RESOLUÇÃO
Matemática APLICADA
FGV Administração - 08.12.13
VESTIBULAR FGV 2014 – 08/12/2013
RESOLUÇÃO DAS 10 QUESTÕES DE MATEMÁTICA
DA PROVA DA TARDE - MÓDULO DISCURSIVO
QUESTÃO 1
Considere, no espaço cartesiano bidimensional, os movimentos unitários N, S, L e O definidos a seguir,
onde (a, b) ∈ R2 é um ponto qualquer:
N(a, b) = (a, b + 1)
S(a, b) = (a, b – 1)
L(a, b) = (a + 1, b)
O(a, b) = (a – 1, b)
Considere ainda que a notação XY(a, b) significa X(Y(a, b)), isto é, representa a combinação em sequência
dos movimentos unitários X e Y, onde o movimento Y é executado primeiro e, a seguir, o movimento X.
a) Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é:
NS(a, b) = SN(a, b) = (a, b).
b) Partindo do ponto (1, 4), quantos caminhos mínimos (isto é, com a menor quantidade possível de movimentos) diferentes podem ser percorridos, utilizando apenas os movimentos unitários definidos, para se
chegar ao ponto (–1, 7)?
Resolução:
a) NS(a, b) = N(S(a, b)) = N(a, b – 1) = (a, b – 1 + 1) = (a, b)
SN(a, b) = S(N(a, b)) = S(a, b + 1) = (a, b + 1 – 1) = (a, b)
b)
Respostas:
a) demonstração acima.
b) 10 caminhos mínimos.
Para ir de A a B por um caminho mínimo deve-se aplicar o movimento unitário
N três vezes e O duas vezes. O número de modos de compor um caminho
mínimo é o número de permutações das letras NNNOO, portanto:
5!
5$4
P53, 2 

 10
2
3!2!
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QUESTÃO 2
Em uma competição de Matemática, a prova é do tipo múltipla-escolha com 25 questões. A pontuação de
cada competidor é feita de tal maneira que cada questão:
• respondida corretamente vale 6 pontos;
• não respondida vale 1,5 ponto;
• respondida erradamente vale 0 (zero) ponto.
a) Épossívelumcompetidorfazerexatamente100pontos?Searespostaforafirmativa,mostreumamaneira;senãofor,justifiqueaimpossibilidade.
b) Márciafezmaisde100pontos.Quantasquestões,nomínimo,elarespondeucorretamente?
Resolução:
a) Sendo x o número de questões respondidas corretamente, y o número de questões não respondidas e z
o número de questões respondidas erradamente, com x, y e z números naturais, temos:
*6x + 1, 5y = 100 & *12x + 3y = 200 & *3 (4x + y) = 200
x + y + z = 25
x + y + z = 25
x + y + z = 25
Na 2a equação, temos (4x + y) natural e, portanto, 3(4x + y) é um múltiplo de 3. Como 200 não é um múltiplo de 3, não é possível um competidor fazer exatamente 100 pontos.
b) *
x + y + z = 25
6x + 1, 5y > 100
6x + 1,5(25 – x – z) > 100
4,5x – 1,5z > 62,5
9x – 3z > 125
9x > 125 + 3z
125 z
x>
+
9
3
125
, portanto é 14. Nesse caso, são 14 acertos, 11 não
9
respondidas e nenhuma errada, totalizando 6 · 14 + 1,5 · 11 = 100,5 pontos.
Como z ≥ 0, xmín é o menor inteiro que supera
Respostas:
a) demonstração acima.
b) 14questões.
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QUESTÃO 3
A figura mostra um semicírculo cujo diâmetro AB, de medida R, é uma corda de outro semicírculo de diâmetro 2R e centro O.
a) Calcule o perímetro da parte sombreada.
b) Calcule a área da parte sombreada.
Resolução:
a) (per) somb =
b) S somb =
1
$ 2πR + 1 $ 2π R
6
2
2
& (per) somb = 5πR
6
2
2
2
1
$ π f R p − >1 πR2 − R 3 H & Ssomb = R f
2
2
6
4
4
3−
π
p
6
Respostas:
a)
5πR
6
b)
R2
c
4
3−
π
m
6
QUESTÃO 4
Um sorvete de casquinha consiste de uma esfera (sorvete congelado) de raio 3 cm e um cone circular
reto (casquinha), também com 3 cm de raio. Se o sorvete derreter, ele encherá a casquinha completa e
exatamente. Suponha que o sorvete derretido ocupe 80% do volume que ele ocupa quando está congelado.
Calcule a altura da casquinha.
Resolução:
0,8 · Vesf = Vcone
& 0, 8 $ 4 π $ 33 = 1 π $ 32 $ h & h = 0, 8 $ 4 $ 3 = 9, 6
Resposta: 9,6 cm
3
3
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QUESTÃO 5
Seja f uma função que, a cada número complexo z, associa f(x) = iz, onde i é a unidade imaginária. Determine os complexos z de módulo igual a 4 e tais que f(z) = z , onde z é o conjugado de z.
Resolução:
z = x + yi, x e y reais
| z | = 4 & x2 + y2 = 16
f(z) = z & i(x + yi) = x – yi & –y + xi = x – yi & y = –x
Então: x2 + (–x)2 = 16 & x2 = 8 & x = ! 2
2
Logo, z = 2
2 i.
2 −2
2 i ou z = − 2
Resposta: Os complexos são 2
2 +2
2 −2
2i e −2
2 +2
2 i.
QUESTÃO 6
a) Lançam-se ao ar 3 dados equilibrados, ou seja, as probabilidades de ocorrer cada uma das seis faces são
iguais. Qual é a probabilidade de que apareça soma 9? Justifique a resposta.
b) Um dado é construído de tal modo que a probabilidade de observar cada face é proporcional ao número
que ela mostra. Se lançarmos o dado, qual é a probabilidade de obter um número primo?
Resolução:
a) Número de ternas possíveis: 6 × 6 × 6 = 216
A soma 9 ocorre nas 25 ternas abaixo:
1, 2, 6
2 ,1 ,6
3, 1, 5
4, 1, 4
5 ,1 ,3
6, 1, 2
1, 3, 5
2, 2, 5
3, 2, 4
4, 2, 3
5, 2, 2
6, 2, 1
1, 4, 4
2, 3, 4
3, 3, 3
4, 3, 2
5, 3, 1
1, 5, 3
2 ,4, 3
3, 4, 2
4, 4, 1
1, 6, 2
2, 5, 2
3, 5, 1
2, 6, 1
Portanto, P(Soma 9) =
25
216
b) P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 e P(1) = k, temos:
k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 1
& k 1
21
10
Logo, P(primo) = 2k + 3k + 5k = 10k =
21
Respostas:
25
a)
216
b)
10
21
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QUESTÃO 7
Observe a notícia abaixo e utilize as informações que julgar necessárias.
a) Suponha que a partir de 2010 os índices de perdas no varejo, no Brasil e nos EUA, possam ser expressos
por funções polinomiais do 1° grau, y = ax + b, em que x = 0 representa o ano 2010, x = 1 o ano 2011, e assim por diante, e y representa o índice de perdas expresso em porcentagem. Determine as duas funções.
b) Em que ano a diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos
EUA, será de 1%, aproximadamente? Dê como solução os dois anos que mais se aproximam da resposta.
Resolução:
a) Brasil: em 2010 temos x = 0 e y = 1,75.
em 2011 temos x = 1 e y = 1,76.
Daí,
* 1, 76 = a $ 1 + b
1, 75 = a $ 0 + b
⇒
*b  1, 75
a  0, 01
Logo, y = 0,01x + 1,75.
EUA: em 2010 temos x = 0 e y = 1,49
em 2011 temos x = 1 e y = 1,40.
Daí,
*1, 40 = a $ 1 + b
1, 49 = a $ 0 + b
⇒
*b  1, 49
a  – 0, 09
Logo, y = – 0,09x + 1,49.
Respostas: a) Brasil: y = 0,01x + 1,75
EUA: y = –0,09x + 1,49
b) 2017 e 2018.
b) A diferença é:
0,01x + 1,75 – (–0,09x + 1,49) = 1 ⇒
⇒ 0,10x + 0,26 = 1 ⇒ x = 7,4
Como 7 < 7,4 < 8, os anos que mais se aproximam da resposta são 2017 (x = 7) e 2018 (x = 8).
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QUESTÃO 8
Conta a lenda:
“Havia um rei que tinha costume de dar liberdade a um prisioneiro no dia do seu aniversário. Em certa ocasião levou três condenados a um quarto escuro, no qual havia três chapéus brancos e dois chapéus negros.
Contou aos prisioneiros quantos chapéus havia e a cor de cada um. Colocou um chapéu em cada prisioneiro,
depois os tirou do quarto e levou-os a um lugar onde cada um pudesse ver o chapéu dos outros dois, mas
não o seu.
Perguntou ao prisioneiro A a cor do seu chapéu e ele não soube responder.
O mesmo aconteceu com o prisioneiro B.
Finalmente, fez a mesma pergunta ao prisioneiro C, que era totalmente cego e havia escutado as respostas dos outros dois.
‘Não necessito enxergar para saber que meu chapéu é branco.’
Foi colocado em liberdade assim que todos observaram que havia acertado a resposta.”
a) Faça uma tabela em que apareçam todas as possibilidades das cores dos chapéus colocados nos prisioneiros.
b) Explique por que o condenado C somente podia estar com o chapéu branco.
Resolução:
a)
A
B
C
1
b
b
b
2
b
b
n
3
b
n
b
4
b
n
n
5
n
b
b
6
n
b
n
7
n
n
b
b = branco
n = negro
b) O prisioneiro A viu dois chapéus brancos ou um branco e um negro, pois não sabe a cor do dele.
O prisioneiro B vê o chapéu do cego; se fosse negro, ele saberia que o dele é branco, porque A teria visto
um chapéu negro e um branco. Como B não sabe responder, o chapéu do cego não é negro, é branco.
Respostas: a) tabela acima.
b) explicação acima.
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QUESTÃO 9
a) Para medir a largura x de um rio sem necessidade de cruzá-lo, foram feitas várias medições como mostra
a figura abaixo. Calcule a largura x do rio.
b) Demonstre que a distância do vértice B ao baricentro M de um triângulo é o dobro da distância do ponto E
ao baricentro M.
Resolução:
t = 90°, temos que:
a) Considerando BED
∆ACB ∼ ∆EDB
AC AB
& x = 24 & x = 19, 2
=
ED EB
2
2, 5
b) ∆ADE ∼ ∆ABC
AD DE
& AD = DE
=
2AD
BC
AB BC
∆DEM ∼ ∆CBM
DE
EM
& 1 = EM
=
BM
BM
CB
2
& DE = 1
BC
2
& BM = 2EM
Respostas: a) 19,2 m
b) demonstração acima
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QUESTÃO 10
a) Um sábio da Antiguidade propôs o seguinte problema aos seus discípulos:
“Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7,5 metros de raio e se movimenta saltando em linha reta
até o centro. Em cada salto, avança a metade do que avançou no salto anterior. No primeiro salto avança
4 metros. Em quantos saltos chega ao centro?
b) O mesmo sábio faz a seguinte afirmação em relação à situação do item A: “Se o primeiro salto da rã é de
3 metros, ela não chega ao centro.” Justifique a afirmação.
Resolução:
a) Como 4 + 2 + 1 + 0,5 = 7,5, bastam 4 saltos.
3
3
1
b) 3,
,
, ... é PG com a1 = 3 e q = . Temos:
2
4
2
3+
a
3
3
+
+ ... = 1 =
2
4
1− q
3
=6
1
2
Como 6 < 7,5, ela não chega ao centro.
1−
Respostas: a) 4 saltos.
b) Justificativa acima.