Independência e Experimentos
de Bernoulli
2. Independência e Experimentos de Bernoulli
Independência: Os eventos A e B são independentes se
P( AB)  P( A) P( B).
• É fácil mostrar que se A, B são independentes, então
A, B; A, B são também independentes. Por exemplo:
B  ( A  A) B  AB  AB e
A, B;
AB  AB   , então
P( B)  P( AB  AB)  P( AB)  P( AB)  P( A)P( B)  P( AB)
P( AB)  P( B)  P( A)P( B)  (1  P( A))P( B)  P( A)P( B),
Portanto A e B são eventos independentes.
Se P(A) = 0, e se AB  A então a condição
P( AB)  P( A)  0  P( AB)  0,
é sempre satisfeita.
1
Eventos independentes obviamente não podem ser disjuntos, pois
se P ( A )  0, P ( B )  0 e se A, B são independentes implica em
P. ( AB )  0 .
• De forma mais geral, uma família de eventos é dita ser independente, se para qualquer subconjunto finito, tem-se:
A i1 , A i 2 ,  , A i n ,
 n

P   A i k  
 k 1

n

k 1
P ( A ik A
).i 
Seja
a 1união
A A
A 2  de
A n n eventos independentes. Pela Lei de DeMorgan
e usando a definição de independência, tem-se
P ( A )  P ( A1 A 2  A n ) 
n
n
 P ( A )   (1  P ( A )) .
i
i 1
i 1
i
Assim para qualquer A, tem-se
n
P ( A )  1  P ( A )  1   (1  P ( Ai )) ,
i 1
2
Exemplo 2.1: Três chaves conectadas em paralelo operam
independentemente. Cada chave permanece fechada com
probabilidade p. (a) Encontre a probabilidade de um sinal ser
transmitido através do circuito. (b) Encontre a probabilidade da
chave S1 estar aberta dado que um sinal é recebido na saída.
S1
S2
Input
Output
S3
Solução: a) Seja Ai = “a chave Si está fechada”. Uma vez que as
chaves operam independentemente, tem-se:
P ( Ai )  p ,
i  1, 2,3
P ( Ai A j )  P ( Ai ) P ( A j ); P ( A1 A2 A3 )  P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ).
3
Seja R = “um sinal de entrada é recebido na saída”. Para o evento R
ocorrer as chaves 1 ou 2 ou 3 devem estar fechadas, i.e.,
3
2
3
R  A1  A2  A3 . P( R )  P( A1  A2  A3 )  1  (1  p )  3 p  3 p  p .
Como qualquer evento e seu complemento formam uma partição,
então:
P ( R )  P ( R | A1 ) P ( A1 )  P ( R | A1 ) P ( A1 ).
Mas P ( R | A1 )  1, e
Então:
P ( R | A1 )  P ( A2  A3 )  2 p  p 2
P ( R )  p  ( 2 p  p 2 )(1  p )  3 p  3 p 2  p 3 ,
Note que os eventos A1, A2, A3 não formam uma partição uma vez
que eles não são disjuntos, logo:
P ( A1 )  P ( A2 )  P ( A3 ) ¹ 1 .
b. Usando o teorema de Bayes para calcular P ( A1 | R ).
P ( R | A1 ) P ( A1 ) ( 2 p  p 2 )(1  p )
2  2 p  p2
P ( A1 | R ) 


.
2
3
2
3
P( R)
3p  3p  p
3p  3p  p
Devido a simetria tem-se: P ( A | R )  P ( A | R )  P ( A | R ).
1
2
3
4
Experimentos repetidos
Considere dois experimentos independentes com modelos de
probabilidades associados (W1, F1 , P1 ) e (W 2, F2, P2). Seja xÎW1,
hÎW2 dois eventos elementares. A realização conjunta dos dois
experimentos produz um evento elementar w = ( x, h). Como
caracterizar uma probabilidade apropriada destes eventos
combinados?
Considerando o produto cartesiano dos espaços W = W1´ W2
generatedo de W1 e W2 tal que se x Î W1 e h Î W2 , então para
qualquer w em W é um par ordenado da forma w = ( x, h).
Define-se, então o modelo de probabilidades combinado por
(W, F, P).
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Supondo que AÎF1 e B Î F2. Então, A ´ B é o conjunto de todos
os pares (x, h), onde x Î A e h Î B. Assim, qualquer subconjunto
é de W parece ser um legítimo evento associado a um evento
combinado. Seja F o campo composto de todos os subconjuntos
A ´ B juntamente com suas uniões, interseções e complementações.
As probabilidades dos eventos A ´ W2 e W1 ´ B são tais que:
P ( A ´ W 2 )  P1 ( A), P (W1 ´ B )  P2 ( B ).
Mas os eventos A ´ W2 e W1 ´ B são independentes, então para
qualquer A Î F1 e B Î F2 , então. ( A ´ W 2 )  (W1 ´ B )  A ´ B,
Conclui-se, então que:
P( A ´ B )  P( A ´ W2 ) × P(W1 ´ B )  P1 ( A) P2 ( B )
Generalização: Para n experimentos
W 1 , W 2 , , W n ,
tem-se:
A  A1 ´ A2 ´  ´ An
e
Se todos os eventos são independentes:
P( A1 ´ A2 ´  ´ An )  P1 ( A1 ) P2 ( A2 )  P( An ).
W  W1 ´ W 2 ´  ´ W n
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Exemplo 2.2: Um evento A tem probabilidade p de ocorrer.
Encontre a probabilidade do evento A ocorrer exatamente k
vezes, k  n, quando o evento é repetido n vezes.
Solução: Seja (W, F, P) o modelo probabilístico do
experimento simples. O ponto amostra é uma n-tuple
w   x 1 , x 2 ,  , x n Î W 0 ,
onde x i Î W e W 0  W ´ W ´  ´ W . O evento A ocorre
para o experimento # i , se x i Î A . Supondo que A ocorre
exatamente k vezes em w, então
P0 (w )  P({ xi1 ,xi2 ,,xik ,, xin })  P({ xi1 }) P({ xi2 })  P({ xik })  P({ xin })
 P( A) P( A)  P( A) P( A) P( A)  P( A)  p q


 


k
k
n k
.
p  q 1
n k
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No entanto, as k ocorrências de A podem acontecer em qualquer
posição particular em w. seja w 1 , w 2 ,  , w N todos os eventos
para os quais o evento A ocorre exatamente k vezes. Então, o evento
" A ocorre exatamente k vezes em n experimentos"  w1  w 2   w N .
Como os w i´s são eventos mutuamente exclusivos e equiprováveis.
P(" A ocorrer exatamente k vezes em n experimentos") 
N
Pn (k ) 
å
i 1
P0 (w i )  NP0 (w )  Np k q n k ,
n
n ( n  1)  ( n  k  1)
n!
N

  
k!
( n  k )! k!  k 
 n  k nk
Pn (k )    p q , k  0,1,2,, n.
k 
p  q 1
Fórmula de Bernoulli
Pode-se associar aos eventos sucesso (A) e falha ( A)
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Exemple 2.3: Uma moeda é lançada n vezes. Qual a probabilidade
de ocorrerem k caras em n lançamentos ?
Solução: “sucesso” = A = {ocorre cara, H}
 n  k nk
Pn (k )    p q
k 
p  P (H )
Exemple 2.4: Um dado é lançado oito vezes. Qual a probabilidade
das faces 3 ou 4 aparecerem 5 vezes?
Solução: " sucesso"  A  { face 3 ou 4 ocorre}   f 3   f 4 .
1 1 1
P ( A)  P ( f 3 )  P ( f 4 )    ,
6 6 3
 n  k nk
Pn (k )    p q
n  8, k  5
p  1/ 3.
k 
5
 8  1   2 
P5 (8)      
 5  3   3 
p  q 1
3
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Experimentos de Bernoulli
Consiste de experimentos idênticos repetidos e independentes com
apenas dois resultados possíveis A, com P( A)  p, e A com P( A)  q.
Considere agora todos os eventos para k  0,1,2,, n, definidos
por:
X k  { " exatamente k ocorrências em n experimentos"}
Como os eventos X0 , X1 , X2 , ... , Xn, são mutuamente exclusivos,
então:
n
n
 n  k nk

P( X 0  X 1    X n ) 
P( X k ) 
 1.
k 
p q
k 0
k 0  
å
Visto que: (a  b) 
n
 n  k n k

å
k 
a b ,
k 0 

n
P(" ocorrênciade A estar entre k1 e k 2 " )
k2
( p  q)n  1,
e
Pn (k )
n  12,
k2
 n  k nk

P( X k )    p q .
k
k  k1
k  k1  
å
å
å
k
Fig. 2.2
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p  1 / 2.
Exemplo 2.5: Suponha 5.000 componentes são inspecionados. A
probabilidade de que uma parte dos componentes seja defeituosa é
igual a 0,1. Qual é a probabilidade de que o número total de
defeitos não exceda 400 ?
Solução: Seja
Yk  " k parteé defeituosadentre5.000componentes".
Usando a fórmula de Benoulli
 5000

(0.1) k (0.9) 5000  k
P (Y0  Y1    Y400 ) 
P (Yk ) 
k 
k 0
k 0 
400
å
400
å
Pode-se mostrar que o valor mais provável kmax de sucesso em n
experimentos é dado por:
q k max
p
p 
 p ,
(n  1) p  1  kmax  (n  1) p
n
n
n
km
 p.
n  n
lim
11