AGRONEGÓCIO - TURMA 2º A
MATEMÁTICA
UNIDADE 2
Conteúdo: Matrizes
Duração: 10 40’
04/04/13
Matemática –MATRIZES
André Luiz
MATRIZES
Definição:
Uma matriz é uma tabela de números reais
dispostos segundo linhas horizontais e colunas
verticais.
Mat
Fis
Qui
João
6,0
7,0
6,0
Brenda
8,0
4,0
7,0
MATRIZES
Definição:
Uma matriz é uma tabela de números reais
dispostos segundo linhas horizontais e colunas
verticais.
6 7 6

A  
8 4 7
MATRIZES
Tipo ou Ordem de uma matriz:
As matrizes são classificadas de acordo com o
seu número de linhas e de colunas. Assim, a
matriz representada abaixo é denominada
matriz do tipo, ou ordem, 3 x 4 (Le-se: três por
quatro), pois possuem três linhas e quatro
colunas.
MATRIZES
Representação genérica de uma matriz:
Em geral, representamos uma matriz por uma
letra maiúscula (A, B, C, D,...), indicando a sua
ordem no lado inferior direito da letra.
mxn
MATRIZES
Representação genérica de uma matriz:
Para indicar uma matriz qualquer, de modo
genérico, usamos a seguinte notação:
Onde i representa a linha, e j a coluna em que
se encontra o elemento; o m a quantidade de
linha e n a quantidade de coluna.
S
u a ç
e s
Exemplos
a) Dado a matriz, determine a sua ordem e
a localização (linha e a coluna) que cada
elemento pertence.
Ordem da Matriz: A3x3
a11= 3
a12 =5
a13 =0
a21= -2
a22 = 4
a23 = 1
a31= -1
a32 = 2
a33 = 6
S
u a ç e s
Exemplos
b) Calcule os elementos da matriz
em que bij = 2i + j
Como a matriz B é da ordem 3x2, conclui-se
que ela possui 3 linhas e 2 colunas.
b11

B  b21
b31
b12 

b22 
b32 
Calculando os valores numéricos.
Bij = 2i +j
b11 →b11 = 2*1 +1 = 3
b12 →b12 = 2*1 +2 = 4
b21 →b21 = 2*2 +1 = 5
b31 →b31 = 2*3 +1 = 7
b22 →b22 = 2*2 +2 = 6
b32 →b32 = 2*3 +2 = 8
S
u a ç
e s
Exemplos
b) Calcule os elementos da matriz
em que bij = 2i + j
Como a matriz B é da ordem 3x2, conclui-se
que ela possui 3 linhas e 2 colunas.
b11

B  b21
b31
b12 
3 4



b22   B  5 6
7 8 
b32 
S
u a ç
e s
Exemplos
c) Calcule os elementos da matriz [Cij]2x3
em que cij = 2i + 3j
Como a matriz C é da ordem 2x3, conclui-se que
ela possui 2 linhas e 3 colunas.
 c11 c12 c13 
C

c21 c22 c23 
Calculando os valores numéricos dos elementos.
Cij = 2i +3j
c11 →c11 = 2*1 +3*1 = 5
c12 →c12 = 2*1 +3*2 = 8
c13 →c13 = 2*1 +3*3 = 11
c22 →c22 = 2*2 +3*2 = 10
c21 →c21 = 2*2 +3*1 = 7
c23 →c23 = 2*3 +3*3 = 15
S
u a ç
e s
Exemplos
c) Calcule os elementos da matriz [Cij]2x3
em que cij = 2i + 3j
Como a matriz C é da ordem 2x3, conclui-se que
ela possui 2 linhas e 3 colunas.
 c11 c12 c13 
5 8 11
C
C  


c
c
c
 21 22 23 
7 10 15
S
u a ç
e s
Exemplos
d) Calcule a matriz D dada por D=[dij]3x3
em que dij= 2*i² - 3*j
MATRIZES
Classificação das matrizes: Quanto a FORMA
Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações:
a) Retangular
Se o número de linhas é diferente do número
de colunas.
1
0

 2
0
2
3
2
4
5
4
2
5
4

1
0  35
MATRIZES
Classificação das matrizes: Quanto a FORMA
Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações:
b) Quadrada
Se o número de linhas é igual do número de
colunas.
1
0


1
5
1
3
2
3

7
 33
MATRIZES
Classificação das matrizes: Quanto a FORMA
Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações:
c) Linha
Se o número de linhas é igual a um .
5
1 2 13
MATRIZES
Classificação das matrizes: Quanto a FORMA
Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações:
d) Coluna
Se o número de colunas é igual a um .
 1
0 
 
131
MATRIZES
Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS
Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações:
a) Nula
se todos os seus elementos são nulos
0 0 0
W 

0 0 0
MATRIZES
Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS
Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações:
b) Triangular Superior
Uma matriz quadrada em que os elementos
abaixo da diagonal principal são nulos.
1
0

0

0
1
0
0
0
2
3
2
0
7
0
6

5
MATRIZES
Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS
Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações:
c) Triangular Inferior
Uma matriz quadrada em que os elementos
acima da diagonal principal são nulos.
1
5

0

3
0
2
2
0
0
0
2
1
0
0
0

5
MATRIZES
Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS
Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações:
d) Diagonal
Uma matriz quadrada em que os elementos
não principais são nulos. 1 0 0 0
0 0 0 0 


0 0 2 0 


0 0 0 5 
MATRIZES
Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS
Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações:
e) Escalar
Uma matriz diagonal em que os elementos
principais são iguais.
2 0 0 0 
0 2 0 0 


0 0 2 0 


0 0 0 2 
MATRIZES
IGUALDADE ENTRE MATRIZES
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo,
dizemos que A = B se somente se os seus
elementos são respectivamente iguais.
Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo
mx n, temos:
A = B <=> aij=bij
S
u a ç
e s
Exemplos: Igualdade entre matrizes
S
u a ç
e s
Exemplos: Igualdade entre matrizes
Dada as matrizes K e L, determine a, b, c, d
para que as matrizes sejam iguais
 2a b  c
K 

b  c 2d 
6 5
L

1 8
MATRIZES
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES: ADIÇÃO
Somamos os elementos correspondentes das
matrizes, por isso, é necessário que as
matrizes sejam da mesma ordem
A = B <=> aiJ=bij
S
u a ç
e s
Exemplos: Adição entre matrizes
S
u a ç
e s
Exemplos: Adição entre matrizes
Seja a matriz dada por A=[aij]3x3 em que
aij= 2*i² + 3*j e a matriz B =[bij]3x3 em que
bij= i - 3*j , determine A + B.
MATRIZES
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES: SUBTRAÇÃO
Para subtrair os elementos correspondentes
das matrizes, é necessário que as matrizes
sejam da mesma ordem
A = B <=> aiJ=bij
S
u a ç
e s
Exemplos: Adição entre matrizes
Seja a matriz dada por A=[aij]3x3 em que
aij= 2*i² + 3*j e a matriz B =[bij]3x3 em que
bij= i - 3*j , determine A - B.
MATRIZES
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES:
MUTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL
Sendo k pertencente aos Reais e A uma matriz
de ordem m x n, a matriz K * A é obtida
multiplicando-se todos os elementos de A por
K.
MATRIZES
OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES:
MUTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES
(Material para próxima aula)