Modelação de sistema Marinho.
O caso Geral e Simplificações para
Estuários
Ecossistemas marinhos
BEST – IST, 2006
Referencial
z

c
xi
h
H=+h
Zero Hidrográfico
Princípio de Conservação
• “A taxa de acumulação é igual ao que entra,
menos o que sai mais o que se produz, menos
o que se consome”!
𝜕
𝜕𝑡
𝛽𝑑𝑉=−
𝛽𝑢. 𝑛 − 𝜗 𝛻𝛽 . 𝑛 𝑑𝐴 + 𝑆𝑜 − 𝑆𝑖
Ou, em notação tensorial:
𝜕
𝜕𝑡
𝛽𝑑𝑉=−
𝛽𝑢𝑖 𝑛𝑖 −
𝜕𝛽
𝜗
𝑛
𝜕𝑥𝑖 𝑖
𝑑𝐴 + 𝑆𝑜 − 𝑆𝑖
onde a velocidade é definida como:
𝑑𝑄𝑖
𝑢𝑖 =
𝑑𝐴
Conservação da Massa
• A massa conserva-se, não tem fontes nem poços!
• A massa volúmica não se difunde pois a
velocidade é o saldo do movimento das
moléculas. Fazendo = vem:
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝑑𝑉=−
𝜌𝑢. 𝑛 𝑑𝐴
Conservação da massa (2)
• Se o fluido for incompressível e a massa volúmica
pudesse ser considerada constante na equação da
continuidade:
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝑑𝑉=−
𝜕𝑉𝑜𝑙
=−
𝜕𝑡
𝜌𝑢. 𝑛 𝑑𝐴
𝑢. 𝑛 𝑑𝐴
Em coordenadas cartesianas:
𝜕𝜀
𝜕
=−
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑖
𝜀
−ℎ
𝑢𝑖 𝑑𝑧
ou:
𝜕𝜀 𝜕 𝐻𝑈𝑖
+
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑖
Propriedade genérica
𝜕
𝜕𝑡
𝛽𝑑𝑉=−
𝛽𝑢. 𝑛 − 𝜗 𝛻𝛽 . 𝑛 𝑑𝐴 + 𝑆𝑜 − 𝑆𝑖
𝑑𝑥1
𝑉𝑜𝑙
𝑑𝑥2
𝑉𝑜𝑙 = 𝐻𝑑𝑥1 d 𝑥2
Caso 2D (aplicável em muitos
estuários)
1
𝑈𝑖 =
𝜀+ℎ
𝜕
𝜕𝑡
𝛽𝑑𝑉=−
𝜀
−ℎ
𝑢𝑖 𝑑𝑧
𝐶=
𝜀
𝑐 𝑑𝑧
−ℎ
1
𝜀+ℎ
𝐶=
𝜀
𝑐 𝑑𝑧
−ℎ
𝛽𝑢. 𝑛 − 𝜗 𝛻𝛽 . 𝑛 𝑑𝐴 + 𝑆𝑜 − 𝑆𝑖
𝜕𝐻𝐶
𝑑𝑥1 𝑑𝑥2
= 𝐻𝐶𝑈1 𝑥1 - 𝐻𝐶𝑈1
𝜕𝑡
𝜕𝐶
𝜕𝐶
−𝐻𝜗
− −𝐻𝜗
𝜕𝑥1 𝑥
1
1
𝜀+ℎ
𝑥1 +𝑑𝑥1
𝜕𝑥1 𝑥 +𝑑𝑥
1
1
+ 𝐻𝐶𝑈2
+ −𝐻𝜗
𝑥2 -
𝜕𝐶
𝜕𝑥 2 𝑥
2
−
𝐻𝐶𝑈𝑖
𝑥2 +𝑑𝑥2 +
𝜕𝐶
−𝐻𝜗
𝜕𝑥 2 𝑥 +𝑑𝑥
2
+ 𝐵𝑜𝑡𝑡𝑜𝑚𝐹𝑙𝑢𝑥 − 𝑆𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒𝐹𝑙𝑢𝑥
HC HU1C HU 2C
 
C   
C 
H
 
H
   b   s 



t
x1
x2
x1 
x1  x2 
x2 
2
Caso 3D
 c  
zc zU1c zU 2 c
 
C   
C   c 


 






 U 3c x3  z  U 3c x3 
z

z
 
 





t
x1
x2
x1 
x1  x2 
x2   x3  x  z  x3  x 
3
3 



U 3c
zc zU1c zU 2 c
 
C   
C 
c  c 


z
 
z
  z


 z

t
x1
x2
x3
x1 
x1  x2 
x2 
x3  x3 
𝑑𝑥1
∆𝑧
𝑑𝑥2
𝑉𝑜𝑙 = ∆𝑧𝑑𝑥1 d 𝑥2
Num modelo 3D temos que integrar na vertical para resolvermos a coluna de água.
Se o volume fosse um paralelepípedo
U 3c
c U1c U 2 c
  C    C    C 



 

 




t
x1
x2
x3
x1  x1  x2  x2  x3  x3 
Quantidade de Movimento
𝜕
𝜕𝑡
𝛽𝑑𝑉=−
𝛽𝑢. 𝑛 − 𝜗 𝛻𝛽 . 𝑛 𝑑𝐴 + 𝑆𝑜 − 𝑆𝑖



u

i
 
n j dA  Fi 





u
dV



u
u
n
dA

i
i
j
j

  x j 
t 




 p 

u

i
ui dV    ui u j n j dA      n j dA     dV 

t
xj 
 xi 

 Coriolis
Força de Pressão

p   gdx3
z



 

p
 

  gdx3   g  
   g

dx
3

 x

xi xi  z
xi

z i

A força de pressão tem uma componente baroclínica e uma componente barotrópica.
Assumindo que as propriedades são
uniformes no interior do volume


 p 

u

i


ui dV   ui u j n j dA      n j dA     dV

t
xj 
 xi 



 p 
 ui Vol

u
i
n j dA   
Vol
   ui u j n j dA     



t
x
j
 xi 


 ui 
Vol
Vol
 ui 
 .....
t
t





 ui 
u
1 



  ui u j n j dA      i n j dA    g
 g  dx3



t
Vol 
x
xi
xi
j
z



• Em 3D temos que integrar os fluxos na vertical.
• A pressão baroclínica é tanto mais importante quanto
maior for a profundidade (essencial no oceano).
Aproximação de Boussinesq
• A densidade é constante excepto se
multiplicada pela aceleração da gravidade.
Com esta aproximação a densidade só tem
que ser considerada na pressão baroclínica.
• Sendo o termo de pressão baroclínica um
gradiente, a densidade de referência é
irrelevante.
Modelo 2D
HC HU1C HU 2C
 
C   
C 



   b   s 



H

H



t
x1
x2
x1 
x1  x2 
x2 
𝜕𝜀 𝜕 𝐻𝑈𝑖
+
=0
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑖
1
𝑈𝑖 =
𝜀+ℎ
𝜀
−ℎ
𝑢𝑖 𝑑𝑧
HU i HU1U i HU 2U i
U i   
U i 

 



   b   s 


 g

H

H



t
x1
x2
xi x1 
x1  x2 
x2 
Mais coriolis