NOÇÕES SOBRE
ESCOAMENTO
NEWTONIANO
Agustinho Plucenio
Noções sobre Escoamento Newtoniano
Apresentação em parte baseada nos trabalhos de:

Eric G. Paterson
Department of Mechanical and Nuclear Engineering
he Pennsylvania State University
Spring 2005
JAIME NEIVA MIRANDA DE SOUZA
URFJ, 2010

M. Wörner
Institut für Reaktorsicherheit

Introdução

Velocidade média em um duto



Força de atrito sobre o fluido na
parede do duto
Devido a condição de ausência de
escorregamento, a velocidade na parede
do duto é zero.
Estamos interessados na velocidade média
Vavg, V
A condição de não escorregamento causa
tensão de cisalhamento e fricção ao longo
das paredes do duto.
Introdução

Para duto de diâmetro
constante e fluido
imcompressível

Vavg
Vavg
Vavg permanece a mesma
ao longo do duto, mesmo se
o perfil de velocidade
muda.

Por que? Conservação de
massa
Introdução

Para dutos com diâmetro variável, dm/dt ainda é
igual devido a conservação de massa, mas
V1 ≠ V 2
D1
D2
m
V1
V2
m
2
1
Escoamento Laminar e Turbulento
Escoamento Laminar
Escoamento Turbulento
• Pode ser Estacionário ou Não
Escacionário. Estacionário significa que o
campo de fluxo é o mesmo em qualquer
tempo.
• Pode ser de uma, duas ou 3 dimensões.
• Tem um comportamento previsível
• O escoamento tem solução analítica
•Ocorrem para baixos valores de Número
de Reynolds.
• É sempre não estacionário. Existe sempre
movimento ramdômicos giratórios como
vórtices. Um escoamento turbulento pode ser
estacionário na média. Escoamento turbulento
estacionário.
•É sempre 3D, ou 1D ou 2D na média.
•Tem comportamento caótico. Não pode ser
predito exatamente.
•Não tem solução analítica.
•Ocorre para número de Reynolds grande.
Escoamento Laminar e Turbulento

Definição do Número de Reynolds
Número de Reynolds crítico (Recr)
para escoamento em um duto
redondo
Re < 2300  laminar
2300 ≤ Re ≤ 4000  transitional
Re > 4000  turbulent


São valores aproximados.
Para uma aplicação, Recrdepende de



Rugosidade do duto
Vibrações
Flutuações à montante, perturbações
(valvulas, joelhos, etc. que podem
perturbar o escoamento)
Laminar and Turbulent Flows

Definição de diâmetro hidráulico
Dh = 4Ac/P
Ac = Área da seção transversal
P = Perímetro molhado

Exemplo: Canal aberto
Ac = 0.15 * 0.4 = 0.06m2
P = 0.15 + 0.15 + 0.5 = 0.8m
Não contar com a superfície livre já que ela não
contribui para a fricção ao longo das paredes do
duto.
Dh = 4Ac/P = 4*0.06/0.8 = 0.3m
A região de entrada
Considere um duto de diâmetro D. O escoamento pode ser
laminar ou turbulento. Em qualquer caso, o perfil desenvolve-se
a jusante ao longo de diversos diâmetros chamados de
Lh
Lh Re.
comprimento de entrada .
é função de
D
Lh
Escoamento completamente
desenvolvido no duto

Comparação de escoamento laminar e turbulento
Existem algumas diferenças importantes entre os escoamentos
laminar e turbulento completamente desenvolvidos.
Laminar




Can ser resolvido exatamente
Escoamento é estacionário
O perfil de velocidade é parabólico
A rugosidade do duto não é importante
Vavg
  r 2 
1
 U max e u(r )  2Vavg 1    
 R 
2


Escoamento completamente
desenvolvido no duto
Turbulento




Não pode ser resolvido exatamente (muito complexo)
Não estacionário (3D swirling eddies), estacionário na média
O perfil de velocidade é mais cheio (topo de chapéu, com grande variação
de velocidade proximo as paredes)
Rugosidade do duto é muito importante
Instantaneous
profiles


Vavg 85% de Umax (depende um pouco de Re)
Sem solição analítica, mas existem algumas expressões semi-empíricas para
o perfil de velocidade.
Logarithmic law
Power law
Escoamento completamente desenvolvido
Tensão de cisalhamento nas paredes


= du/dy
Em escoamento completamente desenvolvido,
= du/dr
Laminar
w
w = Tensão de cisalhamento
agindo na parede agindo no
fluido
Turbulento
w
w,turb > w,lam
Escoamento completamente desenvolvido-
Queda de pressão


Existe uma relação direta entre a queda de pressão em um duto e a tensão de
cisalhamento na parede.
Considere um duto horizontal, com escoamento incompressivel totalmente
desenvolvido,
w
Tome um VC dentro das paredes do duto
P1
L
1

P2
V
2
Vamos aplicar conservação de massa, momento e energia para esse volume de
controle
Escoamento completamente desenvolvido-
Queda de pressão




 

 V   0
x y z
t

V
  cte.,
 0,
 0,V1  V2
t
x

Conservação de massa

Conservação de quant. Movimento em x
Termos se cancelam , 1 = 2 e V1
= V2
Escoamento completamente desenvolvido-
Queda de pressão

Assim, momento em x reduz a
ou
Outra forma de escrever τ (Através de análise dimensional)
w = func( V, , D, )
fV 2 L
P1  P2 
2D
O problema fica reduzido em resolver para o fator de
fricção f. Lembrar
Escoamento completamente desenvolvido-
fator de atrito esc. laminar
Força de atrito devido a parede:
Pressão:
Fa   w 2RL
Fa  w 2RL  w 2L 4 w L
Pa 



2
A
R
D
R
fV 2 L 4 w L
fV 2

, w 
2D
D
8
Para escoamento laminar:
4V
8V
w  
, abs( w ) 
R
D
  r 2 
u(r )
w  
, u(r )  2V 1    
r r  R
  R  
fV 2 8V
64
w 

, f 
8
D
VD
VD
64
Re 
, f 

Re
Escoamento completamente desenvolvido-
Fator de fricção


Moody chart foi desenvolvida para dutos circulares, mas pode
ser utilizada para tubos não circulares utilizando o diâmetro
hidráulico.
A equação de Colebrook é uma curva ajustada para dados
conveniente para uso em softwares
e
2.51

D
 2.0 log10 

 3.7 Re f
f

1





Tanto a carta de Moody como a equação de Colebrook tem
uma incerteza de +-15% devido ao valor da rugosidade,
erro experimental, ajuste da curva, etc..
Escoamento completamente desenvolvidofator de atrito escoamento turbulento (carta)
Fanning Diagram (1/4 Moody)


1
D
D/
 4.0 * log  2.28 4.0 * log4.67
 1

f
Re f




f =16/Re
1
D
 4.0 * log  2.28

f
Tipos de problemas de escoamento em
dutos
No projeto e análise de sistemas de dutos, 3 tipos de
problemas podem ser encontrados

1.
Determine p (ou hL) dado L, D, V (or vazão)
Pode ser resolvido diretamente com Moody chart e equação Colebrook
2.
3.
Determine V, dado L, D, p
Determine D, dado L, p, V (or vazão)
Tipos 2 e 3 são problemas comuns de projetos de
engenharia, i.e., sleção de diâmetros de dutos que
minimizem custo de construção e de bombeio.
Entretanto, uma abordagem iterativa se faz necessário já
que tanto V como D estão presentes no número de
Reynolds.
Problema tipo I
Este é o problema de selação de bomba. São dados vazão volumétrica V, diâmetro do
duto, D, de forma que o Número de Reynolds, Re, e a rugosidade relativa ε/D são
conhecidos e f pode ser lido diretamente da carta. A queda de pressão pode ser
calculada.
A bomba pode ser selecionada para vencer a perda de pressão calculada.
Problema tipo II
Tem a bomba e o sistema de dutos. Deseja determinar a vazão.
Conhece-se a queda de pressão, o diâmetro D, a rugosidade relativa ε/D pode ser
determinada. Não se conhece o número de Reynolds pois a velocidade não é conhecida. O
problema é resolvido assumindo que o escoamento é completamente turbulento (zona 4) de
forma que o fator de fricção é determinado somente pelo valor da rugosidade relativa.
Calcula-se a velocidade e ajusta-se Re….
Problema tipo III
Projeto do duto.
A pressão disponibilizada pela bomba perminte ∆p ser conhecido, a vazão é conhecida, mas
o diâmetro do duto precisa ser determinado. Neste caso nem Re, nem ε/D é conhecido.
Solução: Assume-se um valor para o fator de atrito f (No centro da carta Moody), por exemplo
f=0.03.
Este valor é utilizado para se obter um valor de D e um novo valor de f é obtido e assim por
diante até que um novo valor de D calculado não mude acima de um determinado valor.
fV 2 L
p  gH 
2D
p  gH 
8 fQ 2 L
 2 D5
Formas explícitas fator de atrito
Churchill (1973)
Swamee-Jain (1976):
Barr (1972):
Haaland (1983):
Sousa-Cunha-Marques (1999):
Perdas de pressão diversas



Sistema de dutos incluem conexões, válvulas, curvas, Ts,
entradas, saídas, alargamento e contração de diâmetro.
Esses componentes interrompem o escoamento suave do fluido
e causam perdas de pressão adicionais.
Essas perdas podem ser calculadas na forma de altura
manométrica como
• KL é o coeficiente de perda.
Valor típico de cada componente
Assume-se ser independente de Re.
Fornecido pelo fabricante ou obtido em
tabela (Table 8-4 ).
Perdas de pressão em dutos

A perda total de pressão em um sistema é composta de
perdas principais (em dutos) e secundárias (componentes).
i pipe sections

j components
Se o sistema de dutos tem o mesmo diâmetro,
Potência entregue ao fluido por bombas
Existem máquinas que tomam energia do escoamento (Uma turbina, por exemplo) e
máquinas que entregam energia para o escoamento (bombas ou ventiladores, por exemplo).
Tomando uma bomba como exemplo: A potência entregue ao fluido pode ser calculada
como
P  pQ
P em [W ], p em [ Pa ], Q em [ m3 / s ]
Bomba centrífuga
Já a potência que a bomba
necessita,P’, para entregar a
potência P ao fluido varia com
o rendimento da bomba Ƞ

P
P
p 
,
,
P ,
Q
pQ
P
,
, ou
Dimensionamento de sistemas com
bombas centrífugas
Na prática, η não é constante pois na bomba centrífuga o formato das lâminas é ótimo
somente para um valor de velocidade angular w e vazão Q .
A relação entre ∆p e Q é dada por uma curva quadrática
p  A1  A2Q 2
Já a queda de pressão devido o
escoamento no início do duto pode ter
uma componente constante devido a
gravidade mais um termo quadrático
devido ao atrito
p  gH 
8 fQ 2 L
 2 D5
p  B1  B2Q 2
Cavitação
Cavitação Descrição do fenômeno
Como qualquer outro líquido, a água também tem a propriedade de vaporizar-se em
determinadas condições de temperatura e pressão. E assim sendo temos, por exemplo, entra
em ebulição sob a pressão atmosférica local a uma determinada temperatura, por exemplo,
a nível do mar (pressão atmosférica normal) a ebulição acontece a 100oC. A medida que a
pressão diminui a temperatura de ebulição também se reduz. Por exemplo, quanto maior a
altitude do local menor será a temperatura de ebulição (V. Tabela 4). Em consequência desta
propriedade pode ocorrer o fenômeno da cavitação nos escoamentos hidráulicos.
Chama-se de cavitação o fenômeno que decorre, nos casos em estudo, da ebulição da água
no interior dos condutos, quando as condições de pressão caem a valores inferiores a pressão
de vaporização. No interior das bombas, no deslocamento das pás, ocorrem inevitavelmente
rarefações no líquido, isto é, pressões reduzidas devidas à própria natureza do escoamento
ou ao movimento de impulsão recebido pelo líquido, tornando possível a ocorrência do
fenômeno e, isto acontecendo, formar-se-ão bolhas de vapor prejudiciais ao seu
funcionamento, caso a pressão do líquido na linha de sucção caia abaixo da pressão de
vapor (ou tensão de vapor) originando bolsas de ar que são arrastadas pelo fluxo.
Cavitação
Estas bolhas de ar desaparecem bruscamente condensando-se, quando alcançam zonas de
altas pressões em seu caminho através da bomba. Como esta passagem gasoso-líquido é
brusca, o líquido alcança a superfície do rotor em alta velocidade, produzindo ondas de alta
pressão em áreas reduzidas. Estas pressões podem ultrapassar a resistência à tração do
metal e arrancar progressivamente partículas superficiais do rotor, inutilizando-o com o tempo
Quando ocorre a cavitação são ouvidos ruídos e vibrações característicos e quanto maior for
a bomba, maiores serão estes efeitos. Além de provocar o desgaste progressivo até a
deformação irreversível dos rotores e das paredes internas da bomba, simultaneamente esta
apresentará uma progressiva queda de rendimento, caso o problema não seja corrigido. Nas
bombas a cavitação geralmente ocorre por altura inadequada da sucção (problema
geométrico), por velocidades de escoamento excessivas (problema hidráulico) ou por
escorvamento incorreto (problema operacional).
Cavitação
A implosão das bolhas de
gas causam acelerações
localizadas de líquido que
podem chocar contra as
paredes causando
desgaste.
T=To+∆T
T=To
Cavitação
NPSH
Em qualquer cálculo de altura de sucção de bombas tem de ser levada em consideração que
não deve ocorrer o fenômeno da cavitação e, para que possamos garantir boas condições de
aspiração na mesma, é necessário que conheçamos o valor do NPSH (net positive suction
head). O termo NPSH (algo como altura livre positiva de sucção) comumente utilizado entre os
fornecedores, fabricantes e usuários de bombas pode ser dividido em dois tipos: o requerido
(NPSHr) e o disponível (NPSHd).
O NPSHr é uma característica da bomba e pode ser determinado por testes de laboratório ou
cálculo hidráulico, devendo ser informado pelo fabricante do equipamento. Podemos dizer
que NPSHr é a energia necessária para o líquido ir da entrada da bomba e, vencendo as
perdas dentro desta, atingir a borda da pá do rotor, ponto onde vai receber a energia de
recalque, ou seja, é a energia necessária para vencer as perdas de carga desde o flange de
sucção até as pás do rotor, no ponto onde o líquido recebe o incremento de velocidade. Em
resumo NPSHr é a energia do líquido que a bomba necessita para seu funcionamento interno.
Normalmente, o NPSHr é fornecido em metros de coluna de água (mca).
Cálculo do NPSHr
O NPSHr pode ser calculado através da expressão:
NPSHr = σ. Hman
onde o coeficiente de cavitação σ pode ser determinado pela expressão
σ= φ.( Ns )4/3, sendo
φ um fator de cavitação que corresponde aos seguintes valores:
para bombas radiais φ= 0,0011;
diagonais φ= 0,0013;
axiais φ= 0,00145.
N Q
N

,
s
Ns a velocidade específica,
onde
H 3/ 4
N=Rotação, Q=Vazão, H=Altura manométrica
Exemplo:

Calcular o NPSHr para a instalação de uma bomba com os
seguintes dados:
Altura Manométrica H
20 metros
Vazão
20 litros/s
Velocidade de rotação da bomba N
1150 rpm
Tipo de bomba
Radial
Temperatura
20ºC
Fator de atrito f
0.03
O tipo de bomba fica definido também pela rotação específica Ns.

definição do NPSHr

rotação específica Ns = 1 150 x [ (0,04)1/2 / (20)3/4 ] = 25,5

coeficiente de cavitaçãos = φ .( Ns)4/3, onde φ é o fator de cavitação que
correspondente ao valor para uma bomba radial φ = 0,0011
σ = φ . ( Ns )4/3 = 0,0011 x 25,54/3 = 0,0825;


altura diferencial de pressão NPSHr = σ. H = 0,0825 x 20 = 1,65 mca.
Significado na instalação
fV 2 (H  L )
1 1 P
Pc  Patm  gH 
v
1
2D
Pc
 NPSHr
g
H1
H2
C
L1
fA2V 2 (H  L ) P
P
atm  H 
1 1  v  NPSH
r
1
2
g

g
2gDA
8 fQ2 (H  L )
P
P
2 1  0.3m
H  NPSHr  atm  v 
1
g g
 2 gD5
Patm  113000Pa
pV (20)  2332.4 Pa Ver Tabela
  1000 kg / m
g  9.81m / s
H 2  0.25m
L1  1.0m
2
3
H  8.2 m
1
Significa que a tomada de fluido (ponto
C) poderia estar no máximo acima do
nivel do tanque em 8.2m
Temperatura (ºC)
Tabela
Pressão de
vapor para
água
Pressão de vapor de água
Densidade
mm Hg
kg/cm2
Pa
15
12.7
0.0174
1705.2
0.999
20
17.4
0.0238
2332.4
0.998
25
23.6
0.0322
3155.6
0.997
30
31.5
0.0429
4204.2
0.996
35
41.87
0.0572
5605.6
0.994
40
54.9
0.075
7350
0.992
45
71.4
0.0974
9545.2
0.99
50
92
0.1255
12299
0.988
55
117.5
0.1602
15699.6
0.986
60
148.8
0.2028
19874.4
0.983
65
186.9
0.2547
24960.6
0.981
70
233.1
0.3175
31115
0.978
75
288.5
0.3929
38504.2
0.975
80
354.6
0.4828
47314.4
0.972
85
433
0.5894
57761.2
0.969
90
525.4
0.7149
70060.2
0.965
95
633.7
0.862
84476
0.962
100
760
1.0333
101263.4
0.958
105
906
1.232
120736
0.955
110
1075
1.4609
143168.2
0.951
115
1269
1.726
169148
0.947
120
1491
2.027
198646
0.943
(-)
Introdução ao escoamento multifásico
Na indústria do petróleo é comum a ocorrência de escoamento multifásico,
caracterizado pela presença das fases água, óleo e gás em diferentes proporções.
O escoamento multifásico apresenta dificuldades para bombeio, medição e até
mesmo para a predição do comportamento do escoamento.
Indicadores relacionados com as frações:
BSW – Basic Sediments and Water
GOR – Gás Oil Ratio ou RGO (Razão Gás-óleo
100%
BSW
Definições
Fase: Definição termodinâmica para o estado da matéria, que pode ser sólido, líquido ou
gás.
Em escoamento multifásico várias fases fluem juntas.
Uma fase pode ser classificada como contínua ou dispersa. A fase é contínua quando ocupa
continuamente regiões conectadas do espaço. É dispersa quando ocupa regiões
desconectadas do espaço.
A fase contínua pode ser líquida ou gasosa. A fase dispersa é formada por partículas. Em
geral a partícula por ser sólida ou um fluido (líquido ou gás).
Partículas de fluido formadas por gás são chamadas de bolhas. Quando formádas por
líquidos são chamadas de gotas.
Por exemplo: No escoamento gás-líquido tipo bolha as bolhas de gás são a fase dispersa e
o líquido a fase contínua.
Introdução ao escoamento multifásico
Padrões típicos de escoamento (Regimes de escoamento)
a-bubble flow (esc. Tipo bolhas)
b-plug flow (esc. Tipo plugue)
c-stratified flow (esc. Estratificado)
d-wavy flow (esc. Ondulado)
e-slug flow (esc. Golfadas)
f-annular flow (escoamento anular)
g-spray or drop flow (esc. Névoa)
a-bubble flow
b-plug flow
c-churn flow (esc. Agitado)
d-wispy annular flow (an. Fino)
e-annular flow
f-spray or drop flow
Identificação de regimes
Uma forma utiliza com sucesso relativo para a identificação de regime
consiste em determinar as velocidades superficiais das frações.
Exemplo de mapa de regime de escoamento:
Água-ar para escoamento horizontal
As variáveis nos eixos x e y são a velocidade
superficial do gás e velocidade superficial do
líquido respectivamente.
U sg 
U sl 
qg
g A
ql
,
l A
, q g  vazão mássicade gás,
ql  vazão mássicado líquido,
 g  densidadegás
 l  densidadelíquido
A  Área do duto
Forças agindo sobre o fluido
O movimento dos fluidos resulta das forças agindo sobre os mesmos.
Essas forças podem ser classificadas em: Forças de volume, Forças de
superfície e Forças de linha.
Força devido a
Tipo
Magnitude
Pressão
Força Superfície
FP   p
Inércia
Força de volume
FI  Vu 2 L1
Viscosidade
Força de superfície
FV  AuL1
Gravidade
Força de volume
FG  Vg
Efeito bóia
Força de volume
FB  Vg
Tensão superficial
Força de linha
FB  
Equacionamento p/ fluido Newtoniano compressível
Equação da continuidade: Conservação de massa
z
Volume de controle
A
Direção do escoamento
x
y
 u x u y u z




0
 u  0 , ou,
t
x
y
z
t
Se
u y  u z  0, A  const.
A

q
 u x   0, u x 
t
A

1 q

t
A x
Não admite troca de massa entre gás
e líquido
Equacionamento p/ fluido Newtoniano compressível
Equação da continuidade: Conservação quantidade de movimento
uAx
 Au 2  Au 2

t,x
t , x  x
t
Ap t , x  Ap t , x  x 
Momento de entrada – momento de saída
Força de contato na entrada- saída
A x 
Força devido o atrito viscoso
Ag sinx
Força devido a gravidade
Dividindo por A∆x na direita e esquerda e no limite quando ∆x→0,
u u 2
p

   g sin 
0
t
x
x
u u 2 fu 2
p


 g sin 
0
t
x
2D
x
fu 2

2D
Equacionamento p/ fluido Newtoniano compressível
Equação da continuidade: Conservação quantidade de
movimento
q  uA, u 2 
q2
A2
q  q 2
fq2
p


 Ag sin  A
0
t x A 2 DA
x
q RT   q 2 
fRT q 2
MAgsin
p


p
A
0


t MA x  p  2 DMA p
RT
x
Para regime permanente:
q
0
t
 q

q
A

 0,
 0, 
0
t x
t
x
pM

RT
Newtoniano compressivel em Regime Permanente
  q
x  p
2




2q
q
p 2
p
q
q
x
x
,
 0 em SS,
2

x
p
  q 2 
p q 2

em regime permanente
2


x  p 
x p
RT q 2 p
fRT q 2
MAgsin
p



p

A
0
2
MA p x 2 DMA p
RT
x
Exemplo de aplicação


Obter o gráfico da pressão, velocidade e densidade x profundidade em
regime permanente para o escoamento de gás no espaço anular de dois dutos
verticais com saída para uma válvula de orifício
Dados:
Vazão mássica de gás=4.5 kg/s
H=2500m
Dcasing(ID)=8.75”
Dtprod.(ext)=5.0”
Rugosidade das paredes:10e-6m
T=300F
M=0.016 kg/mol
Viscosidade do gás=2e-5 Pas
Pressão no lado externo da válvula de orifício, Pwf=12.844 Mpa
Diâmetro da válvula de orifício=.5”
Coeficiente de descarga da Valv. Orifício=.8
Razão de calor específico do gás, γ=1.4
Solução
Equação da Vávula de orifício:

r
Pwf
Paf
 2   1

rcritico  
  1
Se r  rcrit
Programa principal:
 2
qvo  APaf  r   r


senão
qvo
  2 
   
 APaf  rcrit


A  cd (/4)d 2 ( 2 / (RT) ( / ( -1)) )
1
 1  2

Função:



Anularregper.m
annssap1.m
paf const.
q
1
   2


  1  
 rcrit 


r
rcrit
1
Código e resultados
Programa principal:
Função:
Anularregper.m
annssap1.m
No tubo de produção:
Continuidade
1   l t'  1   l um 'z  0
    u 
'
g t
'
g
m z
0
Conservação momento
 u
'
m m ,t
 u u
'
m m m, z
f
 m g 
 mum2  pT' , z  0
2 DT
m  g  1   l
No anular:

'
g ,t
  g u g z  0
'
u   g u g u
'
g ,t
'
g ,z
f
 g g 
 g u g2  p A' , z  0
2 DA
Trabalhos



Trabalho 1
Trabalho sobre Gas-Lift Continuo
(Explicar e desenvolver um programa para
levantar as curvas de Regime Permanente)
Trabalho 2
Trabalho sobre Bombeio Mecânico
Explicar e mostrar a simulação do processo
Trabalho 3
Trabalho sobre Bomba Centrigua submersa
Explicar e mostrar a simulação.