MÉTODOS PARA O ESTUDO DA
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS

Método de Lagrange

Método de Euler
MÉTODO
DE
LAGRANGE
• Descreve o movimento de cada partícula
acompanhando-a em sua trajetória real;
• Apresenta grande dificuldade nas aplicações
práticas;
• Para a engenharia, normalmente não
interessa o comportamento individual da
partícula e sim o comportamento do
conjunto de partículas no processo de
escoamento.
MÉTODO
DE
EULER
• Consiste em adotar um intervalo de
tempo, escolher uma seção ou volume
de controle no espaço e considerar
todas as partículas que passem por
este local;
• Método preferencial para estudar o
movimento dos fluidos: praticidade.
VOLUME
•
DE
CONTROLE
Volume de controle é uma região arbitrária e
imaginária, no espaço, através do qual o fluido
escoa.
CONCEITOS BÁSICOS
DE
VAZÃO
• Vazão em Volume
Vazão é a quantidade em volume de
fluido que atravessa uma dada seção do
escoamento, por unidade de tempo.
CONCEITOS BÁSICOS
DE
VAZÃO
• Vazão em Massa
Vazão em massa é a quantidade em
massa do fluido que atravessa uma dada seção
do escoamento por unidade de tempo.
.
CONCEITOS BÁSICOS
DE
VAZÃO
• Vazão em Peso
Vazão em peso é a quantidade de
peso do fluido que atravessa uma dada
seção do escoamento por unidade de
tempo.
.
CLASSIFICAÇÃO
BÁSICA DOS CONDUTOS
• Condutos Forçados:
São aqueles onde o fluido apresenta um
contato total com suas paredes internas. A
figura mostra um dos exemplos mais comuns
de conduto forçado, que é o de seção
transversal circular.
CLASSIFICAÇÃO
BÁSICA DOS CONDUTOS
• Condutos Livres
São aqueles onde o fluido apresenta contato
parcial com suas paredes internas.
Neste tipo de conduto observa-se sempre uma
superfície livre, onde o fluido está em contato com
o ar atmosférico;
Os condutos livres são geralmente
denominados de canais, os quais podem ser
abertos ou fechados.
CLASSIFICAÇÃO
BÁSICA DOS CONDUTOS
• Condutos Livres
EQUAÇÃO
DA
CONTINUIDADE
• É a equação que mostra a conservação da
massa de líquido no conduto, ao longo de
todo o escoamento;
• Pela condição de escoamento em regime
permanente, podemos afirmar que entre as
seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo,
nem falta de massa:
m1 = m2 = m = cte
EQUAÇÃO
ρ = Δm/V
DA
Δm=ρ.V
CONTINUIDADE
V = A.Δl
Q= Δm/Δt = ρ.V/ Δt = ρ. A.Δl /Δt = ρ.A.v
EQUAÇÃO
 Dadas
DA
CONTINUIDADE
duas seções do escoamento:
EQUAÇÃO
DA
CONTINUIDADE
ρAv = constante
Se ρ é constante (não há variação de massa):
A1V1= A2V2
EQUAÇÃO
DA
CONTINUIDADE
A equação da continuidade estabelece que:
• O volume total de um fluido incompressível (fluido que
mantém constante a densidade apesar das variações na
pressão e na temperatura) que entra em um tubo, será
igual aquele que está saindo do tubo;
• A vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual
a vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área
da seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante
EQUAÇÃO
DA
CONTINUIDADE
Isto equivale a dizer que:
• No escoamento de fluidos incompressíveis em regime
permanente, a vazão em volume, ou simplesmente a
vazão, que passa através de qualquer seção do tubo de
corrente é constante.
•De forma genérica:
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante
Q=AU, onde
U = velocidade média
PROBLEMA RESOLVIDO 1
Uma mangueira de diâmetro de 2 cm é usada para
encher um balde de 20 litros.
a) Se o balde enche em 1 minuto, qual é a
velocidade em cm/s com que a água passa pela
mangueira?
b) Uma criança aperta a saída desta mangueira até
ela ficar com um diâmetro de 5 mm e acerta o
vizinho com água. Qual é a velocidade em cm/s
com que a água sai da mangueira?
PROBLEMA RESOLVIDO 1
Solução:
a) A área da seção transversal da mangueira será dada por
A1 = πr2 = π(2 cm /2)2 = π cm2.
Para encontrar a velocidade, v1 , usamos
Taxa de escoamento (vazão)=
A1v1 = 20 L / min = 20 x 103 cm3 / 60s
v1= (20 x 103 cm3 / 60 s) / (π cm2) = 106,1 cm/s.
b) A taxa de escoamento ( A1v1 ) da água que se aproxima da
abertura da mangueira deve ser igual a taxa de escoamento que
deixa a mangueira ( A2v2 ). Isto resulta em:
v2= A1v1 / A2 = (π. 106,1) / (π. (0,5/2)2) = 1698 cm/s.
PROBLEMA RESOLVIDO 2
Num sistema de drenagem, uma pipa de 25 cm
de diâmetro interno drena para outra pipa
conectada de 22 cm de diâmetro interno.
Se a velocidade da água através da pipa maior é
5 cm/s, determine a velocidade média em cm/s
na pipa menor.
PROBLEMA RESOLVIDO 2
Solução:
Usando a equação da continuidade temos:
A1 v1 = A2 v2
π(12,5 cm)2 (5 cm/s) = π(11,0 cm)2 (v2)
Resolvendo para v2:
v2 = 6,42 cm/s.
PROBLEMA RESOLVIDO 3
Assumindo o fluxo de um fluido incompressível
como o sangue, se a velocidade medida num
ponto dentro de um vaso sanguíneo é 40 m/s,
qual é a velocidade em cm/s num segundo
ponto que tem um terço do raio original?
PROBLEMA RESOLVIDO 3
Solução:
Este problema pode ser resolvido usando a equação da continuidade:
ρ1A1v1= ρ2A2v2
onde: ρ é a densidade do sangue
A é a área da seção transversal, v é a velocidade
e os subscritos 1 e 2 referem-se às localizações dentro do vaso.
Desde que o fluxo sangüíneo é incompressível, temos:
 ρ1= ρ2
 v1 = 40 cm/s
 A1=πr12
 A2 = πr22
r2=r1/3, A2= π(r1/3)2 = (π r12)/9 ou A2=A1/9
 A1/A2 = 9
Resolvendo:
v2 = (A1v1)/A2 = 9 v1 = 9 x 40 cm/s = 360 cm/s