Sequências Infinitas
e Séries
MV
SV
SEQUÊNCIAS
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 ,...
𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢çã𝐨: Sequência é uma função cujo domínio é o
conjunto dos números inteiros positivos.
O que acontece quando n cresce?
Definição: Uma sequência 𝐴𝑛 converge para L
𝐴𝑛 → L
ou
lim 𝐴𝑛 = 𝐿
𝑛→∞
se dado 𝜀 > 0 existe um N tal que 𝐴𝑛 − 𝐿 < 𝜀 para
todo n ≥ 𝑁.
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2
Ex. Dado 𝜀 = 0,5 prove que lim 1 𝑛 = 0,
𝑛→∞
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3
Função Contínua e Sequência
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚: Se 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿 e 𝑓(𝑛) = 𝐴𝑛 quando n é
𝑛→∞
inteiro, então lim 𝐴𝑛 = 𝐿
𝑛→∞
E se 𝐴𝑛 se tornar grande quando n se torna grande???
A sequência é dita convergente se o lim 𝐴𝑛 existe e
𝑛→∞
divergente, caso contrário.
Definição: 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 = ∞ significa que para cada M > 0
𝑛→∞
existe um inteiro N tal que, se n > N então 𝐴𝑛 > M.
(sequência divergente)
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4
𝐏𝐫𝐨𝐩𝐫𝐢𝐞𝐝𝐚𝐝𝐞𝐬 𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭𝐞𝐬:
Se
{𝐴𝑛 } e {𝐵𝑛 } forem sequências convergentes e
constante.
c
uma
1) 𝑙𝑖𝑚 (𝐴𝑛 +𝐵𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 + 𝑙𝑖𝑚 𝐵𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
2) 𝑙𝑖𝑚 (𝐴𝑛 − 𝐵𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 − 𝑙𝑖𝑚 𝐵𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
3) 𝑙𝑖𝑚 c 𝐴𝑛 = c 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
4) 𝑙𝑖𝑚 (𝐴𝑛 ∙ 𝐵𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 ∙ 𝑙𝑖𝑚 𝐵𝑛
𝑛→∞
5)
𝐴𝑛
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞ 𝐵𝑛
𝑛→∞
=
𝑙𝑖𝑚 𝐴
𝑛→∞ 𝑛
𝑙𝑖𝑚 𝐵𝑛
, com 𝑙𝑖𝑚 𝐵𝑛 ≠ 0
𝑛→∞
𝑛→∞
𝒑
6) 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑝
com p e 𝐴𝑛 > 0
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5
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐨 𝐂𝐨𝐧𝐟𝐫𝐨𝐧𝐭𝐨:
Se 𝐴𝑛 ≤ 𝐵𝑛 ≤ 𝐶𝑛 , para 𝑛 ≥ 𝑛𝑜 e 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 = L e 𝑙𝑖𝑚 𝐶𝑛 = L
𝑛→∞
𝑛→∞
então 𝑙𝑖𝑚 𝐵𝑛 = L.
𝑛→∞
Teorema: Se 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 = 0 então 𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 = 0
𝑛→∞
𝑛→∞
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6
Para que valores de r a sequência 𝑟 𝑛 é convergente?
A sequência 𝑟 𝑛 é convergente para −1 < 𝑟 ≤ 1 e
diverge para todos os outros valores de 𝑟
𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢çã𝐨: Uma sequência 𝐴𝑛 é denominada 𝐜𝐫𝐞𝐬𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞
se 𝐴𝑛 < 𝐴𝑛+1 para todo n ≥ 1 e é denominada
decrescente se 𝐴𝑛 > 𝐴𝑛+1 para todo n ≥ 1 .
• A sequência é dita monótona se for crescente ou
decrescente.
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7
𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢çã𝐨:
Uma sequência 𝐴𝑛 é limitada superiormente se existir um
número M tal que 𝒂𝒏 ≤ 𝑴 para todo 𝒏 ≥ 𝟏.
É limitada inferiormente se existir um número m tal que
m ≤ 𝒂𝒏 para todo 𝒏 ≥ 𝟏.
𝐓𝐞𝐨𝐫𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐚 𝐒𝐞𝐪𝐮ê𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐦𝐨𝐧ó𝐭𝐨𝐧𝐚: Toda sequência 𝐴𝑛
monótona e limitada é convergente.
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SÉRIES
A soma dos termos da sequência 𝐴𝑛
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ , + 𝑎𝑛 +...
∞
𝒏=𝟏 𝒂𝒏
= 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏 +...
Exemplos:
a) Série formada pelos termos de uma PA de razão 1
1
2
1
4
1
8
b) + + +
1
16
+
1
….+ n
2
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Somas Parciais
Seja a sequência 𝐴𝑛 cujos termos são:
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 ,...
𝑆1 = 𝑎1
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
⋮
----------------------------------------------𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +...+ 𝑎𝑛 = 𝒏𝒊=𝟏 𝒂𝒊
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10
Exemplos de séries:
Série harmônica:
1 1 1 1
1
+ + + + ….+ + ⋯ =
1 2 3 4
𝑛
∞
𝒏=𝟏
Série Telescópica:
1 1 1
1
1
+ +
+
+ ….+
+⋯=
2 6 12 20
𝑛(𝑛 + 1)
𝟏
𝒏
∞
𝒏=𝟏
1
𝑛(𝑛 + 1)
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11
Definição: Dada uma série ∞
𝑛=1 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +
⋯ , + 𝑎𝑛 +... a n-ésima soma parcial 𝑆𝑛 :
𝑆𝑛 =
𝒏
𝒊=𝟏 𝒂𝒊
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +...+ 𝑎𝑛
Convergência e Divergência de Séries:
Seja a sequência de somas parciais {𝑆𝑛 }
• Se lim 𝑆𝑛 = 𝑆 ∈ 𝑅, então a série
𝑛→∞
∞
𝑛=1 𝑎𝑛
é
convergente e sua soma é 𝑆.
𝒏
∞
𝑎
=
lim
𝑛=1 𝑛
𝒊=𝟏 𝒂𝒊 = 𝑆.
𝑛→∞
• Se lim 𝑆𝑛 não existe (ou for infinito) dizemos que a
𝑛→∞
série ∞
𝑛=1 𝑎𝑛
é divergente.
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12
Séries Geométricas
A série
∞
𝑛−1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 +𝑎𝑟 3 +𝑎𝑟 4 +...+𝑎 𝑟 𝑛−1 +...
𝑛=1 𝑎𝑟
é chamada de série geométrica de termo inicial a e razão
r.
Soma de uma série geométrica:
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 + 𝑎𝑟 4 +...+𝑎𝑟 𝑛−1
𝑆𝑛 𝑟 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + 𝑎𝑟 3 +𝑎𝑟 4 +...+ 𝑎𝑟 𝑛
-----------------------------------------------𝑆𝑛 - 𝑆𝑛 𝑟 = 𝑎 + 𝑎 𝑟 𝑛
𝑎+𝑎 𝑟 𝑛
𝑆𝑛 =
1−𝑟
𝑎(1+ 𝑟 𝑛 )
𝑆𝑛 =
, c/ r ≠ 1
1−𝑟
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13
Convergência/Divergência de Série Geométrica
Para que valores de 𝑟 a série geométrica converge
ou diverge?
Analisando para:
i) Para 𝑟 < 1.
ii) Para 𝑟 > 1.
iii) Para 𝑟 = 1.
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14
Convergência/Divergência de Série Geométrica
A série geométrica
∞
𝑛−1
𝑎𝑟
𝑛=1
= 𝑎 + 𝑎𝑟 2 +𝑎𝑟 3 +𝑎𝑟 4 +...+𝑎 𝑟 𝑛−1 +...
é convergente para 𝑟 < 1 e sua soma é igual a
s=
𝑎
.
1−𝑟
- Se 𝑟 ≥ 1 , a série é divergente.
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Critério de Convergência e Divergência de
Séries
A) Condição necessária de CONVERGÊNCIA:
Se a série
∞
𝑛=1 𝐴𝑛
for convergente, então
𝒍𝒊𝒎 𝑨𝒏 = 𝟎
𝒏→∞
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16
Prova:
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +...+ 𝑎𝑛
𝑆𝑛−1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +...+ 𝑎𝑛−1
-----------------------------------------------𝑆𝑛 - 𝑆𝑛−1 = 𝑎𝑛
Como por hipótese ∞
𝑛=1 𝐴𝑛 é convergente, então {𝑆𝑛 }
𝑙𝑖𝑚 𝑆𝑛 = 𝑆 𝑒 𝑙𝑖𝑚 𝑆𝑛−1 = 𝑆.
𝑛→∞
𝑛−1→∞
𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 = 𝑙𝑖𝑚 𝑆𝑛 −𝑆𝑛−1 = 𝑆 − 𝑆 = 0
𝑛→∞
𝑛→∞
Conclusão:
Se ∞
𝑛=1 𝐴𝑛
𝑙𝑖𝑚 𝐴𝑛 = 0.
𝑛→∞
OBS. A recíproca do teorema não é verdadeira.
Série harmônica
∞ 1
𝑛=1 𝑛
B) Condição suficiente de DIVERGÊNCIA
(TESTE DA DIVERGÊNCIA):
Se 𝒍𝒊𝒎 𝑨𝒏 não existir ou se 𝒍𝒊𝒎 𝑨𝒏 ≠ 𝟎 então, a série
𝒏→∞
∞
𝑛=1 𝐴𝑛
𝒏→∞
é divergente.
Ex. Verifique a natureza da série:
∞
4𝑛2 + 1
𝑛2
𝑛=1
Sejam
𝒂𝒏 e
𝒃𝒏 séries convergentes e c uma constante.
i)
∞
𝑛=1 𝑐
ii)
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 =
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 +
ii)
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 =
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 −
𝑎𝑛 = 𝑐
∞
𝑛=1
𝑎𝑛
∞
𝑛=1
𝑏𝑛
∞
𝑛=1
𝑏𝑛
Calcule a soma da série:
∞
𝑛=1
3
1
+ 𝑛
𝑛(𝑛 + 1) 2
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Teste da Integral
Seja f contínua, positiva e decrescente em [𝑐, ∞) e seja 𝑎𝑛 = f n .
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1
1
𝑛2
1
𝑛
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20
Então a série
∞
𝑛=1
∞
𝑓
1
𝑥 𝑑𝑥
i) 𝑆𝑒
𝑎𝑛
for convergente, então
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 é
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 é
convergente.
ii) 𝑆𝑒
∞
𝑓
1
𝑥 𝑑𝑥
for
divergente, então
divergente.
Exemplos:
a) Teste a série
1
∞
𝑛=1 𝑛2 +1
quanto à convergência ou
divergência.
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21
Série Harmônica de ordem p (ou simplesmente série p)
∞
𝑛=1
1
𝑛𝑝
b) Mostre que a série p converge para 𝑝 > 1 e diverge quando
𝑝 ≤ 1.
c) Use o teste da integral para avaliar se a série
∞
ln 𝑛
𝑛
𝑛=1
converge ou diverge.
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22
d) Use o teste da integral para avaliar se a série
∞
2
−𝑛
𝑛𝑒
𝑛=1
converge ou diverge.
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23
Teste da Comparação
• Teste da Comparação Direta:
Supondo que
∞
𝑛=1
𝑎𝑛 𝑒
∞
𝑛=1
𝑏𝑛 sejam séries de termos
positivos.
i)
Se
∞
𝑛=1
ii) Se
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1
𝑏𝑛 converge e 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 , ∀n ∈ 𝑍 +
então
𝑎𝑛 converge.
∞
𝑛=1
𝑏𝑛 diverge e 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 , ∀n ∈ 𝑍 +
então
𝑎𝑛 diverge.
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24
Exemplos usando Teste da Comparação
a)
1
∞
𝑛=1 2+5𝑛
b)
∞
𝑛=2
c)
cos 𝑛
∞
𝑛=1 𝑛2
3
𝑛−1
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25
Teste da Comparação no Limite
Supondo que
𝑎𝑛 𝑒
𝑏𝑛 sejam séries de termos
positivos. Se
𝑎𝑛
lim
𝑛→∞ 𝑏𝑛
= 𝑐,
onde 𝑐 é um número finito e 𝑐 > 0 então ambas as séries
convergem ou ambas divergem.
Prova: Sejam m e M números positivos tais que 𝑚 < 𝑐 <
𝑀. Uma vez
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Prova: Sejam m e M números positivos tais que 𝑚 < c <
an
𝑀. Uma vez que
está próximo de c quando n é grande,
bn
então existe um número inteiro N tal que
𝑚<
𝑎𝑛
𝑏𝑛
< 𝑀, ∀n ∈ Z +
𝑚𝑏𝑛 < 𝑎𝑛 < 𝑀𝑏𝑛 , ∀n ∈ Z +
Se
bn convergir
Mbn também converge, assim an é
convergente.
Se
bn divergir
mbn também diverge, assim an é
divergente.
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27
Avalie as séries a seguir usando o Teste da
Comparação no Limite
a)
3𝑛+1
∞
𝑛=1 4𝑛3 +𝑛2 −2
b)
5
∞
𝑛=1 𝑛2 +2𝑛+7
c)
1
∞
𝑛=1 2𝑛 −1
d)
8𝑛+ 𝑛
∞
7
𝑛=1
2
5+𝑛 +𝑛2
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28
Séries Alternadas
∞
(−1)𝑛 𝑏𝑛 = −𝑏1 + 𝑏2 − 𝑏3 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑏𝑛
𝑛=1
∞
(−1)𝑛+1 𝑏𝑛 = 𝑏1 − 𝑏2 + 𝑏3 − ⋯ + (−1)𝑛+1 𝑏𝑛
𝑛=1
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29
Teste da Série Alternada
Se a série alternada
∞
(−1)𝑛+1 𝑏𝑛 = 𝑏1 − 𝑏2 + 𝑏3 − ⋯ + (−1)𝑛+1 𝑏𝑛
𝑛=1
com 𝑏𝑛 > 0 satisfazer:
i)
𝐛𝐧+𝟏 ≤ 𝐛𝐧 , ∀ 𝐧 ∈ 𝒁+
ii) 𝐥𝐢𝐦 𝐛𝐧 = 𝟎, então a série é convergente.
𝐧→∞
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30
∞
(−1)𝑛 𝑏𝑛
O mesmo vale para a série
𝑛=1
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31
Avalie as séries alternadas a seguir:
a)
−1 𝑛−1
∞
𝑛=1
𝑛
b)
𝑛 2𝑛
−1
∞
𝑛=1 3𝑛−1
c)
−1 𝑛−1 2𝑛
∞
𝑛=1 4𝑛2 −3
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32
Convergência Absoluta - Séries Alternadas
Definição: Uma série
se a série
an é absolutamente convergente
an = a1 + a2 + a3 + ⋯ + an
for convergente.
Exemplos:
∞
(−1)𝑛
1)
𝑛2
𝑛=1
∞
2)
𝑛=1
(−1)𝑛−1
𝑛
Teorema: Se uma série
an
é
convergente, então a série é convergente.
absolutamente
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33
Teste da Razão:
Seja
𝐴𝑛+1
lim
𝑛→∞ 𝐴𝑛
A série
=L
an é:
i) Convergente, se L<1.
ii) Divergente, se L>1.
iii) Nada se pode concluir, se L=1.
Recomendado para séries que envolvem
Fatoriais, Produtos notáveis e potências.
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34
Teste da Raiz:
Seja lim
𝑛
A série
an é:
𝑛→∞
i)
𝐴𝑛 = L
Convergente, se L < 1.
ii) Divergente, se L > 1.
iii) Nada se pode concluir, se L=1.
Recomendado para séries em que os fatores do termo geral
estão elevados ao expoente n.
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35