Análise local de freqüências
Aula 08
Prof. Christopher Freire Souza
Centro de Tecnologia
Universidade Federal de Alagoas
www.ctec.ufal.br/professor/cfs
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Objetivos
• Desenvolver habilidades para estimar a
recorrência de eventos de magnitude específica
• Desenvolver habilidades para identificar a
magnitude de eventos a partir de sua recorrência
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Relevância do conteúdo
• Variação temporal de freqüências apresenta relevância
para processos ecológicos e sociais
• Eventos mais freqüentes (próximos a Tr 1 ano)
influenciam processos geomorfológicos e ecológicos e de
convívio da sociedade com o ambiente
• Eventos menos freqüentes têm maior impacto nas
atividades da sociedade em função da “falta de memória”
da comunidade para a magnitude/alcance de eventos
• Acerto na relação entre magnitude e freqüência tem
grande relevância para as atividades da sociedade
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Conteúdo
•
•
•
•
•
•
•
•
Considerações gerais sobre as estimativas
Tratamento de zeros ou falhas
Marcas históricas
Séries parciais
Método empírico
Método teórico
Método do fator de freqüência
Intervalo de confiança
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Considerações gerais
• Estimativa regional de
freqüência é incentivada,
principalmente para amostras
menores (em torno de 20
anos)
• Pré-requisito: homogeneidade,
independência e
representatividade da variação
Erro
(95% de confiança)
Tr (anos)
10%
25%
10
90
18
50
110
39
100
115
48
•Tr=6 anos equivale a 7 como soma de
lançamento de 2 dados
•Tr=50 anos equivale à chance de puxar
um ás de espadas em um baralho
completo
•Tr=100 anos equivale a 1% de chance de
ser igualado ou superado num ano
qualquer
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Tratamento de zeros ou falhas
• Teorema da probabilidade total: P(x=0)+P(x>0) = 1
• Para estimar probabilidade teórica (ver Gordon et al. 2005, pg 213)
▫ P(x>x0)= P(x>0).P*(x>x0), onde P*(x>x0) é estimado sem os valores nulos
• Para estimar probabilidade empírica (ver Naghettini e Pinto 2007, pg 282)
▫ quando x>0 (k: número de anos com vazão nula)
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Marcas históricas
• Probabilidade total: P(x>x0) + P(x<x0) ≈ 1
• Para estimar probabilidade empírica
▫ quando x>x0 (k: número de anos onde x>x0)
▫ quando x<x0
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Séries parciais
• Picos de eventos de cheia que
superam a mínima máxima
cheia anual separadas por
valores menores que a
mediana compõem a série
• Série com tais picos é
submetida ao ajuste de
modelos de distribuição de
probabilidades para estimativa
de recorrências
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Séries parciais
• Magnitude e número de
excedências a um valor limiar (u)
constituem processo estocástico
bivariado {Ti, Xi; i=1,2,…} que
podem ser modelados por
processos de Poisson.
• Para isso:
▫ Número de excedências (Nab)
em um intervalo de tempo
([a,b]) é uma variável de
Poisson com taxa de ocorrência
dependente do tempo (l(t))
▫ {Xi} é variável aleatória com
valores independentes entre si
e distribuição dependente do
tempo de ocorrência Ti.
• O procedimento consiste em
ajustar um modelo de distribuição
de probabilidades (H(x0)) aos
valores de excedências (Zi).
• É possível obter estimativas para
máximos anuais (Fa(x0)) a partir
da relação (onde n é a intensidade
anual de ocorrências):
𝐹𝑎 𝑥0 = 𝑒 −𝜈(1−𝐻(𝑥0 ))
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Séries parciais
4
2
4
x 10
4.5
x 10
séries parciais
séries anuais
1.8
4
1.6
3.5
1.2
vazão(m3/s)
Vazão (m3/s)
1.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
vazões máximas anuais
vazões diárias
valor limite
vazões parciais
mediana
0
62 65 67 70 72 75 77 80 82 85 87 90 92 95 97 00 02 05 07
Tempo (anos)
3
2.5
2
1.5
1
-1
10
0
1
10
10
TR(anos)
2
10
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Método empírico
• Recomendado para análise de
freqüências menores que 0,2.n
• Valores iguais (empates)
recebem ordens diferentes
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Método teórico
• Modelos teóricos facilitam
reprodutibilidade por outro
pesquisador
• Parâmetros resumem /
sintetizam informações sobre a
distribuição
• Não há regras fixas para
definição do modelo teórico,
havendo necessidade de
avaliar aderência de modelos
candidatos
• Sugere-se a aplicação de testes
estatísticos robustos como o
teste de aderência de Filliben /
c²
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Método do Fator de Freqüência
• Quantis calculados por meio
da fórmula
• Normal:
▫ z
• Log-normal:
▫ z, para
• KT escolhido em função do
modelo teórico escolhido e do
tempo de retorno para o qual
se pretende estimar o quantil
• Log-Pearson III:
▫ z, para a equação aplicada à
Log-normal, |gln(x)|<2,
e
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Método do Fator de Freqüência
• Gumbel (máximos)
• Weibull (mínimos)
, para
ou
,
, para
e
,
, para
e
C0=0,2777757913; C1=0,3132617714;
C2=0,057567091; C3=-0,0013038566
C4=-0,0081523408.
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Christopher Souza:
Análise local de
freqüências
Intervalos de confiança para
quantis
• Para grandes amostras,
estimadores de quantis são
normalmente distribuídos,
com erro padrão (sT) variando
de acordo com o modelo de
distribuição
• Normal:
• Log-normal:
• Log-Pearson III (d obtido da
tabela 8.6 do Naghettini)
▫ Conversão para o espaço
aritmético
• Weibull (dw obtido da tabela
8.7 do Naghettini)