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AJES - INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO VALE DO JURUENA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
“ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM O MATERIAL DOURADO”
Fábio Sabatine Bock
Orientadora: Ms. Eliana Walker
JUINA-MT/2010
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AJES - INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO VALE DO JURUENA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
“ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM O MATERIAL DOURADO”
Fábio Sabatine Bock
Orientadora: Ms. Eliana Walker
“Trabalho apresentado como exigência
parcial para a obtenção do título de
Licenciado em Matemática”.
JUINA-MT/2010
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AJES - INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAÇÃO DO VALE DO JURUENA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
BANCA EXAMINADORA
___________________________________________________________________
Profª. Ms. Daniele Martini
___________________________________________________________________
Prof ª Esp. Heloísa dos Santos
___________________________________________________________________
ORIENTADORA
Profª. Ms. Eliana Walker
4
Dedico a minha família e a minha orientadora
por todo o auxilio e ajuda que me deram
durante todo o processo da monografia.
5
AGRADECIMENTOS
A realização deste trabalho monográfico é
algo que devo agradecer a várias pessoas,
que de uma forma ou outra contribuíram para
a realização do mesmo.
Primeiramente quero agradecer a Deus, pois
sem a sua vontade e sua força nada seria
possível.
A minha orientadora Profº Msc. Eliana Walker
que ajudou na realização deste importante
trabalho.
A minha família pela força que me deram
durante o processo todo.
6
“Ensinar não é transferir conhecimento,
mas criar as possibilidades para a sua
própria produção”.
(Paulo Freire)
7
RESUMO
O material concreto é hoje um recurso didático que vem merecendo destaque para
as questões de ensino-aprendizagem. Além de trazer esse interesse para o aluno
ele vem proporcionar uma aula mais dinâmica e divertida, fazendo o educando se
evolver sobre o conteúdo tratado. Pode-se citar o material dourado como um dos
recursos que auxiliam na aprendizagem e que possui fácil manipulação e aplicação.
Neste trabalho serão abordados aspectos da educação matemática, o uso de
material concreto para as aulas de matemática, o histórico do material dourado, a
manipulação do material dourado, construção de números com o material dourado e
cálculos de adição e subtração. No entanto nota-se que o uso do material dourado,
traz benefícios para os educandos, facilitando o processo de ensino-aprendizagem
das operações básicas. Fazendo assim com que o aluno tenha muito mais interesse
em aprender a matéria proposta pelo professor.
PALAVRAS CHAVES: Material dourado, ensino de adição e subtração,ensinoaprendizagem;
8
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Material dourado utilizado atualmente.............................................................. ....19
Figura 2: Representação do sistema de numeração decimal posicional com o material
dourado .......................................................................................................................... ....21
Figura 3: Representação do número treze com o material dourado ................................ ....21
Figura 4: Representação do número trinta e oito com o material dourado ..................... ....22
Figura 5: Representação do número cento e cinqüenta com o material dourado ............ ....22
Figura 6: Representação do número mil duzentos e setenta e quatro com o material dourado
....................................................................................................................................... ....23
Figura 7: Número 15 representado com unidades .......................................................... ....24
Figura 8: Representação da organização do número 15................................................. ....25
Figura 9: Representação do número 15 depois da realização da troca de 10 unidades por
uma dezena .................................................................................................................... ....25
Figura 10: Representação do número 110 utilizado 11 dezenas ..................................... ....26
Figura 11: Agrupamento de 10 dezenas para ser equivalente a uma centena ................ ....26
Figura 12: Representação do número 110 com dezenas e centenas.............................. ....27
Figura 13: Cálculo de adição 15+9=24 ........................................................................... ....28
Figura 14: Cálculo da soma 350+140=490 ..................................................................... ....29
Figura 15: Representação da adição de 2326+1052=3378 ............................................. ....29
Figura 16: Subtração com o material dourado 27-12=15 ................................................ ....30
Figura 17: Subtração com o material dourado 1345-345=1000....................................... ....31
Figura 18: Estruturação do calculo de subtração 235-168=67 ........................................ ....32
Figura 19: Substituição de peças para possibilitar a subtração ....................................... ....33
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................... ....10
1 - EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ................................................................................... ....11
2 – O USO DO MATERIAL CONCRETO NA CONTRUÇÃO DO CONHECIMENTO
MATEMÁTICO ............................................................................................................... ....15
3 – HISTÓRIA DO MATERIAL DOURADO .................................................................... ....18
4 – MANIPULAÇÃO DO MATERIAL DOURADO .......................................................... ....20
5 – CONSTRUÇÃO DO NÚMERO COM O MATERIAL DOURADO .............................. ....21
6 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM O MATERIAL DOURADO ..................................... ....28
6.1 – ADIÇÃO COM O MATERIAL DOURADO ..................................................... ....28
6.2 – SUBTRAÇÃO COM O MATERIAL DOURADO ............................................. ....30
CONCLUSÃO................................................................................................................. ....34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... ....35
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INTRODUÇÃO
Atualmente, ao se falar em educação, fala-se a respeito das metodologias utilizadas
no ensino e a eficiência de cada uma delas. As aulas de matemática merecem
destaque nestas discussões, pois a maior parte dos professores utiliza o método
tradicional em suas aulas, porém, hoje, sabe-se que a utilização de materiais
concretos, onde a criança pode construir o conhecimento e facilitar a aprendizagem.
Com o material concreto o aluno tende a absorver com mais facilidade o
conteúdo trabalhado, com isso o professor proporciona para o aluno a aula mais
divertida e diferente sem ter aquela monotonia é uma forma divertida e que desperta
a criatividade e o raciocínio do aluno, porque ele irá aprender a matemática
brincando.
O trabalho a seguir tem como principal objetivo apresentar o material dourado
com facilitador do processo de ensino-aprendizagem das operações de adição e
subtração. No capítulo 1 será abordada a educação matemática. No capítulo 2, a
importância do material concreto no ensino da aprendizagem matemática. No
capítulo 3, é trazida um pouco da história do material dourado.No capítulo 4 será
abordada a manipulação do material dourado. No capítulo seguinte será abordada a
construção dos números com o material dourado e para finalizar será demonstrada
as operações de adição e subtração de números naturais utilizando o material
dourado.
11
1.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Conforme Carvalho (1994), “o professor que se propõe a trabalhar com
Matemática nos cursos de Habilitação ao Magistério deve refletir sobre a situação do
ensino dessa disciplina tendo em vista a futura atuação profissional de seus alunos”.
A matemática é considerada uma área do ensino pronta, acabada e perfeita
que é utilizada para outras ciências.
O primeiro aspecto considerando se refere à visão da Matemática que em
geral norteia o ensino: considera-se a Matemática como uma área do
conhecimento pronta, acabada, perfeita, pertencente apenas ao mundo das
idéias e cuja estrutura de sistematização serve de modelo para outras
ciências. A conseqüência dessa visão em sala de aula é a imposição
autoritária do conhecimento matemático por um professor que, supõe-se,
domina e o transmite a um aluno passivo, que deve se moldar à autoridade
da “perfeita científica”. Outra conseqüência e, talvez, a de resultados mais
nefastos, é a de que o sucesso em Matemática representa um critério
avaliador da inteligência dos alunos, na medida em que uma ciência tão
nobre e perfeita só pode ser acessível a mentes privilegiadas, os conteúdos
matemáticos são abstratos e nem todos têm condições de possuílos.(CARVALHO, 1994)
Para Neto (2005), os projetos em Educação, os textos e o posicionamento de
cada professor devem se iniciar com uma definição epistemológica, ou seja,
posicionar-se quanto a duas perguntas básicas: O que é o conhecimento? Como o
conhecimento se forma?
O desenvolvimento do indivíduo forma a integração de teorias que são úteis
na elaboração de projetos.
As relações recíprocas entre o desenvolvimento do indivíduo (ontogênese)
e o da sua espécie (filogênese) levam a uma integração entre as teorias de
Piaget e a Antropologia, que tem sido muito útil como hipótese de trabalho
na elaboração de projetos de ensino da Matemática. (NETO, 2005)
A educação matemática crítica desempenha um papel muito importante na
sociedade, onde demonstra preocupações nos papéis sociopolíticos.
Vê-se a educação matemática crítica como a expressão das preocupações
sobre os papéis sociopolíticos que a educação matemática pode
desempenhar na sociedade. As raízes da educação matemática crítica são
inúmeras, uma das quais se encontra na teoria crítica, que também
alimentou o movimento pela educação crítica em geral. As mesmas fontes
que servem de inspiração, porém, ajudam a cristalizar visões de mundo que
podem emperrar o processo evolutivo. Aponto para a necessidade de que a
educação matemática crítica seja repensado e cultivada com base em
novas referências. Raízes são importantes, mas é necessário arejar o
terreno de vez em quando. (SKOVSMOSE, 2008)
A educação matemática também é utilizada na potencialização dos alunos.
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Segundo Carvalho (2004) é necessário que se faça o planejamento de aula
com mais competência para que o aluno aprenda melhor.
É importante refletir sobre esse aspecto não só ao pensar sobre as futuras
aulas dos alunos de Habilitação ao Magistério mas também e,
principalmente, ao planejar aulas para eles. Se esses alunos não puderem
perceber o conhecimento matemático que já possuem, dificilmente terão um
bom aprendizado, pois tal competência vem sendo continuamente negada
em sua história de vida escolar. (SKOVSMOSE, 2008)
O objetivo da aula de matemática é de oferecer para o aluno materiais
didáticos para reconstruir conceitos mais sistematizados e introduzir uma linguagem
convencional.
Com o objetivo de oferecer pistas que favoreçam essas transformações, o
trabalho nas aulas de Matemática deve oferecer ao aluno oportunidade de
operar sobre o material didático para que, assim, possa reconstruir seus
conceitos de modo mais sistematizado e completo. As sínteses que foram
realizadas, visando introduzir a linguagem convencional, devem permitir a
discussão das experiências anteriores, escolares ou não, relativas ao
tema.Tais sínteses devem integrar também os aspectos dos conceitos que
os alunos abordaram, vivenciando tais situações, e explicitar o reducionismo
da linguagem. (CARVALHO, 1994)
Segundo Skovsmose (2008) a educação matemática pode degenerar os
aspectos problemáticos de qualquer ordem social e contribuir para a criação de
cidadania crítica e com ideais democráticos.
Não há, na educação matemática, uma clara linha mestra mediante a qual
seja possível garantir os efeitos de sua aplicação; muito pelo contrário, a
educação matemática pode degenerar em versões ditatoriais e dar guarida
a aspectos problemáticos de qualquer ordem social, como, por exemplo, na
adaptação que a educação matemática alemã sofreu nos anos 1930 a fim
de se adequar ao nazismo (Mehrtens 1993). Contudo, a educação
matemática também pode contribuir para a criação de uma cidadania crítica
e reforçar ideais democráticos. (SKOVSMOSE, 2008)
A educação matemática crítica preocupa-se com a pesquisa e com a prática.
Educação matemática crítica não deve ser entendida como um ramo da
educação matemática. Não pode ser identificada com metodologias de sala
de aula, nem pode ser constituída com base em um dado currículo. Em vez
disso, vejo a educação matemática crítica marcada pelas preocupações.
Tais preocupações estão relacionadas tanto com a pesquisa quanto com a
prática. (SKOVSMOSE, 2008)
Para a educação matemática crítica, o predomínio da sala de aula modelo
no discurso é um problema, pois ele oculta como a educação matemática
opera com respeito à inclusão e à exclusão em escala global. A educação
matemática crítica procura questionar o predomínio de qualquer
“pensamento estereotípico”. Muitos estudos têm ido além da sala de aula
modelo, mostrando que estão afinados com as preocupações da educação
matemática crítica. (SKOVSMOSE, 2008)
13
Com isso o saber matemático não deve continuar apenas com poucos alunos,
deve expandir para todos os alunos da sala.
O saber matemático não pode continuar sendo privilégio de poucos alunos,
tidos como mais inteligentes, cujo temperamento é mais dócil e, por isso,
conseguem submeter-se ao “fazerem tarefas escolares” sem se
preocuparem com o significado das mesmas no que se refere ao seu
processo de construção do conhecimento. (CARVALHO, 1994)
De acordo com Freitas (2004),
a pedagogia Montessoriana relaciona-se à normatização que consiste em
harmonizar a interação de forças corporais e espirituais, corpo, inteligência
e vontade. O método Montessoriano tem por objetivo a educação da
vontade e da atenção, com a qual a criança tem liberdade de escolher o
material a ser utilizado, além proporcionar a cooperação.
A educação matemática faz parte do processo de globalização.
A educação matemática faz parte dos processos de globalização e
formação de guetos. Não é fácil perceber como a matemática opera nesse
contexto. Algumas premissas paradigmáticas parecem orientar a
comunidade de pesquisadores em educação matemática, e elas tornam
essa percepção ainda mais difícil. (SKOVSMOSE, 2008)
Mesmo com um conhecimento superficial da Matemática, é possível
reconhecer certos traços que a caracterizam: abstração, precisão, rigor lógico,
caráter irrefutável de suas conclusões, bem como o extenso campo de suas
aplicações. (BRASIL, 1997)
Freitas (2004) “afirma que já existiram ao longo da história verdadeiros
desbravadores intelectuais que ousaram em momentos muitos mais difíceis que este
que vivemos agora, enfrentando verdadeiras batalhas em busca de uma educação
mais humana e verdadeira”.
Na matemática o conhecimento é fruto do processo de imaginação, formando
assim as críticas, os erros e acertos, porque para o matemático o interessante é
comunicar resultados.
O conhecimento matemático é fruto de um processo de que fazem parte a
imaginação, os contra-exemplos, as conjecturas, as críticas, os erros e os
acertos. Mas ele é apresentado de forma descontextualizada, atemporal e
geral, porque é preocupação do matemático comunicar resultados e não o
processo pelo qual os produziu. (BRASIL, 1997)
Daltoé e Strelow (2010) relatam que a educação deve ser efetivada em
etapas gradativas, respeitando a fase de desenvolvimento da criança, através de um
processo de observação e dedução constante, feito pelo professor sobre o aluno.
14
Recursos didáticos como jogos e softwares auxiliam o processo de ensino
aprendizagem da matemática.
A importância dos jogos na Educação Matemática vem sendo questionada
há algum tempo. Porém, muitos educadores ainda desconhecem a eficácia
desse recurso na sala de aula. A diversidade de situações que os jogos
proporcionam, favorece o avanço do conhecimento dos educandos perante
situações-problemas, propiciando a aquisição de muitas habilidades.
(CÂMARA E SANTOS, 2010)
“É neste contexto que aparece a informática, como um elemento
aglutinador, capaz de se colocar de forma coerente no processo de
construção do conhecimento. É necessário aproximar a tecnologia e a
educação matemática de forma eficaz, fazendo com que esta tecnologia
seja inserida como apoio à resolução de problemas em situações que
propiciem elevação de auto-estima e do desejo de aprender e que tenha
„recursos em consonância com a concepção de aprendizagem dentro de
uma abordagem construtivista, a qual tenha como princípio que o
conhecimento é construído a partir de percepção e ações do sujeito‟”.
(FREITAS, 2004)
Neste trabalho pretende-se mostrar uma forma de contribuir para o processo
educacional de se trabalhar a matemática de maneira construtiva e significativa por
meio de observações do mundo real e com representações utilizando materiais
manipulados. Será apresentada a proposta de uma ferramenta muito utilizada por
professores do ensino fundamental de 1º à 4º séries, o material dourado Montessori,
mostrando que se pode potencializar o seu uso sem perdas de suas características
construtivistas, com base em conceitos filosóficos e científicos de diversos
pesquisadores.
O uso de jogos nas aulas de matemática como suporte para o educador é
útil em todos os níveis de ensino. Apresenta-se produtivo ao educador como
ferramenta facilitadora da aprendizagem de conceitos e estruturas
matemáticas. Produtivo também ao aluno, porque desenvolve a sua
capacidade de compreensão e de resolver situações-problemas. (CÂMARA
E SANTOS, 2010)
15
2.
O USO DO MATERIAL CONCRETO NA CONSTRUÇÃO DO
CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Devemos ter sempre presente a distinção entre um objeto real e o seu
conceito ou esquema mental.
Conforme Neto (2005), exercemos ações sobre o objeto real e operações
sobre o conceito. Formamos o conceito de um objeto a partir da ação sobre ele,
construindo atributos e relações, depois elaborando composições.
O método Montessori parte do concreto rumo ao abstrato. Baseia-se na
observação de que meninos e meninas aprendem melhor pela experiência
direta de procura e descoberta. Para tornar esse processo o mais rico
possível, a educadora italiana desenvolveu os materiais didáticos que
constituem um dos aspectos mais conhecidos de seu trabalho. São objetos
simples, mais muito atraentes, e projetados para provocar o raciocínio. Há
materiais pensados para auxiliar todo tipo de aprendizado, do sistema
decimal à estrutura de linguagem. (DALTOÉ E STRELOW, 2010):
Para tal exemplificação pode-se citar os blocos lógicos, que em primeiro
momento é abstrato, mas com o manuseio a criança vai construindo todas as formas
fazendo assim com que ele se torne concreto pensado.
Primeiro, deixar que a criança brinque livremente com as peças para
construir o concreto pensado. Isso é feito por classificações: separar por
cores, depois por formas, etc. Se ela separar formando as classes, é porque
já possui essa estrutura. Cada classificação significa o conhecimento de um
atributo. (NETO, 2005):
O material dourado facilita a aprendizagem de muitos conceitos e relações
matemáticas. Para Daltoé e Strelow (2010), embora esse material
permitisse que as próprias crianças compusessem as dezenas e centenas,
a impressão da medidas dos quadrados e cubos se constituía num
problema ao serem realizados atividades com números decimais e raiz
quadrada, entre outras aplicações possíveis para o material de contas. Foi
por isso que Lubienska de Lenval, seguidor de Montessori, fez uma
modificação no material inicial e o construiu em madeira na forma que
encontramos atualmente. Com isso deixe com que a criança brinque com as
peças fazendo assim com que ela melhore seu conhecimento cada vez
mais.
Utilizando o material, o professor notará em seus alunos um significativo
avanço de aprendizagem. Em pouco tempo, estará enriquecendo e criando
novas atividades adequadas aos seus alunos, explorando assim as
inúmeras possibilidades desse notável recurso didático. É importante notar
que os próprios alunos brincado com o material irão aprender conceitos
primitivos da matemática. (FREITAS, 2004).
Para Piaget ( apud Daltoé, Strelow 2010), considera que a aprendizagem da
Matemática envolve o conhecimento físico e o lógico-matemático. No caso dos
16
blocos, o conhecimento físico ocorre quando o aluno manuseia, observa e identifica
de cada peça.
Ao iniciar a trabalhar com o material dourado é relevante o manuseio do
mesmo, para que o aluno faça suas próprias descobertas e já inicie o
processo de relação entre as mesmas. Toledo (1997, p 73 apud Freitas
2004),propõe que as atividades devem ser propostas de forma progressiva
a fim de se obter o máximo de resultados favoráveis estimulando a
compreensão de conceitos de serão fundamentais para uma aprendizagem
significativa, estando ai incluídos não somente as operações e
representações com números, mas, principalmente o trabalho com conceito
de ordenação, inclusão hierárquica e conservação de quantidades, entre
outros.
No processo ensino-aprendizagem os jogos podem ser considerados
instrumentos
motivadores,
contribuindo
ainda
para
o
desenvolvimento
da
inteligência. Rizzo (1996 apud Câmara e Santos 2010) afirma que “os jogos
constituem um poderoso recurso de estimulação do desenvolvimento integral do
educando. Eles desenvolvem a atenção, disciplina, autocontrole, respeito às regras
e habilidades perceptivas e motoras relativas a cada tipo de jogo oferecido”.
Câmara e Santos (2010) dizem que compreender a linguagem matemática
através de jogos deve fazer parte do processo de aprendizagem do educando por
entendermos que durante os jogos, “ao comunicar o seu pensar, ele o faz mediante
a linguagem”.
E continuam afirmando que os jogos contribuem para o trabalho de formação
de habilidades necessárias para a aprendizagem da Matemática, tais como enfrentar
desafios, buscar soluções, estimular a argumentação, a organização das idéias, a
críticas, a intuição e a criação de estratégias.
A utilização do material concreto nas aulas de matemática deve ser
extremamente bem preparada, pois, como normalmente sua utilização é de
forma livre, o educador deve ter bastante ciência dos rumos que podem
tomar porque senão corre o risco da atividade atingir dimensões não
imaginadas e, longe de ser ruim, perder o sentido de sua utilização por não
conseguir fazer com que o estudante realize as tão importantes abstrações
empíricas e reflexivas. Aprender a usar os materiais manipulados não é a
mesma coisa que aprender matemática. Precisam ser usados de maneira
correta e no tempo certoPara ajudar nesta preparação, podem-se utilizar
seqüências didáticas que auxiliem o professor na visualização de como as
atividades começarão, se desenvolverão e terminarão, sendo fundamental
que os objetivos, metodologia e tempo de realização das atividades estejam
bem claros. (FREITAS, 2004)
Atualmente já existem diversos materiais para manipulação do ensino e
aprendizagem da matemática que utilizam propostas mais recentes do sócio-
17
construtivismo. Com isso o professor pode utilizar a forma industrializada ou
exercitar a produção pelos alunos.
Freitas (2004) afirma que todos os materiais têm como característica principal
o fato de oferecer suporte às crianças para, a partir da manipulação, entenderem
conceitos importantes. A potencialização do uso destes instrumentos depende única
e exclusivamente da vontade e da capacidade de criação dos educadores e
professores.
Pode-se citar alguns materiais como: o ábaco, o material de Cuisenaire, o
geoplano, o tangran, e o material dourado que será abordado no capítulo seguinte.
18
3.
A HISTÓRIA DO MATERIAL DOURADO
O material dourado foi criado por Maria Montessori. De acordo com Daltoé e Strelow
(2010):
Maria Montessori (1870-1952), nasceu na Itália, interessou-se pelo estudo
das ciências, mas decidiu-se pela Medicina, na Universidade de Roma.
Direcionou a carreira para a psiquiatria e logo se interessou por crianças
deficientes. A grande contribuição de Maria Montessori à moderna
pedagogia foi a tomada de consciência da criança, percebendo que estas
respondiam com rapidez e entusiasmo aos estímulos para realizar tarefas,
exercitando as habilidades motoras e experimentando autonomia.
O material dourado é um dos muitos materiais idealizados pela médica e
educadora italiana Maria Montessori para o trabalho com matemática. (DALTOÉ E
STRELOW, 2010):
O nome “Material dourado” vem do original “Material de Contas Douradas”.
Em analogia às contas, o material apresenta sulcos em forma de quadrados.
(DALTOÉ E STRELOW, 2010):
No princípio o Material Dourado Montessori foi criado com o intuito de auxiliar
em atividades que auxiliassem o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração
decimal-posicional e consequentemente em métodos para efetuar as operações
fundamentais. Conforme Freitas (2004), essa utilização evoluiu e hoje esse material
pode ser utilizado para o estudo de frações, conceituação e cálculo de áreas e
volumes, trabalhando com números decimais, raiz quadrada e outras atividades
criativas.
O mesmo autor relata que:
A forma utilizada hoje para o material dourado foi um pouco modificada em
relação à forma original proposta por Montessori. Lubiesnska de Lenval,
seguidora de Montessori, construiu seu material em madeira, diferente
apenas no aspecto visual do material construído por contas douradas de
Montessori. O Material Dourado Montessori é, então, constituído por
cubinhos, barras, placas e cubão. Essa nomenclatura é muito mais propícia
do que unidade, dezena, centena e unidade de milhar, devido a outras
aplicações onde os elementos teriam classificação diferenciada. (FREITAS,
2004)
Atualmente o material dourado é apresentado conforme a figura 1, mostrada
abaixo.
19
Figura 1: Material Dourado utilizado atualmente
Esse trabalho abordará a representação do número e as operações de adição
e subtração.
20
4.
MANIPULAÇÃO DO MATERIAL DOURADO
O primeiro contato do aluno com o material deve ocorrer de forma lúdica para
que ele possa explorá-lo livremente. É nesse momento que a criança percebe a
forma, a constituição e os tipos de peça de material. (DALTOÉ, STRELOW, 2010)
Freitas, (2004) denomina o software a Matematiquinha, desenvolvido por
Ribeiro e Ribeiro (2002) apud Freitas (2004), tem a finalidade de auxiliar o professor
no ensino do sistema decimal e das operações de adição e subtração para crianças
das séries iniciais, tendo como base o Material Dourado, utilizando atividades de
comparação, representação e operações que são apresentadas ao aprendiz pelo
próprio software.
Daltoé, Strelow (2010) exemplifica: “Vamos fazer um trem. O primeiro vagão é
um cubinho. O vagão seguinte terá um cubinho a mais que o anterior e assim por
diante. O último vagão será formado por duas barras. Esta atividade leva à formação
de idéia de sucessor.” O mesmo autor continua: “Vamos fazer um trem especial. O
primeiro vagão é formado por duas barras. O vagão seguinte tem um cubo a menos
e assim por diante. O último vagão será um cubinho. Esta atividade trabalha a idéia
de antecessor”.
Para Montessori o material manipulativo é parte integrante do processo de
aprendizagem. No ambiente imaginado por ela o material está presente na
sala de aula que é preparada de tal forma que a criança tenha liberdade e
seja motivada a manuseá-lo de forma espontânea. Segundo ela “o mais
importante não é o ensino, mas os objetos: e, visto que é a criança que os
utiliza, a entidade ativa não é o professor, mas a criança”. (FREITAS, 2004)
No ensino tradicional, as crianças acabam “dominando” os algoritmos a partir
de treinos cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem. Com o
Material Dourado a situação é outra: as relações numéricas abstratas passam a ter
uma imagem concreta, facilitando a compreensão. Obtém-se, então, além da
compreensão dos algoritmos, um notável desenvolvimento do raciocínio e um
aprendizado bem mais agradável. (FREITAS, 2004):
O mesmo autor ainda afirma que diversas outras atividades podem ser feitas
com o auxílio do Material Dourado, entre elas destacam-se o seu uso no
entendimento da raiz quadrada, trabalhos com geometria e unidades de medidas de
comprimento, área e volume.
21
5.
CONSTRUÇÃO DO NÚMERO COM O MATERIAL DOURADO
Após o reconhecimento do material dourado feita de forma livre pelas
crianças; próximo passo é a construção dos números considerando o sistema de
numeração decimal posicional, conforme mostra a figura 2 abaixo.
milhar
centena
dezena
unidade
Figura 2: Representação do sistema de numeração decimal posicional com o material dourado
Para a representação de números, utiliza-se o sistema de numeração
decimal. Assim, para representar o número 13, utilizamos uma dezena e três
unidades conforme mostra a figura 3.
Figura 3: Representação do número treze com o material dourado
22
Desta forma podem ser representados quaisquer números naturais. A seguir
é mostrado na figura 4 a representação do número trinta e oito, na figura 5 a
representação do número cento e cinquenta e na figura 6 a representação do
número mil duzentos e setenta e quatro.
Figura 4: Representação do número trinta e oito com o material dourado
Figura 5: Representação do número cento e cinqüenta com o material dourado.
23
Figura 6: Representação do número mil duzentos e setenta e quatro com o material dourado.
A transformação de unidades em dezenas, dezenas em centenas e assim
sucessivamente, não deve ser um processo de “decoreba”p, deve ser trabalhado
com o raciocínio lógico para que haja a compreensão e assim ocorra o processo de
aprendizagem. Essa é mais uma das utilidades do material dourado.
Ao aplicar o “vai um”, o professor pode concretizar cada passagem do cálculo
usando o material ou desenhos do material. O “vai um” também pode indicar a troca
de 10 dezenas por uma centena, ou 10 centenas por 1 milhar, etc. (DALTOÉ E
STRELOW, 2010):
Este pode ser um processo de fácil compreensão. A seguir será demonstrado
que o mesmo número pode ser representado de várias formas com o material
dourado, partindo da contagem apenas com unidades e transformando em
colocação utilizando o sistema decimal em material dourado.
A figura 7 mostra o número 15 disposto apenas com unidades.
24
Figura 7: Número 15 representado com unidades
A figura 8 mostra o agrupamento das peças já representando o sistema
decimal de numeração. Nesta figura observa-se que ao agrupar 10 unidades
obtemos o mesmo que a peça que representa a dezena.
25
Uma dezena
=
Dez unidades
Figura 8: Representação da organização do número 15.
Sendo assim nota-se que pode trocar as 10 unidades por uma dezena,
obtendo a representação simplificada do número 15, como mostra a figura 9.
Figura 9: Representação do número 15 depois da realização de troca de 10 unidade por uma dezena
26
Desta mesma forma podem ser realizados outros exemplos conforme
mostrado nas figuras abaixo. As figuras 10, 11 e 12 mostram a mesma
compensação demonstrado para o numero 15 com o número 110.
Figura 10: Representação do número 110 utilizado 11 dezenas.
Figura 11: Agrupamento de 10 dezenas para ser equivalente a uma centena.
27
Figura 12: Representação do número 110 com dezenas e centenas.
28
6.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM O MATERIAL DOURADO
6.1 ADIÇÃO COM O MATERIAL DOURADO
Na adição a arte de juntar quantidades participa da construção dos número.
Neto (2005) afirma que:
O conceito de adição está implícito na própria noção de número, pois o
número é composto de uns. A ação de juntar quantidade participa da
construção do número. Portanto, na 1ª série o conceito ainda não está
formado, faltando ainda a inclusão de classes e a alfabetização: conta
escrita.
A adição está ligada a situações que envolvem as ações de reunir, juntar ou
acrescentar. No entanto, quando reunimos, concretamente, conjuntos de objetos,
não estamos efetuando a operação matemática de adicionar; para tal, é necessário
que deixemos de pensar nas coleções de objetos em si e passemos a considerar
apenas a quantidade de objetos que estamos reunindo. (FREITAS, 2004):
A Figura 13 mostra um cálculo de adição, onde são dispostas as parcelas e
no final o resultado.
Parcela 1 =15
Parcela 2 =9
Agrupamento das
parcelas = 24
Troca de 10
unidades por uma
dezena, obtendo
2 dezenas e 4
unidades = 24
Figura 13: Calculo de adição: 15 + 9 = 24.
A figura 14 mostra o cálculo da soma de 350 + 140, obtendo 490 como
resultado.
29
+
=
Figura 14: Calculo da soma 350 + 140 = 490.
A figura 15 mostra uma operação de adição envolvendo unidade, dezena,
centena e milhar.
Figura 15: Representação da adição de 2326 + 1052 = 3378
30
6.2 SUBTRAÇÃO COM MATERIAL DOURADO
O conceito de subtração é construído a partir da ação de retirar e associa-se
ao conceito de adição a partir da aquisição de reversibilidade. Colocar e retirar são
ações opostas. (NETO, 2005)
Para Daltoé, Strelow (2010), o material dourado destina-se a atividades que
auxiliam o ensino e a aprendizagem de sistema de numeração decimal-posicional e
dos métodos para efetuar as operações fundamentais.
A idéia de tirar (subtrativa) é aquela que a crianças identificam mais
facilmente com subtração. No entanto esta não é a única associada à subtração. As
idéias de completar (aditiva) e de comparar (comparativa) precisam ser trabalhadas,
pois não é tão imediato para a criança perceber que a subtração resolve problemas
desse tipo. (FREITAS, 2004)
A subtração com a utilização do material é de fácil compreensão. Ela deve ser
vista como a operação inversa da adição. A figura 16 mostra a seguir um exemplo
de calculo de subtração.
Figura 16: Subtração com o material dourado: 27 - 12 = 15
A figura 17 apresenta uma subtração utilizando unidade, dezena, centena e
milhar.
31
Resultado
Figura 17: Subtração com o material dourado 1345 – 345 = 1000
O material dourado proporciona que sejam realizados atividades com vários
graus de complexidade. No exemplo a seguir apresenta um cálculo de subtração
onde é necessário que se faça a transformação de dezenas em unidade e centenas
em dezenas para que seja possível efetuar o cálculo. Desta forma a criança
compreenderá o sentido do “empresta um”. A figura 18 mostra o cálculo de
subtração a ser desenvolvido.
32
Figura 18: Estruturação do calculo de subtração 235 – 168.
A figura 19, mostra que podem ser feitas trocas sem mudar as quantidades
para que seja possível realizar o cálculo. Nesta subtração deveríamos subtrair 8
unidades de 5 unidades, o que não é possível, porém pode ser trocada 1 dezena por
10 unidades, resultando em 15 unidades. O mesmo acontece com as dezenas, onde
troca-se 1 centena por 10 dezenas.
33
Resultado
Figura 19: Substituição de peças para possibilitar a subtração obtendo o resultado 67.
34
CONCLUSÃO
O material concreto desenvolve o raciocínio do aluno, estimula o pensamento
lógico matemático e faz com que o educando aprenda sem receber pressão
psicológica. Contudo, o educando aprende muito mais facilmente o conteúdo, com
prazer e as informações que obtém não esquece tão facilmente.
Por ser um material de fácil manipulação, o material dourado fornece
condições para que o aluno absorva com mais facilidade a proposta de ensino
aprendizagem que o professor propõem.
Ao final do trabalho foi possível concluir que o material dourado é de suma
importância para o ensino aprendizagem do aluno.
Contudo, o material dourado é um recurso muito bom para auxiliar no
processo de ensino aprendizagem. As operações de adição e subtração podem ser
trabalhadas com mais qualidade, sendo uma das formas mais fáceis do aluno
compreender as transformações das classes de numeração decimal.
35
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICA
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
nacionais: matemática / Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília :
MEC/SEF, 1997.
CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da matemática/– 2. ed.
rev. – São Paulo: Cortez, 1994. – ( Coleção Magistério 2º grau. Série formação do
professor)
CÂMARA, Luciene Tavares da. Santos Maria Auxiliadora Antunes dos Mancala. Um
jogo milenar, contribuindo na alfabetização matemática de jovens e adultos –
Disponível em: HTTP://www.matematica.ucb.br/sites/000/68/00000075.pdf - Acesso
em: 28/10/2010, 20,10 horas.
DALTOÉ, Karen; Strelow, Sueli. Trabalhando com Material Dourado e Blocos
Lógicos
nas
Séries
Iniciais
/
-Disponível
em:
HTTP://www.cp.utfpr.edu.br/armando/adm/arquivos/pos/material_dourado.pdf
–
Acesso em: 28/10/2010, 19:53 horas.
FREITAS, Rony Cláudio de Oliveira. Um ambiente para operações virtuais com o
material dourado / Vitória - ES – 2004– Disponível em:
HTTP://ronyfreitas.tripod.com/produção/dissertação.pdf - Acesso em: 28/10/2010,
20:02 NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática/– 11. Ed. - Ática – São Paulo: SP,
2005.
OLE Skovsmose; tradução: Orlando de Andrade Figueiredo, Jonei Cerqueira
Barbosa. Desafios da reflexão em educação matemática crítica/. – Campinas,
SP: Papirus, 2008 – (Coleção Perspectivas em Educação Matemática)