Aula Teórica 2
Difusividade e Fluxo Difusivo.
Pressão, força de pressão, energia de
pressão.
O que é a velocidade ?
• A velocidade num escoamento é o caudal
volúmico por unidade de área.
dQ
un 
dA
• Velocidade “zero” significa deslocamento
médio das moléculas nulo.
• Cada molécula (num gás) tem a sua
velocidade e cada grupo de moléculas (num
líquido) tem a sua velocidade e não são
nulos...
• O movimento não descrito pela velocidade é
contabilizado na difusividade.
Difusão
As figuras abaixo representam dois fluidos, um branco e um preto). A
figura superior representa as moléculas e a inferior a vista
macroscópica. Na situação a) existe um diafragma a separá-los.
Quando se retira o diafragma inicia-se a mistura b). Quando o
gradiente é nulo a probabilidade de uma molécula preta passar para
a esquerda é igual à de uma outra passar para a direita e o fluxo
resultante é nulo.
(a)
(a)
(b)
(b)
(c)
(c)
Difusividade
Quando retirarmos o diafragma as moléculas
passam de um lado para o outro. O saldo do
fluxo é o fluxo difusivo.
Cx
Cx+∆x
 d  cl  cl l ub
c
 d  l.ub
l
O fluxo de moléculas de um tipo para cada
um dos lados é proporcional à concentração
e à velocidade de cada molécula. O saldo é
dado por:
Mas,
c
cl  cl l   l
l
A difusividade é o produto do comprimento do
deslocamento pela diferença entre a velocidade de
uma porção de fluido e a usada na advecção.
Ver texto sobre propriedades dos fluidos e do campo de velocidades
Difusividade
• A difusividade é definida como:   l.ub
• Onde ub é a velocidade não resolvida na nossa
definição de velocidade (browniana no caso do
escoamento laminar e flutuação turbulenta no
caso do escoamento turbulento) e l é a
distância percorrida pela porção de fluido que se
desloca a essa velocidade, até adquirir uma nova
velocidade por ter chocado com outra porção de
fluido (no mínimo uma molécula).
2 1
L
• A difusividade tem sempre dimensões: T
Fluxo Difusivo
• É o fluxo produzido pela difusividade:
 Dif 
 



c
n j dA
 c .n dA     

x j 
A

A

• O fluxo difusivo através de uma superfície é no
sentido contrário da componente do gradiente
perpendicular a essa superfície.
• O fluxo difusivo é nulo quando o gradiente da
propriedade é nulo.
E no caso da quantidade de
movimento?
• Escoamento com gradiente
de velocidade.
• Se uma porção de fluido (e.g. molécula) desce da zona de maior
velocidade para a de menor, vai aumentar a velocidade nessa zona.
Nesse caso uma porção igual de fluido subirá e irá reduzir a
velocidade em cima.
• Na presença velocidade aleatória e de gradiente de velocidades, o
fluido mais rápido arrasta o mais lento. De acordo com a Lei de
Newton, a uma aceleração corresponde uma força, que neste caso
é uma força de atrito.
• À difusividade de quantidade de movimento chama-se viscosidade,
que pode também ser vista como a relação entre a tensão de corte
(atrito) e a taxa de deformação de um elemento de fluido
(gradiente de velocidade).
Fluxo difusivo de Quantidade de
Movimento e Tensão de Corte
τ(y+Δy)
τ(y)
• O movimento aleatório não representado pela velocidade
origina um fluxo de quantidade de movimento que é sentido
como uma força (força de corte). Esta força aumenta com o
gradiente de velocidade e depende da quantidade de massa
que é necessário acelerar e da taxa a que a massa se move.

u 
u
       
y 
y

Nesta equação as unidades da viscosidade
(dinâmica) são (força/área)/segundo = >N/m2/s,
Poiseuille no SI)
Viscosidade
A viscosidade cinemática tem dimensões m2/s.
A dinâmica tem dimensões mais complicadas
porque a difusão de quantidade de movimento
é a difusividade de velocidade, multiplicada pela
massa....



u
  
y
ΔuΔt

Taxa de deformação e gradiente de velocidades
Δy
ut

y
 u
d du



t y
dt dy
  tan  
Por isto se diz que a viscosidade é a relação entre a tensão e a taxa de deformação.
Viscosidade da água e do ar
 H 2O  106 m 2 s 1   H 2O  103 Poiseuille(kgm1 s 1 )
 Ar  105 m 2 s 1   Ar  1.2 *105 Poiseuille(kgm1 s 1 )
• A Água é cerca de 100 vezes mais viscosa do
que o Ar.
• Mas a Viscosidade cinemática do Ar é 10
vezes maior do que a da Água.
• Qual é que é mais fácil de parar?
E o que é a pressão?
• É uma medida da força que resulta dos
choques entre as moléculas de um fluido e as
moléculas vizinhas (moléculas do fluido ou
paredes do recipiente).
Quando o volume
ocupado por um gás
aumenta, a
probabilidade de
choque por unidade de
área baixa e a pressão
baixa.
Porque aumenta com a profundidade
de um fluido?
• Porque a força exercida por uma molécula é
resultado da sua quantidade de movimento,
mas também do seu peso. Quando desce
converte energia potencial em cinética e
quando sobre perde.
• A força exercida pela molécula de cima sobre
a de baixo é maior do que a exercida pela de
baixo sobre a de cima.
Porque baixa a
pressão quando
a velocidade do
fluido aumenta?
•
•
•
•
•
A força resultante do choque de duas moléculas depende das diferenças de
velocidades. Se a velocidade média for nula só depende da energia cinética
associada à temperatura.
Se tivermos escoamento a força resultante do choque é proporcional à quantidade
de movimento calculada a partir da velocidade browniana da molécula subtraída
da diferença de velocidades entre as moléculas.
As moléculas da linha da frente têm velocidade superior à das da linha de trás.
Como consequência a quantidade de movimento associada ao choque baixa e por
isso a pressão baixa.
Se considerarmos uma terceira linha de moléculas mais à frente, com maior
velocidade (gradiente de velocidade positivo) a pressão é ainda menor. Como
consequência as moléculas da linha do meio aumentam de velocidade.
Poderemos por isso dizer que é o gradiente de pressão que determina a
aceleração do fluido.
Aceleração e Gradiente de pressão
• Quando temos gradiente de pressão
produzimos aceleração. Se registarmos uma
aceleração então estamos perante um sistema
onde a resultante das forças é diferente de
zero.
• A Mecânica dos Fluidos baseia-se na Lei de
Newton que relaciona forças e acelerações e
na lei de conservação da massa.
Forças e acelerações
• Quando a aceleração é elevada, a força
também é!!!
• Porque voa um avião?
Patm
Patm
Porque é que a pressão só baixa se houver
escoamento? i.e. Não basta ter uma contracção
para produzir a diferença de pressão!
•
•
•
Se tivermos uma contracção sem escoamento a pressão é atmosférica em todos os
pontos.
Para criarmos um gradiente de pressão temos que criar uma onda de choques
entre moléculas e por isso temos que ter uma fase transiente.
Temos duas possibilidades:
– Removemos moléculas na saída baixando a pressão do lado de fora e fazendo com que os
choques das moléculas no interior sejam mais intensos do que os que gerados pelas
moléculas do lado de fora, resultando daqui um movimento a partir da saída e uma depressão
que se propaga para o interior ou,
– Aumentamos a pressão do dado de dentro (empurrando mais moléculas para dentro da
conduta) gerando uma onda exactamente no sentido contrário.
•
•
Este processo é descrito em termos macroscópicos pela lei de Newton, que
estabelece a relação entre força e aceleração. Se conhecermos a força poderemos
calcular a aceleração e vice-versa.
A Equação de transporte de quantidade de movimento não é mais do que a lei de
Newton aplicada a uma massa que tem a capacidade de fluir, gerando deformação
do fluido e por isso forças de corte.
Energia de Pressão
•
•
•
•
A Pressão é definida como “Força/Área”.
O Trabalho é a “Força*Deslocamento da força”
O Volume é “Área * Comprimento”
Se aplicarmos uma força sobre um fluido que se
desloca produzimos um trabalho que é a força vezes o
seu deslocamento (velocidade do fluido * tempo).
• Então:
– Energia=Força * (velocidade*tempo) = (Pressão* Área)*
(velocidade*tempo) =Pressão*Volume
– Então Pressão é Energia / Volume.
• A Pressão mede o trabalho necessário para colocar a
unidade de volume de fluido àquela pressão.
Sumário
• A difusividade é a consequência do conceito de meio
contínuo e de velocidade do fluido.
• Associado à difusividade está associado um fluxo difusivo
proporcional ao simétrico do gradiente.
• No caso da quantidade de movimento a difusividade é
designada por viscosidade e relaciona tensão (fluxo
difusivo) e taxa de deformação (gradiente de velocidades).
• A pressão resulta dos choques entre moléculas. A
aceleração resulta do gradiente de pressão.
• A pressão pode também ser vista como energia por
unidade de volume. Efectivamente é a energia necessária
para colocar a unidade de volume de fluido àquela pressão.