Universidade Federal de Juiz de Fora
Diego Filippe Costa
Utilização da Dinâmica de
Sistemas no ensino da
Cinemática
Juiz de Fora
2008
Diego Filippe Costa
Utilização da Dinâmica de
Sistemas no ensino da
Cinemática
Monografia apresentada junto ao
curso de Engenharia Elétrica da
Universidade Federal de Juiz de Fora,
na área de Engenharia de Sistemas,
como requisito parcial para á
obtenção do título de bacharel.
Orientador: Prof. Dr. Paulo Roberto de Castro Villela
Co-Orientadora: Prof. Mestre Débora Costa Soares dos Reis
Juiz de Fora
2008
Diego Filippe Costa
Utilização da Dinâmica de Sistemas
no ensino da Cinemática
Monografia apresentada junto ao
curso de Engenharia Elétrica da
Universidade Federal de Juiz de Fora,
na área de Engenharia de Sistemas,
como requisito inicial para á
obtenção do título de bacharel.
Orientador: Prof. Dr. Paulo Roberto de Castro Villela
Co-Orientadora: Prof. Mestre Débora Costa Soares dos Reis
COMISSÃO EXAMINADORA
_____________________________________
Prof. Dr. Paulo Roberto de Castro Villela
_____________________________________
Prof. Mestre Débora Costa Soares dos Reis
_____________________________________
Juiz de Fora, 02 de dezembro de 2008
Resumo
Este trabalho é desenvolvido com o intuito da elaboração de uma nova
metodologia para se ensinar física, mais especificamente cinemática. Este
novo estudo é desenvolvido segundo os conceitos de Dinâmica de Sistemas,
fazendo-se uma abordagem quantitativa destes conceitos. Paralelamente ao
desenvolvimento deste novo método de ensinar, é feito um estudo de como a
cinemática é aplicada hoje na maioria das escolas, segundo os métodos
tradicionais, com o intuito de se fazer ao final deste trabalho, uma comparação
entre os dois jeitos de ensinar. Todo trabalho elaborado, foi implementado em
ambiente computacional, por meio do uso do software de simulação Powersim,
escolhido por ser gratuito e completo funcionalmente.
Palavras Chaves: Dinâmica de Sistemas, Cinemática, Simulação
Computacional.
Abstract
This work is developed with the intention of the elaboration of a
new methodology to teach physics, more specifically kinematics. This
new study it is according to developed concepts of Systems Dynamics,
having become a quantitative boarding of these concepts. Parallel to the
development of this new method to teach, a study is made of as the
kinematics are applied today in the majority of the schools, according to
traditional methods, with the intention of if to make to the end of this work,
a comparison enters the two skills to teach. All elaborated work, was
implemented in computational environment, by means of the use of the
software of simulation Powersim, chosen for being gratuitous and
complete functionally.
Words Keys: Systems Dynamics, Kinematics, Computational
Simulation.
Sumário
Capítulo 1 – Introdução......................................................................................01
1.1 – Conceitos Iniciais............................................................................01
1.2 – Revisão Bibliográfica......................................................................02
1.3 – Divisão do Texto.............................................................................03
Capítulo 2 – Dinâmica de Sistemas..................................................................04
2.1 – Introdução......................................................................................04
2.2 – Modelos de Estoque e Fluxo..........................................................05
2.3 – Modelagem Computacional............................................................07
Capítulo 3 – Estudo dos Movimentos................................................................08
3.1 – Movimento Uniforme......................................................................08
3.2 – Movimento Uniformemente Variado...............................................15
3.3 – Movimento Vertical no Vácuo.........................................................25
3.4 – Velocidade e Aceleração Vetorial..................................................29
3.5 - Lançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo no Vácuo..............39
3.6 – Movimentos Circulares...................................................................52
Capítulo 4 – Conclusão......................................................................................64
Referências Bibliográficas.................................................................................66
Anexos...............................................................................................................67
A.1 – Manual do Powersim.....................................................................67
A.2 – Exemplos de exercícios resolvidos pelo método dinâmico............79
A.3 – Trabalhos desenvolvidos por alunos de graduação......................86
Capítulo 1 – Introdução
1.1 – Conceitos Iniciais
O conteúdo descrito neste trabalho nasceu de um projeto desenvolvido pelo
professor Paulo Roberto de Castro Villela1 e financiado pelo CNPq2. Este projeto
recebeu o nome de Ciência Viva, devido ao fato de seu grande objetivo ser criar
uma nova metodologia para se ensinar ciências, de uma maneira mais atrativa e
interessante para os alunos.
Este trabalho tem este mesmo objetivo. Onde aqui se estuda como a
Cinemática, uma parte fundamental da física, pode ser ensinada de uma outra
forma. De um jeito que foge aos padrões tradicionais, há anos ensinados nos
colégios.
Busca-se neste trabalho explicar a física de um modo novo, que seja
interessante aos alunos. De forma que estes possam aprender a gostar um pouco
desta necessária disciplina, facilitando em muito o seu aprendizado.
Aqui se tenta fugir ao máximo das equações, que tanto amedronta os alunos,
buscando explicar a física de uma maneira inteiramente visual, representando todas
as grandezas necessárias, por meio de símbolos, que serão posteriormente
apresentados. Está forma gráfica, permite aos alunos, além de entender mais
facilmente os conceitos físicos, visualizar como os fenômenos propostos acontecem.
Sendo está uma forma que prende a atenção do aluno, fazendo com que ele
aprenda de uma forma natural.
Está nova abordagem da cinemática, será feita a partir dos conceitos
desenvolvidos em uma disciplinada chamada Dinâmica de Sistemas, onde em linhas
gerais, está fornece ferramentas que permitem criar modelos que expliquem
qualquer tipo de situação, seja está um fenômeno físico ou um fato do dia a dia,
tornando muito mais fácil o seu entendimento. No início deste trabalho será um
estudo sobre Dinâmica de Sistemas, na busca de elucidar seus conceitos.
1
Prof. Dr. Paulo Roberto de Castro Villela da Universidade Federal de Juiz de Fora
E-mail: [email protected].
2
CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.
1
1.2 – Revisão Bibliográfica
Esta seção apresenta a revisão bibliográfica feita sobre o material utilizado
para o desenvolvimento deste trabalho.
Villela (2005) trata a respeito dos conceitos iniciais sobre Dinâmica de
Sistemas. Onde o autor inicialmente faz um estudo sobre o contexto em que a
Dinâmica de Sistemas surgiu, quais pessoas foram importantes no seu
desenvolvimento e onde ela se aplica, em linhas gerais e específicas.
Posteriormente é feito um estudo qualitativo e quantitativo de algumas situações.
Por este trabalho se tratar de um estudo quantitativo da cinemática, a parte
quantitativa de Villela (2005) foi de grande auxílio no desenvolvimento deste
trabalho, onde os muitos exemplos lá apresentados serviram como base para a
elaboração dos modelos que serão aqui tratados.
RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO (2003) aborda a cinemática segundo os
conceitos tradicionais, em uma linguagem voltada para alunos do ensino médio. A
forma com que os autores abordam o tema é bastante esclarecedora, onde os
exemplos que por eles são apresentados elucidam os conceitos propostos. Tomei
este livro como base para explicar os conceitos tradicionais da física apresentados
neste trabalho, tendo como intuito da apresentação de tais conceitos, a comparação
com a nova metodologia que está sendo desenvolvida.
ROCHA (2004) trata a respeito da analise matemática dos conceitos de
Dinâmica de Sistemas. Tal artigo mostra alguns sistemas e situações comuns, como
uma caderneta de poupança ou o ato de tomar um copo de água, vistos do ponto de
vista dinâmico. Sendo mostrado pelo autor diagramas causais e sistemas de
estoque e fluxo que explicam o funcionamento de tais sistemas. Neste trabalho o
autor faz um estudo de todo o conceito matemático envolvido em cada sistema
abordado, montando e desenvolvendo cada equação. Este artigo foi de grande
ajuda no desenvolvimento matemático deste trabalho final de curso, auxiliando
também no modo da estrutura do trabalho a ser desenvolvido.
Powersim AS e Powersim Corporation (1996) tratam de todos os recursos
disponíveis no software de simulação Powersim. Faz um estudo bem detalhado e
explicativo, das ferramentas básicas a avançadas do programa, fornecendo também
uma série de exemplos da utilização de tais ferramentas. Como o Powersim foi o
programa escolhido para o desenvolvimento computacional dos modelos aqui
propostos, antes do início do desenvolvimento deste trabalho, foi feito um estudo
2
abrangente do software, com o intuito de poder se aproveitar o máximo das
ferramentas nele disponíveis.
1.3 – Divisão do Trabalho
Este trabalho foi dividido em quatro capítulos. O Capítulo 1 – “Introdução” –
apresenta uma introdução do tema a ser abordado e uma abordagem bibliográfica
do material estudado para o desenvolvimento de tal trabalho.
O Capítulo 2 – “Dinâmica de Sistemas” – relata o contexto em que surgiu a
disciplina Dinâmica de Sistemas, quem participou de seu desenvolvimento e mostra
algumas aplicações. Mostra-se ainda uma aplicação específica desta disciplina e o
ferramental computacional que pode ser utilizado nas aplicações desenvolvidas
neste trabalho.
O Capítulo 3 – “Estudo dos Movimentos” – apresenta os principais tipos de
movimentos explicados pela cinemática, mostrando como estes são estudados pelos
conceitos da física clássica e o modo como podem ser trabalhos de uma forma
dinâmica.
O Capítulo 4 – “Conclusão” – relata as vantagens que podem ser obtidas no
estudo dinâmico da cinemática, fazendo-se uma comparação desta metodologia
com a tradicional.
Nos anexos será apresentado um manual do software Powersim, com o
intuito de auxiliar durante a simulação dos modelos propostos neste trabalho, e
vários exemplos resolvidos pelo autor deste trabalho e por alguns alunos da
graduação em engenharia elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora,
buscando fixar a metodologia proposta.
3
Capítulo 2 – Dinâmica de Sistemas
2.1 – Introdução
A disciplina Dinâmica de Sistemas (do termo em Inglês: System Dynamics) foi
proposta e desenvolvida na década de 50 pelo engenheiro eletricista Jay Forrester
na escola de administração Sloan School of Management do MIT (Massachusets
Institute ofTechnology). Forrester que trabalhou, durante a II Guerra no Laboratório
de Servomecanismo do MIT, para as forças armadas americanas, desenvolvendo
controles automáticos para armamentos militares, percebeu que poderia dar uma
grande contribuição às ciências administrativas, econômicas e sociais, usando os
mesmos conceitos da teoria de controle e servomecanismos, bastante desenvolvida
na engenharia elétrica.
Em 1961, Forrester publicou o livro "Industrial Dynamics" (Dinâmica Industrial)
que se tornou o marco conceitual da disciplina que hoje se conhece como Dinâmica
de Sistemas. Entretanto foi através do contato de Forrester com o ex-prefeito de
Boston, John F. Collins, que trabalhava na época (1968) como professor visitante no
MIT, que a disciplina começou a provar sua real utilidade nos famosos modelos de
estudos estratégicos urbanos e mundiais, editados nos dois best sellers: "Urban
Dynamics" (Dinâmica Urbana) e "World Dynamics" (Dinâmica Mundial).
Posteriormente, Peter Senge, engenheiro formado em Stanford e orientado de
Forrester, trabalhou na década de 70 na realização de seminários com executivos,
introduzindo a prática do pensamento sistêmico dinâmico no seio das grandes
organizações. Hoje, o trabalho de Senge está se consolidando como uma
metodologia de administração de empresas que utiliza basicamente o ferramental de
Dinâmica de Sistemas e é conhecida como ORGANIZAÇÕES QUE APRENDEM (Learning
Organizations) e PENSAMENTO SISTÊMICO (System Thinking). Senge lançou em 1990,
seu famoso best seller A Quinta Disciplina - Arte e Prática da Organização que
Aprende (The Fifth Discipline - The Art & Practice of The Learning Organization) e
The Fifth Discipline Field Book. A "quinta disciplina" referenciada na obra de Senge é
o
PENSAMENTO SISTÊMICO
que utiliza todo o ferramental metodológico desenvolvido
por Jay Forrester na década de 50 e estruturado no início da década de 60 no livro
“Industrial Dynamics”.
4
O sucesso que as aplicações da metodologia Dinâmica de Sistemas vem
alcançando no mundo todo é inquestionável. Desde os famosos modelos urbanos e
globais de Forrester e Collins na década de 60 e 70 aos "simuladores de vôos
gerenciais", que vem sendo usados nas grandes corporações ao redor do mundo,
que a disciplina Dinâmica de Sistemas vem provando seu potencial como ferramenta
auxiliar em várias áreas do conhecimento.
Dentre várias aplicações, Dinâmica de Sistemas se presta para a identificação
da seguinte característica básica de qualquer sistema:
Relações de causa e efeito: É comum numa situação-problema complexa,
ficar-se debatendo horas e horas, sem que se chegue a uma conclusão de quais são
as causas estruturais de um problema, mesmo quando se reúne especialistas das
diversas áreas de abrangência do problema. Todos têm razão e ninguém tem razão.
Dinâmica de Sistemas permite a construção de gráficos de relações causais onde se
procura delimitar e pesquisar quais as relações de causa e efeito que existem entre
os elementos de um sistema. Dinâmica de Sistemas permite a construção destes
gráficos causais em reuniões com a participação de especialistas e usuários de um
sistema, fazendo com que cada um compartilhe suas visões do sistema (modelos
mentais), estabelecendo uma linguagem que facilita o aprendizado mútuo entre os
constituintes do grupo.
2.2 – Modelos de Estoque e Fluxo
Como forma de representação quantitativa das relações de causa e efeito
utiliza-se os modelos de estoque e fluxo (VILLELA, 2005). Nesta metodologia de
representação sistêmica, com apenas cinco elementos básicos se pode construir
modelos (representações) de sistemas bastante complexos. Estes são mostrados na
Fig. 2.1.
5
Figura 2.1 – Elementos básicos de um modelo de estoque e fluxo.
VARIÁVEIS (círculos) - representam
PARÂMETROS
que são usados no sistema.
Eventualmente uma variável pode assumir um valor que não varia, ou seja, é uma
CONSTANTE (losangos).
Por exemplo, são exemplos de variáveis e constantes:
Variável (T ) = seno(T )
(2.1)
Cons tan te = 50
(2.2)
FLUXOS (setas de traço duplo com círculo e triângulo) - representam o
transporte de
RECURSOS
(água, dinheiro, prestígio pessoal, produto químico, etc) no
sistema. Os fluxos são
VAZÕES CONTROLADAS
por equações e por isto são
representados por um ícone parecido com "uma torneira sobre um cano". Os fluxos
são medidos em unidade de uma grandeza qualquer (metros, por exemplo) por
unidade de tempo (segundo, por exemplo). Tais equações são do tipo:
Fluxo = 10 m
(2.3)
s
ESTOQUES (retângulos) - Representam
algum
RECURSO
de
(água, dinheiro, prestígio pessoal, produto químico, etc). ESTOQUES
SÃO VARIÁVEIS ESPECIAIS CUJO VALOR
PASSADO.
ACUMULAÇÕES/DESACUMULAÇÕES
(ESTADO)
DEPENDE DO QUE ACONTECEU NO
A equação de transição de um estoque no tempo T para o tempo T+dt é
dada pela seguinte equação:
Estoque(T + dt ) = Estoque(T ) + Fluxo(dt ) * dt
(2.4)
Normalmente o intervalo de tempo dt é feito igual a uma unidade de tempo
(segundo, minuto, hora, dia, semana, mês, trimestre, semestre, ano, década, século,
milênio, etc.). Esta unidade de tempo é que comanda todo o processo de simulação
do modelo ao longo do tempo, isto é, o sistema é mostrado na tela do computador
de dt em dt unidades de tempo. Note também que na equação de transição do
6
estoque, o fluxo está multiplicado por dt, o que é dimensionalmente correto, pois a
unidade de fluxo é sempre "uma unidade qualquer" dividida por uma unidade de
tempo.
INFORMAÇÃO (setas de traço simples) - ligam os elementos do sistema e
explicitam relações entre os mesmos. É importante observar que as informações,
diferentemente dos fluxos, não retiram ou colocam recursos nos estoques. As
informações também podem ter um "traço duplo", significando que as mesmas só
estarão disponíveis num instante de tempo futuro e não imediatamente.
FONTE
EXTERNA
(nuvens) - representa alguma fonte de recurso que está fora
do escopo de interesse do modelo em estudo. Isto é, no exemplo acima, o fluxo
retira recursos da fonte externa e joga no estoque. Os detalhes da fonte externa não
são considerados no estudo do sistema representado pelo modelo.
2.3 – Modelagem computacional
Os modelos de estoque e fluxo podem ser modelados no ambiente
computacional por meio da utilização dos seguintes softwares de simulação:
Powersim (Disponível em: http://www.powersim.com/ . Acesso em: 15 nov. 2008).
ISee Systems – Stella (Disponível em: http://www.iseesystems.com/ . Acesso
em: 15 nov. 2008)
VenSim (Disponível em: http://www.vensim.com/ . Acesso em: 15 nov. 2008)
Forio: Web Business Simulations (Disponível em: http://www.forio.com/ . Acesso
em: 15 nov. 2008)
Dentre outros. Neste trabalho utiliza-se o Powersim, versão lite, por ser este um
software gratuito, de fácil manuseio e completo funcionalmente. O anexo A deste trabalho
apresenta um manual do Powersim, no intuito de auxiliar durante as simulações aqui
apresentadas.
7
Capítulo 3 – Estudo dos Movimentos
3.1 – Movimento Uniforme
Nesta seção faz-se uma abordagem dos conceitos iniciais de cinemática, por
meio do estudo do movimento uniforme. Inicialmente este movimento será explicado
de uma maneira tradicional, como vem sendo há séculos ensinada nas escolas.
Posteriormente desenvolve-se uma metodologia dinâmica para o estudo deste
movimento, baseada nos conceitos de Dinâmica de Sistemas. Ao final da seção é
apresentado um exemplo deste tipo de movimento, sendo este resolvido pelos
métodos clássico e dinâmico, com o intuito de visualizar como ambos se aplicam.
A estrutura utilizada para a explicação do movimento uniforme será tomada
como padrão, sendo então utilizada para a explicação dos outros tipos de
movimentos estudados neste trabalho.
3.1.1 – Método Clássico
Seja uma esfera qualquer, descrevendo um movimento uniforme a partir de
um referencial O , no sentido positivo, como mostrado na Fig. 3.1.
Figura 3.1 – Uma esfera descrevendo um movimento uniforme.
No instante de tempo t1 o objeto está na posição s1 e no instante posterior t 2
está na posição s 2 . Temos então que o objeto descreve uma distância, ∆s , dada por
(3.1)
∆s = s 2 − s1
em um intervalo de tempo, ∆t igual a
∆t = t 2 − t1 .
(3.2)
A velocidade escalar média, v m , no intervalo de tempo ∆t pode ser descrita
por
8
vm=
∆s
∆t
(3.3)
Onde substituindo as equações 2.1 e 2.2 em 2.3, obtém-se que v m é igual a
vm=
s 2 − s1
t 2 − t1
(3.4)
Em qualquer tipo de movimento, o instante em que se começa a analisá-lo, é
menor, que o momento posterior ou final da analise. Como o intervalo de tempo é
obtido da subtração do instante final pelo inicial, tem-se que ∆t será sempre
positivo.
Observando a Fig. 3.1, tem-se que a posição s 2 é maior que a posição s1 . Da
equação 2.1 obtém-se que ∆s será positivo. Se a esfera se deslocasse no sentido
negativo da referência, s 2 seria menor que s1 , de onde seria obtido que ∆s é
negativo.
Tem-se então que v m , pode ser positivo ou negativo, dependendo do sentindo
do movimento. Adota-se neste trabalho o sistema cartesiano padrão.
Pode-se ter ao longo do percurso de s1 para s 2 uma velocidade diferente em
cada ponto. Seu valor em um dado instante é denominado de velocidade
instantânea, v , matematicamente representada descrita por
v = lim ∆t →0
∆s
∆t
(3.5)
Qualquer movimento que possua a velocidade escalar instantânea constante
e não nula é denominado de movimento uniforme. De onde também se deduz que
neste tipo de movimento a velocidade instantânea é idêntica a velocidade escalar
média.
Utilizando-se dos conceitos apresentados anteriormente, deduz-se então a
equação que representa a função horária do movimento uniforme. Considere que a
esfera que descreve o movimento uniforme, mostrada na Fig. 3.1, está inicialmente
em sua posição inicial, que passaremos a representar por s0 , no instante t 1 = 0s .
Posteriormente ela está na posição s 2 , que passaremos a chamar de posição final,
s , no instante t 2 = ts . Substituindo estes parâmetros na equação 2.4, obtém-se que
vm =
s − so
t −0
(3.6)
9
Como em um movimento uniforme as velocidades instantânea e escalar
média são idênticas, pode-se escrever também que
v=
s − so
t −0
(3.7)
Colocando-se a equação 3.7 em função de s, tem-se a função horária do
movimento uniforme, sendo está descrita por
(3.8)
s = s0 + vt
A função horária do movimento uniforme é uma equação do primeiro grau.
Somente está é necessária para a resolução de qualquer problema envolvendo o
este tipo de movimento.
3.1.2 – Método Dinâmico
O movimento uniforme envolve o estudo de três grandezas, posição,
velocidade e tempo.
Posição é a grandeza que representa o lugar ocupado por corpo no espaço,
considerando-se um referencial específico.
Figura 3.2 – Objeto descrevendo um movimento uniforme
Observa-se na Fig. 3.2 que um objeto qualquer se movimentando de maneira
uniforme, inicialmente se encontra na posição de referência 0 e posteriormente
passa a ocupar posições sucessivas.
Para se descobrir a posição de um corpo qualquer, é necessário conhecer
uma posição anterior deste corpo, à distância e o tempo gasto pelo corpo para ir
desta referência até a posição desejada.
Pelos conceitos de dinâmica de sistemas, tem-se que a posição será
representada por um estoque. É fornecido a este parâmetro um valor inicial para a
posição ou associa-se uma variável qualquer a ele, que lhe fornecerá este valor.
Pode-se ter, por exemplo, as representações para este estoque, ilustradas nas Fig.
3.3 e 3.4.
10
Figura 3.3 - Estoque representando a posição, onde seu valor inicial é
colocado no próprio estoque.
Figura 3.4 - Estoque representando a posição, onde seu valor inicial é
fornecido ao estoque por meio de uma constante chamada posição inicial.
Associado ao estoque da Fig. 3.3 tem-se a equação
(3.9)
so = 0
representando que a posição inicial é zero.
O estoque da Fig. 3.4 é definido com a equação
(3.10)
so = Posição _ Inicial
representando que a posição tem o valor inicial igual ao da constante posição inicial.
Sendo está definida com o valor inicial da posição.
A velocidade é o elemento que vai determinar o quanto a posição será
deslocada em função do tempo.
Figura 3.5 – Influência da velocidade na posição de um corpo.
Da Fig. 3.5 observa-se que um carro possuindo uma velocidade igual a 0 ,
durante todo o tempo irá se manter na mesma posição. Ao possuir uma velocidade
11
constante e não nula, o carro passa a ocupar posições sucessivas ao longo do
tempo.
Temos então que a velocidade é o parâmetro que determina se a posição do
carro varia e o quanto ela varia em função do tempo. Normalmente é simbolizada
por
.
dx
dt
v=x=
(3.11)
O parâmetro velocidade do nosso movimento uniforme será representado por
um fluxo. A Fig. 3.6 ilustra o fluxo velocidade.
Figura 3.6 – Fluxo representando o parâmetro velocidade.
Na Fig. 3.6 teremos associado ao fluxo velocidade a equação
dx
= 10
dt
(3.12)
representando que a cada unidade de tempo a posição é variada 10 unidades pela
velocidade.
Juntando-se o estoque posição ao fluxo velocidade, teremos de uma forma
bem simples, a representação do movimento uniforme, como mostrada na Fig. 3.7.
Figura 3.7 – Representação do movimento uniforme pelo método dinâmico.
O modelo ilustrado na figura 3.7 é padrão para a representação de qualquer
tipo de movimento uniforme, sendo equivalente à equação 3.11. Deste modelo
obtêm-se as curvas características deste tipo de movimento, representadas nas Fig.
3.8 e 3.9.
12
Figura 3.8 – Variação da posição ao longo do tempo em um movimento uniforme.
Figura 3.9 – Variação da velocidade ao longo do tempo em um movimento uniforme.
3.1.3 – Exemplo
Resolve-se agora um exercício pelos métodos clássico e dinâmico, com o
intuito visualizar como ambos se aplicam.
Ao passar pelo marco "km 200" de uma rodovia, um motorista vê um anúncio
com a inscrição: "ABASTECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS".
Considerando que esse posto de serviços se encontra junto ao marco "km 245"
dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê, para os carros que
trafegam neste trecho, uma velocidade média, em km/h, de (RAMALHO, NICOLAU
E TOLEDO, 2003):
13
Resolução pelo método clássico
Dados:
Posição Inicial, s0
200 km
Posição Final, s
245 km
Intervalo de Tempo, ∆t
30 min
0,5 h
Cálculos:
A velocidade média com que o carro trafega é dada pela equação 3.8, onde
se substituindo os valores da tabela nesta, obtêm-se a velocidade da seguinte
forma:
s = s0 + vt
Colocando em função de v temos que
v=
s − s0
t
Onde calculamos que v é igual a
v = 90km / h
Logo se tem que o anunciante prevê que o carro trafega neste trecho da
rodovia a uma velocidade de 90 km/h.
Resolução pelo método dinâmico
Monta-se o modelo padrão que representa o movimento uniforme (Fig. 3.7).
Definição dos parâmetros do modelo:
Posição
200 km
Velocidade
90/60 = 1.5 km/min
Simulando-se o modelo, observa-se que o carro vai do km 200 até o km 245
em 30 minutos. Este resultado pode ser visualizado graficamente, como mostrado
na Fig. 3.10.
14
Figura 3.10 – Variação da posição em função do tempo.
Qualquer outra situação pode ser rapidamente obtida entrando-se com
valores diferentes no modelo.
O anexo A.1 deste trabalho traz um manual do Powersim, com o intuito de
auxiliar na simulação dos modelos aqui propostos. Nos Anexos A.2 e A.3 teremos
muitos exemplos ilustrando os movimentos estudados neste capítulo, resolvidos pelo
método dinâmico.
3.2 – Movimento Uniformemente Variado
Na seção 3.1 foram estudados os movimentos de corpos que possuíam uma
velocidade constante durante todo tempo. Agora se passa a analisar movimentos
em que o módulo da velocidade varia ao longo do tempo, ou seja, movimentos
variados.
3.2.1 – Método Clássico
Inicialmente aborda-se uma grandeza que será de grande importância neste
estudo, à aceleração.
Seja um carro, que num instante inicial t1 possui uma velocidade v1 . Passado
algum tempo, no instante t 2 a sua velocidade passa a ser v 2 . O intervalo de
velocidade, ∆v , igual
15
(3.12)
∆v = v 2 − v1
em um intervalo de tempo, ∆t , dado por
(3.13)
∆t = t 2 − t1
determinará uma grandeza conhecida como aceleração média, a m , que é descrita
por
am =
∆v
∆t
(3.14)
Substituindo as equações 3.12 e 3.13 na equação 3.14, obtêm-se que a
aceleração média é igual a
am =
v 2 − v1
t 2 − t1
(3.15)
A aceleração média é a grandeza que indica o quanto varia a velocidade
escalar num dado intervalo de tempo.
Quando o intervalo de tempo, na equação 3.14, é muito pequeno, passa-se a
ter uma aceleração denominada de aceleração instantânea, descrita por
a = lim t →0
∆v
∆t
(3.16)
onde está normalmente fornece o valor da aceleração em um ponto qualquer de um
movimento.
Se a aceleração instantânea for constante durante todo movimento, ela será
igual à aceleração média, sendo possível obtê-la por
a=
v 2 − v1
t 2 − t1
(3.17)
Se a aceleração e a velocidade possuírem o mesmo sentido, tem-se um
movimento acelerado, onde a velocidade aumentará ao longo do tempo. Se a
aceleração e a velocidade possuírem sentidos opostos, tem-se um movimento
retardado, onde a velocidade diminuirá ao longo do tempo.
Para um movimento, onde à aceleração escalar instantânea seja constante
durante todo o tempo, este será denominado de movimento uniformemente
variado. Neste tipo de movimento teremos que um corpo apresenta variações de
velocidades iguais em intervalos de tempos iguais.
16
De maneira análoga ao movimento uniforme, deduzem-se as funções horárias
que descrevem o movimento uniformemente variado, sendo estas funções
mostradas nas equações 3.18 e 3.19.
(3.18)
v = v 0 + at
s = s 0 + v0 t +
a 2
t
2
(3.19)
Onde v 0 representa a velocidade inicial do corpo, a a aceleração, s 0 a
posição inicial, t o tempo, v a velocidade final e s a posição final. Por meio destas
formulas
pode-se
resolver
qualquer
situação
envolvendo
o
movimento
uniformemente acelerado.
Algumas situações relacionam apenas velocidade e espaço, independendo do
tempo, onde é possível então fazer uso da equação de Torricelli, que será a seguir
deduzida nas equações de 3.20 a 3.25.
Partindo da equação
(3.20)
v = v 0 + at
elevando ao quadrado
2
(3.21)
v 2 = v 0 + 2atv 0 + a 2 t 2
reajustando
2
v 2 = v 0 + 2a ( v 0 t +
a 2
t )
2
(3.22)
Dá equação 3.7 temos que
s − s0 = v0t +
a 2
t
2
(3.23)
Substituindo a equação 3.11 na equação 3.10 temos
2
(3.24)
v 2 = v 0 + 2a ( s − s 0 )
Que pode também ser escrita da forma
2
(3.25)
v 2 = v 0 + 2a∆s
A equação 3.25 é conhecida como equação de Torricelli.
3.2.2 – Método Dinâmico
Desenvolve-se nesta seção o modelo que irá descrever de uma forma
dinâmica o movimento uniformemente variável. Inicialmente, para montar este
modelo, desenha-se o sistema de estoque fluxo, que descreve a relação existente
17
entre a posição e a velocidade no movimento uniforme, estudada na seção 3.1.3,
como mostrado na Fig. 3.11.
Figura 3.11 – Modelo padrão que descreve o movimento uniforme.
Paralelamente ao modelo ilustrado na Fig. 3.11, continua-se a desenvolver o
modelo que descreve o movimento uniformemente variado. Posteriormente será
explicada a relação entre estes modelos.
Figura 3.12 – Carro se movimentando em um movimento variado.
Observe na Fig. 3.12 que o carro inicialmente possui uma velocidade igual a
10. Num instante posterior sua velocidade passa a ser igual a 20, e assim ela vai
crescendo sucessivamente. Tem-se então que a velocidade em um dado instante
será dada pela soma da velocidade no instante anterior ao valor que ela aumenta
entre estes instantes. Onde pelos conceitos de Dinâmica de Sistemas, a velocidade
vai passar a se comportar como um estoque. Representa-se então a velocidade no
modelo que estamos a construir da mesma forma que a apresentada na Fig. 3.13. O
estoque velocidade foi nomeado de DX_DT.
18
Figura 3.13 – Montagem do modelo que descreve o movimento uniformemente
variado.
O estoque velocidade tem em sua caixa de definição a seguinte equação
(3.26)
v = valor _ inicial
onde tem se que entrar com um valor inicial para velocidade. Lembrando que
v=
dx
dt
(3.27)
o estoque velocidade terá associado a ele a expressão
dx
= valor _ inicial
dt
(3.28)
A aceleração é o parâmetro que determina se a velocidade varia e o quanto
ela varia ao longo do tempo.
Figura 3.14 – Influência da aceleração na velocidade.
19
Observa-se na Fig. 3.14 que se a aceleração de um automóvel for nula
durante seu movimento, sua velocidade não irá se alterar ao longo do tempo, e ele
irá descrever um movimento uniforme. Se a aceleração for constante e não nula, a
velocidade do automóvel passa a variar de acordo com a aceleração.
Tem-se então que neste modelo a aceleração se comporta como um fluxo
que fornece ou não recursos para o estoque velocidade. Representa-se a
aceleração no modelo, conforme mostra a Fig. 3.15.
Figura 3.15 – Montagem do modelo que descreve o movimento uniformemente
variado.
O fluxo Aceleração terá associado a ele a equação
a=
dv
dt
(3.29)
onde se está for constante e diferente de zero, a velocidade irá variar ao longo do
tempo em taxas iguais ao valor da aceleração.
A partir do sistema representado na Fig. 3.15, vê-se dois sistemas de estoque
fluxo, onde a relação entre a aceleração e a velocidade que acabamos de
representar, é análoga a relação existente entre velocidade e posição (vista na
seção 3.1.3).
Interligam-se os dois sistemas de estoque fluxo partindo da seguinte idéia. No
movimento uniformemente variado temos que o fluxo aceleração determinará quanto
o estoque velocidade irá variar. O estoque velocidade em cada instante de tempo
estará a fornecer os valores que possui ao fluxo velocidade, de modo que os dois
sejam sempre iguais. O fluxo velocidade determinará o quanto o estoque posição irá
varia, caso o fluxo velocidade aumente ou diminua podemos ter uma maior ou
menor variação no estoque posição. Logo teremos então que para o estoque
20
velocidade (DX_DT) fornece valores ao fluxo velocidade ele terá que ser ligado a ele
por meio de uma seta de informação. Nosso modelo ficará como mostrado na Fig.
3.16.
Figura 3.16 – Montagem do modelo que descreve o movimento uniformemente
variado.
Na caixa de definição do fluxo velocidade, coloca-se o nome do estoque
velocidade, neste caso DX_DT, e os demais parâmetros serão definidos com seus
valores iniciais. De onde se chega ao modelo da Fig. 3.17, que é o modelo padrão
para se descrever o movimento uniformemente variado que qualquer corpo
descreva.
Figura 3.17 – Modelo padrão para se descrever o movimento uniformemente
variado.
A partir da simulação de um modelo genérico do descrito na Fig. 3.17, obtêmse as seguintes características para posição, velocidade e aceleração em função do
tempo, mostradas na Fig. 3.18.
21
Figura 3.18 – Variação da posição, aceleração e velocidade em função do tempo
durante um movimento uniformemente variado.
3.2.3 – Exemplo
Resolve-se agora um exercício pelos métodos clássico e dinâmico, com o
intuito visualizar como ambos se aplicam.
Um trem de 120m de comprimento se desloca com velocidade escalar de
20m/s. Esse trem, ao iniciar a travessia de uma ponte, freia uniformemente, saindo
completamente da mesma 10s após com velocidade escalar de 10m/s. O
comprimento da ponte é: (RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, 2003)
Resolução pelo método clássico
Dados
Comprimento do trem, ctrem
120 m
Velocidade Inicial, v0
20 m/s
Velocidade Final, v
10 m/s
Intervalo de tempo, ∆t
10 s
Cálculos:
Utilizando-se a equação 3.15 calcula-se a aceleração da seguinte maneira:
a=
v F − v i 10 − 20
=
= −1m / s 2
∆t
10
22
A distância total que o trem percorre ao atravessar a ponte é obtida por meio
da equação 3.19.
a 2
t
2
(−1)
s = 0 + 20 * 10 +
* (10) 2 = 150m
2
s = s 0 + v0 t +
O tamanho da ponte será então igual à distância total percorrida pelo trem
subtraindo o seu comprimento:
c ponte = s − c trem = 150 − 120 = 30m
Logo o comprimento da ponte é igual a c ponte = 30m .
Resolução pelo método dinâmico
Inicialmente monta-se no Powersim o modelo padrão que representa um
movimento uniformemente variado (Fig. 3.19).
Figura 3.19 – Modelo Padrão que descreve o movimento uniformemente variado.
Na caixa DEFINITION de cada um dos parâmetros do modelo representado
na figura 3.19 entra-se com os seguintes dados:
Posição_Trem
0m
Aceleração
− 1m
Velocidade
20 m/s
DX_DT
Velocidade
23
s2
Com o intuito de se calcular o tamanho da ponte cria-se no modelo mais duas
variáveis, que serão denominadas de C (representando o comprimento do trem,
sendo definida com um valor igual a 120m) e Ponte (representando o tamanho da
ponte, a constante C e o estoque posição serão ligados a ela, e em sua definição
teremos a equação Ponte = ( Posição _ do _ trem) − C ). O modelo que resolve está
questão está representado na Fig. 3.20.
Fig. 3.20 – Modelo utilizado na resolução do exemplo.
Simulando-se o modelo representado na Fig. 3.20, durante 10s, pode-se
visualizar que o trem percorre uma distância total de 150 m, onde subtraindo está
distância de seu comprimento obtém-se o tamanho da ponte. As Fig. 3.21 a 3.23
ilustram este resultado.
Figura 3.21 – Posição X Tempo
24
Figura 3.22 – Velocidade X Tempo
Figura 3.23 – Aceleração X Tempo
Entrando-se com valores diferentes neste modelo, outras situações podem
ser facilmente obtidas.
3.3 – Movimento vertical no vácuo
Nesta seção faz-se um estudo sobre corpos que se movimentam na direção
vertical, abordando algumas grandezas e conceitos envolvidos neste movimento.
3.3.1 – Método Clássico
Neste trabalho estuda-se o movimento vertical no vácuo como um movimento
uniformemente variado ocorrido na direção vertical, sendo desprezada a ação do ar.
Na direção vertical um corpo pode-se se movimentar em dois sentidos, para
cima e para baixo. Um corpo que é abandonado a certa altura do solo e começa a
cair em direção a este, descreve um movimento chamado queda livre. Caso ele seja
25
jogado do solo para cima e comece a subir, descreverá um movimento chamado
lançamento vertical.
Teremos envolvido neste movimento todas as grandezas apresentadas na
seção 3.1.1, onde o movimento vertical no vácuo irá possuir as mesmas funções
horárias do movimento uniformemente acelerado.
Tanto no lançamento, quando na queda, tem-se atuando sobre os corpos
uma aceleração vertical no sentido negativo (para baixo), conhecida como
aceleração da gravidade. Como aqui se estuda movimentos nas proximidades da
superfície terrestre a aceleração da gravidade será considerada constante.
O valor normal da aceleração tomado em relação ao nível do mar é igual a
(3.30)
g = 9.80665m / s 2
mas neste trabalho, apenas para efeito de cálculo vamos considerar
(3.31)
g = 10m / s 2
Um objeto que é abandonado a certa altura do solo e começa a cair, passará
a descrever um movimento acelerado, porque o movimento do corpo se encontra no
mesmo sentido da aceleração da gravidade, passando sua velocidade a aumentar
ao longo do tempo, onde o corpo irá cair cada vez mais rápido.
Caso o objeto seja lançado para cima, em seu movimento de subida ele irá
descrever um movimento retardado, porque o movimento do corpo está em sentido
contrário ao da aceleração, passando sua velocidade a diminuir ao longo do tempo,
onde o corpo irá subir cada vez mais devagar.
3.3.2 – Método Dinâmico
Como visto na seção 3.3.1 o movimento vertical no vácuo nada mais é que
um movimento uniformemente variado na direção vertical, onde se tem que o
modelo que representará o movimento vertical no vácuo é idêntico ao mostrado na
Fig. 3.16, sendo este reapresentado na Fig. 3.24.
26
Figura 3.24 – Modelo Padrão que descreve o movimento vertical no vácuo.
Onde a aceleração será igual à aceleração da gravidade, possuindo então um
valor igual a
(3.32)
Aceleração = −10m / s 2
Este valor é negativo porque a aceleração está no sentido negativo do eixo
cartesiano (para baixo).
O modelo mostrado na figura 3.24 é padrão para se descrever qualquer
movimento vertical no vácuo, onde as grandezas aceleração, velocidade e posição
terão seus valores dados ao longo do eixo y.
3.3.3 – Exemplo
Resolveremos agora um exercício pelos métodos clássico e dinâmico, com o
intuito visualizar como ambos se aplicam.
Um corpo é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com uma
velocidade de 20m/s. Considerando a aceleração gravitacional g=10m/s^2 e
desprezando a resistência do ar, a altura máxima, em metros, alcançada pelo corpo
é: (RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, 2003)
Resolução pelo método clássico
Dados:
Posição inicial, s 0
0
Velocidade inicial, v0
20m / s
Aceleração da gravidade
− 10m / s 2
Velocidade Final, v
0
27
Cálculos:
Para resolução deste exercício utiliza-se a seguinte função horária
2
v 2 = v 0 + 2a ( s − s 0 )
Substituindo-se os valores dados na tabela na expressão da função horária,
obtemos.
(0) 2 = (20) 2 + 2(−10)( s )
20 s = 400
s = 20m
Tem-se então que o corpo chega a uma altura máxima de 20m.
Resolução pelo método dinâmico
Inicialmente monta-se o modelo indicado na Fig. 3.24, posteriormente
definem-se os parâmetros do modelo com os seguintes dados:
Aceleração
− 10m / s 2
Dx _ Dt
20m / s
Velocidade
Dx _ Dt
Posição
0
A partir da simulação do modelo obtém-se que a altura máxima alcançada
pelo objeto é de 20 m. Este resultado é visualizado na figura 3.25.
Figura 3.25 – Movimento que o corpo descreve ao longo do tempo.
28
3.4 – Velocidade e Aceleração Vetorial
Nesta seção inicialmente serão apresentados os conceitos das grandezas
posição, velocidade e aceleração, vistas de uma forma vetorial. Posteriormente,
faremos um estudo sobre a composição de movimentos.
3.4.1 – Método Clássico
Primeiramente
apresentam-se
os
conceitos
de
algumas
grandezas
importantes da cinemática vetorial.
3.4.1.1 – Vetor Deslocamento
Certo objeto ocupa num instante t1 a posição P1 cujo espaço é s1 . No instante
posterior t 2 , o objeto passa a ocupar a posição P2 de espaço s 2 (Fig. 3.26). Entre
as posições a variação de espaço é
(3.33)
∆s = s 2 − s1
O vetor d , representado pelo segmento orientado de origem
P1
e
extremidade P2 , receberá o nome de vetor deslocamento do objeto entre os
instantes t1 e t 2 .
Figura 3.26 – Representação do deslocamento do objeto de P1 a P2.
Por meio da Fig. 3.26 pode-se visualizar que o modulo do vetor deslocamento
é menor que o modulo da variação do espaço s.
3.4.1.2 – Velocidade Vetorial Média
Foi visto que a velocidade escalar média v m é o quociente entre a variação da
posição ∆s e o correspondente intervalo de tempo ∆t , sendo
vm =
∆s
∆t
(3.37)
29
A velocidade vetorial média v m é o quociente entre o vetor deslocamento d e
o correspondente intervalo de tempo, dada por
vm =
d
∆t
(3.38)
A velocidade vetorial média terá a mesma direção e sentido do vetor
deslocamento (Fig. 3.27).
Figura 3.27 – O vetor velocidade vetorial média terá a mesma direção e sentido que
o vetor deslocamento.
Seu módulo será dado por:
d
vm =
(3.39)
∆t
3.4.1.3 – Velocidade Vetorial Instantânea
Seja uma pequena esfera descrevendo certa trajetória em relação a um dado
referencial (Fig. 3.28). Num instante t, o móvel ocupa a posição P.
Figura 3.28 – Esfera descrevendo um movimento circular.
30
A velocidade vetorial da esfera v tem as seguintes características:
- módulo: igual ao da velocidade escalar no instante t.
- direção: da reta tangente à trajetória pelo ponto P.
- sentido: do movimento.
Um vetor varia quando qualquer um de seus elementos varia, sendo estes,
módulo, direção e sentido. Logo se tem que a velocidade estará variando ao longo
deste movimento, pois sua direção varia constantemente. Assim, a velocidade
vetorial varia num movimento curvilíneo independentemente do tipo do movimento.
Nos movimentos uniformes, a velocidade vetorial tem módulo constante,
porque a velocidade escalar é constante.
3.4.1.4 – Aceleração Vetorial Média
Viu-se na seção 3.1.1 que a aceleração escalar média ( a m ) era igual ao
quociente da variação da velocidade sobre o intervalo de tempo correspondente. De
modo análogo pode-se definir a aceleração vetorial média ( a m ) como sendo
am =
∆v
∆t
(3.40)
A aceleração a m tem a mesma direção e o mesmo sentido de ∆v , como é
mostrado pela Fig. 3.29.
Figura 3.29 – O vetor ∆v (V) tem a mesma direção e sentido que o vetor a m (A).
O modulo de aceleração vetorial média é dado pela equação 5.6.
∆v
am =
(3.41)
∆t
31
3.4.1.5 – Aceleração Vetorial Instantânea
A aceleração vetorial instantânea a pode ser entendida como sendo uma
aceleração
vetorial
média,
quando
o
intervalo
de
tempo
considerado
é
extremamente pequeno.
Sempre que houver variação da velocidade vetorial v , haverá aceleração
vetorial a .
A velocidade vetorial v pode variar em módulo e em direção. Por esse motivo
a aceleração vetorial a é decomposta em duas acelerações componentes:
aceleração tangencial ( at ), que está relacionada com a variação do módulo de v , e
aceleração centrípeta ( a cp ) que está relacionada com a variação da direção de v .
3.4.1.5.1 – Aceleração Tangencial
A aceleração tangencial at possui as seguintes características:
- módulo: igual ao módulo da aceleração escalar a .
- direção: tangente a trajetória.
- sentido: o mesmo de v , se o movimento for acelerado, ou oposto de v , se o
movimento for retardado.
Nos movimentos uniformes, o módulo da velocidade vetorial não varia e,
portanto, a aceleração tangencial é nula.
3.4.1.5.2 – Aceleração Centrípeta
A aceleração centrípeta a cp possui as seguintes características:
- módulo: é dado pela expressão
a cp
v2
=
R
(3.42)
na qual v é a velocidade escalar do móvel e R é o raio de curvatura da trajetória.
- direção: perpendicular à velocidade vetorial em cada ponto.
- sentido: orientado para o centro de curvatura da trajetória.
32
3.4.1.5.3 – Aceleração Vetorial
A soma vetorial das acelerações tangencial e centrípeta define a aceleração
vetorial, como mostrado na equação 5.8.
(3.43)
a = at + a cp
Fazendo uso dos conceitos aprendidos acima, vamos fazer o estudo da
composição dos movimentos.
3.4.1.6 – Composição dos Movimentos
Seja uma placa de madeira e uma formiga P situada na placa (Fig. 3.30).
Figura 3.30 – Formiga sobre uma placa de madeira.
Imagina-se a formiga se movimentando em relação à placa, segundo a
trajetória indicada na Fig. 3.31.
Figura 3.31 – Movimento da formiga sobre a placa.
Se a formiga estivesse em repouso em relação à placa e esta sendo
arrastada para direita, a trajetória da formiga é representada na Fig. 3.32.
Figura 3.32 – Formiga em repouso em relação ao movimento da placa.
33
Se a formiga e a placa se movimentarem simultaneamente, tem-se que a
formiga se deslocara da maneira representada na Fig. 3.33.
Figura 3.33 – Formiga e placa se movimentando simultaneamente.
Passam-se então a analisar os três movimentos apresentados anteriormente.
- o movimento da formiga P em relação à placa (Fig. 3.31): movimento
relativo.
- o movimento da formiga em repouso em relação à placa que é arrastada
(Fig. 3.32): movimento de arrastamento.
- o movimento da formiga e da placa simultaneamente (Fig. 3.33): movimento
resultante.
A velocidade vetorial da formiga P em relação à placa é denominada
velocidade relativa ( v rel ).
A velocidade vetorial que a formiga P teria se estivesse em repouso em
relação à placa que é arrastada é chamada velocidade de arrastamento ( v arr ).
A velocidade vetorial de P em relação à terra é denominada velocidade
resultante ( v res ).
As velocidades se relacionam pela igualdade vetorial seguinte:
(3.44)
v res = v rel + v arr
O estudo do movimento resultante a partir dos movimentos relativo e de
arrastamento é denominado composição de movimentos. Galileu propôs o principio
da simultaneidade da realização desses movimentos, isto é, de que os três
movimentos considerados ocorrem ao mesmo tempo.
3.4.2 – Método Dinâmico
Agora se passa a analisar movimentos que acontecem em duas dimensões,
abordando-se também a composição de movimentos.
34
Seja novamente uma formiga sobre uma tábua (Fig. 3.30).
Suponha que a tábua permaneça parada, e a formiga descreva um
movimento uniforme ao longo do eixo y (Fig. 3.31). Como vimos na seção 3.1.2 o
modelo padrão que descreve um movimento uniforme é mostrada na Fig. 3.7. Na
figura 3.34 tem-se o modelo que ira descrever o movimento da formiga ao longo da
tábua.
Figura 5.34 – Modelo que descreve o movimento da formiga ao longo da tábua.
No modelo mostrado na Fig. 3.34 adotam-se os seguintes valores para a
velocidade e a posição da formiga:
Velocidade _ Formiga = 10m / s
(3.45)
Posição _ Formiga = 0m
(3.46)
Supondo-se agora que a formiga permaneça em repouso em relação à tábua,
e está seja arrastada ao longo do eixo x (Fig. 3.32). O modelo que descreve o
deslocamento da tábua é análogo ao que descreve o deslocamento da formiga,
anteriormente apresentado. Este modelo pode ser visto na Fig. 3.35.
Figura 3.35 – Modelo que descreve o movimento da tábua ao longo do eixo x.
Para o modelo da ilustrado na Fig. 5.10 adota-se os seguintes valores para a
velocidade e a posição da tábua:
Velocidade _ Tabua = 20m / s
(3.47)
Posição _ Tabua = 0m
(3.48)
Considerando-se agora que os movimentos da formiga e da tábua ocorram ao
mesmo tempo, representa-se está situação com um modelo que possui os modelos
3.34 e 3.35 juntos, sendo este ilustrado na Fig. 3.36.
35
Figura 3.36 – Modelo que descreve a composição dos movimentos.
Simulando o modelo da figura 3.36 observa-se que a formiga se deslocará da
maneira mostrada na Fig. 3.37.
Figura 3.37 – Modelo que descreve o movimento simultâneo da formiga e da tábua.
Observa-se que a Fig. 3.37 está de acordo com o movimento simultâneo da
formiga e da tábua proposto na figura 3.33.
3.4.3 - Exemplo
Resolve-se agora um exercício pelos métodos clássico e dinâmico, com o
intuito visualizar como ambos se aplicam.
36
Um barco tenta atravessar um rio com 1km de largura. A correnteza do rio é
paralela às margens e tem velocidade de 4km/h. A velocidade do barco, em relação
à água, é de 3km/h, perpendicularmente às margens (RAMALHO, NICOLAU E
TOLEDO, 2003).
Nessas condições, pode-se afirmar que o barco:
a) atravessará o rio em 12 minutos.
b) atravessará o rio em 15 minutos.
c) atravessará o rio em 20 minutos.
d) nunca atravessará o rio.
Resolução pelo método clássico
Dados:
Velocidade Barco, v BARCO
3km / h
0.05km / min
Velocidade Correnteza, vCORRENTEZA
4km / h
0.067 km / min
Largura do rio, LRIO
1km
Para atravessar o rio o barco descreve ao longo do eixo y um movimento
uniforme, onde o tempo gasto por ele para atravessar o rio é dado pela função
horária do movimento uniforme.
Substituindo-se os valores da tabela na função encontra-se o tempo gasto
pelo barco.
vy =
Ly
T
→ T=
1
= 20 min
0.05
Mas devido à correnteza o barco será deslocado uma distância L x (Fig. 3.38),
dada por:
Vx =
Lx
→ L x = V x * T = 0.067 * 20 = 1.34km
T
37
Figura 3.38 – Barco se deslocando ao longo do rio.
Tem-se então que o barco atravessa o rio depois de decorridos 20 minutos,
mas, ele é arrastado 1.34 km pela correnteza.
Resolução pelo Método Dinâmico
Monta-se o modelo que representará o movimento do barco ao longo do rio.
Este é mostrado na figura 3.39.
Figura 3.39 – Modelo que representará o movimento do barco ao longo do rio.
Definem-se os parâmetros do modelo com os seguintes valores.
Velocidade_Barco
0.05 km/min
Posição_Barco
0 km
Velocidade_Correnteza
0.067 km/min
Posição_Correnteza
0 km
Simulando-se o modelo da Fig. 3.39, observa-se que o barco atravessa o rio
depois de decorridos 20 minutos. Sendo o mesmo também arrastado por uma
distância de 1.33 km. Este resultado é visualizado na Fig. 3.40.
38
Figura 3.40 – Barco se deslocando ao longo do rio.
3.5 - Lançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo no Vácuo
3.5.1 – Método Clássico
3.5.1.1 – Lançamento Horizontal no Vácuo
Um objeto qualquer ao ser lançado horizontalmente no vácuo, ira descrever,
em relação à terra, uma trajetória parabólica, como mostra a Fig. 3.41.
Figura 3.41 – A trajetória de um corpo lançado horizontalmente, em relação à terra.
De acordo com o princípio da simultaneidade visto na seção 3.4.1.6, este
movimento pode ser considerado como o resultado da composição de dois
39
movimentos simultâneos e independentes, sendo estes a queda livre e o movimento
horizontal.
Como visto na seção 3.3.1, a queda livre é um movimento vertical, sob ação
exclusiva da gravidade. Esta é considerada um movimento uniformemente variado,
porque o modulo da aceleração se mantém constante.
O movimento horizontal é uniforme, porque não existe nenhuma aceleração
nesta direção. Ele mantém a mesma velocidade em que foi lançado.
Em cada ponto da trajetória, a velocidade resultante ( v ) do móvel, é dada
pela soma vetorial da velocidade horizontal ( v0 ) e da velocidade vertical ( v y ). Na
Fig. 3.42 pode-se ver a decomposição das velocidades presentes no lançamento
horizontal.
Figura 3.42 – Decomposição das velocidades atuantes em um lançamento
Horizontal.
Tem que a velocidade resultante é dada por
(3.49)
v = v0 + v y
3.5.1.2 – Lançamento Oblíquo no Vácuo
Seja um objeto sendo lançado com uma velocidade v 0 , numa direção que
forma com a horizontal um ângulo θ . Desprezando-se a resistência do ar, o móvel
fica sob ação exclusiva de seu peso e sujeito apenas à aceleração da gravidade.
Este objeto ira descrever em relação à terra uma trajetória parabólica, como a
mostra a Fig. 3.43.
40
Figura 3.43 – Representação da trajetória que um corpo descreve após um
lançamento oblíquo.
A distância horizontal que o corpo percorre desde o lançamento até o instante
em que retorna ao nível horizontal é denominada de alcance. O máximo
deslocamento do móvel na direção vertical chama-se altura máxima do lançamento.
O movimento que um corpo descreve após um lançamento oblíquo pode ser
considerado como resultado da composição de dois movimentos simultâneos e
independentes, que são: um movimento vertical uniformemente variado, cuja
aceleração é a da gravidade, e um movimento horizontal uniforme, pois na horizontal
não há aceleração.
Analisa-se agora separadamente cada um dos movimentos.
3.5.1.2.1 – Movimento na Vertical
Considerando-se um eixo Oy com a origem no ponto de lançamento e
orientado para cima. A aceleração escalar do movimento vertical será
(3.50)
a = −g
Se projetarmos a velocidade de lançamento na direção do eixo Oy se obtém
a velocidade inicial vertical v0 y , cujo modulo será dado por
(3.51)
v0 y = v0 senθ
Sob a ação da gravidade, o módulo da velocidade vertical diminui à medida
que o objeto sobe, anula-se no ponto mais alto e aumenta a medida que o corpo
desce. Sendo o movimento na vertical uniformemente variado, pode-se fazer uso de
suas funções horárias.
Para se obter a altura máxima que um corpo pode alcançar faz-se uso da
formula 3.52.
H=
v02 sen 2θ
2g
(3.52)
3.5.1.2.2 – Movimento na Horizontal
Considerando-se um eixo Ox com origem no ponto de lançamento e orientado
no sentido da velocidade horizontal v x , dada pela projeção sobre este eixo da
velocidade de lançamento v0 .
O módulo da velocidade horizontal v x é dado por
41
(3.53)
v x = v0 cos θ
Como na horizontal tem-se um movimento uniforme, v x será sempre o
mesmo. Faz-se uso da função horária do movimento uniforme, para se estudar o
deslocamento ao longo desta direção.
Para se determinar o alcance de um corpo submetido ao movimento oblíquo
faz-se uso da equação 3.54.
A=
v02 sen2θ
g
(3.54)
3.5.2 – Método Dinâmico
3.5.2.1 – Lançamento Horizontal no Vácuo
O lançamento horizontal no vácuo é composto por dois movimentos
simultâneos, que são a queda livre na vertical e o movimento horizontal.
O movimento de queda livre na vertical, nada mais é que um movimento
uniformemente variado sobe a ação da aceleração da gravidade. Onde para
representar este movimento utiliza-se o modelo padrão que descreve o movimento
uniformemente variado, sendo este reapresentado na Fig. 3.44.
Figura 3.44 – Representação do movimento ao longo do eixo y em um lançamento
horizontal.
O movimento horizontal é do tipo uniforme, não havendo nenhum tipo de
aceleração nesta direção. Para representar este movimento utiliza-se o modelo
padrão que representa o movimento uniforme, onde este é mostrado na Fig. 3.45.
42
Figura 3.45 – Representação do movimento ao longo da horizontal de um
lançamento horizontal.
Para representar um lançamento horizontal, deve-se desenvolver um modelo
que contenha as representações mostradas nas Fig. 3.44 e 3.45. Este é mostrado
na Fig. 3.46.
Figura 3.46 – Modelo que descreve um lançamento horizontal no vácuo.
3.5.2.2 – Lançamento Oblíquo no Vácuo
Considere uma bolinha lançada de forma oblíqua, como mostrada na Fig.
3.47.
Figura 3.47 – Representação de um movimento.
Na Fig. 3.47 podemos ver que se tem neste tipo de lançamento à composição
de dois movimentos simultâneos, um ao longo do eixo x e o outro do eixo y.
Por meio da decomposição das velocidades, a Fig. 3.47 nos mostra que a
velocidade ao longo do eixo y, inicialmente positiva, vai descrendo seu modulo
durante a subida da bolinha. Quando esta chega ao ponto máximo sua velocidade
43
na vertical torna-se nula. A partir deste posto a bolinha volta a cair novamente, onde
sua velocidade volta a aumentar durante este movimento de descida.
Pode-se concluir que ao longo do eixo y, teremos que a bolinha irá descrever
um movimento uniformemente variado, sendo este dado pelo modelo padrão,
redesenhado na Fig. 3.48.
Figura 3.48 – Modelo que representa o movimento uniformemente variado da
bolinha ao longo do eixo y.
Observe que a bolinha foi lançada com um ângulo θ em relação ao eixo x,
onde se tem que a velocidade inicial de y será dada pela projeção do vetor
velocidade resultante ( v ) em relação ao eixo y. A partir dos conceitos
trigonométricos temos que o modelo inicial da velocidade será dado em função do
produto do modulo da velocidade de lançamento ( v ) pelo seno do ângulo θ de
lançamento.
Adicionaremos então duas variáveis ao modelo representado na Fig. 6.8,
sendo estas ÂNGULO_LANÇAMENTO e VELOCIDADE DE LANÇAMENTO, onde
ambas serão ligadas ao estoque VELOCIDADE_Y, conforme mostra a Fig. 3.49.
44
Figura 3.49 – Modelo que representa o movimento ao longo do eixo y de um corpo
lançado de forma oblíqua.
Define-se o parâmetro ÂNGULO_LANÇAMENTO com o valor do ângulo θ
que a bolinha é lançada. Este valor deve ser dado em radianos.
Ao parâmetro VELOCIDADE_DE_LANÇAMENTO, iremos fornecer o valor do
modulo da velocidade resultante em que o corpo é lançado.
Após ligarmos as duas novas variáveis ao estoque VELOCIDADE_Y, este
deixará de ser uma constante e passará a ser uma equação que depende dos
parâmetros ligados a ele. A equação que colocaremos na definição do estoque
VELOCIDADE_Y é dada por
Velocidade _ Y = Velocidade _ de _ Lançamento * sin( Angulo _ Lançamento)
As demais variáveis do modelo serão definidas da mesma maneira.
Ao longo do eixo x, pode-se ver na Fig. 3.47, que a velocidade se mantém
constante. O movimento ao longo desde eixo será então representado pelo modelo
padrão que descreve o movimento uniforme, sendo este reapresentado na Fig. 3.50.
Figura 3.50 – Modelo que descreve o movimento uniforme ao longo do eixo x,
descrito por uma bolinha lançada de forma oblíqua.
45
Assim como para o eixo y, a velocidade inicial ao longo do eixo x, também
dependerá do ângulo e do modulo da velocidade de lançamento. O fluxo
VELOCIDADE_X será então dado em função do produto do modulo da velocidade
de lançamento pelo cos seno do ângulo θ de lançamento.
Adicionaremos então duas variáveis ao modelo representado na Fig. 3.50,
sendo estas ÂNGULO_LANÇAMENTO e VELOCIDADE DE LANÇAMENTO, onde
ambas serão ligadas ao fluxo VELOCIDADE_X, conforme mostra a Fig. 3.51.
Figura 3.51 – Modelo que representa o movimento ao longo do eixo x de um corpo
lançado de forma oblíqua.
As variáveis ÂNGULO_LANÇAMENTO e VELOCIDADE_DE_LANÇAMENTO
serão definidas da mesma forma apresentada anteriormente.
Após ligarmos as duas novas variáveis ao fluxo VELOCIDADE_X, este
deixará de ser uma constante e passará a ser uma equação que depende dos
parâmetros ligados a ele. A equação que colocaremos na definição do fluxo
VELOCIDADE_X é dada por
Velocidade _ X = Velocidade _ de _ Lançamento * cos( Angulo _ Lançamento)
O modelo que representará um lançamento oblíquo será dado pela
composição dos modelos apresentados nas Fig. 3.49 e 3.51. Observa-se que o
ângulo e a velocidade de lançamento do objeto são os mesmos, não havendo a
necessidade de uma representação separada, conforme podemos ver na Fig. 3.52.
46
Figura 3.52 – Modelo que representa um lançamento oblíquo.
3.5.3 – Exemplo
Resolve-se agora um exercício para cada tipo de movimento estudado nesta
seção, como o intuito de fixação do conhecimento aprendido.
3.5.3.1 – Exemplo de Lançamento Horizontal no Vácuo
Uma esfera é lançada com velocidade horizontal de 5 m/s de uma plataforma
de altura 1,8 m. Ela deve cair dentro do pequeno frasco colocado a uma distância x
do pé da plataforma. À distância x deve ser de, aproximadamente (RAMALHO,
NICOLAU E TOLEDO, 2003).
Resolução pelo método clássico
Dados:
Velocidade Horizontal, v HOR
5m / s
Altura, h
1 .8 m
Cálculos:
Inicialmente vamos calcular o tempo que a esfera demora a cair no solo,
analisando o movimento uniformemente na vertical, utilizando a equação 3.19.
at 2
s = s0 + vo t +
2
10t 2
0 = 1,8 + 0t −
2
t2 =
1 .8 * 2
= 0.36
10
t = 0.36 = 0.6s
47
Como na horizontal temos um movimento uniforme, para acharmos o alcance
da esfera vamos utilizar a função horária do movimento uniforme (equação 3.8).
s = s c + vt
s = 0 + 5 * 0.6 = 3m
Tem-se então que o pequeno frasco deve estar a uma distância de 3 metros
da plataforma.
Resolução pelo método dinâmico
Inicialmente monta-se o modelo que descreve o movimento horizontal no
vácuo, mostrado na Fig. 3.53.
Fig. 3.53 – Modelo que permite descrever o lançamento horizontal no vácuo.
Defina as variáveis do modelo da Fig. 6.13 com os seguintes valores:
G
− 10m / s 2
Velocidade _ Y
0
Dx _ Dt
Velocidade _ Y
Posição _ Y
1 .8 m
Velocidade _ X
5m / s
Posição _ X
0
Simulando-se o modelo apresentado na Fig. 3.53, observe que a esfera
tocará o solo a uma distância de 3 metros da plataforma. Este resultado é mostrado
na Fig. 3.54.
48
Figura 3.54 – Gráfico que mostra a trajetória da esfera ao ser lançada
horizontalmente.
3.5.3.2 – Exemplo de Lançamento Oblíquo no Vácuo
Num lugar em que g=10m/s2, lançamos um projétil com a velocidade inicial
de 100m/s, formando com a horizontal um ângulo de elevação de 30 graus. A altura
máxima será atingida após (RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, 2003).
Resolução pelo método clássico
Dados:
Gravidade, g
10m / s 2
Velocidade Inicial, v INICIAL
100m / s
Ângulo de Lançamento
θ = 30 ο
Cálculos:
Inicialmente vamos calcular a altura máxima que o projétil atinge, utilizando a
equação 3.52.
H=
v02 sen 2θ (100 2 ) * ( sen30) 2
=
= 125m
2g
2 *10
Posteriormente calcula-se o tempo que o projétil demora a alcançar a altura
máxima.
v0 y = v INICIAL * sen30 ο = 50m / s
49
y = v0 y t +
at 2
2
125 = 50t −
10t 2
2
t 2 − 10t + 25 = 0
Resolvendo a formula acima pela equação de báskara encontramos como
única raiz 5, sendo então o tempo que o projétil demora para alcançar a altura
máxima igual a 5s.
Resolução pelo método dinâmico
Primeiramente monta-se o modelo da Fig. 3.55.
Figura 3.55 – Modelo que descreve um lançamento oblíquo no vácuo.
Definem-se as variáveis do modelo mostrado na Fig. 6.15 com os seguintes
valores.
Aceleração _ Y
− 10m / s 2
Velocidade _ Y
Velocidade _ de _ Lançamento * sin( Angulo _ Lançamento)
Dx _ Dt
Velocidade _ Y
Posição _ Y
0
Angulo _ Lançamento
pi
6
Velocidade _ Lançamento
100m / s
Velocidade _ X
Velocidade _ de _ Lançamento * cos( Angulo _ Lançamento)
Posição _ X
0
Simulando-se o modelo apresentado na Fig. 3.55 obtém-se que a altura
máxima alcançada pelo projétil é igual a 125 metros, onde ele demora um tempo de
5s, para alcançar está altura. Estes resultados são mostrados nas Fig. 3.56 e 3.57.
50
Figura 3.56 – Gráfico mostrando a trajetória do projeto durante seu movimento.
Figura 3.57 – Gráfico mostrando a variação da posição y do objeto ao longo do
tempo.
51
3.6 – Movimentos Circulares
3.6.1 – Método Clássico
3.6.1.1 – Grandezas Importantes dos Movimentos Circulares
Inicialmente nesta seção apresentam-se os conceitos das grandezas
envolvidas nos movimentos circulares, sendo estas denominadas de grandezas
angulares.
3.6.1.1.1 – Espaço Angular
Quando os objetos descrevem trajetórias circulares, determinam-se suas
posições por meio de ângulos centrais ϕ em lugar do espaço s (arco OP ) medido
na própria trajetória, como mostrado na Fig. 3.58. O espaço s permite determinar a
posição P do móvel em cada instante; o ângulo ϕ também localiza P e, sendo então
chamado de espaço angular.
Figura 3.58 – Um objeto qualquer descrevendo uma trajetória circular.
Os ângulos serão trabalhados em radianos. O arco s se relaciona ao ângulo
ϕ segundo a equação 3.55.
(3.55)
s =ϕ*R
Analogamente às definições de velocidade escalar e aceleração escalar,
defini-se a velocidade angular ( ω ) e aceleração angular ( γ ). As grandezas
angulares ϕ , ω e γ compõem a cinemática angular.
3.6.1.1.2 – Velocidade Angular
3.6.1.1.2.1 – Velocidade Angular Média
Considere que ϕ1 seja o espaço angular de um corpo, num instante t1 , e ϕ 2 o
espaço angular, num instante posterior t 2 , como mostra a Fig. 3.59.
52
Figura 3.59 – Um corpo descrevendo um movimento circular.
No intervalo de tempo ∆t igual a
(3.56)
∆t = t 2 − t1
a variação do espaço angular é de
(3.57)
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
Onde temos que a velocidade angular média será dada por
ωm =
∆ϕ
∆t
(3.58)
3.6.1.1.2.2 – Velocidade Angular Instantânea
Quando o intervalo o intervalo de tempo, na equação 3.58, tender a zero,
passaremos a ter a velocidade instantânea, sendo está então dada pela relação
ω = lim ∆t →0
∆ϕ
∆t
(3.59)
3.6.1.1.2.3 – Relação entre a velocidade escalar v e a velocidade angular ω
A partir da equação 3.55, podem-se obter as seguintes relações entre os
espaços angulares ϕ1 e ϕ 2 , e os espaços lineares s1 e s 2 :
s1 = ϕ1 * R
(3.60)
s2 = ϕ 2 * R
(3.61)
A partir das equações 3.60 e 3.61 podemos deduzir a relação entre ∆s e ∆ϕ .
s 2 − s1 = (ϕ 2 − ϕ1 ) * R
(3.62)
∆s = ∆ϕ * R
(3.63)
Dividindo a equação 3.63 por ∆t obtemos a relação entre a velocidade
angular média e a velocidade escalar média.
∆s ∆ϕ
=
*R
∆t
∆t
(3.64)
53
(3.65)
vm = ω m * R
Considerando t tendendo a zero obtemos a relação entre as grandezas
instantâneas.
(3.66)
v =ω*R
3.6.1.1.3 – Aceleração Angular
3.6.1.1.3.1 – Aceleração Angular Média
Seja ω1 a velocidade angular de um móvel num instante t1 e ω 2 a velocidade
angular num instante posterior t 2 . No intervalo de tempo ∆t igual a
(3.67)
∆t = t 2 − t1
a variação da velocidade angular é igual a
(3.68)
∆ω = ω 2 − ω1
A aceleração angular média é dada pela relação entre a velocidade angular
média e o intervalo de tempo, sendo está representada na equação 3.69.
γm =
∆ω
∆t
(3.69)
3.6.1.1.3.2 – Aceleração Angular Instantânea
Quando o intervalo de tempo tende a 0, obtém-se a aceleração instantânea,
mostrada na equação 3.70.
γ = lim ∆t →0
∆ω
∆t
(3.70)
3.6.1.1.3.3 – Relação entre a aceleração escalar a e a aceleração angular γ
Omitindo-se a dedução, tem-se que a relação entre a aceleração escalar e a
aceleração angular é dada pela equação 3.71.
(3.71)
a = γ *R
3.6.1.1.4 – Período e Freqüência
Um fenômeno é periódico quando ele se repete, de forma idêntica, em
intervalos de tempo sucessivos e iguais. O período, T, é o menor intervalo de tempo
da repetição do fenômeno. Exemplo:
- Num relógio, o ponteiro das horas tem movimento periódico: de 12 em 12
horas o ponteiro passa novamente pela mesma posição em idênticas condições.
Seu período T é igual a 12 h.
Num fenômeno periódico, chama-se de freqüência (F) o número de vezes que
o fenômeno se repete na unidade de tempo. Exemplo:
54
- A freqüência escolar de um estudante de um estudante é o número de vezes
em que ele compareceu ao colégio em uma dada unidade de tempo, por exemplo,
mês (freqüência mensal).
Período e freqüência são duas grandezas inversamente proporcionais. Esta
relação é mostrada na equação 3.72.
T=
1
F
(3.72)
3.6.1.2 – Movimento Circular Uniforme
Em um movimento uniforme, um objeto qualquer percorre distâncias iguais
em intervalos de tempos iguais. No movimento circular uniforme, como a trajetória é
circular, o intervalo de tempo gasto para completar cada volta será sempre o
mesmo. Tem-se, portanto, que este tipo de movimento é periódico. Onde o período
será igual ao intervalo de tempo de uma volta completa. O número de voltas na
unidade de tempo é sua freqüência.
Vimos na seção 3.1 que a função horária do movimento uniforme é dada por
(3.72)
s = s 0 + vt
Dividindo a equação 7.18 pelo raio R, obtém-se
s s 0 vt
= +
R R R
(3.73)
De onde pode-se então chegar à função horária angular do movimento
circular uniforme, sendo está representada na equação 3.74.
(3.74)
ϕ = ϕ 0 + ωt
Adotando-se ϕ 0 = 0 , quando o objeto completa uma volta tem-se que ϕ = 2π
e t = T . Substituindo estes valores na equação 7.20, obtemos então a velocidade
angular, mostrada na equação 3.75.
ω=
2π
T
(3.75)
Como se tem um movimento circular e uniforme, sua aceleração vetorial será
a aceleração centrípeta ( aCP ). Matematicamente o modulo da aceleração centrípeta
é dado por
aCP =
v2
R
(3.76)
55
ou
(3.77)
aCP = ω 2 * R
3.6.2 – Método Dinâmico
Faz-se agora uma abordagem dinâmica do movimento circular uniforme. Este
tipo de movimento é dado pela composição de dois movimentos harmônicos (como
um sistema massa-mola), um ao longo do eixo x e o outro do eixo y. Inicialmente
vamos estudar o movimento em cada eixo separadamente, posteriormente veremos
como eles se relacionam.
Para montar o modelo ao longo do eixo x, parti-se da forma padrão que
representa o movimento uniformemente variado, como a ilustrada na Fig. 3.60.
Figura 3.60 – Montando o modelo que representa o movimento ao longo do eixo x
no movimento circular uniforme.
Como dito no início desta seção, ao longo do eixo x existe um movimento
massa-mola, onde faremos uso desta comparação para descobrir como aceleração
irá variar no movimento circular.
Lembrando da segunda Lei de Newton, obtém-se que a resultante das forças
que agem sobre um corpo é igual ao produto de sua massa pela aceleração que ele
possui.
(3.78)
FR = m * a
Analisando segundo a força elástica da mola atuante em um corpo, temos
que, a resultante das forças é igual a menos o produto da distância pela constante
elástica da mola.
56
(3.79)
FR = −(k * x)
Igualando as equações 3.78 e 3.79, temos que a aceleração será dada por
a = −( x *
Onde k
k
)
m
m
(3.80)
é uma constante, sendo seu valor aproximadamente igual ao da
velocidade angular ao quadrado.
Deduz-se então que ao longo do eixo x, a aceleração irá variar em função da
posição do corpo e de uma constante, que será considerada igual à velocidade
angular ao quadrado. No modelo da Fig. 3.60 cria-se então uma constante chamada
K, e liga-se está constante e o estoque posição a aceleração, como mostra a Fig.
7.61.
Figura 3.61 – Modelo que representa o movimento ao longo do eixo x em um
movimento circular.
O modelo da Fig. 3.61 representa o movimento ao longo do eixo x, onde as
variáveis deste serão definidas da seguinte maneira:
57
Aceleração _ X = −( Posição _ X * K )
Velocidade _ X = Valor inicial da velocidade no eixo x
Dx _ Dt = Velocidade _ X
Posição _ X = Posição inicial ao longo do eixo x
K = Valor da velocidade angular ao quadrado.
Entrando-se com valores genéricos no modelo da Fig. 3.61, pode-se ver que
a posição ao longo do eixo x (Fig. 3.62) varia de forma harmônica, o que já era
esperado.
Figura 3.62 – Variação da Posição X em função do Tempo.
Ao longo do eixo y ocorre um movimento análogo ao ocorrido no eixo x, onde
o mesmo caminho é seguido para se obter o modelo que o representa, sendo este
ilustrado na Fig. 3.63.
58
Figura 3.63 – Modelo que representa o movimento ao longo do eixo y em um
movimento circular uniforme.
Logo se deduz que, um objeto que descreve um movimento circular uniforme,
terá seu modelo dado pela combinação dos representados nas Fig. 3.61 e 3.63,
como mostrado na Fig. 3.64.
Figura 3.64 – Modelo que representa um movimento circular uniforme.
Entrando no modelo da Fig. 3.64 com valores genéricos, e criando um gráfico
mostrando como a posição x varia em função da posição y, podemos visualizar que
está composição gera uma circunferência (Fig. 3.65).
59
Figura 3.65 – Trajetória obtida a partir da composição dos movimentos ao longo dos
eixos x e y.
3.6.3 – Exemplo
Resolve-se agora um exercício pelos métodos clássico e dinâmico, com o
intuito visualizar como ambos se aplicam.
Uma roda-gigante de raio 14 m gira em torno de um eixo horizontal. Um
passageiro sentado em uma cadeira, move-se com velocidade linear v=7 m/s
(RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, 2003).
Determine:
a) a velocidade angular do movimento.
b) o módulo da aceleração centrípeta do passageiro.
c) em quanto tempo o passageiro executa uma volta completa.
Resolução pelo método clássico
Dados:
Raio, R
14m
Velocidade linear, v
7m / s
Cálculos:
A velocidade angular é dada da seguinte forma:
60
v =ω*R
ω=
7
= 0.5rad / s
14
O modulo da aceleração centrípeta é dado por:
aCP = ω 2 * R = (0.5 2 ) *14 = 3.5 m
s2
O tempo em que o passageiro executa uma volta completa é o seu período
sendo este dado por:
ω=
2π
T
T=
2π
= 12.57 s
0 .5
Resolução pelo método dinâmico
Primeiramente monta-se o modelo representado pela Fig. 3.66.
Neste modelo cria-se uma variável chamada V, conectando-a ao estoque
VELOCIDADE_Y, está será a velocidade linear inicial no eixo y.
Cria-se também uma variável chamada R, conectando-a ao estoque
POSIÇÃO_X, está determinará a posição inicial de X.
Feita às duas alterações acima, o modelo ficará idêntico ao mostrado na Fig.
3.66.
Figura 3.66 – Montagem do modelo que representa o movimento circular feito pela
roda-gigante.
Para obter-se a velocidade angular cria-se uma variável chamada
V_ANGULAR, e liga-se as variáveis R e V a ela.
61
Para obter-se a aceleração centrípeta cria-se uma variável chamada
A_CENTRIPETA, e liga-se as variáveis V_ANGULAR e R a ela.
Por ultimo conecta-se a variável V_ANGULAR a variável K.
Concluindo-se os passos acima, o modelo ficará como o modelo mostrado na
Fig. 3.67.
Figura 3.67 – Modelo que representa o movimento circular feito pela roda-gigante.
Defina os parâmetros do modelo com os seguintes valores:
Aceleração _ X
− ( Posição _ X * K )
Velocidade _ X
0
Dx _ Dt _ X
Velocidade _ X
Posição _ X
R
R
14m
A _ Centripeta
(V _ Angular 2 ) * R
V _ Angular
V
R
K
V _ Angular 2
Aceleração _ Y
− ( Posição _ Y * K )
Velocidade _ Y
V
V
7m / s
Dx _ Dt _ Y
Velocidade _ Y
Posição _ Y
0
62
Simulando-se o modelo representado na Fig. 3.67, os resultados mostrados
nas Fig. 3.68 e 3.69.
Figura 3.68 – Os numbers acima mostram os resultados obtidos para a aceleração
centrípeta e para a velocidade angular.
Figura 3.69 – O gráfico acima mostra a trajetória descrita pela roda gigante ao longo
de seu movimento.
A roda-gigante irá demorar um tempo igual a 12.57 s, para completar uma
volta inteira.
63
Capítulo 4 – Conclusão
O objetivo deste trabalho foi alcançado. Uma nova metodologia de ensino da
cinemática foi desenvolvida, em cima de base bem fundamentada e a partir de
conceitos bem explicados.
Durante toda a elaboração desta nova metodologia, foi feito um estudo da
metodologia tradicional paralelamente, com o intuito de comparação de como ambas
se aplicam no estudo proposto. Chegamos a algumas vantagens do método
dinâmico em relação ao método tradicional. Sendo estas, fácil assimilação do jeito
de resolver o problema proposto, rapidez e praticidade na solução de problemas,
abordagem de problemas complexos de uma forma mais tranqüila e sem dúvida, um
jeito muito mais divertido e envolvente de se resolver exercícios de física.
Muitas vezes o que impede um aluno de resolver um exercício de física, são
os conceitos matemáticos envolvidos e não a parte física em si. Isso devido ao fato
de muitas vezes a metodologia tradicional impor que o aluno, memorize um número
grande complexo de fórmulas, para se resolver um exercício qualquer de física. O
método dinâmico, pelo fato de fazer o uso de apenas 5 símbolos, que são capazes
de descrever qualquer tipo de exercício físico ou não, torna-se uma ferramenta de
fácil assimilação do aluno, permitindo que ele possa aprender de um jeito muito mais
fácil, deixando de lado o fato de ter sempre que decorar, e nem sempre aprender.
Durante a solução de um exercício de cinemática, de média complexidade, na
maioria das vezes se faz o uso muitas equações diferentes, fazendo-se diversos
cálculos, num processo de consome muito tempo, e muitas vezes se chegando a
resultados indesejados em virtude de erro nos cálculos. Na modelagem dinâmica,
viu-se que cada tipo de movimento abordado possui um modelo padrão, que
soluciona qualquer tipo de exercício envolvendo este tipo de movimento. Temos
então que muitas vezes, a partir de uma correta interpretação de um exercício
proposto, basta apenas se substituir valores no modelo padrão, onde a partir da
simulação de obtém a resposta correta, em um intervalo de tempo muito curto. Onde
com algumas alterações nos valores, podem-se obter, de uma maneira bem rápida e
prática, diversas situações possíveis de serem analisadas.
Durante a abordagem de problemas de nível difícil, segundo os conceitos
clássicos, na maioria das vezes chega-se a uma matemática extremamente
complexa, que se torna uma barreira na solução de um exercício de física. A
64
metodologia dinâmica permite solucionar tais exercícios, de uma maneira fácil de
entender e muito mais rápida que a tradicional. Pois durante a modelagem de um
exercício de física, temos implícito ao modelo, todo um ferramental de equações,
que são resolvidas durante a simulação para se solucionar o exercício. Mas quem
monta o modelo não tem que se preocupar com tais equações, apenas com a
montagem correta do modelo, o que é muito mais fácil. Isto é então algo que permite
se resolver exercícios de natureza matemática complexa, de forma bastante prática,
desde que se entenda o que esta sendo pedido, e seja feita uma montagem correta
do modelo, não havendo então qualquer preocupação com os cálculos.
Hoje em dia o computador é uma importante ferramenta de trabalho, estudo e
diversão que atrai milhares de pessoas no mundo inteiro. Então o fato desta nova
metodologia, fazer uso do ambiente computacional para ensinar física, é um fato que
já atrai muito os alunos. Pois estes vêem nesta forma interativa de aprender, um
momento de estudo mais descontraído. Algo que os deixa de mente mais aberta a
aprender coisas novas.
65
Referências Bibliográficas
Forio: Web Business Simulations, Disponível em: http://www.forio.com/ . Acesso
em: 15 nov. 2008.
ISee Systems – Stella, Disponível em: http://www.iseesystems.com/ . Acesso
em: 15 nov. 2008.
Powersim AS e Powersim Corporation, Reference Manual, Manual do
Software de Simulação Powersim, 1996.
RAMALHO, NICOLAU E TOLEDO, Os Fundamentos da Física, Volume 1, 8ª
edição, pp. 12 – 169, 2003.
ROCHA, L.S., Dinâmica de Sistemas: Análise Matemática, Trabalho Final de
Curso em Engenharia Elétrica, 2004.
Software Powersim, Disponível em: http://www.powersim.com/ . Acesso em: 15
nov. 2008.
Software VenSim, Disponível em: http://www.vensim.com/ . Acesso em: 15 nov.
2008.
VILLELA, P. R. C., Introdução a Dinâmica de Sistemas, Artigo Científico,
UFJF, 2005.
66
Anexos
A.1 – Manual do Powersim
A.1.1 – Introdução
Inicialmente abra o aplicativo do Powersim, clicando INICIAR / TODOS OS
PROGRAMAS / POWERSIM / CONSTRUCTOR (Fig. A.1.1).
Figura A.1.1 – Abrindo o Powersim.
Ao abrir o Powersim, visualizaremos sua tela inicial, como ilustrado na Fig.
A.1.2.
Figura A.1.2 – Tela inicial do Powersim.
67
Para montar qualquer modelo que será simulado no Powersim, utilizaremos
um dos sete símbolos do programa. Estes estão localizados na parte superior do
programa como mostrado na Fig. A.1.3.
Figura A.1.3 – Elementos básicos para simulação no Powersim.
Estoque - Representa ACUMULAÇÕES ou DESACUMULAÇÕES de
algum recurso (água, dinheiro, prestígio pessoal, produto químico e etc).
Variável - Representa PARÂMETROS que são usados no sistema, onde
normalmente estes parâmetros alteram de valor ao longo do tempo.
Constante - Representa PARÂMETROS que não alteram de valor durante
a simulação.
Fluxo - Representa o transporte de RECURSOS (água, dinheiro, etc)
no sistema.
Seta de Informação – Liga os elementos do sistema e explicitam
relações entre os mesmos.
Observações:
Fluxo já associado a uma variável, que determinará o recurso e a
quantidade a ser transportado.
Fluxo não associado a uma variável, onde o recurso e a quantidade que
ele transporta são desconhecidos.
Seta que fornece informação de forma instantânea.
Seta que fornece informação com atraso.
68
A.1.2 – Modelando uma Caderneta de Poupança
Com o intuito de demonstrar o uso dos símbolos de modelagem do Powersim,
montaremos um modelo que descreve o funcionamento de uma caderneta de
poupança.
Temos em uma caderneta de poupança três variáveis básicas. Estas são:
POUPANÇA (Representa o dinheiro que se tem guardado em algum banco, e
que acumula em cada mês).
TAXA DE RENDIMENTO (Valor percentual constante, que indicará o quanto
será acrescido na poupança a cada mês).
RENDIMENTO (Valor em espécie, que será acrescentado à poupança a cada
mês).
A partir dos conceitos de cada variável do nosso modelo podemos deduzir
que, POUPANÇA será um estoque, pois acumula valores ao longo do tempo. TAXA
DE RENDIMENTO será uma constante, porque não varia com o tempo.
RENDIMENTO será um fluxo, porque será responsável por transportar os recursos
para poupança. Com estes dados montaremos no Powersim o modelo da Poupança.
Para colocar o estoque Poupança execute os seguintes passos:
1 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ícone estoque na barra
de ferramentas do Powersim.
2 – Movimente o mouse sobre a tela e observe que o ponteiro do mouse se
transformou no ícone do estoque. Escolha um lugar na tela onde será colocado o
estoque e de um novo clique no botão esquerdo do mouse.
3 – Observe que o ícone estoque aparecerá na tela, selecionado, onde agora
queremos colocar o nome neste ícone estoque de Poupança. Estando o ícone ainda
selecionado, apenas digite a palavra POUPANÇA.
A tela ficará então da maneira mostrada na Fig. A.1.4.
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Figura A.1.4 – Montando uma caderneta de poupança.
Para colocar o fluxo Rendimento execute os seguintes passos:
1 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ícone fluxo na barra de
ferramentas.
2 – Escolha um lugar na tela a esquerda do estoque POUPANÇA. Clique e
segure o botão esquerdo do mouse sobre a tela, e arraste-o até o ícone
representando a POUPANÇA, quando o ícone estoque ficar na cor preta, solte o
botão esquerdo do mouse.
3 – Observe que o fluxo está selecionado, então aproveite para dar um novo
nome ao fluxo, chame-o de RENDIMENTO.
A tela ficará então da maneira mostrada na Fig. A.1.5.
Figura A.1.5 – Montando uma caderneta de poupança.
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Para colocar a constante Taxa de Rendimento execute os seguintes passos:
1 – Clique com o botão esquerdo do mouse no ícone que representa uma
constante, na barra de ferramentas do Powersim.
2 – Escolha um lugar na tela abaixo e a esquerda do fluxo rendimento, clique
com o botão esquerdo do mouse.
3 – Com o ícone ainda selecionado, digite TAXA DE RENDIMENTO.
A tela ficará então da maneira mostrada na Fig. A.1.6.
Figura A.1.6 – Montando uma caderneta de poupança.
Agora vamos interligar as variáveis que se relacionam. Neste modelo temos
que o RENDIMENTO vai depender da POUPANÇA e da TAXA DE RENDIMENTO,
então vamos interligar POUPANÇA e TAXA DE RENDIMENTO ao fluxo por meio
das setas de informação da seguinte maneira.
1 – Clique com o botão esquerdo do mouse no ícone setas de informação na
barra de tarefas.
2 – Clique no interior da constante TAXA DE RENDIMENTO e segure, arraste
o mouse até o interior do fluxo RENDIMENTO, até que este mude de cor, e então
solte o mouse.
3 – Para relacionar o estoque POUPANÇA e a variável RENDIMENTO, clique
com o com o botão esquerdo do mouse novamente sobre a seta de informação.
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4 – Clique no interior da variável POUPANÇA e segure o mouse, arraste a
seta até o interior do fluxo RENDIMENTO, até que este mude de cor, e então solte o
mouse.
A tela ficará então da maneira mostrada na Fig. A.1.7.
Figura A.1.7 – Montando uma caderneta de poupança.
Observe que os parâmetros do modelo estão com um sinal de interrogação
em seu interior, isso acontece porque eles ainda não foram definidos. Vamos então
definir cada um dos parâmetros do modelo.
Para definir o estoque Poupança, execute os seguintes passos:
1 – Clique duas vezes sobre o estoque POUPANÇA. Uma tela chamada
DEFINE VARIABLE aparecerá.
2 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre a caixa de dialogo
DEFITION e digite 100 (este representa o valor inicial da caderneta de poupança).
3 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre a caixa de dialogo UNIT OF
MEASURE e digite R$ (esta representa a unidade do estoque poupança).
4 – Clique OK. Observe que o sinal de interrogação que estava sobre o
estoque poupança desapareceu.
Para definir a constante taxa de rendimento, execute os seguintes passos:
1 – Clique duas vezes sobre a constante TAXA DE RENDIMENTO. A tela
DEFINE VARIABLE aparece novamente.
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2 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre a caixa de dialogo
DEFITION e digite 1 (este valor representa a taxa de rendimento da poupança em
%).
3 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre a caixa de dialogo UNIT OF
MEASURE e digite % (este representa a unidade da taxa de rendimento).
4 – Clique OK.
Para definir a variável rendimento, execute os seguintes passos:
1 – Clique duas vezes sobre a variável RENDIMENTO, a tela DEFINE
VARIABLE aparece novamente.
2 – Observe que a caixa de dialogo LINKED VARIABLES possui as variáveis
Poupança e Taxa de Rendimento. De dois cliques sobre o estoque Poupança e
observe que ele aparece na caixa de dialogo DEFINITION.
3 – Insira um símbolo de multiplicação (*) na caixa de dialogo DEFINITION.
4 – De dois cliques sobre o ícone taxa de rendimento na caixa de dialogo
LINKED VARIABLES, observe que ele aparece na caixa DEFINITION.
5 – Insira um símbolo que representa a divisão (/) na caixa na caixa de
dialogo DEFINITION.
6 – Digite 100 após o símbolo de divisão.
7 – Clique com o botão esquerdo do mouse sobre a caixa de dialogo UNIT OF
MEASURE e digite R$ / mês.
Observação: A caixa de dialogo DEFINITION da variável Rendimento fica da
seguinte maneira: (POUPANÇA * TAXA_DE_RENDIMENTO / 100).
8 – Clique OK.
Observe que agora não há nenhum sinal de interrogação no modelo, estando
ele concluído.
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A.1.3 – Simulando e Observando a Caderneta de Poupança
Nesta etapa vamos inicialmente criar maneiras de se visualizar os resultados
da caderneta de poupança modelada na seção A.1.2. Pretendemos visualizar os
resultados da caderneta de poupança de maneira gráfica e por meio de tabela.
Para colocar um gráfico na tela, que representará a variação do estoque
poupança ao longo do tempo, execute os seguintes passos.
- Na barra de ferramentas do Powersim procure o ícone TimeGraph (
)
- Clique sobre o ícone com o botão esquerdo do mouse.
- Clique e mantenha o botão esquerdo do mouse pressionado em um ponto
qualquer da tela.
- Arraste o mouse sobre a tela até formar um quadrado, onde estará inserido
o seu gráfico.
- Clique e arraste o estoque poupança até o gráfico.
Após executados os passos acima você terá em sua tela um gráfico idêntico
ao mostrado na Fig. A.1.8.
Figura A.1.8 – Gráfico que permitirá visualizar como a poupança varia com o tempo.
Para colocar na tela uma tabela que mostrará os valores ao longo do tempo
do estoque poupança e do fluxo rendimento execute os seguintes passos:
- Na barra ferramentas do Powersim procure o ícone TimeTable (
).
- Clique sobre o ícone com o botão esquerdo do mouse.
- Clique e mantenha o botão esquerdo do mouse pressionado em um ponto
qualquer da tela.
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- Arraste o mouse sobre a tela até formar um retângulo, onde estará inserida a
sua tabela.
- Clique e arraste o estoque poupança e o fluxo rendimento até a tabela.
Após executados os passos acima você terá uma tabela idêntica à mostrada
na Tab. A.1.1.
Tabela A.1.1 – Tabela que mostrará os valores do estoque poupança e do fluxo
rendimento ao longo do tempo.
O powersim possui ainda outras formas de se visualizar os parâmetros
simulados nos modelos, deixarei que o leitor possa descobrir estas outras formas ao
mexer no programa.
Antes de simular o modelo da caderneta de poupança, vamos definir algumas
características importantes para a simulação. Primeiramente clique na barra superior
chamado Simulate , posteriormente clique em SimulateSetup . A caixa de dialogo
mostrada na Fig. A.1.9 aparecerá.
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Figura A.1.9 – Caixa de definição das características da simulação.
Na caixa StartTime mostrada na figura 10, definiremos o tempo em que o
programa começará a simular. Vamos entrar no StartTime com o valor zero,
significando que nossa simulação começará a partir do tempo zero, sendo este
nossa referência.
Na seção StopTime definiremos até que unidade de tempo o programa simula.
Como estamos tratando de uma caderneta de poupança, onde os rendimentos são
normalmente mensais, colocaremos o StopTime com um valor igual a 12,
significando que simularemos nossa caderneta de poupança por 12 meses (1 ano).
Na parte StepTime definiremos de quanto em quanto tempo ocorrerá à
simulação. Colocaremos o StepTime igual a 1, significando que simularemos de mês
em mês o rendimento da poupança.
A caixa de definição SimulateSetup ficará como mostrada na Fig. A.1.10.
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Figura A.1.10 – Caixa do SimulateSetup definida para nossa simulação.
Após definir o SimulateSetup vamos agora simular nosso modelo.
Para simular nosso modelo utilizaremos os ícones mostrados na Fig. A.1.11.
Figura A.1.11 – Elementos utilizados para simular um modelo no Powersim.
Cada um dos elementos representados na Fig. A.1.11 tem o seguinte
significado:
Play – Elemento utilizado para se começar uma simulação.
Play / Pause – Ao se clicar neste elemento, o play e o pause são
pressionados juntos, onde você está no tempo t=0 da sua simulação. Neste instante
você pode definir valores iniciais para o modelo por meio de elementos dinâmicos.
Após definidos os valores iniciais da-se um clique no pause e inicia-se a simulação
normalmente.
Pause – Elemento utilizado para se pausar ou despausar uma simulação,
no tempo em que se achar conveniente.
Stop – Utilizado para se parar uma simulação, antes que ela tenha
terminado.
Vamos agora então simular nossa caderneta de poupança, para isso clique
no botão Play. A Fig. A.1.12 e a Tab. A.1.2 mostrarão graficamente e por meio de
tabela como nossa poupança se comporta ao longo de 1 ano.
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Figura A.1.12 – Gráfico mostrando o comportamento da nossa caderneta de
poupança ao longo de 1 ano.
Tabela A.1.2 – Tabela mostrando os valores do estoque poupança e do rendimento
em cada mês, durante um ano.
Após a simulação podemos chegar a seguinte conclusão. Colocando
R$100,00 em uma caderneta de poupança que rende 1% ao mês, teremos após 1
ano R$112,68 . Entrando-se no modelo com valores diferentes para o estoque
poupança e para a taxa de rendimento, observaremos infinitas soluções possíveis
para este modelo.
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Anexo A.2 - Exemplos de exercícios resolvidos pelo método dinâmico
Modelo 1:
Figura A.2.1 – Enunciado.
Figura A.2.2 – Modelo.
Figura A.2.3 – Simulador.
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Figura A.2.4 – Instruções de uso do modelo.
Modelo 2:
Figura A.2.5 – Enunciado.
Figura A.2.6 – Modelo.
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Figura A.2.7 – Simulador.
Figura A.2.8 – Instruções de uso do modelo.
Modelo 3:
Figura A.2.9 – Enunciado.
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Figura A.2.10 – Modelo.
Figura A.2.11 – Simulador.
Figura A.2.12 – Instruções de uso do modelo.
82
Modelo 4:
Figura A.2.13 – Enunciado.
Figura A.2.14 – Modelo.
Figura A.2.15 – Simulador.
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Figura A.2.16 – Instruções de uso do modelo.
Modelo 5:
Figura A.2.17 – Enunciado.
Figura A.2.18 – Modelo.
84
Figura A.2.19 – Simulador.
Figura A.2.20 – Instruções de uso do modelo.
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A.3 – Trabalhos desenvolvidos por alunos de graduação
Modelo 1: Trabalho desenvolvido pelo aluno Daniel Seixas Breda, graduando
em engenharia elétrica da UFJF.
Figura A.3.1 – Enunciado.
Figura A.3.2 – Modelo.
Figura A.3.3 – Simulador.
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Figura A.3.4 – Instruções de uso do modelo.
Modelo 2: Trabalho desenvolvido pelo aluno Arthur Augusto Pereira Cruz,
graduando em engenharia elétrica da UFJF.
Figura A.3.5 – Enunciado.
Figura A.3.6 – Modelo.
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Figura A.3.7 – Simulador.
Figura A.3.8 – Instruções de uso do modelo.
Modelo 3: Trabalho desenvolvido pelo aluno Guilherme Gonçalves Dias
Teixeira, graduando em engenharia elétrica da UFJF.
Figura A.3.9 – Enunciado.
88
Figura A.3.10 – Modelo.
Figura A.3.11 – Simulador.
Figura A.3.12 – Instruções de uso do modelo.
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Modelo 4: Trabalho desenvolvido pelo aluno Luis Felipe Froede Lorentz,
graduando em engenharia elétrica da UFJF.
Figura A.3.13 – Enunciado.
Figura A.3.14 – Modelo.
Figura A.3.15 – Simulador.
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Figura A.3.16 – Instruções de uso do modelo.
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