Aula Teórica 16
Equação de Navier-Stokes em
coordenadas cilíndricas. Força de Coriolis
e escoamentos em tubos
Algebra da transformação
• As equações são deduzidas a partir de uma
transformação de coordenadas convencional (ver
detalhes na sebenta).
• A transformação de coordenadas põe em evidências as
acelerações de Coriolis e centrípeta, que aparecem
directamente a partir da aceleração convectiva.
• A aceleração centrípeta está associada ao gradiente
radial de pressão no caso de ocorrer curvatura das linhas
de corrente.
• A aceleração de coriolis é responsável pelo aumento da
velocidade tangencial quando o raio de curvatura
diminui.
Equações em coordenadas cilíndricas:
Forças centrífuga e de Coriolis
x1  z
x 2  r cos
x3  r sin 
 1  rv r  1  v   v z 



0
t r r
r 
z
 v r
 1   v r  1  2 v r  2 v r
v r v v r v2
v r 
p
2 v 
     
  g r
 
 vr


 vz
r
 2


2
2
2

t

r
r


r

z

r
r

r

r


r 
z
r




 v
 1   v  1  2 v  2 v
v v v v v r
v 
1 p
2 v r 


  g 
 
 vr


 vz


r



2
2
2
2

 r r r


t

r
r


r

z
r




r



z
r




 1   v z  1  2 v z  2 v z
v z v v z
v z 
p
 v z

 vr

 vz
r
 2
 2
     
2
r
r 
z 
z
r

r

r
r


z
 t


  g z

Aceleração Centrípeta e de Coriolis
 v2 
p


    
r
 r 
 v v vr 



r 
 t
A aceleração centrípeta origina aceleração radial, a menos que seja
equilibrada por uma força exterior. Essa força só pode ser o gradiente de
pressão. O atrito só poderia em escoamentos muito particulares e a
gravidade não pode porque é uma força dirigida sempre no mesmo
sentido.
A aceleração de coriolis origina aceleração tangencial a menos que seja
equilibrada por outra força. Essa aceleração aumenta quando o raio de
curvatura diminui. A combinação com a aceleração centrípeta e o
gradiente de pressão estão na origem dos escoamentos observadas nos
tufões.
O escoamento nos tufões
• Nos tufões o ar roda em torno do centro do tufão e por isso
tem aceleração centrípeta que se não for equilibrada pelo
gradiente de pressão origina aceleração radial. No caso de a
aceleração radial fazer convergir o escoamento para o centro
de rotação, a velocidade tangencial aumenta devido ao efeito
de coriolis.
• Nos tufões isso acontece. A pressão é globalmente
hidrostática e o efeito do atrito faz baixar a velocidade junto
ao solo. Como consequência o gradiente de pressão
necessário para equilibrar a força centrífuga é excessivo,
gerando aceleração centrípeta e obrigando o fluido a
convergir para o centro.
Escoamento nos tufões
• Quando o fluido converge para o centro a velocidade
tangencial aumenta devido a coriolis. Isto acontece junto ao
solo por causa do retardamento do escoamento pelo atrito.
• Pelo contrário, no topo da atmosfera, acontece o contrário e o
ar diverge do centro para a periferia. Quando o ar diverge do
centro, a pressão baixa e o ar sobe, arrefecendo e gerando
chuva.
• Vistos da terra, o tufões são por conseguinte escoamentos
com rotação e velocidade dirigida para o centro, que aumenta
à medida que “caminhamos” para o “olho” do furacão e que
originam grande quantidade de chuva.
Escoamento laminar em tubos
• Os tufões são exemplos de escoamentos onde
as forças de inércia e de pressão dominam o
escoamento. Os tubos são exemplos em que o
escoamento é determinado pelo equilíbrio
entre as forças de pressão e as forças viscosas.
• O perfil de velocidades num tubo pode ser
facilmente obtido integrando as equações de
Navier – Stokes.
Balanço de Energia e de QM a um
troço de um tubo
P2
P1
τw
A
 1  rv r  1  v   v z 



0
t r r
r 
z
  1  rv z  1  2 v z
v z v v z
v z 
p
2 v z  2 v z
 v z

 vr

 vz
  
 2
 2


2

t

r
r



z

z

r
r

r


r r
r
z 2




  g z

 v z 
0
z
 1   v z  1  2 v z  2 v z
p

  
r
 2

2
z
r 
z 2
 r r r

  g z  0

 1   v z  1  2 v z  2 v z
  p  gz

  
r
 2

2
x
r 
z 2
 r r r
 1   v x   1   p  gz
r


x
 r r r  
  v x  r   p  gz
r

r r

x
 v x  r 2   p  gz
r

 C1
r
2
x
 v x 
r   p  gz C1


r
2
x
r
r 2   p  gz
v
C
4
x

  0

Condições de Fronteira
• r=R => v=0
r  p  gz
v
C
4
x
1  p  gz 2
2

v
R r 
4
x
2
Perfil Parabólico, vel máxima em r=0, vel aumenta com gradiente de
pressão ou com gradiente de cota.
Vmax
R 2   p  gz

4
x
2
R 2   p  gz 2
R
  p  gz 2
Q  
R  r 2 dA   
R  r 2 2rdr
4
x
4
x
A
0


R 4   p  gz
Q
8
x
Q Vmax
R 2   p  gz
Vmed  

A
2
8
x
v
R   p  gz
    
r
2
x

64
64
f 


1
Vmed D Re
2
Vmed
2
R


Tubo coaxial
 v x  r 2   p  gz
r

 C1
r
2
x
 v x 
r   p  gz C1


r
2
x
r
r 2   p  gz
v
 C1 ln r  C 2
4
x



2
2
1   p  gz  2
a b
a 
2
v
a r 
ln
b
4
x
r

ln


a


• Onde a é o Raio do tubo exterior e b do
interior