Probabilidade
Aula 03
Prof. Christopher Freire Souza
Centro de Tecnologia
Universidade Federal de Alagoas
www.ctec.ufal.br/professor/cfs
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Probabilidade Christopher Freire Souza
Objetivo
• Promover o entendimento de valores de
probabilidade e desenvolver habilidades para
determinar probabilidades
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Probabilidade Christopher Freire Souza
Conteúdo
•
•
•
•
•
Fundamentos
Contagem
Regra da adição
Regra da multiplicação
Probabilidade através de simulações
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Para que?
• Processos determinísticos
▫ Satisfeitas algumas
condições, comportamento
conhecido
▫ Ex: Ao colocar água pura para
esquentar, qual a chance dela
entrar em ebulição a 100oC?
• Processos estocásticos
▫ Comportamento aleatório
▫ Ex: Ao puxar uma peça de
dominó, qual a chance de ser:




A bomba de sena?
Uma bomba?
Não-bomba?
Bomba de sena, caso se
queira adivinhar a bomba
que seu parceiro comentou
ter puxado.
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Probabilidade
• Técnica matemática aplicada
para medir a chance de
ocorrência de um evento
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Conteúdo
• Breve revisão de Análise
Combinatória
• Espaço Amostral
• Evento
• Probabilidade de um evento
(uma bomba)
• Probabilidade para
experimentos nãoeqüiprováveis
• Probabilidade do evento
complementar (não-bomba)
• Probabilidade de ocorrência de
dois eventos simultâneos
(bomba de sena)
• Probabilidade de ocorrência de
um evento dado que outro já
ocorreu (bomba de sena
dentre bombas)
• Probabilidade de coincidências
• Probabilidade para eventos
correlacionados
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Análise combinatória
•
•
•
•
Contagem
Princípio multiplicativo
Fatorial
Arranjo simples
• Permutação simples
• Permutação com repetição
• Combinação simples
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Contagem
• Problema: Eric, Elane e Alison
disputam uma eleição para
representante discente.
Quantos resultados diferentes
pode ter esta eleição?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Er, A, El
Er, El, A
A, Er, El
A, El, Er
El, A, Er
El, Er, A
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Princípio multiplicativo
(Contagem sem descrição)
• Problema: Eu tenho duas
calças e quatro camisas e não
sabia o que vestir para vir dar
esta aula. De quantas formas
eu poderia me vestir,
considerando que eu não me
importo se a calça e a blusa
combinam?
• Uma forma de resolver é
multiplicar a quantidade de
opções de calça pela de blusa.
• Assim temos: 2x4=8
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Fatorial
• É comum, nos problemas de
contagem, calcular o produto
cujos fatores são números
naturais consecutivos de n a 1.
• n!=n.(n-1).(n-2) .... .3.2.1,
sendo n natural e maior que 1.
• Observe que:
• n!=n.(n-1)!
• Assim, 0!=1
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Arranjo simples
(Contagem de formas de agrupar elementos sem
repetição de elementos)
• Quantos conjuntos de três
letras (r =3) podem ser criados
com as 26 letras do alfabeto
(n=26)?
26 25 24
A n,r = 26.25.24 = 15600
• A ordem dos elementos
importa
Permutação
simples
• Problema: No passatempo
Sudoku, uma única linha
de uma matriz 3 x 3 não
foi preenchida. Sabe-se
que restam apenas os
números 3, 5 e 9 como
opções. Não havendo uma
dica de que número
poderia estar em cada
“casa”, de quantas formas
pode ser preenchida a
linha?
Pn=A n,n
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1 4 7
6 2 8
?
1
4
7
6
2
8
?
?
?
?
?
3
3
3
5
5
9
5
9
9
P = 3.2.1 = 6
3
2
1
3
5
9
5
3
9
9
5
3
3
9
5
5
9
3
9
3
5
Opções
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Permutação com repetição
• Anagrama extraído do Código
da Vinci:
• Problema: Quantos anagramas
tem a palavra FERVOROSO?
▫ “O, Draconian devil! Oh,
lame saint”
• Decifrado para:
▫ “Leonardo da Vinci – The
Mona Lisa”
A9,3 A6, 2
9 8 7 6 5
9!

 P4 

 4  3  2 1 
3! 2!
3!
2!
3!2!
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Combinação simples
• Qual o número de maneiras
nas quais cinco cartas podem
ser selecionadas de uma
baralho?
3
4
5
6
7
52 51 50 49 48
C. r! = A
• A ordem dos elementos não
importa
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Espaço amostral
• Conjunto de todos os
resultados possíveis de um
experimento aleatório
(processo estocástico).
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Evento
• Qualquer subconjunto do
espaço amostral.
• Impossível: Peça com 13
pontos
• Simples: Peça com zero
pontos
• Certo: Peça com menos que
13 pontos
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Evento
• Complementar: Mais que zero
pontos, é o evento
complementar do evento zero
pontos.
• Intersecção e união, como na
teoria de conjuntos
• Disjunto (mutuamente
excludente): intersecção é
nula.
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Probabilidade de um evento
• Problemas:
▫ Qual a probabilidade de puxar uma bomba?
▫ Qual a probabilidade de puxar uma sena?
▫ A probabilidade de puxar uma bomba com menos que 3 pontos, é
maior que a probabilidade de puxar uma bomba?
• Conceito:
▫ Razão do número de valores que caracterizam o evento pelo
número de valores possíveis, considerando-se:
 igualdade de chances de ocorrência de valores possíveis
 excludência mútua entre valores.
onde A representa um evento qualquer; P(A), a sua probabilidade de
ocorrência; nS, os possíveis resultados de um experimento e; nA, aqueles que
denotam o evento.
Axiomas fundamentais:
0≤P(A) ≤ 1
P(S)=1
p/ A C B, P(A) ≤ P(B)
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.
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Probabilidade em experimentos nãoeqüiprováveis
• Problema: Como estimar a probabilidade de obter cara
numa moeda viciada?
• Nos casos em que não se conhece o conjunto de valores
da população ou as chances de sair cada resultado são
diferentes, aproxima-se o valor da probabilidade pela
freqüência.
• Supondo que ao lançar uma moeda viciada 10000 vezes,
obtém-se 7310 caras. Assim, a probabilidade de que saia
cara ao lançar a mesma moeda é de 73,1%.
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Probabilidade do evento união
• Problema: Qual a
probabilidade de puxar
uma sena ou uma quina?
• n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AB)
• P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
• Se eventos forem
mutuamente excludentes,
P(AUB)=P(A)+P(B)
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Probabilidade do evento diferença
• Problema: Qual a
probabilidade de puxar
uma sena sem ser uma
bomba?
• n(A-B)=n(A)-n(A&B)
• P(A-B)=P(A)-P(A&B)
• Se eventos forem
mutuamente excludentes,
P(A-B)=P(A)
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Probabilidade de um evento
complementar (P(Ac))
• Problema: Qual a probabilidade de, ao puxar
uma peça, não ser bomba?
• P(A)+ P(Ac)=P(S)
• P(A)+P(Ac)=1
• P(Ac)=1-P(A)
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Probabilidade do tipo “um ou mais” ou
“pelo menos um”
• Qual a probabilidade de ao puxar uma peça ter
pelo menos um ponto?
• A probabilidade do evento união de todos os
resultados que atendem o critério de “pelo
menos um” equivale à probabilidade do
complementar da intersecção do evento
nenhum.
 P(pelo menos um) = 1 – P (nenhum)
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Probabilidade condicional
 Problema: Num jogo de 6
peças, seu parceiro
acusou ter puxado apenas
uma bomba. Qual a
probabilidade de ter sido
a bomba de sena?
• PA(B)=P(A&B)/P(A)
• PA(B) = dado que ocorreu A,
ocorrer B
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Probabilidade de eventos simultâneos
• Problema: Qual a probabilidade de você puxar
uma bomba e ela ser de sena?
• P(AB)=PA(B).P(A)
• PA(B)=P(AB)/P(A)
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Probabilidade de eventos
independentes (coincidência)
• Qual a probabilidade de puxar
uma sena e faltar água?
• Dado que: P(AB)=PA(B).P(A)
• Se PA(B)=P(B),
P(AB)=P(B).P(A)
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Probabilidade indireta de eventos
(Teorema da probabilidade total)
• Problema: Qual a probabilidade de nãoatendimento de demanda por água de uma cidade
(P(A)), se sabe-se que:
▫ Existem dois reservatórios (R1=150m3 e R2=187,5 m3 )
que funcionam de forma complementar (B:R1 ativo,
Bc:R2 ativo) e isolada (quando um é ativado o outro é
desativado)
▫ Probabilidades de ativar: P(B)=0,7; P(Bc)=0,3.
▫ Probabilidade de superar capacidade: PA(B)=0,3;
PA(Bc)=0,1
• Dado que:
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Probabilidade de eventos
correlacionados (Teorema de Bayes)
• Problema: Supondo que, para o caso do
problema anterior, a demanda não tenha sido
atendida, como estimar a probabilidade de o
reservatório 1 ter sido ativado.
• Ganho de acurácia na estimativa de
probabilidade, onde de forma subjetiva se
descreve relação entre eventos
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Probabilidade através de simulações
• Conhecendo-se o processo (formulação conceitual)
que descreve um fenômeno (e.g. a relação entre
precipitação e vazão), como obter a probabilidade de
ocorrência de um valor de vazão?
• Inserir repetidas vezes, dado de precipitação
aleatoriamente definido dentro de uma faixa de
valores possíveis, de maneira a obter um histograma
• Aplicações:
▫ Análise de sensibilidade de modelos
▫ Análise de incerteza de estatísticas