PORTFÓLIO DE MATEMÁTICA
SÚMARIO
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INTRODUÇÃO
1º TRIMESTRE
2º TRIMESTRE
3º TRIMESTRE
AUTO-AVALIAÇÃO
INTRODUÇÃO
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Neste último trimestre mostrarei não só o conteúdo do
3º trimestre, mas de todo o ano.
No primeiro trimestre tratei e relembrarei sobre:
Problemas de Lógica, Conjuntos, Intervalos e Função.
No segundo trimestre tratei e falarei novamente sobre:
Função do 1º grau, Gráfico, Coeficiente Angular ou
Linear, Raiz da Função, Função Polinomial do 2º Grau,
Concavidade, Zeros da uma Função Quadrática, Valor
de mínimo e valor de Máximo da Função Quadrática.
No terceiro trimestre mostrarei sobre Função
Exponencial, Função Logarítmica...
1º TRIMESTRE
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PROBLEMAS DE LÓGICA
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• Os problemas de lógica são feitos apartir de afirmativas dadas como dicas.
Exemplo:
1- O homem que ocupou o cargo de zelador foi contratado em Abril.
2- Jorge, que não é zelador, tem 34 anos.
3- O homem de 28 anos foi contratado em Junho
4- Lúcio, que não tem 29 anos, é contador.
5- O técnico de computadores tem 38 anos.
6- Renan foi contratado em Maio.
7- O homem de 32 anos é desenhista de edificações.
8- Milton, que não tem 38 anos, foi contratado em Março.
TABELA PARA DESENVOLVER A LÓGICA
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CONJUNTOS
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• Conjuntos: Integram um conjunto de objetos. Os objetos podem ser
qualquer coisa: números, pessoas ou até mesmo outros conjuntos, etc.
Exemplo: Numa pesquisa de mercado verificou-se que 2.000 pessoas
usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320
pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam
o produto A?
Para fazer este cálculo nós iremos usar círculos como desenvolvimento para
se chegar no resultado.
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Exemplo:
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INTERVALOS
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• Intervalo: é um espaço de um número ao outro e que
escrevemos em forma de conjunto e podem ser
representadas em uma reta.
SIMBOLOS DOS INTERVALOS
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• ≥ - Maior ou igual.
• < - Maior.
• ] - Quando este símbolo está virado para o número, significa que
está fechado e na reta é representado como uma bolinha pintada.
• [ - Quando este símbolo está virado para o número significa que
está aberto, e na reta é representada por uma bolinha vazia.
Exemplo de um Intervalo dado como conjunto:
{X € R|-3 ≤ x < 10}
União ♥
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• União: nada mais é do que um casamento entre intervalos.
Exemplo: A U B (A união com B) ou A ♥ B
A= ]-2,5[
B= [-1,6]
A U B= ]-2,6]
INTERSECÇÃO
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* Intersecção: São elementos de um intervalo que contem no
outro.
A= {-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
B= {0,3,6,9,12,15}
A B = {0,3,6,9}
FUNÇÃO
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• Para ser uma função todos de A tem que estar ligados em B.
• O Domínio é o A.
• O Contra Domínio é o B.
• A Imagem é todos de B que recebem A.
A€X
B€Y
* Para fazer uma função
precisamos de uma formula, que
muda de acordo com a função.
Exemplo: F (x) = x³
* É uma função, por que todos
de A estão ligados ao B.
2º TRIMESTRE
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FUNÇÃO DE 1º GRAU
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• Chama-se função de 1° grau a função definida por Y= ax + b
onde A e B são números reais e A ≠ 0.
• A função do 1º grau é também chamada de função afim.
• B = 0, a função também é dita linear.
TIPOS DE FUNÇÃO
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• Função Linear -> y = ax (a ≠ o) e (b = 0)
Exemplo: y = -4x
• Função Afim -> y = ax + b (a ≠ 0)
Exemplo: y = -x + 5
• Função Constante -> y = b (não tem a ou a = 0)
Exemplo: y = -x
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GRÁFICO
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•
Fazer um gráfico de uma função é a maneira de representar essa função no
plano cartesiano.
•
Sabemos que cada valor de x tem o seu correspondente valor de y pela
função; marcamos então no plano cartesiano (x,y). Dessa maneira, obtemos
um conjunto de pontos e esse conjunto é chamado gráfico da função.
•
Como o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta, basta localizar
dois de seus pontos para traçá-lo.
•
Eixo x: é o eixo das abscissas (eixo horizontal)
•
Eixo y: é o eixo das ordenadas (eixo vertical)
COEFICIENTE ANGULAR OU LINEAR
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• Na função y=ax+b, A representa o coeficiente angular e B o
coeficiente linear.
•
• Exemplo¹: y=-x+5 Função C.A=-1 C.L=5 Função Afim
•
• Exemplo²: y=-4x C.A= -4 C.L= 0 Função Linear
•
• Exemplo³: y= -x C.A= -1 C.L= 0 Função Constante
•
• O coeficiente Linear de uma função indica onde a reta vai cortar o
eixo y (ordenadas).
• O coeficiente Angular mostra se a função é crescente ou
decrescente... continua. U.ú
COEFICIENTE ANGULAR OU LINEAR
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• Função Crescente
a>0
• Exemplo: y=3x+1
y=2x
• Função Decrescente
a<0
• Exemplo: y=-3x+1
y= -2x
RAIZ DA FUNÇÃO (zeros da função)
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• A raiz da função mostra onde a reta corta o eixo x
(abscissas)
• Para se encontra a raiz da função basta igualar a zero a
equação dada.
• Para determinar os zeros ou raízes de uma função
f(x)=ax²+bx+c, temos que analisar a equação ax²+bx+c=0.
•
• Se Δ > 0, então a função possui dois zeros reais distintos.
• Se Δ = 0, então a função possui um zero real duplo.
• Se Δ < 0, então a função não possui zeros reais.
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU
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• Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma: a x² + bx + c
(a≠0)
Sendo:
X a incógnita -> letras
A, B, C, números reais (R), chamados coeficientes.
• Exemplos:
• Exemplo¹: x² - 7x + 10 = 0, onde: a = 1 , b = -7 , c = 10
• Exemplo²: 5 x² - x – 3 = 0, onde: a = 5, b = -1, c = -3
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU
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•
Observando os exemplos você vê que:
•
•
•
A representa o coeficiente de x²;
B apresenta o coeficiente de x;
C representa o termo independente.
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OBS: Para você ver de que grau é a equação, você sempre deve cuidar a potencia
do x, sempre grau vai ser aonde o x tiver o maior numero em sua potencia, olhe os
exemplos abaixo:
Exemplo¹: y = 5x - x² <- é uma função de 2º grau.
Exemplo²: y = x³ - x⁶ + x⁹ <- é uma função de 9º grau.
Exemplo³: y = 1 + x <- é uma função de 1º grau.
Exemplo₄: y = <- Não é uma função.
FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU
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• Importante:
• A fórmula de Bháskara (Bascara) permite achar as raízes de qualquer
equação do 2º grau completa ou incompleta.
• A expressão b²-4.a.c, chama-se discriminante e é indicada pela letra grega
Δ (delta).
• Δ = b² - 4 . a . c
• O gráfico de uma função de 2º grau ou quadrática é uma curva aberta
chamada parábola.
• Concavidade;
• Posição em relação ao eixo x;
• Localização do seu vértice.
CONCAVIDADE
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• A concavidade de uma parábola representa uma função quadrática
f(x) = a² + bx + c do 2º grau depende do sinal do coeficiente A:
ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRATICA
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• Vimos que os zeros ou raízes de uma função f(x) são os valores do domínio
para os quais f(x) = 0.
• Assim, os zeros ou raízes da função quadrática f(x)=ax²+bx+c são as raízes
da equação do 2º grau ax²+bx+c=0.
• Para determinarmos as raízes de uma função f(x)=x²-7x+6, fazemos:
f(x) =0 -> x²-7x+6=0
↓
Equação do 2º grau
• Δ=25
• X=
•
x₁=6 x₂=1
Então, os números 1 e 6 são os zeros da função f(x)=x²-7x+6.
VERTICE DE UMA PARABOLA
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• Para a construção do gráfico da função quadrática e outras
aplicações que veremos mais adiante, é importante determinar as
coordenadas do vértice da parábola.
• Analisando por exemplo a função y = x² -2x -3
• Nessa função, temos que o gráfico é uma parábola com
concavidade voltada para cima (a = 1 > 0) e as raízes ou zeros são
x₁= -1 e x₂ = 3.
• Para determinar as coordenadas Xv = e Yv do vértice (V), sabemos
que toda parábola possui um eixo de simetria que passa por esse
ponto. No caso em estudo, o eixo de simetria é paralelo ao eixo y.
• Assim, pontos (-1, 0) e (3, 0) são equidistantes do ponto (Xv, 0),
onde o eixo de simetria corta o eixo x, e Xv é a média aritmética dos
números -1 e 3.
VÉRTICE DE UMA PARABOLA
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• Xv=
•
• Se Xv = 1 podemos calcular Yv:
• Yv= (1)² - 2 (1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4
• Então, V(1, -4).
• Existe outra forma de se determinar as coordenadas do vértice da
parábola que apresenta a função de 2º grau f(x) = ax² + bx + c.
•
• Basta aplicar as formulas:
CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
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• A partir das coordenadas do vértice da parábola, podemos
determinar o conjunto imagem da função associada a essa
parábola.
•
• O conjunto-imagem (Im) da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o
conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
• 1ª - quando a > 0
• 2ª – quando a < 0.
VALOR DE MINIMO E VALOR MAXIMO DA
FUNÇÃO QUADRATICA
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• Pelo esboço dos gráficos das funções quadráticas podemos perceber que,
dependendo da posição da parábola (concavidade para cima ou para
baixo), a função pode ter um valor mínimo ou um valor Maximo, e que
esses valores correspondem à ordenada do vértice da parábola.
• a>0
Pelo esboço, você observa
que a função y = ax² + bx+c
apresenta um valor
mínimo Yv, que a ordenada
do vértice. Nesse caso, a
abscissa do vértice é
chamada ponto de mínimo
da função.
VALOR DE MINIMO E VALOR MAXIMO DA
FUNÇÃO QUADRATICA
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• a<0
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Pelo esboço, observamos que a
função y=ax²+bx+c apresenta um
valor Maximo Yv= , que é ordenada
do vértice. Nesse caso, a abscissa do
vértice é chamada de ponto Maximo
da função.
Então:
*Se a>0, Yv= é o valor mínimo da
função
*Se a<0, Yv= é o valor máximo da
função
3º TRIMESTRE
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FUNÇÃO EXPONENCIAIS
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• A função exponencial é a definida como sendo
a inversa da função logarítmica natural, isto é:
• Podemos concluir, então, que a função
exponencial é definida por:
AUTO-AVALIAÇÃO
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Neste último trimestre, achei o conteúdo
fácil, mas por falta de exercitar acabei
esquecendo um pouco, e agora como é
último trimestre tenho muitos
trabalhos para entregar e provas para
estudar e como nunca fui boa em
ciências exatas, acabei me dando mal.
Tentei fazer o máximo por essa
matéria, mas a única solução foi tentar
fazer um portfólio melhor. A nota da
minha auto-avaliação é 7.8, eu poderia
ter me esforçado bem mais, mas é essa
minha nota, apesar de precisar mais
que 7.8. Muito Obrigada, e um beijo no
rim! Hihi *-*