Controle ótimo quadrático
Josemar de Oliveira Quevedo
Lucas Vizzotto Bellinaso
Prof. Dr. Vinícius Montagner
Santa Maria, junho de 2012
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
Tópicos
•
•
•
•
Introdução
Controle ótimo quadrático: equacionamento
Escolha de Q e R
Exemplo de projeto
– Projeto mal feito
– Projeto bem feito
• Simulação de um conversor Buck
• Conclusões
Controle ótimo quadrático
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2
Introdução
• Realimentação de estados:
– Obtenção da resposta desejada para o sistema através do
cálculo do ganho K, onde u = R – K x.
– Funciona se o sistema for controlável.
• Controle ótimo quadrático:
– Técnica empregada para cálculo do ganho K.
u
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3
Controle ótimo quadrático
Desenvolvimento matemático
• Consiste na minimização de um índice de desempenho
quadrático J.


0
0


J  L  x, u  dt   x 'Qx  u ' Ru dt
• As matrizes Q e R devem ser Hermitianas e definidas
positivamente:
– Q = Q’ e R = R’
– v’Qv ≥ 0 e v’Rv ≥ 0 , onde v é um vetor como x e u.
• Se o sistema for controlável, a minimização de J
sempre torna o sistema estável.
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4
Controle ótimo quadrático
Desenvolvimento matemático
Sendo u = - Kx, pode-se obter:




J   x 'Qx  u ' Ru dt  x '  Q  K ' RK  xdt
0
0
Se houver uma matriz P Hermitiana que:
d
x  Q  K ' RK  x    x ' Px    x ' Px  x ' Px
dt
'
Do sistema realimentado x   A  BK  x substitui-se:


'

x Q  K RK x   x  A  BK  P  P  A  BK   x


'
O que leva a:
'
'

 A  BK  P  P  A  BK    Q  K ' RK
'
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
5
Controle ótimo quadrático
Desenvolvimento matemático
Sendo Q + K’RK sempre positivo, pela segunda Lei de
Liapunov, se o sistema for estável, então existe P que satisfaça:
 A  BK  P  P  A  BK    Q  K RK 
Se R  T 'T e separando os termos em K da equação acima:

1
1
AP  PA  PBR1 B ' P  Q  TK  T  BP  TK  T  BP   0

 

Pode-se obter que a minimização de J em relação a K requer:
TK  T  BP  0  K  R1B' P
1
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6
Controle ótimo quadrático
Desenvolvimento matemático
• O cálculo de K é resumido nas seguintes etapas:
– Encontrar P definida positivamente que satisfaça a
equação reduzida de Ricatti:
A' P  PA  PBR1 B ' P  Q  0
– Calcular K com a seguinte equação:
K  R 1 B ' P
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Escolha de Q e R
• Matriz Q:
– Relativa à importância do erro de cada estado do sistema.
– Normalmente definida na forma diagonal, para que a
importância de cada estado seja definida de forma
independente.
– Exemplo: q1 refere-se à importância do erro de x1. Quando
maior q1, mais rápido será reduzido o erro de x1.
 q1
Q   0
 0
0
q2
0
0
0 
q3 
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Escolha de Q e R
• Matriz R:
– Relativa à energia necessária para cada entrada.
– Normalmente definida na forma diagonal, para que cada
entrada seja tratada independentemente.
– Exemplo: r1 refere-se à energia absorvida da entrada u1.
– Quanto maior é r1, menor é a energia absorvida de u1, e
mais lento é o controle dependente dessa entrada.
– Quanto menor r1 maiores os ganhos relativos à entrada u1.
 r1
R
0
0
r2 
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Escolha de Q e R
Comando do Matlab
• Para obter o ganho K no software Matlab, utiliza-se o
seguinte comando:
K = lqr(A,B,Q,R)
ou
K = lqr(sys,Q,R)
• Exemplo:
A = [1 2 ; 3 4];
B = [1 ; 0];
Q = [10 0; 0 1];
R = 1;
K = lqr(A,B,Q,R)
Valor de K obtido no Matlab:
K = [13.0812 22.4926]
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Exemplo de projeto: modelagem do sistema
iL
L
u
C
vc
R
Figura 1 - Sistema RLC proposto
•
•
•
•
R=50Ω;
C=220uF;
L=886μH;
Vc (referência)=50V
1
 1

0 

v
 v c   RC


C
c
 1  u





 
i   
1
i
L   
0   L  L
 L

vc 
y  1 0  
iL 
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Exemplo de projeto: sistema ampliado
• Sistema aumentado:
e  r  y  r  Cx

 e  dt  r  Cx
 1
 v   RC
 c  
 i     1
. L   L
 e  dt   1
 
 

1
C
0
0

0

 0 
0 
  vc   
1
0    iL      u  0  r
 
 L
1 
  e  dt  
0  
  0

Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema a ser controlado
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Exemplo de projeto: controlabilidade
• Controlabilidade:

C  Baum Aaum  Baum
A2 aum  Baum

– Valores numéricos da matriz aumentada
Aaum
Baum
454,55 0
  90
   1128,7
0
0 

1
0
0 
 0 
 1128,7
 0 
 0
5,13106  0,4664109

C  1,128103
0
 5,7904109
9
 0
0

0
,
0051

10

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13





Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Projeto adequado:
– Objetivo: buscar a resposta que alie os menores
ganhos, menor energia de controle e resposta
mais rápida do controlador sobre a planta.
1
Q  0
0
R  800
0
0


100000
0

0
5000000
• Ganhos: K = [-0,0223 11,1723 -79,0569];
• Pólos = [-505 -12195].
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
Aaum = [A zeros(2,1);-C 0];
Baum = [B;0];
Q = [1 0 0;0 100000 0; 0 0 5000000];
R = [800];
Kah = lqr(Aaum,Baum,Q,R)
K = Kah(1:2)
Kl = -Kah(3);
AA = [A-B*K B*Kl;-C 0];
BB = [0;0;1];
CC = [C 0];
DD = [0];
t = 0:0.0001:0.12;
[y,x,t] = step(AA,BB,CC,DD,1,t);
[y2,X,t] = step(A,B,C,D,1,t);
x1 = [1 0 0]*x'; % tensão de saída
x2 = [0 1 0]*x'; % corrente
x3 = [0 0 1]*x'; % erro integrado
subplot(2,2,1);
plot(t,x1,'LineWidth',2); grid
hold on
plot(t,y2,'r');
subplot(2,2,2);
plot(t,x2,'LineWidth',2); grid
subplot(2,2,3);
plot(t,x3,'LineWidth',2); grid
erro=1-x1;
subplot(2,2,4); plot(t,erro);grid
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15
Exemplo de projeto: definição de Q e R
Tempo de acomodação:
x1 (tensão) versus t
40 ms 2
1
0.5
0
0.02
x1 (tensão)
Vc malha aberta
0.015
x2
x1
1.5
x2 (corrente) versus t
0.01
0.005
0
0.02
0.02
0.04
0.06
0.08
t Sec
x3 (erro integrado) versus t
0.1
0
0.12
0
0.02
0.04
0.06
t Sec
erro
0.08
0.1
0.12
0
0.02
0.04
0.06
t Sec
0.08
0.1
0.12
1
erro
x3
0.015
0.01
0.5
0.005
0
0
0.02
0.04
0.06
t Sect
0.08
0.1
0.12
0
Figura 3 - Resposta do sistema – projeto adequado
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16
Exemplo de projeto: definição de Q e R
Bode Diagram
50
Magnitude (dB)
0
-50
-100
-150
0
Sistema em malha aberta
Sistema controlado
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
1
10
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
Frequency (rad/sec)
Figura 4 – Resposta em frequência do sistema – projeto adequado
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Projeto inadequado:
– Atribuir valores à matriz Q que priorizem os estados
menos relevantes para a resposta do sistema.
• Valores elevados reduzem o erro em relação à referência,
mas aumentam o esforço de controle.
• Valores reduzidos aumentam o erro e diminuem o esforço
de controle;
– Reduzir ou elevar demasiadamente os valores da
matriz R;
• A redução resulta em ganhos que tenham magnitude que
podem não ser implementáveis na prática;
• O aumento eleva o erro.
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Exemplo de projeto: definição de Q e R
1000
• Exemplo: priorização dos estados menos
Q  0
relevantes para a resposta do sistema na matriz Q.
0
R  1
– Ganhos: K = [30,3201 15,9441 -3,1623];
– Pólos = [-9043,3 + j*8974,3; -9043,3 – j*8974,3].
x1 (tensão) versus t
2
x1 (tensão)
Vc malha aberta
1.5
1.5
1
1
x2
x1
2
0.5
0
x 10
0 
0 
10
x2 (corrente) versus t
-3
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
t Sec
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
t Sec
x3 (erro integrado) versus t
1
erro
1
0.98
0.6
0.96
x3
erro)
0.8
0.4
0.2
0
0
10
0
0.94
0.92
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.9
0
0.2
t Sect
0.4
t Sec
Controle ótimo quadrático
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19
Exemplo de projeto: definição de Q e R
Bode Diagram
50
Magnitude (dB)
0
-50
-100
-150
0
Sistema em malha aberta
Sistema controlado
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
2
10
10
3
4
10
Frequency (rad/sec)
10
5
10
6
Figura 5 – Resposta em frequência - priorização dos estados menos relevantes
para a resposta do sistema na matriz Q
Controle ótimo quadrático
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20
Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Exemplo: Valores muito reduzidos para a matriz R.
– Ganhos: K = [38,4 1000,2 -7071,1];
– Pólos = [-300; -1,1287*10^6].
0
0


100000
0

0
5000000
R  0.1
x1 (tensão) versus t
2
1
Q  0
0
x2 (corrente) versus t
0.03
x1 (tensão)
Vc malha aberta
0.025
1.5
1
x2
x1
0.02
0.015
0.01
0.5
0.005
0
0
0.02
0.04
0.06
t Sec
0.08
0.1
0
0.12
0
0.02
0.04
x3 (erro integrado) versus t
0.01
0.06
t Sec
0.08
0.1
0.12
0.08
0.1
0.12
erro
1
0.008
0.8
x3
erro)
0.006
0.004
0.6
0.4
0.2
0.002
0
0
0
0.02
0.04
0.06
t Sect
0.08
0.1
0.12
-0.2
0
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
0.02
0.04
0.06
t Sec
21
Bode Diagram
50
Magnitude (dB)
0
-50
-100
-150
-200
0
Sistema em malha aberta
Sistema controlado
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
1
10
10
2
10
3
4
10
10
Frequency (rad/sec)
5
10
6
10
7
10
8
Figura 6 – Resposta em frequência – redução excessiva dos valores da
matriz R
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
22
Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Exemplo: Valores muito elevados para a matriz R.
– Ganhos: K = [-0.0118 0.6362 -5 ];
– Pólos = [-404,5+j*2229,6; -404,5-j*2229,6].
x1 (tensão) versus t
1.5
0.015
1
0.01
0.5
0
0.005
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
0
0.2
0.4
t Sec
0.8
1
0.6
0.8
1
erro
1
0.8
erro)
0.15
x3
0.6
t Sec
x3 (erro integrado) versus t
0.2
0.1
0.05
0
0
0


100000
0

0
5000000
R  200000
x2 (corrente) versus t
0.02
x1 (tensão)
Vc malha aberta
x2
x1
2
1
Q  0
0
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
t Sect
0.2
0.4
t Sec
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
23
Exemplo de projeto: definição de Q e R
Bode Diagram
40
Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
-60
-80
0
Sistema em malha aberta
Sistema controlado
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
2
10
10
3
10
4
10
5
Frequency (rad/sec)
Figura 7 – Resposta em frequência – aumento excessivo dos valores da
matriz R
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
24
Exemplo de projeto: definição de Q e R
• Comparação dos projetos:
pólos
p1
Sistema em malha aberta
Projeto adequado
priorização inadequada dos estados em Q
Redução excessiva dos valores de R
Aumento excessivo dos valores de R
- 4,55 + j*2264,6
-505
-9043,3 +j*8974,3
-300
-404,5+j*2229,6
p2
k1
ganhos
k2
kl
-4,55 - j*2264,6
-------12195
-0,0223 11,1723 -79,0569
-9043,3 -j*8974,3 30,3201 15,9441 -3,1623
-1128700
38,4
1000,2 -7071,1
-404,5-j*2229,6
-0,0118
0,6362
-5
Tabela 1 – Comparação das características dos projetos
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
25
Simulação: conversor Buck
Figura 8 – Conversor buck simulado sob condições nominais
Controle ótimo quadrático
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26
Simulação: conversor Buck
• Condições nominais:
Figura 9 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e
com o LQR (azul)
Controle ótimo quadrático
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27
Simulação: conversor Buck
Figura 10 – Resposta do erro e erro integrado
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
28
Simulação: conversor Buck
Figura 11 – Conversor buck simulado com redução de 50% da carga
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
29
Simulação: conversor Buck
• Redução de 50% da carga:
Figura 12 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e
com o LQR (azul)
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
30
Simulação: conversor Buck
Figura 13 – Conversor buck simulado com aumento de 100% da carga
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
31
Simulação: conversor Buck
• Aumento de 100% da carga:
Figura 14 – Resposta do conversor operando em malha aberta (vermelho), e
com o LQR (azul)
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
32
Simulação: conversor Buck
Figura 15 – Conversor buck simulado com variação da referência
Controle ótimo quadrático
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33
Simulação: conversor Buck
• Variação da tensão de referência de 50 V para 70 V:
Figura 16 – Resposta do conversor para a variação da referência
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
34
Simulação: conversor Buck
Figura 17 – Conversor buck alimentado por retificador monofásico
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
35
Simulação: conversor Buck
• Conversor buck alimentado por retificador monofásico:
Figura 18 – Tensão de saída em azul, tensão de entrada em vermelho.
(a) malha fechada (b) malha aberta
Controle ótimo quadrático
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36
Conclusões
• O controle LQR oferece uma forma metódica
de cálculo dos ganhos de realimentação de
estados a partir da minimização de um fator
de desempenho quadrático J;
• A resposta do sistema depende dos valores
projetados para as matrizes Q e R, as quais
determinam a importância relativa do erro e
da quantidade de energia necessária no
processo de controle, respectivamente;
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
37
Conclusões
• As matrizes Q e R são definidas empiricamente,
portanto, estão sujeitas a diferentes respostas,
que serão tão boas quanto maior a faixa de
valores testados, permitindo assim definir a
configuração que melhor se encaixa para um
dado projeto;
• O projeto do controlador aplicado ao conversor
Buck visou obter uma resposta que levasse o
nível de tensão de saída para o valor desejado
com reduzida demanda de energia e rápida
resposta dos estados do sistema;
Controle ótimo quadrático
Sistemas Lineares
38
Conclusões
• Vantagens do conversor LQR:
– Permite a minimização da energia demandada
pelo sistema, resultando em melhor rendimento
do sistema de controle;
• Desvantagens do conversor LQR:
– Limitação da técnica relacionada à maneira
aleatória de definição dos ganhos do controlador,
sendo difícil definir a condição ótima de ganhos.
Controle ótimo quadrático
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39
Considerações finais
• Josemar de Oliveira Quevedo:
– [email protected]
• Lucas Vizzotto Bellinaso:
– [email protected]
Controle ótimo quadrático
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40