Sinais e Sistemas
1. Definição
2. Classificação de Sinais
3. Operações Básicas em Sinais
4. Sinais Elementares
5. Propriedades dos Sistemas
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1. Definição
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2. Classificação de Sinais
Sinais unidimensionais de valor único, ou seja
há apenas um único valor da função para um
único valor de tempo.
O valor poderá ser real ou complexo.
O tempo possui valor real.
Pode-se identificar cinco métodos de
classificação de sinais baseados em diferentes
recursos.
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2. Classificação de Sinais
a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto
a1 Sinal de Tempo Contínuo
É o sinal x(t) cujo a variável independente
(t) faz parte do conjunto R.
a2Sinal de Tempo Discreto
É o sinal x[n] cujo a variável independente
(n) faz parte do conjunto Z.
n= ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,....
t=nT portanto x[n]=x(nT )
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a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto
2. Classificação de Sinais
Contínuo
Discreto
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2. Classificação de Sinais
b) Sinais Pares e Impares
b1 Sinal Par
Sendo x(t) um sinal contínuo no tempo,
pode-se dizer que x(t) é par quando:
x(-t)=x(t)
Ou seja, quando x(t) é simétrico em
relação à ordenada (eixo vertical).
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2. Classificação de Sinais
b) Sinais Pares e Impares
b2 Sinal Impar
Sendo x(t) um sinal contínuo no tempo,
pode-se dizer que x(t) é impar quando:
x(-t)=-x(t)
Ou seja, quando x(t) é antissimétrico em
relação à ordenada (eixo vertical).
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2. Classificação de Sinais
b) Sinais Pares e Impares
Um sinal x(t) pode ser descrito pela soma de
duas componentes:
xp(t) – par e xi(t) impar
Lembrando: xp(-t)=xp(t) e xi(-t)=-xi(t)
Portanto:
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x(t)=xp(t)+xi(t)
x(-t)=xp(t)-xi(t)
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2. Classificação de Sinais
b) Sinais Pares e Impares
A partir das duas expressões pode-se definir os
sinais pares e impares com base em x(t) e x(-t).
Fazendo-se: x(t)+x(-t)
Obtém-se:
1
x p (t )   x(t )  x(t ) 
2
Fazendo-se: x(t)-x(-t)
Obtém-se:
1
xi (t )  x(t )  x(t ) 
2
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2. Classificação de Sinais
b) Sinais Pares e Impares
Exercício:
Considere xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x).
Monte as equações x(t) e x(-t) correspondente
às componentes par e impar do sinal e prove
que xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x) utilizando o
procedimento do parágrafo anterior.
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2. Classificação de Sinais
b) Sinais Pares e Impares
No caso em que x(t) seja complexo, ou seja:
Real
x(t)=a(t)+jb(t) Imaginário
j  1
Se: x(-t)=x*(t) então x(t) é conjugado simétrico.
x*(t)=a(t)-jb(t)
Comparando-se, verifica- a(t) é par
se que x(t) é conjugado
b(t) é impar
simétrico se:
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2. Classificação de Sinais
c) Sinais Periódicos e não periódicos
São sinais que se repetem de tempos em
x(t)
tempos.
0
1
2
t
Período: duração de
um ciclo completo
O valor do sinal se repete para múltiplos de T0
x(t)=x(t+T) para todo t T
T=T0, 2T0, 3T0 .......
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2. Classificação de Sinais
c) Sinais Periódicos e não periódicos
O recíproco do período é a frequência que
corresponde à número de ciclos da onda em um
determinado ponto do espaço em um segundo:
1
f 
T
[f]=s-1=Hz
Há também a frequência angular:
2

T
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[]=rad/s
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2. Classificação de Sinais
c) Sinais Periódicos e não periódicos
Para o caso dos sinais discretos:
x[n]=x[n+N] para todos os números inteiros n
É inteiro positivo
2

N
[]=rad
N=25
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c) Sinais Periódicos e não periódicos
2. Classificação de Sinais
O sinal não periódico não se repete em períodos pré
determinados. (aperiódicos)
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2. Classificação de Sinais
c) Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios
Determinísticos: Podem ser modelados como função
do tempo completamente especificados.
Aleatórios: Há incerteza da ocorrência real.
Exemplo: Ruído, Eletroencefalograma, etc.
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2. Classificação de Sinais
c) Sinais de Energia e Sinais de Potência
São sinais relacionados à sistemas elétricos.
Considerando-se a corrente e a tensão em um resistor
R.
Tensão v(t)
Corrente i(t)
A potência pode ser definida como:
v 2 (t )
P(t ) 
R
P(t )  Ri (t )
2
A potência é proporcional à amplitude elevada ao
quadrado.
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2. Classificação de Sinais
c) Sinais de Energia e Sinais de Potência
Considerando: R= 1 ohm
x(t) pode expressar v(t) ou i(t)
 P(t )  x (t )
2
A energia total, no tempo contínuo é definida como:
E  lim
T 
T /2

T / 2

2
x
 (t )dt 
A Potência média:
T /2
E
1
2
P   lim
x
(t )dt

T T  T T / 2
2
x
 (t )dt
Para um sinal periódico:
T /2
1
2
P
x
(t )dt

T T / 2
A raiz quadrada da potência é o valor quadrático médio do sinal x(t)
(RMS – root-mean-square)
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2. Classificação de Sinais
c) Sinais de Energia e Sinais de Potência
Para sinais discretos:
x[n]
Energia: E  lim
T 
T /2

T / 2

2
x
 (t )dt 
1
Potência Média: P  lim
N  2 N
Potência Média do sinal
periódico x[n] com período N :
2
x
 (t )dt
N
2
x
 [n]
n N
1
P
N
N 1
2
x
 [ n]
n 0
Um sinal é chamado de sinal de energia:
Por outro lado, ele é chamado de sinal de potência:
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0E 
0P
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c) Sinais de Energia e Sinais de Potência
2. Classificação de Sinais
A classificação dos sinais de energia e potência são
mutuamente exclusivas;
• Um sinal de Energia tem potência média zero
• Sinais não periódicos
• Sinais determinísticos
• Um sinal de Potência tem energia infinita
• Sinais periódicos
• Sinais aleatórios
Exercícios
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3. Operações Básicas em Sinais
Constitui uma questão fundamental por se
tratar da manipulação do sinal pelo sistema.
Há duas classes de operações:
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• Operações
realizadas
dependente
na
variável
• Operações
realizadas
independente
na
variável
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3. Operações Básicas em Sinais
• Operações realizadas na variável dependente
a) Mudança de escala de amplitude:
x(t) – sinal de tempo contínuo
y(t) – mudança de amplitude
y(t) = C x(t)
y[n]=C y[n]
C é o fator de escala
Exemplo: Amplificador. Para sinal de corrente RLC.
y(t) é a tensão de saída.
x(t)
2
C=2
1
-1
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y(t)
1
t
-1
1
t
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3. Operações Básicas em Sinais
•Operações realizadas na variável dependente
b) Adição
x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo
y(t) = x1(t)+x2(t)
y[n]=x1[n]+x2[n]
Exemplo: Misturador de Audio: Música + Voz.
Exemplo:
x1(t)
x2(t)
1
1
-1
y(t)
2
t
-1
1 t
y(t) = x1(t)+x2(t)
-1
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1
t
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3. Operações Básicas em Sinais
•Operações realizadas na variável dependente
c) Multiplicação
x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo
y(t) = x1(t).x2(t)
y[n]=x1[n].x2[n]
Exemplo: Sinal de rádio AM
x1(t) sinal de corrente contínua (cc)
x2(t) sinal senoidal. Onda portadora
Exemplo:
x1(t)
x2(t)
1
1
-1
y(t)
t
-1
1 t
1
y(t) = x1(t).x2(t)
-1
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1
t
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•Operações realizadas na variável dependente
3. Operações Básicas em Sinais
d) Diferenciação
x(t) - sinal de tempo contínuo
d
y (t )  x(t )
dt
Exemplo: O indutor realiza diferenciação:
d
v (t )  L i (t )
dt
Indutor com v(t) nos seus terminais
induzindo corrente i(t)
e) integração
x(t) - sinal de tempo contínuo
t
y(t ) 
Exemplo: O capacitor realiza Integração:
t
1
v(t )   i( )d
C 
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 x( )d

Capacitor
com
corrente
i(t)
induzindo tensão v(t) em seus
terminais.
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3. Operações Básicas em Sinais
• Operações realizadas na variável independente
a) Mudança de escala de tempo
x(t) - sinal de tempo contínuo
y(t)=x(at)
Compressão
Caso discreto:
Y[n]=x[kn]
estenção
k>0 e só inteiro
Neste caso alguns valores do sinal de tempo são perdidos
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•Operações realizadas na variável independente
3. Operações Básicas em Sinais
b) Reflexão
x(t) - sinal de tempo contínuo
y(t)=x(-t)
Reflexão de x em relação ao eixo da amplitude
Para sinais pares obviamente não há mudanças
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3. Operações Básicas em Sinais
•Operações realizadas na variável independente
c) Deslocamento no tempo
x(t) - sinal de tempo contínuo
y(t)=x(t-t0)
x(t)
t0=1
1
-1
y(t)=x(t-1)
1
1
t
y(t)=x(t+1)
t0=-1
-1
1
1
2
t
-2
-1
t
Para o caso do sinal discreto:
Y[n]=x[n-m]
m é inteiro positivo ou negativo
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•Operações realizadas na variável independente
3. Operações Básicas em Sinais
Regra de precedência para deslocamento no tempo e
mudança de escala de tempo
y(t) – sinal de tempo contínuo derivado de outro
sinal de tempo contínuo x(t)
 y (0)  x(b)

y (t )  x(at  b)  b 
y   x(0)

 a
Obtenção de y(t) deve respeitar a ordem:
1. Deslocamento no tempo: t→t-b
2. Mudança da escala de tempo: t→at
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•Operações realizadas na variável independente
3. Operações Básicas em Sinais
1. Deslocamento no tempo: t→t-b
Sinal intermediário: v(t)=x(t-b)
2. Mudança da escala de tempo: t→at
Sinal de saída: y(t)=v(at)=x(at-b)
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•Operações realizadas na variável independente
3. Operações Básicas em Sinais
Exemplo: Considere o pulso retangular x(y) de
amplitude unitária e duração 2 unidades de tempo
descrito na figura abaixo. Encontre y(t)=(2t+3).
Ordem correta:
Ordem incorreta:
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