Modelização e gestão do risco
13.ª e 14.ª Aula
2
Cenários,
Probabilidade,
Valor Médio e
Desvio Padrão
3
Modelização e gestão do risco
• No planeamento financeiro tem muita
importância o que vai acontecer no futuro
porque as decisões tomadas no presente têm
repercussões que perduram no tempo.
• O risco resulta de não existir conhecimento
perfeito sobre o comportamento futuro das
variáveis económicas relevantes.
4
Modelização e gestão do risco
• A análise financeira é feita com base em
previsões
– preços dos inputs,
– preços e quantidades dos outputs
• Têm associados erros de previsão
• O desempenho calculado a priori pode vir a
concretizar-se de forma desfavorável.
5
Cenários - Lotaria
6
Lotaria
• A lotaria como modelo do risco.
• Ex. 2.1 – Numa slot machine, o apostador
paga 1€ e escolhe um número entre 000 e
999). A máquina sorteia um número e se
coincidir com o número do apostador, o
apostador recebe 950€ mas, no caso
contrário, não recebe nada.
• Determine o payoff deste jogo
7
Lotaria
• Existem 2 cenários
• C1 => o número é igual
– Tem probabilidade de 1/1000
• C2 => o número é diferente
– Tem probabilidade de 999/1000
8
Lotaria
• Como a probabilidade de C1 é de 0,1% e de C2
é de 99,9%, por cada euro jogado, o apostador
vai receber (valor médio)
• 950€ *0,1% + 0€*99,9% = 0,95€
• E a máquina vai receber (valor médio)
• -949€ *1/1000 + 1€*999/1000 = 0,05€
9
Lotaria
• Ex. 2.2 – Existem duas aplicações financeiras
para 1000€ a um ano.
• Sem risco => 1025€
• Com risco => 900€ mais uma lotaria que,
atirando uma moeda ao ar, se sair cara lhe
paga 300€ e se sair coroa não lhe paga nada
• Determine a rentabilidade das aplicações
10
Lotaria
• Sem risco, 1025€/1000€-1 = 2,5%
•
•
•
•
Com risco,
C1 => (900€+ 300€)/1000€ -1 = 20%
C2 =>(900€ + 0€)/1000€ -1 = -10%
Como as probabilidades são iguais, teremos o
valor médio de
• (C1+C2)/2 = (20%-10%)/2 = 5%
11
Lotaria
• No exempo 1 e 2 qual seria a melhor opção?
• Jogar ou não?
• Adquirir o activo sem risco ou com risco?
12
Seguro de Vida
13
Seguro de vida
• No seguro de vida, o segurado paga o
“prémio” que é uma renda antecipada (por
exemplo, uma mensalidade de 35€/mês) e,
em caso de morte, a seguradora paga a
“indemnização” ao beneficiário do seguro (por
exemplo, 25000€).
14
Seguro e vida
• No cálculo do prémio, a primeira questão que
a seguradora tem que saber é quais são as
contingências futuras, i.e., quais as variáveis
relevantes do negócio que estão sujeitas a
risco e incerteza.
– A longevidade do segurado, N
– A taxa de juro de mercado, r
15
Seguro de vida
• Em termo analíticos teremos
I  (1  r )
P
N
P
N
  1  (1  r )   (1  r )
r
I r
1  (1  r)   (1  r)
N
N 1
16
Seguro e vida
• Sabendo estas duas variáveis, consegue
calcular a margem do negócio
• Longevidade = 40 anos
• Tx de juro = 3,0%/ano = 0,2466% /mês
17
Seguro e vida
VAprm =35/0,2466%*(1-(1+ 3%)^-40)*
(1+0,2466%)
= 9865,25 € (sem arredondamento da taxa de
juro)
VAind= 25000€*(1+3%)^-40 = 7663,92 €
A margem do seguro é de 28,7%
18
Seguro de vida
• Se capitalizasse a renda dava no mesmo
VFprm = 9865,25 € *(1+3%)^40 =32180,82€
Margem = 32180,82 €/25000€ - 1 = 28,7%
19
Seguro de vida
• Podemos verificar que o VF da renda fica
maior quando
• Maior longevidade é melhor
– A pessoa paga mais prémios
• Maior taxa de juro é melhor
– Capitaliza mais a renda (p5)
20
Seguro de vida
• Ex.2.3. Prémio de 140€/mês para uma
indemnização de 100 mil euros.
• Logevidade de 45 anos e taxa de capitalização
é de 1,88%/ano,
• Qual é a “margem das vendas”?
• (Análise de Sensibilidade) A longevidade
aumenta 1 ano ou a taxa de juro aumenta
0,1pp.
21
Seguro de vida
C4: =(1+C3)^(1/12)-1
B5: =A5*12
C5: =$B$1*(1+C$3)^-$A5*C$4/(1-(1+C$3)^-$A5)
G3: =$B$2/C5-1
22
(Aula 14)
Informação Imperfeita
23
Informação imperfeita
• Identificadas as variáveis onde se pode
materializar a ameaça e como essa ameaça se
traduz no desempenho do negócio (e.g.,
usando o modelo da Renda), será preciso
recolher informação sobre essas variáveis de
forma a podermos
24
Informação imperfeita
• 1) Construir cenários
– Cenário Base (mais provável)
– Cenário(s) desfavorável(áveis)
• Adverso
• Muito Adverso
– Cenário(s) favorável(áveis)
• Favorável
• Muito Favorável
• 2) Atribuír uma probabilidade aos cenários
25
Informação imperfeita
• 3) Agregar a informação
– Temos que agregar os payoffs de todos os
cenários numa medida que permita avaliar o
impacto financeiro de cada acção no desempenho
do nosso investimento
– Valor Médio
– Desvio Padrão
26
Conceito de probabilidade
27
Probabilidade
• O conceito de probabilidade p de ocorrer x
tem duas perspectivas, a clássica e a
bayesiana.
• Na perspectiva clássica, a probabilidade
resulta de um fenómeno repetível.
• Na perspectiva bayesiana é uma conjectura
construída por “peritos”.
28
Probabilidade Clássica
• A probabilidade é a proporção de vezes que
eu observo o acontecimento x se retirar
repetidamente, de forma aleatoriamente e
independente indivíduos da população em
consideração.
• Podemos ter uma população de papelinhos ou
uma população teorica
– Permite um número infinito de réplicas nas
mesmas condições.
29
Probabilidade Clássica
• Ex. Atirando dois dados de 6 faces, qual a
probabilidade observar um total de 1; 2; 3; 4;
5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12 pontos?
• Podemos repetir a experiência para
determinar a proporção de cada caso
• 2 => (1; 1) => 1 caso
• 3 => (1; 2) + (2; 1) => 2 casos
• 4 => (1; 3)+(2; 2)+(3; 1) => 3 casos
30
Probabilidade Clássica
•
•
•
•
•
•
5 => (1; 4)+(2; 3)+(3; 2) +(4; 1) => 4 casos
...
11 => (5; 6)+(6; 5) => 2 casos
12 => (6; 6)+(6; 6) => 1 casos
Num total de 36 casos dá
0; 1/36; 2/36; 3/36; 4/36; 5/36; 6/36; 5/36;
4/36; 2/36; 2/36;1/36
31
Probabilidade Clássica
• Baralhando as 52 cartas, qual a probabilidade
de a primeira carta ser o Ás de Copas?
• Posso repetir a experiência milhões de vezes
• Havendo 52 cartas, será 1/52
32
Probabilidade Clássica
• No jogo Black Jack,
• i) Qual a probabilidade de ter a “mão natural”
(10 pontos + ás)?
– 10 pontos => 4/13
– Ás => 1/13
• Prob = 4/13*1/13 + 1/13*4/13
•
= 8/169 = 4,734%
33
Probabilidade Clássica
• No jogo Black Jack,
• ii) Tendo uma mão com N pontos, qual a
probabilidade de, com mais uma carta,
“rebentar”?
<=11 pontos  0%
=12 pontos  4/13
=14 pontos  6/13
=16 pontos  8/13
=18 pontos  10/13
=20 pontos  12/13
=12 pontos  3/13
=13 pontos  5/13
=14 pontos  7/13
=17 pontos  9/13
=19 pontos  11/13
= 21 pontos  100%
34
Probabilidade Bayesiana
• Ex, tendo uma possibilidade de exportar para
um novo cliente (que não conheço), perguntei
a 10 dos meus fornecedores (que têm alguma
informação) que ideia tinham sobre a
probabilidade desse potencial cliente pagar a
encomenda:
• C1 (vai pagar) => lucro de 10000€
• C2 (não vai pagar) => Prejuizo de 15000€
35
Probabilidade Bayesiana
• As respostas foram 30%; 40%; 40%; 40%; 50%;
50%; 80%; 80%; 90%; 90%.
• Calculando a média dos 6 valores intermédios
(deitei fora os 2 maiores e os 2 menores),
calculei que a probabilidade de não vir a
receber o dinheiro da encomenda é de 58%.
• Valor médio = 58%* 10mil€ - 42%*15mil€
•
= -500€
36
Probabilidade Bayesiana
• Em termos práticos a perspectiva bayesiana é
mais flexível mas não tem tanto suporte
teórico.
37
Valor Médio
38
Valor médio
• Tendo o payoff e a probabilidade de cada
cenário, em termos quantitativos somos
capazes de agregar todos os cenários no valor
médio.
• Em termos económicos, o valor médio é a
medida que contém mais informação
– Um agente económico neutro ao risco vai
maximizar esta medida
39
Valor médio
• Obtemos o valor médio multiplicando o payoff
de cada cenário pela probabilidade.
x1. p1  x2 . p2  ...  xn . pn

p1  p2  ...  pn
  x1. p1  x2 . p2  ... xn . pn
40
Valor médio
• Ex. Na decisão de investir no mercado sulafricano foram considerados 3 cenários, Mau,
Médio e Bom que foram ponderados com
base em opinião de peritos. Calcule o
resultado médio;
41
Valor médio
Cenár Descrição
Mau
Destroem tudo
Ganho Probab.
Aux
-1000
12%
-120
+100
60%
60
+150
28%
42
Crescimento
Médio moderado
Crescimento
Bom
elevado
Média
-1842
Valor médio
• Voltando ao Ex.2.3 do seguro de vida,
assumindo serem conhecidas as
probabilidades de cada um dos cenário,
• i) calcule o valor médio da margem das vendas
• Ii) o valor das reservas mensais que é
necessário constituir para que a margem seja
nula (fazer o valor da célula F11 igual a zero).
43
Valor médio
44
Decisão sob Risco
O uso do Valor Médio
45
O uso do valor médio
• O valor médio dos payoffs de todos os
cenários ponderados pelas probabilidade tem
em atenção o impacto dos casos adversos e
dos casos favoráveis.
• Um agente económico neutro ao risco vai
adoptar esta medida como função objectivo.
• E.g., maximizar o lucro esperado
46
• Ex.2.8. Um empresa fornece refeições a aviões
que cozinha durante a noite para responder às
solicitações do dia seguinte que são incertas.
• Por cada refeição que fornecer recebe 15€
(com um custo de produção de 5€) e tem uma
penalização de 15€ por cada refeição que seja
pedida e não possa ser fornecida.
• As refeições que sobram são destruídas no fim
do dia (perda total).
47
• i) Determine, em termos médios, a
rentabilidade do fornecimento em função do
número de refeições confeccionadas.
• ii) Determine o número de refeições que
maximiza a rentabilidade média.
48
• A empresa constrói cenários em que a variável
desconhecida é o número de refeições
encomendadas
• Calcula, para cada dia e com base na sua
experiência, a probabilidade de cada um dos
cenários se verificar.
• Com essas probabilidades, a empresa
determina o resultado médio do dia em
função
do
número
de
refeições
confeccionadas (que é a variável de decisão).
49
E6: =MÍNIMO(C6;$D$1) F6: =C6-E6
G6: =E6*E$4-D$1*D$2+F6*F$4
H6: =D6*G6
H15: =SOMA(H6:H14)
50
• Alterando o valor da variável de decisão, D1,
determino qual o número de refeições que
maximiza o resultado médio, H15
51
Optimização
• O Excel tem a ferramenta Solver que permite
maximizar ou minimizar o resultado de um modelo.
No Excel 2007:
• Office Button+ Excel Options + Add-ins category +no
Manage clickar em Go…,
•
+Solver Add In
• Depois, aparece no Analysis
52
Função de Distribuição
53
Função de Distribuição
• É aceitável pensar que os cenários vizinhos
devem ter associadas probabilidade
semelhantes,
• A probabilidade de morrerem com 60 anos de
idade deve ser semelhante a morrerem com
61 anos de idade.
54
Função de Distribuição
• A Estatística propõe o uso de uma função F(x)
que quantifica a probabilidade de ser
observado um qualquer valor e que é
caracterizada por apenas alguns parâmetros.
• A Estatística indica qual deve ser a função de
distribuição a utilizar.
55
Distribuição Normal
56
Distribuição Normal
• Apesar de a sua expressão analítica ser
complicada, é uma distribuição muito utilizada
porque é “a distribuição limite” que resulta de
somarmos acontecimentos estatisticamente
pouco dependentes (e.g., a altura das
pessoas).
• É caracterizada por dois parâmetros, o valor
médio, , e o desvio padrão, .
57
Distribuição Normal
• QI é uma variável aleatória com distribuição
normal com média 100 e desvio padrão 15
• ~N(100,15)
• A probabilidade de encontrar um indivíduo
com QI > 130 é de 2,275% (i.e., uma em cada
44 pessoas).
• =1-NORMDIST(130;100;15;TRUE).
58
Distribuição Normal
• Ex.2.7. Uma empresa emitiu obrigações a 25
anos à taxa de juro nominal fixa de
3,000%/ano. Supondo que a taxa de inflação
média nesses 25 anos se prevê seguir
distribuição N(0,02, 0,01)/ano, determine, em
termos reais, o valor médio a receber no fim
do prazo de aplicar 10000€.
59
Distribuição Normal
• R. Vou dividir o domínio da taxa de inflação
em cenários (a gosto), calcular o valor
capitalizado com a taxa de juro real para cada
cenário e determinar o valor médio
capitalizado. Resulta que, em média, a taxa de
juro real vai ser de =(13176,28/100)^(1/25)-1
= 1,109%/ano.
60
Distribuição Normal
61
Distribuição Normal
• A7: =G1-4,25*G2
B7: =A7+$G$2/2
• A8: =B7 D7: =(A7+B7)/2
• C7: =NORMDIST(B7;G$1;G$2;TRUE)NORMDIST(A7;G$1;G$2;TRUE)
• E7: =(1+C$1)/(1+D7)-1
• F7: =C$2*(1+E7)^C$3
G7: =F7*C7
• C24: =SOMA(C7:C23)
• G25: =SOMA(G7:G22)/C24
62
Distribuição Normal
• R. Em média, a taxa de juro real vai ser de
=(13176,28/100)^(1/25)-1 = 1,109%/ano.
63
Distribuição Uniforme
• Traduz que todos os valores dentro de um
intervalo são igualmente prováveis. É
caracterizada por dois parâmetros,
• O valor máximo, e o valor mínimo.
• Valor médio,  = (Vmax+ Vmin)/2, e
• Desvio padrão,  = 0,2887(Vmax–Vmin).
64
Distribuição de Poisson
• Caracteriza por um parâmetro (o valor médio
que é igual ao desvio padrão). Esta
distribuição tem boa aplicação em todos os
fenómenos em que existe uma probabilidade
de falha (por exemplo, de na próxima hora,
uma lâmpada fundir, um avião cair ou sermos
mordidos por uma vespa asiática).
65
Distribuição de Poisson
• Quando se constrói um avião, é necessário
colocar bancos adequados para acomodar
Pessoas com Necessidades Especiais (PNE).
– Cada lugar implica um custo
– Mas deixar passageiros em terra tem uma
penalização
• Eu não sei quantas pessoas aparecem em cada
voo.
66
Distribuição de Poisson
• Dados passado:
• Olhando para as pessoas que viajaram no
passado, 3.0% são PNE.
67
Distribuição de Poisson
• Partindo
desta
pormenorizada
informação
pouco
– Calculada com os passageiros do passado
• podemos calcular, com a ajuda da estatística,
estimativas para as necessidades das viagens
futuras
– Supomos a estabilidade das características da
população
68
Distribuição de Poisson
Probabilidade
15%
10%
5%
0%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14PNE
15
Sabendo-se que 3% dos indivíduos são PNE, em x% das viagens futuras (com 200
passageiros) haverá necessidade de N lugares –
Função distribuição de Poisson
69
Distribuição de Poisson
• Agora, podemos optimizar uma função
objectivo.
• H1) cada lugar especial dá 0,5 “bilhetes” de
prejuizo
• H2) Deixar um PNE em terra tem 5 “bilhetes”
de penalização
• Podemos maximizar o lucro esperado
70
Distribuição de Poisson
• A variável de decisão é N.
se x  n
0
f (n, x)  0,5n  
5( x  n) se x  n
x é o número de PNE que aparecem num voo
qualquer
n é o número de cadeiras especiais do avião
71
Distribuição de Poisson
Óptimo
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
0
5
10
15
20
72
Distribuição de Poisson
• Com os 3% de PNE, foi possível construir um
modelo de apoio à decisão.
O valor óptimo depende das variáveis do modelo de
decisão
Percentagem de PNE (estimativa)
Custo da rejeição
Custo do banco alargado
73
Decisão sob Risco
O uso do Valor Médio e do Desvio Padrão
74
Aversão ao risco
• Os investidores são avessos ao risco
– Para a mesma rentabilidade esperada escolhem as
aplicações com menor risco
• É preciso introduzir uma medida da dispersão
do resultado em trono do valor médio
– O Desvio Padrão
75
Aversão ao risco
• Os investidores são avessos ao risco
– Para a mesma rentabilidade esperada escolhem as
aplicações com menor risco
• É preciso introduzir uma medida da dispersão
do resultado em trono do valor médio
– O Desvio Padrão
76
Desvio Padrão
• A vantagem do desvio padrão é ser uma
expressão algebricamente derivável e ter
interpretação física:
• e.g., uma população agrega-se no valor médio
de 25€/dia e no desvio padrão de 5€/dia. Em
termos “físicos” é como se tivessemos metade
dos casos em 20€/dia e outra metade em
30€/dia.
77
Desvio Padrão
• A vantagem do desvio padrão é ser uma
expressão algebricamente derivável e ter
interpretação física:
• e.g., uma população agrega-se no valor médio
de 25€/dia e no desvio padrão de 5€/dia. Em
termos “físicos” é como se tivessemos metade
dos casos em 20€/dia e outra metade em
30€/dia.
78
Desvio Padrão
• Para calcular o desvio padrão, primeiro
calculamos o valor médio, , depois
calculamos a variância, 2, (a média dos
desvios relativamente ao valor médio, ao
quadrado) e, finalmente, calculamos o Desvio
Padrão fazendo a raiz quadrada da variância,
.
79
Desvio Padrão
  ( x1   ) . p1  ( x2   ) . p2  ...  ( xn   ) . pn
2
2
2
80
Desvio Padrão
• Ex.2.x. Uma empresa pretende
internacionalizar-se e traçou vários cenários
possíveis. Determine o valor médio e o desvio
padrão do resultado financeiro que resulta da
internacionalização.
81
Desvio Padrão
82
Desvio Padrão
•
•
•
•
D2: =$B2*C2
D10: =SOMA(D2:D9)
E2: =(C2-$D$10)^2 F2: =$B2*E2
F10: =SOMA(D2:D9)
F11: =F10^0,5
83
Desvio Padrão
• Na tomada de decisão vamos retirar ao valor
médio do lucro uma parte referente ao risco
– Vamos subtrair uma parte proporcional ao Desvio
Padrão, tanto maior quanto maior for a aversão ao
risco do investidor.
– O lucro para efeito de comparação com outros
investimentos será o lucro médio com uma parte
do desvio padrão
– Lucro Comparável = Lucro médio – k*Desv. Padrão
– k > 0 se o investidor for avesso ao risco
84
• Voltemos ao modelo do Ex.2.8.
• Agora, vamos maximizar o ganho médio
diminuido do desvio padrão.
• Maximizando o valor médio, a empresa faz
3875 refeições (lucro médio de 30050€ com
DP de 5819€ )
• Maximizando o valor médio menos 1 desvio
padrão, a empresa faz 3694 refeições (lucro
médio de 29761€ com DP de 5087€)
• Menos 5DP dava 3501 refeições (lucro médio
de 28784€ com DP de 4540€ )
85
• Recordemos Ex.2.8. Um empresa fornece
refeições a aviões que cozinha durante a noite
para responder às solicitações do dia seguinte
que são incertas.
• Por cada refeição que fornecer recebe 15€
(com um custo de produção de 5€) e tem uma
penalização de 15€ por cada refeição que seja
pedida e não possa ser fornecida.
• As refeições que sobram são destruídas no fim
do dia (perda total).
86