Função quadrática:
a função geral de 2º grau
Prof. André Aparecido da Silva
[email protected]
Onde se usa equações do 2º Grau ?
~ XANDE
Na engenharia ...
~ XANDE
Na medição de áreas....
~ XANDE
Na medição de áreas....
Áreas de retângulos
A = b . H, então teríamos:
(x + 3) * (x -1)
Neste caso seria aplicada um
distributiva
~ XANDE
Na medição de áreas....
Neste caso seria aplicada uma
distributiva:
A = (x + 3) * (x - 1)
x*x + x*(-1) + 3*x + 3*(-1)
~ XANDE
Na medição de áreas....
Resolvendo...
x*x + x*(-1) + 3*x + 3*(-1)
x² - x + 3x - 3 = 0
~ XANDE
Na medição de áreas....
Reduzindo a equação teremos:
x² - x + 3x - 3 = 0
x² + 2x - 3 = 0
~ XANDE
Temos a equação ponta
Definimos os termos A, B e C.
x² + 2x - 3 = 0
A = 1 b = 2 c = -3
~ XANDE
Resolvendo com a formula de
Bhaskara
~ XANDE
Curiosidade: Formula de Bhaskara
Só no Brasil esta formula é conhecida
como formula de Bhaskara, nos demais
países esta formula é conhecida como
formula para resolução de equações do
Segundo grau.
~ XANDE
Substituindo na formula então
teremos:
A = 1 B = 2 C = -3
~ XANDE
Resolvendo....
A = 1 B = 2 C = -3
~ XANDE
Resolvendo....
A = 1 B = 2 C = -3
~ XANDE
Resolvendo....
A = 1 B = 2 C = -3
~ XANDE
Encontrando as raízes da equação
A = 1 B = 2 C = -3
~ XANDE
Encontrando as raízes da equação
A = 1 B = 2 C = -3
~ XANDE
O gráfico...
Ponto a ser colocado no eixo y:
A=1
Pontos a serem colocados no eixo x:
x’ = 1 x’’ = -3
~ XANDE
Uma quadra esportiva tem a forma retangular,
com 40 m de comprimento e 20 m de largura.
O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai
construir em volta dela uma faixa de largura
constante.
Prof. André Aparecido da Silva
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Obter a expressão que permite calcular a Área da
quadra esportiva?
x
40 m
20 m
x
x
A = (40 + 2x).(20+2x)
x
⇒ A = 800 + 80x + 40x + 4x2
⇒ A = f(x) = 4x2 + 120x + 800
~ XANDE
Função quadrática ou função de 2º grau é toda
função do tipo
y = f(x) = ax2 + bx + c
Sendo a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0.
O Domínio de toda função quadrática é IR.
~ XANDE
Exemplos

y = f(x) = x2 + 3x – 1
é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.

y = f(x) = –x2 + 5
é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.

y = f(x) = –2x2 + 4x
é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.

y = f(x) = x2
é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.
~ XANDE
Funções quadráticas elementares.
y = x2
e
y = –x2

Nas duas funções, b = c = 0. Na primeira a = 1; na segunda
a = –1.

Domínio é o conjuntos dos números reais (R).
~ XANDE
Veja seus gráficos

y
y = x2.
5
x
y = x2
4
–2
4
3
–1
1
2
0
0
1
1
2
4
1
x
–5 –4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
–1
–2
Im = [0, +∞[
~ XANDE
y = x2
Mínimo = 0
Veja seus gráficos

y
y = – x2.
x
y = – x2
–2
–4
–1
–1
0
0
1
–1
2
–4
–5 –4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
Im = ]– ∞, 0]
~ XANDE
x
0
y = – x2
Máximo = 0
A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso
geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo
y = f(x) = ax2 + bx + c.





Os gráficos de funções quadráticas são curvas
chamadas parábolas.
O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é
chamado de vértice.
A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo
da parábola.
Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima.
Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para
baixo.
~ XANDE
Veja um resumo.
eixo da
parábola
eixo da
parábola
V
V
a>0
~ XANDE
a<0
Eixo de simetria.
eixo de simetria
da parábola
V
A
B
C
D
~ XANDE
A1
r1
B1
C1
D1
r2
r3
r4
Funções quadráticas
em que b = c = 0.
(y = ax2)
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1º. Caso: a > 0
y
 y = x2
Mínimo = 0
 y = 2x2
 y=
⇓
1 2
x
2
x
0
Im = [0, +∞[

Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.

O vértice das três parábolas é a origem do plano.
~ XANDE
2º. Caso: a < 0
y
 y = –x2
0
 y = –2x2
x
Máximo = 0
⇓
–1 2
 y=
x
2
Im = ]–∞, 0]

Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.

O vértice das três parábolas é a origem do plano.
~ XANDE
Funções quadráticas
em que b = 0 c ≠ 0
2
(y = ax + c)
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Os gráficos das funções do tipo y = ax2 + c, com a ≠ 0
e c ≠ 0, são obtidos a partir do gráfico de y = ax2.
Desloca-se esse último para cima ou para baixo,
conforme o coeficiente c seja positivo ou negativo,
respectivamente.
~ XANDE
1º. Caso: a > 0
y
 y = x2
Im = [0, +∞[
 y = x2 + 2
Im = [2, +∞[
 y = x2 – 1
Im = [–1, +∞[
2
x
0
–1

Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.

O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0),
V(0, 2) e V(0, –1).
~ XANDE
2º. Caso: a < 0
y
1
0
–2
 y = –x2
Im = ]– ∞, 0]
 y = –x2 + 1
Im = ]– ∞, 1]
 y = – x2 – 2
Im = ]–∞, –2]
x

Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y.

O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0),
V(0, 1) e V(0, –2).
~ XANDE
Funções quadráticas
em que b ≠ 0 (caso geral)
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Vamos analisar, agora, o caso mais geral da
função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c. É o
caso em que o coeficiente b é diferente de 0.
Para b ≠ 0, o vértice não fica mais sobre o eixo
y das ordenadas.
~ XANDE
Caso geral: b ≠ 0
Vamos obter o valor de k, abscissa de Q.
y
f(x) = c ⇒ f(x) = a.x2 + b.x + c = c
⇒ a.x2 + b.x = 0
(0, c)P
Q(k, c)
yv
V
0
xv
x
k
⇒ x(a.x + b) = 0
⇒ x = 0 ou
a.x + b = 0
⇒ x = 0 ou x = – b/a
x = 0 é a abscissa de P, logo k = –b/a.
Devido à simetria da parábola,
~ XANDE
xV = k/2 ⇒
xV =
–b
2a
Ordenada do vértice

A ordenada do vértice pode ser obtida calculando-se f(xV),
ou seja, a imagem da abscissa do vértice da função. Veja
f(x) = ax2 +bx +c
f(xV) = a(xV)2 +bxV +c = a(–b/2a)2 +b(–b/2a) +c
f(xV) = a(b2/4a2) – b2/2a +c = b2/4a – b2/2a +c
f(xV) = (b2 – 2b2 +4ac)/4a = (– b2 +4ac)/4a
f(xV) = –(b2 – 4ac)/4a
f(xV) = yV = – /4a
~ XANDE
yV =
–
4a
No caso, essa ordenada é
 O mínimo da função (a > 0)
 O máximo da função (a < 0)
y
y
yV
V
yV
⇒ Im = [yV, +∞[
~ XANDE
V
x
x
⇒ Im = ]–∞, yV]
Exemplos

Para a função quadrática y = f(x) = 2x2 – 8x + 5 de R em R,
obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem.
Os coeficientes são: a = 2; b = – 8 e c = 5
Como a > 0, a parábola tem concavidade para cima e a função admite um
valor mínimo.
A abscissa do vértice é: xV =
–b
2a
=
O mínimo da função ocorre para x = 2.
y = f(2) = 2 . 22 – 8 . 2 + 5 = –3
V (2, –3)
~ XANDE
Im = [–3, +∞[
–(–8)
2.2
=2
Veja o gráfico da função
y=
2x2
Eixo
y
– 8x + 5
5
0
1
2
–1
Im = [–3, ∞[
~ XANDE
–3
V
3
x
4
Exemplos

Para a função quadrática y = f(x) = –x2 + 3x + 1 de R em R,
obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem.
Os coeficientes são: a = – 1; b = 3 e c = 1
Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um
valor máximo.
A abscissa do vértice é: xV =
–b
2a
=
–(3)
2.(–1)
O mínimo da função ocorre para x = 3/2.
y = f(3/2) = –1 . (3/2)2 + 3 . 3/2 + 1 = 13/4
V (3/2, 13/4)
~ XANDE
Im = ]–∞, 13/4]
= 3/2
Veja o gráfico da função
y=
–x2
Eixo
+ 3x + 1
y
V
13/4
3
1
x
0
Im = ]–∞, 13/4]
~ XANDE
1 3/2 2
3
Exemplo

Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio
de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do
objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é
h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
A função h(t) = –5t2 + 30t + 80 é quadrática, com a = –5, b = 30 e c = 80.
Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um
valor máximo.
~ XANDE
Exemplo

Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio
de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do
objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é
h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
A) O instante em que o objeto atinge a altura máxima é a abscissa do vértice:
t =
–b
2a
~ XANDE
=
–(30)
2.(–5)
=3s
Exemplo

Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio
de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do
objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é
h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s.
h(3) = –5.32 + 30.3 + 80 = 125 m
~ XANDE
Exemplo

Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio
de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do
objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é
h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter:
A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima;
B) a altura máxima que ele atinge;
C) o instante em que ele atinge o solo.
C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0.
h(t) = 0 ⇒ –5t2 + 30t + 80 = 0
⇒ t = –2 ou t = 8
⇒ t=8s
~ XANDE
⇒ t2 + 6t – 16 = 0
Veja o gráfico da função
h(t) = –5t2 – 30t + 80
h (m)
125
80
0
~ XANDE
3
8
t (s)
Raízes da função
quadrática
Prof. André Aparecido da Silva
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Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x)
são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos
pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas.
Na função quadrática y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), achar as
raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.
~ XANDE
Número de raízes da equação de 2º grau

Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmula de
Bhaskara
b 
x
2a
sendo  = b2 – 4ac
O número real  é o discriminante da equação. O valor dele
indica se a função tem ou não raízes reais.
  > 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas.
  = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais
(ou 1 raiz real dupla).
  < 0 ⇔ não tem raízes reais.
~ XANDE
Exemplos

Obter as raízes, esboçar o gráfico e estudar os sinais da
função y = 3x2 – x – 2.
O discriminante da função é
 = b2 – 4ac
⇒  = (–1)2 – 4.3.(–2) ⇒  = 25
Raízes: x’ = 1 ou x” = –2/3
⇒ A parábola corta o eixo x em (1, 0) e (–2/3, 0)
Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
O coeficiente c =–2, indica que a parábola corta o eixo y no
ponto (0, –2)
~ XANDE
Veja o gráfico da função
y
y = 3x2 – x – 2
xV =
–b
2a
=
–(–1)
2.(3)
= 1/6
y>0
y>0
0 1/6
–2/3
y<0
Raiz
x
y
–2/3
0
1
0
0
–2
1/6
–25/12
x
1
–25/12
Raiz
–2
y > 0 para x < –2/3 ou x > 1.
y < 0 para –2/3 < x < 1.
~ XANDE
Exemplos

Na função quadrática y = x2 + 2x + 3, mostrar que y > o
para todo x real.
O discriminante da função é
 = b2 – 4ac
⇒  = (2)2 – 4.1.(3)
⇒  = –8
< 0, a função não tem raízes reais, logo a parábola não corta
o eixo x.

Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
O coeficiente c = 3, indica que a parábola corta o eixo y no
ponto (0, 3)
~ XANDE
Veja o gráfico da função
y
y = x2 + 2x + 3
xV =
–b
2a
x
y
0
3
–1
2
–2
3
=
–2
2.(1)
= –1
3
2
+
+
+
–2
–1
+
+
+
0
y > 0 para todo x real.
~ XANDE
x
Exemplos

A função y = –x2 + 4x + k, tem duas raízes reais iguais.
Calcular a constante k, obter a raiz dupla e esboçar o
gráfico da função.
Se a função tem uma raiz dupla  = 0.
b2 – 4ac = 0
⇒ (4)2 – 4.(–1).k = 0
⇒ 16 + 4k = 0
⇒ k = –4
A função é y = –x2 + 4x – 4, tem concavidade para baixo.
A raiz dupla é –b/2a = 2.
⇒ A parábola intercepta o eixo x em (2, 0).
c = –4, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –4)
~ XANDE
Veja o gráfico da função
y = –x2 + 4x – 4
y
x
y
2
0
0
–4
4
–4
~ XANDE
0
–4
2
Raiz
4
x