Modelagem e Simulação de
Processos - Introdução
Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira
INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
ETAPAS ENVOLVIDAS NA SIMULAÇÃO MATEMÁTICA
PROCESSO: unidades ou arranjo de unidades integradas entre si de maneira racional
e sistemática (reatores, trocadores de calor, colunas de destilação, colunas de absorção,
evaporadores, tanques de aquecimento, tanques de mistura, etc).
ANÁLISE: corresponde ao desenvolvimento do modelo matemático através da aplicação
dos princípios de conservação de massa, energia e quantidade de movimento, da
formulação de hipóteses simplificadoras, condições iniciais e condições de contorno.
MODELO: conjunto das equações representativas do processo.
INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS: valores dos coeficientes (parâmetros) das equações.
TÉCNICAS DE SOLUÇÃO: métodos numéricos utilizados para a resolução das equações.
INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS
MODELOS FENOMENOLÓGICOS: são modelos que buscam descrever os
fenômenos principais envolvidos no processo usando-se, para isso, os princípios básicos de
conservação de massa, energia e quantidade de movimento,
equações constitutivas, condições iniciais e de contorno.
MODELOS
EMPÍRICOS: o processo é visto como uma “caixa-preta”, desconhecendo-se
totalmente os mecanismos de causa/efeito entre as variáveis independentes (x) e as variáveis
dependentes (y) do processo. As variáveis dependentes são correlacionadas empiricamentecom
as independentes através das chamadas funções de transferência: y=f(x).
y=f(x)
Funções de transferência usuais:
- modelos polinomiais;
- modelos exponenciais;
- modelos de redes neurais.
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CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS
a) segundo a natureza das variáveis:
- modelos determinísticos: são aqueles em que cada variável ou parâmetro pode ser
associado a um número fixo definido. A sua solução fornece valores exatos para a variável
de resposta.
- modelos estocásticos: os modelos estocásticos são utilizados
para fornecer a
probabilidade de um determinado valor ocorrer para uma variável. A solução desses
modelos é uma probabilidade e não um valor exato.
b) segundo a dependência com a variável tempo:
- modelos de estado estacionário: não há termo de acúmulo, isto é, não há variação
com o tempo. Ex. Reator contínuo de mistura perfeita.
- modelos de estado dinâmico: nesses modelos há variação com o tempo, normalmente
utilizados em controle de processos. Ex. Reator em batelada.
c) segundo a natureza das equações resultantes:
- modelos representados por equações algébricas;
- modelos representados por equações diferenciais ordinárias;
- modelos representados por equações diferenciais parciais.
ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
INTRODUÇÃO AO SOFTWARE UTILIZADO PARA A RESOLUÇÃO
DOS MODELOS MATEMÁTICOS: SCILAB
O scilab é um software gratuito que pode ser obtido no site: www.scilab.org
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INTRODUÇÃO AO SCILAB
Abra o scilab
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INTRODUÇÃO AO SCILAB
No Scilab Console, os programas computacionais são rodados.
As variáveis definidas ou retornadas ao Scilab Console são mostradas no Navegador de
variáveis.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB
No Scilab Console são realizados os cálculos.
Verificando algumas operações matemáticas:
1+2
5^2
5*2
5/2
2-5
pi
%pi
cos(%pi)
sin(%pi/2)
sin(%pi)
cos(%pi/2)
sin(%pi)/cos(%pi/2)
tan(%pi/2)
exp(1)
log(10)
log(exp(5))
log10(100)
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INTRODUÇÃO AO SCILAB
Definindo variáveis:
a=1
A=5;
O ponto e vírgula ; no final da linha é utilizado para evitar a impressão da variável, aumentando
a velocidade de processamento.
b=2;
a*A
a/(A+b)
log(10^A)
log10(10^A)
Utilizando a ajuda do scilab:
Verifique como utilizar a função poly do scilab clique na lupa, digite poly e dê enter:
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INTRODUÇÃO AO SCILAB
Para salvar os programas é conveniente utilizar o editor de texto do scilab.
Como no decorrer do curso será utilizada a programação orientada a objetos, deve-se saber
utilizar as funções function que é utilizada como entrada para cada objeto de simulação criado,
a função return que é a função de saída do objeto de simulação (último comando lógico do
objeto) e a função endfunction fechando a programação do objeto.
function nome_do_objeto(x1,x2,x3)
…Lista de comandos do objeto….
[y1,y2,y3,y4]=return(saida1, saida2, saida3, saida4)
endfunction
Exemplo de problema envolvendo cálculo de raizes de polinômio (função roots) no scilab:
Diversas substâncias químicas com ponto de ebulição abaixo da temperatura ambiente
costumam ser armazenadas na forma liquefeita, sob alta pressão, em recipientes adequados. Os
exemplos mais conhecidos são o GLP (gás liquefeito de petróleo), propano, butano e amônia.
Diversos tipos de recipientes são utilizados: recipientes cilíndricos (com tampos arredondados)
são usados para pequenas quantidades (isqueiros, botijões, cilindros, caminhões tanque).
Industrialmente, uma forma consagrada de armazenar estes "gases liquefeitos" é o uso de
esferas de armazenamento.
Descrição do problema: Uma esfera de armazenamento de propano dispõe de um instrumento
de medição de nível que indica a altura (medida do ponto de tangência inferior da esfera) da
interface líquido-vapor.
O volume de líquido é dado pela fórmula
V=pi * h²(3r-h)/3
Uma esfera com 10 metros de diâmetro é utilizada para armazenar propano liquefeito. O nível
inicial de líquido é de 5,1 metros.
O responsável pela operação da planta precisa transferir 150 m³ de propano líquido desta esfera
para o processo. Determine o nível de líquido na esfera ao final da transferência (despreze a
parcela do propano presente na fase vapor).
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INTRODUÇÃO AO SCILAB
Solução:
Como dados de entrada o programa fornece os valores do diâmetro da esfera de
armazenamento (d = 10 m), o nível inicial de líquido (hi = 5,1 m) e o volume a ser transferido
(Vt=150 m³). A saída é o nível final do reservatório (nível a ser atingido quando a válvula de
saída deve ser fechada).
O problema é de simples solução, porém vamos criar um programa para simular a esfera para
qualquer condição inicial.O primeiro passo é abrir o scilab e, depois, começar a criar o
programa.
Obs. O nível do reservatório pode ser obtido resolvendo o seguinte polinômio:
Polinômio= 3*V/pi - 3*r*h² + h³ = 0
Para executar o programa deve-se salvar e executar
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INTRODUÇÃO AO SCILAB
Solução:
Após clicar em salvar e executar, deve-se ir para a janela principal do scilab, verificar se há
erros de programação e corrigi-los. E digitar a função com seus valores de entrada entre
parênteses, e digitar a variável retornada pela saída do programa (ou verificar o valor da
variável no navegador de variáveis).
Nesse caso, a solução é h=3,1 m (pois 0<h<d, d=10 m). Observe que h é uma variável
complexa.
Agora vamos fazer o programa mostrar apenas o valor de h utilizando testes lógicos, para
selecionar uma raiz real entre 0 e D.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB
Seleção do valor de h (para 0<h<d) considerando que h deva ser uma raiz real.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
Até agora, foi criado o script de um objeto de simulação. Agora, vamos criar os objetos a serem
utilizados na simulação. Para isso, vamos utilizar o xcos, uma ferramenta de simulação do
scilab.
1) Abra o Xcos do scilab.
2) No Navegador de Paleta, clique em fontes para criar as entradas e arraste uma entrada de
matriz (CONST_m) para a janela de fluxograma do Xcos.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
3) Clique em Anotações e arraste para o fluxograma para anotar as variáveis de entrada
(diâmetro da esfera, nível inicial e volume transferido) como matriz de entrada u=[d,hi,Vt].
Clique no bloco de entrada e substitua com os valores da matriz de entrada u=[10,5.1,50].
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
4) Arraste um bloco scifunc_block_m de Funções definidas pelo usuário. Clique sobre o bloco,
altere a entrada para uma matriz de uma linha e três colunas e clique em OK.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
5) Após clicar em OK aparecerá uma janela para digitação da função. Copie e cole o programa
e faça as alterações pertinentes, como colocar d=u1(1), hi=u1(2) e Vt=u1(3). Na última
linha do programa defina y1=h. Não cole a primeira linha (function...) nem as duas últimas
(return e endfunction) pois são as entradas e saídas do bloco. Não precisa tipos de entradas
nem saidas pedidos em seguida, pois utilizaremos blocos do Xcos.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
6) Em Receptores escolha o bloco AFICH_m para exibição da resposta e adicione um Clock_c
de fontes faça as interligações de entrada e saída e clique em iniciar. Clicando no bloco
AFICH_m do fluxograma você pode alterar o número de dígitos da parte racional. Alterando os
valores de entrada, altera-se também a saída ao clicar em iniciar.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
7) Para demonstrar o funcionamento do XCOS vamos agora criar um gráfico de V versus h
para o problema anterior utilizando funções do XCOS. Para facilitar vamos considerar como
variável independente o nível (t=h, para h variando de 0 a 10 m) e como variável dependente o
volume (y1=V):
V=pi * h²(3r-h)/3
Faça as interligações como na figura, e configure cada bloco (Obs. Para criar a porta da
variável independente, deve-se atribuir [1] em “input event ports sizes”).
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
8) Antes de simular deve-se configurar a simulação, pois a variável independente (t=h) deve
variar entre 0 e 10 m. Isso é feito definindo o tempo final de integração igual a 10.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
9) Agora basta realizar a simulação e obter o gráfico e alterar o título dos eixos.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
Trabalhando com vetores e matrizes:
Os argumentos da matriz devem ser colocados entre colchetes [ ]
As linhas são separadas por ponto e vírgula (;)
As colunas são separadas por vírgula (,) ou espaço
É possivel criar ou modificar valores em uma matriz utilizando o editor de variáveis.
Na janela principal do scilab digite:
A=[11 12;21 22;31 32]
B=[11 12 13;21 22 23]
A*B
B*A
B*B
A*(A*B)
B*(A*B)
A*(A*B)
B*(B*A)
Matriz transposta
A‘
Matriz inversa
C=B*A
inv(C)
C^(-1)
1/C
C*inv(C)
C/C
C*C^(-1)
C^(-1)/C
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
Trabalhando com vetores e matrizes:
Dimensões (size), máximos (max), mínimos (min) e módulo (abs)
size(A)
size(A,1)
size(A,2)
[m,k]=max(A)
[n,j]=min(A)
o=min(inv(C))
O=min(abs(inv(c))
Adicionando linhas e colunas a uma matriz:
Ex:
D=[13;23;33]
A
E=[A D]
E=[E;D']
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
Utilizando vetores para realização de regressão linear:
Filtração a pressão constante de 105 Pa foi realizada para uma suspensão de de sólidos em
H2O sendo obtidos os resultados apresentados na tabela. A superfície total de filtração foi
400 cm², a massa de sólidos por volume de filtrado foi de 5 g/L e a temperatura foi de 20 oC
(µH2O=1x10-3kg/[ms]). Calcule os valores de α e Rm.
Experimento:
V(L)
t1 (s)
0,5
22,3
1
83,6
1,5
184,0
2
323,5
2,5
502,0
3
719,6
t=b1V+b2V²
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
Utilizando vetores para realização de regressão linear:
Filtração a pressão constante de 105 Pa foi realizada para uma suspensão de de sólidos em
H2O sendo obtidos os resultados apresentados na tabela. A superfície total de filtração foi
0,04 m², a massa de sólidos por volume de filtrado foi de 5 kg/m³ e a temperatura foi de
20 oC (µ=1x10-3kg/[ms]). Calcule os parâmetros de filtração α e Rm.
Experimento:
V(m³)
t (s)
5*10-4 22,3
1*10-3 83,6
1,5*10-3 184,0
2*10-3 323,5
2,5*10-3 502,0
3*10-3 719,6
A Equação para a filtração constante pode ser expressa como: t=b1V+ b2 V² onde:
b1=c/(2A2P), b2=Rm/(AP)
Os parâmetros b1 e b2 podem ser calculados fazendo a regressão por meio de matrizes:
B=(XTX)-1 * (XTY)
Onde:
B=[b1;b2];
X=[5d-4,5d-4^2;1d-3,1d-3^2;1.5d-3,1.5d-3^2;2d-3,2d-3^2;2.5d-3,2.5d-3^2;3d-3,3d-3^2];
Y=[22.3;83.6;184;323.5;502;719.6];
Compare os valores experimentais com os calculados pelo modelo utilizando para os valores
calculados: Yc=X*B;
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
Resolução no Xcos:
1) Vamos resolver o problema utilizando os operadores do Xcos.
B=(XTX)-1 * (XTY)
Onde:
B=[b1;b2];
X=[5d-4,5d-4^2;1d-3,1d-3^2;1.5d-3,1.5d-3^2;2d-3,2d-3^2;2.5d-3,2.5d-3^2;3d-3,3d-3^2];
Y=[22.3;83.6;184;323.5;502;719.6];
Para facilitar a simulação, vamos utilizar a ferramenta, clicando em “simulação” e depois
“definir contexto”.
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INTRODUÇÃO AO SCILAB - XCOS
Resolução no Xcos:
2) Agora, basta utilizar os blocos de entrada de matriz, e os operadores, como na figura.