Escoamento em rios
Modelo Muskingum

dS
 I Q
dt
S  f ( I , Q)
Criado na década
de 1930 por
McCarthy para
representar a
propagação de
vazão ao longo do
rio Muskingum.
Supõe que S
(armazenamento) está
relacionado a I (vazão de
entrada) e Q (vazão de saída)
Escoamento em rios: Muskingum

Continuidade

Relação
dS
 IQ
dt
S = K [X I +(1-X) Q]
A vazão (Q) na seção de jusante é
dada por:
Qt 1  C1It 1  C2 I t  C3Qt
t
t
t
KX 
K (1  X) 
2 ; C 
2 ; C 
2
C1 
2
3
t
t
t
K (1  X) 
K (1  X) 
K (1  X) 
2
2
2
C1+C2+C3=1
K é o tempo
médio de
deslocamento
da onda
X é um
ponderador
entre as
vazões de
entrada e
saída
 KX 
2
Intervalo de tempo

Para que os coeficientes da equação sejam positivos
t
2  0 e 2KX  t
C1 
t
K(1  X) 
2
 KX 
2KX  t  2K(1  X)
0  X  0,5
t é o intervalo de tempo para
simulação da propagação
t
2  0 e 2K(1- X)  t
C3 
t
K (1  X) 
2
K (1  X) 
t
2X 
 2(1  X)
K
t / K
2
1
Região válida
0
0
0,5
X
3
KeX

O método Muskingum tem dois
parâmetros de cálculo (K e X) que
devem ser definidos antes dos
cálculos.
Definir valor de X


O parâmetro X é um ponderador
adimensional cujo valor deve estar
entre 0 e 0,5, mas na maior parte
dos rios e canais naturais seu valor é
próximo a 0,3.
Dependendo do valor de X ocorre
mais ou menos amortecimento da
onda de cheia.


Para um valor de X igual a 0,5 não ocorre
amortecimento.
Quando X é igual a zero o amortecimento
é máximo.
Efeito de X
Efeito de K
Definir K



O parâmetro K têm unidades de tempo e
deve ser expresso nas mesmas unidades de
t.
O valor de K pode ser estimado pelo tempo
de viagem do pico da cheia do início ao
final do trecho de rio, ou seja, a distância
dividida pela celeridade.
Quanto maior o valor de K, mais afastados
no tempo ficam os picos de vazão na
entrada e saída do trecho de canal.
Métodos para estimativa dos parâmetros

Mínimos quadrados

Sc
 


Di

D   (SCi  SOi ) 2
So
QI( QSo   ISo )   Q 2So   I 2  QSo

K
 I2  Q 2  ( IQ) 2
Q 2  ISo   QSo  IQ

X
K[ I 2  Q 2  ( I Q) 2 ]
9
Estimativa de K e X
Tradicional método da laçada
S/∆t
X=X1
X= Xn
Variar o valor de X até
que se crie uma laçada,
com forma mais
próxima possível de
uma reta
Ajustar uma linha de
tendência linear
S/∆t = a. QI + b
K=a
K será igual ao
coeficiente angular da
reta
QI
𝑆𝑡+1
𝑆𝑡
= 0,5 𝐼𝑡+1 + 𝐼𝑡 − 𝑄𝑡+1 + 𝑄𝑡 +
∆𝑡
∆𝑡
Método da laçada - Exemplo
A tabela abaixo apresenta os hidrogramas de vazões
medidos nas seções de entrada e saída de um trecho de
rio. Determine os valores dos parâmetros K e X
Tempo
(h)
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
Entrada
(m3/s)
30
120
286
412
373
306
246
198
165
141
123
108
93
81
72
63
Saída
(m3/s)
30
39
45
93
181
237
264
261
246
225
202
184
174
153
135
117
11
Muskingum-Cunge
Adaptado para estimativa com base em
parâmetros físicos do trecho
Qo
X  0,5(1 
)
bo So co x
0,3
0, 4
5 S 0 Q0
co 
3 bo 0, 4 .n 0, 6
Ou:
x
K
co
Q0
0 ,8
x 
 0,8.c0 .t  x 0, 2
b0 .S0 .c0
1/2




c0 .t 
Q0
x 
1  1  1,5.
 
2
2  
b0 .S0 .t.c 0  


Roteiro de Ajuste
1) Fixar ∆t = tp/5 ou outro valor para ∆t ≤ tp/5
2) Adotar valor de Qo = 2/3 da vazão máxima do
hidrograma de entrada
3) Calcular co
4) Calcular ∆x por processo iterativo
2,5Qo
5) A primeira estimativa de ∆x pode ser obtida por xo 
bo So co
6) Calcular K e X e verifique se está dentro da
faixa de validade
7) Caso contrário modifique ∆x
13
Exemplo


Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de um rio.
As características do trecho são: largura=30m, declividade=0,0007
m/m; rugosidade de Manning n=0,045.
o tempo tp = 240 min e =240/5=48 min, ∆t=40min. A vazão
máxima de montante é 130 m3/s, Qo=87m3/s
5 So0,3Qo0, 4
co 
 1,86m / s
0, 6
0, 4
3 n bo
x 
2,5.87
 5.568m
30x0,0007x1,86
Por convergência
x  6018 m
x  6000 m adotado
X=0,31
K = 1,34
t
Tempo
(40min)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
vazão de entrada
m3 / s
20
30
60
90
100
130
115
95
80
60
40
20
20
20
20
vazão de saída
m3 / s
20
20
20
20
21,1
27,0
42,2
63,9
85,9
103,0
102,4
92,4
77,2
59,4
41,9
14
Muskingum Cunge não linear



A celeridade não é constante
Os parâmetros do método de
Muskingum Cunge deveriam variar
Celeridade varia com o nível da
água ou com a vazão
Celeridade diminui
Celeridade aumenta
Muskingum Cunge não linear



Substituir K e X (C1, C2 e C3)
constantes por variáveis
A cada passo de tempo é necessário
recalcular o valor de K e X (C1, C2
e C3)
Só o que não muda é o x
Muskingum Cunge não linear



Qual vazão usar como referência?
Criar tabela Q x C a partir de tabela
hxAxQ
Solução não-linear

Cálculo de X e K em cada célula de
cálculo
t
t+1
It+1
Calcular K e X
com base em:
Qt+1
(1) Qt
t
It
Qt
(2) Qt, It e It+1
(3) todos.
i
i+1
x
Qot 
I t  Qt  I t 1
3
18
Exemplo Jacuí

Linear x Não-linear
Evento
1
2
3
4
Linear
0,91
0,83
0,92
0,88
Não-Linear
0,97
0,94
0,96
0,98
19