Disciplina: Sistemas de Controle 1 - ET76H
Prof. Dr. Ismael Chiamenti
2014/2
Aula 4
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Um sistema é classificado de linear quando atende as duas seguintes condições:
1) Superposição (a resposta a soma de entradas é igual a soma das respostas):
gr1 (t )  c1 (t )
gr2 (t )  c2 (t )
gr1 (t )  r2 (t )  c1 (t )  c2 (t )  gr1 (t ) gr2 (t )
2) Homogeneidade (multiplicação por escalar):
gr (t )  gr (t )  c(t )
Sistema linear atende as duas condições , logo:
gr1 (t )  r2 (t )  gr1 (t ) gr2 (t )  c1 (t )  c2 (t )
Exemplos de sistema linear (a) e não linear (b):
Linearização: processo de selecionar um ponto sobre a curva de resposta, em
uma região aproximadamente linear, e “mover” o sinal de entrada para que ele
varie em torno deste ponto. Ex. ponto de operação do amplificador op.
Procedimento de linearização de uma função f(x):
1) Considerar um ponto de operação xo, em torno do qual será realizada a
linearização;
2) Realizar a expansão de Taylor de f(x) em torno do ponto xo:
3) Para pequenas excursões de x em torno de xo, os termos de alta ordem da
série podem ser desprezados:
sendo m a inclinação da reta tangente ao ponto x = xo.
Exemplo) Linearizar a função f ( x)  5 cos(x) , em torno do ponto xo = π/2.
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Conceitos básicos de sistemas de controle;
Sistemas em malha aberta e malha fechada;
(Revisão TL) e Simplificação de diagrama de blocos;
Funções de transferência ;
Modelo na forma de variáveis de estado;
Caracterização da resposta de sistemas de
primeira ordem, segunda ordem e ordem superior;
Erro de estado estacionário;
Estabilidade;
Introdução a controladores PID;
Sintonia de controladores PID;
Método do lugar das raízes;
Projeto PID via método do lugar das raízes;
Resposta em frequência;
Margens de ganho e fase e estabilidade relativa;
Projeto de controlador por avanço e atraso de fase;
Controlabilidade e Observabilidade.
Análise e projeto de sistemas de controle com realimentação (retroação)
por duas abordagens:
1) Técnica clássica: domínio da frequência. Usa a transformada de uma equação
diferencial para obter uma função de transferência:
a) relaciona um entrada a uma saída;
b) aplicável somente em sistemas lineares e invariantes no tempo;
c) fornecem, rapidamente, informações sobre resposta transitória e a
estabilidade.
2) Técnica moderna: domínio do tempo.
a) sistemas podem conter múltiplas entradas e múltiplas saídas;
b) sistemas com condição inicial não nula;
c) sistemas não lineares e variantes no tempo;
d) aplicáveis aos problemas tratados pelo método clássico;
e) mais complexo e menos intuitivo.
SERÃO ABORDADOS SOMENTE SISTEMAS LIT!
Determinando o modelo matemático dos sistemas:
representação no domínio do tempo.
A representação (modelo) no espaço de estados é composta pelas
equações de estado, x , e pelas equações de saída y:
Forma Geral: múltiplas entradas e múltiplas saídas.
1) Equações de estado:
x1, x2, x3,..., xn, são as variáveis de estados e u1, u2, u3,..., ur e são as entradas
1a) Na forma matricial:
1b) Ou de forma simplificada:
Forma Geral: múltiplas entradas e múltiplas saídas.
2) Equações de saída:
y1, y2, y3,..., ym, são as saídas.
2a) Na forma matricial:
2b) Ou de forma simplificada:
Diagrama de blocos da forma geral de representação no espaço de
estados:
TÉCNICA: a partir da descrição do sistema, utilizando equações diferenciais,
organizar uma representação matricial.
Exemplo 1) Representar o circuito RLC por espaço de estados, considerando
i(t) e vc(t) como as variáveis de estado e a tensão sobre o capacitor como a
variável de saída (para duas variáveis de estado são necessárias duas equações).
di(t )
 vC (t )  Ri(t )  v(t )
dt
dv (t )
i (t )  C C
dt
L
...continuação do exemplo.
Reorganizando as equações:
di(t )
 vC (t )  Ri(t )  v(t )
dt
dv (t )
i (t )  C C
dt
L
di(t ) v(t ) vC (t ) R


 i (t )
dt
L
L
L
dvC (t ) i (t )

dt
C
Que escrita na forma matricial resulta em:
 di(t )   R
 dt   L
 dv (t )    1
 C  
 dt   C
1
   i(t )   1 
L
  L v(t )


0  vC (t )  0 

(a)
Se for considerada a tensão sobre o capacitor a saída:
As equações (a) e
(b) são a
representação
no espaço de
estados do circuito
RLC.
 i(t ) 
y (t )  0 1

v
(
t
)
 C 
(b)
...continuação do exemplo.
Caso fossem considerados como variáveis de estado a corrente, i(t), e a carga
do capacitor, q(t):
dq(t )
 i (t )
dt
di(t )
1
L
 Ri(t )   i (t ) dt  v (t )
dt
C
Na forma matricial:
 dq(t ) 
 dt   0
 di(t )    1

  LC
 dt 
1  q(t )  0 
R
  1 v(t )
   i(t )   
L
L
dq(t )
 i (t )
dt
di(t )
1
R
1

q (t )  i (t )  v(t )
dt
LC
L
L
Considerando vL(t) a saída:
y (t )  vL (t )
 1
y (t )  
 C
 q (t )
 R 
 1v(t )

  i (t ) 
Exemplo 2) Representar o seguinte sistema mecânico por espaço de estados,
considerando a posição e a velocidade da massa como variáveis de estado (indicando-as na forma padrão para as variáveis de estado: x1 e x2), sendo f(t) a entrada
e p(t) a saída.
x1 (t )  p(t )
dp(t )
x2 (t ) 
dt
Determina-se a equação diferencial que descreve o
sistema a partir do somatório das forças:
fv: atrito com a parede;
K: constante da mola;
p(t): deslocamento;
f(t): força aplicada e;
M: massa.
dp2 (t )
dp(t )
M

f
 Kp (t )  f (t )
v
2
dt
dt
Usando as variáveis de estado:
dx 2 (t )
M
 f v x2 (t )  Kx1 (t )  f (t )
dt
...continuação.
Para duas variáveis de estado são necessárias duas equações, podendo ser consideradas:
x1 (t )  p(t )
dx1 (t )
dp(t )
 x2 (t )
x
(
t
)

2
dt
dt
f
dx2 (t )
K
f (t )
  v x2 (t ) 
x1 (t ) 
dt
M
M
M
p(t )  x1 (t )
que na forma matricial são expressas por:
y (t )  p(t )
 dx1 (t ) 
 dt   0
 dx (t )    K
 2   M
 dt 
1   x (t )   0 
f v   1    1 u (t )
   x2 (t )  
M
M 
 x1 (t ) 
y (t )  1 0
 0u (t )

 x2 (t )
u (t )  f (t )
Exemplo 3: Representar, por espaço de estados, o sistema ilustrado abaixo,
considerando a força f(t) como entrada e as posições dos blocos, p1 e p2, as
saídas.
...continuação exemplo: Escolhendo como variáveis de estado a posição e
a velocidade no ponto 1 e a posição e velocidade no ponto 2:
...continuação exemplo: Na forma matricial:
Tipicamente, para os sistemas físicos, o número de variáveis de estado
é igual ao número de elementos armazenadores de energia e uma possível
escolha das variáveis são aquelas que representam o armazenamento de energia.
Elemento Linear
Variável recomendada
Capacitor
Tensão
Indutor
Corrente
Mola
Deslocamento
Massa (deslocamento)
Velocidade
Massa (elevação)
Elevação
Inércia (rotação)
Velocidade angular
Calor
Temperatura
Gás
Pressão
Obtenção da função de transferência a partir da representação por
espaço de estados (somente para SISO):
x (t )  Ax(t )  Bu(t )
y(t )  Cx(t )  Du(t )
Aplicando a transformada de Laplace:
sX ( s)  AX ( s)  BU ( s)
Y ( s)  CX ( s)  DU ( s)
Rearranjando os termos:
sI  AX (s)  BU (s)
Y ( s)  CX ( s)  DU ( s)
Multiplicando ambos os lados da primeira equação por sI  A1
X ( s)  sI  A BU ( s)
1
Y ( s)  CX ( s)  DU ( s)
Substituindo X(s) na segunda equação:
X ( s )  sI  A BU ( s)
1
Y ( s )  C sI  A BU ( s )  DU ( s )
1
Como Y(s) = G(s)U(s):
G(s)  CsI  A B  D
1
Da função de transferência para representação no espaço de estados:
1
G( s)  2
s  a1s  a2
Para uma entrada r(t) (lembrando que G(s) = Y(s)/R(s)):
Y ( s) 
1
R( s )
2
s  a1s  a2
Multiplicando os termos:
s 2Y (s)  a1sY (s)  a2Y (s)  R(s)
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
dy2 (t )
dy(t )

a
 a2 y (t )  r (t )
1
2
dt
dt
...continuação.
dy2 (t )
dy(t )

a
 a2 y (t )  r (t )
1
2
dt
dt
Escolhendo as variáveis x1(t) = y(t) e x2 = dy(t)/dt:
dy(t )
x1 (t ) 
 x2 (t )
dt
dy2 (t )
dy(t )
x2 (t ) 


a
 a2 y (t )  r (t )  a2 x1 (t )  a1 x2 (t )  r (t )
1
2
dt
dt
Na forma matricial:
 x1 (t )   0
 x (t )   a
 2   2
1   x1 (t )  0
  u (t )



 a1   x2 (t ) 1
 x (t ) 
y (t )  1 0 1   0u (t )
 x2 (t )
Formulação geral da transformação da representação por função de
transferência para espaço de estados:
Na forma matricial:
Exemplo 4: Obter a representação por Espaço de Estados.
...exemplo
Variáveis de estado
Equações de estado e
de saída (y)
Na forma matricial (forma canônica controlável)
Exemplo 5: Determinar modelo por espaço de estados:
...exemplo: Para numeradores que não são constantes:
Equações de estado do bloco contendo o denominador:
Equações de saída do bloco que contém o numerador:
Atividade (E)