Análise da Rebentação de Ondas com Ensaios em
Laboratório
André José Figueira Martins
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente:
Professor António Jorge Silva Guerreiro Monteiro
Orientadores: Professor António Alberto Pires Silva
Doutora Conceição Juana Espinosa Morais Fortes
Vogais:
Professor António Alexandre Trigo Teixeira
Professor José Manuel Paixão Conde
Novembro de 2012
Agradecimentos
Ao Professor António Pires Silva, pela oportunidade que me deu em realizar esta
dissertação e pelo voto de confiança que depositou em mim. Agradeço pela paciência para
esclarecer todas as dúvidas e pelos ensinamentos que me proporcionou sobre os mais
variados assuntos, quer relacionados ou não com o trabalho realizado. Agradeço pela
capacidade de orientação exigente e ao mesmo tempo descontraída, e pela sua habilidade de
ensinar, que me proporcionou uma grande aprendizagem no decurso deste processo.
À Doutora Juana Fortes, pela orientação ao longo de todo o estágio, a cordialidade e
forma calorosa com que me acolheu e apresentou às várias pessoas integrantes do LNEC Núcleo de Portos e Estruturas Marítimas. Agradeço também pela genuína demonstração de
preocupação com que sempre tratou e acompanhou as tarefas que desempenhei.
Ao Mestre Diogo Neves, agradeço pela simpatia e disponibilidade durante o estágio, pelo
apoio nos ensaios e pela ajuda nas dúvidas mais técnicas do canal e dos respectivos dados.
Ao Professor José Conde agradeço pela aprendizagem que me proporcionou na
realização dos ensaios, pela boa disposição e o à vontade que sempre mostrou.
Ao Doutor Rui Capitão, agradeço pela disponibilização do software de sua autoria para a
realização deste trabalho.
A todos os funcionários do LNEC, do Departamento de Hidráulica e Ambiente – Núcleo
de Portos e Estruturas Marítimas, agradeço pela amabilidade e receptividade com que me
receberam no tempo que passei lá.
Agradeço também aos meus colegas mais próximos da Universidade, por todo o apoio,
amizade e aprendizagem que me proporcionaram durante os anos de curso.
Por fim, um sincero obrigado aos meus amigos mais chegados, aos meus pais e à minha
irmã, Carlos Martins, Rita Martins e Nádia Martins, respectivamente, que me apoiaram sempre
e contribuíram para a pessoa que sou hoje, reflectindo-se também neste trabalho.
I
Resumo
A rebentação de ondas é um fenómeno caracterizado pela dissipação de energia, efeitos
de turbulência e emulsão de ar.
A importância do estudo deste fenómeno deve-se às consequências que este pode ter,
na medida que, o processo de rebentação de ondas é ao mesmo tempo um dos mais
dramáticos visualmente, como um dos fisicamente mais importantes para o movimento das
ondas e para o desenvolvimento das correntes perto da costa.
Estando os conhecimentos sobre os processos envolvidos neste fenómeno ainda longe
de completos, os resultados experimentais desempenham um papel importante na sua
clarificação. Iniciou-se com uma breve revisão teórica sobre o estado actual do tema sendo
que, na parte prática, o trabalho apresentado descreve uma gama de testes realizados num
canal de ondas do Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC), com o objectivo principal
de introduzir uma extensa análise das ondas, principalmente, a análise da propagação de
ondas em condições propícias à rebentação. Portanto, este trabalho mostra a configuração
experimental, as condições da onda incidente e a medição da elevação da superfície livre ao
longo do canal de ondas. Com base na série temporal da elevação da superfície livre, foi
realizada e apresentada uma análise estatística no domínio do tempo, uma análise espectral
padrão baseada na transformada de Fourier e uma análise com Wavelets.
O presente trabalho visa também comparar os resultados, adquiridos nos referidos
ensaios, com outros valores numéricos obtidos da aplicação de formulações empíricas
referentes a geometrias semelhantes à estrutura em estudo. Desta forma, fazendo a análise de
casos análogos ao caso de estudo, irá contribuir para uma melhor compreensão das
potencialidades das formulações utilizadas e para a sistematização do conhecimento que
podemos adquirir através de uma combinação de resultados experimentais e simples
aproximações teóricas.
Palavras-Chave: Ondas, Rebentação, Ensaios, Análise Temporal, Análise Espectral.
II
Abstract
Wave breaking is a phenomenon characterized by energy dissipation, turbulence effects
and air emulsion.
The importance of studying this phenomenon is due to the effects it may have, as the
process of wave breaking is both one of the most visually dramatic, and one of the most
important physically for the wave motion and for the development of near shore currents.
Since the knowledge of the processes involved in this phenomenon is still far from
complete, the experimental results play an important role in their clarifying. This study began
with a brief literature review on the current status of the subject and, at the practical level, the
presented work describes a range of wave channel tests performed at the National Laboratory
of Civil Engineering (LNEC), with the main objective of introducing an extensive analysis of the
waves, especially the analysis of wave propagation in conditions prone to wave breaking.
Therefore, this paper shows the experimental setup, the incident wave conditions and the
measurements of the free surface elevation along the wave channel. Based upon the time
series of the wave data measurements, a statistical time domain analysis, a standard Fourier
based spectral analysis and a Wavelet analysis was performed and presented.
This study also aims to compare the results, acquired in these tests, with predictions
obtained from the application of empirical formulations relating to geometries similar to the
structure under study. Thus, the analysis of similar cases to the case study will contribute to a
better understanding of these empirical formulations, specially their range of application, and
represent a move towards the systematization of the knowledge we can gain using a
combination of experimental results and simple theoretical approximations.
Key-Words: Waves, Breaking, Trials, Time series analysis, Spectral analysis.
III
Índice
Agradecimentos.............................................................................................................................. I
Resumo ......................................................................................................................................... II
Abstract ........................................................................................................................................ III
Índice de Figuras ......................................................................................................................... VII
Índice de Tabelas .......................................................................................................................... X
Índice de Ilustrações .................................................................................................................... XI
Simbologia ................................................................................................................................... XII
1. Introdução ................................................................................................................................ 1
2. Objectivos ................................................................................................................................. 2
3. Enquadramento do Tema ........................................................................................................ 3
3.1. Onda Linear Simples ........................................................................................................ 3
3.1.1.
Parâmetros-chave ..................................................................................................... 3
3.1.2.
Relações básicas ...................................................................................................... 4
3.1.3.
Movimento orbital das partículas das ondas ............................................................. 6
3.1.4.
Energia das Ondas .................................................................................................... 7
3.1.5.
Influência da profundidade de água .......................................................................... 8
3.1.6.
Refracção e Difracção ............................................................................................. 11
3.2. Campos de ondas nos oceanos ..................................................................................... 13
3.2.1.
Conjunto de ondas simples ..................................................................................... 13
3.2.2.
Grupo de ondas e velocidade do grupo .................................................................. 14
3.2.3.
Descrição estatística de registos de ondas ............................................................. 15
3.2.4.
Duração de registos da elevação da superfície do mar .......................................... 17
3.2.5.
Uso de parâmetros estatísticos ............................................................................... 17
3.2.6.
Distribuição das alturas de onda ............................................................................. 18
3.2.7.
Espectro de resposta da onda ................................................................................ 20
3.2.8.
Parâmetros da onda extraídos do espectro ............................................................ 23
3.3. Rebentação de Ondas .................................................................................................... 25
3.3.1.
Princípios gerais ...................................................................................................... 25
3.3.2.
Tipos de Rebentação .............................................................................................. 27
3.3.3.
Critérios de Rebentação .......................................................................................... 31
4. Condições Experimentais ...................................................................................................... 33
4.1. Introdução ....................................................................................................................... 33
4.2. Componentes ................................................................................................................. 35
4.2.1.
Canal de Ensaios .................................................................................................... 35
4.2.2.
Sistema de geração de ondas ................................................................................. 37
4.2.3.
Equipamento de medição ........................................................................................ 38
IV
4.2.4.
Sistema de aquisição de dados .............................................................................. 39
4.3. Condições de agitação incidentes .................................................................................. 41
4.4. Procedimentos dos ensaios ........................................................................................... 41
4.4.1.
Notas dos ensaios ................................................................................................... 42
4.5. Séries de elevação da superfície livre ............................................................................ 43
4.5.1.
Análise no domínio do tempo - Introdução ............................................................. 43
4.5.2.
Parâmetros estatísticos ........................................................................................... 45
4.5.3.
Análise no domínio da frequência ........................................................................... 46
5. Análise e discussão dos resultados ....................................................................................... 48
5.1. Análise Temporal ............................................................................................................ 49
5.2. Análise da altura de onda relativa .................................................................................. 51
5.3. Análise da Rebentação .................................................................................................. 54
5.3.1.
Tipo de rebentação.................................................................................................. 54
5.3.2.
Limitação da altura de ondas regulares por rebentação ......................................... 54
5.3.3.
Limite da altura de onda relativa em relação ao declive do fundo .......................... 56
5.3.4.
Transformação das ondas na parte interior da zona de rebentação ...................... 58
5.4. Análise Estatística .......................................................................................................... 61
5.4.1.
Média ....................................................................................................................... 61
5.4.2.
Desvio padrão ......................................................................................................... 62
5.4.3.
Assimetria ................................................................................................................ 63
5.4.4.
Curtose .................................................................................................................... 64
5.5. Análise Espectral ............................................................................................................ 65
5.5.1.
Considerações gerais .............................................................................................. 65
5.5.2.
Análise comparativa ................................................................................................ 67
6. Conclusões ............................................................................................................................. 75
Bibliografia ................................................................................................................................... 76
Anexos ............................................................................................................................................ i
Anexo A – Análise Temporal .......................................................................................................... i
Anexo A1 – Altura Significativa (Período de onda incidente 1.1, 1.5 e 2.5 s) ........................... i
Anexo A2 – Período Médio ........................................................................................................ii
Anexo A3 – Altura Significativa (Altura de onda incidente 12, 16 e 18 cm) .............................. iii
Anexo B – Análise da rebentação .................................................................................................iv
Anexo B1 – Altura relativa ao longo do canal (Altura de onda incidente 14, 16 e 18 cm) ........iv
Anexo B2 – Altura relativa (Período de onda incidente 1.1 s) .................................................. v
Anexo B3 – Altura relativa (Período de onda incidente 1.5 s) ..................................................vi
Anexo B4 – Altura relativa (Período de onda incidente 2.0 s) ................................................. vii
Anexo B5 – Altura relativa (Período de onda incidente 2.5 s) ..................................................ix
Anexo C – Análise Espectral .........................................................................................................xi
V
Anexo C1 – Onda incidente com Período de 1.1 s e Altura de onda de 12 cm .......................xi
Anexo C2 – Onda incidente com Período de 1.5 s e Altura de onda de 14 cm ..................... xiii
Anexo C3 – Onda incidente com Período de 2.0 s e Altura de onda de 16 cm ......................xv
VI
Índice de Figuras
Figura 1 – Curva sinusoidal simples. ............................................................................................ 3
Figura 2 – Movimento da progressão de uma onda. Treze fotos instantâneas, cada uma com
um intervalo de 1/12 do período (Adaptado de Gröen e Dorrestein, 1976). ................................. 6
Figura 3 – Mudança da trajectória de uma partícula de água durante dois períodos de onda. ... 7
Figura 4 – Orbitais em diferentes profundidades. Cada orbital possui um comprimento de onda
1/9 vezes menor em relação à orbital imediatamente acima desta (Adaptado de Laing et al.,
1998). ............................................................................................................................................ 8
Figura 5 – Refracção ao longo de uma praia, com fundo paralelo à linha de costa. .................. 11
Figura 6 – Refracção provocada por uma cordilheira/desfiladeiro submarina(o). ...................... 11
Figura 7 – Refracção ao longo de uma linha de costa irregular. ................................................ 11
Figura 8 – Exemplo de uma onda igual à sobreposição de duas ondas (I e II) simples
(Adaptado de Laing et al., 1998). ................................................................................................ 13
Figura 9 – A superfície do Oceano, obtida a partir da soma de várias ondas sinusoidais
(Adaptado de Pierson et al., 1955). ............................................................................................ 14
Figura 10 – Amostra dum registo de ondas (Adaptado de Laing et al., 1998). .......................... 16
Figura 11 – Exemplo de um espectro com o registro de onda correspondente (12 de Novembro
de 1973, 21 UTC, 53 ° 25'N, 4 ° 13'E, profundidade de água de 25 m, altura de onda de 4,0 m,
período da onda de 6,5 s (Adaptado de Laing et al., 1998). ....................................................... 20
Figura 12 – Espectro de variância típico dum sistema de ondas. Pela transformação do eixo
vertical em unidades de
, é obtido um espectro da energia de ondas. ...................... 21
Figura 13 – Perfil de onda trocoidal. ........................................................................................... 25
Figura 14 – Último formato possível que as ondas podem ter, segundo a teoria de Stokes
(Adaptado de Laing et al., 1998). ................................................................................................ 25
Figura 15 – Exemplo de rebentação progressiva (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ... 28
Figura 16 – Exemplo de rebentação mergulhante (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). .. 28
Figura 17 – A - Primeira fase da rebentação mergulhante. B - Continuação do movimento de
rebentação e posterior geração de vórtices (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ........... 29
Figura 18 – Exemplo de rebentação de fundo (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ........ 29
Figura 19 - Comparação entre os três tipos de rebentação, progressiva (a), mergulhante (b) e
de fundo (c), em quatro momentos distintos da sua evolução (Adaptado de Dean e Dalrymple,
2002). .......................................................................................................................................... 31
Figura 20 – Tipo de rebentação de acordo com Kjeldsen (linha contínua) e Galvin (linha
tracejada) (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992). ................................................................ 32
Figura 21 – Planta do canal (Adaptado de Conde, 2012). .......................................................... 35
Figura 22 – Perfil longitudinal do canal (Adaptado de Conde, 2012). ........................................ 36
Figura 23 – Exemplo dum sinal de geração de ondas. (Adaptado de Neves et al., 2011a) ...... 37
Figura 24 – Organigrama da instalação experimental, para ensaios do tipo I (Adaptado de
Neves et al., 2011a). ................................................................................................................... 40
Figura 25 – Separador “Data”. .................................................................................................... 43
Figura 26 – Separador “Run ANOI”............................................................................................. 44
Figura 27 – Separador “Time Analysis”. ..................................................................................... 44
Figura 28 – Módulo “ANALISES” (Adaptado de Fortes et al., 2010). ......................................... 45
Figura 29 – Amostra da folha de Excel™. .................................................................................. 46
Figura 30 – Exemplo dum espectro no programa SAM MOD 7. ................................................ 46
Figura 31 – Ecrã principal do programa em Matlab™. ............................................................... 47
Figura 32 – Variação da altura significativa ao longo do canal, para os ensaios com período de
onda incidente igual a 2.0 s......................................................................................................... 49
Figura 33 – Evolução do período médio ao longo do canal, para os ensaios com altura de onda
incidente igual a 16 cm. ............................................................................................................... 49
VII
Figura 34 – Variação da altura de onda significativa ao longo do canal, para ondas incidentes
com H=14 cm e com períodos diferentes. .................................................................................. 50
Figura 35 – Evolução da altura de onda relativa ao longo do canal, para os 4 casos de ondas
incidentes com altura H=12 cm. .................................................................................................. 51
Figura 36 – Partes exterior e interior da zona de rebentação (Adaptado de Fredsøe e Deigaard,
1992). .......................................................................................................................................... 52
Figura 37 – Variação na altura relativa após a rebentação, conforme o declive (Adaptado de
Fredsøe e Deigaard, 1992). ........................................................................................................ 52
Figura 38 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 1.5
s e altura de onda 16 cm. ............................................................................................................ 53
Figura 39 – Altura relativa de rebentação versus
, com comparação entre os resultados
(Adaptado de Goda, 1985). ......................................................................................................... 55
Figura 40 – Altura de rebentação relativa em função de
(Adaptado de Corps of
Engineers, 2003). ........................................................................................................................ 57
Figura 41 – Efeito do declive do fundo na atenuação da onda dentro da zona de rebentação
(Adaptado de Horikawa e Kuo, 1966). ........................................................................................ 58
Figura 42 – Correlação entre altura de onda normalizada e profundidade normalizada, para um
declive de 1:20 (Adaptado de Horikawa e Kuo, 1966). ............................................................... 59
Figura 43 – Correlação entre altura de onda relativa e profundidade normalizada, para um
declive de 1:20 (Adaptado de Horikawa e Kuo, 1966). ............................................................... 60
Figura 44 – Média da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18
cm e período de 1.5 s. ................................................................................................................. 61
Figura 45 – Desvio padrão da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura
de 18 cm e período de 1.5 s........................................................................................................ 62
Figura 46 - Assimetria da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de
18 cm e período de 1.5 s. ............................................................................................................ 63
Figura 47 – Curtose da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18
cm e período de 1.5 s. ................................................................................................................. 64
Figura 48 – Representação de duas ondas harmónicas com frequências
e
, dado um
=1/( + ). ............................................................................................................................. 65
Figura 49 – Exemplo de uma wavelet de Morlet. ........................................................................ 66
Figura 50 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm.
Posição x=-1000 cm. ................................................................................................................... 68
Figura 51 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18
cm. Posição x=-1000 cm. ............................................................................................................ 68
Figura 52 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm.
Posição x=-500 cm. ..................................................................................................................... 69
Figura 53 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18
cm. Posição x=-500 cm. .............................................................................................................. 69
Figura 54 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm.
Posição x=-400 cm. ..................................................................................................................... 70
Figura 55 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18
cm. Posição x=-400 cm. .............................................................................................................. 70
Figura 56 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm.
Posição x=-150 cm. ..................................................................................................................... 71
Figura 57 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18
cm. Posição x=-150 cm. .............................................................................................................. 71
Figura 58 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm.
Posição x=-100 cm. ..................................................................................................................... 72
Figura 59 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18
cm. Posição x=-100 cm. .............................................................................................................. 72
Figura 60 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm.
Posição x=0 cm. .......................................................................................................................... 73
VIII
Figura 61 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18
cm. Posição x=0 cm. ................................................................................................................... 73
Figura 62 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm.
Posição x=400 cm. ...................................................................................................................... 74
Figura 63 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18
cm. Posição x=400 cm. ............................................................................................................... 74
IX
Índice de Tabelas
Tabela 1 – Intervalos do número de Iribarren, conforme o tipo de rebentação. ......................... 31
Tabela 2 – Posição das sondas no canal, medidas em cm, relativamente ao ponto x=0 cm, no
topo da 2ª rampa. ........................................................................................................................ 39
Tabela 3 – Características das ondas incidentes nos ensaios realizados do tipo I.................... 41
Tabela 4 – Dados sobre a posição, altura de onda e profundidade de rebentação, para os
quinze ensaios............................................................................................................................. 48
Tabela 5 – Tipos de rebentação para os quinze ensaios efectuados......................................... 54
Tabela 6 – Dados dos quinze ensaios utilizados para comparação entre a altura relativa de
rebentação e o factor
........................................................................................................ 55
Tabela 7 – Dados dos quinze ensaios utilizados para comparação entre a altura relativa de
rebentação e o factor
. .................................................................................................. 57
X
Índice de Ilustrações
Ilustração 1 – Difracção das ondas devido ao quebra-mar, nas ilhas Channel, Califórnia
(Adaptado de Corps of Engineers, 1977). ................................................................................... 12
Ilustração 2 – Três exemplos do espectro de onda, em fases distintas do seu desenvolvimento:
Geração no mar alto, propagação em águas profundas e empolamento e rebentação em águas
pouco profundas. ......................................................................................................................... 22
Ilustração 3 – Exemplos reais dos tipos de rebentação (Adaptado de Corps of Engineers,
2003). .......................................................................................................................................... 30
Ilustração 4 – Vista geral do local dos ensaios. .......................................................................... 33
Ilustração 5 – Vista frontal do canal de ondas em duas situações distintas: vazio e cheio. ...... 34
Ilustração 6 – Visão geral de um ensaio durante a fase de rebentação. .................................... 34
Ilustração 7 – Vista do canal de ensaios. .................................................................................... 35
Ilustração 8 – Pormenores da bomba. ........................................................................................ 36
Ilustração 9 – Válvulas para entrada de água no canal. ............................................................. 36
Ilustração 10 – Pormenores do batedor de ondas. ..................................................................... 37
Ilustração 11 – Pormenores da sonda AØ. ................................................................................. 38
Ilustração 12 – 8 sondas resistivas usadas nos ensaios do tipo I. ............................................. 38
Ilustração 13 – Portátil para transmissão de dados e Box de ligação. (Adaptado de Neves et al.,
2011a) ......................................................................................................................................... 39
Ilustração 14 – Painel National Instruments™, SPIDER e Condicionador de sinal (Adaptado de
Neves et al., 2011a). ................................................................................................................... 40
Ilustração 15 – Verificação da temperatura do gerador. ............................................................. 42
XI
Simbologia
Definição
Símbolo
Dimensão
Aceleração da gravidade
L/T
Altura média quadrática
L
Amplitude
L
Altura de onda
L
Altura de onda de zero descendente
L
Altura de onda média
̅
Altura de onda máxima
L
L
Altura de onda significativa
̅̅̅̅̅̅
⁄
L
Altura média de 1/n das maiores alturas
̅̅̅̅̅̅
⁄
L
Amplitude da j-ésima
2
L
componente da onda
Ângulo de fase da j-ésima
-
componente da onda
Altura significativa calculada
com o momento de ordem zero
L
Altura significativa
L
Assimetria
-
Altura de onda na rebentação
L
Celeridade
L/T
Celeridade em águas profundas
L/T
Comprimento de onda
L
Comprimento de onda ao largo
L
Curtose
-
Declive do fundo
-
Declividade da onda
-
XII
3
Massa volúmica da água
M/L
Desvio-padrão
L
2
Densidade espectral de
variância (espectro)
L .T
Elevação da superfície livre
L
Energia da onda (por unidade de área)
M/T
Frequência
1/T
Frequência angular temporal
1/T
Frequência da j-ésima componente
1/T
2
da onda
Frequência de pico
Média
1/T
̅
L
2
Momento de ordem n
L .T
2
Momento de ordem zero
L
Número de Iribarren
-
Número de Iribarren ao largo
-
Número de Iribarren no ponto de
rebentação da onda
-
Número de onda
1/L
Número de onda em águas profundas
1/L
Número de registos
-
Período
T
Período de onda análogo à
frequência média do espectro
T
Período de onda significativo
Período de onda teórico equivalente ao
-n
̅̅̅̅̅
⁄
T
T
período médio de zero descendente ̅
Período de pico
T
XIII
Período médio de zero descendente
Período médio do n-avo
̅
T
̅̅̅̅̅̅
⁄
T
de ondas mais altas
Probabilidade das alturas não
excederem
-
Probabilidade das alturas
excederem
-
Profundidade de água
L
Profundidade de água no ponto
de rebentação da onda
L
Tangente hiperbólica
-
Variância
L
Velocidade de grupo
2
L/T
XIV
1. Introdução
A determinação da zona de rebentação é essencial em estudos de hidrodinâmica
costeira e de transporte de sedimentos. Sendo a rebentação um fenómeno complexo, não
linear e que ocorre com diferentes escalas, a pesquisa neste tema, mais concretamente, a
localização e extensão da rebentação são dois dos factores principais para esses estudos, uma
vez que determinam a localização e estabilidade das estruturas marítimas e o transporte de
sedimentos associado.
Neves et al. (2011a) efectuaram um conjunto de ensaios no canal de ondas irregulares
do LNEC, com vista à recolha de dados de elevação da superfície livre e do campo de
velocidades, para 15 condições de agitação incidente regular, em diferentes posições ao longo
do canal. Os ensaios, efectuados em modelo físico, foram realizados no âmbito do Projecto
BRISA - Breaking waves and Induced Sand transport, financiado pela Fundação para a Ciência
e Tecnologia (contrato PTDC/ECM/67411/2006). O principal objectivo do projecto é contribuir
para a compreensão e modelação numérica dos fenómenos de rebentação das ondas e do
transporte de sedimentos em zonas costeiras.
O perfil de fundo consistiu numa série de rampas de inclinação variável. Foi definida uma
profundidade de 10 cm de coluna de água no topo da 2ª rampa, de maneira a haver rebentação
nessa zona. Obteve-se um conjunto bastante elevado de dados experimentais, cujo tratamento
foi realizado utilizando análises clássicas no domínio do tempo e da frequência e com
Wavelets.
Esta dissertação é a continuação do trabalho desenvolvido por aqueles autores, dandose especial ênfase à análise comparativa entre as medições efectuadas nos ensaios com
dados de outros estudos semelhantes e também com valores de formulações empíricas e
semi-empíricas.
1
2. Objectivos
O presente trabalho tem como principal objectivo a análise hidrodinâmica da rebentação
de ondas para as condições de agitação e profundidade testadas. Os dados utilizados foram
obtidos nos ensaios realizados no Departamento de Hidráulica e Ambiente - Núcleo de Portos
e Estruturas Marítimas, localizado no Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC), durante
o período entre Abril de 2010 e Março de 2011.
O trabalho desenvolvido nesta dissertação consistiu nos seguintes pontos:

Apresentar uma revisão dos conhecimentos teóricos e experimentais sobre a
rebentação de ondas, incluindo uma selecção das grandezas físicas envolvidas mais
significativas no fenómeno;

Efectuar a comparação com os dados presentes em diversos estudos académicos
existentes utilizando os dados obtidos experimentalmente;

Proceder a uma discussão dos resultados alcançados;

Propor outras condições de ensaio a testar e parâmetros a analisar em futuros estudos.
Esta dissertação tem seis capítulos. Depois da Introdução e do presente capítulo, o
Capítulo 3 trata de fazer uma resenha dos conceitos mais relevantes para o estudo da
rebentação de ondas. No Capítulo 4, para além de se apresentar as condições experimentais,
com a descrição do canal, do sistema de geração de ondas, do equipamento de medição, das
condições de agitação e dos procedimentos de ensaios, expõem-se as metodologias seguidas
nas análises efectuadas. No Capítulo 5 apresentam-se alguns dos registos efectuados durante
as medições, ao mesmo tempo que se mostram as comparações com estudos anteriores.
Finalmente, no Capítulo 6 apresentam-se as conclusões dos resultados obtidos no
desenvolvimento deste trabalho.
2
3. Enquadramento do Tema
Com o objectivo de ser uma introdução à temática desta dissertação, este capítulo está
focado na exposição dos princípios mais relevantes para o estudo da rebentação das ondas.
Partindo do exemplo mais simples de uma onda linear, fez-se uma revisão de uma série de
conceitos significativos para o assunto em discussão. Após este passo, irá ser exposto o
fenómeno da rebentação em si, focando os critérios e tipos de rebentação existentes.
3.1.
Onda Linear Simples
O movimento de onda mais simples pode ser representado por uma onda progressiva
sinusoidal e com crista longa. Sinusoidal significa que a onda possui uma oscilação periódica,
tendo a forma da função do seno, como está representado na Figura 1.
Figura 1 – Curva sinusoidal simples.
É de crista longa pois toda a série de ondas, seguidas umas das outras, possui cristas
longas e paralelas, sendo todas iguais em altura e equidistantes umas das outras. O carácter
progressivo advém do movimento da forma da onda, a uma velocidade constante, numa
direcção perpendicular à da crista e sem qualquer mudança nesta mesma forma.
3.1.1.
Parâmetros-chave
O comprimento de onda, , é a distância em metros (m) medida na horizontal, entre duas
cristas sucessivas.
O período de onda,
, é o intervalo de tempo, em segundos (s), medido entre a
passagem de duas cristas de onda sucessivas num ponto fixo.
A frequência, , é o número de cristas que passam num ponto fixo, durante 1 segundo.
Normalmente vem discriminada em número de ciclos por segundo, isto é, em Hertz (Hz), e
corresponde ao inverso do período, ou seja, ⁄ .
A amplitude,
, é a dimensão máxima do deslocamento vertical da superfície livre da
água em relação ao nível médio do mar. Tem como unidades, o metro (m).
3
A altura de onda,
, é a diferença, também medida em metros (m), entre as superfícies
livres, de uma crista de onda e da cava anterior a esta. Neste caso específico, para uma onda
regular, a altura de onda é igual a duas vezes o valor da amplitude, isto é,
=2. .
A celeridade, , é a velocidade com que uma crista ou uma cava avançam. É referida
geralmente como a velocidade de onda ou velocidade de fase, sendo geralmente dada em
metros por segundo (m/s).
A declividade de uma onda, , é o rácio entre a altura e o comprimento de onda, ou seja,
= ⁄ .
3.1.2.
Relações básicas
Para as ondas progressivas periódicas, pode dizer-se:
(1.1)
O perfil de onda tem a forma de uma onda sinusoidal:
(1.2)
Na Equação 1.2,
=2π/ , é o número de onda e
=2π/ , é a frequência angular
temporal. O número de onda é uma medida cíclica do número de cristas por cada 2π unidades
de distância, enquanto a frequência angular vem discriminada em número de radianos por
segundo. Um ciclo de onda completo representa uma revolução completa, ou seja, é 2π
radianos.
Voltando à Equação 1.1, a celeridade, , pode ser exibida por
estão definidos, como sendo
, ou, agora que
e
. A dependência da celeridade com o comprimento de onda
induz um efeito de dispersão e a relação entre estas variáveis é conhecida como a relação de
dispersão (Laing et al., 1998). Para águas profundas pode ser expressa em termos de
frequência e comprimento de onda, ou, de forma mais usual, por
e :
(1.3)
onde
é a aceleração da gravidade e esta equação pode ter a forma:
√
(1.4)
Voltando à Figura 1, se considerarmos uma foto instantânea no instante =0, o eixo
horizontal é dado por x e o perfil da onda fica gravado como:
(1.5)
4
No entanto, o mesmo perfil é obtido quando o movimento da onda é medido por meio de
um gravador de ondas colocado na posição =0. O perfil gravado é dado pela Equação 1.6:
(1.6)
que descreve o movimento de, por exemplo, subida ou descida de uma bóia flutuante,
enquanto uma onda passa.
Portanto, os parâmetros mais importantes quando se faz a previsão de ondas ou para
efeitos de medição de instalações ao largo (offshore) são a altura, o período (ou, se
desejarmos, o seu inverso, a frequência) e a direcção da onda. Um observador obrigado a dar
uma estimativa visual não terá a possibilidade de fixar um nível zero como na Figura 1 e não
pode, portanto, medir a amplitude da onda. Em vez disso, é indicada a distância vertical entre a
crista e a cava anterior, isto é, a altura de onda.
Na realidade, as ondas sinusoidais simples, descritas em cima, não são encontradas no
mar, sendo que apenas uma ondulação (swell) que passe por uma zona sem vento pode
chegar perto dessa situação. A razão pela qual se fez esta descrição de ondas simples é pelo
facto de estas constituírem as soluções básicas das equações que regem a fenomenologia das
ondas na superfície livre do mar e sendo, por essa razão, as bases para os campos de ondas
reais que ocorrem nos oceanos.
5
3.1.3.
Movimento orbital das partículas das ondas
Se analisarmos cuidadosamente um pequeno objecto flutuante é possível verificar que
este tem um movimento ascendente e descendente. Na realidade, ele avança nas cristas e
retrocede nas cavas.
De facto, durante um ciclo de uma onda simples, por exemplo, num período de onda, as
partículas da onda descrevem a trajectória dum círculo no plano vertical (em águas profundas),
plano este que é o indicado na Figura 1. Em zonas de águas pouco profundas, o movimento
aproxima-se mais de uma elipse. A Figura 2 ilustra o movimento de uma partícula para o caso
de uma onda sinusoidal simples, em águas profundas.
Figura 2 – Movimento da progressão de uma onda. Treze fotos instantâneas, cada uma com um intervalo de
1/12 do período (Adaptado de Gröen e Dorrestein, 1976).
Consideremos então a velocidade na qual uma partícula de água completa o seu
trajecto. O perímetro da circunferência é, aproximadamente, igual a π
e é percorrido num
intervalo de tempo igual a um período . A ordem de grandeza da velocidade da partícula pode
ser dada por π
, sendo este o maior valor que pode ser atingido nas cristas.
No entanto, não se deve confundir a velocidade de partículas individuais e a velocidade
com que um perfil de onda se propaga (velocidade de onda). A velocidade desta última é
normalmente muito maior, já que é dada por
superior a π
, e o comprimento de onda
é geralmente
.
A Figura 2 foi simplificada de maneira a mostrar a progressão das cristas e cavas,
resultado do movimento da partícula de água. Na realidade, dependendo da declividade da
onda, a partícula de água não retorna ao ponto exacto de partida da sua trajectória, já que ela
acaba por ir bater numa posição ligeiramente à frente, na direcção por onde a onda está a
progredir. Isto está exemplificado na Figura 3.
6
Figura 3 – Mudança da trajectória de uma partícula de água durante dois períodos de onda.
Ou seja, por outras palavras, o movimento de retorno de uma cava é ligeiramente menor
que o de avanço duma crista, criando assim um pequeno deslocamento para a frente. Esta
diferença aumenta conforme a declividade da onda seja maior (Laing et al., 1998).
3.1.4.
Energia das Ondas
Quando uma onda perturba a superfície livre de um fluido comunica energia cinética a
este. As ondas também deslocam partículas na vertical e por isso afectam a energia potencial
de uma coluna de água. A combinação destas duas formas de energia movimenta-se em
conjunto com a onda. A energia total é dividida de forma simétrica entre a energia cinética e
energia potencial, na aproximação da teoria linear de ondas de pequena amplitude.
É importante notar que a energia não se desloca à mesma velocidade da onda, a
chamada velocidade de fase. Ela movimenta-se com a velocidade do grupo de ondas. O
conceito de velocidade de grupo irá ser exposto na secção 3.2.2, mas é importante notar aqui
que, em águas profundas, a velocidade de grupo é igual a metade da velocidade de fase (Laing
et al., 1998).
A energia total de uma onda linear é dada por
onde
/2, que é o mesmo que
/8,
é a massa volúmica da água (Laing et al., 1998). Isto é o valor total dado pelas
parcelas de energia cinética e potencial de todas as partículas duma coluna de água para um
comprimento de onda. Este valor irá ser importante na Secção 3.2.8.
7
3.1.5.
Influência da profundidade de água
À medida que uma onda se propaga, as partículas de fluido percorrem trajectórias em
forma de círculos verticais, que se tornam progressivamente menores quanto maior for a
profundidade, seguindo um decrescimento exponencial (Laing et al., 1998), como está
exemplificado na Figura 4:
Figura 4 – Orbitais em diferentes profundidades. Cada orbital possui um comprimento de onda 1/9 vezes menor
em relação à orbital imediatamente acima desta (Adaptado de Laing et al., 1998).
Abaixo de uma profundidade correspondente a metade do comprimento de onda, , os
deslocamentos das partículas em zonas de águas profundas são menores do que 4% dos
existentes à superfície. O efeito disto é que, desde que a profundidade da água seja superior
ao valor correspondente a
/2, a influência do fundo sobre o movimento das partículas pode
ser desprezada. Desta forma, e para qualquer onda de superfície, uma zona é considerada de
águas profundas quando a sua profundidade é pelo menos igual a metade do comprimento de
onda ao largo,
(Laing et al., 1998).
De maneira a caracterizar o rácio entre a profundidade ( ) e o comprimento de onda ( ),
existem os seguintes limites:
 Águas profundas
 Águas intermédias
 Águas pouco profundas
/2;
/20
/2;
/20.
É importante notar que o efeito de dissipação da onda devido à interacção com o fundo,
fruto do atrito com o fundo e do movimento de sedimentos, ainda não é tida em conta nesta
parte.
Quando as ondas se propagam até zonas de águas pouco profundas, tomando como
exemplo a aproximação à costa, quase todas as características da onda mudam, já que
começa a sofrer os efeitos do fundo, sendo que apenas o período se mantém constante. A
8
velocidade de onda diminui com a redução da profundidade (Laing et al., 1998). Da relação
=
conclui-se que o comprimento de onda também diminui.
Da teoria linear do movimento de onda, pode deduzir-se a relação de dispersão que
relaciona a velocidade de onda,
, com o número de onda,
=2π/ , e também com a
profundidade . Apresenta-se essa relação na Equação 1.7:
(1.7)
em que
é a aceleração gravítica e
representa a tangente hiperbólica:
(1.8)
A relação de dispersão, indicada na Equação 1.7, em termos da frequência angular e do
número de onda, pode ser escrita da seguinte forma:
(1.9)
Em águas profundas (
/2), o valor da
aproxima-se da unidade e o valor de
atinge o seu máximo. A Equação 1.7 fica então reduzida à Equação 1.10:
(1.10)
ou, usando =
, originário da Equação 1.1:
√
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Expressando em unidades de metro por segundo ao quadrado, o termo
2
aproximadamente igual a 1.56 m/s . Neste caso, podemos escrever que
(m), e que
=1.56.
/2.π é
, em metros
=1.56. , em metros por segundo (m/s).
Quando estamos perante uma situação de águas pouco profundas (
/20), a
Equação 1.10 pode ser simplificada para seguinte forma:
√
(1.14)
9
A relação existente na Equação 1.10 ostenta maior relevância quando lidamos com
ondas de período longo e grande comprimento de onda. Quando este tipo de onda propaga-se
em águas pouco profundas, a velocidade da onda depende apenas da profundidade.
Por outro lado, se uma onda está numa área com profundidade intermédia ( /20
/2), pode-se usar fórmulas aproximadas para a velocidade de onda e comprimento de onda
em águas pouco profundas, expressas pelas Equação 1.15 e 1.16:
com
e
√
(1.15)
√
(1.16)
a corresponderem à velocidade e comprimento de onda em águas profundas, de
acordo com as Equações 1.10 e 1.12, respectivamente. O valor de
corresponde ao número
de onda em águas profundas, 2.π/ .
Um outro aspecto que é condicionado pela mudança da profundidade é a altura de onda.
À medida que a onda se próxima da costa, a sua altura aumenta, sendo que isto é resultado
das mudanças na velocidade de grupo das ondas (Laing et al., 1998). A energia propagada em
direcção à costa tem de ser conservada, pelo menos até que os efeitos de atrito sejam
assinaláveis, de maneira a que se a velocidade de grupo diminuir e o comprimento de onda
reduzir, a energia em cada comprimento de onda tem de aumentar. Do valor para a energia,
indicado na Secção 3.1.4, verificamos que isto significa um aumento da altura de onda
.
10
3.1.6.
Refracção e Difracção
Conforme as ondas comecem a sentir os efeitos do fundo, ocorre um fenómeno
conhecido como refracção. Quando uma onda passa por uma zona de profundidade
intermédia, se esta não tiver um deslocamento perpendicular ao fundo, a parte da onda que
estiver numa zona de águas profundas move-se mais rapidamente que a fracção que está na
zona de águas pouco profundas, de acordo com a Equação 1.15, fazendo com que a crista da
onda se aproxime de uma posição quase paralela aos contornos do fundo. Alguns exemplos de
padrões de refracção podem ser vistos desde a Figura 5 até à Figura 7.
Figura 5 – Refracção ao longo de uma praia, com fundo paralelo à linha de costa.
Figura 6 – Refracção provocada por uma cordilheira/desfiladeiro submarina(o).
Figura 7 – Refracção ao longo de uma linha de costa irregular.
11
Geralmente, qualquer mudança na velocidade da onda, por exemplo, devido ao
gradiente de correntes na superfície, podem levar à refracção, independentemente da
profundidade de água.
Por sua vez, o fenómeno de difracção ocorre normalmente a sotavento de obstáculos
como, por exemplo, quebra-mares. A obstrução faz com que a energia tenha de ser transmitida
ao longo da crista de uma onda. Esta transferência de energia quer dizer que as ondas podem
afectar a água a sotavento de uma estrutura, embora a altura destas sejam muito reduzidas.
Um bom modelo disto está exemplificado na Ilustração 1.
Ilustração 1 – Difracção das ondas devido ao quebra-mar, nas ilhas Channel, Califórnia (Adaptado de Corps of
Engineers, 1977).
12
3.2.
Campos de ondas nos oceanos
Na realidade, as ondas nos oceanos não têm um perfil tão simples como o mostrado na
Figura 1. Com as suas formas irregulares, apresentam superfícies em constante mudança, já
que as ondas estão continuamente a ser ultrapassadas e atravessadas por outras. Como
resultado disto, as ondas no mar são normalmente de crista curta. Isto é particularmente
verdadeiro para as ondas cujo crescimento é feito sob a influência do vento do mar (Laing et
al., 1998).
3.2.1.
Conjunto de ondas simples
As ondas de crista longa e quase sinusoidal podem ser vistas com um padrão mais
regular quando as ondas não estão sob a influência dos ventos que as geraram. Tais ondas,
conhecidas como ondulação (swell), podem percorrer centenas de quilómetros depois de se
afastarem da área onde foram geradas. A ondulação vinda de zonas distantes normalmente
mistura-se com as ondas locais geradas pelo vento.
As ondas lineares, descritas na Secção 3.1, podem ser apresentadas de maneira a
estarem incluídas em vários padrões observados. Dito de outra forma, qualquer padrão de
onda observado no oceano pode ser mostrado de maneira a incluir várias ondas simples, que
diferem entre si no comprimento de onda, na altura e na direcção.
Tomemos, como exemplo, ondas com cristas longas, paralelas entre si, mas que diferem
na frequência, tal e qual está apresentado na Figura 8.
Figura 8 – Exemplo de uma onda igual à sobreposição de duas ondas (I e II) simples (Adaptado de Laing et al.,
1998).
Embora o perfil superior seja relativamente regular, já não é certamente um perfil de
onda sinusoidal simples, já que a altura da onda não é igual em todas as cristas e para além
disso, a distância horizontal entre estas também é diferente. No entanto, este perfil pode
representado como a soma de dois perfis de onda simples com ligeiras diferenças na
frequência, por exemplo, os perfis I e II da Figura 8. Ao adicionar os desvios verticais de I e II
13
nos pontos correspondentes do eixo horizontal, obtém-se o perfil superior, aliás, como está
representado na Figura 8.
Tirando partido deste conceito simples, de
combinação de harmónicas simples, e indo mais além,
podemos perceber como um padrão irregular de
ondas, provocadas pelo vento, pode ser visto como a
sobreposição de um número infinito de ondas
sinusoidais, com propagações independentes entre si.
Isto está retratado na Figura 9, que mostra um grande
número de ondas sinusoidais sobrepostas umas sobre
as outras. O exemplo é melhor percebido se
imaginarmos que estão representados todos os perfis
de onda sinusoidal na superfície do oceano, num
determinado instante. Ou seja, como se fosse uma
fotografia da área pretendida, com as diferentes
“componentes”,
i.e.,
ondas
sinusoidais,
todas
discretizadas. A grande diferença entre cada perfil de
onda, para além do comprimento de onda, é a
direcção de propagação da onda, que varia em cada
um.
Figura 9 – A superfície do Oceano, obtida a
partir da soma de várias ondas sinusoidais
(Adaptado de Pierson et al., 1955).
3.2.2.
Grupo de ondas e velocidade do grupo
Já vimos como as ondas no oceano podem ser interpretadas como combinações de
ondas simples. Na Figura 8, entende-se como duas ondas simples, com comprimentos de onda
muito próximos, são combinadas de maneira a formarem grupos de ondas. Este fenómeno é
comum, pois qualquer pessoa que tenha observado com atenção as ondas no oceano já terá
reparado que as maiores ondas, ou seja, as mais visíveis a olho nu, tendem a vir em grupos.
Embora as diversas cristas existentes num grupo nunca sejam equidistantes entre si,
pode-se imaginar o grupo como tendo um distância média e, dessa forma, um comprimento de
onda médio. Apesar do facto da crista de cada onda individual avançar a uma velocidade
efectiva, correspondente ao seu comprimento de onda, o grupo, funcionando como uma
unidade coerente, progride com a sua própria velocidade, sendo esta chamada de velocidade
de grupo.
Em zona de águas profundas, o seu valor é dado por:
(2.1)
14
Uma equação mais geral, válida para zonas com profundidade de água finita, é
apresentada através de:
(
)
(2.2)
Pode-se também mostrar que a velocidade de grupo é a velocidade a que a energia da
onda se desloca. Se considerarmos o fluxo de energia devido a uma série de ondas seguidas,
a energia cinética está associada com o movimento das partículas de água em orbitais
praticamente fechadas e esta energia normalmente não se propaga. Por outro lado, a energia
potencial está relacionada com o deslocamento das partículas de água, sendo que esta
energia move-se em conjunto com a onda, na velocidade de fase. Assim, em águas profundas,
o efeito obtido é o de haver apenas metade da energia a se mover à velocidade de fase, que é
o mesmo que dizer a energia total desloca-se a metade da velocidade de fase (Laing et al.,
1998).
A integridade da onda é mantida por um balanço contínuo entre a energia cinética e a
energia potencial. Á medida que as ondas se propagam para uma zona imperturbada, a
energia potencial localizada na onda da frente é convertida em energia cinética, resultando
numa perda de amplitude. Isto leva a uma situação de esmorecimento das ondas, à medida
que elas ultrapassam a energia. Na retaguarda do grupo de ondas, a energia cinética que foi
deixada para trás é convertida em energia potencial, resultando no aparecimento de novas
ondas nesse local (Laing et al., 1998).
Por conseguinte, um grupo de ondas pode ser considerado como o veículo da energia
das ondas e a velocidade de grupo é também a velocidade com que a energia da onda é
propagada, que é um resultado importante na modelação de ondas.
3.2.3.
Descrição estatística de registos de ondas
O padrão algo confuso existente na Figura 9 pode também ser visto, em termos da
Equação 1.6, como o movimento da superfície livre da água num ponto fixo. Um registo típico
de uma onda para deslocamento deste tipo é mostrado na Figura 10, em que a escala das
ordenadas é dada em metros (m) e a escala das abcissas em segundos (s). As cristas das
ondas estão indicadas com traços e os cruzamentos de zeros descendentes com círculos. O
período de onda
é “distância” temporal medida entre dois cruzamentos deste tipo
consecutivos, enquanto que a altura de onda
é a distância vertical entre uma cava e a
próxima crista compreendidos entre dois cruzamentos consecutivos. O valor médio num registo
destas alturas constitui a altura
.
15
Figura 10 – Amostra dum registo de ondas (Adaptado de Laing et al., 1998).
Um registo temporal da elevação da superfície livre nunca é igual, devido ao
comportamento algo aleatório desta superfície. Se o estado dum mar puder ser considerado
estacionário, as propriedades estatísticas da distribuição de períodos e alturas de onda serão
similares entre registos distintos. São frequentemente usados os seguintes parâmetros
estatísticos (Laing et al., 1998):
̅ – Altura de onda média;
– Altura de onda máxima, medida num registo;
̅ – Período médio de zero descendente, obtido a partir da divisão do comprimento do registo,
em segundos, pelo número de cruzamentos de zeros descendentes;
̅̅̅̅̅̅
⁄ – Altura média de 1/n das maiores alturas, i.e., se todas as alturas de onda medidas num
registo forem dispostas em ordem descendente, da maior à menor, o n-avo contendo as ondas
mais altas deve ser retirado e ̅̅̅̅̅̅
⁄ é dado pelo valor médio dessa parcela;
̅̅̅̅̅̅
⁄ – Período médio do n-avo de ondas mais altas;
Por norma geral, é normalmente utilizado o valor de n igual a três, obtendo os seguintes
dados de referência:
̅̅̅̅̅̅
⁄ – Altura de onda significativa, cujo valor é aproximadamente igual à altura de onda
observada visualmente;
̅̅̅̅̅
⁄ – Período de onda significativo, aproximadamente igual ao período de onda associado
com o valor do espectro máximo, explicado na Secção 3.2.8.
16
3.2.4.
Duração de registos da elevação da superfície do mar
A optimização da duração das observações do estado do mar é determinada por vários
factores. Primeiro que tudo, para uma correcta aplicação do princípio da sobreposição linear do
estado do mar, as condições devem ser estatisticamente estacionárias durante o período de
amostragem. De facto, isto nunca irá ser integralmente atingido, já que os campos de ondas
normalmente estão em estado de evolução, i.e., a crescer ou a decair. Em contrapartida, de
maneira a diminuir a incerteza estatística, o registo deve conter pelo menos 200 ondas do tipo
cruzamento zero descendente (ou ascendente). Daí, o tempo optimizado para o qual as ondas
são medidas é de 15 a 35 minutos, já que neste intervalo as condições previamente
enunciadas são atingidas de forma razoável (Laing et al., 1998).
Quando os registos de ondas são processados automaticamente, a análise é sempre
precedida por um controlo na qualidade dos pontos de dados registados, de forma a remover
discrepâncias e erros devidos a operações defeituosas dos sensores, quer seja em
equipamentos de gravação de dados ou de transmissão de dados.
3.2.5.
Uso de parâmetros estatísticos
Normalmente, o termo estado do mar é usado para descrever as condições das ondas
por meio de vários parâmetros estatísticos. É comum usar-se a altura significativa da onda,
̅̅̅̅̅̅
⁄ , e o período médio, ̅ , ou outro período característico, para definir o estado do mar. A
altura de onda máxima correspondente pode também ser deduzida, sendo este procedimento
exposto na secção 3.2.6.
O uso do período médio, ̅ , tem as suas desvantagens. A distribuição de cruzamentos
de zeros descendentes individuais de um registo é, por norma, bastante ampla e é também, de
certa maneira, sensível ao ruído, em contraste com a distribuição de períodos do, por exemplo,
terço das ondas mais altas. Além disso, o período médio das ondas mais altas dum registo é
usualmente uma boa aproximação do período associado com o pico do espectro de resposta
da onda, explicado com maior detalhe na Secção 3.2.8. Verificou-se que o período médio
medido a partir dos períodos do n-avo de ondas mais altas, com n maior que três, não é muito
diferente de ̅̅̅̅̅̅
⁄ , exibindo porém maior dispersão (Laing et al., 1998).
A declividade da onda, , dada por
⁄ , pode ser dada pela forma da Equação 1.12:
(2.3)
onde
representa a altura de onda (por exemplo, ̅̅̅̅̅̅
⁄ , ̅̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅̅) e
exemplo, ̅ , ̅̅̅̅̅
⁄ ,
o período de onda (por
), sendo que alguns destes parâmetros são introduzidos na Secção 3.2.8.
17
3.2.6.
Distribuição das alturas de onda
A elevação da superfície livre é designada por
. Esta variável expressa a variação
da superfície do oceano no espaço e no tempo (ver Equação 1.2) para situações com ondas
simples e também para um estado do mar mais complexo. Demonstra-se que a elevação
tem
uma distribuição estatística Gaussiana, isto é, uma distribuição normal (Longuet-Higgins,
1952).
Para uma variável com distribuição normal, como , os valores máximos são conhecidos
por terem uma distribuição aproximada de Rayleigh. Para um certo estado do mar, estes
valores máximos estão directamente relacionados com as alturas de onda. Sendo assim, a
distribuição de alturas de onda, medidas com o método de cruzamentos de zeros
descendentes, pode ser representada, aproximadamente, pela distribuição de Rayleigh. Esta
característica já foi verificada com observações em laboratório e em campo (Laing et al., 1998).
Se
indicar a probabilidade das alturas não ultrapassarem um certo valor
do mar caracterizado por um valor conhecido de ̅̅̅̅̅̅
⁄ ,
A probabilidade
é determinado por:
⁄ ̅̅̅̅̅̅
]
⁄
[
num estado
(2.4)
das alturas excederem H1 é então:
(2.5)
No caso de ̅̅̅̅̅̅
⁄ ser calculado a partir de um registo de onda de comprimento finito, o
comprimento do registo ou o número de ondas usadas para os cálculos devem ser tidos em
conta. Se, num registo contendo
altura
ondas, tivermos
, a probabilidade da alturas excederem
( ≤
) ondas que excedam uma dada
é:
(2.6)
Inserindo as duas relações antecedentes na Equação 2.6, conduz a:
̅̅̅̅̅̅
⁄
(2.7)
Esta equação proporciona um método rápido para a determinação de ̅̅̅̅̅̅
⁄ a partir dum
registo de ondas. Pelo contrário, se ̅̅̅̅̅̅
⁄ for conhecido, a distribuição de uma registo de ondas
pode ser comparada com a distribuição de Rayleigh usando a Equação 2.8:
̅̅̅̅̅̅
⁄ √
(2.8)
18
Para a previsão da altura de onda máxima,
, a partir duma sequência de
ondas,
em que ̅̅̅̅̅̅
⁄ é conhecido, é comum tomar a moda da distribuição dos valores máximos (Laing
et al., 1998):
̅̅̅̅̅̅
⁄ √
(2.9)
Em alternativa, se usarmos o 50º percentil, ou seja a mediana, da distribuição dos
valores máximos, obtém-se uma estimativa mais conservativa de
por causa da assimetria
da distribuição, i.e., cerca de 5% maior, de acordo com a Equação 2.9:
̅̅̅̅̅̅
⁄
A previsão de
√
(2.10)
deve ser baseada numa duração realística, por exemplo, seis horas,
à parte dos limites de confiança usuais da previsão de ̅̅̅̅̅̅
⁄ . Isto implica um valor de
entre
2000 a 5000 (em seis horas existem cerca de 2700 ondas se o período de pico for de 8 s)
(Laing et al., 1998). Usando a Equação 2.9 obtém-se:
̅̅̅̅̅̅
⁄
Na Secção 3.2.8, é explicada a relação entre ̅̅̅̅̅̅
⁄ e
(2.11)
.
19
3.2.7.
Espectro de resposta da onda
Já foi notado, na Secção 3.2.1, que a superfície do
oceano pode ser vista como a soma de vários conjuntos
de ondas simples. Uma maneira de formalizar este
conceito é através da introdução do espectro de variância
da agitação marítima. Uma observação do estado do mar
pode ser decomposta por meio de análise harmónica (ou
de Fourier) num grande número de ondas sinusoidais
com
frequências,
direcções,
amplitudes
e
fases
diferentes. Uma análise mais detalhada sobre os
parâmetros utilizados, através da análise de Fourier, nos
dados dos ensaios será exposta no Capítulo 5. Cada
frequência e direcção descrevem uma componente da
onda, e cada componente tem uma amplitude e fase
associadas.
Por conseguinte, a análise harmónica fornece uma Figura 11 – Exemplo de um espectro
com o registro de onda correspondente
(12 de Novembro de 1973, 21 UTC, 53 °
a soma de curvas sinusoidais. Para a elevação variando 25'N, 4 ° 13'E, profundidade de água de
25 m, altura de onda de 4,0 m, período
no tempo, independentemente da direcção, apresenta-se da onda de 6,5 s (Adaptado de Laing et
al., 1998).
a Equação 2.12 (Laing et al., 1998):
aproximação à forma irregular dum registo de onda como
∑
(2.12)
em que:
– Elevação da superfície livre no instante ;
– Frequência da j-ésima componente da onda;
– Amplitude da j-ésima componente da onda;
– Ângulo de fase da j-ésima componente da onda;
– número total de componentes.
O ângulo de fase permite ter em conta o facto de as componentes não estarem todas em
fase, isto é, de os seus valores máximos geralmente ocorrerem em instantes distintos. As
componentes com frequências altas tendem a tornar-se insignificantes e desta maneira existe
um limite razoável para .
Os valores esperados do quadrado das amplitudes
são a contribuição, para a
variância da elevação da superfície livre ( ), de cada uma das componentes da onda, isto é, a
20
variância é dada por
onda,
=∑
. A função resultante é conhecida como espectro de variância da
(Laing et al., 1998). Os espectros típicos da agitação marítima têm uma forma
parecida à exibida na Figura 11, onde as amplitudes ao quadrado de cada componente são
representadas em função das suas frequências correspondentes. A Figura 11 mostra o
espectro dum registo da elevação em conjunto com a série temporal, localizada na parte
superior.
Na prática, um espectro pode ser calculado por métodos diferentes. O algoritmo mais
comum é a Transforma Rápida de Fourier (FFT).
Uma vez que a energia de onda
é igual a
espectros inicialmente eram expressos em termos de
/8, ou
e chamados espectros de energia das
ondas. No entanto, tornou-se prática comum deixar de parte o termo
simplesmente
/2 ( =2. ), os
e utilizar-se
/2, ou
, no eixo vertical. Desta forma, o espectro de energia é considerado como
sendo um espectro de variância.
Os espectros das ondas são habitualmente dados como uma curva contínua, ligando os
pontos discretos encontrados a partir da análise de Fourier, tendo uma forma geral parecida à
da Figura 12. No entanto, a curva pode não ser sempre tão regular. Zonas com maiores
irregularidades podem dar azo a um espectro amplo que pode ter vários picos. Estes podem
estar claramente separados uns dos outros ou fundidos numa curva mais larga com várias
saliências. A ondulação irá geralmente dar um espectro muito estreito, concentrado a energia
numa pequena faixa de frequências (ou comprimentos de onda) à volta dum período de pico.
Este tipo de espectro estreito está associado a uma aparência relativamente “limpa” das ondas,
pois se nos relembrarmos do que foi dito na Secção 3.2.2 (e na Figura 8), são nestas
condições que os grupos de onda são claramente visíveis (Laing et al., 1998).
Figura 12 – Espectro de variância típico dum sistema de ondas. Pela transformação do eixo vertical em unidades
de
, é obtido um espectro da energia de ondas.
É importante notar que a maior parte das medições não fornecem informação sobre a
direcção da ondas e sendo assim, só podemos calcular uma distribuição de “energia” sobre as
21
frequências das ondas,
. No eixo vertical, a medida para energia das ondas é feita em
2
unidades de m /Hz.
Já foi visto anteriormente que, embora o espectro teoricamente possa ser contínuo, na
prática as variâncias (ou energias) são calculadas para frequências discretas. Ou seja, o
domínio da frequência tem de ser visto como um conjunto de valores discretos, em que o valor
de
para uma frequência de, por exemplo, 0.16 Hz, é considerado como o valor médio num
intervalo que vai desde 0.155 até 0.165 Hz. Este valor, dividido pela largura do intervalo, é uma
2
medida para a densidade da energia e é expresso em unidades de m /Hz, em que, de novo, se
está omitindo o factor
. De facto, os espectros da agitação são habitualmente
mencionados como sendo espectros de densidade da energia.
Assim, este método de analisar as medições das ondas gera uma distribuição da energia
das diversas componentes da onda. Na Secção 3.2.2, foi observado que a energia da onda
desloca-se à velocidade de grupo
, e que, da Equação 2.2, vimos que esta é função da
frequência, da direcção (ou vector do número de onda) e possivelmente da profundidade de
água. Portanto, a energia em cada componente do espectro propaga-se à respectiva
velocidade de grupo associada e desta forma é possível deduzir como a energia das ondas de
uma certa zona se dispersa.
É importante reter que um registo de ondas e o espectro procedente deste são apenas
amostras do estado do mar, como está subjacente na Secção 3.2.4. Como todas as
estimativas estatísticas, é relevante saber a qualidade da nossa estimativa e quão bem é
susceptível de indicar o verdadeiro estado do mar. Havendo uma teoria moderadamente
completa para descrever este aspecto, este tema não se irá desenvolver muito neste trabalho,
sendo que convém referir que a validade duma estimativa espectral está dependente em larga
escala da duração do registo, em que este último depende da “estacionaridade” estatística, isto
é, que não evolui de forma rápida (Jenkins e Watts, 1968). Na Ilustração 2 estão expostos três
exemplos distintos da evolução do espectro de onda.
Ilustração 2 – Três exemplos do espectro de onda, em fases distintas do seu desenvolvimento: Geração no mar
alto, propagação em águas profundas e empolamento e rebentação em águas pouco profundas.
22
3.2.8.
Parâmetros da onda extraídos do espectro
O n-ésimo momento ou momento de ordem ,
, do espectro é definido através de:
∫
onde
(2.13)
indica a densidade da variância, em função da frequência , como na Figura 12, de
modo que
⁄ contida no i-ésimo intervalo entre
represente a variância
Na prática, a integração da Equação 2.13 é aproximada por uma soma finita, com
e
=
.
:
∑
Da definição de
(2.14)
resulta que, o momento de ordem zero,
, representa a área abaixo
da curva espectral. Na forma finita isto é o mesmo que dizer:
∑
(2.15)
sendo, por isso, a variância total do registo da onda obtida pelo somatório das variâncias de
cada uma da componentes individuas do espectro. Esta área tem por isso um significado físico,
que é usado em aplicações práticas para a definição de parâmetros de altura da onda
extraídos do espectro. Recordando que para uma onda simples (Secção 3.1.4) a energia da
onda (por unidade de área), , está relacionada com a altura de onda por:
(2.16)
Então, se substituirmos o estado do mar existente por apenas uma onda simples
sinusoidal que tenha a mesma energia, a sua altura média quadrática (root mean square)
equivalente seria dada através de:
√
(2.17)
e agora representa a energia total (por unidade de área) do estado do mar.
Como objectivo de comparação, foi necessário haver um parâmetro proveniente do
espectro e que fosse o mais idêntico possível à altura de onda significativa ̅̅̅̅̅̅
⁄ , esta última
oriunda do registo de ondas. Foi demonstrado que
deve ser multiplicado por um factor de
√ de maneira a atingir o valor requerido (Laing et al., 1998). Portanto, a altura de onda pode
ser calculada a partir da área,
, medida abaixo da curva espectral da seguinte maneira:
√ √
√
(2.18)
23
De notar que, por vezes, refere-se a variância total do estado do mar (
energia total, mas é preciso estar consciente que a energia total
é realmente
) como a
. Na
e ̅̅̅̅̅̅
⁄ é válida apenas num espectro bastante estreito,
teoria, a correspondência entre
algo que não ocorre com frequentemente na natureza. Contudo, a diferença é relativamente
pequena na maioria dos casos, em média
=1.05.̅̅̅̅̅̅
⁄ (Laing et al., 1998). A altura de onda
significativa é frequentemente indicada como
quantidade está a ser usada, 4.√
, e nesse caso, tem de ser indicado que
ou ̅̅̅̅̅̅
⁄ .
A dedução de parâmetros para o período de onda é uma matéria mais complicada, em
virtude da grande variedade de formas espectrais, relacionadas com várias combinações de
vaga e ondulação. De resto, existe alguma semelhança com o problema da definição dum
período de onda a partir da análise estatística (ver Secção 3.2.5). Os parâmetros espectrais
empregados, relativos a frequências e períodos, são:
– Frequência de onda correspondente ao pico do espectro;
– Período de onda correspondente a
, ou seja,
=
;
– Período de onda análogo à frequência média do espectro:
(2.19)
– Período de onda teórico equivalente ao período de zeros descendentes médio do ̅ :
√
É preciso ter em atenção que o período de onda
(2.20)
é sensível ao corte de frequências
altas, usado nos integrais associados à Equação 2.20 (Laing et al., 1998). Por esse motivo,
este corte deve ser explicitado quando se apresenta
e, em particular, quando comparamos
conjuntos de dados diferentes. Para dados existentes em bóias, o corte de frequências é
frequentemente 0.5 Hz, já que, a maioria das bóias não mede, de forma precisa, o espectro de
ondas acima desta frequência.
Foi demonstrado, para vários casos, que o período médio das maiores ondas de um
registo, por exemplo, ̅̅̅̅̅
⁄ (Secção 3.2.5), mantém-se dentro de uma gama de valores que vai
desde 0.87.
a 0.97.
(Goda, 1978).
24
3.3.
Rebentação de Ondas
A zona de rebentação (surf zone) é o nome dado às áreas existentes em águas pouco
profundas onda se dá a rebentação de ondas. O fenómeno da rebentação está associado com
a dissipação de energia existente nas ondas. Estas zonas são as áreas onde existe maior
transporte de sedimentos, devido à grande intensidade de agitação e às profundidades baixas,
fazendo com que o deslocamento de sedimentos no fundo seja mais fácil. Para além do mais,
o fenómeno da rebentação de ondas gera elevação do nível médio e correntes fortes, sendo
que estas últimas transportam sedimentos ao longo da costa.
3.3.1.
Princípios gerais
No final da Secção 3.1.3, foi notado que a velocidade das partículas de água é
ligeiramente superior no segmento superior da órbita do que na parte inferior. Este efeito é
muito acentuado em ondas com grande declividade, tanto que o valor máximo da velocidade
pode alcançar 7. ⁄
valor de 7.
(ou seja,
e não π. ⁄ . Se nestas condições, o comprimento de onda igualar o
⁄ =1/7), a velocidade da água na crista seria então igual à velocidade
de propagação na onda, cujo valor é dado por ⁄ (Laing et al., 1998). Este valor de velocidade
da água não pode ser excedido, pois nessa situação a água na crista avança para fora da
onda. Por outras palavras, a onda iria rebentar.
Segundo a teoria de Stokes as ondas não conseguem manter uma altura maior do que
um sétimo do comprimento de onda sem que haja rebentamento desta (Laing et al., 1998). Na
realidade, a declividade das ondas é raramente superior a um décimo. No entanto, para valores
dessa magnitude, o perfil da onda há muito que deixou de ser uma simples linha ondulante e
possui uma silhueta trocoidal, onde as cristas estão localizadas mais acima do nível médio do
que as cavas abaixo deste, como está indicado na Figura 13.
Figura 13 – Perfil de onda trocoidal.
De acordo com a teoria de Stokes, no limite da declividade de um sétimo, a vertentes de
sotavento e de barlavento de uma onda encontram-se na crista, formando um ângulo de 120º
(Laing et al., 1998), como está indicado na Figura 14.
Figura 14 – Último formato possível que as ondas podem ter, segundo a teoria de Stokes (Adaptado de Laing et
al., 1998).
25
Quando as ondas se propagam para águas pouco profundas, as suas características
mudam à medida que começam a sentir o efeito do fundo, como já foi notado na Secção 3.1.5.
O período de onda mantém-se constante, mas a velocidade e comprimento de onda reduzemse. Quando a profundidade for menor que metade do comprimento de onda, existe uma
diminuição inicial na altura de onda, já que se monitorizarmos uma onda na passagem para
águas pouco profundas, o comprimento de onda decresce e a onda abranda, mas,
inicialmente, isso não acontece com a energia. A energia é então dispersa por mais ondas e a
altura diminui, sendo isto uma situação apenas temporária. Assim, a energia da onda
rapidamente diminui e a altura começa a aumentar (Laing et al., 1998).
A altura original é recuperada quando o rácio ⁄ é cerca de 0.06 (Laing et al., 1998) e,
posteriormente, a altura de onda aumenta.
No caso de uma onda solitária deslocando-se sobre fundo plano, o ponto de rebentação
é alcançado, com o valor dado pela Equação 3.1:
(3.1)
em que
é a altura de onda na rebentação e
a profundidade de água nesse mesmo ponto.
26
3.3.2.
Tipos de Rebentação
Quando o talude é muito inclinado e a ondulação é de pequena amplitude e longo
período poderá ocorrer uma reflexão total ou quase total, não havendo propriamente
rebentação.
A rebentação tratada nesta secção diz respeito à instabilidade hidrodinâmica provocada
pelo aparecimento de profundidades sucessivamente menores na direcção de propagação e
não propriamente a uma instabilidade associada a declividades máximas possíveis em
profundidades constantes. À medida que as ondas propagam-se para as águas menos
profundas, o processo de empolamento (shoaling) conduz a alturas de onda crescentes. Este
processo não pode continuar ininterruptamente, portanto, num determinado local, as ondas
quebram. O rebentamento da onda, tipicamente, toma lugar quando a altura de onda é de
cerca de 0.8 (1/1.28=0.78≈0.8) vezes o valor da profundidade de água local (Fredsøe e
Deigaard, 1992).
Enquanto que o processo de empolamento é caracterizado por uma perda de energia
muito pequena, a rebentação está associada a uma grande perda de energia. A zona de
rebentação ao longo da costa é o local onde o fluxo de energia de ondas, proveniente do mar
alto, é dispersado em turbulência e calor. Devido à forte dissipação de energia, a altura de
onda, dentro da zona de rebentação, decresce no sentido da linha da costa. A rebentação está
associada a fenómenos de turbulência, emulsionamento de ar e dissipação de energia, tendo
sido estabelecidos diversos critérios, tentando dessa forma caracterizar o início da rebentação.
Os mais correntes estabelecem que a rebentação ocorrerá quando (Gomes, 1981):
- A zona frontal da crista assume uma posição vertical;
- As velocidades das partículas em posição de crista igualam a celeridade (critério
cinemático);
- A pressão à superfície livre calculada pela Equação de Bernoulli é incompatível com a
pressão atmosférica;
- A aceleração das partículas em posição de crista tende a “separar” as partículas da
massa fluída;
- A configuração da superfície livre aproxima-se de uma ciclóide;
É habitual considerarem-se os seguintes casos típicos de rebentação:
 Rebentação progressiva (spilling breaker);
 Rebentação mergulhante (plunging breaker);
 Rebentação de fundo (ou oscilatória) (surging breaker).
27
A rebentação progressiva ocorre em fundos quase horizontais, para declividades em
geral superiores a 2% (Gomes, 1981) e é caracterizada pela instabilidade, na parte superior,
que ocorre na vertente frontal da onda. Ocorre o aparecimento e progressivo desenvolvimento
de uma emulsão de água e ar (espuma) que, partindo da crista, desliza pela vertente abaixo,
mantendo-se a crista com uma configuração aproximadamente simétrica. A energia é dissipada
por turbulência e este tipo de onda, nos momentos que antecedem a rebentação, tem
características semelhantes às de uma onda solitária. A Figura 15 mostra um exemplo deste
tipo de rebentação.
Figura 15 – Exemplo de rebentação progressiva (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992).
A rebentação mergulhante ocorre com uma deformação bastante saliente da crista de
onda, instantes após a zona frontal da crista se tornar praticamente vertical. Esta deformação é
tal que se verifica o envolvimento de uma bolsa de ar, até que há uma projecção frontal da
respectiva massa fluída, uma espécie de colapso. O impacto do volume de água gera agitação
e um rápido emulsionamento de ar à superfície e em profundidade. Os fenómenos de
turbulência são muito intensos, bem como as solicitações dinâmicas que provocam. O
processo de rebentamento cria vórtices, que podem chegar ao fundo e agitar quantidades
consideráveis de sedimentos. O caudal provocado pelo ar arrastado até esta área espalha
ainda mais os sedimentos na vertical e, por essa razão, várias ”nuvens” de sedimentos
suspensos são visíveis nas localizações onde há este tipo de rebentação. A Figura 16 mostra
um exemplo de rebentação mergulhante.
Figura 16 – Exemplo de rebentação mergulhante (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992).
28
Os possíveis modos gerados pela acção dos respingos foram descritos em alguns
estudos (Peregrine, 1983). Experiências posteriores mostraram que o volume de água,
colapsada da crista, atravessa a superfície inferior da onda, gerando os vórtices e que os
respingos criados são constituídos por esse mesmo volume de água (Bonmarin, 1989). O
campo de escoamento da rebentação mergulhante, da forma descrita por Peregrine, em
conjunto com os vórtices gerados por esta, é apresentado na Figura 17.
Figura 17 – A - Primeira fase da rebentação mergulhante. B - Continuação do movimento de rebentação e
posterior geração de vórtices (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992).
Para taludes de fundo muito íngremes, pode ocorrer o tipo de rebentação dita de fundo.
Ao contrário dos dois casos anteriores, não se verifica a instabilidade da crista. Nas suas fases
iniciais, assemelha-se à rebentação mergulhante, mas então há como que um adiantamento da
zona inferior da onda, causando a diminuição e o desaparecimento da crista, ou até mesmo
que leva ao colapso da crista (collapsing breaker). Os fenómenos de reflexão adquirem
bastante importância para este tipo de rebentação. Noutras situações, o referido colapso não é
notório, havendo apenas um movimento de “vai e vem” (surging breaker). Na Figura 18
apresenta-se um modelo desta rebentação.
Figura 18 – Exemplo de rebentação de fundo (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992).
A ocorrência dos diversos tipos de rebentação depende do tipo de onda a caminho da
costa e do perfil do fundo. Os factores mais importantes são o declive do fundo e a declividade
das ondas. A rebentação progressiva surge em perfis com declive muito suave e ondas com
uma declividade relativamente acentuada, enquanto que a rebentação mergulhante é
encontrada em fundos com declive mais íngreme e com declividades de onda menores. Por
sua vez, a rebentação de fundo, ocorre em perfis com declives bastante elevados.
29
Ainda em relação à rebentação de fundo, na nomenclatura utilizada na bibliografia da
especialidade, há uma certa falta de identidade de posições no respeitante à inclusão da
rebentação de fundo (ou oscilatória) na designação geral de rebentação. Entre muitos outros
autores, Nagai e Takada (1972) ou Whalin et al., (1970), consideram o fenómeno que
designamos por rebentação oscilatória, como reflexão parcial e por conseguinte, as ondas
associadas, como “non breaking waves” ou “surging waves”.
A Ilustração 3 apresenta os vários exemplares de rebentação descritos anteriormente,
tendo ainda a imagem de uma rebentação mais específica, denominada “collaping breaking
wave”, mas que sendo um tipo rebentação mais raro, não será alvo de grande aprofundamento
neste trabalho.
Ilustração 3 – Exemplos reais dos tipos de rebentação (Adaptado de Corps of Engineers, 2003).
30
3.3.3.
Critérios de Rebentação
Tendo sido encontrada uma relação entre a
geometria da onda e o tipo de rebentação (Galvin,
1968), as ondas podem ser classificadas pelo
parâmetro
1974),
(surf similarity parameter) (Battjes,
também
anteriormente
utilizado
por
Iribarren, sendo este dado pelo rácio entre o
declive da praia e a raíz quadrada da declividade
da onda,
. O valor de
, pode ser calculado a
partir da altura de onda em águas profundas,
ou no ponto de rebentação,
,
, conforme o critério
pretendido. Em ambos os casos, é utilizado o
comprimento de onda em águas profundas,
,
para descobrir o número de Iribarren, .
Segundo
Galvin
(1968),
é
possível
estabelecer as gamas de ocorrência dos diversos
Figura 19 - Comparação entre os três tipos de
rebentação, progressiva (a), mergulhante (b) e
de fundo (c), em quatro momentos distintos da
sua evolução (Adaptado de Dean e Dalrymple,
2002).
tipos de rebentação, exemplificados na Figura 19, tendo por base as Equações 3.2 e 3.3:
√
√
em que
√
√
(3.2)
√
(3.3)
√
é o declive do fundo. Os limites, estabelecidos com recurso a dados
experimentais, estão na Tabela 1.
Tabela 1 – Intervalos do número de Iribarren, conforme o tipo de rebentação.
Local
Tipo de Rebentação
Zona de Águas profundas
Progressiva
Mergulhante
<0.5
0.5< <3.3
Oscilatória (de fundo)
>3.3
Ponto de rebentação da onda
<0.4
0.4< <2.0
>2.0
Embora os critérios expostos na Tabela 1 sejam susceptíveis a críticas, a sua adopção
tem sido preferível, pelo menos de um ponto de vista prático. Van Dorn (1976), com base em
resultados experimentais, considera que
=0.6 parece ser mais consistente como limite de
separação entre rebentação progressiva e mergulhante, tendo sido realizadas observações
com o auxílio de um estroboscópio. Outro método utilizado foi feito por Kjeldsen (1968), em que
31
criou um diagrama baseado em dados pré existentes (Iversen, 1952), sendo analisados por
outros investigadores (Patrick e Wiegel, 1955) e nos seus próprios dados. Os parâmetros
usados são o declive do fundo e a declividade da onda em grandes profundidades, podendo
assim o diagrama ser directamente comparado com as relações de Galvin, baseadas em
.
Na Figura 20 estão exibidas as diferenças.
Figura 20 – Tipo de rebentação de acordo com Kjeldsen (linha contínua) e Galvin (linha tracejada) (Adaptado de
Fredsøe e Deigaard, 1992).
A diferença, existente entre os dois critérios da Figura 20, é considerável e pode ser vista
como uma indicação da incerteza envolvida neste âmbito, nomeadamente, na previsão das
características da rebentação.
32
4. Condições Experimentais
4.1.
Introdução
O estudo experimental, que serviu de base à presente dissertação, foi desenvolvido no
Laboratório Nacional de Engenharia Civil (LNEC). Incluiu três tipos de ensaios com objectivos
distintos, embora complementares.
Os ensaios foram realizados num canal de ondas, denominado COI3, entre 2010 e 2011,
durante um período de aproximadamente 9 meses intercalados, com o intuito de haver tempo
suficiente para cumprir o elevado número de ensaios previstos e também para precaver a
necessidade de repetir alguns ensaios, o que veio a acontecer em alguns casos (Endres et al.,
2011). Na Ilustração 4 está a vista geral do canal.
Ilustração 4 – Vista geral do local dos ensaios.
Foram realizados ensaios para diferentes casos de onda incidente, com medição de
parâmetros importantes para o estudo da rebentação. Tendo sido feitos em fases diferentes,
designaram-se por três tipos distintos conforme os dados adquiridos:
Tipo I – medição dos valores da elevação da superfície livre ao longo do canal;
Tipo II – medição da velocidade das partículas e da elevação da superfície livre, ao longo do
canal;
Tipo III – medição de perfis de velocidade e de elevação da superfície livre em determinados
locais do canal.
Para a execução dos testes experimentais, foram necessários os seguintes elementos:
 Canal de ondas;
 Sistema de geração de ondas;
 Equipamento de medição;
 Sistema de aquisição de dados.
33
Na Ilustração 5 está exposto o canal durante a fase de ensaios.
Ilustração 5 – Vista frontal do canal de ondas em duas situações distintas: vazio e cheio.
No caso específico desta dissertação, onde se pretende fazer uma análise mais focada
na rebentação das ondas, os dados relevantes para o estudo foram obtidos nos ensaios do tipo
I, sendo estes ensaios descritos com maior pormenorização nas secções que se seguem. Na
Ilustração 6 está visível uma onda incidente de um dos ensaios feitos.
Ilustração 6 – Visão geral de um ensaio durante a fase de rebentação.
34
4.2.
Componentes
Nesta secção serão expostos os elementos que compõe as instalações experimentais,
nomeadamente o canal, e os sistemas de geração e aquisição de dados.
4.2.1.
Canal de Ensaios
O canal COI3 tem um comprimento total de 38.3 m, a que se descontam 5.9 m, pois
nesta posição está colocado o gerador de ondas, ficando assim com um comprimento útil para
efeitos de ensaios de 32.4 m. Na Ilustração 7 apresenta-se uma vista do canal.
Ilustração 7 – Vista do canal de ensaios.
A largura do canal varia desde 1.0 m até aproximadamente 0.6 m, enquanto a
profundidade vai desde sensivelmente 1.0 m até 0.1 m, sendo que a altura da coluna de água,
com 10 cm, foi medida na posição x=470 cm. O fundo do canal é em betão, apresentando
alguma rugosidade. Na Figura 21 está exposta a planta do canal.
Figura 21 – Planta do canal (Adaptado de Conde, 2012).
Partindo da posição do batedor, o perfil de fundo do canal apresenta uma primeira
secção plana, tendo de seguida uma de declive 1:11, com cerca de 4.5 m de comprimento. De
seguida, existe um patamar plano com 2.0 m de extensão, passando depois para uma rampa
com 10.0 m de comprimento, de declive de 1:20. Após esta rampa, existe novamente uma
35
zona plana, com 10.0 m de extensão, tendo praticamente no final um declive de 1:20. Na
Figura 22 apresenta-se a disposição dos declives do canal.
Figura 22 – Perfil longitudinal do canal (Adaptado de Conde, 2012).
No canal COI3 do LNEC a alimentação é realizada por uma conduta cuja entrada está
localizada na zona da praia de amortecimento. A drenagem, por sua vez, é obtida através
duma conduta cuja ligação ao canal é feita numa zona perto do batedor. Ambas as condutas
estavam ligadas ao circuito hidráulico geral do Pavilhão, sendo que com o uso de uma bomba
e com a combinação de fecho/abertura de válvulas, foi possível reutilizar a água existente num
reservatório de água, estando este último a uma cota inferior à do canal. Nas Ilustrações 8 e 9
estão expostos alguns destes elementos.
Ilustração 8 – Pormenores da bomba.
Ilustração 9 – Válvulas para entrada de água no canal.
36
4.2.2.
Sistema de geração de ondas
O sistema de geração de ondas é constituído pelo batedor de ondas, pelo computador
de geração do sinal e pela instalação eléctrica do batedor. O controlo do sistema é executado
através de um computador portátil, conectado via USB a um conversor digital-analógico da
marca National Instruments™, que transforma o sinal digital, enviado a partir do portátil para o
painel electrónico, em analógico. O sinal analógico é então enviado para a instalação eléctrica
do batedor, de maneira a criar as ondas para os respectivos ensaios. Na Ilustração 10 está
exposto o batedor de ondas localizado no canal.
Ilustração 10 – Pormenores do batedor de ondas.
Para
a
geração
de
ondas,
foram
construídos
ficheiros
em
formato
ASCII,
correspondentes a uma duração de 490 s (duração total do ensaio). Estes ficheiros possuem
duas colunas sendo a primeira o tempo, com intervalo,
, de 0.01 s e, a segunda, a amplitude
das ondas incidentes, em voltagem. A geração destes ficheiros foi efectuada com um
programa, desenvolvido no ambiente LabVIEW™. Este programa reproduz um sinal sinusoidal
ou rectilíneo, incorporando a função de transferência do sistema gerador, com as seguintes
características:
 Ondas regulares com características de amplitude e período definido;
 Rampa de amplitudes de onda crescente até à estabilização dos 0 s aos 120 s;
 Valor da amplitude de onda constante dos 120 s aos 360 s;
 Rampa de amplitudes de onda decrescente dos 360 s aos 480 s;
 Trecho de amplitude constante e igual a zero dos 480 s aos 490 s.
A Figura 23 apresenta um exemplo de um desses sinais de geração de ondas.
Figura 23 – Exemplo dum sinal de geração de ondas. (Adaptado de Neves et al., 2011a)
37
4.2.3.
Equipamento de medição
A medição da elevação da superfície da água foi feita através das sondas resistivas. A
fim de verificar se o gerador estava a produzir a altura de onda correta, foi colocada uma sonda
na posição x=-1080 cm, aproximadamente a 6 metros do batedor, denominada AØ. Esta sonda
foi mantida nesta posição para todas as condições de agitação incidente, tendo uma frequência
de aquisição igual a 25 Hz. É importante referir que esta posição corresponde a uma zona de
águas intermédias para as condições de agitação testadas. Na Ilustração 11 é mostrada a
localização desta sonda no canal.
Ilustração 11 – Pormenores da sonda AØ.
Em relação às restantes sondas, a sua posição variou consoante o tipo de ensaios. Nos
ensaios do tipo I, para a medição dos valores da elevação da superfície livre ao longo do canal,
foram colocadas 8 sondas resistivas. Estas sondas, separadas de 20 cm entre si, foram
agregadas a uma estrutura móvel, tendo todas uma frequência de aquisição de 100 Hz. Na
Ilustração 12 apresentam-se estas sondas.
Ilustração 12 – 8 sondas resistivas usadas nos ensaios do tipo I.
Esta estrutura teve 19 posições distintas, de maneira a registar valores em vários pontos
do canal. Devido a restrições do próprio canal, nomeadamente um conjunto de barras
metálicas transversais ao canal, duas posições da sonda foram repetidas (x=250 e -380 cm). O
posicionamento das sondas foi de acordo com o indicado na Tabela 2.
38
Tabela 2 – Posição das sondas no canal, medidas em cm, relativamente ao ponto x=0 cm, no topo da 2ª rampa.
Posição
1
4.2.4.
Sonda
Sonda
Sonda
Sonda
Sonda
Sonda
Sonda
Sonda
1
2
3
4
5
6
7
8
-50
-30
-10
10
30
50
70
90
2
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
3
-220
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
4
-210
-190
-170
-150
-130
-110
-90
-70
5
100
120
140
160
180
200
220
240
6
110
130
150
170
190
210
230
250
7
250
270
290
310
330
350
370
390
8
260
280
300
320
340
360
380
400
9
410
430
450
470
490
510
430
550
10
420
440
460
480
500
520
540
560
11
-370
-350
-330
-310
-290
-270
-250
-230
12
-380
-360
-340
-320
-300
-280
-260
-240
13
-520
-500
-480
-460
-440
-420
-400
-380
14
-530
-510
-490
-470
-450
-430
-410
-390
15
-680
-660
-640
-620
-600
-580
-560
-540
16
-690
-670
-650
-630
-610
-590
-570
-550
17
-840
-820
-800
-780
-760
-740
-720
-700
18
-850
-830
-810
-790
-770
-750
-730
-710
19
-1000
-980
-960
-940
-920
-900
-880
-860
Sistema de aquisição de dados
O sistema de aquisição de dados, para os ensaios do tipo I, é constituído pelas sondas
resistivas e por dois computadores, o portátil e a torre.
O equipamento informático é constituído por 2 computadores com funções ligeiramente
diferentes no decorrer dos ensaios realizados: um portátil e um fixo (torre). O computador
portátil, instalado na central de equipamento, é responsável pela aquisição do sinal da sonda
AØ, colocada junto ao batedor, pelo que está ligado à sonda através de uma Box. Este
computador é também responsável pela geração do sinal para o batedor de ondas. Na
Ilustração 13 estão expostos alguns destes elementos.
Ilustração 13 – Portátil para transmissão de dados e Box de ligação. (Adaptado de Neves et al., 2011a)
39
No computador torre, também instalado na central do equipamento, gravam-se os
ficheiros de dados das 8 sondas para as várias posições e condições de agitação incidente.
Tem como principal função a aquisição do sinal das 8 sondas “móveis” que se posicionaram
em várias posições ao longo de todo o canal. O sinal das sondas, antes de chegar ao
computador, passava pelo condicionador de sinal que adquire o sinal analógico das sondas e o
envia para o SPIDER, responsável pela transformação em sinal digital a ser enviado para o
computador torre (Neves et al., 2011). Na Ilustração 14 apresentam-se alguns desses
equipamentos.
Ilustração 14 – Painel National Instruments™, SPIDER e Condicionador de sinal (Adaptado de Neves et al.,
2011a).
O organigrama de simulação de ondas regulares, esquematizado na Figura 24,
compreende três etapas: a geração, a aquisição e o tratamento de dados.
Figura 24 – Organigrama da instalação experimental, para ensaios do tipo I (Adaptado de Neves et al., 2011a).
40
4.3.
Condições de agitação incidentes
As condições de agitação simuladas no canal foram limitadas pelas características do
gerador de ondas, o qual apenas consegue simular um período de onda máximo e
correspondente altura de onda máxima de =2.7 s e
=23 cm, respectivamente. Sendo assim,
para os ensaios do Tipo I, foram considerados quinze casos, indicados na Tabela 3.
Tabela 3 – Características das ondas incidentes nos ensaios realizados do tipo I.
[s]
[cm]
12
14
16
18
No caso de
=1.1 s e
1.1
x
x
x
-
1.5
x
x
x
x
2.0
x
x
x
x
2.5
x
x
x
x
=18 cm, as ondas rebentavam imediatamente após a sua
formação, devido à declividade da onda, pelo que este teste foi excluído (Neves et al., 2011b).
4.4.
Procedimentos dos ensaios
Para cada condição de agitação incidente, procedeu-se à medição da elevação da
superfície livre na sonda junto ao batedor e no conjunto de 8 sondas. Cada teste (uma
condição de agitação incidente) teve a duração total de 490 s (Neves et al., 2012).
Em traços gerais, o método para a obtenção das medições da elevação da superfície
livre foi o que se segue:
 Calibração das 9 sondas (8 sondas resistivas e a sonda de nível junto ao batedor);
 Envio do sinal correspondente a cada condição de agitação incidente para o batedor
de ondas;
 Aquisição de dados na sonda junto ao batedor nos 490 s de duração total do ensaio,
com uma frequência de amostragem de 25 Hz;
 Aquisição de dados de elevação da superfície livre nas 8 sondas com duração total
de 490 s. Usou-se um intervalo de 150 s, localizado no intervalo dos 120 aos 360 s
(fase do ensaio de amplitude constante), com uma frequência de amostragem de 100
Hz.
Este procedimento foi repetido para todas as quinze condições de agitação incidente
sendo que, foram feitos vários ensaios para os mesmos casos de ondas incidentes, variando
apenas a posição das 8 sondas agregadas à estrutura móvel, de maneira a registar os valores
pretendidos ao longo do canal.
41
4.4.1.
Notas dos ensaios
A experiência adquirida nestes ensaios permitiu chegar a algumas conclusões que serão
enumeradas de seguida, tendo estas basicamente um teor exemplificativo para futuros ensaios
que serão feitos neste canal.
Verificou-se que, após uma série de trabalhos, era necessário haver um intervalo de
descanso, entre 10 a 15 minutos, para deixar o gerador do batedor de ondas diminuir a
temperatura a que estava sujeito. De notar que uma
série de ensaios, que consistia numa combinação de 4
ensaios (4 ondas distintas), demorava em média 2
horas. Por outro lado, em algumas ocasiões, após
interrupções
de
trabalho
superiores
a
2
horas
(normalmente após a hora de almoço ou no início dos
ensaios, na manhã do dia seguinte), verificou-se que
havia necessidade de rodar o motor durante cerca de 10
Ilustração 15 – Verificação da temperatura
minutos antes de iniciar uma nova série de ensaios. Na do gerador.
Ilustração 15 apresenta-se uma verificação do gerador.
No início e no fim de cada série de trabalhos, e se fosse preciso durante a pausa entre
ensaios, procedia-se à calibração das sondas, com vista à confirmação da linearidade de
resposta e determinação da respectiva curva de calibração.
A calibração consistia em mergulhar a sonda, na água em repouso, com o auxílio da
régua vertical graduada em milímetros existente em cada sonda. Para cada nível relativo,
registava-se a indicação do voltímetro digital e procedia-se à respectiva conversão.
A necessidade de aguardar tempo suficiente para que o nível da água estabilizasse
entre dois ensaios sucessivos deu azo a algumas discrepâncias após o respectivo tratamento.
Os motivos para rejeitar estes dados podiam ir desde o mau funcionamento dos filtros
electrónicos, erros na determinação das constantes da sonda, ocorrência de fenómenos de
reflexão nítidos, início dos ensaios sem restabelecimento do repouso da água, má calibração
ou perda de linearidade das sondas.
42
4.5.
Séries de elevação da superfície livre
Para cada condição de agitação incidente, obtiveram-se os valores de tensão (em volts)
em vários pontos do canal, os quais após a utilização da constante de calibração de cada
sonda específica, permitiram a obtenção das séries temporais de elevação da superfície livre
ao longo do canal (Neves et al., 2011a). Com base nestes resultados, efectuou-se:
 O cálculo dos valores de
altura média ̅),
,
(neste caso, era ̅̅̅̅̅̅
⁄ ),
(correspondente à
(período significativo, que neste caso era ̅̅̅̅̅
⁄ ) e
(período
médio, análogo a ̅ ) de cada registo;
 O cálculo estatístico da série de valores da elevação da superfície da água, isto é,
média da série de elevação da superfície livre, desvio padrão, assimetria e curtose;
 A análise espectral da série de valores da elevação da superfície da água, em que
calculou-se a densidade espectral de variância, que permite estabelecer a distribuição
de energia pelas frequências do espectro.
4.5.1.
Análise no domínio do tempo - Introdução
Para se fazer a análise de uma série temporal de dados (registo), recorreu-se ao
programa ANOIAGI, escrito em linguagem FORTRAN (Carvalho, 1973). Estando optimizado e
implementado num ambiente de trabalho MS Access™ (Fortes et al., 2010), de forma a facilitar
o manuseamento dos dados, obteve-se, para cada registo, os valores de
(altura significativa),
(altura média),
(período significativo) e
(altura máxima),
(período médio).
Após o processo de abertura dum projecto, surge um formulário, localizado no separador
“Data” onde se introduz as principais características dos registos de dados a tratar,
exemplificado na Figura 25, como por exemplo: o número de registos a analisar, a frequência
de aquisição, o intervalo de tempo de análise, etc.
Figura 25 – Separador “Data”.
43
Após a introdução dos dados, será necessário aceder ao separador “Run ANOIAGI”, que
permite a execução do programa ANOIAGI, como está exposto na Figura 26, onde se criam os
ficheiros dos quais se retiram os valores das alturas significativas, períodos médios, etc.
Figura 26 – Separador “Run ANOI”.
Para visualização dos resultados, nomeadamente dos valores de
(altura significativa),
(altura média),
(período significativo) e
(altura máxima),
(período médio), é
necessário aceder ao formulário “Análise temporal”, exposto na Figura 27, do qual é possível
ver directamente os dados calculados, desde que o ficheiro com o ensaio pretendido seja
seleccionado.
Figura 27 – Separador “Time Analysis”.
44
4.5.2.
Parâmetros estatísticos
Para a análise estatística de séries discretas de dados, utilizou-se o módulo “ANALISES”
do pacote SOPRO (Fortes et al., 2010), exemplificado na Figura 28.
Figura 28 – Módulo “ANALISES” (Adaptado de Fortes et al., 2010).
Neste módulo, a análise estatística efectuada corresponde aos cálculos de valores de
alguns dos parâmetros mais relevantes de uma série discreta de valores. O cálculo da
média, ̅ , desvio-padrão, , assimetria,
, e curtose,
, foi efectuado com o auxílio do
programa “ESTATISTICA” (Fortes e Zózimo, 2009), de acordo com as Equações 4.1 a 4.4:
∑
̅
(4.1)
√∑
∑
∑
̅
̅
(4.2)
̅
(4.3)
(4.4)
Após accionar o formulário “Análise estatística” surge uma folha de Excel™, em que uma
das colunas corresponde aos valores a tratar. Quando se acciona o botão “Parâmetros”
automaticamente são calculados os valores atrás referidos com o auxílio do programa
“ESTATISTICA”, Figura 29.
45
Figura 29 – Amostra da folha de Excel™.
4.5.3.
Análise no domínio da frequência
Em relação à análise espectral, para obter o espectro de variância a partir da série de
valores da elevação da superfície da água, utilizou-se o programa SAM MOD 7 (Capitão,
2002), criado em ambiente LabView™. Para além disso, este programa possibilita a
determinação de alguns parâmetros espectrais dos registos. Na Figura 30 apresenta-se um
caso específico do ensaio com período igual a 2.0 s, altura de onda de 16 cm e na posição x=500 cm.
Figura 30 – Exemplo dum espectro no programa SAM MOD 7.
Este programa permite calcular a densidade de variância associada a cada uma das
frequências, correspondendo ao espectro de variância das ondas. Com base no espectro,
obtêm-se os valores da altura significativa,
(período médio, equivalente espectral de
aproximadamente equivalente a
(equivalente espectral de
̅) e
),
ou
(período de pico do espectro,
, ou ̅̅̅̅̅
⁄ ).
46
Para fins de comparação com os resultados obtidos pelo SAM MOD 7, aproveitou-se
também para fazer uma análise por meio de séries de wavelets, através duma função criada no
Matlab™ (Mori, 2009). Nessa função, era gerada uma onda de base wavelet do tipo Morlet.
Depois, a partir dos dados de entrada que indicávamos, ou seja, a série temporal de elevação
da superfície livre, era criado o espectro wavelet. Na Figura 31 expõem-se uma vista do
programa utilizado.
Figura 31 – Ecrã principal do programa em Matlab™.
47
5. Análise e discussão dos resultados
Neste capítulo far-se-á o estudo e apreciação dos resultados obtidos nos ensaios. Na
parte da rebentação teremos como base de comparação os dados de alguns estudos e ensaios
feitos por diferentes autores.
Como critério definidor da altura de onda na rebentação,
, considerou-se que esta era
a máxima altura registada durante a progressão de uma onda sobre o talude. Usando o
raciocínio análogo, como critério definidor da profundidade de rebentação,
, adoptou-se que
seria a mínima profundidade a que se regista a onda de altura máxima.
Os valores obtidos para as análises que se seguem foram os que se apresentam na
Tabela 4.
Tabela 4 – Dados sobre a posição, altura de onda e profundidade de rebentação, para os quinze ensaios.
Onda
T11H12
T11H14
T11H16
T15H12
T15H14
T15H16
T15H18
T20H12
T20H14
T20H16
T20H18
T25H12
T25H14
T25H16
T25H18
Posição (x) da
rebentação
Início
Fim
[cm]
[cm]
-270
210
-530
200
-530
200
-270
270
-330
250
-390
250
-470
250
-270
330
-410
330
-410
310
-470
300
-270
450
-330
450
-350
430
-410
420
[cm]
[cm]
18.021
19.552
23.208
19.946
22.002
24.145
27.408
23.577
29.537
30.242
31.414
27.330
27.594
31.339
32.335
23.350
35.020
35.020
23.350
25.960
28.680
32.200
23.350
29.580
29.580
32.200
23.350
25.960
26.840
29.580
De resto, falta referir que os resultados expostos no corpo principal deste trabalho foram
considerados os mais coerentes e adequados para as análises a serem feitas, sendo que
foram colocados em Anexo mais algumas figuras de diferentes ensaios, mas sem as
respectivas observações. Convém também aludir ao facto de que, para além dos dados terem
sido obtidos em ensaios distintos, ou seja, com as respectivas posições das sondas para
diferentes ensaios com o mesmo tipo de onda incidente, há que ter em conta que em alguns
dos resultados expostos neste capítulo, nomeadamente a altura significativa, altura relativa ou
os parâmetros estatísticos ao longo do canal, é preciso ter em conta um certo efeito de
damping, ou seja, algumas oscilações existentes nas sondas resistivas devido à passagem das
ondas durante os ensaios.
48
5.1.
Análise Temporal
A Figura 32 representa a evolução da altura significativa (
=̅̅̅̅̅̅
⁄ ) para um período de
onda incidente de =2.0 s, ao longo do canal, nas posições estudadas.
Variação da Altura Significativa (Período de onda incidente T=2.0 s)
35.0
Hs (cm)
30.0
25.0
H12
20.0
H14
15.0
H16
10.0
H18
5.0
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura 32 – Variação da altura significativa ao longo do canal, para os ensaios com período de onda incidente
igual a 2.0 s.
Os resultados indicam, como seria de esperar, um aumento da altura de onda na zona
próxima dos x=-900 cm, sendo que, a partir dos x=-700 cm, esse aumento passa a ser
gradualmente maior, à medida que a profundidade diminui e o efeito de empolamento da onda
é amplificado. A grande diferença notada é no local de rebentação, já que a onda com
=12
cm tem a altura máxima perto dos x=-270 cm, enquanto que as três ondas restantes atingem o
limite à volta do mesmo local, na zona dos x=-410 cm. Após a rebentação, observa-se uma
diminuição expressiva da altura de onda ao longo do canal, sendo que a partir da posição
x=300 cm estão praticamente todas coincidentes, numa gama que vai desde os 5 aos 7 cm.
Na Figura 33 apresenta-se os valores do período médio,
onda incidente
= ̅ , para uma altura de
=16 cm, ao longo do canal.
Variação do Período médio (Altura de onda incidente H=16 cm)
3.0
Tm (s)
2.5
T1.1
2.0
T1.5
1.5
T2.0
1.0
T2.5
0.5
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura 33 – Evolução do período médio ao longo do canal, para os ensaios com altura de onda incidente igual a 16
cm.
49
O que se verifica neste gráfico é uma diferenciação mais notória entre os 4 ensaios.
Embora os períodos de onda mantenham-se aproximadamente constantes, ao longo do canal,
até sofrerem perturbações devido à rebentação de ondas, nota-se alguma diferença no local
onde começam a ocorrer as mudanças. Enquanto que para os dois maiores períodos, 2.0 e 2.5
s, esse efeito tenha mais ou menos início na posição x=-270 cm, os dois períodos mais baixos
sofrem alterações mais adiante, respectivamente em x=-90 cm ( =1.5 s) e x=80 cm ( =1.1 s).
As maiores descidas ocorrem para os maiores períodos, enquanto que para menores períodos
os decréscimos são menos acentuados.
De seguida, na Figura 34 procede-se à análise das alturas de onda significativas para
quatro ondas incidentes, todas com a mesma altura. Neste caso específico, para
=14 cm.
Variação da Altura Significativa (Altura de onda incidente H=14 cm)
30.0
25.0
Hs (cm)
T1.1
20.0
T1.5
15.0
T2.0
10.0
T2.5
5.0
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura 34 – Variação da altura de onda significativa ao longo do canal, para ondas incidentes com H=14 cm e com
períodos diferentes.
Analisando a Figura 34, verifica-se uma certa discordância na onda com período de 2.0
s, pois esta aparenta ter uma altura de rebentação maior que a sua congénere em altura, de
período igual a 2.5 s. No entanto, tudo leva a crer que tenha havido algum erro na aquisição de
dados, pois nota-se claramente um “salto” entre as posições x=-430 cm e x=-380 cm.
50
5.2.
Análise da altura de onda relativa
⁄
Passando agora para a altura de onda relativa
, este parâmetro é muitas vezes
usado como índice de rebentação em águas pouco profundas, sendo que, ao contrário do
início da rebentação, não há nenhum valor base usado para o fim da rebentação.
Dally et al. (1985) recomendam vários valores ( ⁄ =0.35 a 0.47) para diferentes declives
de fundo, de modo a obter uma curva que melhor se adapte aos resultados experimentais.
Estes testes foram todos efectuados em declives suaves de praias e não houve qualquer
comparação entre os resultados experimentais e os correspondentes valores da condição
estabilizada da onda, Dally et al. (1985), para uma praia do tipo barra-fossa. De qualquer
forma, é expectável que a altura de onda relativa para o fim da rebentação seja próximo de
⁄ =0.35 a 0.4, que é o valor dado para o caso de um fundo horizontal.
A Figura 35 representa a evolução da altura relativa de onda em todo o domínio, para 4
dos quinze ensaios efectuados. Neste caso, para as ondas com altura de onda incidente
=12
cm.
Hs/h (-)
Variação da Altura relativa (Altura de onda incidente H=12 cm)
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-1000
T11H12
T15H12
T20H12
T25H12
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
x (cm)
Figura 35 – Evolução da altura de onda relativa ao longo do canal, para os 4 casos de ondas incidentes com altura
H=12 cm.
Neste caso, pode-se concluir que o valor médio da taxa de
⁄ no fim de rebentação
varia entre os 0.4 e os 0.6, aproximadamente. Este valor é relativamente alto
comparativamente ao observado, já que na parte final da rebentação também estamos numa
zona com fundo horizontal, sendo por isso um resultado ligeiramente diferente do esperado.
É importante notar que o decréscimo de
⁄
tem duas fases. Após a rebentação, é
decrescente até atingir a zona à volta do ponto x=0 cm, ou seja, na mudança de declive,
havendo aí uma ligeira subida, embora apenas localizada, acabando mais ou menos na
posição x=40 cm. A partir daí, os valores diminuem gradualmente até atingirem um patamar
com menor variabilidade de
⁄ no fim da rebentação, patamar esse que varia para cada tipo
de onda testada. No caso das ondas incidentes com períodos superiores ou iguais a 2.0 s, a
gama de valores no patamar é maior. Convém salientar o facto de que, ao termos os valores
de
⁄ a tornarem-se mais constantes a partir do ponto x=100 cm, isso significa que a altura
51
de onda mantém mais ou menos o seu valor, já que estamos na zona do canal onde não existe
declive.
Numa tentativa de encontrar outros estudos onde se pudesse fazer outra análise
comparativa da altura de onda relativa, a busca veio a ter alguns resultados mais favoráveis.
Segundo Fredsøe e Deigaard (1992), depois de haver rebentação progressiva ou
mergulhante, ocorre uma transição. No caso da rebentação progressiva, que ocorreu nos
quinze ensaios realizados (ver Tabela 5), a superfície de espuma cresce e a altura de onda
reduz-se rapidamente. Em ambos os casos, a onda sofre uma transformação e na parte interior
da zona de rebentação, pode ser descrita como uma série periódica de pequenas vagas
(Svendsen et al., 1978). O rácio, entre a altura de onda local e a profundidade, decresce desde
um valor igual a cerca de 0.8 no ponto onde existe rebentação, até tomar um valor
praticamente constante de 0.5 na zona interior (inner zone). Através de alguns autores
(Andersen e Fredsøe, 1983), chegou-se a uma relação empírica que estabelece a variação
deste rácio, sendo dada pela Equação 5.1:
(5.1)
onde
é a distância, medida a partir do ponto de rebentação, na direcção de propagação da
onda e
é a profundidade de água no ponto de rebentação. Atente-se à Figura 36.
Figura 36 – Partes exterior e interior da zona de rebentação (Adaptado de Fredsøe e Deigaard, 1992).
Antes disto, alguns investigadores (Horikawa e Kuo, 1966) fizeram vários ensaios para
diferentes declives do fundo, sendo que para cada ensaio, o respectivo declive era sempre o
mesmo. Juntando o resultado destes ensaios com a Equação 5.1, chega-se à configuração da
Figura 37.
Figura 37 – Variação na altura relativa após a rebentação, conforme o declive (Adaptado de Fredsøe e Deigaard,
1992).
52
Tendo, na Tabela 4, para cada um dos quinze ensaios, a posição da rebentação, fez-se
uma série de gráficos onde se verificou a semelhança entre os dados obtidos nos presentes
ensaios e os indicados pela Equação 5.1, cujo exemplo está indicado na Figura 38.
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.0
H/h (-)
0.9
0.8
Equação 5.1
0.7
T15H16
0.6
0.5
0.4
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura 38 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 1.5 s e altura de onda 16
cm.
Na Figura 38, apresenta-se o caso da onda incidente com período 1.5 s e altura de onda
16 cm. Os resultados obtidos permitem ver que, embora haja uma certa dispersão entre os
dados, nota-se uma tendência semelhante à da linha laranja, obtida a partir da Equação 5.1.
De notar que os dados dos ensaios, a azul, compreendem a zona entre o início da rebentação
e o fim do declive 1:20. Ou seja, optou-se por não colocar os restantes pontos, já que estes
estavam em condições distintas, isto é, localizados na zona plana do canal, portanto sem
declive, sendo por isso dispensados desta análise.
53
5.3.
5.3.1.
Análise da Rebentação
Tipo de rebentação
Usando o critério da Equação 3.3, fez-se uma análise do tipo de rebentação existente
para cada uma das quinze ondas testadas nos ensaios. Para calcular os comprimentos de
onda em águas profundas,
, utilizou-se a Equação 1.12. A Tabela 5 indica os resultados
obtidos.
Tabela 5 – Tipos de rebentação para os quinze ensaios efectuados.
Onda
[-]
T11H12
T11H14
T11H16
T15H12
T15H14
T15H16
T15H18
T20H12
T20H14
T20H16
T20H18
T25H12
T25H14
T25H16
T25H18
[m]
1.888
3.510
6.240
9.750
[m]
0.180
0.196
0.232
0.199
0.220
0.241
0.274
0.236
0.295
0.302
0.314
0.273
0.276
0.313
0.323
[-]
0.095
0.104
0.123
0.057
0.063
0.069
0.078
0.038
0.047
0.048
0.050
0.028
0.028
0.032
0.033
[-]
0.162
0.155
0.143
0.210
0.200
0.191
0.179
0.257
0.230
0.227
0.223
0.299
0.297
0.279
0.275
Tipo de
Rebentação
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Progressiva
Como seria de esperar, todas as ondas testadas apresentavam um nº de Iribarren dentro
da gama de valores para os quais havia rebentação progressiva, caracterizada essencialmente
por declives muito baixos, como era o caso do canal de ensaios utilizado (declive de 1:20).
5.3.2.
Limitação da altura de ondas regulares por rebentação
Segundo Goda (1985), pode-se facilmente observar que, num canal hidráulico com
declive no fundo, um conjunto de ondas regulares sofrem o efeito de empolamento e que
rebentam a uma certa profundidade. A localização na qual as ondas rebentam é praticamente
fixa para ondas regulares.
A expressão “limiting breaker height”, traduzida como limite de rebentação da altura de
onda, é usada no âmbito dos limites que as ondas progressivas podem chegar fisicamente, a
uma certa profundidade, para uma dado período de onda. O rácio entre o limite da altura de
onda e a profundidade local, depende do declive do fundo e da altura relativa. Tendo como
base a compilação de um vasto número de resultados de laboratório (Goda, 1970) chegou-se
ao gráfico da Figura 39. No entanto, é preciso ter noção que isto é o resultado de relações
médias, já que havia dispersão em cerca de 10% dos dados ensaiados.
54
Altura relativa de rebentação vs hb/L0
1.4
1.2
Hb/hb (-)
1.0
T1.1
0.8
T1.5
0.6
T2.0
T2.5
0.4
0.2
0.0
0.00
0.01
0.10
1.00
hb/Lo (-)
Figura 39 – Altura relativa de rebentação versus
, com comparação entre os resultados (Adaptado de Goda,
1985).
Os resultados obtidos permitem aferir que, em termos relativos, os ensaios
apresentavam entre si uma disposição semelhante aos resultados obtidos pelo referido autor,
na medida que, para maiores períodos, e respectivas alturas de onda, existe uma curva com
tendência aproximada aos valores da Figura 39. No entanto, note-se que apenas para as
ondas com período menor, neste caso, igual a 1.1 s, existe um grande sincronismo com o
declive existente no canal (1:20). Os restantes ensaios, para períodos superiores ou iguais a
1.5 s, afastaram-se da respectiva curva. Uma nota importante a reter é que o factor
por Goda, corresponde ao comprimento de onda em águas profundas, ou seja,
, utilizado
= . Os
dados utilizados estão na Tabela 6.
Tabela 6 – Dados dos quinze ensaios utilizados para comparação entre a altura relativa de rebentação e o factor
.
[s]
[m]
1.1
1.888
1.5
3.510
2.0
6.240
2.5
9.750
[cm]
12
14
16
12
14
16
18
12
14
16
18
12
14
16
18
[cm]
18.021
19.552
23.208
19.946
22.002
24.145
27.408
23.577
29.537
30.242
31.414
27.330
27.594
31.339
32.335
[cm]
23.350
35.020
35.020
23.350
25.960
28.680
32.200
23.350
29.580
29.580
32.200
23.350
25.960
26.840
29.580
[-]
0.772
0.558
0.663
0.854
0.848
0.842
0.851
1.010
0.999
1.022
0.976
1.170
1.063
1.168
1.093
[-]
0.124
0.186
0.186
0.067
0.074
0.082
0.092
0.037
0.047
0.047
0.052
0.024
0.027
0.028
0.030
55
5.3.3.
Limite da altura de onda relativa em relação ao declive do
fundo
Vários estudos têm sido feitos com o intuito de desenvolver relações que consigam
prever a altura de onda no ponto de rebentação,
.
Por exemplo, Weggel (1972) apresentou uma reavaliação de alguns estudos de
rebentação, de maneira a estabelecer indicações para a rebentação de ondas monocromáticas
em declives suaves. Os seus estudos implicaram uma série de dados teóricos e experimentais,
tendo por isso uma gama de resultados que, não sendo todos exactamente iguais, permitiram
ter uma visão geral do fenómeno e dos parâmetros que queria achar.
Mais tarde, foi feita uma revisão dos resultados (Corps of Engineers, 2003), tendo como
base os estudos de Weggel. Este último tinha derivado a Equação 5.2:
(5.2)
em que os parâmetros
e
são funções determinadas empiricamente partir do declive do
fundo, sendo dados por:
(5.3)
(5.4)
O factor
está contido nos dois lados da Equação 5.2, sendo por isso necessário uma
iteração para resolver a equação. Este procedimento está exemplificado na referência
bibliográfica anteriormente mencionada (Corps of Engineers, 2003). A Figura 40 mostra como o
índice de rebentação
é limitado inferiormente pelo valor teórico de 0.78 (Fredsøe e
Deigaard, 1992), à medida que o declive do fundo se aproxima do valor zero. Do lado superior
é limitado por duas vezes o valor teórico (soma das componentes incidente e perfeitamente
reflectida da onda), ou seja, 1.56, conforme o declive do fundo aumenta (Corps of Engineers,
2003).
56
Altura relativa de rebentação vs Hb/g.T2
1.6
Hb/hb (-)
1.4
T1.1
1.2
T1.5
1.0
T2.0
T2.5
0.8
0.6
0.000
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
Hb/(g.T2) (-)
Figura 40 – Altura de rebentação relativa em função de
(Adaptado de Corps of Engineers, 2003).
À semelhança dos resultados obtidos na Secção 5.3.2, obtém-se uma tendência, neste
caso específico, uma linha, parecida à do declive do canal (1:20, isto é,
=0.05). Porém,
observa-se outra vez uma certa discrepância nos ensaios com períodos superiores, se bem
que, neste exemplo particular, essas diferenças sejam mais consideráveis para períodos
superiores ou iguais a 2.0 s. Na Tabela 7 apresentam-se os dados usados.
Tabela 7 – Dados dos quinze ensaios utilizados para comparação entre a altura relativa de rebentação e o factor
.
[s]
1.1
1.5
2.0
2.5
[s]
12
14
16
12
14
16
18
12
14
16
18
12
14
16
18
[cm]
18.021
19.552
23.208
19.946
22.002
24.145
27.408
23.577
29.537
30.242
31.414
27.330
27.594
31.339
32.335
[cm]
23.350
35.020
35.020
23.350
25.960
28.680
32.200
23.350
29.580
29.580
32.200
23.350
25.960
26.840
29.580
[-]
0.772
0.558
0.663
0.854
0.848
0.842
0.851
1.010
0.999
1.022
0.976
1.170
1.063
1.168
1.093
[-]
0.015
0.016
0.019
0.009
0.010
0.011
0.012
0.006
0.007
0.008
0.008
0.004
0.004
0.005
0.005
57
5.3.4.
Transformação das ondas na parte interior da zona de
rebentação
Horikawa e Kuo (1966) fizeram um estudo com o objectivo de apresentar uma
abordagem para a análise das transformações existentes após a rebentação das ondas, tendo
como base dados teóricos e tratamentos experimentais.
Nos seus resultados existe um certo grau de dispersão, provocado principalmente pela
instabilidade das ondas dentro da zona de rebentação. Também se notou que a declividade da
onda tinha pouca influência neste aspecto. Por outro lado, o efeito do fundo na atenuação da
onda, dentro da zona de rebentação, traduz-se em: quanto menor for o declive, a altura de
onda normalizada,
, será menor para a respectiva profundidade normalizada,
. Este
facto é devido à maior distância de decaimento, medida a partir do ponto de rebentação,
existente num declive mais suave. A Figura 41 exemplifica as conclusões tiradas.
Figura 41 – Efeito do declive do fundo na atenuação da onda dentro da zona de rebentação (Adaptado de
Horikawa e Kuo, 1966).
Na Figura 42 apresenta-se uma comparação dos resultados obtidos neste estudo e os
resultados análogos dos autores (Horikawa e Kuo, 1966), para o declive 1:20.
58
Altura de onda normalizada vs profundidade
normalizada
1.2
1.1
1.0
H/Hb (-)
0.9
0.8
T2.0H12
0.7
T2.0H14
0.6
T2.0H16
T2.0H18
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 0.6
h/hb (-)
0.7
0.8
0.9
1.0
Figura 42 – Correlação entre altura de onda normalizada e profundidade normalizada, para um declive de 1:20
(Adaptado de Horikawa e Kuo, 1966).
É de notar que os resultados de Horikawa foram obtidos para um período de onda
incidente de =2.2 s, enquanto que nos presentes ensaios o período era de 2.0 s. Esta análise
comparativa tem de ter em conta esse facto. Sendo um gráfico que se “lê” da direita para a
esquerda, partindo do ponto com ordenada e abcissa unitárias, ou seja, onde a altura de onda
e profundidade locais possuem os mesmos valores dos correspondentes no ponto de
rebentação, verifica-se que em todos os casos, as respectivas curvas têm uma evolução
semelhante. Ou seja, possuem numa primeira fase uma concavidade virada para baixo, que
depois de ultrapassada num ponto de inflexão, passa a ser caracterizada por uma concavidade
virada para cima.
Pode dizer-se então que, as alturas de onda e profundidades, normalizadas em relação
ao ponto de rebentação, possuem uma boa correspondência com os dados comparados.
De seguida, a Figura 43 apresenta outra análise feita pelos mesmos autores.
59
Rácio Altura relativa vs profundidade
normalizada
1.5
T2.0H12
H/h (-)
T2.0H14
T2.0H16
T2.0H18
1.0
0.5
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
h/hb (-)
Figura 43 – Correlação entre altura de onda relativa e profundidade normalizada, para um declive de 1:20
(Adaptado de Horikawa e Kuo, 1966).
Na Figura 43 os valores da altura relativa,
, são ligeiramente inferiores e apresentam
uma tendência de decrescimento no sentido de menores
, sendo mais acentuada que a de
Horikawa. Isto porque as alturas de onda descem num rácio superior à das respectivas
profundidades.
Não se verifica, como acontece em Horikawa, o aumento dos valores de
valores de
para baixos
. Tal circunstância é devida à mudança de declive existente no canal, o que
impede a comparação com os dados de Horikawa.
60
5.4.
Análise Estatística
Com a série temporal de elevação da superfície livre de cada registo, como já foi dito
anteriormente, calculou-se a média, o desvio padrão, a assimetria e a curtose. Será
apresentado nesta secção a evolução destes parâmetros para o ensaio com onda incidente de
altura de 18 cm e período de 1.5 s.
5.4.1.
A média,
Média
̅ , é o valor médio da elevação da superfície livre. Na Figura 44 é possível
observar a evolução deste parâmetro ao longo do canal.
Variação da Média (Onda incidente com T=1.5 s e H=18 cm)
2.0
Média (cm)
0.0
-2.0
-4.0
-6.0
-8.0
-10.0
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
x (cm)
Figura 44 – Média da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5
s.
Verifica-se que os valores médios da elevação da superfície livre têm numa fase inicial
um carácter mais constante. A partir da posição x=-800 cm começam a apresentar mais
variabilidade, sendo gradualmente maior até chegar perto da zona de rebentação, x=-470 cm,
posição a partir da qual os valores começam a descer, sendo que a tendência de descida não
se verifica na posição x=0 cm, ou seja, na mudança de declive do fundo, e na posição x=400
cm, já perto do final.
61
5.4.2.
Desvio padrão
O desvio padrão,
, é a medida mais comum da dispersão estatística, tratando-se da
raiz quadrada da variância. Na Figura 45 está exposta a sua evolução.
Variação do Desvio Padrão (Onda incidente com T=1.5 s e H=18 cm)
4.5
Desvio Padrão (cm)
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
x (cm)
Figura 45 – Desvio padrão da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período
de 1.5 s.
Na Figura 45 observa-se que os valores do desvio padrão mantêm-se mais ou menos
constantes numa fase inicial. Aproximadamente a partir da posição x=-600 cm começam a
aumentar, ainda que de forma ligeira. Perto da posição de rebentação, x=-470 cm, atingem os
valores máximos e a partir daí existe uma queda clara dos valores, atingindo um patamar com
menor variabilidade à volta da posição x=100 cm.
62
5.4.3.
Assimetria
A assimetria, , é a medida de assimetria da elevação da superfície livre em relação ao
eixo horizontal, neste caso, o nível da água em repouso. Este parâmetro está exposto na
Figura 46.
Variação da Assimetria (Onda incidente com T=1.5 s e H=18 cm)
1.8
1.6
1.4
Assimetria (-)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura 46 - Assimetria da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de
1.5 s.
Analisando a Figura 46, a assimetria apresenta uma tendência para crescer desde o
início até chegar perto da zona onde começa a rebentação. Depois de baixar durante um certo
período, apresenta uma grande variabilidade na zona entre x=-200 cm e x=0 cm, onde ainda
ocorre rebentação. A partir deste último ponto, existe um certo pendor crescente para depois
na parte final voltar aos valores encontrados nas posições iniciais.
63
5.4.4.
Curtose
Em Estatística descritiva, a curtose,
, é uma medida de dispersão. Neste caso,
caracteriza o pico ou "achatamento" da curva de distribuição da superfície livre.
Para a distribuição normal, a curtose tem o valor de três. Se o valor da curtose for inferior
a três, a distribuição está mais achatada e, se for superior a três, a distribuição é menos
achatada do que a normal e existe uma gama de valores que ocorre com maior frequência
(Sancho, 2002). Na Figura 47 apresenta-se a evolução da curtose ao longo do canal.
Variação da Curtose (Onda incidente com T=1.5 s e H=18 cm)
2.5
2.0
Curtose (-)
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura 47 – Curtose da elevação da superfície livre, para uma onda incidente com altura de 18 cm e período de 1.5
s.
A curtose apresenta um comportamento semelhante ao da assimetria. Aumenta até ao
momento da rebentação, para depois baixar e de seguida entrar numa fase com variação
enorme. Ao ter valores de curtose abaixo de três é um indicativo de que não existem muitos
valores a ocorrer com mais frequência.
64
5.5.
Análise Espectral
5.5.1.
Considerações gerais
Nesta secção será exposto a variação da forma do espectro ao longo do canal, tendo
sido escolhidos 7 pontos, considerados os mais relevantes para o efeito, para analisar as
diferenças, ou não, entre os dois tipos de análises feitas.
Convém referir um aspecto importante que ocorre na análise espectral dos valores de
elevação da superfície livre,
, uma função contínua, para um domínio discreto, o domínio
da frequência. A amostragem dos valores contínuos do domínio do tempo com um intervalo de
tempo
limita o valor máximo das frequências resolvidas pela análise espectral, limite este
dado pelo teorema de Nyquist. A consequência disto é um fenómeno conhecido como
“alisamento”, que consiste em reflectir a energia das frequências altas em torno da frequência
de Nyquist, também conhecida por frequência de corte, cujo valor é dado pela Equação 5.5:
(5.5)
em que
é o intervalo de amostragem.
A Figura 48 mostra um exemplo esquemático simples da consequência de escolher um
intervalo de amostragem desadequado em relação à frequência presente na série temporal.
Neste exemplo, o
não respeitou a Equação 5.5 e o resultado é a curva a azul.
Figura 48 – Representação de duas ondas harmónicas com frequências
e
, dado um
=1/(
+
).
Convém referir alguns parâmetros significativos para o estudo feito nesta dissertação,
expostos desde a Equação 5.6 até à Equação 5.9:
(5.6)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
65
em que
é o comprimento da série discreta, ou seja, o número de pontos que haviam para
calcular o espectro.
Tendo uma frequência de amostragem,
, igual a 100 Hz, obteve-se um
de 0.01 s.
Para cada ensaio, houve cerca de 150 s de tempo para aquisição de dados a serem utilizados
nos cálculos, sendo assim o valor de
frequências,
é dado por
=
=15000. Após isto, o intervalo entre
, deu então um valor de 0.0067 Hz.
O processo de aquisição da transformada de Fourier, isto é, a transformação do sinal do
domínio do tempo para o domínio da frequência, foi feita de forma relativamente rápida. Tendo
como 1º procedimento a digitalização do sinal, a obtenção da transformada de Fourier
discreta, foi feita por software de processamento de sinais como Matlab™ (Mori, 2009) e
LabView™ (Capitão, 2002), que têm este tipo de sub-rotinas incorporadas.
A onda Wavelet é uma função capaz de decompor e descrever outras funções no
domínio da frequência, de forma a podermos analisar estas funções em diferentes escalas de
frequência e de tempo. A decomposição de uma função com o uso de wavelets é conhecida
como Transformada de Wavelet e tem duas variantes: contínua e discreta. Graças à
capacidade de decompor as funções no domínio da frequência e no domínio do tempo, as
funções wavelet são ferramentas poderosas para a análise de sinais e compressão de dados
(Torrence e Compo, 1998).
Esta característica de haver energia concentrada numa região finita é o que diferencia a
análise usando wavelets da análise de Fourier, já que a última usa as funções de seno e coseno que são periódicas. Na análise de Fourier podemos extrair apenas informações sobre o
domínio da frequência, enquanto na análise com Wavelets podemos extrair também
informações da função no domínio do tempo.
No entanto as wavelets não são tão
bem localizadas no domínio da frequência
como as funções da base de Fourier. As
ondas wavelet dispõem uma forma de
balancear a incerteza entre o domínio do
tempo e o domínio da frequência. Um dos
exemplos de funções de base da análise por
wavelets é a função wavelet de Morlet, que
foi
a
utilizada
nomeadamente
na
nesta
dissertação,
função
criada
em
Figura 49 – Exemplo de uma wavelet de Morlet.
ambiente Matlab™ (Torrence e Compo,
1998). Na Figura 49 apresenta-se um exemplar duma wavelet de Morlet.
66
5.5.2.
Análise comparativa
Foi escolhida o ensaio da maior onda, com altura de 18 cm e período de 2.5 s. As
posições escolhidas para fazer a análise foram as seguintes: x=-1000, -500, -400, -150, -100, 0
e 400 cm. Desde a Figura 50 à Figura 63 estão as análises com Wavelets e de Fourier,
partindo desde o ponto x=-1000 cm até ao ponto x=400 cm, apresentando-se desta forma a
evolução do espectro ao longo do canal.
Convém referir um facto importante: para garantir que as transformadas wavelet em
cada escala são directamente comparáveis entre si e para outras transformadas de séries
temporais, a função de onda em cada escala é normalizado para ter energia unitária. Para
tornar mais fácil a comparação espectros wavelet diferentes, é desejável encontrar uma
normalização comum, sendo que, para séries temporais de ruído branco (white noise), isto é,
um tipo de ruído produzido pela combinação simultânea de todas as frequências, o valor
esperado da Transformada Wavelet é a variância, ou seja, =
(Torrence e Compo, 1998).
67
Figura 50 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-1000
cm.
Figura 51 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-1000
cm.
68
Figura 52 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-500 cm.
Figura 53 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-500
cm.
69
Figura 54 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-400 cm.
Figura 55 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-400
cm.
70
Figura 56 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-150 cm.
Figura 57 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-150
cm.
71
Figura 58 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-100 cm.
Figura 59 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=-100
cm.
72
Figura 60 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=0 cm.
Figura 61 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=0 cm.
73
Figura 62 – Análise Wavelet do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=400 cm.
Figura 63 – Análise de Fourier do ensaio com onda incidente de período 2.5 s e altura de 18 cm. Posição x=400
cm.
Analisando todos os sete pontos testados, existe uma forte correlação entre as análises
de Fourier e Wavelet, com os picos de energia a terem lugar nas mesmas frequências.
Porém, existe uma nota importante a reter, neste caso, a ordem de grandeza entre as
duas análises, já que devido à normalização existente na análise Wavelet, os valores máximos
dos espectros deste tipo diferem na ordem de uma casa decimal a menos em relação aos da
análise de Fourier.
De resto, obteve-se valores dentro do esperado, com o espectro a ter valores mais altos
e energia concentrada em certas frequências na posições x=-1000 e -500 cm. Na posição x=400 cm, praticamente da zona de rebentação (ver Tabela 4), já há uma diminuição do valor
máximo do espectro, ou seja, da energia, e nas restantes posições mais adiante há uma
diminuição gradual do valor máximo do espectro, com a distribuição da energia por um maior
número de frequências mais altas.
74
6. Conclusões
Neste trabalho descreveram-se os trabalhos realizados no LNEC no período de Abril de
2010 a Março de 2011, consistindo principalmente na execução de ensaios de ondas regulares
no canal descrito no Capítulo 4.
A realização dos ensaios em modelo físico baseou-se na recolha de dados com o
objectivo final de fazer análises das características hidrodinâmicas das ondas com propagação
em fundos complexos e a obtenção de dados experimentais para a validação de modelos
numéricos.
No presente trabalho, efectuou-se análises com base nas medições da elevação da
superfície livre da água para quinze tipos de ondas (diferentes alturas e períodos), em vários
pontos distribuídos ao longo do canal, e chegou-se a algumas conclusões. No entanto, é
preciso ter em conta que a aplicabilidade e validade dos resultados obtidos e apresentados
neste trabalho é naturalmente limitada pelas condições experimentais de onde foram obtidas,
estando sujeitos a efeitos de reflexão que estão inerentes a instalações deste género. Há que
realçar também que a medição da elevação da superfície livre na zona pós-rebentação é
menos precisa, uma vez que esta é uma zona onde existe forte turbulência e emulsionamento
de ar. Por essa razão, existe uma certa dispersão dos valores experimentais nesta zona.
Na análise temporal, chegaram-se a resultados esperados, mesmo que com algumas
nuances, da evolução do período, da altura significativa e da altura relativa.
Na análise da rebentação, os resultados foram bastante aceitáveis, quando comparados
com os estudos previamente feitos. No entanto, notou-se uma maior discrepância para os
ensaios com onda de períodos superiores, sendo isto um aspecto importante a reter.
Em termos de análise estatística, os parâmetros tiveram resultados semelhantes nos
ensaios das diversas ondas, antes e depois da rebentação. Convém dizer também que as
variações nos valores de assimetria e curtose são um indicador da presença de efeitos não
lineares (Sancho, 2002).
Na análise espectral, tendo à partida uma noção de que, a análise entre os dois tipos de
espectros teria de ser vista de forma um tanto qualitativa, por causa da normalização, a
evolução do espectro ao longo do canal foi a esperada e tendo na quase totalidade dos
ensaios, exceptuando alguns casos na posição x= 400 cm, correspondências significativas.
Como forma de desafio a futuras iterações neste domínio, a análise de ondas incidentes
irregulares seria sem dúvida uma tentativa interessante a seguir, sobretudo por causa da
análise espectral e do local de rebentação. Dessa maneira, será possível chegar a mais
conclusões em termos do efeito provocado pela interacção entre ondas, como por exemplo a
transferência de energia para outras frequências no espectro e o local de rebentação da onda.
75
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78
Anexos
Anexo A – Análise Temporal
Anexo A1 – Altura Significativa (Período de onda incidente 1.1, 1.5 e
2.5 s)
Variação da Altura Significativa (Período de onda incidente T=1.1 s)
25.0
20.0
Hs (cm)
H12
15.0
H14
10.0
H16
5.0
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
x (cm)
Figura A1. 1 – Variação da altura significativa ao longo do canal, para os ensaios com período de onda incidente
igual a 1.1 s.
Variação da Altura Significativa (Período de onda incidente T=1.5 s)
30.0
Hs (cm)
25.0
20.0
H12
15.0
H14
10.0
H16
5.0
H18
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura A1. 2 – Variação da altura significativa ao longo do canal, para os ensaios com período de onda incidente
igual a 1.5 s.
Variação da Altura Significativa (Período de onda incidente T=2.5 s)
35.0
Hs (cm)
30.0
25.0
H12
20.0
H14
15.0
H16
10.0
H18
5.0
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura A1. 3 – Variação da altura significativa ao longo do canal, para os ensaios com período de onda incidente
igual a 2.5 s.
i
Anexo A2 – Período Médio
Variação do Período médio (Altura de onda incidente H=12 cm)
3.0
2.5
T1.1
Tm (s)
2.0
T1.5
1.5
T2.0
1.0
T2.5
0.5
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
x (cm)
Figura A2. 1 – Evolução do período médio ao longo do canal, para os ensaios com altura de onda incidente igual a
12 cm.
Variação do Período médio (Altura de onda incidente H=14 cm)
3.0
2.5
T1.1
Tm (s)
2.0
T1.5
1.5
T2.0
1.0
T2.5
0.5
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura A2. 2 – Evolução do período médio ao longo do canal, para os ensaios com altura de onda incidente igual a
14 cm.
Variação do Período médio (Altura de onda incidente H=18 cm)
3.0
Tm (s)
2.5
2.0
T1.5
1.5
T2.0
1.0
T2.5
0.5
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura A2. 3 – Evolução do período médio ao longo do canal, para os ensaios com altura de onda incidente igual a
18 cm.
ii
Anexo A3 – Altura Significativa (Altura de onda incidente 12, 16 e 18
cm)
Variação da Altura Significativa (Altura de onda incidente H=12 cm)
30.0
Hs (cm)
25.0
20.0
T1.1
15.0
T1.5
T2.0
10.0
T2.5
5.0
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura A3. 1 – Variação da altura de onda significativa ao longo do canal, para ondas incidentes com H=12 cm e
com períodos diferentes.
Variação da Altura Significativa (Altura de onda incidente H=16 cm)
35.0
Hs (cm)
30.0
25.0
T1.1
20.0
T1.5
T2.0
15.0
T2.5
10.0
5.0
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura A3. 2 – Variação da altura de onda significativa ao longo do canal, para ondas incidentes com H=16 cm e
com períodos diferentes.
Variação da Altura Significativa (Altura de onda incidente H=18 cm)
35.0
30.0
Hs (cm)
25.0
T1.5
20.0
T2.0
15.0
T2.5
10.0
5.0
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura A3. 3 – Variação da altura de onda significativa ao longo do canal, para ondas incidentes com H=18 cm e
com períodos diferentes.
iii
Anexo B – Análise da rebentação
Anexo B1 – Altura relativa ao longo do canal (Altura de onda incidente
14, 16 e 18 cm)
Variação da Altura relativa (Altura de onda incidente H=14 cm)
1.4
1.2
Hs/h (-)
1.0
T11H14
0.8
T15H14
0.6
T20H14
0.4
T25H14
0.2
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura B1. 1 – Evolução da altura de onda relativa ao longo do canal, para os 4 casos de ondas incidentes com
altura H=14 cm.
Variação da Altura relativa (Altura de onda incidente H=16 cm)
1.4
Hs/h (-)
1.2
1.0
T11H16
0.8
T15H16
0.6
T20H16
0.4
T25H16
0.2
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura B1. 2 – Evolução da altura de onda relativa ao longo do canal, para os 4 casos de ondas incidentes com
altura H=16 cm.
Variação da Altura relativa (Altura de onda incidente H=18 cm)
1.2
Hs/h (-)
1.0
0.8
T15H18
0.6
T20H18
0.4
T25H18
0.2
0.0
-1000
-800
-600
-400
-200
x (cm)
0
200
400
600
Figura B1. 3 – Evolução da altura de onda relativa ao longo do canal, para os 3 casos de ondas incidentes com
altura H=18 cm.
iv
Anexo B2 – Altura relativa (Período de onda incidente 1.1 s)
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
0.9
0.8
H/h (-)
0.7
Equação 5.1
0.6
T11H12
0.5
0.4
0.3
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B2. 1 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 1.1 s e altura de onda
12 cm.
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
0.9
0.8
H/h (-)
0.7
Equação 5.1
0.6
T11H14
0.5
0.4
0.3
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B2. 2 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 1.1 s e altura de onda
14 cm.
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
0.9
H/h (-)
0.8
0.7
Equação 5.1
0.6
T11H16
0.5
0.4
0.3
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B2. 3 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 1.1 s e altura de onda
16 cm.
v
Anexo B3 – Altura relativa (Período de onda incidente 1.5 s)
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.0
0.9
H/h (-)
0.8
Equação 5.1
0.7
T15H12
0.6
0.5
0.4
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B3. 1 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 1.5 s e altura de onda
12 cm.
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.0
H/h (-)
0.9
0.8
Equação 5.1
0.7
T15H14
0.6
0.5
0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
Δx/hb (-)
Figura B3. 2 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 1.5 s e altura de onda
14 cm.
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.0
0.9
H/h (-)
0.8
Equação 5.1
0.7
T15H18
0.6
0.5
0.4
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B3. 3 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 1.5 s e altura de onda
18 cm.
vi
Anexo B4 – Altura relativa (Período de onda incidente 2.0 s)
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.1
1.0
H/h (-)
0.9
Equação 5.1
0.8
T20H12
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
Δx/hb (-)
Figura B4. 1 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 2.0 s e altura de onda
12 cm.
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.1
H/h (-)
1.0
0.9
Equação 5.1
0.8
T20H14
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B4. 2 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 2.0 s e altura de onda
14 cm.
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.1
1.0
H/h (-)
0.9
Equação 5.1
0.8
T20H16
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B4. 3 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 2.0 s e altura de onda
16 cm.
vii
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.1
1.0
H/h (-)
0.9
Equação 5.1
0.8
T20H18
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B4. 4 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 2.0 s e altura de onda
18 cm.
viii
Anexo B5 – Altura relativa (Período de onda incidente 2.5 s)
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.2
1.1
H/h (-)
1.0
0.9
Equação 5.1
0.8
T25H12
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
Δx/hb (-)
Figura B5. 1 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 2.5 s e altura de onda
12 cm.
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.2
1.1
H/h (-)
1.0
0.9
Equação 5.1
0.8
T25H14
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B5. 2 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 2.5 s e altura de onda
14 cm.
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.2
1.1
H/h (-)
1.0
0.9
Equação 5.1
0.8
T25H16
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
Δx/hb (-)
Figura B5. 3 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 2.5 s e altura de onda
16 cm.
ix
Variação da Altura de onda relativa depois da rebentação
1.2
1.1
H/h (-)
1.0
0.9
Equação 5.1
0.8
T25H18
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
Δx/hb (-)
10
12
14
Figura B5. 4 – Comparação entre os dados da Equação 5.1 e da onda incidente com período 2.5 s e altura de onda
18 cm.
x
Anexo C – Análise Espectral
Anexo C1 – Onda incidente com Período de 1.1 s e Altura de onda de
12 cm
Figura C1. 1 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.1 s e altura de 12 cm. Posição x=-1000
cm.
Figura C1. 2 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.1 s e altura de 12 cm. Posição x=-500
cm.
Figura C1. 3 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.1 s e altura de 12 cm. Posição x=-400
cm.
xi
Figura C1. 4 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.1 s e altura de 12 cm. Posição x=-150
cm.
Figura C1. 5 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.1 s e altura de 12 cm. Posição x=-100
cm.
Figura C1. 6 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.1 s e altura de 12 cm. Posição x=0 cm.
Figura C1. 7 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.1 s e altura de 12 cm. Posição x=400
cm.
xii
Anexo C2 – Onda incidente com Período de 1.5 s e Altura de onda de
14 cm
Figura C2. 1 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.5 s e altura de 14 cm. Posição x=-1000
cm.
Figura C2. 2 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.5 s e altura de 14 cm. Posição x=-500
cm.
Figura C2. 3 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.5 s e altura de 14 cm. Posição x=-400
cm.
Figura C2. 4 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.5 s e altura de 14 cm. Posição x=-150
cm.
xiii
Figura C2. 5 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.5 s e altura de 14 cm. Posição x=-100
cm.
Figura C2. 6 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.5 s e altura de 14 cm. Posição x=0 cm.
Figura C2. 7 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 1.5 s e altura de 14 cm. Posição x=400
cm.
xiv
Anexo C3 – Onda incidente com Período de 2.0 s e Altura de onda de
16 cm
Figura C3. 1 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 2.0 s e altura de 16 cm. Posição x=-1000
cm.
Figura C3. 2 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 2.0 s e altura de 16 cm. Posição x=-500
cm.
Figura C3. 3 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 2.0 s e altura de 16 cm. Posição x=-400
cm.
Figura C3. 4 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 2.0 s e altura de 16 cm. Posição x=-150
cm.
xv
Figura C3. 5 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 2.0 s e altura de 16 cm. Posição x=-100
cm.
Figura C3. 6 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 2.0 s e altura de 16 cm. Posição x=0 cm.
Figura C3. 7 – Análises Wavelet e Fourier com onda incidente de período 2.0 s e altura de 16 cm. Posição x=400
cm.
xvi