Mecânica Aplicada
Engenharia Biomédica
Apontamentos
Parte 3 - DINÂMICA
Versão 0.2- Dezembro de 2003
J.A.C. Martins
I.S.T., Dep. Eng. Civil e Arquitectura, Gab. 4.11
[email protected]
Sumário:
1. DINÂMICA DA PARTÍCULA
1.1. Definições fundamentais
1.2. Leis fundamentais para uma partícula
2. DINÂMICA DOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS
2.1. Centro de massa de um sistema de partículas
2.2. Quantidades de movimento e energia cinética de um sistema de partículas
2.3. Teoremas das quantidades de movimento
2.4. Forma impulsional dos teoremas das quantidades de movimento
2.5. Teorema das forças vivas
2.6. Conservação da energia total mecânica
3. DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS
3.1. Trabalho das forças que actuam num corpo rígido
3.2. Quantidade de movimento angular de um corpo rígido
3.3. Energia cinética de um corpo rígido
3.4. Componentes do tensor de inércia, outras definições e propriedades
3.5. Teorema de Lagrange-Steiner
3.6. Transformações devidas a rotações.
3.7. (*) Direcções e momentos principais de inércia.
3.8. (*) Equações do movimento de um corpo rígido
3.9. Movimento Plano
1. DINÂMICA DA PARTÍCULA
1.1. Definições fundamentais
Como se recordou anteriormente, as leis de Newton introduzem →
uma grandeza vectorial,
chamada força, que quantifica a interacção entre partículas. A força F que actua sobre uma
partícula P em resultado da sua interacção com outra partícula é um vector cuja completa definição
requer pois o conhecimento do seu módulo (a intensidade da força),
da sua direcção e do seu
→
sentido. Também
se recordou anteriormente que, dada uma força F que actua sobre uma partícula
→
P, o momento M O da força em relação a um ponto O qualquer é dado por (ver Figura 1.1)
→
→
→
M O = OP × F
(1.1)
e caracteriza a capacidade que aquela força tem de fazer rodar o segmento OP em torno do ponto
O.
→
Por outro lado, se a força F actuar sobre uma partícula P durante um certo intervalo de
tempo, designa-se por impulso linear da força no intervalo de tempo [t1,t2] a quantidade
t2
→
⌠
⌡ F dt ,
t1
(1.2)
e designa-se por impulso angular da força em relação ao ponto O no intervalo de tempo [t1,t2] a
quantidade
t2
→
→
⌠
⌡ OP × F dt.
t1
(1.3)
→
→
Finalmente, o trabalho elementar de uma força F no deslocamento elementar d x do seu
ponto de aplicação é dado pelo produto interno
→
→
dτ = F . d x .
(1.4)
Quer dizer, o trabalho elementar é, em módulo, igual ao produto do módulo da força pela projecção
do deslocamento elementar sobre a direcção da força, ou, de forma equivalente, o produto do
módulo do deslocamento elementar pela projecção da força sobre a direcção do deslocamento.
No que se refere à caracterização do estado de movimento de uma partícula, utilizam-se,
nas leis de Newton e nas leis que delas se deduzem, as grandezas que se definem a seguir (ver
Figura 1.1).
→
O vector quantidade de movimento (ou momentum linear) p de uma partícula P, de massa
→
m e com velocidade v , é igual ao produto da massa pela velocidade:
→
→
p =mv.
(1.5)
→
O vector quantidade de movimento angular (ou momentum angular) l O da mesma partícula em
relação a um ponto O qualquer é igual ao momento em relação a O da quantidade de movimento
→
linear p da partícula (aplicada na partícula P):
→
lO
→
→
→
→
= OP × p = OP × (m v ).
(1.6)
Finalmente, a energia cinética da partícula é o escalar dado por
1
T = 2 m v2 .
→
(1.7)
→
Figura 1.1. Força ( F ) e momento da força
( M O).
→
→
Quantidades de movimento linear ( p ) e angular ( l O) de uma partícula P.
1.2 Leis fundamentais para uma partícula
A partir das definições introduzidas e das leis de Newton é possível deduzir uma série de
leis fundamentais para uma partícula. Note-se em primeiro lugar que, como a massa em (1.5) é
independente do tempo, a segunda lei de Newton se pode escrever nas formas equivalentes:
→
dp
→
F = dt = m a .
→
(1.8)
Seja então F um ponto "fixo"
(a origem de um referencial "fixo", isto é, um qualquer
→
→
referencial de inércia) e seja x = FP o vector de posição ("absoluta") da partícula nesse referencial.
Utilizando a definição (1.1) de momento de uma força e a lei de Newton (1.8) obtém-se
→
→
→
dp
→
→
M F = x × F = x × dt .
(1.9)
Observe-se por outro lado que (usando as definições (1.5) e (1.6) e o facto de o produto externo de
dois vectores paralelos ser nulo) se tem
→
→
→
→
d l F d( x→ × p→) d x→ → → dp
dp → dp
→
→
→
= dt × p + x × dt = v × m v + x × dt = x × dt ,
dt =
dt
(1.10)
pelo que a equação (1.9) pode ser escrita na forma
→
dlF
M F = dt .
→
(1.11)
Este resultado, que constitui o teorema da quantidade de movimento angular, é análogo à segunda
lei de Newton, de onde deriva, com a diferença de que os vectores força e quantidade de
movimento linear em (1.8) são substituídos em (1.11) pelos vectores momento da força e
quantidade de movimento angular: o momento em relação a um ponto fixo da força que actua
numa partícula é igual à taxa de variação em ordem ao tempo da quantidade de movimento
angular da partícula em relação ao mesmo ponto fixo.
Proceda-se agora à integração no tempo de (1.8) e (1.11) entre dois instantes t1 e t2. Obtêmse as equações
t2
t2
→
→
→
⌠
⌠ dp = p2 − p1,
⌡ F dt = ⌡
t1
t1
→
(1.12)
t2
t2
→
→
→
F2
⌠ M dt = ⌠ d l = l
F
⌡ F
⌡
t1
t1
→
− l
F1
,
que constituem a forma impulsional das equações do movimento, também designadas por teoremas
dos impulsos e das quantidades de movimento: o impulso linear da força que actua numa partícula
durante um certo intervalo de tempo é igual à variação da quantidade de movimento linear da
partícula no mesmo intervalo de tempo; o impulso angular em relação a um ponto fixo da força
que actua numa partícula durante um certo intervalo de tempo é igual à variação da quantidade
de movimento angular da partícula em relação ao mesmo ponto fixo no mesmo intervalo de tempo.
Como corolário destes teoremas, ou das equações (1.8) e (1.11), constata-se que numa partícula em
que não actuam forças se conservam as quantidades de movimento linear e angular. Mais
concretamente, verificam-se as seguintes implicações,
→
→
→
F = 0 ⇒ p é constante,
(1.13)
→
→
→
M F = 0 ⇒ l F é constante,
que constituem os princípios de conservação das quantidades de movimento.
→
Por último, observe-se que o deslocamento elementar d x de uma partícula se relaciona com
→
a velocidade (absoluta) v da partícula através de
→
dx
→
d x = dt dt = v dt .
→
(1.14)
Então, o trabalho elementar realizado pela força que actua sobre a partícula pode ser expresso,
recorrendo a (1.4), (1.8) e (1.14), na forma
→
→
→
dτ = F . d x =
d(m v ) →
dt . v dt ,
(1.15)
ou, como a massa m é constante,
→
dv →
d 1 → →
d 1
dτ = m dt . v dt = m dt (2 v . v ) dt = dt (2 m v2) dt .
(1.16)
Atendendo à definição (1.7) de energia cinética, pode-se finalmente escrever
dτ = dT ,
→
(1.17)
→
cuja integração, entre duas posições x 1 e x 2 da partícula conduz a
τ1→2 =
→
→
⌠
⌡ F . d x = T2 − T1.
→
→
x 1→ x 2
(1.18)
Ou seja, o trabalho realizado pela força que actua numa partícula ao longo de uma trajectória que
une duas posições dessa partícula é igual à variação da energia cinética da partícula entre essas
posições. Este resultado constitui o teorema das forças vivas para uma partícula.
O teorema das forças vivas pode ser apresentado noutra forma se a força que actua na
partícula for conservativa. Forças conservativas são forças que não produzem trabalho quando o
seu ponto de aplicação percorre uma trajectória fechada arbitrária:
→
→
F . d x = 0.
(1.19)
Como consequência, o trabalho realizado por uma força conservativa só depende da posição
→
inicial e final, e é possível definir uma função de posição V = V( x ) designada
por energia
→
potencial, que é igual a menos o trabalho realizado pela força conservativa F entre uma posição
→
→
arbitrariamente escolhida x 0 e a posição genérica x , mais uma constante arbitrária V0 que é o
→
valor de V em x 0:
→
V = V( x ) = V0 −
→
→
⌠
⌡ F .dx.
→
→
x0 →x
→
→
O trabalho realizado pela força conservativa entre duas posições quaisquer ( x 1 e x 2) é então igual
a menos a variação da energia potencial entre essas posições
→
→
→
→
→
x 1→ x 2
→
→
x 1→ x 0
→
→
→
→
→
→
→
→
→
τ1→2= ⌠
⌡F . d x = ⌠
⌡F . d x + ⌠
⌡ F . d x =−[V( x 0)−V( x 1)]−[V( x 2)−V( x 0)]=−[V(x 2)−V( x 1)]
→
→
x 0→ x 2
(1.20)
ou, em percursos infinitesimais,
dτ = − dV.
(1.21)
Isto significa que, de acordo com a definição (1.4) do trabalho elementar realizado por uma força,
→
→
F . d x = − dV,
(1.22)
ou, desenvolvendo ambos os membros de (1.22):
∂V
Σ Fi dxi = − Σ ∂x
dxi,
i
 ∂V

 ∂V

 ∂V

∂x + F1 dx1 + ∂x + F2 dx2 + ∂x + F3 dx3 = 0.
 1

 2

 3

(1.23)
Assim, se os deslocamentos dxi forem independentes, é possível sucessivamente fazer (dx1 ≠ 0, dx2
= dx3 = 0), (dx2 ≠ 0, dx1 = dx3 = 0) e (dx3 ≠ 0 dx2 = dx1 = 0), e, sucessivamente, concluir que ∂V/∂xi
+ Fi = 0, para i = 1, 2, 3, isto é, concluir que as componentes cartesianas da força conservativa são
iguais a menos as derivadas parciais respectivas da energia potencial e a força conservativa é igual
a menos o gradiente da energia potencial,
Fi = −
→
∂V
−−−→
, F = − grad V.
∂xi
(1.24)
Como exemplos, referem-se os casos→das forças conservativas representadas na Figura 1.2.
Em primeiro lugar, para a força gravítica F g exercida sobre uma massa m localizada perto da
superfície da Terra tem-se
→
→
F g = − m g e z,
Vg = m g z + C,
(1.25)
→
em que z é a cota da massa em relação a um plano horizontal arbitrário, e z é o versor da direcção
vertical (orientado para cima), g é o valor da aceleração da gravidade à superfície da Terra
(admitida como constante) e→a constante de integração C é arbitrária. Em segundo lugar, para uma
força de restituição elástica F e exercida por uma mola elástica linear de rigidez K e alongamento ∆
a partir da configuração indeformada tem-se
→
→
Fe = − K ∆ e e
1
Ve = 2 K ∆2 + C
,
(1.26)
→
em que e e é um vector unitário com a direcção da mola e com o sentido dos alongamentos
positivos ∆ da mesma e a constante de integração C é arbitrária.
Figura 1.2. Dois exemplos de forças conservativas
No caso das forças conservativas, o teorema das forças vivas (1.18) pode ser reescrito
explicitando o trabalho da força conservativa em função da energia potencial (1.20). Obtém-se
− (V2 − V1) = T2 − T1,
(1.27)
A soma da energia potencial com a energia cinética,
E = T + V,
(1.28)
é designada por energia total mecânica. Facilmente se conclui da equação (1.27) que, quando a
força é conservativa a energia total mecânica da partícula se conserva:
E1= T1 + V1 = T2 + V2 = E2.
(1.29)
Um exemplo de forças não conservativas é o das forças de atrito, cujo trabalho é ou negativo
(sempre que haja escorregamento) ou nulo (caso não haja escorregamento), não se anulando,
portanto, num percurso fechado arbitrário.
Exemplo E.1.1.
O bloco A de 600 kN desliza sobre rodas num plano horizontal e está ligado ao bloco B de 100 kN
por um cabo que passa no sistema de roldanas indicado na Figura E.1.1. O sistema parte do repouso
e, depois de o bloco A ter percorrido 20 m, bate numa mola M que se comprime, até que pára o
movimento do sistema.
a) Utilizando as Leis de Newton, determinar as acelerações dos blocos A e B e a força no cabo na
fase inicial do movimento.
b) Utilizando o Teorema do Impulso e da Quantidade de Movimento, determinar a velocidade do
bloco B ao fim de 2 segundos.
c) Utilizando o Teorema das Forças Vivas ou a Conservação da Energia Total Mecânica,
determinar a rigidez da mola para que o seu encurtamento máximo seja de 0.5 m.
Figura E.1.1
2. DINÂMICA DOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS
2.1. Centro de massa de um sistema de partículas
Considere-se agora um sistema constituído por n partículas, representado na Figura →2.1. A
→
partícula tem massa mk, posição (absoluta) x k e é actuada por uma força resultante F k. De
forma análoga utiliza-se o índice k para identificar a partícula a que qualquer grandeza derivada →
das
→
→
→
p k (quantidade de
movimento), l Ok
anteriores se refere: v k (velocidade), a k (aceleração),
→
→
(quantidade de movimento angular em relação a O) e M Ok (momento da força F k em relação a O).
késima
Figura 2.1. Sistema de partículas
A massa total M do sistema de partículas obtém-se somando as massas individuais das partículas
n
M = ∑ mk .
(2.1)
k=1
Define-se centro de massa do sistema de partículas o ponto G localizado em
1
xG=M
→
n
∑ mk x k .
→
(2.2)
k=1
A velocidade e a aceleração do centro de massa relacionam-se com as velocidades e as acelerações
das partículas individuais por
1
vG=M
→
n
∑ mk v k ,
k=1
→
1
aG=M
→
n
∑ mk a k,
k=1
dado que a derivada da soma é igual à soma das derivadas.
→
(2.3)
→
→
Por outro lado, recorde-se que a posição relativa r k = OPk de uma partícula genérica se
→
→
relaciona com a sua posição absoluta x k = FPk pela equação (ver Figura 2.2)
→
→
→
xk= xO+ rk,
(2.4)
que, derivada uma e duas vezes dá, respectivamente,
→
→
→
v k = v O + ṙ k ,
→
→
→
a k = a O + ˙˙
rk.
(2.5)
→
A posição relativa r G do centro de massa é então dada por
→
→
→
r G = OG = x G − x O ,
→
(2.6)
pelo que, atendendo às definições de centro de massa (2.2), de posição relativa (2.4) e de massa
total (2.1), vem
1
rG = M
→
n
∑
1
mk x k − x O = M
→
→
k=1
n
∑
1
mk ( x O + r k ) − x O = M
→
→
→
k=1
n
∑ mk r k ,
→
(2.7)
k=1
e, analogamente,
1
ṙ G = M
→
n
∑
k=1
→
mk ṙ k,
1
→
˙˙
rG=M
n
∑ mk ˙˙r k.
→
k=1
Figura 2.2. Posição relativa de uma partícula em relação ao centro de massa
(2.8)
Por vezes, é também conveniente considerar as posições relativas das partículas em relação
ao centro de massa do sistema (ver Figura 2.2). Essas posições relativas em relação ao centro de
massa são dadas por
→
→
→
→
ρ k = GPk = r k − r G .
(2.9)
Desta definição e de (2.6) resulta que
n
n
n
∑ mk ρ k = ∑ mk r k − ∑ mk r
→
k=1
→
k=1
→
→
G
= 0,
(2.10)
k=1
pelo que
n
∑
→
n
mk ρ̇ k =
∑
k=1
→
→
mk ˙ρ̇ k = 0.
(2.11)
k=1
2.2. Quantidades de movimento e energia cinética de um sistema de partículas
→
A quantidade de movimento linear P de um sistema de partículas é a soma das
contribuições individuais de todas as partículas do sistema,
n
→
P=
n
∑ p k = ∑ mk v k = M v
→
k=1
→
→
,
G
(2.12)
k=1
→
o mesmo acontecendo à quantidade de movimento angular L O de um sistema de partículas em
relação a um ponto O qualquer,
→
LO =
n
n
∑l
k=1
→
Ok
=
∑
→
→
OPk × mk v k =
n
∑ r k × mk v k .
→
→
(2.13)
k=1
k=1
Finalmente, a energia cinética de um sistema de partículas é também obtida pela soma das
contribuições individuais das partículas,
n 1
T = ∑ 2 mk v k 2 .
(2.14)
k=1
2.3. Teoremas das quantidades de movimento
Os teoremas obtidos anteriormente para uma partícula podem ser generalizados aos
sistemas de n partículas. Para tal, é conveniente classificar as forças actuantes em exteriores e
interiores. Forças exteriores são forças que resultam da interacção das partículas do sistema com
partículas exteriores ao mesmo: são forças que representam acções exercidas pelo exterior sobre as
partículas do sistema. Forças interiores são forças que resultam da interacção entre as várias
partículas pertencentes ao sistema considerado. Deste modo a força actuante em cada partícula
pode ser expressa na forma
→
→
→
int
F k = F ext
k + F k.
(2.15)
De acordo com a terceira lei de Newton (lei de acção e reacção), o sistema das forças interiores é
constituído por pares de forças iguais em intensidade, com a mesma linha de acção e sentidos
opostos. Cada um desses pares de forças interiores é pois equivalente a zero e, consequentemente,
o sistema constituído por todos esses pares de forças (o sistema de todas as forças interiores a um
sistema de partículas) é um sistema equivalente a zero: os seus elementos de redução num ponto O
qualquer são dados por
n
∑F
→int
k
→
=0
k=1
(2.16)
n
∑r
→
→
× F int
k = 0.
→
k
k=1
Tem-se, portanto, que os elementos de redução do sistema de forças exteriores e do sistema de
forças total são idênticos, isto é,
n
n
∑ F =∑ F
→
→ext
k
k
n
+
∑F
n
→int
=
k
∑F
k=1
k=1
k=1
k=1
n
n
n
n
→ext
k
→ext
=F
,
(2.17)
∑M =∑M
→
Ok
k=1
→ext
Ok
+
k=1
∑M
→int
Ok
k=1
=
∑M
→ext
Ok
→
= M ext
.
O
k=1
A aplicação da segunda lei de Newton à equação (2.17)1 conduz então a
→ext
F
n
=
∑
k=1
→
dpk d  n → 
F k = ∑ dt = dt  p k =


k=1
 k=1 
→
n
∑
n
∑ mk a k ,
→
(2.18)
k=1
que, de acordo com a definição (2.12), resulta no teorema da quantidade de movimento linear para
um sistema de partículas:
→
→ext
F
dP
= dt .
(2.19)
Como corolário, e de acordo com (2.3) ou (2.12), obtém-se o teorema do movimento do centro de
massa de um sistema de partículas, expresso por
→
F ext = M a G .
→
(2.20)
Chama-se a atenção para o facto de o teorema do movimento do centro de massa ter uma forma
análoga à segunda lei de Newton. Com efeito, o teorema do movimento do centro de massa (2.20)
diz-nos que a aceleração adquirida pelo centro de massa de um sistema de partículas é igual à
aceleração adquirida por uma única partícula localizada no centro de massa do sistema, com
massa igual à massa total do sistema e actuada por uma única força igual ao vector principal do
sistema de forças exteriores que actua no sistema.
A introdução em (2.17)2 da definição (1.1) de momento de uma força em relação a um
ponto O e a aplicação da segunda lei de Newton conduzem a
n
→ext
MO =
∑
n
→
M Ok =
k=1
∑
n
→
→
r k × Fk =
k=1
∑ r k × mk a k.
→
→
(2.21)
k=1
→
Por outro lado, derivando em ordem ao tempo a quantidade de movimento angular L O, definida em
(2.13), e utilizando a relação (2.5) obtém-se sucessivamente
→
dLO d  n →
→ 


=
r
×
m
v
k
k
k
dt
dt 
 k=1

∑
n
=
∑ ( ṙ
→
k
→
→
→
× mk v k + r k × mk a k
)
k=1
n
=
∑((v
→
k
→
→
→
→
− v O) × mk v k + r k × mk a k
)
k=1
n
=
∑
→
→
→
v k × mk v k − v O ×
k=1
n
∑
→
mk v k +
k=1
n
∑ r k × mk a k .
→
→
(2.22)
k=1
Observando então que o primeiro somatório do último membro desta expressão é nulo (são nulos
os produtos externos de dois vectores paralelos) e usando a equação (2.3) no segundo somatório do
último membro da mesma expressão obtém-se
→
dL O
→
→
dt = − v O × M v G +
n
∑ r k × mk a k .
→
→
(2.23)
k=1
Note-se por fim que, se o ponto O for um ponto fixo
(o que implica que a sua velocidade e a sua
→
→
aceleração são nulas em todos os instantes, v O = 0), ou se o ponto O for em todos→os instantes o
→
→
→
→
centro de massa do sistema de partículas ( v O = v G), então tem-se v O × M v G = 0 em todos os
instantes e a equações (2.21) e (2.23) reduzem-se a
→
→ext
MO
dLO
= dt .
(2.24)
Pode-se então resumir os dois teoremas da quantidade de movimento para um sistema de
partículas, no seguinte enunciado:
TEOREMAS DAS QUANTIDADES DE MOVIMENTO:
Seja O um ponto fixo (O = F) ou um ponto coincidente com o centro de massa de um sistema
de partículas (O = G). Os elementos de redução, no ponto O, do sistema de forças exteriores
que actua no sistema de partículas, são iguais, respectivamente, às taxas de variação em
ordem ao tempo do vector quantidade de movimento linear e do vector quantidade de
movimento angular em relação ao mesmo ponto O,
→
→
→ext
F
dP
= dt ,
→ext
MO
dL O
= dt .
(2.25)
2.4. Forma Impulsional dos Teoremas das Quantidades de Movimento
Os teoremas apresentados na secção anterior admitem formas impulsionais, semelhantes às
obtidas para uma partícula. Continuando a admitir que O é um ponto fixo ou o centro de massa do
sistema de partículas obtém-se, por integração no tempo de (2.25),
t2
→
→
→
ext
⌠
⌡ F dt = P 2 − P 1
t1
(2.26)
t2
→
→
→
⌠ M ext dt = L − L .
O2
O1
⌡ O
t1
Estas duas equações mostram que os impulsos linear e angular das forças exteriores num certo
intervalo de tempo são iguais às variações nesse intervalo de tempo das quantidades de movimento
linear e angular, respectivamente.
Associados a estes teoremas estão dois princípios de conservação das quantidades de
movimento:
→
→
→ext
→
→
F ext = 0 ⇒ P é constante,
(2.27)
→
M O = 0 ⇒ L O é constante,
em que O é um ponto fixo ou o centro de massa do sistema de partículas. Observe-se que as
igualdades em (2.27) são igualdades vectoriais, ou seja representam ao todo seis equações
escalares. Assim, se, por exemplo, uma das componentes do vector principal das forças exteriores
for nula, então a correspondente componente da quantidade de movimento linear conserva-se. Do
mesmo modo, se uma componente do momento resultante, em relação a um ponto fixo ou em
relação ao centro de massa, for nula, então a correspondente componente da quantidade de
movimento angular em relação ao mesmo ponto conserva-se.
2.5. Teorema das Forças Vivas
A última das leis fundamentais, o teorema das forças vivas, expresso para uma partícula
pela equação escalar (1.18), é facilmente generalizado para um sistema de partículas, somando as
equações correspondentes a todas as partículas (recorde-se que, como definido em (2.14), a energia
cinética do sistema é a soma das energias cinéticas de todas as partículas). O seu enunciado fica
então:
TEOREMA DAS FORÇAS VIVAS:
O trabalho realizado por todas as forças que actuam num sistema de partículas
é igual à variação da energia cinética do sistema de partículas,
⌠
τ1→2 = 

⌡
n
∑F
→
k
→
. d x k = T2 − T1.
(2.28)
k=1
1→2
É importante observar que em geral o trabalho das forças interiores a um sistema de
partículas não é nulo. Viu-se anteriormente que, devido à lei de acção e reacção, o sistema de
forças interiores a um sistema de partículas é um sistema equivalente a vector nulo (2.16). Contudo
daqui não resulta que o seu trabalho seja nulo. Efectivamente, apesar de as forças interiores se
anularem duas a duas, o trabalho realizado por um desses pares de forças interiores não nulas (mas
de soma nula) só é nulo se a distância entre as partículas não variar.
Para demonstrar esta
→
afirmação, repare-se que da terceira lei de Newton
resulta
que
a
força
F
que
actua na partícula k
ki
→
devido à partícula i se relaciona com a força F ik que actua na partícula i devido à partícula k
através de
→
→
F ki = − F ki .
(2.29)
A terceira lei de Newton afirma ainda que a linha de acção destas duas forças é a mesma, ou seja, é
a linha que une as duas partículas, podendo, portanto, escrever-se
→
→
F ki = ± | F ki|
→
→
→
→
xk− xi
| x k − x i|
,
(2.30)
em que o sinal deverá ser escolhido por forma a estar de acordo com o carácter atractivo (sinal
→
→
negativo) ou repulsivo (sinal positivo) da força em consideração. Então, designando por d x k e d x i
os deslocamentos elementares dessas duas partículas, o trabalho elementar realizado por esse par
de forças é dado por
→
→
→
→
dτ = F ki . d x k + F ik . d x i ,
(2.31)
e pode ser expresso por
→
→
→
→
→
→
→
| F ki|
→
dτ = F ki . d x k − F ki . d x i = F ki . (d x k − d x i) = ±
→
→
→
| x k − x i|
→
→
→
( x k − x i) . d( x k − x i),
(2.32)
isto é,
→
dτ = ±
| F ki|
→
→
2 | x k − x i|
(
→
→
→
→
)
d ( x k − x i) . ( x k − x i) .
(2.33)
Consequentemente, o trabalho dτ realizado por um par de forças de acção e reacção só é nulo se
→
| F ki| = 0
ou
→
→
| x k − x i| = Constante .
(2.34)
Assim, para um sistema de forças interiores que não sejam simultâneamente todas nulas (mas que
no seu conjunto são sempre equivalentes a vector nulo), o trabalho das forças interiores só é nulo
se o sistema de partículas for um corpo rígido.
2.6. Conservação da Energia Total Mecânica
Se algumas das forças que actuam no sistema forem conservativas, designamos por E a
soma da energia cinética T do sistema com a energia potencial V de todas as forças conservativas
n
n
k=1
k=1
E = T + V = ∑ Tk + ∑ Vk.
n.cons
e designamos por τ 1→2 o trabalho das forças não conservativas do mesmo. O teorema das forças
n.cons
vivas (2.28) pode então ser reescrito em termos de τ 1→2 e da variação da energia total mecânica.
Obtém-se
τ n.cons
= E2 − E1
1.2
(2.35)
Facilmente se conclui desta equação que a energia total mecânica se conserva quando todas as
forças forem conservativas, ou mais simplesmente quando for nulo o trabalho das forças não
conservativas (situação que se verifica, por exemplo, quando há atrito mas não há escorregamento).
3. DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS
3.1. Trabalho das forças que actuam num corpo rígido
Como se disse na secção anterior, o trabalho realizado pelo sistema das forças interiores a
um corpo rígido é nulo. Como consequência, o trabalho das forças que actuam num corpo rígido é
igual ao trabalho das forças exteriores
n
ext
dτ = dτ
=
∑F
→ext
k
→
.dxk
.
(3.1)
k=1
→
Relacionando, num corpo rígido, os deslocamentos elementares d x k dos seus pontos com as
correspondentes velocidades lineares por
→
→
d x k = v k dt,
(3.2)
→
→
e relacionando a sua rotação elementar d θ com a respectiva velocidade angular ω por
→
→
d θ = ω dt,
(3.3)
a expressão de propagação de velocidades dos pontos de um corpo rígido (3.48), multiplicada por
dt, pode ser reescrita para deslocamentos elementares na forma
→
→
→
→
d x k = d x O + d θ × r k.
(3.4)
Nesta equação de propagação de deslocamentos elementares de um corpo rígido, o ponto O é um
ponto do corpo rígido ou um ponto que acompanha rigidamente o seu movimento. Introduzindo
(3.4) na equação (3.1) obtém-se
n
dτ =
∑F
k=1
→ext
k
 n →  →

. (d x O + d θ × r k) = 
F ext
k .dxO+

 k=1

→
→
∑
→
n
∑  F
→ext
k
→
→
. d θ × r k.
(3.5)
k=1
Seguidamente, observe-se que
 n → 
→ext

 =F
F ext
k


 k=1

∑
(3.6)
é o vector principal do sistema de forças exteriores e que a última parcela de (3.5) pode ser escrita
na forma
n
∑F
k=1
→ext
k
→
→
. dθ × r k
 n →
→ 

= dθ . 
r k × F ext
k ,

 k=1

→
∑
(3.7)
em que
 n →
→ 
→ext

=M
r k × F ext
k
O


 k=1

∑
(3.8)
é o momento resultante do sistema das forças exteriores em relação ao ponto O. Conclui-se assim
que o trabalho elementar das forças exteriores de um corpo rígido pode ser escrito como a →soma
dos
trabalhos realizados pelos elementos de redução dessas forças num ponto O do
corpo ( F ext e
→ext
→
→
M O ) sobre os correspondentes elementos de redução no mesmo ponto (d x O e d θ ) do campo de
deslocamentos elementares do corpo rígido:
→
→
→
dτ = dτ ext = F ext . d x O + M ext
. dθ.
O
→
(3.9)
Chama-se novamente a atenção para o facto de que o ponto O a que se refere esta equação é
qualquer ponto que pertence ao corpo rígido ou que acompanha rigidamente o seu movimento: não
é necessário que o ponto O seja nem um ponto fixo nem o centro de massa.
3.2. Quantidade de movimento angular de um corpo rígido
Determinamos a quantidade de movimento angular de um corpo rígido em relação a um ponto O
que pertence ao corpo rígido ou que acompanha rigidamente o seu movimento. Sendo os corpos
rígidos frequentemente corpos contínuos, substitui-se, no que se segue, os somatórios relativos a
todas as partículas por integrais estendidos
a toda a massa M do corpo. Assim, a definição de
→
quantidade de movimento angular L O introduzida em (2.13), assume a forma
→
→
→
LO = ⌠
⌡ r × v dM.
(3.10)
M
→
Para um corpo rígido, a velocidade v de uma partícula P genérica pode ser relacionada com a
velocidade da partícula O por
→ →
→
→
→
→
→
v = v O + ω × OP = v O + ω × r ,
(3.11)
pelo que
→
→
→
→
→
→
⌠ r × v O dM + ⌡
⌠ r × ( ω × r ) dM.
LO = ⌡
M
(3.12)
M
→
Observando que v O pode ser posto em evidência no primeiro integral e que, analogamente a (2.7),
→
→
⌠
⌡ r dM = M r G ,
M
a quantidade de movimento angular vem igual à soma de duas parcelas, uma associada com a
velocidade do ponto O e a outra associada com o movimento de rotação:
→
→
→
→
→
→
LO = r G × M v O + ⌠
⌡ r × ( ω × r ) dM.
(3.13)
M
→
→
→
→
Verifica-se que r G = 0 se O for o centro de massa do corpo e que v O = 0 se→O for um ponto→fixo.
Em ambos os casos (O ≡ G ou O ≡ F) →se verifica
que a primeira parcela de L O se anula e L O se
→rot
reduz à parcela associada à rotação ( L O ≡ L O )
→
→
→
→
rot
LO = ⌠
⌡ r × ( ω × r ) dM.
(3.14)
M
→
→
→
→
→
→
→
→
→
Usando a identidade vectorial r × ( ω × r ) = ( r . r ) ω − r ( r . ω ) vem
→
rot
LO = ⌠
⌡ [( r . r ) ω − r ( r . ω )] dM,
→
→
→
→
→
→
(3.15)
M
que pode ser escrito matricialmente por
{LO } = ⌡
⌠ [{r}T{r}{ω} − {r}{r}T{ω}] dM,
rot
(3.16)
M
→rot
em que se definiram as matrizes coluna {LO }, {r} e {ω} com as componentes (1) dos vectores L O ,
→
→
→
→
→
r e ω , respectivamente, num mesmo referencial (O, e 1, e 2, e 3). Observando que {r}T{r} é um
escalar, que {ω} = [δ] {ω} ([δ] é a matriz identidade), que {r}{r}T é uma matriz 3 × 3 e que as
componentes da velocidade angular são independentes do ponto, pelo que podem ser postas em
evidência no integral, obtém-se
rot
rot
{LO } = [IO ]{ω}
(3.17)
T
T
[IO ] = ⌠
⌡ [{r} {r}[δ ] − {r}{r} ] dM,
(3.18)
em que
M
é a matriz de inércia em O, isto é, a matriz em que se agrupam as componentes (2)
→
(1) Como é sabido da Álgebra e como se referiu na Secção 2.2 da Cinemática, as componentes de um vector w numa
→
→
→
→
certa base ortonormada ( e 1, e 2, e 3) são as projecções de w sobre os três eixos coordenados, isto é,
→
→
wi = w . e i, i = 1, 2, 3.
→
→
(2) Como é sabido da Álgebra, as componentes de uma transformação linear T numa certa base ortonormada ( e 1, e 2,
→
→
→
→
→
e 3) definem-se do seguinte modo. Seja w um vector arbitrário em 3 e seja z o vector tal que z = T w . Utilizando a
→
→
definição das componentes dos vectores w e z vem, para i = 1, 2, 3,
→
→
3
→
→
zi = e i . z = e i . T ( Σ w j e j) =
j=1
→
3
→
→
Σ ( e i . T e j) w j
j=1
→
Então a transformação linear z = T w traduz-se por uma relação linear entre as componentes zi e wj daqueles vectores
em que intervêm as componentes na mesma base da transformação linear T,
3
zi =
Σ Tij ω j, i = 1, 2, 3,
j=1
IOij = ⌠
r r ) δij − ri rj] dM, (i, j = 1, 2, 3).
⌡ [(Σ
k k k
(3.19)
M
da transformação linear IO, designada
por tensor de inércia, que transforma o vector velocidade
→rot
→
angular ω na parcela de rotação L O do vector quantidade de movimento angular em O:
→rot
→
L O = IO ω ,
(3.20)
em que,
IO = ⌠
⌡ [( r . r ) δ − r ⊗ r ] dM,
→
→
→
→
(3.21)
M
→
δ é a transformação linear identidade, cujas componentes se agrupam na matriz identidade [δ] e r
→
⊗ r é a transformação linear(3) cujas componentes se agrupam na matriz {r}{r}T, quer dizer, para
i, j = 1, 2, 3:

1, se i = j

δij = 0,
 se i ≠ j
→
→
( r ⊗ r )ij = ri rj
O tensor de inércia definido em (3.18, 3.19, 3.21) desempenha um papel de grande importância no
estudo da dinâmica do corpo rígido e será examinado em maior detalhe mais adiante. Para já,
observe-se apenas que, se o referencial móvel acompanhar o movimento do corpo rígido, então as
componentes ri são constantes e as componentes do tensor de inércia também não variam no
tempo. Por esta razão se pode apreciar a vantagem de trabalhar com um referencial móvel que
acompanhe o movimento do corpo rígido.
3.3. Energia cinética de um corpo rígido
A energia cinética assume também uma forma particular no caso dos corpos rígidos. Para a
determinar, comece-se por escrever a equação (2.14) na forma aplicável a corpos contínuos:
ou, em notação matricial,
{z} = [T] {w},
em que as componentes da transformação linear são os escalares
→
→
Tij = e i . T e j, i,j = 1, 2, 3.
→
→
(3) Mais genericamente define-se o produto exterior (não confundir com produto externo) entre dois vectores y e z
→
→
→
→ →
→
como a transformação linear y ⊗ z que aplicada a um vector arbitrário w origina o vector y ( z . w ), isto é
→
→ →
→ →
→
→
( y ⊗ z ) w = y ( z . w) ∀w.
→
→
Com esta definição pode-se confirmar que as componentes da transformação linear ( y ⊗ z ) são:
→
→
→
→
→ →
→
→ →
→
( y ⊗ z )ij = e i . ( y ⊗ z ) e j = e i . y ( z . e j) = yi zj, i,j = 1, 2, 3.
1 → →
T=2⌠
⌡ v . v dM.
(3.22)
M
De acordo com a expressão de propagação de velocidades (3.11), a velocidade de uma partícula
genérica do corpo rígido é dada por
→
→
→
→
v = vO+ ω × r,
(3.23)
em que novamente o ponto O é um ponto do corpo rígido ou um ponto que acompanha rigidamente
o movimento desse corpo. Então a energia cinética (3.22) pode escrever-se na forma
1
→
→
→
→
→
→
T=2⌠
⌡ ( v O + ω × r ) . ( v O + ω × r ) dM
M
1 → →
1
→
→
→
→
→
→
→
= 2 ( v O . v O) ⌠
⌡ r dM + 2 ⌠
⌡( ω × r ) . ( ω × r ) dM.
⌡ dM + v O . ω × ⌠
M
M
(3.24)
M
Quanto à função integranda da última das parcelas, ela pode ser expressa na forma
→
→
→
→
→
→
→
→
(ω × r ) . (ω × r ) = ω . r × (ω × r )
Recordando então a definição (3.14) da parcela da quantidade de movimento angular associada à
rotação, a expressão (3.24) da energia cinética de um corpo rígido toma a forma
1 → →rot
1
→
→
→
T = 2 M vO 2 + v O . ω × M r G + 2 ω . L O
= Ttransl + Tmista + Trot.
(3.25)
A primeira parcela é claramente uma parcela de translação, igual à energia cinética de uma
partícula, de massa igual à massa total M do corpo e com velocidade igual à velocidade do ponto
O. A última parcela é uma parcela de rotação, associada ao movimento de rotação do corpo em
torno de O. Por outro lado, a parcela intermédia é uma parcela mista, que incorpora efeitos de
translação e de rotação. Em particular, se o ponto O for fixo (O ≡ F) a energia cinética reduz-se à
parcela de rotação:
1 →
→
T = Trot = 2 ω . IF ω .
(3.26)
Se, por outro lado, o ponto O for escolhido como o centro de massa do corpo (O ≡ G), então o
→
vector de posição relativa r G de G em relação a O é nulo e a energia cinética tem duas parcelas,
uma de translacção (a energia cinética de uma partícula de massa M com velocidade igual à
velocidade do centro de massa) e outra de rotação (associada ao movimento de rotação em torno
de G),
1
1 →
→
T = Ttransl + Trot = 2 M vG2 + 2 ω . IG ω .
(3.27)
Finalmente, note-se que a parcela de rotação pode ser escrita em notação matricial na forma
1
Trot = 2 {ω}T [IO ]{ω}.
(3.28)
3.4. Componentes do tensor de inércia, outras definições e propriedades
Momentos e produtos de inércia num ponto para um referencial ortonormado. O tensor de
inércia de um corpo rígido em relação a um ponto O tem a definição dada anteriormente em (3.21)
e as suas componentes num referencial ortonormado centrado em O são dadas por (3.19) que se
agrupam na matriz de inércia (3.18):
 I11

[I ] = I21

 I31
O
O
O

I23  .

I33 
O
I12 I13
O
O
I22
O
O
I32
O
(3.31)
O
As componentes diagonais (de índices iguais) do tensor de inércia, designadas por momentos de
inércia (em relação aos eixos x1, x2 e x3, respectivamente), são dadas por
O
I11
=⌡
⌠ (r22 + r32) dM,
M
O
I22
=⌡
⌠ (r12 + r32) dM,
M
O
I33
=⌡
⌠ (r12 + r22) dM.
(3.32)
M
Designam-se por produtos de inércia os simétricos das componentes não diagonais do tensor de
inércia, dados por
O
O
O
P12
= −I12
= −I21
=⌠
⌡r1 r2 dM,
M
O
O
O
P13
= −I13
= −I31
=⌠
⌡r1 r3 dM,
M
O
O
O
P23
= −I23
= −I32
=⌠
⌡r2 r3 dM, (3.33)
M
expressões estas que evidenciam a simetria da matriz de inércia (IOij=IOji, [IO] = [IO]T).
Figura 3.1. Componentes dos vectores de posição e distâncias envolvidas nas definições dos
momentos e dos produtos de inércia.
Momento de inércia em relação a um eixo. Genericamente, e em concordância com a designação
adoptada para as componentes diagonais de [IO], o momento de inércia de um corpo em relação a
um eixo qualquer é o integral (a soma) dos produtos das massas (dM) das várias partículas do
sistema pelos quadrados das respectivas distâncias (dλ) ao referido eixo:
2
Iλ = ⌠
⌡ dλ dM.
(3.34)
M
Para ilustrar a referida concordância de designação, note-se que, por exemplo, (r22 + r32) na
O
definição de I11
em (3.32) é o quadrado da distância d1 de um ponto genérico do corpo ao eixo
coordenado x1.
Raio de giração em relação a um eixo. Designa-se por raio de giração de um corpo relativamente
a uma recta o raio de uma superfície cilíndrica de revolução com eixo na referida recta tal que uma
distribuição de toda a masssa do corpo naquela superfície cilíndrica teria um momento de inércia
relativamente à recta igual ao momento de inércia do corpo original (Figura 3.2). Seja Iλ o
momento de inércia do corpo relativamente à recta, de acordo com a definição (3.34). Se esse
momento de inércia é igual ao de uma distribuição da massa total a uma distância fixa Kλ da recta,
então tem-se
2
2
Iλ = ⌠
⌡ Kλ dM = Kλ M
M
e, por definição, o raio de giração vale
Kλ =
Iλ
M.
(3.35)
Figura 3.2. Momento de inércia e raio de giração relativamente a um eixo
Particularização para o caso plano. Plano z = r3 = 0 (Figura 3.3)
O
2
Ixx
=⌠
⌡ y dM,
O
2
Iyy
=⌠
⌡ x dM,
M
O
O
O
2
2
Izz
=⌠
⌡ (x + y ) dM = Ixx + Iyy
M
O
O
O
= −Ixy
= −Iyx
=⌠
Pxy
⌡ xy dM,
M
O
O
O
Pxz
= −Ixz
= −Izy
=0
O
O
O
Pyz
= −Iyz
= −Izy
= 0,
M


[I ] =


O
O
Ixx
O
Ixy
0
O
Iyx
O
Iyy
0
0
0
O
O
Ixx
+Iyy

.


Em muitas aplicações planas (nomeadamente em Resistência de Materiais e Análise de Estruturas)
a matriz de inércia aparece não como um conjunto de propriedades associadas ao comportamento
dinâmico de um corpo plano mas sim como propriedades de carácter estritamente geométrico que,
juntamente com algumas propriedades materiais, permitem caracterizar a resistência de secções
transversais de peças lineares submetidas a esforços. Nesses casos o tensor de inércia utilizado
corresponde a uma particularização do que anteriormente definimos em que se considera que a
massa superficial ρA é unitária e adimensional.
ρA = 1 e adimensional ⇔ dM = ρA dA é substituído por dA
O
2
Ixx
=⌠
⌡ y dA,
A
O
2
Iyy
=⌠
⌡ x dA,
A
O
Pxy
=⌡
⌠ xy dA
A
(*)
Figura 3.3. Momentos e produtos de inércia de figuras planas
Refere-se a propósito que o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano que
passa pelo ponto O do plano (igual, por sua vez, à soma dos momentos de inércia em relação a dois
O
O
O
eixos do plano ortogonais entre si e que passam por O, Izz
= Ixx
+ Iyy
) também é designado por
momento polar de inércia em relação ao ponto O (IO):
O
O
O
2
2
IO = ⌠
⌡ (x + y ) dA (= Izz = Ixx + Iyy).
(**)
A
Observe-se por fim que, enquanto que no caso dinâmico que motiva o nosso estudo, as
componentes do tensor de inércia têm a dimensão de ML2, é óbvio que a dimensão física das
componentes de inércia em (*) e (**) é de L4.
Simetrias e anulamento de produtos de inércia. Referimo-nos agora às consequências das
propriedades de simetria dos corpos nos valores dos produtos de inércia. Considere-se um corpo
tridimensional que num ponto O tem um plano de simetria geométrica e de massa. Se nesse ponto
se considerar um referencial ortonormado tal que um plano coordenado (por exemplo, o plano yz,
O
O
ver Figura 3.4 (a)) coincide com o plano de simetria então os produtos de inércia (Pxy
) em
e Pzx
que intervém a coordenada ortogonal ao plano de simetria (a coordenada x) são nulos, porque as
contribuições para os integrais desses produtos de inércia
O
=⌠
Pxy
⌡xy dM,
M
O
Pzx
=⌠
⌡zx dM,
M
das partículas situadas de um dos lados do plano de simetia (x > 0) cancelam com as das
partículas que têm as restantes coordenadas (y e z) iguais e estão do outro lado do plano de
simetria (x < 0). Uma consequência imediata disto é que, para que todos os produtos de inércia de
um corpo em relação a um referencial ortonormado num ponto se anulem, basta que dois planos
coordenados sejam planos de simetria. Assim se os planos coordenados yz e xy são planos de
simetria em O tem-se (ver Figura 3.4 (a)):
O
O
yz plano de simetria ⇒ Pxy
= Pzx
=0
O
O
= Pyz
=0
xy plano de simetria ⇒ Pzx
e a matriz de inércia é diagonal nesse referencial. Note-se, finalmente, que para que no caso plano
O
o produto de inércia Pxy
se anule basta que um dos eixos coordenados do referencial escolhido em
O seja eixo de simetria (ver Figura 3.4 (b)).
Figura 3.4. Anulamento de produtos de inércia
O
O
O
O
(a) Caso 3D: Pxy
=Pzx
=0, porque yz é plano de simetria; Pyz
=Pzx
=0, porque xy é plano de simetria;
O
(b) Caso 2D: Pxy=0, porque y é eixo de simetria.
Exemplo E.3.1. Anel, disco e cilindro
Determinar o momento de inércia e o raio de giração em relação ao eixo dos zz do anel circular, da
chapa circular e do cilindro, todos de raio R e massa M, representados nas Figuras E.3.1 (a), (b) e
(c).
Figura E.3.1 (a)
Figura E.3.1 (b)
Figura E.3.1 (c)
Exemplo E.3.2. Mergulhador
Um mergulhador de 60 kg inicia o seu salto de tal forma que o seu raio de giração em relação ao
eixo que é perpendicular ao seu plano sagital e passa pelo centro de massa é de 0.5 m e a sua
velocidade angular é de 4 rad/s. Qual a velocidade angular que ele adquire quando assume uma
posição flectida tal que o raio de giração se reduz a 0.25 m. Na resolução admita que o
mergulhador tem simetria perfeita relativamente ao seu plano sagital, e mostre a simplificação que
esssa hipótese permite.
Figura E.3.2
3.5.
Teorema de Lagrange-Steiner
Em muitas circunstâncias é importante conhecer as componentes do tensor de inércia do
mesmo corpo rígido num ponto diferente do ponto O, mas num referencial de eixos paralelos aos
do referencial considerado no ponto O. É mais fácil obter, em primeiro lugar, a relação entre o
tensor de inércia de um corpo rígido num ponto qualquer O e o tensor de inércia do mesmo corpo
no respectivo centro de massa G, expressos em referenciais de eixos paralelos.
→
Considere-se então que o vector de posição relativa r pode ser decomposto em
→ → → →
→
r = OP = OG + GP = r G + ρ .
→
(3.36)
A substituição da decomposição (3.36) na definição (3.21) do tensor de inércia conduz a
IO = ⌠
⌡ [( r . r ) δ − r ⊗ r ] dM
→
→
→
→
M
⌠ [(( r G + ρ ) . ( r G + ρ )) δ − ( r G + ρ ) ⊗ ( r G + ρ )] dM
=⌡
→
→
→
→
→
→
→
→
M
ou, desenvolvendo e pondo em evidência as quantidades que não dependem da posição da partícula
genérica de massa dM,
IO = [( r G . r G) δ − r G ⊗ r G] ⌠
⌡dM
→
→
→
→
M
→
→
+ 2  r G . ⌠
⌡ ρ dM δ − r G ⊗ ⌠
⌡ ρ dM − ⌠
⌡ ρ dM ⊗ r G
 


M
M
M
→
→
→
→
(3.37)
+⌠
⌡ [( ρ . ρ ) δ − ρ ⊗ ρ ] dM.
→
→
→
→
M
Note-se agora que os integrais presentes na segunda linha de (3.37) são nulos, pois são iguais a
componentes do vector de posição do centro de massa em relação ao próprio centro de massa
(recordar a equação (2.10) relativa a um sistema de partículas), isto é,
→
→
⌠
⌡ ρ dM = 0 .
(3.38)
M
Os restantes integrais presentes em (3.37) são facilmente reconhecidos como sendo a massa do
corpo rígido,
⌠ dM = M,
⌡
(3.39)
M
e o tensor de inércia do corpo rígido em relação ao seu centro de massa,
⌠ [( ρ . ρ ) δ − ρ ⊗ ρ ] dM.
IG = ⌡
→
M
→
→
→
(3.40)
Isto significa que as componentes do tensor de inércia de um corpo rígido num ponto arbitrário O,
num referencial centrado em O, se relacionam com as componentes do tensor de inércia do mesmo
corpo no seu centro de massa, num referencial de eixos paralelos ao primeiro, através da seguinte
equação:
IO = IG + M [( r G . r G) δ − r G ⊗ r G].
→
→
→
→
(3.41)
O resultado expresso pela equação (3.41) constitui o Teorema de Lagrange-Steiner ou Teorema dos
Eixos Paralelos. Observe-se que de (3.41) facilmente se obtém a relação entre os tensores de
inércia de um corpo rígido, relativos a dois referenciais de eixos paralelos com origens em dois
pontos A e B arbitrários. Com efeito, se, ao contrário do que é exigido em (3.41), nenhum dos
pontos for o centro de massa, basta aplicar o Teorema de Lagrange Steiner duas vezes: a primeira
entre o ponto A e o centro de massa G, e a segunda entre G e o ponto B.
Desenvolvendo a equação (3.41) nas correspondentes equações relativas às várias componentes
cartesianas, obtém-se para os momentos de inércia
O
G
G
Ixx
= Ixx
+ M(yG2 + zG2) = Ixx
+ M dGx2,
O
G
G
Iyy
= Iyy
+ M(zG2 + xG2) = Iyy
+ M dGy2,
O
2
G
2
G
(3.42)
2
Izz = Izz + M(xG + yG ) = Izz + M dGz ,
e, para os produtos de inércia,
O
G
Pxy
= Pxy
+ M xG yG ,
O
G
Pyz
= Pyz
+ M yG zG,
O
G
Pzx = Pzx + M zG xG.
Figura 3.5. Teorema dos eixos paralelos
(3.43)
Note-se que, por exemplo, a quantidade dGx que aparece em (3.42) é a distância
dGx = yG2 + zG2 entre os dois eixos x dos referenciais centrados em O e em G. Por outro lado, as
quantidades (xG, yG, zG) = (rG1, rG2, rG3) que aparecem em (3.43) são as componentes do vector de
→
→
posição r G = OG, de G em relação a O (ver Figura 3.5).
Por observação das equações (3.42) conclui-se que o momento de inércia de um corpo
rígido em relação a um eixo com uma determinada direcção é mínimo quando o eixo passa no
centro de massa e aumenta à medida que o eixo se afasta do centro de massa.
3.6.
Transformações devidas a rotações
Transformação das componentes de vectores. Na Secção ?.? viu-se como se transformam os
vectores de base quando o referencial sofre uma rotação caracterizada por uma transformação
→
→
ortogonal cujas componentes se agrupam numa matriz de Lamé [Aip] = [cos ( e i , e p' )]:
→
→
Aip e p' ,
ei=Σ
p
(3.44)
→
→
e p' = Σi Aip e i.
(3.45)
Qualquer vector, como por exemplo o vector velocidade angular →
ω do corpo rígido, pode ser
→
→
→
representado tanto pelas suas componentes na base ( e 1, e 2, e 3) como pelas suas componentes na
→ → →
base (e 1' , e 2' , e 3' ):
3
3
→
ω = iΣ ω
=1
→
i ei
→
= pΣ ωp' e p' .
(3.46)
=1
Substituindo (3.44) nesta expressão obtém-se
3
3
→
→
ω = iΣ ω i e i = iΣ
=1
=1
3
3
3
3
→ 
→


 →
ω i pΣ Aip e p'  = pΣ iΣ Aip ωi e p' = pΣ ωp' e p' .
=1
=1 =1
=1
de que se pode concluir
3
ωp' = pΣ Aip ωi
(3.47)
=1
que, de forma equivalente, se escreve matricialmente:
{ω'} = [A]T {ω},
(3.48)
em que nas matrizes coluna {ω} e {ω'} se agrupam as componentes de →
ω nos dois referencais:
 ω
{ω} =  ω
 ω
1
2
3



 ω' 
{ω'} =  ω'  .
 ω' 
1
2
3
Analogamente, substituindo (3.45) em (3.46) vem
3
3
3
3
3
3
→
→
→

 →

ω = pΣ ωp' e p' = pΣ ω p' iΣ Aip e i = iΣ pΣ Aip ω p'  e i = iΣ ω i e i
=1
=1
=1
=1
=1
=1
→
de que se podem concluir as leis de transformação inversas de (3.47, 3.48):
3
ωi = pΣ Aip ωp'
(3.49)
{ω} = [A] {ω'}.
(3.50)
=1
Exemplo E.3.3.
→
→
→
→
Um vector w tem as componentes (5, 5, −10) na base ortonormada directa ( e 1, e 2, e 3).
Determinar as componentes do mesmo vector numa outra base ortonormada directa de que se
sabem os vectores de base:
→
e 1'
1
→
→
→
= 3 (2 e 1 + 2 e 2 + e 3 )
→
e 2'
=
1 →
→
( e 1 − e 2 ).
2
Transformação das componentes de transformações lineares. As transformações lineares
(como, por exemplo, a transformação I) são funções lineares que aplicadas a um vector
(por
→
exemplo, ao vector →
ω) fornecem como resultado um outro vector (designado, digamos, por L ):
→
→
L =I ω
(3.51)
→
→
→
→
→
→
→
Tanto o vector ω como o vector L se podem representar em ambas as bases ( e 1, e 2, e 3) e ( e 1' , e
→
2' , e 3' ):
→
3
→
3
→
ω = jΣ
ω j e j = qΣ
ω' e q' ,
=1
=1 q
→
3
→
3
→
L = iΣ
L e i = pΣ
L ' e p' .
=1 i
=1 p
(3.52)
(3.53)
e a transformação linear (3.51) pode traduzir-se pelas equações matriciais
{L} = [I] {ω},
{L'} = [I '] {ω'},
(3.54)
(3.55)
em que nas matrizes coluna
({L}, {L'}) e ({ω}, {ω'}) e nas matrizes quadradas ([I], [I']) se agrupam
→ →
as componentes de L , ω e I naquelas duas bases. Conhecidas as leis de transformação das
componentes dos vectores (3.47)−(3.50) as leis de transformação das componentes de
transformações lineares são imediatas. Efectuando a transformação (3.50) tanto em {L} como em
{ω} vem:
[A] {L'} = [I] [A]{ω'},
que, pré-multiplicada por [A]T fornece
[A]T [A] {L'} = [A]T [I] [A] {ω'}.
Recordando as relações de ortogonalidade e comparando com (3.55) conclui-se:
[I'] = [A]T [I] [A]
(3.56)
[I] = [A] [I'] [A]T
(3.57)
A relação inversa
pode obter-se, por exemplo, pré-multiplicando (3.36) por [A] e pós-multiplicando a mesma
expressão por [A]T.
Relação entre momento de inércia em relação a um eixo e tensor de inércia num ponto desse
eixo. Estabelecemos
agora a relação entre o momento de inércia Iλ em relação a um→eixo definido
→
→
Seja r = OP o vector de
pelo versor λ e o tensor de inércia em relação a um ponto O desse eixo.
→
posição do ponto genérico P do corpo em relação ao ponto O e seja d λ o vector de módulo dλ que
une a P o ponto E do eixo mais próximo de P. Então (ver Figura 3.6)
→
→
→
→
→ → →
d λ = OP − OE = r − ( r . λ ) λ
→
(3.58)
→
com d λ ⊥ λ , pelo que
→
→ → →
→
→ → →
→ →
→ →
→ →
dλ2 = ( r − ( r . λ ) λ ) . ( r − ( r . λ ) λ ) = ( r . r ) − ( r . λ ) ( r . λ ).
Figura 3.6. Vector de posição do ponto genérico e sua distância ao eixo
Uma vez que
→ →
→
→
λ . λ = {λ}T {λ} = {λ}T [δ] {λ} = λ . δ λ = 1
e que
→ →
→ →
→ →
→ →
→
→
→
→
→
→
( r . λ ) ( r . λ ) = ( λ . r ) ( r . λ ) = {λ}T {r}{r}T {λ} = λ . ( r ⊗ r ) λ
conclui-se que
→
→ →
→
dλ2 = {λ}T [{r}T{r}[δ] − {r}{r}T] {λ} = λ . [( r . r ) δ − r ⊗ r ] λ
e que
→
→
Iλ = {λ}T [IO] {λ}= λ . IO λ
O
O
O
2
2
= I11 λ1 + I22 λ2 + I33 λ32 − 2P012 λ1 λ2 − 2P031 λ3 λ1 − 2P023λ2 λ3.
3.7.
(3.59)
Direcções e momentos principais de inércia.
Finalmente, é útil observar que o tensor de inércia é um tensor de segunda ordem simétrico no
espaço tridimensional, que, portanto, possui três componentes principais de valor real: os
O
. A cada componente principal é possível fazer
momentos principais de inércia IOI , IIIO e IIII
corresponder (pelo menos) uma direcção do espaço, designada por direcção principal de inércia,
sendo sempre possível, com base nas direcções principais de inércia, formar um referencial
→ →
→
ortonormado ( e I, e II, e III) no qual o tensor de inércia toma a forma diagonal
 II

[IO] = 0

0
O
0
O
III
0

0 

IIII 
0
.
(3.60)
O
Exemplo E.3.4. Chapa triangular
Considere a chapa triangular da Figura E.3.4, com densidade mássica ρ [ML−2].
a) Determine o tensor de inércia em relação ao sistema de eixos x, y, z no ponto O. Particularize
para ρ = 1 e adimensional.
b) Determine o tensor de inércia em relação a um sistema de eixos paralelos ao anterior mas
centrado no centro de massa da chapa. Particularize para ρ = 1 e adimensional.
Figura E.3.4
c) Se a chapa rodar com uma velocidade angular ω em torno de um eixo fixo que coincide com o
eixo dos xx da Figura E.3.4, determine:
c1) a energia cinética da chapa,
c2) o vector quantidade de movimento angular da chapa em relação ao ponto O.
Exemplo E.3.5. Cilindro
Considere-se o cilindro da Figura E.3.5 de massa M = 10 kg, raio R = 0.5 m, e altura H = 2 m. O
cilindro roda em torno de um eixo fixo z' que passa pelos pontos A, G e B com velocidade angular
ω’ = 20 π rad/s.
a) Determinar a matriz de inércia em G para os eixos (x, y, z) da Fig. E.3.5.
b) Determinar a matriz de inércia em G em relação aos eixos (x', y', z').
c) Determinar a energia cinética do cilindro.
d) Determimar o vector quantidade de movimento angular em relação ao ponto G.
e) Utilizando (3.59), determinar o momento de inércia em relação ao eixo de rotação (z'). Conferir
o resultado obtido com o da alínea b).
Figura E.3.5
3.8. Equações do movimento de um corpo rígido
Os teoremas das quantidades de movimento obtidos anteriormente para sistemas de
partículas podem agora ser particularizados para o caso do corpo rígido.
Por um lado, o teorema do movimento do centro de massa pode, obviamente, também ser
aplicado a um corpo rígido
→
F ext = M a G
→
.
(3.61)
No que respeita ao teorema da quantidade de movimento angular, admita-se que:
(i) o ponto O é um ponto fixo ou o centro de massa do corpo rígido,
(ii) se utiliza um referencial móvel centrado no ponto O que acompanha o movimento do corpo
rígido.
A primeira destas hipóteses é necessária para se utilizar a forma (2.24) do teorema da quantidade
de movimento angular,
→
→
M ext
O
dLO
= dt ,
(3.62)
→
e para que a quantidade de movimento angular L O coincida com a sua parcela de rotação (3.14)
→
→rot
→
L O = L O = IO ω .
(3.63)
Para derivar a quantidade de movimento angular em ordem ao tempo, utilizando um referencial
→
móvel que, pela segunda hipótese, tem velocidade angular ω igual à do corpo rígido, usa-se a regra
de derivação (2.48) dos Apontamentos de CINEMÁTICA:
→
→
dLO δLO → →
δ O→
→
O→
dt = δt + ω × L O = δt (I ω ) + ω × I ω
(3.64)
A segunda hipótese admitida anteriormente implica que as componentes do tensor de inércia no
referencial móvel não variam com o tempo, pelo que
→
δω
δ O→
(I ω ) = IO
δt
δt
(3.65)
Recordando a definição de aceleração angular e aplicando a regra de derivação (2.48) dos
→
Apontamentos de CINEMÁTICA à velocidade angular ω do corpo rígido e do referencial móvel,
observa-se que
→
→
→
dω δω → → δω
α = dt =
+ω×ω=
,
δt
δt
→
(3.66)
e substituindo os resultados (3.64), (3.65) e (3.66) em (3.62) obtém-se o sistema de equações que
rege o movimento de rotação do corpo rígido em tormo de um ponto fixo ou do centro de massa:
→
M ext
= IO α + ω × IO ω .
O
→
→
→
(3.67)
3.9 Movimento Plano
Por último, considere-se a aplicação das equações do movimento ao caso do movimento
plano. Nesta secção pretende-se analisar a relação entre as acelerações do movimento plano
(acelerações lineares paralelas ao plano do movimento e acelerações angulares perpendiculares ao
plano do movimento) e as forças que lhe dão origem (forças paralelas ao plano do movimento e
momentos perpendiculares ao plano). Em contrapartida, admite-se que não interessa o
conhecimento de eventuais forças de reacção perpendiculares ao plano do movimento ou de
eventuais momentos de reacção paralelos ao plano do movimento.
Para este tipo de movimento, basta considerar duas equações relativas ao movimento de
translacção do centro de massa (correspondentes às duas direcções do plano) e uma equação
relativa ao movimento de rotação (correspondente à direcção perpendicular ao plano). Admitindo
→
→
que o plano do movimento é definido por e 1 e e 2 (e, portanto, a velocidade e a aceleração
→
angulares só têm componentes segundo e 3) as três equações do movimento são
Fext
1 = M aG1
Fext
2 = M aG2
(3.68)
O
Mext
O3 = I33 α3,
em que o ponto O é fixo (O ≡ F) ou coincide com o centro de massa (O ≡ G). Como há apenas uma
componente de interesse na equação de momentos, desde que não haja perigo de confusão pode
omitir-se a referência ao eixo 3 na última destas equações, escrevendo-se simplesmente
= IOα .
Mext
O
(3.69)
Exemplo E.3.6.
A Figura E.3.6 representa um modelo biomecânico da cabeça e do pescoço de um passageiro que
está seguro ao banco de um automóvel. O conjunto cabeça mais metade do pescoço, que se admite
articulado no ponto A, tem uma massa M e um momento de inércia IG relativamente ao eixo que
passa no centro de gravidade. Se o automóvel e o tronco do passageiro são sujeitos a uma
desaceleração horizontal aA quando a cabeça está na posição indicada, determine as componentes
horizontal e vertical da força que o pescoço exerce na cabeça em A nesse instante. O momento MA
é o necessário para manter a cabeça na posição de equilíbrio não rodada indicada antes da
desaceleração. Admitir que o valor desse momento se mantém constante durante toda a fase de
desaceleração.
Resolução
Na ausência da desaceleração aA, é fácil obter o valor do momento MA, por equilíbrio de momentos
em relação ao ponto A:
− MA + Mga = 0 ⇔ MA = Mga.
Para facilitar a resolução literal, tomaremos a desaceleração n vezes a aceleração da gravidade:
aA = ng
e designaremos por KG o raio de giração da cabeça em relação ao seu centro de massa
IG = M KG2.
As equações da Dinâmica para este problema plano com um corpo rígido são as duas equações do
teorema do movimento do centro de massa e a equação do teorema da quantidade de movimento
angular relativamente ao eixo dos zz que passa pelo centro de massa:
ext
Σ F x = M aGx ⇔ HA = M aGx,
ext
Σ F y = M aGy ⇔ VA − Mg = M aGy,
ext
Σ MG = IG α ⇔ bHA + aVA − MA = IG α.
Figura E.3.6
Nestas 3 equações escalares existem 5 incógnitas HA, VA, aGx, aGy, α. As 2 equações escalares
adicionais que permitem obter um problema determinado são equações da cinemática: propagamse acelerações de G para A, onde se impõem os valores conhecidos das componentes da aceleração
de A segundo x e y (ng e 0, respectivamente):
→
→
→
→
→
a A = a G + α × GA − ω2 GA
→
→
→
→
→
→
= aGx e x + aGy e y + α e z × (a e x − b e y) + 0
→
→
= (aGx + α b) e x + (aGy + α a) e y
→
= ng e x
Destas equações da Cinemática resulta que
aGx = ng − α b,
aGy = − α a.
Substituindo estes resultados nas 3 equações da Dinâmica obtém-se, respectivamente,
αb

HA = Mg n − g ,


αa

VA = Mg 1 − g ,


αb
αa


bMgn − g  +aMg1 − g  − Mga = MKG2α.




Desta última equação resulta
ngb
α = K 2,
A
em que, pelo teorema de Lagrange-Steiner e pela definição de raio de giração:
IA = IG + M (a2 + b2)
= M KG2 + M (a2 + b2)
= M KA2
e
KA =
IA
2
2
2
M = KG + a + b
é o raio de giração relativamente a A. As reacções pedidas são, finalmente,
b2 

HA = nMg 1 − K 2,

A 
ab 

VA = Mg 1 − n K 2.

A 
Substituindo os dados numéricos
a = 5.08 cm, b = 15.24 cm
M = 4.09 kg, KG = 8.92 cm
g = 9.81 m/s2, n = 15
obtém-se:
HA = 188 N,
VA = − 98 N.