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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Lógica de Primeira Ordem
Ou
Lógica de Predicados
SUMÁRIO
ORIGEM
SINTAXE E E SEMÂNTICA
ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM
REGRAS DE FORMAÇÃO
AXIOMAS
QUANTIFICADORES
CÁLCULO DE PREDICADOS
ORIGEM
 Historicamente, lógica
surgiu com o filósofo grego
Aristóteles (384-322 A.C.)
Lógica Proposicional
x
Lógica de Primeira Ordem
SINTAXE
e
SEMÂNTICA
ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM
• Constantes: ReiJoao, 2, ...
• Predicados: Irmaos, >,...
• Funções: Raiz, PernaEsquerdaDe,...
• Variáveis: x, y, a, b,...
• Conectivas: ¬, ⇒, ∧, ∨, ⇔
• Igualdade : =
• Quantificadores: ∀, ∃
Explicação: Modelo (LPO)
 Constantes: RicardoCoracaoLeao, ReiJoao,
PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao, PernaEsqDeReiJoao, Coroa;
 Predicados:
 Aridade=2;
 Irmãos: (RicardoCoracaoLeao, ReiJoao), (ReiJoao, RicardoCoracaoLeao);
 NaCabeca: (Coroa, ReiJoao);
 Aridade=1 (propriedades);
 Pessoa: (RicardoCoracaoLeao), (ReiJoao);
 Rei: (ReiJoao);
 ECoroa: (Coroa);
Na matemática a aridade de uma função ou operação é o número de argumentos
ou operandos tomados.
Explicação: Modelo (LPO)
 Funções:
 PernaEsqDe: (RicardoCoracaoLeao,PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao),
(ReiJoao,PernaEsqDeReiJoao), (PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao,INV),
(PernaEsqDeReiJoao,INV), (Coroa,INV);
INV é uma perna “invisível”!
Funções em LPO são totais, e estão definidas para todos os objetos:
QUANTIFICADORES
 Quantificador Universal (∀): “Para todo...” ∀x P, onde P
é qualquer expressão lógica.
Exemplo:
∀x Rei(x) ⇒ Pessoa(x)
 Quantificador Existencial (∃): “Para algum...” ∃x P
Exemplo:
∃x Rei(x)
ALGUMAS REGRAS DE FORMAÇÃO
 Qualquer constante é um termo (variáveis livres).
 Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é ela
mesma).
 Toda expressão f (t1,…, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada
argumento ti é um termo e f é um símbolo de função de
aridade n) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis
livres de cada um dos termos ti.
AXIOMAS
 Os axiomas considerados aqui são os axiomas
lógicos que fazem parte do cálculo de predicados.
Além disso, os axiomas não-lógicos são adicionados
em teorias de primeira ordem específicas: estes
não são considerados como verdades da lógica,
mas como verdades da teoria particular sob
consideração.
 Três dos axiomas lógicos que caracterizam a lógica de
primeira ordem:
 (A1)
 (A2)
 (A3)
 (A4)
CÁLCULO DE PREDICADOS
 O cálculo de predicado é uma extensão da lógica
proposicional que define quais sentenças da lógica de
primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal
usado para descrever as teorias matemáticas.
Exercícios 1
 Todos os As são Bs:
 Nenhum A é B:
 Alguns As são Bs:
 Alguns As não são Bs:
 Somente os As são Bs:
 Nem todos os As são Bs
 Todos os As não são Bs
Exercícios 1 : Respostas
 Todos os As são Bs: ∀x A(x) ⇒ B(x)
 Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x)
 Alguns As são Bs: ∃x A(x) ∧ B(x)
 Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x)
 Somente os As são Bs: ∀x B(x) ⇒ A(x)
 Nem todos os As são Bs
 – Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x)
 Todos os As não são Bs
 – Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x)
Exercícios 2
 Todas as pessoas gostam de outra pessoa
 Existe uma pessoa de quem todas as outras pessoas gostam
 O João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode frequentar as




duas)
O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE (somente uma das
duas)
A Ana tem no máximo uma irmã
A Ana tem exatamente uma irmã
A Ana tem pelo menos duas irmãs
Exercícios 2: Respostas
 Todas as pessoas gostam de outra pessoa
 – ∀x Pessoa(x) ⇒ ∃y Pessoa(y) ∧ Gosta(x,y) ∧ ¬(x=y)
 Existe uma pessoa de quem todas as outras pessoas gostam
 – ∃x Pessoa(x) ∧ ∀y Pessoa(y) ∧ ¬(x=y) ⇒ Gosta(y,x)
 O João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode frequentar as
duas)
 – Frequenta(João,IA) ∨ Frequenta(João,PE)
 O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE (somente uma das
duas)
 – Frequenta(Rui,IA) ⇔ ¬Frequenta(Rui,PE)
COMPONENTES
 JUCIELE SACRAMENTO FREITAS
 VÍVIAN MARIA NUNES DOS SANTOS
 JHONE SESTO DAMICO