Sistemas Nebolosos
(Fuzzy)
Prof. Alexandre Monteiro
Recife
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Contatos

Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo

Apelido: Alexandre Cordel

E-mail/gtalk: [email protected]
[email protected]
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Site: http://www.alexandrecordel.com.br/fbv
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Celular: (81) 9801-1878
Lógicas Não-Clássicas

As lógicas não-clássicas podem ser classificadas em dois grupos
distintos:
• Extensões da lógica clássica: adicionam um vocabulário novo,
portanto novos teoremas e inferências válidas, mas mantêm
todos os teoremas originais
- Lógica Modal
- Lógica Temporal
- Lógicas Não-Monotônicas
• Desvios da lógica clássica: em geral mantêm o vocabulário
original da lógica clássica, no entanto difere com respeito a
teoremas e inferências válidas
- Lógica Multi-Valorada
- Lógica Fuzzy
3
Variações da Lógica Clássica: Lógica
Fuzzy


Grande parte da compreensão humana sobre os acontecimentos dos fatos é
imprecisa
Em muitos casos, a precisão pode ser um tanto inútil, enquanto instruções vagas
podem ser melhor interpretadas e realizadas
• Exemplo de compreensão humana
- Formal:
“Comece a freiar 10 metros antes do sinal PARE”
- Vulgar:
“Comece a freiar perto do sinal PARE”
• Outro exemplo:
- Ao utilizar-se a lógica clássica, definem-se regras como: “Pessoas jovens são
aquelas cujas idades estão entre 0 e 20”
- Nesta lógica, uma pessoa com 20 anos e 1 dia não é considerada uma pessoa
jovem
- Porém, sabemos que isso não é verdade no mundo real
- Daí a necessidade de se utilizar mecanismos para descrever o grau de pertinência
de uma pessoa ao conjunto de “jovens”
4
Características: Lógica Fuzzy (1/2)

A lógica fuzzy resulta de dois estágios de fuzificação
• A passagem da lógica bivalente para a lógica não-enumerável
multi-valorada como um resultado de se permitir graus de
pertinência a conjuntos denotados por predicados da
linguagem objeto
- Introdução de predicados "vagos" na linguagem
• A passagem para muitos valores de verdade contavelmente
difusos como resultado de se tratar como vago o próprio
predicado meta-lingüístico "verdadeiro", sendo este passo mais
controverso e radical
- Verdadeiro, muito verdadeiro, não muito verdadeiro,...

A Lógica Difusa foi desenvolvida por Lofti A. Zadeh da
Universidade da Califórnia em Berkeley na década de 60
5
Características: Lógica Fuzzy (2/2)




Trabalha com uma grande variedade de informações vagas e
incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a
maioria, mais ou menos, talvez, etc.
Antes do surgimento da lógica fuzzy essas informações não
tinham como ser processadas
A lógica fuzzy contém como casos especiais não só os sistemas
lógicos binários, como também os multi-valorados
A lógica fuzzy vem sendo aplicada nas seguintes áreas
• Análise de dados
• Construção de sistemas especialistas
• Controle e otimização
• Reconhecimento de padrões, etc.
6
Conjuntos Fuzzy (1/3)

Conjuntos com limites imprecisos
A = Conjunto de pessoas altas
Conjunto Clássico
1.0
Conjunto Fuzzy
1.0
.9
.8
Função de
pertinência
.5
1.75
Altura
(m)
Altura
(m)
1.60 1.70 1.75
7
Conjuntos Fuzzy (2/3)

Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X é
caracterizado por uma função de pertinência A, a qual mapeia os
elementos de X para o intervalo [0,1].
A:X[0,1]

Desta forma, a função de pertinência associa a cada elemento x
pertencente a X um número real A(X) no intervalo [0,1], que
representa o grau de pertinência do elemento x ao conjunto A,
isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao
conjunto A.
8
Conjuntos Fuzzy (3/3)

Definição formal
• Um conjunto fuzzy A em X é expresso como um conjunto de
pares ordenados:
A  {( x,  A ( x)) | x  X }
Conjunto
fuzzy
Função de
pertinência
(MF)
Universo ou
Universo de discurso
Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado
por sua função de pertinência (MF)
9
Função de Pertinência

Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o
objeto pertence ao conjunto fuzzy
• Características das funções de pertinência:
- Medidas subjetivas
- Funções não probabilísticas monotonicamente crescentes,
decrescentes ou subdividida em parte crescente e parte
decrescente.
“alto” no Brasil
MFs
.8
“alto” nos EUA
.5
“alto” na Itália
.1
1.75
10
Altura (m)
Formulação da MF

Função Triangular

Função Trapezoidal

x a c  x 
trimf ( x ; a , b , c )  max min 
,
 , 0
b a c b 


d  x 
x a
, 1,
 , 0
b a
d c  
trapmf ( x ; a , b , c , d )  max min


Função Gaussiana
gaussmf ( x; a, b, c)  e

1  x c 
 

2  
2
Função Sino Generalizada
gbellmf ( x ; a , b , c ) 
1
x c
1
11
b
2b
Formulação da MF
(b) Trapezoidal
Grau de Pertinência
Grau de Pertinência
(a) Triangular
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
100
0
40
60
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20
40
60
100
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
80
(d) Sino Gerneralizada
Grau de Pertinência
Grau de Pertinência
(c) Gaussiana
20
80
100
0
20
40
60
12
80
100
Universo Discreto
(a) Universo Discreto

X = {SF, Boston, LA} (discreto e não
ordenado)
• C = “Cidade desejável para se viver”
Grau de Pertinência
1
• C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), (LA,
0.6)}
0.8
0.6

0.4
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (discreto)
• A = “Número de filhos”
0.2
• A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4,
.6), (5, .2), (6, .1)}
0
0
2
4
6
X = Número de filhos
13
Universo Contínuo
Grau de Pertinência
(b) Universo Contínuo

1
X = (Conjunto de números
reais positivos) (contínuo)
0.8
• B = “Pessoas com idade em torno
de 50 anos”
0.6
0.4
0.2
• B = {(x,
0
0
50
B(x)
)| x em X}
100
X = Idade
B(x) 
1
 x  50 
1 

 10 
2
14
Notação Alternativa

Um conjunto fuzzy A, pode alternativamente ser
denotado por:
• x (discreto)
A

xi X
• x (contínuo)
A
( xi ) | xi
A    A ( x) | x
X
• Obs.: Os símbolos  e  representam o conjunto dos pares
ordenados (x, A(x)).
15
Partição Fuzzy
Partição fuzzy do universo de X representando “idade”, formada
pelos conjuntos fuzzy “jovem”, “maduro” e “idoso”.
Grau de Pertinência

1.2
Jovem
Maduro
Idoso
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
X = Idade
16
90
Variáveis Lingüísticas

Uma variável lingüística possui valores que não são números, mas
sim palavras ou frases na linguagem natural.
• Idade = idoso

Um valor lingüístico é um conjunto fuzzy.

Todos os valores lingüísticos formam um conjunto de termos:
• T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,...
Maduro, não maduro,...
Velho, não velho, muito velho, mais ou menos velho,...
Não muito jovem e não muito velho,...}
17
Operações Básicas





Subconjunto
Igualdade
Complemento
Complemento
Relativo
União

A  B, se B(x)  A(x) para cada x X
A = B, se A(x) = B(x) para cada x X
 A = X - A  A(x) = 1 - A(x)

E(x) = Max [0, A(x) - B(x)]

C = A  B  c(x) = max(A(x), B(x))




Interseção

C = A(x)  B(x)
C = A  B  c(x) = min(A(x), B(x))

C = A(x)  B(x)
18


Representação
(b) Conjunto Fuzzy não “A”
(a) Conjuntos Fuzzy A e B
Grau de Pertinência
A está contido em B
1
0.8
0.6
B
A
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
A
B
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.4
(c) Conjunto Fuzzy "A ou B"
0.2
(d) Conjunto Fuzzy "A e B"
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
19
Exemplo (União|Interseção)

X = {a, b, c, d, e}
• A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}
• B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
• União
- C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}
• Interseção
- D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
20
Propriedades

Comutatividade
• AB=BA

Idempotência
• AA=A

AB=BA
AA=A
Associatividade
• A  (B  C) = (A  B)  C = A  B  C

A  (B  C) = (A  B)  C = A  B  C
Distributividade
• A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
Propriedades padrões: Comutatividade, Idempotência Associatividade, Distributividade
etc. são válidas para os conjuntos fuzzy. Exceção:
AA
AAX
21
Grau de Crença x Grau de Verdade

Grau de Crença x Teoria das Probabilidades
• 80% dos pacientes com dor de dentes têm cáries
- Uma probabilidade de 0.8 não significa “80% verdade” mas sim
um grau de crença de 80% na regraGrau de verdade x Lógica Fuzzy
• Mário é alto
- A proposição é verdadeira para uma altura de Mario 1.65m ?
- ...mais ou menos....
- Observar que não há incerteza, estamos seguros da altura de
Mario
• O termo linguístico “alto” é vago, como interpretá-lo?
• Por exemplo, a teoria de conjuntos Fuzzy (semântica para lógica
fuzzy) permite especificar quão bem um objeto satisfaz uma
descrição vaga (predicado vago)
- O grau de pertinência de um objeto a um conjunto fuzzy é representado
por algum número em [0,1]
22
Sistemas Fuzzy
Entradas Crisp
Classificação
Estimar uma medida
com maior precisão
Fuzificação
das variáveis
Definir Funções
de Pertinência
Aplicação das
regras
Atribuir Graus
de pertinência
Defuzificação das
variáveis
Saída Crisp
23
Fuzzificação


Etapa na qual os valores numéricos são transformados
em graus de pertinência para um valor lingüístico
Cada valor de entrada terá um grau de pertinência em
cada um dos conjuntos fuzzy. O tipo e a quantidade de
funções de pertinência usados em um sistema
dependem de alguns fatores tais como: precisão,
estabilidade, facilidade de implementação...
24
Determinação das regras

Descrição das situações nas quais há reações através
de regras de produção (If - then). Cada regra na saída
especifica uma ou várias conclusões.
25
Regras If - then
• Estilo Mamdani
Se a pressão é alta, então o volume é pequeno
alta
pequeno
• Estilo Sugeno
Se a velocidade é média, então a resistência = 5 * velocidade
média
resistência = 5*velocidade
26
Sistema de inferência
Se velocidade é baixa então resistência = 2
Se velocidade é média então resistência = 4 * velocidade
Se velocidade é alta então resistência = 8 * velocidade
MFs baixa
média
alta
.8
.3
.1
2
Regra 1: w1 = .3; r1 = 2
Regra 2: w2 = .8; r2 = 4*2
Regra 3: w3 = .1; r3 = 8*2
Velocidade
Resistência = (wi*ri) /
= 7.12
27
wi
Avaliação das regras

Cada antecedente (lado if) tem um grau de pertinência. A ação
da regra (lado then) representa a saída fuzzy da regra. Durante a
avaliação das regras, a intensidade da saída é calculada com base
nos valores dos antecedentes e então indicadas pelas saídas
difusas da regra.
• Alguns métodos de avaliação:
- MinMax, MaxMin, MaxProduto, MinMin, MaxMedia, MaxMax e Soma
dos produtos.
28
Agregação das Regras


São as técnicas utilizadas na obtenção de um conjunto
fuzzy de saída “x” a partir da inferência nas regras.
Determinam quanto a condição de cada regra será
satisfeita.
29
Defuzzificação

Processo utilizado para converter o conjunto difuso de
saída em um valor crisp correspondente.
• Alguns métodos de defuzzificação:
-
Centróide,
Média dos máximos,
Distância de Hamming,
Método da altura, etc.
30
Lógica Fuzzy: considerações finais

Lógica Fuzzy é uma importante ferramenta para
auxiliar a concepção de sistemas complexos, de difícil
modelagem, e pode ser utilizada em conjunto com
outras tecnologias de ponta, como é o caso da
combinação entre Lógica Fuzzy e Redes Neurais
Artificiais, e Lógica Fuzzy e Algoritmos Genéticos.
31
Lógicas para IA: considerações finais


Limitações da Lógica Clássica para lidar com argumentos
informais
Lógica Não-Clássicas
• Extensões da Lógica Clássica
- Lógica Modal
- Lógica Temporal
- Lógicas Não-Monotônicas
• Desvios da Lógica Clássica
- Lógica Multi-Valorada
- Lógica Fuzzy
32
Exercícios 1






Seja o conjunto fuzzy A definido sobre o universo de discurso X = { 1 2 3 }.
Desejamos mapear os elementos deste conjunto fuzzy para outro universo
Y, sob a função: y = f(x) = 2x –1.
Os elementos do universo Y obtido pela aplicação da função dada é Y = { 1,
3, 5 }
Onde y = 1= (21- 1); y = 3 = ( 22-1); y = 5 = ( 23-1)
Supondo que o conjunto fuzzy A é dado por : A = { 0.6/1  1/2  0.8/3 },
onde 0.6 é a pertinência de 1 no conjunto A; 1 é a pertinência de 2 no
conjunto no conjunto A ; 0.8 é a pertinência de 3 no conjunto no conjunto
A;
O conjunto B = f(A) = {A(1)/f(1)  A(2)/f(2)  A(3)/f(3)}, do princípio
de extensão. Deste resulta: B = { 0.6/ 1 1/ 3  0.8/ 5 }, é o conjunto
resultado do mapeamento do conjunto A.
Exercício 2



Suponha que temos os inteiros de 1 até 10 como elementos de
dois universo de discurso X1 e X2 , com X1 = X2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10}, e sejam A e B dois conjuntos fuzzy definidos sobre X1
e X2 respectivamente. O conjunto A = “ aproximadamente 2” e
o conjunto B = “aproximadamente 6” dados segundo:
A = { 0.6/1  1/2  0.8/3 } ; B = { 0.8/5  1/6  0.7/7}
Obtenha o conjunto produto cartesiano de A x B correspondente
ao número C = “aproximadamente 12”, definido sobre o espaço
produto: X1 x X2 = {5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 18, 21}
Solução Exercício 2

Podemos escrever :

2 x 6 = { 0.6/ 1  1/ 2  0.8 /3 }x{ 0.8/ 5  1/ 6  0.7/ 7}

Em se tratando de produto cartesiano podemos escrever:


C = { min(0.6, 0.8) / 5  min(0.6, 1.0) / 6  min(0.6, 0.7) / 7 
min(1.0, 0.8) / 10  min(1.0, 1.0) / 12  min(1.0, 0.7) / 14 
min(0.8, 0.8) / 15  min(0.8, 1.0) / 18  min(0.8, 0.7) / 21}
C = { 0.6/5  0.6/6  0.6/7  0.8/10  1.0/12  0.7/14  0.8/15 
0.8/18  0.7/21}, este é o conjunto produto cartesiano AxB.
Bibliografia





R. Turner. Logics for Artificial Intelligence. John
Wiley, 1985.
E. Rich e K. Knight. Inteligência Artificial. Makron
Books, 2a. Edição, 1994.
S. Haack. Filosofia das Lógicas. UNESP Editora, 1998.
P. Almeida e A. Evsukoff. Sistemas Fuzzy em Sistemas
Inteligentes. Manole, 2003
J. Jang, C. T. Sun e E. Mizutani. Neuro-Fuzzy and Soft
Computing. Prentice Hall, 1997.
36