NOÇÕES DE PROBABILIDADE
1. Espaço Amostral e Evento
Espaço Amostral (E) é o conjunto de todos os resultados
possíveis de um dado experimento.
Exemplo: No lançamento de um dado, o espaço amostral é:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento (A) é qualquer subconjunto de um espaço amostral.
Exemplo: No lançamento de um dado, o conjunto
A = {1, 3, 5}
(ocorrência de um número ímpar) é um evento.
2. Definição
Probabilidade é o quociente entre o número de elementos do evento desejado
[n(A)] e o número de elementos do espaço amostral [n(E)], desde que as
amostras desse espaço amostral possam ocorrer de maneira eqüiprováveis
(mesmas chances de ocorrer).
n( A)
P ( A) 
n( E )
n(A) é o número de elementos n(E) é o número de elementos
do evento desejado
do espaço amostral
0  P( A)  1
Exercício 1:
( ACAFE ) Num sorteio com número de 1 a 25, a
probabilidade de ser sorteado um número múltiplo
de 3 é:
a) 0,24
b) 0,40
c) 0,32
d) 0,25
e) 0,80
ESPAÇO AMOSTRAL
E = {1, 2, 3, 4, ….., 23, 24, 25}
n(E) = 25
EVENTO DESEJADO
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}
n(A) = 8
P ( A) 
n( A) = 8 = 0,32
n( E )
25
Exercício 2:
Joga-se um dado “honesto” de seis faces e lê-se o número da face
voltada para cima. Calcular a probabilidade de se obter:
a) o número 4
b) um número ímpar
c) um número maior que 2
d) um número menor que 7
e) um número maior que 6
a) EVENTO DESEJADO
A = {4 }
P ( A) 
n( A)
n( E )
1
P(A) =
= 0,16667..
6
ESPAÇO AMOSTRAL
E = {1, 2, 3, 4, 5,6}
n(A) = 1
b) EVENTO DESEJADO
A = {1, 3, 5}
n(E) = 6
P ( A) 
n( A)
n( E )
P(A) =
3
6
= 0,5..
n(A) = 3
c) EVENTO DESEJADO
n(A) = 4
A = {3, 4, 5, 6 }
P ( A) 
a) o número 4
b) um número ímpar
c) um número maior que 2
d) um número menor que 7
e) um número maior que 6
ESPAÇO AMOSTRAL
E = {1, 2, 3, 4, 5,6}
n(E) = 6
n( A)
n( E )
4
P(A) =
6
= 0,6666….
d) EVENTO DESEJADO
n(A) = 6
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n( A)
n( E )
6
P(A) =
6
P ( A) 
= 1
EVENTO CERTO
e) EVENTO DESEJADO
A={}
P ( A) 
n(A) = 0
n( A)
n( E )
P(A) =
0
6
= 0
EVENTO
Impossível
Exercício 3:
( METODISTA ) Em um único sorteio envolvendo os números naturais de 1 a 200,
a probabilidade de neste sorteio sair um número que seja múltiplo de sete é:
a) 14% b) 15%
c) 18%
d) 19%
e) 20%
ESPAÇO AMOSTRAL
E = {1, 2, 3, 4, ….., 198, 199, 200}
n(E) = 200
EVENTO DESEJADO
A = {7, 14, 21,……………………196 }
n(A) = ?
an = a1 + (n – 1).r
P ( A) 
n( A)
n( E )
P(A) = 28 = 0,14
200
P.A.
x 100
196 = 7 + (n – 1).7
196 = 7 + 7n – 7
28 = n
n(A) = 28
14%
Exercício 4:
( ACAFE ) Uma urna contém 6 bolas brancas e 24 pretas.A probabilidade
de sortearmos uma bola branca é de:
a) 40%
b) 25%
c) 80%
ESPAÇO AMOSTRAL
E = {B, B, B, B, B, B, P, P, P……..,P}
n(E) = 30
EVENTO DESEJADO
A = {B, B, B, B, B, B }
d) 75%
P ( A) 
e) 20%
n( A)
n( E )
P(A) = 6
30
= 0,2
n(A) = 6
x 100
20%
Exercício 5:
A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única
bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é:
a) 40%
b) 25%
c) 80%
d) 33%
e) 20%
ESPAÇO AMOSTRAL
E = {B, B, B, B, V, V, V, A, A, A, A, A}
n(E) = 12
EVENTO DESEJADO
A = {B, B, B, B }
P ( A) 
n( A)
n( E )
P(A) = 4
12
= 0,333…
n(E) = 4
x 100
33%
Exercício 6:
Joga-se dois dados. Qual a probabilidade de obtermos, nas faces
voltadas para cima, a soma 7.:
ESPAÇO AMOSTRAL
E = {(1,1), (1,2), (1, 3)….(3, 5), (3,6)
(4, 1),…….(6,2), ….(6,6)}
n(E) = 36
EVENTO DESEJADO
A = {(1,6),(2, 5),(3, 4),(4, 3),(5, 2)(6, 1)}
P ( A) 
n( A)
n( E )
P(A) = 6
36
= 0,16…
n(A) = 6
x 100
16%
Exercício 7:
Uma cidade tem 50000 habitantes possui 3 jornais, A, B e C. Sabe-se que:
15 000 lêem o jornal A;
10000 lêem o jornal B;
8000 lêem o jornal C;
50 000
6000 lêem os jornais A e B
JORNAL A
4000 lêem os jornais A e C
JORNAL B
3000 lêem os jornais B e C
1000 lêem os três jornais.
6000
2000
5000
1000
Uma pessoa é selecionada ao acaso.
Qual a probabilidade de que:
3000
2000
a) ela leia pelo menos um jornal
b) leia só um jornal
29000
a)
21
= 0,42
50
b) 10 = 0,20
50
2000
JORNAL C
Exercício 8:
Considerando-se um octógono regular. Tomando-se ao acaso uma das
diagonais do polígono, a probabilidade de que ela passe pelo centro é:
d = n(n – 3)
2
d = 8(8 – 3)
2
Se n (número de lados) é par
então:
n
2
diagonais passam
pelo centro do polígono
d = 20
n(E) = 20
P ( A) 
P(A)=
n(A) = 4
n( A)
n( E )
4
20
Logo no octógono regular 4
diagonais passam pelo centro.
= 20%
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
Observe que se A∩B= Ø (ou seja, a interseção entre os
conjuntos A e B é o conjunto vazio), então :
p(A U B) = p(A) + p(B).
Exemplo : No lançamento de um dado , qual é a probabilidade
de que o número obtido na face superior seja múltiplo de 3 ou
de 4 ?
Sejam os eventos :
A : ocorre múltiplo de 3 ⇒ A = { 3,4}
B : ocorre múltiplo de 4 ⇒ B = {4}
Queremos avaliar p(AUB)
Como A ∩ B = Ø , p(A U B ) = p(A) + p(B) = 2/6 + 1/6 = 1/2 = 0,50 = 50%
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência
de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo
evento B.
Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que
a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número
de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo
número de elementos de B.
A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é
denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) –
probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o
nome de probabilidade condicional.
Fórmula da probabilidade condicional
Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.
Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência
simultânea dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B.
Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da
ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os
eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:
p(A ∩B) = p(A) . p(B)
Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência
simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das
probabilidades dos eventos considerados.
Exemplo :
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas
brancas. Calcule as probabilidades de:
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada,
sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
Solução:
p(V ∩ B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas
na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V ∩ B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola
retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.
Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam
independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser
calculada como:
P(V ∩ B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 =
20,41%
Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e
(b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos
transmitir.
Fim .
Boa prova para todos !!