Experimentos em parcelas
subdivididas
LCE 0602 – Estatística Experimental
Características
• São
estudados
dois
ou
mais
fatores
simultaneamente.
• Esses fatores são chamados primários e secundários.
• Fatores primários são aleatorizados nas parcelas e os
secundários nas sub parcelas.
Resumo: No delineamento em parcelas subdivididas, as
parcelas experimentais são divididas em sub parcelas. Os
níveis de um fator, por exemplo, A, são casualizados nas
parcelas e, posteriormente, os de outro fator, por
exemplo, B, são casualizados nas sub parcelas.
Aplicações
a) quando os níveis de um fator exigem grandes quantidades
do material experimental (por exemplo, métodos de
preparo do solo);
b) quando informações prévias asseguram que as diferenças
entre os níveis de um dos fatores são maiores do que às
do outro fator;
c) quando se deseja maior precisão para comparações entre
níveis de um dos fatores;
d) quando existe um fator de maior importância e outro de
importância secundária, sendo que este é incluído para
aumentar a extensão dos resultados e
e) nas situações práticas onde é difícil a instalação do
experimento no esquema fatorial.
Modelo estatístico
y jik     i  b j  eij   k  ( )ik  eijk
𝑦𝑖𝑗𝑘 = observação no j-ésimo bloco, do i-ésimo nível do
fator A e k-ésimo nível do fator B;
 = média geral;
i = efeito devido ao i-ésimo nível do fator A;
𝑏𝑗 = efeito devido ao j-ésimo bloco;
𝑒𝑖𝑗 = erro associado à parcela (ij);
k = efeito devido ao k-ésimo nível do fator B;
()ik = efeito da interação entre os fatores A e B;
𝑒𝑖𝑗𝑘 = erro associado à sub parcela (ijk).
Análise de variância
Inteiramente Casualizado
Blocos Casualizados
Quadrado Latino
F.V.
G.L.
F.V.
G.L.
F.V.
G.L.
Fator A
I-1
Blocos
J-1
Linhas
I-1
Resíduo(a)
I(J-1)
Fator A
I-1
Colunas
I-1
Parcelas
IJ-1
Resíduo(a)
(I-1)(J-1)
Fator A
I-1
Fator B
K-1
Parcelas
IJ-1
Resíduo(a)
(I-1)(I-2)
AxB
(I-1)(K-1)
Fator B
K-1
Parcelas
I2 –1
Resíduo(b)
I(J-1)(K-1)
AxB
(I-1)(K-1)
Fator B
K-1
Total
IJK-1
Resíduo(b)
I(J-1)(K-1)
AxB
(I-1)(K-1)
Total
IJK-1
Resíduo(b)
I(I-1)(K-1)
Total
I2K –1
Exemplo
Um pesquisador, com o objetivo de verificar o efeito da dose
de adubação fosfatada e seu tipo de aplicação na
produtividade da cultura do milho (kg/ha), instalou um
experimento em que cada uma das doses de adubação
fosfatada (0, 40, 80 e 120 kg/ha) foram aleatorizadas nas
parcelas, segundo um delineamento casualizado em blocos (4
blocos), e o tipo de aplicação (Cova, Sulco e Lanço) constituiu
o tratamento das sub parcelas.
Parcelas subdivididas vs fatorial
Fatorial
Fatores: Doses (0, 40, 80 e 120 kg/ha) e Tipo de aplicação
(Cova, Sulco e Lanço)
I=4 e K=3.
Tratamentos (IK=12): 0-Cova, 0-Sulco, 0-Lanço, 40-Cova, ...,
120-Lanço.
Aleatorização:
Bloco 1
Bloco 2
Bloco 3
Bloco 4
T9
T4
T7
T3
T11
T5
T10
T8
T1
T6
T2
T12
Parcelas subdivididas vs fatorial
Fatorial
Análise de variância:
F.V.
G.L.
Blocos
4-1 = 3
Doses
4-1 = 3
Aplicação
3-1 = 2
Doses x Aplic.
(4-1)(3-1) = 6
Resíduo
47 - 14 = 33
Total
48-1 = 47
Parcelas subdivididas vs fatorial
Parcelas subdividias
Fatores: Doses (0, 40, 80 e 120 kg/ha) e Tipo de aplicação
(Cova, Sulco e Lanço)
I=4 e K=3.
Tratamentos (IK=12): 0-Cova, 0-Sulco, 0-Lanço, 40-Cova, ...,
120-Lanço.
Aleatorização em duas etapas:
Bloco 1
Bloco 2
Bloco 3
Bloco 4
cova
80
lanço
sulco
sulco
120
cova
lanço
sulco
40
lanço
cova
lanço
0
sulco
cova
Parcelas subdivididas vs fatorial
Parcelas subdividias
Análise de variância:
F.V.
G.L.
Blocos
4-1 = 3
Doses
4-1 = 3
Resíduo(a)
(4-1)(4-1) = 9
Parcelas
16-1=15
Aplicação
3-1 = 2
Doses x Aplic.
(4-1)(3-1) = 6
Resíduo(b)
4(4-1)(3-1) = 24
Total
(4x4x3)-1 = 47
Como estudar Fatores com níveis
quantitativos
Fatores Qualitativos Fatores Quantitativos
TCM
Cultivares de milho (A, B, C e D)
Idades de Corte de Gramíneas
(30, 60 e 90 dias)
Rações (Comum e Premium)
Níveis de Estradiol na Ração
(0, 20, 40, 60 e 80 mg)
Raças (R1, R2,....)
Temperaturas
(170C, 220C e 250C )
Sexo (Macho e Fêmea)
Níveis de Energia
(2800, 3000, 3200 e 3400 Kcal/kg)
Irrigação (Presença e Ausência)
Doses de Adubo
(10, 20, 30, 40 e 50 kg/ha)
Adubação
(Orgânica, Química, Testemunha)
Porcentagem de proteína
(16, 18, 20 e 22%)
Regressão
Ajuste de polinômios ortogonais para
fatores quantitativos
23
Variável resposta
21
19
17
15
13
Valor observado
11
Valor estimado
9
y = -0.0072x2 + 0.9833x - 13
7
5
20
40
60
80
Idade de Corte (dias)
100
Ajuste de polinômios ortogonais para
fatores quantitativos
Y=a + bx
Y=a + bx + cx2
Y=a + bx + cx2 + dx3
Modelo Linear (1º grau): reta
Modelo Quadrático (2º grau): parábola
Modelo Cúbico (3º grau)
O número de modelos possíveis de serem
ajustados depende do número de níveis do
fator em estudo
Ajuste de polinômios ortogonais para
fatores quantitativos
Fator A: 2 níveis (gl=1)
Modelo linear ou regressão linear (1º grau)
Fator A: 3 níveis (gl=2)
Modelo linear ou regressão linear (1º grau)
Modelo quadrático ou regressão quadrática (2º grau)
Fator A: 4 níveis (gl=3)
Modelo linear ou regressão linear (1ºgrau)
Modelo quadrático ou regressão quadrática (2º grau)
Modelo cúbico ou regressão cúbica (3º grau)
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Totais de Tratamentos
Nº Trat
2
3
4
5
6
Grau do
polin.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-1
-1
1
-3
1
-1
-2
2
-1
1
-5
5
-5
1
-1
1
0
-2
-1
-1
3
-1
-1
2
-4
-3
-1
7
-3
5
1
1
1
-1
-3
0
-2
0
6
-1
-4
4
2
-10
3
1
1
1
-1
-2
-4
1
-4
-4
2
10
2
2
1
1
3
-1
-7
-3
-5
5
5
5
1
1
K
M
2
2
6
20
4
20
10
14
10
70
70
84
180
28
252
1
1
3
2
1
10/3
1
1
5/6
35/12
2
3/2
5/3
7/12
21/10
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
DIC (4 repetições), Fator: Dose, Níveis: 0, 10, 20, 30.
Fonte de Variação
Graus de Liberdade
Soma de Quadrado
Doses
3
SQDose
Erro
12
SQErro
Total
15
SQTotal
Graus de Liberdade
Soma de Quadrado
3
SQDose
Regressão Linear
1
SQLinear
Regressão Quadrática
1
SQQuadrática
Regressão Cúbica
1
SQCúbica
Erro
12
SQErro
Total
15
SQTotal
Fonte de Variação
Doses
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?
Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja
significativa
Graus de
Liberdade
Soma de Quadrado
3
SQDose
Regressão Linear
1
SQLinear
(significativa)
Regressão Quadrática
1
SQQuadrática
(significativa)
Regressão Cúbica
1
SQCúbica
Erro
12
SQErro
Total
15
SQTotal
Fonte de Variação
Doses
Modelo Linear: Y=a + bx
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?
Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja
significativa
Graus de
Liberdade
Soma de Quadrado
3
SQDose
Regressão Linear
1
SQLinear
(significativa)
Regressão Quadrática
1
SQQuadrática
(significativa)
Regressão Cúbica
1
SQCúbica
Erro
12
SQErro
Total
15
SQTotal
Fonte de Variação
Doses
Modelo Linear:
Quadrático:
Y=a +Y=a
bx + bx + cx2
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?
Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja
significativa
Graus de
Liberdade
Soma de Quadrado
3
SQDose
Regressão Linear
1
SQLinear
(significativa)
Regressão Quadrática
1
SQQuadrática
(significativa)
Regressão Cúbica
1
SQCúbica
(significativa)
Erro
12
SQErro
Total
15
SQTotal
Fonte de Variação
Doses
Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?
Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja
significativa
Graus de
Liberdade
Soma de Quadrado
3
SQDose
Regressão Linear
1
SQLinear
Regressão Quadrática
1
SQQuadrática
Regressão Cúbica
1
SQCúbica
Erro
12
SQErro
Total
15
SQTotal
Fonte de Variação
Doses
Modelo Cúbico: Y=a + bx + cx2 + dx3
(significativa)
(significativa)
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Totais de Tratamentos
Nº Trat
2
3
4
5
6
Grau do
polin.
T1
T2
T3
T4
T5
T6
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-1
-1
1
-3
1
-1
-2
2
-1
1
-5
5
-5
1
-1
1
0
-2
-1
-1
3
-1
-1
2
-4
-3
-1
7
-3
5
1
1
1
-1
-3
0
-2
0
6
-1
-4
4
2
-10
3
1
1
1
-1
-2
-4
1
-4
-4
2
10
2
2
1
1
3
-1
-7
-3
-5
5
5
5
1
1
K
M
2
2
6
20
4
20
10
14
10
70
70
84
180
28
252
1
1
3
2
1
10/3
1
1
5/6
35/12
2
3/2
5/3
7/12
21/10
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Como calcular as somas de quadrados das regressões?
1º Passo: Montar um quadro auxiliar
Coeficientes
Totais de
Tratamentos
Linear (C1)
Quadrática (C2)
Cúbica (C3)
T1 = 46,4 (4)
-3
1
-1
T2 = 139,0 (4)
-1
-1
3
T3 = 156,4 (4)
1
-1
-3
T4 = 140,0 (4)
3
1
1
K
20
4
20
M
2
1
10/3
298,2
-109,0
41,4
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Como calcular as somas de quadrados das regressões?
2º Passo: Cálculo das Somas de Quadrados (SQRegressão)
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Como montar a equação de regressão (feito manualmente)?
Modelo Linear: Y=a + bx
Y= Y + B1M1P1
Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2
Y= Y + B1M1P1 + B2M2P2
Modelo Cúbico: Y=a + bx + cx2 + dx3
Y= Y + B1M1P1 + B2M2P2+ B3M3P3
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Como montar a equação de regressão (feito manualmente)?
Modelo Linear: Y=a + bx
Y= Y + B1M1P1
Cuidado! É muito parecido com a SQRegressão
Valor da tabela de coeficientes
é a média dos níveis dos tratamentos (0+10+20+30)/4 = 15
q é o espaçamento entre os níveis de tratamentos (q=10)
Ajuste de polinômios ortogonais para fatores
quantitativos
Como montar a equação de regressão (feito manualmente)?
Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2
Y= Y + B1M1P1 + B2M2P2
n é o número de níveis do
fator
Nos softwares SAS e R os coeficientes dos modelos
de regressão (a, b, c, ....) são obtidos diretamente.