Econometria
Modelos discretos
Modelos não lineares



Em muitas aplicações que nos interessam, as
variáveis econômicas são discretas e tomam um
pequeno conjunto de valores.
Decisões A , B ou C
Queremos saber se o agente vai ou não
participar do mercado de trabalho , se irá ou
não comprar um determinado bem, etc.
Modelos de resposta binária



Temos uma variável dependente y que pode
tomar os valores 0 ou 1.
A probabilidade condicional será escrita da
seguinte forma:
Partindo da teoria econômica poderíamos usar
um modelo de variáveis latentes:
Modelos para variáveis binárias


Probit e logit: distribuições simétricas em torno
de zero.
Modelo Clog-log: distribuição do y é
assimétrica, há uma grande proporção de zero
ou um no banco de dados.
Modelo de probabilidade linear

Assumimos que F é uma função linear:

Interpretação do coeficiente:

A variação na probabilidade de y ser igual a 1
dado um aumento de 1 unidade em x1.

Ha três possíveis problemas com este método:
i) Heterocedasticidade
ii) Valores preditos fora do intervalo [0,1]
iii) Aumento de xk sempre gera variacões
constantes em y, pode prever muito mal nos
valores extremos
Modelos de resposta binária não
lineares




Estimação por máxima verossimilhança.
Não há solução explícita.
Temos que estimar usando um procedimento
numérico interativo (Probit, Logit, clog-log).
Em outros modelos, às vezes precisamos de
algoritmos de maximização mais complicados.
Modelos de resposta binária


A função densidade de uma variável aleatória yi
que toma valores (0,1) pode ser escrita como
uma binomial:
O log da densidade e da verossimilhança são:
Comandos no stata

logit depvar [indepvars] [if] [in] [weight] [, options]

probit depvar [indepvars] [if] [in] [weight] [, options]

cloglog depvar [indepvars] [if] [in] [weight] [, options]
Logit

Odds Ratio: razão de chances
 1 p exp(x  )
p
ln

'
O efeito exp(βj) mede o efeito multiplicativo da
mudança em uma unidade do regressor xj na
razão de chances.
Exemplo
HRS – Health and Retirement Study (2002): beneficiários
do Medicare.
 Análise da contratação de serviço privado de saúde (ins)
 Variáveis explicativas:
Hstatusg – dummy sobre avaliação do estado de saúde.
Adl – número de limitações das atividades diárias
Chronic – número de doenças crônicas
Age, gender, race, ethnicity, marital status, educ, retirement
status, hhincome, linc, sretire (cônjuge é aposentada)
Banco: mus14data.dta

Exemplo

logit ins retire $xlist
Iteration
Iteration
Iteration
Iteration
Iteration
0:
1:
2:
3:
4:
log
log
log
log
log
likelihood
likelihood
likelihood
likelihood
likelihood
=
=
=
=
=
-2139.7712
-1996.7434
-1994.8864
-1994.8784
-1994.8784
Logistic regression
Number of obs
LR chi2(7)
Prob > chi2
Pseudo R2
Log likelihood = -1994.8784
ins
Coef.
retire
age
hstatusg
hhincome
educyear
married
hisp
_cons
.1969297
-.0145955
.3122654
.0023036
.1142626
.578636
-.8103059
-1.715578
Std. Err.
.0842067
.0112871
.0916739
.000762
.0142012
.0933198
.1957522
.7486219
z
2.34
-1.29
3.41
3.02
8.05
6.20
-4.14
-2.29
P>|z|
0.019
0.196
0.001
0.003
0.000
0.000
0.000
0.022
=
=
=
=
3206
289.79
0.0000
0.0677
[95% Conf. Interval]
.0318875
-.0367178
.1325878
.00081
.0864288
.3957327
-1.193973
-3.18285
.3619718
.0075267
.491943
.0037972
.1420963
.7615394
-.4266387
-.2483064
Comparações

Modelos probit e logit
Testes
. logit ins retire $xlist $intlist
Iteration
Iteration
Iteration
Iteration
Iteration
0:
1:
2:
3:
4:
log
log
log
log
log
likelihood
likelihood
likelihood
likelihood
likelihood
=
=
=
=
=
-2139.7712
-1993.0223
-1991.1037
-1991.0956
-1991.0956
Logistic regression
Number of obs
LR chi2(11)
Prob > chi2
Pseudo R2
Log likelihood = -1991.0956
ins
Coef.
retire
age
hstatusg
hhincome
educyear
married
hisp
age2
agefem
agechr
agewhi
_cons
.153885
.3297615
.3422945
.0021678
.1146695
.5378607
-.8002047
-.0025892
-.0022518
.0006382
.0008281
-13.15728
Std. Err.
.0861348
.199131
.0998432
.0007605
.0143478
.0978903
.1964854
.0014767
.0012584
.0004505
.0016095
6.700774
z
1.79
1.66
3.43
2.85
7.99
5.49
-4.07
-1.75
-1.79
1.42
0.51
-1.96
P>|z|
0.074
0.098
0.001
0.004
0.000
0.000
0.000
0.080
0.074
0.157
0.607
0.050
=
=
=
=
3206
297.35
0.0000
0.0695
[95% Conf. Interval]
-.0149361
-.060528
.1466055
.0006773
.0865484
.3459992
-1.185309
-.0054834
-.0047182
-.0002448
-.0023265
-26.29056
.3227062
.720051
.5379835
.0036582
.1427907
.7297223
-.4151004
.0003051
.0002147
.0015212
.0039827
-.0240061
Teste Wald
test $intlist
(
(
(
(
1)
2)
3)
4)
[ins]age2 = 0
[ins]agefem = 0
[ins]agechr = 0
[ins]agewhi = 0
chi2( 4) = 7.45
Prob > chi2 = 0.1141
Logistic model for ins
True
Classified
+
Total
D
~D
Total
345
896
308
1657
653
2553
1241
1965
3206
Classified + if predicted Pr(D) >= .5
True D defined as ins != 0
Sensitivity
Specificity
Positive predictive value
Negative predictive value
Pr( +| D)
Pr( -|~D)
Pr( D| +)
Pr(~D| -)
27.80%
84.33%
52.83%
64.90%
False
False
False
False
Pr( +|~D)
Pr( -| D)
Pr(~D| +)
Pr( D| -)
15.67%
72.20%
47.17%
35.10%
+
+
-
rate
rate
rate
rate
for
for
for
for
true ~D
true D
classified +
classified -
Correctly classified
62.45%