PROVA
a
2 FASE UFPE 2008
01
01. Seja x a área total da superfície de um cubo, e y, o
volume do mesmo cubo. Analise as afirmações a
seguir, considerando essas informações.
0-0)
1-1)
2-2)
03. Uma transportadora de volumes só aceita caixas
na forma de paralelepípedos retângulos quando a
soma do perímetro da base e da altura é no
máximo 2m. Suponha que se pretenda transportar
uma caixa, com maior volume possível, no formato
de um paralelepípedo com base quadrada, de lado
x metros, e altura h metros, como ilustrado na
figura abaixo.
Se x = 54 então y = 27.
3
6y = x
O gráfico de y em termos de x é
h
x
4
x
3
Para obtermos volume máximo, os valores de x e
h devem satisfazer 4x + h = 2.
2
Analise as afirmações abaixo, considerando esses
dados.
0-0)
1
1-1)
0
10
20
30
40
x /2 .
3-3)
As diagonais do cubo medem
4-4)
As diagonais da face do cubo medem
1/3
2 y .
02. Admita que a pressão arterial P(t) de uma pessoa
no instante t, medido em segundos, seja dada por
2-2)
3-3)
4-4)
3
2
O volume da caixa, em m , é dado por 2x (1
– 2x).
Quando o lado da base mede 1/3 de metro,
3
o volume da caixa é (1/9)m .
2
2
A área total da caixa é -8x + 14x , em m .
A área total da caixa será máxima quando a
altura for 6/7 de metro.
Quando a área total da caixa é máxima, seu
3
volume é (24/343)m .
2
04. Qual o coeficiente de x na expansão de
(1+ x) (1+ 2x) (1+ 3x) (1+ 4x) (1+ 5x)?
P(t) = 96 + 18 cos(2 πt), t ≥ 0
Considerando esses dados, analise a veracidade
das seguintes afirmações.
0-0) O valor máximo da pressão arterial da pessoa é
114.
05. A ilustração a seguir é parte do gráfico de um
polinômio p(x), de grau três e com coeficientes
reais. O gráfico passa pelos pontos (-3,0), (-1,0),
(2,0) e (0,-1).
1-1) O valor mínimo da pressão arterial da pessoa é
78.
10
8
2-2) A pressão arterial da pessoa se repete a cada
segundo, ou seja, P(t + 1) = P(t), para todo t ≥ 0.
6
4
3-3) Quando t = 1/3 de segundo, temos P(1/3) = 105.
2
4-4) O gráfico de P(t) para 0 ≤ t ≤ 4 é
-4
-3
110
-2
-1
1
2
3
4
-2
105
100
Indique o valor de p(6).
95
90
85
80
0
1
2
3
4
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1
06. Uma calha tem a forma de um prisma reto de base
triangular. A altura do prisma é 1m, e sua base é
um triângulo isósceles com lados congruentes,
medindo 0,4m e formando entre si um ângulo α .
α
Fazendo a escolha apropriada, qual o maior
volume, em litros, que a calha pode ter?
07. O preço do produto X é 20% menor que o do
produto Y, e este, por sua vez, tem preço 20%
maior que o do produto Z. Se os preços dos três
produtos somam R$ 237,00, quanto custa, em
reais, o produto Z?
08. Admita que o lucro mensal de uma companhia de
telefone celular que tem x milhares de assinantes
seja de (24x – 400) milhares de reais. No
momento, o lucro da companhia é de 320 mil
reais. Quantas novas dezenas de assinantes são
necessárias para que o lucro da companhia passe
de 320 mil reais para 332 mil reais?
09. Calcule a distância d entre os pontos de
interseção das circunferências com equações.
2
2
2
11. O número de quatro dígitos 1391 tem a
propriedade seguinte: o número formado tomando
quaisquer dois de seus dígitos consecutivos é
divisível por 13. Existe um número com 100
dígitos, com o primeiro dígito (à esquerda) igual a
3, tendo a mesma propriedade. Indique o número
formado pelos dois últimos dígitos (à direita) deste
número.
12. Em uma gaveta, estão quatro pares de meias,
cada par de uma cor diferente. Escolhendo
aleatoriamente duas das meias da gaveta, qual a
probabilidade percentual p% de elas serem da
mesma cor? Indique o inteiro mais próximo de p.
13. João e Maria possuem, juntos, R$ 510,00. Se,
simultaneamente, João presenteia Maria com 1/8
do que ele possui, e Maria presenteia João com
1/6 do que ela possui, então, os dois ficarão com
quantias iguais. Em quantos reais a quantia que
Maria possuía inicialmente excede a que João
possuía?
14. Indique a solução da equação 2
x-5
+2
2x-13
= 5/2.
15. Sabendo que 1+ i é uma das raízes da equação
3
x – 2x + a = 0, com a real, indique o valor de a.
2
x + y – 2x – 2y +1 = 0 e x + y – 4x – 2y + 4 = 0.
2
Indique 4d .
10. Um paciente toma diariamente 0,06mg de certa
droga. Suponha que o organismo do paciente
elimina, diariamente, 15% da quantidade desta
droga presente no organismo. Assim, no
momento, após ser administrada a droga,
permanecem no organismo do paciente, além
desta dose, o remanescente das doses dos dias
anteriores. Na tabela abaixo, temos a quantidade
da droga presente no organismo do paciente, em
mg, nos dias depois do início do tratamento, após
ser administrada a dose diária:
1º dia
2º dia
3º dia
16. Na figura abaixo, quatro das cinco circunferências
possuem o mesmo raio. Três destas são
tangentes à circunferência de maior raio e têm
centros em vértices de um triângulo eqüilátero. A
quarta circunferência de raio menor é tangente às
outras três. Se a e b representam as áreas das
regiões de cor cinza indicadas na figura, assinale
100a/b.
a
b
0,06
0,06 + 0,85.0,06
2
0,06 + 0,85.0,06 + 0,85 .0,06
etc.
Assim, no n-ésimo dia permanece no organismo
do paciente um total de (0,06 + 0,85.0,06 + ... +
n-1
0,85 . 0,06) miligramas da droga.
Determine a quantidade q da droga, em mg,
presente no organismo do paciente, após um ano
de tratamento e assinale 100q. Dado: use a
365
aproximação 0,85 ≈ 0.
Gabaritos 2008
01.
02.
03.
04.
VFFVV
VVVFF
VFFFV
85
05.
06.
07.
08.
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42
80
75
50
09.
10.
11.
12.
12
40
13
14
13.
14.
15.
16.
30
06
04
60
2
PROVA
02
a
2 FASE UFPE 2009
01. Analise as afirmações a seguir, considerando a
função f, tendo como domínio e contradomínio o
2x
conjunto dos números reais, dada por f(x) =
.
2
x +1
Parte do gráfico de f está esboçada a seguir.
03. Um cilindro C1, reto e de altura 4, está inscrito em
uma semi-esfera de raio 21 cilindro repousa na
base da semi-esfera e a circunferência da outra
base está contida na semi-esfera), como ilustrado
abaixo na figura à esquerda. Seja x a altura de
outro cilindro, C2, inscrito na mesma semi-esfera, e
de mesmo volume que C1.
Admitindo estes dados, analise as informações a
seguir.
O raio da base de C2 é
1-1)
2-2)
O volume de C2 é 18π.
A altura x de C2 é raiz da equação
3
x - 21x +20 = 0.
2
A altura x de C2 é raiz da equação x - 4x - 7
= 0.
0-0)
1-1)
f é uma função par.
A única raiz de f(x) = 0 é x = 0.
2-2)
|f(x)| ≤ 1, para todo x real.
3-3)
3-3)
Dado um real y, com |y| < 1 e y ≠ 0, existem
dois valores reais x tais que f(x)= y.
f é uma função sobrejetiva.
4-4)
4-4)
02. Das companhias que publicam anúncios nos
jornais C, D ou F, sabemos que:
- 30 publicam no C,
- 25 publicam no D,
- 30 publicam no F,
- 10 publicam em C e D,
- 9 publicam em F e D,
- 11 publicam em C e F, e
- 6 publicam em C, D e F.
Considerando estas informações,
sentenças a seguir.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
analise
as
Onze companhias publicam anúncios em
exatamente dois dos jornais.
Dezoito companhias publicam anúncios em
pelo menos dois dos jornais.
Quarenta e três companhias publicam
anúncios em um único jornal.
Sessenta e uma companhias publicam
anúncios em pelo menos um dos três
jornais.
Treze companhias publicam anúncios
apenas no jornal D.
21 − x 2 .
0-0)
A área lateral de C2 é 2π
5.
04. Em uma escala de um vôo, as seguintes tarefas
precisam ser executadas, nos intervalos de tempo
mencionados. Quando alguma tarefa precisa ser
executada depois de outra(s), tal fato é observado;
quando não há nenhuma observação, as tarefas
podem ser executadas simultanea-mente.
1) Desembarque dos passageiros (15min)
2) Desembarque das bagagens (15min)
3) Embarque
das
bagagens
dos
novos
passageiros (20min)(depois de 2)
4) Higienização da aeronave (15min)(depois de 1)
5) Abastecimento de combustível (20min) (depois
de 1)
6) Checagem mecânica (20min)
7) Embarque das refeições (10min)(depois de 4)
8) Embarque dos novos passageiros (20min) (depois de 4 e 5).
Quantos minutos são necessários para executar
todas as tarefas acima?
05. Admita que, quando a luz incide em um painel de
vidro, sua intensidade diminui em 10%. Qual o
número mínimo de painéis necessários para que a
intensidade da luz, depois de atravessar os
painéis, se reduza a 1/3 de sua intensidade?
Dado: use a aproximação para o logaritmo decimal
log 3 ≈ 0,48.
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3
2
06. As parábolas com equações y = -x + 2x + 3 e y
2
= x – 4x + 3 estão esboçadas a seguir. Qual a
área do
menor retângulo, com lados paralelos
aos eixos, que
contém
a
área
colorida,
limitada pelos gráficos das parábolas?
10. Quatro amigos, A, B, C e D compraram um
presente que custou R$ 360,00. Se:
– A pagou metade do que pagaram juntos B, C e
D,
– B pagou um terço do que pagaram juntos A, C
eD e
– C pagou um quarto do que pagaram juntos A, B
e D,
quanto pagou D, em reais?
11. Em uma festa, cada um dos participantes
cumprimenta cada um dos demais, uma vez. Se o
número de cumprimentos entre dois homens foi
21, e entre duas mulheres foi 45, quantos foram os
cumprimentos entre um homem e uma mulher?
07. Júnior se exercita correndo 5km, 7km ou 9km por
dia. Em certo período de dias consecutivos,
superior a 7 dias, ele percorreu um total de 51km,
e, pelo menos uma vez, cada um dos percursos
de 5km, 7km e 9km. Quantas vezes, neste
período, Júnior percorreu a distância de 5km?
08. Na ilustração a seguir, ABC é um triângulo
retângulo com os catetos AB e AC medindo,
respectivamente, 40 e 30. Se M é o ponto médio
de AB e N é a interseção da bissetriz do ângulo
ACB com o lado AB, qual a área do triângulo
CNM?
09. Ao efetuarmos o produto dos polinômios abaixo
2
(1 + x + x +...+ x
100
2
12. Uma gaveta contém 3 canetas pretas e 1 caneta
vermelha. Uma segunda gaveta contém 7 canetas
pretas e 3 azuis. Aleatoriamente, uma caneta é
retirada da segunda gaveta e colocada na primeira
e, em seguida, uma caneta é retirada da primeira
gaveta e colocada na segunda. Qual a
probabilidade percentual de o número de canetas
de cada cor permanecer o mesmo nas duas
gavetas?
13. Em um sistema de coordenadas ortogonais xOy,
um triângulo tem vértices nos pontos de interseção
das retas com equações y = x, y = -x + 12 e y =
x/5 (ilustradas a seguir). Se a equação da
2
2
circunferência circunscrita ao triângulo é x + y +
2
ax + by + c = 0, indique o valor de (a - b + c) .
14. Qual a distância entre um vértice de um cubo, com
aresta medindo 20 3 , e uma das diagonais do
cubo que não passam pelo vértice?
50
)(1 + x + x + ... + x )
75
qual o coeficiente de x ? (Observação: os
polinômios têm graus 100 e 50 e todos os
coeficientes iguais a 1.)
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4
15. Um retângulo ABCD é dividido em nove
retângulos, e o perímetro de cada um de três
destes retângulos, está indicado está indicado em
seu interior, como ilustrado na figura a seguir.
Qual o perímetro do retângulo ABCD?
16. A ilustração a seguir é parte do gráfico da função y
= a.sen (b π x) + c, com a, b e c sendo constantes
reais. A função tem período 2 e passa pelos
pontos com coordenadas (0,3) e (1/2,5).
2
Determine a, b e c e indique (a + b + c) .
Gabaritos 2009
01.
02.
03.
04.
FVVVF
FVVVF
VFVFF
55
05.
06.
07.
08.
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12
15
07
75
09.
10.
11.
12.
51
78
70
62
13.
14.
15.
16.
64
40
98
36
5
PROVA
03
a
2 FASE UFPE 2010
02. Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais,
com coeficiente líder 1, de grau 4, satisfazendo:
p(x) = p(-x) para todo x real, p(0) = 4 e p(1) = -1.
Parte do gráfico de p(x) está esboçado a seguir.
01. Sejam (a, b), com a e b positivos, as coordenadas
de um ponto no plano cartesiano, e r a reta com
inclinação m < 0, que passa pelo ponto (a, b). A
reta r intercepta o eixo das abscissas no ponto P,
e o eixo das ordenadas no ponto Q, definindo
desta maneira um triângulo OPQ, com O sendo a
origem do sistema de coordenadas, como ilustrado a seguir.
Analise as afirmações a seguir, acerca de p(x).
Avalie a veracidade das afirmações a seguir,
referentes a esta configuração.
0-0)
1-1)
2-2)
A equação de r é y = mx + b – ma
P = (a + b/m, 0) e Q = (0, b – ma)
2
2
A área do triângulo OPQ é ab – (ma + b
/m)/2
3-3)
4-4)
A área de OPQ é sempre ≥ 2ab
Para o triângulo OPQ ter a menor área
possível, a reta r deve interceptar os eixos
coordenados nos pontos P = (2a, 0) e
Q = (0, 2b).
4
2
0-0)
p(x) = x + 6x + 4
1-1)
As raízes de p(x) são ± 3 ± 5 , para
qualquer escolha dos sinais positivos e negativos.
2-2)
As raízes de p(x) são ±
3-3)
10 ± 2
, para
2
qualquer escolha dos sinais positivos e negativos.
2
2
p(x) = (x – 3) + 5
4-4)
O valor mínimo de p(x) ocorre em x = ± 3
03. Para cada número real α, defina a matriz
⎡cos α − senα 0 ⎤
M(α)⎢⎢senα cos α 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0
1⎥⎦
Analise as afirmações seguintes acerca de M(α):
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
M(0) é a matriz identidade 3 x 3
2
M(α) = M(2α)
M(α) tem determinante 1
M(α) é invertível, e sua inversa é M(-α)
t
Se M(α) é a transposta de M(α), então,
t
M(α)M(α) = M(0).
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6
04. Uma fábrica tem 2.000 unidades de certo produto
em estoque e pode confeccionar mais 100
unidades deste produto por dia. A fábrica recebeu
uma encomenda, de tantas unidades do produto
quantas possa confeccionar, para ser entregue em
qualquer data, a partir de hoje. Se o produto for
entregue hoje, o lucro da fábrica será de R$ 6,00
por unidade vendida; para cada dia que se passe,
a partir de hoje, o lucro diminuirá de R$ 0,20 por
unidade vendida.
Calcule o lucro máximo, em reais, que a fábrica
pode obter com a venda da encomenda e indique
a soma de seus dígitos.
05. Na ilustração a seguir, à esquerda, uma pirâmide
regular invertida, com base quadrada de lado
medindo 2 e altura 6, está preenchida por um
líquido, até dois terços de sua altura. Se a
pirâmide é colocada na posição ilustrada à direita,
qual será então a altura h do líquido? Indique
(h + 23 19)2 .
06. Na população de uma cidade, 50% das pessoas
têm sangue do tipo A, e as demais têm sangue
dos outros tipos (B, AB ou O). Se 6 pessoas da
cidade são escolhidas ao acaso, qual a
probabilidade percentual de exatamente 3 delas
terem sangue do tipo A? Indique o inteiro mais
próximo do valor percentual obtido.
08. Quantas soluções a equação trigonométrica
sen x = 1− cos x
1− cos x
admite, no intervalo [0, 80π) ?
09. Um martini seco é uma mistura de 15 partes de
gin com uma parte de vermute. O gin contém 40%
de álcool, e o vermute, 20%. Qual o percentual de
álcool em uma dose de martini seco? Indique o
valor inteiro mais próximo.
10. Um teste para uma DST dá o resultado correto em
98% dos casos; ou seja, se
uma
pessoa
tem a doença e faz o teste, este terá 98% de
probabilidade de ser positivo; e, se uma pessoa
não tem a doença e faz o teste, este terá 98% de
probabilidade de ser negativo. Admita que, da
população de uma grande cidade, 0,5% tem a
DST. Se uma pessoa da cidade se submete ao
teste e o resultado foi positivo, qual a
probabilidade percentual de ela ter a DST? Indique
o valor inteiro mais próximo.
11. Na ilustração a seguir, a casa situada no ponto B
deve ser ligada com um cabo subterrâneo de
energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular
a distância AB, são medidos a distância e os
ângulos a partir de dois pontos O e P, situados na
margem oposta do rio, sendo O, A e B colineares.
o
o
o
Se OPA = 30 , POA = 30 , APB = 45 e OP = (3
3 ) km, calcule AB em hectômetros.
07. Um modelo novo de motor está equipado com três
mecanismos, A, B e C, para economizar
combustível. Os mecanismos A, B e C
economizam, respectivamente, 20%, 30% e 50%,
em comparação com os mecanismos antigos.
Quando os três mecanismos são utilizados
conjuntamente, quanto se economiza, percentualmente, de combustível?
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7
12. O cubo duplo, ilustrado a seguir, é construído a
partir de um cubo, de aresta 2cm, adicionando, em
cada uma de suas faces, um tetraedro, que é
congruente ao obtido do cubo cortando-o por um
plano que passa pelos pontos médios de duas
arestas incidentes em um vértice, e pelo outro
extremo da terceira aresta que incide no vértice.
Calcule a área da superfície do cubo duplo, em
2
cm .
15. Uma pessoa deve a outra a importância de
R$ 17.000,00. Para a liquidação da dívida, propõe
os seguintes pagamentos: R$ 9.000,00 passados
três meses; R$
6.580,00 passados sete meses,
e um pagamento final em um ano. Se a taxa
mensal cumulativa de juros cobrada no
empréstimo será de 4%, qual o valor do último
pagamento? Indique a soma dos dígitos do valor
3
obtido. Dados: use as aproximações 1,04 ≈ 1,125,
7
12
1,04 ≈ 1,316 e 1,04 ≈ 1,601.
16. Os 200 estudantes de uma escola que praticam
esportes escolhem duas dentre as modalidades
seguintes: futebol, handebol, basquete e futebol
de salão. Entretanto, nenhum estudante da escola
escolheu futebol e basquete ou handebol e futebol
de salão. Sabendo que 65% dos alunos
escolheram futebol, 60% escolheram futebol de
salão, 35% escolheram basquete e 25% dos
jogadores de handebol também jogam basquete,
quantos são os alunos da escola que jogam
futebol e futebol de salão?
13. Se b e c são naturais escolhidos aleatoriamente
no conjunto {1, 2, 3,..., 10}, qual a probabilidade
2
percentual de as raízes da equação x + bx + c = 0
não serem reais?
14. Na ilustração a seguir, ABC é um triângulo
equilátero, e o lado AB contém o centro O da
circunferência. Se a circunferência tem raio 6, qual
o inteiro mais próximo da área da região
sombreada (interior ao triângulo e exterior à
circunferência)?
Gabaritos 2010
01.
02.
03.
04.
VFVVV
FVVFV
VVVVV
08
05.
06.
07.
08.
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36
31
72
80
09.
10.
11.
12.
39
20
20
30
13.
14.
15.
16.
38
12
14
70
8
PROVA
04
a
2 FASE UFPE 2010.2
01. Um carro flex faz 8 km com 1 litro de etanol e 11
km com 1 litro de gasolina. Assumindo que o litro
de etanol custa R$1,70 e o litro de gasolina custa
R$
2,50, analise as seguintes afirmações:
1) é mais barato usar gasolina.
2) para percorrer 100 km com etanol, o motorista
gasta mais que R$ 21,00.
3) para percorrer 100 km com gasolina, o
motorista gasta menos que R$ 22,00.
4) antes de decidir usar etanol ou gasolina, o
motorista precisa saber quantos quilômetros vai
percorrer.
Está(ão) correta(s)
a)
b)
c)
d)
e)
1 e 4 apenas
2 e 3 apenas
2 apenas
4 apenas
1, 2, 3 e 4
03. Júnior aplicou certo capital na caderneta de
poupança e na bolsa de valores. Na poupança,
Júnior aplicou dois terços do capital, que lhe
rendeu 5% de juros. Na bolsa, o restante do
capital lhe provocou um prejuízo de 3%. Se, no
final, Júnior teve um lucro de R$ 56,00, qual foi o
capital investido?
a)
b)
c)
d)
e)
04. Uma agulha de tricô é confeccionada com plástico
e tem volume igual ao de um cilindro reto com
diâmetro da base medindo 6 mm e altura 32 cm.
Qual o volume de plástico necessário para se
confeccionar 50.000 agulhas de tricô? Dado: use a
aproximação π ≈ 3,14.
a)
b)
c)
d)
e)
02. A letra V da figura abaixo está em um retângulo
com 10 cm de largura e 12 cm de altura. Qual a
área ocupada pela letra V?
2
30 cm
2
36 cm
2
38 cm
2
40 cm
2
42 cm
3
4.521.600dm
3
45.216dm
3
45,216m
3
4.521.600mm
3
452.160cm
05. Júnior visitou três lojas e, em cada uma delas,
gastou um terço da quantia que tinha ao chegar à
loja. Se o valor total gasto nas três lojas foi de R$
190,00, quanto Júnior gastou na segunda loja que
visitou?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 2.000,00
R$ 2.200,00
R$ 2.400,00
R$ 2.600,00
R$ 2.800,00
R$ 45,00
R$ 50,00
R$ 55,00
R$ 60,00
R$ 70,00
06. Cinco cadeiras iguais estão alinhadas. Maria
escolhe uma delas, aleatoriamente e, com a
mesma probabilidade para as cinco cadeiras,
senta-se. Em seguida, Pedro escolhe, aleatoriamente, uma cadeira e, com a mesma
probabilidade para as quatro cadeiras restantes,
senta-se. Qual a probabilidade de Maria e Pedro
estarem sentados lado a lado?
a)
b)
c)
d)
e)
1/5
2/5
3/5
4/5
5/6
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9
2
07. Se 1cm de filme fotográfico de alta resolução
8
armazena 1,5.10 bits de informação, qual a área
de filme necessária para armazenar uma
10
enciclopédia contendo 9.10 bits?
a)
b)
c)
d)
e)
2
60cm
2
6dm
2
600mm
2
6.000mm
2
0,6m
08. Um armazém de construção precisa entregar 26
toneladas de areia para um construtor. A entrega
será efetuada usando os dois caminhões do
armazém, um deles com capacidade para
transportar 3 toneladas, e o outro com capacidade para 2 toneladas. Se, em cada viagem, os
caminhões estiverem preenchidos com sua
capacidade máxima, e os dois caminhões forem
utilizados na entrega, de quantas maneiras
diferentes a entrega pode ser feita?
a)
b)
c)
d)
e)
15
14
13
12
11
Qual a média salarial da empresa?
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 840,00
R$ 842,00
R$ 844,00
R$ 846,00
R$ 848,00
11. Nos anos bissextos, o mês de fevereiro tem 29
dias. O último ano bissexto foi 2008 e o dia 29 de
fevereiro foi uma sexta-feira. O próximo ano
bissexto será em 2012. Em qual dia da semana
cairá o dia 29 de fevereiro de 2012?
7
6
5
4
3
09. Um laboratório tem em seu acervo besouros (com
seis pernas cada um) e aranhas (com oito pernas
cada uma). Se o número total de pernas excede
em 214 o número de besouros e aranhas, e o
número de aranhas é inferior em 14 ao número de
besouros, quantas são as aranhas?
a)
b)
c)
d)
e)
10. O gráfico abaixo representa a folha de pagamento
de uma pequena empresa. Na horizontal, estão
representados os números de trabalhadores de
cada categoria salarial e, na vertical correspondente, os salários respectivos, em reais.
a)
b)
c)
d)
e)
Domingo
Segunda-feira
Terça-feira
Quarta-feira
Quinta-feira
12. Uma calça e uma camisa foram compradas em
uma liquidação: a calça com 30% de desconto
sobre o preço de venda anterior à liquidação, e a
camisa com 40% de desconto. Na compra dos
dois itens, obteve-se um desconto de 32% sobre o
valor que se pagaria antes da liquidação. Qual
percentual do preço da calça equivale ao preço da
camisa, antes da liquidação?
a)
b)
c)
d)
e)
20%
25%
30%
35%
40%
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10
13. As populações de duas cidades, em milhões de
habitantes, crescem, em função do tempo t,
t/20
medido em anos, segundo as expressões 200.2
t/10
e 50.2 , com t = 0 correspondendo ao instante
atual. Em quantos anos, contados a partir de
agora, as populações das duas cidades serão
iguais?
a)
b)
c)
d)
e)
16. Uma padaria oferece a seguinte promoção:
“Compre x kg de pão e ganhe (4x)% de desconto
no preço a ser pago”, (para 0 < x < 15). Sem
desconto, o preço do quilo de pão é de R$ 7,00.
Na ilustração a seguir, temos o preço p pago, em
reais, em termos da quantidade de pão comprada
x, em kg.
34 anos
36 anos
38 anos
40 anos
42 anos
14. Uma torneira, que apresenta um vazamento de 30
gotas por minuto, desperdiça 200 litros de água
em um período de 40 dias. Qual o volume de água
desperdiçado pela mesma torneira, com um
vazamento de 45 gotas por minuto, durante 60
dias?
a)
b)
c)
d)
e)
420 litros
430 litros
440 litros
450 litros
460 litros
Se um consumidor vai comprar 11 kg de pão,
pagando o preço sem desconto, que outra
quantidade de pão, com desconto, ele poderia
comprar, pagando a mesma quantia?
a)
b)
c)
d)
e)
15. Na ilustração abaixo, temos uma pirâmide
hexagonal regular com altura igual ao lado da
base e volume 4 3 cm3 . Qual a área total da
superfície da pirâmide?
13,2 kg
13,4 kg
13,6 kg
13,8 kg
14,0 kg
a) 7( 3 + 7 ) cm2
b) 6( 3 + 7 ) cm2
c) 5( 3 + 7 ) cm2
d) 4( 3 + 7 ) cm2
e) 3( 3 + 7 ) cm2
Gabaritos 2010.2
01.
02.
03.
04.
C
B
C
E
05.
06.
07.
08.
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D
B
B
D
09.
10.
11.
12.
D
E
D
B
13.
14.
15.
16.
D
D
B
E
11
PROVA
05
a
2 FASE UFPE 2011
01. Considere a função f, com domínio e
contradomínio o conjunto dos números reais, dada
por f(x) = 3 cos x – sen x, que tem parte de seu
gráfico esboçado a seguir.
03. Antônio nasceu no século vinte, e seu pai, que
tinha 30 anos quando Antônio nasceu, tinha x
2
anos no ano x . Considerando estas informações,
analise as afirmações seguintes:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
O pai de Antônio nasceu no século vinte.
O pai de Antônio nasceu em 1936.
O pai de Antônio tinha 44 anos em 1936.
Antônio nasceu em 1922.
Antônio nasceu em 1936.
04. Na nota de compra de certo produto aparecem o
número de unidades adquiridas e o preço total
pago. O número de unidades foi 72, mas dois
dígitos do preço pago estão ilegíveis e aparece
R$ _13,3_. Determine os dígitos ilegíveis e
assinale seu produto.
Analise a veracidade das afirmações seguintes
acerca de f:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
f(x) = 2.sen(x + π/6), para todo x real.
f é periódica com período 2π.
As raízes de f(x) são -π/6 + 2kπ, com k
inteiro.
f(x) ≥ - 3 , para todo x real.
f(x) ≤ 2, para todo x real.
02. O Jogo do Nim é um jogo de estratégia entre dois
jogadores com palitos dispostos em três linhas. A
quantidade de palitos por linha é estabelecida no
início do jogo. Cada jogador retira, na sua vez de
jogar, uma quantidade qualquer de palitos de uma
só linha (pelo menos um palito). Vence o jogo
aquele que retirar o último grupo de palitos. João e
Maria estão jogando o Jogo do Nim com 3 palitos
por linha, e Maria começa retirando os três palitos
de alguma linha. A propósito, analise as seguintes
afirmações:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
Se João retirar apenas um palito de outra
linha, ele com certeza vence o jogo.
Se João retirar dois palitos de outra linha,
ele com certeza vence o jogo.
Se João retirar todos os palitos de outra
linha, ele só vence se Maria permitir.
Independentemente da jogada de João,
Maria vencerá se quiser.
Com a configuração inicial de 3 palitos por
linha, a única jogada inicial que garante a
vitória é a usada por Maria.
05. Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de
aço, A1, A2 e A3 na construção de três tipos de
carros, C1, C2 e C3. A quantidade dos três tipos de
aço, em toneladas, usados na confecção dos três
tipos de carro, está na tabela a seguir:
Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A1,
11 toneladas do tipo A2 e 19 toneladas do tipo A3,
qual o total de carros construídos (dos tipos C1, C2
ou C3)?
06. Se as raízes da equação
3
2
x – 7x - 28x + k = 0
são termos de uma progressão geométrica, determine e assinale o valor do termo constante k.
07. O proprietário de uma loja comprou certo número
de artigos, todos custando o mesmo valor, por
R$ 1.200,00. Cinco dos artigos estavam danificados e não puderam ser comercializados; os
demais foram vendidos com lucro de R$ 10,00 por
unidade. Se o lucro total do proprietário com a
compra e a venda dos artigos foi de R$ 450,00,
quantos foram os artigos comprados inicialmente?
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12
08. Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da
área da base igual à metade da área lateral. Se a
altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro
3
mais próximo do volume da pirâmide, em cm .
Dado: use a aproximação 3 ≈ 1,73.
12. Na ilustração abaixo, temos dois retângulos
congruentes com base medindo 12 cm, e altura
5 cm. Qual o inteiro mais próximo da distância, em
cm, do ponto A até a horizontal? Dado: use a
aproximação 3 ≈ 1,73.
13. Na figura abaixo AB = AD = 25, BC = 15 e DE = 7.
Os ângulos DEA, BCA e BFA são retos. Determine
e assinale AF.
09. Na ilustração a seguir, temos três circunferências
tangentes duas a duas e com centros nos vértices
de um triângulo com lados medindo 6 cm, 8 cm e
10 cm.
14. Um escritório tem 7 copiadoras e 8 funcionários
que podem operá-las. Calcule o número m de
maneiras de se copiar simultaneamente (em
máquinas
distintas,
sendo
operadas
por
funcionários diferentes) 5 trabalhos idênticos neste
escritório. Indique a soma dos dígitos de m.
2
Calcule a área A da região do triângulo, em cm ,
limitada pelas três circunferências e indique 10A.
Dado: use as aproximações π ≈ 3,14 e arctg 0,75
≈ 0,64.
10. A representação geométrica dos números
complexos z que satisfazem a igualdade 2|z – i| =
=|z – 2| formam uma circunferência com raio r e
centro no ponto com coordenadas (a, b). Calcule r,
2
2
2
a e b e assinale 9(a + b + r ).
11. Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com vértices
nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, 2) e
(1, 3). Assinale 4a – 2b.
15. Um construtor compra 60% das suas telhas da
Companhia A e o restante da Companhia B.
Suponha que 96% das telhas compradas de A são
entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com
98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue
com defeito, calcule a probabilidade percentual p%
de ter sido entregue pela Companhia A. Indique p.
10
16. No desenvolvimento binomial de (1 + 1/3) ,
quantas parcelas são números inteiros?
Gabaritos 2011
01.
02.
03.
04.
FVFFV
FFVVV
FFVVF
30
05.
06.
07.
08.
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9
64
60
83
09.
10.
11.
12.
19
40
24
10
13.
14.
15.
16.
15
09
75
02
13
PROVA
06
a
2 FASE UFPE 2011.2
02. Na ilustração a seguir, temos parte dos gráficos
2
das funções f : IR → IR dada por f(x) = 5 – x e
g : IR {0} → IR dada por g(x) = 2/x.
Analise as afirmações a seguir referentes às duas
funções.
01. A curva da figura abaixo representa parte do
conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a
equação
2
y – 4y – 4x = 0.
Com base nesses dados, analise as afirmações
seguintes.
0 0)
1 1)
2 2)
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
Para cada y real, existe um real x tal que
(x,y) está na curva.
A curva é o gráfico da função y = 2 ± 2
x + 1 , com domínio os reais ≥ -1.
A parte da curva em traço pontilhado ilustra
o gráfico da função y = 2 + 2 x + 1 , com
domínio os reais ≥ -1.
A parte da curva em traço contínuo ilustra o
gráfico da função y = 2 - 2 x + 1
com
domínio os reais ≥ -1.
Não é possível expressar x como função de
y.
3 3)
Um dos pontos de interseção dos gráficos
de f e g é (2, 1).
As abscissas dos pontos de interseção dos
gráficos de f e g são as raízes reais da
3
equação x – 5x + 2 = 0.
2
f(x) – g(x) = (x – 2)(x + 2x – 1)/x , para todo
x real e diferente de zero.
O ponto de interseção dos gráficos de f e g
situado no terceiro quadrante
tem ordenada 2(1 − 2) .
4 4)
Os gráficos de f e g se interceptam em
quatro pontos.
03. Na figura abaixo ABCD é um quadrado de lado 1,
e BCG é um triângulo equilátero.
C
0-0)
O ângulo DEC mede 45º
1-1)
O segmento ED mede
2-2)
A tangente do ângulo AEB é
3 3)
O triângulo EBC é isósceles
4 4)
O segmento EB mede
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3
3
3+ 3
2
1+ 2 3
3
14
04. Se o número complexo 3 + 2i é raiz da equação
3
x – 23x + c , com c sendo uma constante real,
qual o valor de c?
05. Diferentes quantidades de fertilizantes são
aplicadas em plantações de cereais com o mesmo
número de plantas, e é medido o peso do cereal
colhido em cada plantação. Se x kg de fertilizantes
são aplicados em uma plantação onde foram
colhidas y toneladas (denotadas por t) de cereais,
então, admita que estes valores estejam
r
relacionados por y = k. x , com k e r constantes.
Se, para x = 1 kg, temos y = 0,2 t e, para x = 32
kg, temos y = 0,8 t, encontre o valor de x, em kg,
quando y = 1,8 t e assinale a soma dos seus
dígitos.
06. A população de peixes de um lago é atacada por
uma doença e deixa de se reproduzir. A cada
semana, 20% da população morre. Se inicialmente
havia 400.000 peixes no lago e, ao final da décima semana, restavam x peixes, assinale 10log x.
Dado: use a aproximação log 2 ≈ 0,3.
07. Em um grupo de cinco torcedores, três torcem
pelo time A, e dois torcem pelo time B. Escolhendo aleatoriamente três torcedores do grupo,
qual a probabilidade percentual de serem selecionados os dois torcedores do time B?
09. Nos anos de 2008, 2009 e 2010, um trabalhador
recebeu
um
total
de
rendimentos
de
R$ 66.200,00. Se a renda do trabalhador, em
2010, foi 10% superior à renda de 2009, e a renda
em 2009 foi 10% superior à renda de 2008, calcule
o total de rendimentos do trabalhador em 2010 e
indique a soma de seus dígitos.
x 2 − 2x + 4
A
B
C
,
= +
+
3
2
x
x
+
2
x
−1
x + x − 2x
assinale A + B + 2C.
10. Sabendo
que
11. Considere três cubos, com arestas medindo 1 cm,
2 cm e 3 cm. Os cubos serão colados ao longo de
suas faces de modo a se obter um sólido.
Pretende se saber quais os sólidos com menor
área total da superfície.
Por exemplo, se a colagem é feita como na
ilustração a seguir temos um sólido com área da
2
superfície 6(1 + 4 + 9) – (8 + 2) = 74 cm .
08. Na ilustração a seguir, temos a circunferência com
2
2
equação x + y + 6x + 8y = 75 e a reta passando
pela origem e pelo centro da circunfe-rência.
Determine o ponto da circunferência mais distante
da origem e indique esta distância.
Dentre os sólidos obtidos, colando os três cubos
ao longo de suas faces, existem alguns com
menor área total da superfície. Indique o valor
2
desta área em cm .
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15
12. Uma locadora de vídeos tem três estilos de filmes:
de ficção científica, dramáticos e comédias.
Sabendo que:
2
16. Quantas soluções a equação trigonométrica sen x
+ cos x = 5/4 admite no intervalo [0, 60π]?
2
Parte do gráfico da função sen x + cos x está
esboçada abaixo.
– o total de filmes de ficção científica e
dramáticos, adicionado de um quarto dos filmes
de comédia, corresponde à metade do total de
filmes da locadora;
– o número de filmes de comédia excede em 800
o total de filmes de ficção científica e
dramáticos;
– o número de filmes dramáticos é 50% superior
ao número de filmes de ficção científica.
Encontre o número de filmes dramáticos da
locadora e indique a soma de seus dígitos.
13. Qual o menor inteiro positivo que deixa resto 2,
quando dividido por 3; resto 3, quando dividido por
5, e resto 5, quando dividido por 7?
14. Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular
com área total da superfície 36 3 cm2 . Indique o
3
volume do octaedro, em cm .
15. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre
as disciplinas Matemática, Física e Química.
Sabendo que:
– o número de alunos que cursam Matemática e
Física excede em 5 o número de alunos que
cursam as três disciplinas;
– existem 7 alunos que cursam Matemática e
Química, mas não cursam Física;
– existem 6 alunos que cursam Física e Química,
mas não cursam Matemática;
– o número de alunos que cursam exatamente
uma das disciplinas é 150;
– o número de alunos que cursam pelo menos
uma das três disciplinas é 190.
Quantos alunos cursam as três disciplinas?
Gabaritos 2011.2
01.
02.
03.
04.
VFVVF
VVFVF
FVVFF
78
05.
06.
07.
08.
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09
46
30
15
09.
10.
11.
12.
08
02
72
12
13.
14.
15.
16.
68
36
22
60
16
PROVA
07
a
2 FASE UFPE 2012
02. O sólido ilustrado abaixo é limitado por um
hemisfério e um cone. Sejam r o raio do hemisfério
(que é igual ao raio da base do cone) e h a altura
do cone. Acerca dessa configuração, analise a
veracidade das afirmações seguites:
01. O preço pago por uma corrida de táxi normal
consiste de uma quantia fixa de R$ 3,50, a
bandeirada, adicionada de R$ 0,25 por cada
100 m percorridos, enquanto o preço pago por
uma corrida de táxi especial consiste de uma
quantia fixa de R$ 4,20 adicionada de R$ 0,35 por
cada 100 m percorridos. Seja f(x) o preço pago,
em reais, por uma corrida de x km no táxi normal e
g(x) o preço pago, em reais, por uma corrida de x
km no táxi especial. Analise as afirmações
seguintes referentes a esta situação.
0-0)
1-1)
2-2)
f(10) = 28,50 reais
g(20) = 74,20 reais
Os gráficos de f(x) e g(x), para 0 ≤ x ≤ 10,
estão esboçados a seguir são, respectivamente, as semi-retas com origem nos
pontos (0, 3,5) e (0, 4,2) e com inclinações
2,5 e 3,5)
0-0)
se h = 2r o volume do hemisfério e o do
cone serão iguais.
1-1)
se h = 2r a área lateral do cone será igual a
área do hemisfério (sem incluir o círculo da
base).
mantendo o valor de h e duplicando o valor
de r o volume total duplicará.
duplicando os valores de h e r a área total
do sólido ficará multiplicada por quatro.
para r = 3 e h = 4, a área total do sólido é
33π.
2-2)
3-3)
4-4)
3-3)
4-4)
Para qualquer corrida, o preço do táxi
especial é 30% mais caro que o táxi
normal.
g(x) – f(x) = 0,7 + x.
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17
03. Suponha que seu nutricionista recomendou que
você tomasse 350mg de vitamina C, 4200 UI de
vitamina A e 500 UI de vitamina D. Cada unidade
de suplemento X, Y e Z contêm as quantidades
indicadas na tabela abaixo das vitaminas C, A e D:
Admitindo essas informações analise as afirmações abaixo:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
para atender corretamente às recomendações de seu nutricionista você pode
utilizar: três unidades do suplemento x, uma
unidade do suplemento y e duas unidades
do suplemento z.
para atender corretamente às recomendações de seu nutricionista você pode
utilizar: duas unidades de cada um dos
suplementos.
é impossível atender às recomendações do
nutricionista usando os suplementos X, Y e
Z.
para atender corretamente às recomendações de seu nutricionista você pode utilizar:
seis unidades dentre os suple-mentos X, Y
e Z, escolhidas como desejar.
é possível atender às recomendações do
nutricionista de infinitas maneiras diferentes.
04. O gráfico da função real f dada por
4
3
2
f(x) = x + ax + bx + cx + d com a, b, c e d
constantes reais está esboçado a seguir.
05. Sobre o triângulo, cujos lados medem 8, 7 e 5,
podemos afirmar que:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
um dos ângulos internos do triângulo mede
60º.
o maior dos ângulos internos mede mais
que o dobro da medida do menor dos
ângulos internos do triângulo.
a área deste triângulo é 17,5.
o triângulo é obtusângulo;
o menor dos ângulos internos tem seno
igual a
5 3
.
14
06. Em uma escolinha de futebol, a razão entre o
número total de alunos e o número de meninas é
13/5. Se o número de meninos da escola é 120,
quantas são as meninas?
07. Suponha que: a probabilidade de cada pessoa, de
um grupo de quatro pessoas, ser aprovada no
vestibular seja de 60%. Calcule a probabilidade
percentual de, exatamente, duas das quatro
pessoas serem aprovadas no vestibular e indique
a soma de seus dígitos.
08. Sejam AB e AC cordas de mesma medida em uma
circunferência e D um ponto no arco maior BC,
conforme ilustração abaixo. Se o ângulo BAC
mede 150° assinale a medida, em graus, do
ângulo BDA.
Se o gráfico passa pelos pontos (1, 0), (2, 0), (0, 2)
e (-1, 12) é correto afirmar que:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
2
f(x) é divisível por x – 3x + 2.
2
f(x) é múltiplo de x + 1.
f(x) admite quatro raízes reais.
A soma das raízes de f(x) é 3.
O produto das raízes de f(x) é 2.
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18
09. Oito rapazes e doze moças concorrem ao sorteio
de dois prêmios. Serão sorteadas duas dessas
pessoas, aleatoriamente, em duas etapas, de
modo que o sorteado na primeira etapa concorrerá
ao sorteio na segunda etapa. Qual a probabilidade
percentual de ser sorteado um par de pessoas de
sexos diferentes?
14. A figura abaixo ilustra a parábola com equação
2
y = -x + 4x e uma circunferência de raio r e centro
(2, a). O único ponto comum a ambas é o vértice
da parábola. O gráfico da circunferência está entre
o eixo das abscissas e o gráfico da parábola,
exceto pelo ponto comum à circunferência.
Assinale a + r.
10. Na ilustração a seguir, as retas a, b e c são
paralelas.
11. São dados os 8 pontos A, B, C, D, E, F, G e H
sobre uma circunferência, como na figura abaixo.
De quantas maneiras podem-se formar triângulos
com vértices nesses pontos?
15. Indique o valor do natural n, n > 0, para o qual o
2 2n+1
n+1
n-1
polinômio n x
– 25nx
+ 150x é divisível
2
pelo polinômio x – 1.
16. Se a é um número real e o número complexo
a − 5i
é real, qual o valor de a?
5−i
12. Cinco números distintos A, B, C, 21 e D estão,
nesta ordem, em progressão aritmética, de modo
que ao eliminarmos C e 21, temos uma
progressão geométrica; determine a soma dos
cinco números.
Gabaritos 2012
2
13. Seja f(x) = x + 4x + 1, com x sendo um número
real. Seja R a região que consiste dos pontos (x,
y) do plano que satisfazem f(x) + f(y) ≤ 10. Indique
o inteiro mais próximo da área de R. Dado: use a
aproximação π ≈ 3,14.
01.
02.
03.
04.
VVVFV
VFFVV
VFFFF
VVFVV
05.
06.
07.
08.
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VVFFV
75
18
15
09.
10.
11.
12.
48
26
56
75
13.
14.
15.
16.
50
04
10
25
19
PROVA
08
a
2 FASE UFPE 2012.2
03. Analise as afirmações seguintes sobre o número
1+ i
complexo z =
:
2
0-0)
01. Analise a veracidade das afirmações seguintes,
sobre propriedades aritméticas dos números:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
Se n é um número natural, então, o número
n(n + 1)(2n + 1) é um natural par.
4
4
Se a e b são números reais, e a – b > 0,
então, a – b > 0.
O produto de dois números irracionais é
sempre irracional.
2
Se n é um número natural, então, n +n+11 é
um natural primo.
A soma de um número racional com um
irracional é sempre um número irracional.
1-1)
z é uma das raízes quadradas do complexo
i.
4
z = 1.
2-2)
A
3-3)
4-4)
forma
trigonométrica
de
z
é
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
cos⎜ ⎟ + isen⎜ ⎟ .
⎝ 4 ⎠
⎝ 4 ⎠
2012
z
= 1.
3
5
7
z, z , z e z são as raízes complexas da
4
equação x + 1 = 0.
04. Analise a veracidade das afirmações seguintes
sobre identidades trigonométricas.
4
4
2
2
0-0) sen x – cos x = sen x – cos x, para todo x
real.
02. Esta questão refere-se à parábola com equação
2
y = x + 5 e à reta não vertical com inclinação m e
passando pelo ponto (0, 1), que será designada
por rm. Abaixo, ilustramos o gráfico da parábola e
o gráfico das retas y = 2x +1, y =4x + 1 e y= 6x +1.
1-1)
⎛ π
⎞
⎛ π
⎞
sen ⎜ + x ⎟ = cos ⎜ − x ⎟ , para todo x real.
⎝ 4
⎠
⎝ 4
⎠
2-2)
tg x + cotg x =
2
, para x real e
sen(2x)
kπ
, com k inteiro.
2
2
2
2cos x + cos(2x) = 3+4cos x, para todo x
real.
sen(x + y) + sen(x - y) = 2cos xcos y , para
quaisquer x e y reais.
x ≠
3-3)
4-4)
05. Considere a função, f(x) = |x+1|-|x – 1|, definida
para x real. Analise as afirmações seguintes sobre
f.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
Admitindo esses dados, analise as afirmações
seguintes.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
Uma equação de rm é y = mx + 1.
rm intercepta a parábola em um único ponto
se e somente se m = 4.
Se -4 < m < 4, então, rm não intercepta a
parábola.
Se m < -4, então, rm intercepta a parábola
em dois pontos diferentes.
Se m > 4, então, rm intercepta a parábola
em um único ponto.
f é par.
f é positiva.
f é injetora.
A imagem de f é o intervalo fechado [-2,2].
f(x+y) = f(x) + f(y), para quaisquer x e y
reais.
06. Numa determinada sala de aula, antes das férias
do meio do ano, tinha 1/3 de meninos; depois do
retorno às aulas, entraram mais 5 meninos na
turma e nenhum estudante saiu. Nesta nova
configuração, temos 60% de meninas. Quantos
alunos (meninos e meninas) tinha esta sala antes
das férias?
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20
07. As pedras de um dominó usual são compostas por
dois quadrados, com 7 possíveis marcas (de zero
pontos até 6 pontos). Quantas pedras terá um
dominó se cada quadrado puder ter até 9 pontos?
Veja no desenho abaixo um exemplo de uma nova
pedra do dominó.
13. Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto
1
termo da expansão binomial de (3 x + )n seja
x
independente de x na expansão em potências
decrescentes de x.
14. Uma circunferência está circunscrita ao triângulo
com lados sobre as retas com equações x = 0,
y = 0 e 4x + 3y = 24, conforme a ilustração abaixo.
Encontre a equação da circunferência e indique a
soma das coordenadas de seu centro e de seu
raio.
08. Lançando-se dois dados perfeitos, qual a
probabilidade percentual de o produto dos
resultados obtidos ser maior que a soma? Indique
o inteiro mais próximo do resultado calculado.
09. Um casal está fazendo uma trilha junto com outras
10 pessoas. Em algum momento, eles devem
cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com
capacidade para 3 pessoas (excluindo o
jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos
podem ser organizados para a travessia, se o
casal quer ficar na mesma jangada? Assinale a
soma dos dígitos.
3
2
10. O polinômio x + ax + bx + 19 tem coeficientes a,
b números inteiros, e suas raízes são inteiras e
distintas. Indique |a| + |b|.
11. Admita que a população humana na terra seja
hoje de 7 bilhões de habitantes e que cresce a
uma taxa cumulativa anual de 1,8%. Em quantos
anos, a população será de 10 bilhões?
⎛ 10 ⎞
Dados: use as aproximações log10 ⎜ ⎟ ≈ 0,15 e
⎝ 7 ⎠
log10 1,018 ≈ 0,0075.
12. Um joalheiro fabricou um pingente maciço de prata
banhado a ouro, no formato de tetraedro regular
com 1 cm de aresta. O custo com material para
confeccionar o pingente foi R$ 11,25
(R$
3,75 em prata e R$ 7,50 em ouro). Quanto o
joalheiro gastará com material para confeccionar
outro pingente do mesmo tipo com aresta 2 cm?
Considere que a espessura do banho de ouro
permanece constante nos pingentes.
15. Em uma aula de Biologia, os alunos devem
observar uma cultura de bactérias por um intervalo
de tempo e informar o quociente entre a
população final e a população inicial. Antônio
observa a cultura de bactérias por 10 minutos e
informa um valor Q. Iniciando a observação no
mesmo instante que Antônio, Beatriz deve dar sua
informação após 1 hora mas, sabendo que a
população de bactérias obedece à equação
kt
P(t)=P0.e , Beatriz deduz que encontrará uma
potência do valor informado por Antônio. Qual é o
expoente dessa potência?
16. Os vértices de um tetraedro são um dos vértices
de um cubo de aresta 30 cm e os três vértices
ligados a ele por uma aresta do cubo, como
ilustrado na figura abaixo. Se V é o volume do
3
tetraedro, em cm , assinale V/100.
Gabaritos 2012.2
01.
02.
03.
04.
VFFFV
VFVVF
VFVFV
VVVFF
05.
06.
07.
08.
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FFFVF
45
55
67
09.
10.
11.
12.
10
20
20
60
13.
14.
15.
16.
16
12
06
45
21
PROVA
09
a
2 FASE UFPE 2013
03. Considere a função ƒ: {x ∈ R ; x ≠ 2} → R, dada
5x + 3
por ƒ(x) =
, que tem parte do seu gráfico
x−2
esboçada a seguir.
01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta
medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices
indicados do cubo, E é o centro da face contendo
C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a
partir de E.
Com base nas informações acima, analise as
proposições a seguir.
0-0)
A distância entre A e B mede 6 2 cm.
1-1)
A distância entre B e D mede 6 3 cm.
2-2)
3-3)
Os triângulos CDB e FDE são semelhantes.
O seno do ângulo FDE é.
4-4)
A distância entre E e F mede 2 6 cm.
02. Sobre o sistema de equações lineares
apresentado abaixo, analise as proposições a
seguir, sendo um parâmetro real.
⎧x + y + z = 2
⎪
⎨x + ay + 2z = 1
⎪ 2 x + y + z = 3
⎩
0-0)
1-1)
2-2)
Se α = 2, então o sistema admite infinitas
soluções.
O sistema sempre admite solução.
Quando o sistema admite solução, temos
que x = 1.
Analise as proposições a seguir, referentes a ƒ.
0-0) A imagem de ƒ é o conjunto dos reais diferentes
de 1.
1-1) ƒ admite inversa.
2-2) Se y é um número real diferente de 5, então
⎛ 2 y + 3 ⎞
ƒ ⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ y − 5 ⎠
3-3) O gráfico de ƒ intercepta o eixo das abscissas no
ponto com coordenadas (–3/5, 0).
4-4) Se x é real e x > 2, então ƒ(x) > 5.
04. Para cada número real α, analise as proposições a
seguir, referentes à representação geométrica da
2
2
equação x + αy + 2x – 2αy = 0 em um sistema
de coordenadas cartesianas xOy.
0-0)
Se α = 1, a equação representa uma
circunferência.
1-1)
Se α = 0, a equação representa uma reta.
3-3)
Se α ≠ 2, então o sistema admite uma única
solução.
2-2)
Se α = 3, a equação representa uma
hipérbole.
4-4)
Se α = 1, então o sistema admite a solução
(1, 2, –1).
3-3)
Se α = –2, a equação representa uma
elipse.
4-4)
Se α = –1, a equação representa a união de
duas retas.
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22
05. A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das
parábolas A e B, com equações respectivas
2
2
y = –x + 8x – 13 e y = x – 4x – 3.
08. Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro
obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é
moldado em esferas com raio igual à metade do
raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é
quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são
as esferas obtidas?
09. Determine o polinômio com coeficientes reais
3
2
p(x) = x + bx + cx, tal que
p(x +1) – p(x) = 6x
2
2
2
2
e indique a + b + c .
Analise as proposições abaixo, acerca dessa
configuração.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
Um dos pontos de interseção das parábolas
A e B tem coordenadas (1, –6).
O vértice da parábola A é o ponto (4, 2).
A reta que passa pelos pontos de
interseção das parábolas A e B
tem
equação y = 2x – 6.
A distância entre os vértices das parábolas
A e B é 102 .
A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0, –3).
06. Uma compra em uma loja da Internet custa 1250
libras esterlinas, incluindo os custos de envio.
Para o pagamento no Brasil, o valor deve ser
inicialmente convertido em dólares e, em seguida,
o valor em dólares é convertido para reais. Além
disso, paga-se 60% de imposto de importação à
Receita Federal e 6,38% de IOF para pagamento
no cartão de crédito. Se uma libra esterlina custa
1,6 dólares e um dólar custa 2 reais, calcule o
valor a ser pago, em reais, e indique a soma de
seus dígitos.
07. A, B e C são sócios de uma pequena empresa.
Quando os três trabalham o mesmo número de
horas em um projeto, o pagamento recebido pelo
projeto é dividido da seguinte maneira: A recebe
45% do total, B recebe 30% e C recebe os 25%
restantes. Em determinado projeto, A trabalhou 15
horas, B trabalhou 20 horas e C trabalhou 25
horas. Se o pagamento foi de R$ 1.900,00, quanto
caberá a C, em reais? Indique a soma dos dígitos
do valor recebido por C.
10. Uma expedição tinha alimento suficiente para 30
dias. Passados 10 dias do seu início, outras 18
pessoas se juntaram às primeiras e o alimento
durou mais 16 dias. Quantas eram as pessoas no
início da expedição?
11. Um capital é aplicado a uma taxa anual de juros
compostos e rende um montante de R$ 15.200,00
em 3 anos, e um montante de R$ 17.490,00 em
4 anos. Indique o valor inteiro mais próximo da
taxa percentual e anual de juros.
12. Encontre o menor inteiro positivo η tal que a
potência ( 3 + i)η seja um número real.
13. Seja ƒ uma função que tem como domínio o
conjunto dos números reais e é dada por
ƒ(x) = a ⋅ sen(ω ⋅ x + b), com a, ω e b constantes
reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de ƒ, restrito
⎡ π 5π ⎤
ao intervalo fechado ⎢− , ⎥ . A função
ƒ tem
⎣ 6 6 ⎦
período π e seu conjunto imagem é o intervalo
fechado [–5, 5] .
Determine as constantes a e ω e o menor valor
2
2
positivo de b. Indique a + ω + 3b/π.
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23
.
⎡ 3 1⎤
⎡a b⎤
14. Seja ⎢
a inversa da matriz ⎢
⎥ . Indique
⎥
⎣11 4 ⎦
⎣c d⎦
|a| + |b| + |c| + |d|.
15. Um jornal inclui em sua edição de domingo um CD
de brinde. O CD pode ser de rock ou de música
sertaneja, mas, como está em uma embalagem
não identificada, o comprador do jornal não sabe
qual o gênero musical do CD, antes de adquirir o
jornal. 40% dos jornais circulam com o CD de rock
e 60% com o CD de música sertaneja. A
probabilidade de um leitor do jornal gostar de rock
é de 45%, e de gostar de música sertaneja é de
80%. Se um comprador do jornal é escolhido ao
acaso, qual a probabilidade percentual de ele
gostar do CD encartado em seu jornal?
16. Uma circunferência tem centro no primeiro
quadrante, passa pelos pontos com coordenadas
(0, 0) e (4, 0) e é tangente, internamente, à
2
2
circunferência com equação x + y = 64. Abaixo,
estão ilustradas as duas circunferências.
Indique o inteiro mais próximo da soma das
coordenadas do ponto de interseção das duas
circunferência.
Gabaritos 2013
01.
02.
03.
04.
VVVVF
FFVVV
FFVVV
VFFFV
05.
06.
07.
08.
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VFFFV
27
13
67
09.
10.
11.
12.
14
72
15
6
13.
14.
15.
16.
30
19
66
11
24
PROVA
10
5
2a FASE UFPE 2013.2
01. Quando o preço médio do aluguel é de R$ 400,00
mensais, uma imobiliária aluga 200 imóveis. Uma
pesquisa de mercado revelou que, para cada
desconto de R$ 5,00 no preço do aluguel, o
número de imóveis alugados aumenta de 4.
Denote por p(x) o valor total arrecadado com o
valor dos aluguéis, em reais, depois de
descontos de R$ 5,00. Suponha que a imobiliária
disponha de 280 imóveis para alugar e que há
inquilinos interessados em todos. Com base
nesses dados, analise a veracidade das
afirmações a seguir:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
2
p(x) = – 20x + 600x + 80.000.
O valor máximo arrecadado será de
R$ 84.000,00.
O valor máximo arrecadado ocorrerá quando o preço do aluguel for de R$ 350,00.
Para 0 ≤ x ≤ 20, o gráfico de p(x)/1.000 é
O menor múltiplo comum de m e n é 2 ×3 .
A expansão decimal de m termina em três
zeros à direita.
O número de divisores naturais de m é 120.
A raiz quadrada de n é um número
irracional.
3-3)
4-4)
0-0)
O valor máximo arrecadado ocorrerá
quando forem alugados 250 imóveis.
1-1)
2-2)
3-3)
Se HA mede 7 cm e BF mede 4 cm, então:
HF mede
3-3)
o perímetro do quadrado ABCD mede 42
cm.
2
o triângulo DHG tem área medindo 12 cm .
4-4)
6
usando gasolina, o custo de percorrer 1 km
neste carro é de R$ 0,26.
usando gás, o custo de percorrer 1 km
neste carro é de R$ 0,20.
usando gás, ao invés de gasolina, o
proprietário economizará o valor do kit
quando percorrer 500.000 km.
usando gás, ao invés de gasolina, o
motorista economizará R$ 60,00 por dia.
usando gás, ao invés de gasolina, o
motorista economizará o valor do kit em
menos de um ano.
05. João e Maria participam do seguinte jogo:
alternadamente, eles lançam um dado perfeito,
com suas faces numeradas de 1 a 6; ganha o jogo
quem obtiver o primeiro 6. Além disso, Maria faz o
primeiro lançamento. Nesta situação:
0-0)
2-2)
7
04. Um carro consome um litro de gasolina para
percorrer 10 km. O proprietário do veículo adquiriu
um kit gás, que permite que o combustível do
carro seja gás natural ao invés de gasolina, por R$
3.000,00, incluindo instalação e taxas. Usando gás
natural, o mesmo carro percorre 9 km para cada
de gás. Além disso, o preço do litro de gasolina é
R$ 2,60, e o de gás custa R$ 1,80. O motorista
percorre 100 km por dia. Sob essas condições:
4-4)
os triângulos AEH e BFE são congruentes.
2
o quadrado EFGH tem área medindo 65cm .
4
1-1)
2-2)
3-3)
0-0)
1-1)
5
O maior divisor comum de m e n é 2 × 3 .
2-2)
02. Na ilustração abaixo, temos os quadrados ABCD e
EFGH.
3
0-0)
1-1)
4-4)
4
03. Considere os números naturais m = 2 × 3 × 5
7
6
2
e n = 2 × 3 × 7 , dados em suas fatorações em
números primos. Analise a veracidade das afirmações seguintes, referentes a m e n.
4-4)
a probabilidade de Maria ganhar o jogo em
seu primeiro lançamento é de 1/6.
a probabilidade de João ganhar o jogo em
seu primeiro lançamento é de 5/6.
a probabilidade de Maria ganhar o jogo em
seu segundo lançamento é de (5/6) .1/6.
a probabilidade de Maria ganhar o jogo é de
6/11.
a probabilidade de João ganhar o jogo é de
5/11.
135 .
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25
06. Uma pesquisa de mercado, em 2012, revelou que
3/4 dos consumidores consultados preferiam o
produto A, e 1/4, o produto B. Depois de uma
intensa campanha publicitária para divulgar o
produto A, uma nova pesquisa, em 2013, com os
mesmos consumidores, revelou que 1/5 dos
consumidores que antes preferiam o produto B,
agora consomem o produto A, e os que, em 2012,
consumiam o produto A, continuam com a mesma
preferência. Qual o percentual de consumidores
consultados que, em 2013, preferem o produto A?
10. A tabela a seguir deve ser preenchida com
números naturais. A soma dos números em cada
uma das linhas é o mesmo valor, e a soma dos
números em cada uma das colunas também é o
mesmo valor (mas não necessariamente igual à
soma dos valores em cada linha).
07. Quando João fica em pé em uma cadeira, sua
altura, em relação ao piso, é 55 cm maior que a de
Maria, que está em pé no piso. Quando Maria fica
em pé na mesma cadeira, sua altura, em relação
ao piso, fica maior que a de João, que está de pé
no piso, em 45 cm. Indique a altura da cadeira, em
cm.
Qual a soma de todos os elementos da tabela?
08. Na ilustração abaixo, os triângulos ABC e BDE
são equiláteros e congruentes, e o ângulo CBE
o
mede 70 . Qual a medida, em graus, do ângulo
CAE?
11. Se o raio da base de um cilindro reto é aumentado
de 60%, e sua altura é dividida pela metade, qual
o aumento percentual no volume do cilindro?
12. Em quatro meses do ano, um hotel tem 85% de
sua capacidade preenchida. Nos oito meses
restantes, a média de ocupação do hotel é de
55%. Indique a média de ocupação percentual do
hotel ao longo do ano.
13. Para um estudante ser aprovado em um exame,
precisa responder pelo menos 60% das questões
corretamente. Um estudante examinou 20 das
questões do exame e, destas, ele não sabe
resolver a metade. Se ele não responder as 10
questões que não sabe, e responder corretamente
todas as demais questões do exame, ele acertará
60% das questões e será aprovado no exame.
Quantas questões tem o exame?
09. Na ilustração abaixo, o quadrado ABCD tem lado
medindo 5 cm, e o triângulo BEC tem a mesma
área do quadrado. Qual a medida da distância, em
cm, entre o ponto E e a reta que passa por A e D?
14. Na ilustração a seguir, os três quadrados têm lado
medindo 4 cm. Qual o maior inteiro menor ou igual
2
à medida da área do círculo, em cm ? Dado: use
a aproximação π ≈ 3,14.
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26
15. Um grupo com 3n rapazes e 2n moças participam
de um torneio de jogo de damas (com n sendo um
número natural). Cada participante enfrentará
cada um dos demais uma única vez. Se o número
de partidas entre participantes de sexos diferentes
foi 96, quantas foram as partidas entre
participantes do mesmo sexo?
16. Na ilustração a seguir, os vértices do triângulo
PQR são as interseções, duas a duas, das três
retas esboçadas. O ponto P tem coordenadas
(1, -1), a reta contendo Q e R tem equação
x – 3y + 6 = 0, a reta contendo P e R tem
equação x – y – 2 = 0, e o ponto Q está no eixo
das ordenadas. Determine a área do triângulo
PQR.
.
Gabaritos 2013.2
01.
02.
03.
04.
VFFVF
VVFFF
VFVVV
VVFFF
05.
06.
07.
08.
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VFVVV
80
50
35
09.
10.
11.
12.
15
48
28
65
13.
14.
15.
16.
25
83
94
10
27
PROVA
11
a
2 FASE UFPE 2014
04. Uma esfera está inscrita em um cone reto com
raio da base medindo 15cm e altura 36cm,
conforme a ilustração a seguir.
01. Seja C o conjunto de pontos (x, y) do plano
cartesiano, cuja distância ao ponto (0,3) é igual à
distância da reta com equação y = –3. Analise as
afirmações a seguir.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
C é a parábola com foco no ponto (0,3) e
reta diretriz y = –3.
C consiste dos pontos (x, y) do plano que
3
satisfazem à equação y = y /3.
C é uma parábola com vértice no ponto
C é simétrico em relação à reta com
equação x = 0.
A reta com equação x – y = 3 tem dois
pontos em comum com C.
02. Na ilustração abaixo, temos um paralelepípedo
retângulo, e estão indicados três de seus vértices
A, B e C. A diagonal AB mede 2 cm e forma com
o
a horizontal um ângulo de 45 . A diagonal AC
o
forma com a horizontal um ângulo de 30 .
Considerando estas
afirmações a seguir.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
hipóteses,
analise
as
A geratriz do cone mede 40 cm.
A tangente do ângulo agudo formado pelo
eixo do cone e a geratriz é 5/12.
Os triângulos ABC e AED são semelhantes.
A esfera tem raio medindo 9 cm.
A área da superfície da esfera mede 400π
2
cm .
05. A função ƒ tem como domínio e contradomínio o
conjunto dos números reais e é definida por
2x
ƒ(x) =
. Analise a veracidade das
2
x +1
afirmações seguintes sobre ƒ, cujo gráfico está
esboçado a seguir.
0-0)
1-1)
A altura do paralelepípedo, com relação à
base que não contém B e C, mede 1 cm.
BC mede 2 cm.
2-2)
O cosseno do ângulo BAC é
3-3)
A área do triângulo BAC mede
4-4)
As diagonais do paralelepípedo medem
6 cm.
2 /4 .
2
7 / 2 cm .
03. Admita que a poupança rende juros mensais
compostos de 0,5% e que um investidor fez um
depósito de R$ 1.000,00. Seja o montante, em
milhares de reais, resultante, t meses após
efetuado o depósito. Admitindo estes dados,
analise as afirmações abaixo.
t
0-0)
ƒ(t) = 1,005
1-1)
2-2)
ƒ(t + 10) = ƒ(t) ⋅ ƒ(10)
Se h é um número real não negativo então
ƒ(t + h) – ƒ(t) = ƒ(t) ⋅ [ƒ(h) – 1].
3-3)
t = log1,005 ƒ(t)
4-4)
ƒ(2t) = ƒ(t)
0-0)
1-1)
2-2)
é uma função par.
Para todo número real positivo x, temos
ƒ(x) > 0.
Se x é um número real não nulo, então
ƒ(1/x) = ƒ(x).
3-3)
ƒ(x) ≤ 1, para todo número real x.
4-4)
ƒ(x) ≥ –1, para todo número real .
2
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28
06. Para decidir qual tipo de transporte utilizará para ir
ao trabalho, Júnior lança um dado perfeito e, se o
resultado for 1, ele vai de táxi, se o resultado for 4
ou 6, ele vai de ônibus e, nos demais casos, ele
vai de bicicleta. Se Júnior vai de táxi, a
probabilidade de chegar atrasado no trabalho é
1/4, se vai de ônibus é 1/3, e, se vai de bicicleta, é
1/6. Considerando estas condições, analise as
afirmações seguintes.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
A probabilidade de Júnior chegar atrasado
ao trabalho é de 17/72.
A probabilidade de Júnior não chegar
atrasado ao trabalho é de 45/72.
A probabilidade de Júnior não se atrasar em
nenhum dos cinco dias úteis de uma
5
semana é de (55/72) .
Se Júnior chegar atrasado ao trabalho, a
probabilidade de que ele tenha ido de táxi é
de 2/17.
Se Júnior chegar ao trabalho sem atraso, a
probabilidade de que ele tenha ido de
bicicleta é de 6/11.
07. O médico prescreveu para Júnior uma dose diária
de insulina, equivalente a 0,4 unidades de insulina
por quilo do peso de Júnior. A insulina é vendida
em vidros de 3 ml que custam R$ 96,00 cada um,
e cada ml corresponde a 100 unidades de
insulina. Se Júnior pesa 80 kg, calcule o valor,
em reais, que ele gastará mensalmente com a
compra da insulina, e indique a soma dos dígitos
do valor obtido. Obs.: considere o mês com 30
dias.
08. O preço da refeição em um restaurante é
composto de três partes: 20% do preço
correspondem à entrada, 50%, ao prato principal,
e 30%, à sobremesa. Se o preço da entrada
aumenta de 5%, e o preço do prato principal
aumenta de 10%, de qual percentual deve diminuir
o preço da sobremesa, para que o preço da
refeição fique inalterado?
09. Na ilustração a seguir, as retas formam entre si
o
um ângulo de 60 , e os círculos são tangentes
entre si e tangentes às duas retas. Se o círculo
menor tem raio medindo 1 cm, qual o inteiro mais
2
próximo da área do círculo maior, em cm ?
10. Uma equipe formada por 25 pessoas extrai, em 5
dias, 1 tonelada de carvão. Em quantos dias, uma
equipe formada por 30 pessoas extrai 6 toneladas
de carvão? Admita que as pessoas tenham a
mesma capacidade de trabalho e que trabalharão
o mesmo número de horas por dia.
11. Considere 50 retas distintas r1, r2, r3, ..., r50
no plano. As retas com índice ímpar r1, r3, r5, ..., r49
são paralelas duas a duas. As retas com índice
divisível por quatro r4, r8, r12, ..., r48 são con-correntes
em um mesmo ponto. Qual o maior número
possível de pontos de interseção, duas a duas,
das 50 retas? Indique um décimo do número
obtido.
12. Um investidor aplicou as quantias de R$ 6.000,00
e R$ 4.000,00 nos fundos de investimentos A e B,
respectivamente. Passado um ano, o fundo de
investimentos B rendeu de juros um ponto
percentual a mais que o fundo A, e a diferença
entre os rendimentos nos dois fundos foi de R$
72,00. Calcule a taxa (percentual) anual de juros
do fundo de investimentos A e indique 10 vezes o
seu valor.
13. Encontre números inteiros x, y e z tais que
3
= x + y 3 2 + z3 4
1+ 2 2 + 3 4
3
2
2
2
e indique x + y + z .
n
n-2 2
14. Dois termos da expansão de (x + y) são 66x y
n-3 3
e 220x y . Calcule e indique o valor de n.
4
15. Se x é um número complexo e 2x – 37x + 2 = 0,
1
qual o maior valor de x + ?
x
16. Encontre o maior valor de b, tal que a distância
entre o ponto com coordenadas (0,2) e a reta com
4
equação y = x + b, seja 6.
3
Dado: use a aproximação π ≈ 3,14.
Gabaritos 2014
01.
02.
03.
04.
VFFVF
VVVVF
VVVVV
FVVFV
05.
06.
07.
08.
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FVVVV
VFVFV
12
20
09.
10.
11.
12.
28
25
86
56
13.
14.
15.
16.
2
12
18
12
29