ENERGIA
 Energia
 Trabalho de uma força constante
 Energia cinética
 Trabalho e energia cinética
 Trabalho de uma força constante (graficamente)
 Trabalho de uma força variável
 Teorema do trabalho e da energia cinética
 Energia potencial
 Conservação da energia mecânica
 Energia potencial elástica
 Forças conservativas e forças não- conservativas
 Potência
1
ENERGIA
As leis de Newton permitem analisar vários tipos de movimentos.
Esta análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes
do movimento que são inacessíveis.
Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de
montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando
as leis de Newton.
vi  0
vf ?
2
ENERGIA
Até agora abordamos o movimento dum corpo utilizando grandezas
como posição, velocidade, aceleração e força
Resolvemos anteriormente vários problemas de mecânica utilizando
esses conceitos
Investigaremos agora uma nova técnica para a análise dos
problemas
 inclui definições de algumas grandezas conhecidas mas que
na física essas grandezas tem significados mais específicos do
que na vida diária
Energia é um conceito que ultrapassa a mecânica de Newton  é
relevante também na mecânica quântica, relatividade ,
eletromagnetismo, etc.
3
ENERGIA
Importância do conceito de energia
•
•
•
•
Processos geológicos
Balanço energético no planeta Terra
Reações químicas
Funções biológicas (máquinas nanoscópicas) 
energia armazenada e energia libertada
• Balanço energético no corpo humano
Um conceito importante no estudo de energia é o conceito de sistema
 é um modelo de simplificação, em que focalizamos a nossa atenção
numa pequena região do Universo e desprezamos os detalhes sobre o
restante do universo fora do sistema
4
TRABALHO
Quando empurramos uma caixa ela se desloca  nós realizamos um trabalho sobre a
caixa  a força que exercemos sobre a caixa fez com que ela se movesse

F
W  Fd
d
Trabalho realizado por uma força constante

F
m


d

W  ( F cos )d
O TRABALHO realizado por um agente ao exercer
uma força constante sobre um sistema é
x
 
W  F  d  Fd cos
O trabalho é uma grandeza escalar
A unidade de trabalho no SI é o joule (J)
5
Exemplo 1: Calcular o trabalho de uma força constante de 12 N, cujo ponto de aplicação
se translada 7 m, se o ângulo entre as direções da força e do deslocamento forem 0º,
60º, 90º, 135º, 180º.
 
W  F  d  Fd cos
W  12 N  7 m cos0o  84 J
W  12 N  7 m cos60o  42 J
W  12 N  7 m cos90o  0 J
W  12 N  7 m cos135o  42 2 J
W  12 N  7 m cos180o  84 J
6
ENERGIA CINÉTICA
A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um
corpo
A energia cinética de uma partícula de massa m em movimento com uma
velocidade escalar v é
1
K  m v2
2

v
A energia cinética é uma grandeza escalar
A unidade da energia cinética no SI é o joule (J)
7
TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA

v0

F
m


d
Da segunda lei de Newton

v

x
v  v  2a x d 
2
2
0
1
m (v 2  v02 )  Fx d 
2
Fx  max 
ax 
Fx
m
Fx
v v  2
d 
m
2
2
0
1
1
m v 2  mv02  Fx d
2
2
O lado esquerdo da expressão representa a variação da energia cinética do corpo e o
lado direito é o trabalho realizado pela força sobre o corpo
“Realizar trabalho”, portanto, é transferir energia
8
Exemplo 2: Trabalho de uma força constante: a força gravitacional na
superfície da Terra

v  
d

Fg

v0 

Fg
Se o corpo se eleva duma altura d :
 
W  Fg  d  Fg d cos
W  mgd cos   mgd cos 180   mgd
0
o sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia
mgd da energia cinética do objeto durante a subida.
9
Exemplo 3: Agora vamos deteminar qual é o trabalho realizado pela força
peso sobre um corpo de 10.2 kg que de cai 1.0 m de altura?
W  (10.2 kg) ( 9.8 m/s 2 ) (1.0 m )  100 J
Qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso?
(vi  0)
1
1
1
1
2
2
2
K  m v f  mvi  m v f  0   m v 2f  W
2
2
2
2

2W
vf 

m
2  100 J
 4.4 m/s
10.2 kg
10
Exemplo 4: Trabalho de forças constantes considerando o atrito
Modelo para resolver o problema:

N

F1

fa

mg
Trabalho realizado pelos carregadores:
d
Wc  Fd
Trabalho realizado pela força de atrito: Wa   f a d   c mgd
Se o carrinho se desloca com velocidade constante: K 0
e força resultante é nula, pois não há aceleração:
F  F  f
1
a
0
( isto é consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo: Wc Wa 0 ) 11
TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE
W  Fx
onde
F x 
F
x  x  x0
W
x0
x
O trabalho é a área sob a curva da força F
12
TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL (1-D)
Considere F  F (x)
 a força resultante que atua sobre uma
partícula de massa m.
Dividimos o intervalo (x2-x1) em um
número muito grande de pequenos
intervalos xi . Então:
W   F ( xi )xi
i
No limite de N  e x  0 :
 F x x
i
i
i
x2
  F ( x)dx
x1
x2
e
W   F ( x)dx
x1
O trabalho é a área sob a curva da
força F(x)
13
TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA
A definição mais geral de trabalho corresponde ao trabalho realizado por uma força
variável
Seja F  F (x) a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m
x2
W   F ( x)dx
x1
Integrando entre o estado inicial e o estado final
xf
xf
xf
xf
xf
2 vf
dv
v
W   F ( x)dx   madx  m  adx  m  dx  m  vdv  m
dt
2
xi
xi
xi
xi
xi
1
 m(v 2f  vi2 )  W  K
2
esse resultado é conhecido como teorema do trabalho e da energia cinética
Quando é feito um trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em
sua velocidade escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à variação da
energia cinética do sistema
14
vi
ENERGIA POTENCIAL
Muitas vezes o trabalho executado por uma
força aplicada a um corpo não leva a um
aumento da energia cinética do corpo
Porque existem outras forças que podem
executar um trabalho negativo de mesmo valor
15
Por exemplo  Supomos um corpo que é puxado lentamente para
cima, por uma força sobre um plano inclinado, com velocidade
constante. Não considere o atrito.

Fap
16
Forças que atuam sobre o bloco:

mg
O peso:

Fap

A normal: N

A força aplicada: Fap

mg

N 
v  constante

Análise das forças na direção do eixo x

Fap

v
m gsin 


F
x
0 
Fap  mg sin   0

Fap  mg sin 
17

Fap

v
m gsin 

Fap  mg sin 
O trabalho realizado pela força aplicada, quando
desloca o corpo ao longo da distância s é:
 
W  Fap  s  Fap s cos  Fap s cos0
W  Fap s
W  (mg sin  ) s
h
W  (mg )( s sin  )
s

W  mgh
Não há aumento de energia cinética porque a velocidade é constante e
Wpeso  mgh
Se soltarmos o bloco, transformamos o trabalho da força aplicada em energia cinética.
E nesse caso o trabalho do peso é positivo e igual a mgh
 Podemos utilizar a atração gravitacional da Terra sobre o bloco para armazenar o
trabalho realizado, que posteriormente pode ser utilizado para imprimir ao bloco
energia cinética
Dizemos então que o bloco que se encontra numa altura h tem um energia potencial
mgh em relação à posição inicial
18
Na verdade o conceito mais geral de energia potencial se aplica a um sistema de
partículas que interagem entre si:
Duas esferas exercem forças gravitacionais de atração entre si :
 
F F
Se aplicarmos uma força externa sobre cada uma delas tal que


Fap   F
 separamos as duas esferas com aceleração nula, e executamos um trabalho sobre
o sistema

Fap

F

F

Fap
Recuperamos esse trabalho se largarmos as duas esferas elas serão aceleradas uma
para a outra e as suas respetivas energias cinéticas aumentam

F

F
O trabalho executado aumenta a energia cinética e diminui a energia potencial.
19
Se uma das esferas for muito maior do que a outra, como é o caso da Terra e uma
laranja, por exemplo, desprezamos o movimento da Terra.
Podemos separar esse par de corpos levantando a laranja e libertamos o par deixando
cair a laranja
Superfície da Terra
Vemos que a descrição em que associamos a energia potencial a uma só partícula é
uma simplificação
A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser associada com a
configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns


sobre os outros
F2 F2

F1

F1

F3

F3
Se a configuração mudar, a energia potencial também pode mudar
20
FUNÇÃO ENERGIA POTENCIAL, U (DEFINIÇÃO PARA1D)
VARIAÇÃO DE ENERGIA POTENCIAL:
x
U  x0  x   U  x   U  x0   W    F ( x)dx
x0
Normalmente consideramos x0 como uma configuração de referência fixa
x
U ( x )  U ( x0 )   F ( x )dx
x0
dU
F 
dx
É importante observar que é preciso que a força seja uma função apenas da posição
(configuração).
Não se pode definir U(x) em outros casos  por exemplo a força de atrito de um corpo
e um fluido (que depende da velocidade  como veremos em fluidos)
Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são relevantes.
Então, pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de referência:
U  x0   0
21
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Nas proximidades da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por


Fg  mg
Supomos que m é a massa de um livro
Tomando como referência para U,
o ponto y0  0
 U(0)=0
Calculamos
y

Fg
U  y   mgy
U ( y) :
y
U ( y )  U ( y0 )   F ( y )dy
y0
y
U ( y )  0   (mg )dy  mgy
0
 U ( y )  mgy

que é a energia
gravitacional do livro em y
potencial
O trabalho da força da gravidade será
 
 
W  Fg  d  mg ey  yey  mgy

ey
y0  0
solo
O
trabalho
apresenta
uma
transferência de energia para o
sistema e que agora aparece na forma
de energia potencial gravitacional
A unidade da energia potencial
gravitacional no SI é o joule (J)
22
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
Do teorema do trabalho e da energia cinética para uma força que só depende da
posição:
W  K
Como
e
U ( x f )  U xi   W 
1
1
2
m v f  mv i2  W
2
2
1 2 1 2
U  xi   U  x f   mv f  mvi
2
2
Emecânica 
1
m v 2  U (x)  constante
2
U ( xi )  U x f   W
 podemos igualar as duas expressões 

1 2
1
mvi  U  xi   mv 2f  U  x f
2
2
 
 a energia mecânica total não varia !
Emecânica  K  U g
 essa equação é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
Emecânica  K  U g
24
Exemplo 6 : Conservação da energia mecânica
Emec  K  U g
25
Exemplo 7 : Conservação da energia mecânica para um carro que desce um
plano inclinado
26
Exemplo 8 : Um carrinho está em movimento sobre uma montanha russa, como indica
a figura abaixo. Qual a velocidade do carrinho no ponto C? Não há atrito.
Emecânica  K  U g
10 m/s
A
C
Emecânica
 Emecânica
1
1
2
2
m
v

mgh

mv
A
K U  K U
A
C  mgh C
2
2
2 1

2
2
2
vC2   m v A m ghA  m ghC 

v

v
2ghA  2ghC
A
C
m2

A
A
g
B
C
g

 vC  v A 2 g (hA  hC )
2
 vC  10 2  2  9.8(5  8) 
 vC  100 58.8)  6.4 m/s
27
Exemplo 9: Conservação da energia mecânica para um pêndulo simples.
28
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
x
U  x0  x   U  x   U  x0   W    F ( x)dx
x0
U (0)  0
A configuração de referência é x0= 0 e
Substituindo a força elástica
F ( x)  kx
x
U ( x)  0   (kx)dx
0
1 2
U ( x)  kx
2
na integral
x

1 2
U ( x)  k  xdx  kx
2
0
é a energia potencial elástica
29
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
A energia mecânica para o sistema bloco-mola
Emec 
1
1
m v 2  k x 2  constante
2
2
v 0 e x  A E 
1 2
kA
2
v  vmax e x  0  E 
1 2
mvmax
2
1 2
kA
2
1 2
v  vmax e x  0  E  mvmax
2
1
v  0 e x  A  E  kA2
2
v  0 e x  A  E 
30
FORÇA CONSERVATIVA
Forças conservativas 
conservada
forças para as quais a energia mecânica é
O trabalho feito por uma força conservativa não depende da trajetória,
depende apenas das configurações inicial e final

uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que
descreve um percurso fechado é zero.
Exemplos de forças conservativas
• Força gravitacional
• Força elástica
• Força unidimensional que só dependa da posição: F(x)
31
Exemplo 10: Trabalho de forças conservativas.
L
B
d
A

C
Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito
fechado A  B  C indicado:
WA  WB  WC   mgd  mgL sin   0
  mgd  mgd  0
32
FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS
O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajetória
Exemplo de força não-conservativas: Força de atrito.
33
Exemplo 11. A Força de atrito é uma força não conservativa.


Watrito( A  B)   Fatrito  ds   Fatrito LAB 
C
Watr  A  B    f atr  ds   f atr LA B
C
reta
  c mgd

 c mg d / 2 semi-círculo
Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o
trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo
34
POTÊNCIA
Em aplicações práticas, principalmente na engenharia de máquinas, é mais importante
saber a rapidez com que um trabalho é feito do que a quantidade do trabalho realizado.
Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W
no intervalo de tempo t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é
definida como
W
P
t
A potência instantânea P num instante particular é o valor limite da potência média
quando t aproxima-se de zero:
W dW
P  lim

t 0
t
dt
Unidade de P no SI: J/s = watt (W)
A potência pode ser definida também como sendo a força multiplicada pela velocidade.

Sabendo que W  F  dr


dW
dr
P
F
dt
dt
 o segundo termo é a velocidade e

P F v
35
A unidade de potência cavalo-vapor (horsepower)
Unidade de potência HP criada por Watt
para fazer o marketing de sua máquina
numa sociedade fortemente dependente
do (e acostumada ao) trabalho realizado
por cavalos. 1a motivação: retirada da
água das minas de carvão.
A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor:
1 HP = 760 W
v = 1,0 m/s
m ~ 76 kg
Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade
de potência:
Um quilowatt-hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW:
1 kWh  (103 W)(3600s)  3.6 106 J
36
Exemplo 12:
100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA
Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 104 J
Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 106J
P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995)
Potência do corredor de 100 m rasos:
2,110 4 J
P100 
 2100 W
10s
Potência do corredor de maratona:
5,910 6 J
Pmar 
 816 W
26060 s
37