B C D E F Total 80 102 110 134 150 300 95 120 92 228 130 290 Total Homens Amostra Mulheres Total 120 Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 funcionários 3) Utilizando a tabela de números aleatórios, obtenha uma amostra de 10 pessoas de uma sala de aula com 85 alunos, utilize a 10a e a 11a coluna para começar o sorteio. 6 Capítulo 3 - Séries Estatísticas 3. Gráficos Estatísticos 3.1. Representação Gráfica Os gráficos constituem um poderoso instrumento de análise e interpretação de um conjunto de dados. Eles aparecem nos mais variados veículos de comunicação. Pesquisas de opinião pública, pesquisas eleitorais, economia, agricultura, saúde são apenas alguns exemplos de assuntos em que as representações gráficas assumem um papel fundamental para explicar o comportamento do objeto de estudo. Os mais importantes recursos fornecidos pelos gráficos são a facilidade e a rapidez na absorção e interpretação dos resultados, por parte do leitor. 3.1.1. Gráfico de Linha Os gráficos de linhas são bastante utilizados na identificação de tendências de aumento ou diminuição dos valores numéricos de uma dada informação. Assim, vamos encontrar com frequência esse tipo de representação em análises tais como lucros de empresas, incidência de moléstias, índices de crescimento populacional ou de mortalidade infantil, índices de custo de vida, etc. Seu traço é feito no plano cartesiano. Exemplo: Na cidade de São Joaquim (SC), foi anotada a temperatura registrada às 8 horas, durante sete dias consecutivos, conforme a seguinte tabela: TEMPERATURA NA CIDADE DE SÃO JOAQUIM – SC Temperatura Dia (ºC) 1º 1 2º –2 3º –3 4º 4 5º 5 6º 6 7º 7 Com base na tabela, façamos a representação gráfica da variação de temperatura. Solução: 7 Temperatura (ºC) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º Dia 3.1.2. Gráfico de Colunas ou de Barras É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras). Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados. Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os dados estatísticos. Exemplo: a) Gráfico em colunas PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO 1989-92 Quant. Anos Produzida (1.000 t) 1989 18.196 1990 11.168 1991 10.468 1992 9.241 Fonte: Ministério da Agricultura 8 Mil toneladas 20.000 15.000 10.000 5.000 0 1989 1990 1991 1992 Anos b) Gráfico em barras EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS MARÇO – 1995 Valor Estados (US$ milhões) São Paulo 1.344 Minas Gerais 542 Rio Grande do 332 Sul Espírito Santo 285 Paraná 250 Santa Catarina 202 Fonte: SECEX São Paulo Minas Gerais Rio Grande do Sul Espírito Santo Paraná Santa Catarina 0 500 1.000 1.500 Milhões de dólares 3.1.3. Gráfico de Colunas ou de Barras Múltiplas Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito de comparação. representar, 9 Exemplo: BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL – 1989-93 Valor (US$ 1.000.000) Especificações 1989 1990 1991 1992 Exportação (FOB) 34.383 31.414 31.620 35.793 Importação 18.263 20.661 21.041 20.554 Fonte: Ministério da Fazenda 1993 38.783 25.711 US$ milhão 40.000 30.000 20.000 10.000 0 1989 1990 1991 1992 Ex portação (FOB) 1993 Importação 3.1.4. Gráfico de Setores A estatística recorre com frequência a esse tipo de gráfico, que consiste em distribuir num círculo setores proporcionais aos dados do problema. O gráfico de setores, ou setograma, é utilizado principalmente quando as quantidades a serem comparadas são muito diferentes umas das outras, caso em que uma ou mais delas se salientam em relação ao conjunto. Exemplo: DISTRIBUIÇÃO DE REMUNERAÇÕES MENSAIS NO BRASIL – 1983 Faixa Salarial Nº de (em salários % empregados mínimos) Até 3 salários 11.770.000 67,1 De 3 a 7 salários 3.931.000 22,4 De 7 a 15 salários 1.355.000 7,7 Mais de 15 salários 483.000 2,8 Total 17.539.000 100,0 10 De 7 a 15 salários Mais de 15 salários % 67,1 22,4 7,7 2,8 De 3 a 7 salários Graus 241,6 80,6 27,7 10,1 Até 3 salários 5.2. Representação Gráfica de Distribuição de Frequência Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente pelo histograma, pelo polígono de frequência e pelo polígono de frequência acumulada. 3.2.1. Histograma O histograma é um gráfico constituído no plano cartesiano por retângulos em número igual ao número de classes da distribuição. Cada classe é representada por uma coluna de altura correspondente a sua frequência. Trata-se também de um gráfico de área. É utilizado para variáveis contínuas; por isso, o gráfico também é contínuo: as colunas são justapostas. A área de cada coluna é proporcional à frequência da classe representada. Logo, a área de todo o histograma é proporcional à soma total das frequências. Exemplo: Classes 150 |--- 155 155 |--- 160 160 |--- 165 165 |--- 170 170 |--- 175 175 |--- 180 Pm 152,5 157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 Fi 6 10 15 5 3 1 40 Fa 6 16 31 36 39 40 fi (%) 15,0 25,0 38,0 12,0 8,0 2,0 100,0 fa (%) 15,0 40,0 78,0 90,0 98,0 100,0 15 10 Fi i 1 2 3 4 5 6 Total 5 0 150 155 160 165 170 175 180 11 3.2.2. Polígono de Frequência Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, tomamos sobre o eixo das abscissas segmentos proporcionais aos valores dos pontos médios das classes, e sobre o eixo das ordenadas segmentos proporcionais às frequências, determinando pontos no plano. Unindo os pontos obtidos, determinamos um diagrama poligonal, que convencionalmente é fechado no eixo das abscissas pelo ponto médio da classe imediatamente inferior à inicial e pelo ponto médio da classse imediatamente superior à final. Desta forma, obtemos um polígono de frequência. Vejamos agora como, a partir da tabela do item anterior, podemos construir um polígono de frequência. 15 12 Fi 9 6 3 0 150 155 160 165 170 175 180 3.2.3. Ogiva A ogiva é um gráfico de frequências acumuladas, o que justifica ser também denominada curva de caumulação de frequências. Retomando o exemplo do item 5.2.1., podemos construir um gráfico de ogiva com os valores de frequência acumulada (Fa). 40 Fa 30 20 10 0 150 155 160 165 170 175 180 12 Capítulo 4 - Distribuição de Freqüência 4.1 Tabela Primitiva e Rol Tabela primitiva - elementos da variável ainda não foram numericamente organizados Ex: Total de pontos (acertos) obtidos por 40 alunos em um teste de 175 questões 166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 162 161 168 163 156 173 160 155 164 168 155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 154 161 156 172 153 157 156 158 158 161 Rol - é a tabela primitiva ordenada (crescente ou decrescente). Ex: 150 151 152 153 154 155 155 155 155 156 156 156 157 158 158 160 160 160 160 160 161 161 161 161 162 162 163 163 164 164 164 165 166 167 168 168 169 170 172 173 4.2 Distribuição de freqüência Com isso pode-se construir uma tabela denominada Distribuição de Freqüência, sendo a freqüência o numero de elementos relacionados a um determinado valor da variável. Ex: Pontos 150 151 152 153 154 155 156 157 Freqüência 1 1 1 1 1 4 3 1 Pontos 158 160 161 162 163 164 165 166 Freqüência 2 5 4 2 2 3 1 1 Pontos 167 168 169 170 172 173 Freqüência 1 2 1 1 1 1 total 40 Para uma melhor visualização e economia de espaço, agrupam-se os valores em intervalos de classe. 13 Ex: Total de pontos (acertos) obtidos em um teste de 175 questões por 40 alunos Total de pontos Freqüência 150 |- 154 4 154 |- 158 9 158 |- 162 11 162 |- 166 8 166 |- 170 5 170 |- 174 3 Total 40 Para a confecção dessa tabela pode-se pular o passo anterior, ou seja, do rol já partir para a tabela de distribuição de freqüências com intervalos de classe. 4.3 Elementos de uma distribuição de freqüência a) Classes de freqüência: são os intervalos de variação da variável, representados por i, sendo i = 1,2,3,4,...,k, onde k é o número total de classes. Em nosso exemplo k = 6 b) Limites da classe: são os extremos de cada classe. Limite superior Li Limite inferior li O símbolo li |- Li significa inclusão de li e exclusão de Li l2 = 154 e L2 = 158 c) Amplitude de um intervalo de classe (h) é a medida do intervalo que define a classe h = Li - li h2 = 154-158 = 4 d) Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da ultima classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira (limite inferior mínimo). AT = L(max) - l (min) AT = 174 - 150 = 24 Deve-se notar que AT/h = k 24/4 = 6 e) Amplitude amostral (AA) : é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra AA = x(máx) - x(mín) AA = 173-150 = 23 14 f) Ponto médio de uma classe (xi) : é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais xi = (li+Li)/2 x2 = (154+158)/2 = 156 f) Freqüência simples ou absoluta: é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor f1 = 4 f2 = 9 f3 = 11 f4 = 8 f5 = 5 f6 = 3 k f i 1 i 6 f n i 1 i 40 4.4 Número de Classes, Intervalos de Classe Determinação do número de classes: utiliza-se a regra de Sturges (obs: não é obrigatório, é apenas uma orientação) k 1 3,3 log n onde, k é o número de classes e n é o numero total de dados. Esta fórmula nos permite obter a seguinte tabela n 3 |-| 5 6 |-| 11 12 |-| 22 23 |-| 46 47 |-| 90 91 |-| 181 182 |-| 362 k 3 4 5 6 7 8 9 Para determinação do intervalo de classe h aplica-se h AA k No caso Quando o resultado não é exato, deve-se arredondá-lo para mais. h 173 150 3,8 4 6 , ou seja, 6 classes de intervalo 4. Exercício: .As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram: 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 15 Complete a distribuição de freqüência abaixo i Notas xi fi 0 |- 2 2 |- 4 4 |- 6 6 |- 8 8 |- 10 Total 50 4.5 Tipos de freqüências a) Freqüência Simples ou Absoluta (fi) : é o valor que representa o número de dados de uma classe, onde : k f i 1 i n b) Freqüência Relativa (fri): é a porcentagem entre a freqüência simples e a freqüência total: fri fi k fi 100% i 1 No exemplo: fr3 = 11/40 = 0,275 x 100 = 27,5 % k É obvio que: fri 100% i 1 O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise e facilitar comparações. c) Freqüência Acumulada (Fi): é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe. k Fk f1 f 2 f 3 f k ou Fk f i i 1 16 No exemplo F3 = f1 + f2 + f3 = 4+9+11=24, o que significa que existem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira classe) d) Freqüência Acumulada relativa (Fri): é a porcentagem entre a freqüência relativa acumulada da classe e a freqüência total da distribuição. Fri Fi k fi 100% i 1 No exemplo temos Fr3 = 24/40 = 0,6 = 60 %, o que significa que 60 % dos alunos acertaram menos de 162 questões Pode-se então montar a seguinte tabela: i 1 2 3 4 5 6 Total de Pontos 150 |- 154 154 |- 158 158 |- 162 162 |- 166 166 |- 170 170 |- 174 Total xi 152 156 160 164 168 172 fi 4 9 11 8 5 3 40 fri (%) 10,00 22,50 27,50 20,00 12,50 7,50 100,00 Fi 4 13 24 32 37 40 Fri (%) 10,00 32,50 60,00 80,00 92,50 100,00 Que nos ajuda a responder: 1) Quantos alunos acertaram entre 154, inclusive, e 158 questões ? Resp. 9 alunos 2) Qual a percentagem de alunos com total de pontos inferior a 154? Resp. 10% 3) Quantos alunos acertaram menos que 162 questões ? Resp. 24 alunos 4) Quantos alunos obtiveram um total de pontos não inferior a 158? Resp. 40-13 = 27 alunos 4.6 Distribuição de Freqüência sem Intervalo de Classe Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe, tomando a seguinte forma: Os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 6 1 5 2 5 5 6 4 2 6 2 3 3 5 2 6 3 1 2 4 4 5 3 5 6 3 1 5 1 1 6 3 4 3 5 2 6 4 6 2 6 3 2 5 4 5 4 6 1 3 17 i resultados 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 Total fi fri Fi 50 100 Fri Exercício: Complete a tabela abaixo e responda: i 1 Horas de estudo por semana 0 |- 5 xi fi 2 5 |- 10 96 3 10 |- 15 57 4 15 |- 20 25 5 20 |- 25 11 6 25 |- 30 6 fri Fi Fri 5 Total 100 Qual a porcentagem de pessoas que estudam menos de 15 horas ? Qual a porcentagem de pessoas que estudam 20 ou mais horas ? 18 4.7 Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüência Pode-se ser representado basicamente por um histograma, por um polígono de freqüência ou por um polígono de freqüência acumulada. a) Histograma: O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. Seja o exemplo: i 1 2 3 4 5 6 Total de Pontos 150 |- 154 154 |- 158 158 |- 162 162 |- 166 166 |- 170 170 |- 174 Total xi fi Fi 152 156 160 164 168 172 4 9 11 8 5 3 40 4 13 24 32 37 40 Histograma 12 Frequências fi 10 8 6 4 2 0 150150 |- 154154154 |- 158158158 |-162162162 |- 166166166 |- 170170170 |- 174174 Total de Pontos Estaturas (cm) b) Polígono de freqüência: É um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. 19 12 10 8 f 6 4 2 0 148 152 156 160 164 168 172 176 Estaturas [cm] Total de Pontos c) Polígono de freqüência acumulada: É traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 45 40 35 30 F 25 20 15 10 5 0 150 154 158 162 166 170 174 Estaturas [cm] Total de pontos Exercício - Construa o histograma, o polígono de freqüência e o polígono de freqüência acumulada da seguinte distribuição. 20 i Total de Faltas de uma sala com 60 alunos xi fi Fi 0 1 0 |- 2 5 2 2 |- 4 15 3 4 |- 6 25 4 6 |- 8 10 5 8 |- 10 5 6 21 Capítulo 5 - Medidas de Posição 5.1 Media Aritmética ( x ) n x x i 1 i n onde xi são os valores da variável e n o número de valores. di xi x a) Desvio em relação a média (di) n b) Propriedades: d i 1 i 0 A soma algébrica dos desvio em relação a média é nula Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante. Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. Exemplo: Seja a nota de 10 alunos: 8, 9, 7, 6, 10, 5,5, 5, 6,5, 7,5, 8,5 A média é x 8 9 7 6 10 5,5 5 6,5 7,5 8,5 7,3 10 Desvios: 8 - 7,3 9 - 7,3 7 - 7,3 6 - 7,3 10 - 7,3 5,5 - 7,3 5 - 7,3 6,5 - 7,3 7,5 - 7,3 8,5 - 7,3 Total 0,7 1,7 -0,3 -1,3 2,7 -1,8 -2,3 -0,8 0,2 1,2 0,0 22 c) para dados agrupados (distribuição de freqüência sem intervalos de classe) Seja a seguinte distribuição: no de filhos (xi) fi fi . xi que se deseja ter 0 2 0 1 6 6 2 10 20 3 12 36 4 4 16 Total 34 78 n x (f i 1 i n f i 1 tem-se então: x xi ) i 78 2,294 ~ 2,3 34 d) para dados agrupados (distribuição de freqüência com intervalos de classe). Adota-se o seguinte: todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio. Seja a seguinte distribuição: i Total de xi fi fi . xi pontos 1 150 |- 154 152 4 608 2 154 |- 158 156 9 1404 3 158 |- 162 160 11 1760 4 162 |- 166 164 8 1312 5 166 |- 170 168 5 840 6 170 |- 174 172 3 516 Total 40 6440 tem-se então: x 6440 161 pontos 40 23 Exercício 1 - Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição. Qtde de cursos de extensão realizados por ano (xi) pelos alunos do 4o Adm fi 1 2 2 4 3 6 4 8 5 3 6 1 fi . xi Exercício 2 - Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição. i Salário Mensal dos alunos do 4o Adm [R$] xi fi 1 450 |- 550 8 2 550 |- 650 10 3 650 |- 750 11 4 750 |- 850 16 5 850 |- 950 13 6 950 |- 1050 5 7 1050 |- 1150 1 fi . xi Total 5.2 A Moda (Mo) Denomina-se moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Caso 1) Dados não agrupados. Basta procurar o valor que mais se repete. Ex: 24 3,4,5,6,6,6,6,7,7,8,9 A série tem moda igual a 6 (valor modal 6) Pode acontecer também uma série sem valor modal. Ex: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 série amodal Pode acontecer também uma série com mais de uma moda. Ex: 1,2,2,2,3,4,5,6,6,6,7,8,9 a série tem duas modas (2 e 6) - série bimodal Caso 2) Dados agrupados. a) sem intervalos de classe. Basta identificar o valor da variável que possui maior freqüência. Ex: Seja a seguinte distribuição: Mo = 3 no de filhos (xi) fi que se deseja ter 0 2 1 6 2 10 3 12 4 4 Total 34 b) com intervalos de classe. A classe com maior freqüência é denominada classe modal, o cálculo da moda bruta é semelhante ao do ponto médio do intervalo de classe. Mo x i L 2 Ex: Seja a distribuição: i 1 2 3 4 5 6 Total de pontos 150 |- 154 154 |- 158 158 |- 162 162 |- 166 166 |- 170 170 |- 174 Total Então: a classe modal é i = 3, logo Mo = 160 pontos xi 152 156 160 164 168 172 fi 4 9 11 8 5 3 40 25 Exercício: Calcule a moda da seguinte distribuição: I Salário Mensal dos alunos do 4o Adm [R$] fi 1 2 3 4 5 6 7 450 |- 550 550 |- 650 650 |- 750 750 |- 850 850 |- 950 950 |- 1050 1050 |- 1150 Total 8 10 11 16 13 5 1 64 5.3 Mediana (Md) A mediana é o número que se encontra no centro de uma série de números, ou seja, separa os valores em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. Caso 1 ) Dados não agrupados Dada uma série de valores: 5,13,10,2,18,15,6,16,9 Deve-se então ordená-los: 2,5,6,9,10,13,15,16,18 Determina-se então o valor central que é 10 (4 valores para cada lado) Md = 10 Se a série tiver número par de valores, a mediana é a média dos dois valores centrais: 2,5,6,9,10,15,16,18 Md = (9+10)/2 = 9,5 Caso 2 ) Dados agrupados No caso de distribuição de freqüência deve-se primeiramente determinar a freqüência acumulada. Determina-se então, o valor que divide a distribuição em duas partes iguais. Aplica-se então: f i 2 26 a) sem intervalos de classe. Dada a série: Então: f 2 no de filhos (xi) que se deseja ter 0 1 2 3 4 Total i fi Fi 2 6 10 12 4 34 2 8 18 30 34 34 17 2 A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da variável. No caso de f 2 Md = 2 i Fi acontecer, a mediana será dada por: Md I 1 2 3 4 5 f 2 i 18 F3 , então: Md no de filhos (xi) que se deseja ter 0 1 2 3 4 Total x i x i 1 . Exemplo: 2 fi Fi 2 6 10 12 6 36 2 8 18 30 36 fi Fi 23 2,5 2 Exercícios: 1) Calcule a mediana das seguintes distribuições: i Qtde de anos de estudo (xi) 1 13 2 14 3 15 4 16 5 17 Total 6 14 24 16 8 27 i 1 2 3 4 5 6 Qtde de disciplinas em dependência 0 1 2 3 4 5 Total fi Fi 2 5 9 7 6 3 b) com intervalos de classe: segue-se os seguintes passos: 1o - Determina-se as freqüências acumuladas 2o - Calcula-se f i 2 3o - Marca-se a classe correspondente a freqüência acumulada imediatamente superior a f i 2 (classe mediana) e emprega-se a fórmula: fi Fant h 2 Md i fi onde: é o limite inferior da classe mediana F(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana h é a amplitude do intervalo da classe mediana fi é a freqüência do intervalo da classe mediana Exemplo: i 1 2 3 4 5 6 f 2 i Total de pontos 150 |- 154 154 |- 158 158 |- 162 162 |- 166 166 |- 170 170 |- 174 Total 40 20 , logo classe mediana é i = 3 2 Md 158 fi 4 9 11 8 5 3 40 = 158 Fi 4 13 24 32 37 40 F(ant) = 13 h = 4 f3 = 11 20 13 4 158 2,5 160,5 11 28 No caso de f 2 i Fi acontecer, a mediana será o limite superior da classe correspondente. Exercício: Calcule a mediana das seguintes distribuições: i Salário Mensal dos alunos do 4o Adm [R$] fi Fi 1 2 3 4 5 6 7 450 |- 550 550 |- 650 650 |- 750 750 |- 850 850 |- 950 950 |- 1050 1050 |- 1150 Total 8 10 11 16 13 5 1 64 i Valor da hora de trabalho de profissionais de uma empresa de consultoria [R$] fi 1 30 |- 50 2 2 50 |- 70 8 3 70 |- 90 12 4 90 |- 110 10 5 110 |- 130 5 Fi Total 5.4 Os Quartis Denomina-se quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. Portanto, há três quartis. São mais aplicados em distribuição de freqüência com intervalos de classe. Primeiro Quartil (Q1) - 25 % dos dados são menores que ele e os 75 % restantes são maiores. Segundo Quartil (Q2) - coincide com a mediana, 50 % para cada lado. Terceiro Quartil (Q3) - 75 % dos dados são menores que ele e os 25 % restantes são maiores. 29 Para o caso de dados agrupados, basta aplicar: k f i 4 , sendo k o número de ordem do quartil. Então: fi 3 fi 2 fi Fant h Fant h Fant h 4 4 4 Q1 i Q3 i Q2 i fi fi fi Exemplo: i Total de Pontos 1 150 |- 154 2 154 |- 158 3 158 |- 162 4 162 |- 166 5 166 |- 170 6 170 |- 174 Total fi 4 9 11 8 5 3 40 Fi 4 13 24 32 37 40 Primeiro Quartil f i 4 40 10 , logo classe do 1o Quartil é i = 2 4 = 154 h=4 f2 = 9 Q1 154 10 4 4 154 2,66 156,66 156,7 F(ant) = 4 9 Segundo Quartil = Mediana 2 f i 4 40 20 , logo classe do 2o Quartil é i = 3 2 h=4 = 158 F(ant) = 13 = 162 F(ant) = 24 f3 = 11 Q 2 Md 158 20 13 4 158 2,5 160,5 11 Terceiro Quartil 3 f i 4 3 40 30 , logo classe do 3o Quartil é i = 4 4 h=4 f4 = 8 Q3 162 30 24 4 162 3 165 8 Exercício: Calcule os quartis da seguinte distribuição: 30 i Salário Mensal dos alunos do 4o Adm [R$] fi 1 2 3 4 5 6 7 450 |- 550 550 |- 650 650 |- 750 750 |- 850 850 |- 950 950 |- 1050 1050 |- 1150 Total 8 10 11 16 13 5 1 64 Fi 5.5 Os Percentis Denomina-se percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais. Indica-se da seguinte forma: P1,P2,P3,...P99 Note-se que: P50 = Md, P25 = Q1 e P75 = Q3 Calcula-se da mesma forma que os quartis, só que aplicando: k f i 100 k fi Fant h 100 PK i fi , sendo k o número de ordem do percentil. Exemplo: i Total de Pontos 1 150 |- 154 2 154 |- 158 3 158 |- 162 4 162 |- 166 5 166 |- 170 6 170 |- 174 Total fi 4 9 11 8 5 3 40 Fi 4 13 24 32 37 40 Tem-se para o oitavo percentil: k 8 8 f i 100 8 40 3,2 , logo classe do 8o Percentil é i = 1 100 = 150 F(ant) = 0 h=4 f1 = 4 31 P8 150 3,2 0 4 150 3,2 153,2 4 Exercício: Calcule o percentil de ordem 20 da seguinte distribuição: i Salário Mensal dos alunos do 4o Adm [R$] fi 1 2 3 4 5 6 7 450 |- 550 550 |- 650 650 |- 750 750 |- 850 850 |- 950 950 |- 1050 1050 |- 1150 Total 8 10 11 16 13 5 1 64 Fi 32 Capítulo 6 - Medidas de Dispersão ou de Variabilidade 6.1 Amplitude total (AT) a) a amplitude total é a diferença entre o maior valor e o menor valor observado: AT x MÁX x MÍN Exemplo: 40, 45, 48, 52, 54, 62, e 70 AT = 70 - 40 = 30 Quanto maior a amplitude total , maior será a dispersão dos valores da variável em torno da média. 6.2 Variância (s2) e Desvio Padrão (s) São mais estáveis que a amplitude total, não sofrem tanto a interferência de valores extremos. a) para dados não agrupados A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios: x x f 2 s 2 i x x 2 i n i A variância é um número em unidade quadrada em relação a média, por isso, definiu-se o desvio padrão como a raiz quadrada da variância. O desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios. Para evitar o acúmulo de erro por arredondamento, simplifica-se o cálculo do desvio padrão com a seguinte: x x x x n 2 2 i 2 i i que resulta em: s x n 2 i xi n 2 Obs: Quando calcula-se a variância ou o desvio padrão de uma população através de uma amostra dessa, deve-se substituir o denominador n por n-1. Propriedades: 1a: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a (de) todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera. 33 2a.: Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado por essa constante. Exemplo: Calcule o desvio padrão da seguinte série: i 1 2 3 4 5 6 Total s x 2 i n xi n xi2 64 100 121 225 256 324 1090 xi 8 10 11 15 16 18 78 2 2 1090 78 181,67 169 3,56 6 6 b) para dados agrupados sem intervalos de classe: deve-se levar em conta as freqüências. s (f x i n 2 i ) (f i x i ) n 2 Exemplo: i 1 2 3 4 5 Total s (f x i n 2 i Qtde de filhos que se deseja ter (xi) 0 1 2 3 4 fi fi . xi fi . xi2 2 6 12 7 3 30 0 6 24 21 12 63 0 6 48 63 48 165 2 ) (f i x i ) 165 63 30 30 5,5 4,41 1,04 n 2 34 Exercício: Determine o desvio padrão. i Qtde de cursos de extensão realizados por ano (xi) pelos alunos do 4o Adm fi 1 1 2 2 2 5 3 3 8 4 4 6 5 5 3 6 6 1 Total fi . xi fi . xi2 25 c) para dados agrupados com intervalos de classe: também leva-se em conta as freqüências e xi é o ponto médio do intervalo de classe. Exemplo: i Total de Pontos xi fi fixi fixi2 1 150 |- 154 152 4 608 92416 2 154 |- 158 156 9 1404 219024 3 158 |- 162 160 11 1760 281600 4 162 |- 166 164 8 1312 215168 5 166 |- 170 168 5 840 141120 6 170 |- 174 172 3 516 88752 Total 40 6440 1038080 s (f i x i2 ) (f i x i ) n n 2 2 1038080 6440 25952 25921 31 5,57 40 40 35 Resolva: Calcule o desvio padrão pelo processo breve. i xi fi Salário Mensal dos fixi2 fixi alunos do 3o Mat [R$] 1 450 |- 550 8 2 550 |- 650 10 3 650 |- 750 11 4 750 |- 850 16 5 850 |- 950 13 6 950 |- 1050 5 7 1050 |- 1150 1 Total 64 i Peso kg xi Fi 1 30 |- 50 2 2 50 |- 70 8 3 70 |- 90 12 4 90 |- 110 10 5 110 |- 130 5 Total 37 fixi fixi2 36 6.3- Coeficiente de Variação (CV) É a porcentagem do desvio padrão em relação a sua média. CV s 100 x Exemplo: Para o exemplo anterior, das estaturas, tem-se média de 161 cm e desvio padrão de 5,57 cm CV 5,57 100 3,459 3,5% 161 Resolva: Calcule o CV dos dois últimos exercícios de cálculo de desvio padrão pelo processo breve. a) b) x 755 s 154 x 84,3 s 21,88 Conclusão: Quanto maior o CV maior será a dispersão Quanto menor o CV menor será a dispersão 37 Exercícios de Revisão: Os dados abaixo referem-se a idade das pessoas que compraram um determinado produto novo durante um dia. Determine: i Idade xi fi 1 0 |- 10 10 2 10 |- 20 26 3 20 |- 30 15 4 30 |- 40 8 5 40 |- 50 4 6 50 |- 60 3 7 60 |- 70 2 Fi fixi fixi2 Total a) b) c) d) e) f) Média; Desvio Padrão; Mediana Primeiro Quartil Terceiro Quartil P40 38 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS: 4 9 9 1 5 8 3 4 0 0 4 4 8 9 7 7 0 7 8 9 1 6 6 3 6 2 9 6 6 6 2 6 2 9 9 9 4 8 7 3 9 9 9 2 7 8 4 7 9 8 3 6 6 9 3 6 0 4 1 8 4 9 3 5 9 0 0 8 3 4 2 5 5 7 7 1 3 4 6 6 0 9 4 6 6 2 6 3 3 2 4 3 5 7 6 1 0 3 8 2 9 1 5 4 0 7 3 1 6 1 2 3 8 2 6 9 6 7 3 4 3 3 5 5 7 7 5 0 4 3 1 4 3 0 1 8 9 5 9 7 5 6 6 1 1 8 8 1 8 5 6 7 5 3 4 9 9 6 7 0 2 4 5 8 5 3 3 8 9 9 2 3 3 1 4 1 7 1 8 1 7 8 5 2 8 3 2 1 3 9 2 4 7 9 5 9 0 1 6 4 5 1 6 8 4 2 1 8 2 7 3 9 9 2 2 2 1 1 3 0 6 6 9 1 3 8 3 3 4 4 4 4 3 2 6 7 3 1 0 3 6 6 0 8 9 5 3 3 0 4 5 3 6 2 3 6 5 4 1 4 2 6 7 9 8 7 7 6 4 9 1 0 4 4 8 4 6 3 0 2 2 8 4 5 6 1 8 2 7 5 0 7 8 3 1 0 6 5 7 8 9 0 5 8 3 1 5 5 2 2 1 0 0 2 3 1 0 5 5 0 9 4 1 4 7 6 6 7 0 7 3 8 0 8 5 7 1 3 9 4 8 9 5 7 5 7 2 0 8 9 7 9 0 7 3 4 4 9 2 5 9 2 9 6 3 0 7 4 4 3 9 6 2 0 1 4 1 8 9 8 9 3 5 8 9 9 6 5 8 0 8 1 5 9 3 0 1 7 8 4 9 2 8 8 0 9 6 7 5 7 1 0 1 5 3 3 6 2 2 9 2 6 2 4 6 1 1 1 4 7 3 7 6 0 9 9 2 1 0 8 2 7 1 7 3 0 7 9 0 5 5 7 0 8 0 5 0 2 6 2 7 9 5 0 9 5 5 5 5 0 3 1 6 8 5 3 2 0 8 7 7 5 3 2 6 2 7 7 6 4 8 2 9 5 1 9 5 4 0 8 9 4 8 8 9 6 1 7 6 6 1 4 2 7 8 9 7 4 1 3 8 2 0 1 8 4 4 7 1 6 3 0 8 5 4 5 3 8 1 8 0 0 8 2 9 7 0 9 0 6 2 1 0 8 6 4 5 3 4 8 7 5 3 8 9 9 4 5 2 0 1 6 6 5 3 3 7 5 9 7 1 3 5 3 9 4 8 0 9 2 3 2 2 2 5 4 6 2 6 9 2 3 0 5 9 3 9 4 6 7 8 0 1 5 4 3 2 6 1 0 1 5 1 3 6 0 9 1 8 8 7 6 6 9 1 4 8 3 3 3 5 5 8 3 5 5 5 9 9 0 8 8 4 2 5 4 2 2 2 4 4 1 9 0 3 0 9 3 6 2 0 7 3 0 7 6 3 9 7 7 2 5 6 6 1 0 4 8 8 4 9 1 8 2 9 9 8 0 2 0 2 2 1 5 1 8 1 0 9 0 6 4 4 8 4 1 3 0 8 1 0 8 0 4 7 6 0 1 1 3 4 0 2 4 8 9 8 3 0 1 1 9 6 9 7 2 0 2 1 3 0 9 7 3 4 1 9 6 2 1 0 4 1 9 8 7 8 1 0 0 4 8 0 8 9 8 9 6 0 9 3 8 9 9 1 5 6 0 0 1 0 6 6 8 1 5 0 3 7 7 8 7 1 9 2 6 2 3 2 4 9 3 0 3 8 7 3 0 7 0 2 2 9 4 4 6 5 1 1 5 2 7 9 2 7 2 7 2 6 7 2 4 7 2 3 0 9 3 5 3 1 1 4 0 5 5 3 4 8 3 0 5 9 3 2 3 3 3 5 9 1 4 8 1 0 4 5 0 1 5 7 3 0 4 2 8 9 8 0 7 1 9 9 2 1 3 2 2 5 8 4 4 4 0 4 0 2 5 2 1 3 1 1 3 2 2 9 5 5 8 4 2 6 1 1 2 2 3 3 6 3 7 0 0 3 1 2 6 7 3 2 8 1 9 1 4 5 4 1 5 2 2 9 1 9 8 5 3 9 7 3 1 4 1 1 4 8 7 6 6 9 5 7 6 4 5 8 8 4 7 5 8 6 7 7 9 6 5 7 6 1 1 1 5 3 1 4 5 1 1 1 5 2 4 7 4 2 7 9 5 1 8 8 8 7 0 8 6 1 9 3 7 9 7 8 6 8 3 2 7 3 9 1 2 7 8 1 3 0 3 8 1 4 6 5 2 3 5 9 9 1 0 7 5 5 1 2 1 0 1 4 1 6 4 1 6 2 2 5 6 5 7 3 8 1 8 9 1 7 2 7 2 3 3 6 6 6 8 2 6 0 5 5 6 4 7 2 2 6 0 1 1 6 9 9 5 1 4 3 9 8 1 4 7 1 2 2 0 1 0 6 0 3 0 1 8 9 8 6 9 2 3 2 2 0 7 4 1 1 9 1 0 5 1 4 7 3 1 4 2 9 7 3 5 3 0 8 5 4 4 2 8 8 6 6 2 3 1 9 0 8 7 5 3 4 0 3 8 1 7 1 6 8 4 8 9 0 9 1 6 1 8 6 2 3 8 5 2 9 1 3 0 9 7 0 6 8 1 0 2 8 4 3 0 8 4 7 6 5 9 0 0 6 8 7 4 0 5 5 5 1 5 2 7 0 0 0 3 7 3 7 2 4 5 6 1 1 3 6 2 6 7 7 2 5 7 4 9 6 0 7 5 0 1 7 4 9 5 4 9 7 7 7 8 8 3 2 9 9 5 1 5 7 4 4 3 2 9 2 6 9 6 4 7 7 7 6 0 9 2 8 1 2 8 8 4 4 6 5 9 0 1 4 0 7 7 5 9 1 5 8 0 1 8 8 2 8 1 5 2 1 6 4 1 5 3 5 1 4 9 2 7 3 5 0 7 3 3 0 7 6 5 8 3 5 9 0 3 1 5 9 9 8 6 2 5 6 3 7 9 6 7 0 1 6 2 1 2 4 5 9 0 9 6 7 2 8 9 1 9 1 5 2 5 2 8 9 0 3 9 7 4 3 7 8 8 8 1 0 2 2 3 9 1 1 9 6 0 9 9 5 7 5 7 8 3 0 6 4 3 6 0 4 6 1 0 5 8 0 5 7 5 5 5 0 4 6 9 2 0 8 3 8 9 1 2 3 7 7 2 4 0 6 0 0 6 8 6 1 3 1 5 3 6 6 3 2 8 6 6 7 9 7 5 9 5 0 8 3 5 7 4 9 2 7 7 4 6 8 0 2 4 6 8 4 3 2 5 6 9 5 3 3 5 2 0 1 4 8 5 5 7 1 1 6 2 0 8 6 4 1 6 0 4 4 9 1 2 0 8 4 0 7 6 4 2 2 1 9 2 1 6 5 3 6 0 8 8 7 5 6 9 7 2 0 7 2 1 4 8 1 8 6 7 7 0 7 5 3 7 7 5 5 9 5 8 1 4 7 8 4 3 3 1 6 7 4 8 2 7 3 9 6 8 2 9 3 9 4 3 8 8 9 2 5 3 8 4 2 8 5 8 9 3 2 4 7 6 6 7 9 0 6 0 8 7 5 3 2 2 4 9 5 7 5 6 7 2 8 4 8 0 2 2 2 8 6 4 0 0 6 9 6 5 9 8 6 6 5 1 3 8 3 4 8 0 5 0 3 2 7 4 4 8 3 9 9 3 7 6 2 5 5 0 5 5 0 9 1 4 1 0 1 3 1 7 6 5 2 1 9 6 8 2 4 1 0 4 2 6 2 9 7 6 3 6 2 5 9 4 2 5 7 7 2 5 5 7 5 3 6 7 6 7 3 8 8 3 4 0 2 5 2 7 8 8 5 9 6 4 5 0 5 5 1 9 7 0 8 0 5 2 0 6 9 0 7 8 7 9 5 3 7 4 9 8 1 6 3 0 7 6 7 4 0 4 5 7 6 8 0 9 3 4 5 1 3 8 2 0 1 4 8 0 7 4 8 4 6 9 2 6 6 5 8 0 1 7 6 8 8 2 6 7 0 2 5 5 1 2 9 3 8 0 8 8 3 3 9 5 3 6 8 1 0 5 8 5 9 2 3 9 3 0 1 7 6 2 9 4 2 5 2 6 3 0 7 5 8 2 1 6 2 1 1 5 8 1 5 2 0 0 0 6 6 9 2 6 7 2 3 6 3 2 3 7 0 6 2 9 3 8 2 9 8 1 4 3 8 2 0 9 8 3 4 1 0 7 6 8 9 6 4 0 1 2 9 7 3 8 6 9 7 0 4 9 7 5 0 9 8 2 1 9 3 8 0 3 1 9 5 4 7 7 2 3 7 3 3 7 0 3 4 7 0 2 1 8 8 5 5 5 6 9 9 6 2 5 1 3 4 4 1 1 9 0 8 3 3 0 3 4 3 3 9 3 2 9 5 0 5 2 4 1 4 4 39 BIBLIOGRAFIA: COSTA NETO, P. L. de O. Probabilidades. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 1985. COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 17o ed. 1999. CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 17o ed. 1999. DANTE, L. R. Matemática: Contexto de Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999. DOWNING, D. , CLARK, J. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 2000. KAZMIER, L. J. Estatística Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Makron books Ltda., 1982. LAPPONI, J. C. Estatística Usando Excel. São Paulo: Editora Lapponi, 2000. LEVIN, J. Estatística Aplicada a Ciências Humanas, 2a edição. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil Ltda, 1978. NICK, E. , KELLNER, S. R. O. Fundamentos de Estatística para as Ciências do Comportamento. Rio de Janeiro: Editora Renes, 1971. SIEGEL, S. Estatística Não Paramétrica. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1975. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil Ltda, 1981. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 7a ed. 1999. 40 Exercícios Complementares: Capítulo 2 - População e Amostra 1) Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1ª série, 32 na 2ª série, 30 na 3ª série, 28 na 4ª série, 35 na 5ª série, 32 na 6ª série, 31 na 7ª série e 27 na 8ª série. Obtenha uma amostra de 40 alunos preenchendo a tabela abaixo. Séries População Cálculo Proporcional Amostra 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª Total 250 40 2) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às escolas de Ensino Fundamental. Obtenha uma amostra estratificada proporcional de 120 estudantes. Escolas A B C D E F Total Nº de Estudantes Masculino Feminino 80 95 102 120 110 92 134 228 150 130 300 290 876 955 3) Na Escola Y, as classes têm 20, 40, 25 e 15 alunos. Determine uma amostra estratificada com 20 elementos. 41 4) Quer fazer-se um estudo que estabeleça a relação entre faixa salarial e interesse por teatro, tomando-se um grupo de 1.550 pessoas. A tabela abaixo indica o número de pessoas de determinadas faixas salariais. Determine uma amostra com 200 elementos. Faixa salarial Até 3 salários mínimos De 3 a 6 salários mínimos De 6 a 9 salários mínimos Acima de 9 salários mínimos Total Nº de pessoas 776 387 232 155 1.550 Capítulo 3 - Séries Estatísticas 1) Retrato do Orçamento Familiar Itens que mais pesam (%) Educação, leitura e recreação (9,23) Saúde e cuidados pessoais (12,01) Transportes (13,95) Vestuário (5,08) Alimentação (25,12) Despesas diversas (inclui bebidas, cigarros e jogos eletrônicos) (3,46) Capital Belém Belo Horizonte Brasília Curitiba Florianópolis Fortaleza Goiânia Porto Alegre Recife Salvador Rio de Janeiro* São Paulo* Habitação (31,15) Renda média familiar (em salários mínimos) 7,52 10,76 23,83 12,59 12,06 9,34 7,42 12,73 9,08 6,06 17,20 15,62 Renda per capita (em salários mínimos) 1,95 2,69 6,40 3,57 3,34 2,24 1,86 3,88 2,26 1,43 5,60 4,27 * Para o Rio e São Paulo, os dados são referentes à Pesquisa do Orçamento Familiar de 1997/98. Fonte: O Estado de São Paulo, 15/03/2001. Considerando que, nos primeiros meses de 2002, o salário mínimo era de R$ 200,00, aproximadamente, analise as informações seguintes, classificando-as em V ou F, justificando: I. Em Belém, uma família gastava, em média, R$ 468,00 por mês em moradia. II. No Recife, um indivíduo gastava menos de R$ 65,00 por mês em transporte. 42 III. Os gastos com saúde de uma família em Fortaleza superavam os gastos com transportes de uma família em Goiânia. IV. Descontados os gastos com habitação e alimentação, sobravam a uma família paulista menos de R$ 1.300,00 por mês. 2) Analisando o gráfico de colunas ao lado, classifique em V ou F cada sentença seguinte, justificando: a) Se esse conjunto de dados fosse representado em um gráfico de setores (pizza), o ângulo correspondente à região Sul seria menor que 90º. b) O número de emissoras da região Sudeste supera a soma do número de emissoras das regiões Nordeste, Centro-Oeste e Norte. c) Supondo que Goiás concentre 60% das emissoras de sua região, o percentual de emissoras do país representado por este Estado é menor que 5%. 3) O pesadelo vai continuar a) Quais as medidas dos ângulos apresentados no gráfico ao lado? Sim 4% VEJA on-line perguntou aos internautas: “Capturando Bin Laden, os EUA estarão livres de novos atentados?” b) Quantos internautas responderam ―sim‖? Não 96% Total de participantes: 1.061 4) O histograma abaixo representa o tempo de espera (em minutos) na fila de um banco, em certa manhã, no centro de Belo Horizonte. Que porcentagem do total de pessoas esperou até 20 minutos na fila? Fi 16 12 6 4 2 Tempo 8 12 16 20 24 28 43 5) Considere os resultados abaixo de medição de temperatura, obtidos durante 10 dias, no mesmo horário, e construa um gráfico de linha. Dia Temperatura (ºC) 1º 32 2º 35 3º 34 4º 30 5º 28 6º 31 7º 32 8º 33 9º 30 10º 29 6) A tabela abaixo representa, em termos percentuais, a distribuição da população brasileira por cor. Construa: a) um gráfico de setores; b) um gráfico de colunas. Cor Branca Preta Amarela Parda Sem declaração Total % 54,23 5,92 0,56 38,85 0,44 100,00 Fonte: IBGE. 7) Examinando o histograma abaixo, que corresponde às notas relativas à aplicação de um teste de inteligência a um grupo de alunos, responda? a) Qual é o intervalo de classe que tem maior freqüência? b) Qual a amplitude total da distribuição? c) Qual o número total de alunos? d) Qual é a freqüência do intervalo de classe 110 |–– 120? e) Quantos alunos receberam notas de teste entre 90 (inclusive) e 110? f) Quantos alunos receberam notas de teste não inferiores a 100? 30 25 20 15 10 5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 44 8) Construa um gráfico de linha a partir da seguinte tabela: Anos 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 COMÉRCIO EXTERIOR BRASIL – 1984-93 Quantidade (1.000 t) Exportação Importação 141.737 53.988 146.351 48.870 133.832 60.597 142.378 61.975 169.666 58.085 177.033 57.293 168.095 57.184 165.974 63.278 167.295 68.059 182.561 77.813 9) Represente as tabelas usando o gráfico de barras: 45 a) PRODUÇÃO DE OVOS DE GALINHA BRASIL – 1992 Quantidade Regiões (1.000 dúzias) Norte 57.297 Nordeste 414.804 Sudeste 984.659 Sul 615.978 Centro-Oeste 126.345 Fonte: IBGE b) PRODUÇÃO DE VEÍCULOS DE AUTOPROPULSÃO BRASIL – 1993 Tipos Quantidade Automóveis 1.100.278 Comerciais leves 224.387 Comerciais pesados 66.771 Fonte: ANFAVEA 10) Construa um gráfico de colunas múltiplas a partir da seguinte tabela: Anos 1990 1991 PROPORÇÃO DOS DOMICÍLIOS POR CONDIÇÃO DE OCUPAÇÃO BRASIL – 1990-91 NATUREZA Próprios (%) Alugados (%) Cedidos (%) 62,7 22,9 14,4 70,3 16,5 13,2 11) Construa um gráfico de setores a partir da seguinte tabela: Espécie Auxílio-natalidade Auxílio-doença Auxílio-funeral Aposentadoria por Invalidez Aposentadoria por Tempo de Serviço Abono Permanente em Serviço Pensão por Morte Outras Espécies Quantidade 901.000 467.000 88.000 40.000 39.000 30.000 73.000 44.000 12) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se: a) construir a distribuição das freqüências absolutas; b) determinar as freqüências acumuladas, relativas absolutas e relativas acumuladas. c) construir o gráfico das freqüências absolutas (faça o gráfico que preferir). 56 13) De um exame final de Estatística, aplicado em 54 alunos da Faculdade FESAV, resultaram as seguintes notas: 7,0 7,1 2,1 2,8 8,6 8,0 6,7 6,9 4,2 4,5 7,0 7,8 3,5 6,7 6,4 5,7 9,8 7,0 4,2 7,4 7,1 6,1 10,0 8,0 5,0 6,2 8,3 6,8 7,5 7,2 6,2 5,1 9,2 7,5 7,8 7,0 7,2 4,3 6,6 6,4 6,9 7,4 8,9 6,9 7,1 6,5 6,1 6,9 9,0 7,0 1,7 8,3 5,0 5,0 Pede-se: a) Construir uma tabela de distribuição de freqüência, iniciando com 1,6 e adotando amplitude do intervalo de classe igual a 1,4, fechado à esquerda. b) Os pontos médios. c) Elaborar uma distribuição de freqüência acumulada e percentual (absoluta e acumulada). d) Quantos alunos obtiveram notas inferiores a 5,0? e) Quantos alunos obtiveram notas entre 5,0 e 8,0? f) Que porcentagem de alunos obteve notas acima ou igual a 7,0? g) Construa o gráfico de setores para as classes. 14) Construa um gráfico de colunas considerando a tabela abaixo: DISTRIBUIÇÃO DE RENDA NO BRASIL – 1971 Faixa de renda Habitações Até 1 salário mínimo 224.740 De 1 a 3 salários mínimos 363.860 De 4 a 8 salários mínimos 155.700 Acima de 8 salários mínimos 47.500 Total 791.800 15) Represente num gráfico de setores as faixas de renda observadas no Brasil, em 1971, de acordo com a tabela observada no exercício 14 acima. Para isso, utilize as freqüências relativas absolutas. 16) A tabela abaixo no fornece as principais altas de preço verificadas no Brasil, no período de setembro a 11 de novembro de 1984. Construa um gráfico de colunas, com estes dados. ELEVAÇÃO ACUMULADA DE SETEMBRO A 11 DE NOVEMBRO DE 1984 Produto % de alta Carne 2,5 Leite 10,7 Frutas 18,7 Vestuário 14,5 Fonte: IBGE. 57 17) Conhecidas as notas de 50 alunos: 68 71 80 41 94 85 35 61 55 98 33 81 41 78 66 52 50 91 48 66 65 35 55 69 73 77 64 73 85 42 84 74 59 67 65 65 47 53 39 94 74 54 77 60 88 57 68 45 76 89 Determine: a) a distribuição de freqüência começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude igual a 10; b) as freqüências acumuladas; c) as freqüências relativas; d) o histograma, o polígono de freqüência e a ogiva. 18) Um grau de nebulosidade, registrado em décimos, ocorre de acordo com a distribuição abaixo: Nebulosidade Fi 0 |–– 0,5 |–– 1,5 |–– 2,5 |–– 3,5 |–– 4,5 |–– 5,5 |–– 6,5 |–– 7,5 |–– 8,5 |–– 9,5 |–– 10,0 320 125 75 65 45 45 55 65 90 145 676 Construa o histograma correspondente. Capítulo 4 - Distribuição de Freqüência 1) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram: 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 Complete a distribuição de freqüência abaixo: i 1 2 3 4 5 Notas 0 |–– 2 2 |–– 4 4 |–– 6 6 |–– 8 8 |–– 10 Pm 1 ___ ___ ___ ___ Fi 1 ___ ___ ___ ___ = 50 58 2) Complete a tabela abaixo: i 1 2 3 4 5 Classes 0 |–– 8 8 |–– 16 16 |–– 24 24 |–– 32 32 |–– 40 Fi 4 10 14 9 3 Fa ___ ___ ___ ___ ___ = 40 fi (%) ___ ___ ___ ___ ___ = 100 % fa (%) ___ ___ ___ ___ ___ fi (%) 5,0 15,0 ___ 25,0 15,0 ___ ___ ___ = 100 % fa (%) ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 3) Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência: i 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 0 1 2 3 4 5 6 7 Fi 1 ___ 4 ___ 3 2 ___ ___ Fa ___ 4 ___ 13 ___ 18 19 ___ = 20 4) Complete a distribuição abaixo, determinando as frequências absolutas: i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 Fi ___ ___ ___ ___ ___ = 34 Fa 2 9 21 29 34 5) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus: Nº de acidentes Nº de motoristas 0 1 2 3 4 5 6 7 20 10 16 9 6 5 3 1 59 Determine: a) o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente; b) o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes; c) o número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes; d) o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes; e) a porcentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes. 7) Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência: i 1 2 3 4 5 6 7 8 Classes 0 |–– 2 2 |–– 4 4 |–– 6 __ |–– __ 8 |–– 10 10 |–– 12 __ |–– __ 14 |–– 16 Pm 1 ___ 5 7 ___ ___ 13 ___ Fi 4 8 ___ 27 15 ___ 10 ___ = ___ Fa ___ ___ 30 ___ 72 83 93 ___ fi (%) 4,0 ___ 18,0 27,0 ___ ___ 10,0 7,0 = ___ fa (%) ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 8) Conhecidas as notas de 50 alunos: 84 74 59 67 65 68 71 80 41 94 33 81 41 78 66 52 91 50 56 48 47 65 53 94 39 73 55 65 35 69 68 57 76 45 89 61 35 85 55 98 73 85 73 64 42 77 88 60 74 54 obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe. 9) As notas obtidas em Matemática por 80 estudantes de uma escola X estão relacionadas abaixo: 68 73 61 66 96 79 65 86 84 79 65 78 78 62 80 67 75 88 75 82 89 67 73 73 82 73 87 75 61 97 57 81 68 60 74 94 75 78 88 72 90 93 62 77 95 85 78 63 62 71 95 69 60 76 62 76 88 59 78 74 79 65 76 75 76 85 63 68 83 71 53 85 93 75 72 60 71 75 74 77 60 a) Organize o rol colocando os dados em ordem crescente. b) Qual é a menor nota? Qual é a maior nota? c) Qual é a amplitude total? d) Qual é a nota do estudante classificado em 10º lugar? e) Organize os dados em classes considerando 5 como amplitude. f) Faça a distribuição de freqüências. g) Quantos estudantes receberam nota superior ou igual a 85? Qual a porcentagem? 10) Observando a tabela abaixo, responda: Faixa de renda Até 1 salário mínimo De 1 a 3 salários mínimos De 4 a 8 salários mínimos Acima de 8 salários mínimos Total Habitações 224.740 363.860 155.700 47.500 791.800 a) Qual é a porcentagem de domicílios onde a renda é superior a 8 salários mínimos? b) Quantos são os domicílios onde a renda está entre 1 e 3 salários? c) Quantos são os domicílios onde a renda está abaixo de 3 salários? 11) Em uma fábrica foram testadas 400 lâmpadas; a duração delas aparece na distribuição de freqüência abaixo: Duração (em horas) 300 |–– 400 400 |–– 500 500 |–– 600 600 |–– 700 700 |–– 800 800 |–– 900 900 |–– 1.000 1.000 |–– 1.100 1.100 |–– 1.200 Total Nº de lâmpadas 14 46 58 76 68 62 48 22 6 = 400 Observando a tabela, responda: a) Qual a amplitude de cada classe? b) Qual a amplitude total da distribuição? c) Qual o ponto médio da quinta classe? d) Qual a freqüência relativa absoluta da sexta classe? e) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade máxima de 500 horas? f) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade de 900 horas ou mais? g) Construir uma tabela de distribuição de freqüência, em que apareçam Pm, Fi, Fa, fi e fa. 61 12) Examinando o histograma abaixo, que corresponde às notas relativas à aplicação de um teste de inteligência a um grupo de alunos, responda? a) Qual é o intervalo de classe que tem maior freqüência? b) Qual a amplitude total da distribuição? c) Qual o número total de alunos? d) Qual é a freqüência do intervalo de classe 110 |–– 120? e) Quantos alunos receberam notas de teste entre 90 (inclusive) e 110? f) Quantos alunos receberam notas de teste não inferiores a 100? 30 25 20 15 10 5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 13) De um exame final de Estatística, aplicado em 54 alunos da FAPAN, resultaram as seguintes notas: 7,0 7,1 2,1 2,8 8,6 8,0 6,7 6,9 4,2 4,5 7,0 7,8 3,5 6,7 6,4 5,7 9,8 7,0 4,2 7,4 7,1 6,1 10,0 8,0 5,0 6,2 8,3 6,8 7,5 7,2 6,2 5,1 9,2 7,5 7,8 7,0 7,2 4,3 6,6 6,4 6,9 7,4 8,9 6,9 7,1 6,5 6,1 6,9 9,0 7,0 1,7 8,3 5,0 5,0 Pede-se: a) b) c) d) e) f) Construir uma tabela de distribuição de freqüência, iniciando com 1,6 e adotando amplitude do intervalo de classe igual a 1,4, fechado à esquerda. Os pontos médios. Elaborar uma distribuição de freqüência acumulada e percentual (absoluta e acumulada). Quantos alunos obtiveram notas inferiores a 5,0? Quantos alunos obtiveram notas entre 5,0 e 8,0? Que porcentagem de alunos obteve notas acima ou igual a 7,0? 62 Capítulo 5 - Medidas de Posição 1) Calcule a média aritmética da série: a) X: 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30. b) Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20. c) Z: 3,4; 7,8; 9,23; 12,15. 2) Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote só é aprovado se apresentar um peso superior a 40 quilos. Se as unidades que compõem determinado lote pesam: 3; 4; 3,5; 5; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto? 3) Um produto é vendido em três supermecados por R$ 13,00/kg, R$ 13,20/kg e R$ 13,50/kg. Determine quantos R$/kg se paga em média pelo produto. 4) Calcule a média aritmética da série: xi 2 3 4 5 Fi 1 4 3 2 5) Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo: i Aluguel (R$) 1 2 3 4 5 0 |––– 200,00 200,00 |––– 400,00 400,00 |––– 600,00 600,00 |––– 800,00 800,00 |––– 1.000,00 Nº de casas Fi 30 52 28 7 3 6) Calcule a mediana da sequência: a) X: 2, 5, 8, 10, 12, 15, 8, 5, 12. b) Y: 3,4; 5,2; 4,7; 6; 8,4; 9,3; 2,1; 4,8. 63 7) Calcule a mediana da distribuição: xi 2 4 5 6 8 Fi 5 20 32 40 2 8) Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 54 notas fiscais, durante um dia, e obteve o quadro abaixo. Determine o valor mediano da série. i 1 2 3 4 5 6 Consumo por nota (R$) 0 |––– 50,00 50,00 |––– 100,00 100,00 |––– 150,00 150,00 |––– 200,00 200,00 |––– 250,00 250,00 |––– 300,00 Nº de notas 10 28 12 2 1 1 9) Considerando os conjuntos de dados: I. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 II. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7 III. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 IV. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 Calcule: a) a média aritmética b) a mediana c) a moda 10) Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são: R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00; R$ 88,00 Determine: a) a média dos salários-hora b) o salário-hora mediano 11) As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. Determine: a) a nota média b) a nota mediana 64 c) a nota modal 12) Considerando a distribuição abaixo: xi Fi 3 4 4 8 5 11 6 10 7 8 8 3 Calcule: a) a média b) a mediana c) a moda 13) Em uma das classes de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição: Notas Nº de Alunos 2 1 3 3 4 6 5 10 6 13 7 8 8 5 9 3 10 1 Calcule: a) a nota média b) a nota mediana 14) Calcule a média, a mediana e a moda das distribuições de freqüência abaixo: I. i 1 2 3 4 5 Notas 0 |–– 2 2 |–– 4 4 |–– 6 6 |–– 8 8 |–– 10 Fi 5 8 14 10 7 = 44 65 15) Calcule a idade média e a idade mediana dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada Faculdade, em anos. Idade (anos) xi 17 18 19 20 21 Nº de alunos Fi 3 18 17 8 4 16) O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule a salário médio destes funcionários. i Salário (R$) 1 2 3 4 5 6 400,00 |––– 500,00 500,00 |––– 600,00 600,00 |––– 700,00 700,00 |––– 800,00 800,00 |––– 900,00 900,00 |––– 1.000,00 Nº de funcionários Fi 12 15 8 3 1 1 17) Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 25 funcionários selecionados de uma empresa. i Salário (R$) 1 2 3 4 5 1.000,00 |––– 1.200,00 1.200,00 |––– 1.400,00 1.400,00 |––– 1.600,00 1.600,00 |––– 1.800,00 1.800,00 |––– 2.000,00 Nº de funcionários Fi 2 6 10 5 2 18) O departamento pessoal de uma certa empresa fez um levantamento dos salários dos 120 funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados (em salários mínimos) da tabela abaixo. Calcule o primeiro quartil e a mediana. 63 Faixa salarial 0 |–– 2 2 |–– 4 4 |–– 6 6 |–– 8 Fi (%) 25,0 40,0 20,0 15,0 19) Uma empresa está planejando diminuir o tempo de entrega de um produto que comercializa. Para tal, fez um levantamento das últimas 50 entregas obtendo a informação sobre o número de dias que o produto levou para ser entregue. Os dados, já ordenados, são apresentados a seguir: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8 e 15. (a) Calcule média, moda e mediana e o quartis. 21) Considerando a distribuição de freqüência: Nº de acidentes 02 |— 10 |— 18 |— 26 |— 34 |— 42 |— 10 18 26 34 42 50 Nº de meses 5 18 25 19 9 3 a) Calcular o número mediano de acidentes; b) Determinar o primeiro e o terceiro quartil; 22) Um grupo de candidatos a um emprego foi submetido a um teste de QI. Os resultados estão agrupados abaixo: Q.I. 80/----90 90/---100 100/---110 110/---120 120/---130 No de candidatos 20 100 120 50 10 Calcular: a) O QI médio. (103) b) O QI mediano. (102,5) c) A moda desses valores. (102) d) Os quartís e classificar os candidatos em: Péssimos, Regulares, Bons e Ótimos. (95,5; 102,5; 108,75) 64 Capítulo 6 - Medidas de Dispersão ou de Variabilidade 1) Calcule os desvios padrões dos conjuntos de dados: a) 1, 3, 5, 9 b) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20 c) 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2 d) –10, –6, 2, 3, 7, 9, 10 2) Calcule os desvios padrões das distribuições: xi Fi 2 1 3 3 4 5 5 8 6 5 7 4 8 2 3) Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultaneamente: Nº de caras Frequências 0 4 1 14 2 34 3 29 4 16 5 3 calcule o desvio padrão. 4) Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão? 5) Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos x = 162,2 cm e s = 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso? 6) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual a 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo? 7) Numa empresa o salário médio dos funcionários do sexo masculino é de R$ 4.000,00, com um desvio padrão de R$ 1.500,00, e os funcionários do sexo feminino é em média de R$ 3.000,00, com um desvio padrão de R$ 1.200,00. Então, calcule os coeficientes de variações e diga qual o grupo mais homogêneo. 8) O Desvio padrão de um conjunto de dados é 9. A variância é: a) 3 c) 81 b) 36 d) 18 65 9) Na distribuição de valores iguais, o Desvio Padrão é: a) negativo c) zero b) a unidade d) positivo 11) A variância do conjunto de dados tabelados abaixo é: Classes 03 |–– 08 08 |–– 13 13 |–– 18 18 |–– 23 Fi 5 15 20 10 12) Considerando a distribuição de freqüência professores de uma faculdade, determine: i Salários R$ xi fi 1 0 |-- 2 8 2 2 |-- 4 12 3 4 |-- 6 22 4 6 |-- 8 26 5 8 |-- 10 18 6 10 |-- 12 15 fixi fixi2 relativa ao salário, em salários mínimos, de Fi Total g) h) i) j) k) l) m) A média salarial; O desvio padrão; O coeficiente de variação A mediana O primeiro quartil O terceiro quartil O percentil 90 Resposta: a) 6,56 b) 2,92 c) 44,51% d) 6,65 e) 4,48 f) 8,86 g) 10,65 66 13) Considerando a distribuição de freqüência relativa ao total de pontos obtido em um teste de aptidão, determine: i Total de pontos xi fi 1 20|-- 40 9 2 40 |-- 60 15 3 60|-- 80 32 4 80 |-- 100 21 fixi fixi2 Fi Total a) b) c) d) e) f) g) A média; O desvio padrão; O coeficiente de variação A mediana O primeiro quartil O terceiro quartil O percentil 10 Respostas: a) 66,88 b) 19,09 c) 28,54 % d) 69,06 e) 53,67 f) 81,67 g) 37,11 14) A amostra abaixo foi retirada de uma população de notas dos alunos de uma classe: 5 8 6 5 5 2 7 Determinar: a) b) c) d) e) f) g) h) A nota média. O desvio médio A variância O desvio padrão A moda A mediana A amplitude O coeficiente de variação (5,4) (1,3) (3,6) (1,9) (5) (5) (6) (35%) 67 15) A amostra abaixo representa uma distribuição salarial. Salários (em milhares deR$) No funcionários 1/---3 3/---5 5/---7 7/---9 9/---11 11/---13 13/---15 40 80 100 50 30 20 10 Calcular: a) A média salarial. (6,3 ou R$ 6.303,03) b) O salário mediano. (5,90 ou R$ 5.900,00) c) Os quartís e classificar os salários em: baixos, abaixo da mediana, acima da mediana e altos. (4,06 ou R$ R$ 4.062,50; 5,90 ou R$ 5.900,00 e 8,10 ou R$ 8.100,00) d) O salário modal. ( 5,57 ou R$ 5.571,43) e) O desvio médio salarial. (2,34 ou R$ 2.343,43) f) A variância dos salários. (9,03 ou R$2 9.026.434,56) g) O desvio padrão dos salários. (3,00 ou R$ 3.004,40) h) O coeficiente de variação dos salários. ( 48%) 68 69