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EQUAÇÕES DE FRIEDMANN
Equações de Einstein da TRG + MRW:
8G
Gij 
Tij
4
c
 d 2
2
2
2
2
ds  c dt  R ( t )


(
d


sin

d


2
 1  k

2
2
2
2


8G
kc
R( t )
R( t )
p( t )  

2

2
2
2
c
R( t )
R( t )
R( t )
2
2

8G
kc
R( t )2 
 (t ) 


2
2
2
c
R( t )
R( t )
3
2
MODELO DE UNIVERSO DE EINSTEIN (1917)
Suposição: universo homogêneo e isotrópico e um
E-T estático
Solução para t = hoje
Simplificação: p=0
assim como:  = matéria+ energia
p = pmatéria + penergia
como no t atual: matéria >> energia 
p ≈ matéria  v2
equação de estado do fluído
v = velocidade típica de uma galáxia
v << c
p = v2 << c2

4G 
3 p( t ) 
1
R
  ( t )  2  R( t )  R( t )
3 
c

3
Então: supondo p ~ 0 e universo estático (R= constante):


8G
kc
R( t )
R( t )
p
(
t
)




2

2
2
2
c
R( t )
R( t )
R( t )
2
2

8G
kc
R( t )2 
 (t ) 


2
2
3
R( t )
R( t )
3
2
8G
2kc2

3
3R2
O raio do universo vale:
2
kc
 2
R
8G
kc2 
 2 
2
c
R
3
Como  > 0  k=+1 !!!
espaço de geometria esférica
e R=raio do universo
c
R
4G
Importante!! medindo-se  têm-se R
ex: se a densidade hoje associada às regiões brilhantes:
 = 8 10-32h g/cm3 , para k= +1 e h=1 R=37000 Mpc
 ~ 710-38
Algumas consequências deste modelo:
antípoda
c
R
4G
raio de uma esfera
3-D
distância de circunavegação da luz = 2R
algo que se distancia sobre a esfera parece estar ficando
menor em tamanho até chegar na posição antípoda (R)
antípoda
pessoas na posição antípoda nos
vê como se estivessemos + perto
e vice-versa
A luz dá volta no globo cósmico  nos vemos “por trás”
Por ex: o tempo que a luz leva para atravessar uma vez
o universo de Einstein vale: ct = 2R
Subst. R 
c
4G

t
G
Algumas continhas:
num universo preenchido por água (=1g/cm3)
luz leva 2 horas para dar a volta raio = 20 minutos-luz
•objetos antípodas são vistos 1 hora + tarde
•obsevadores vêem eles mesmos 2 horas + tarde
observadores continuamente lembrados do que
eles estavem fazendo em 2, 4, 6, ... horas
passado em detalhes gráficos....
Se o gás tiver  = nossa atmosfera: t ~ 60, 120, 180,... horas
Se  for menor ainda: observadores vêem os “fantasmas”
de seus ancestrais...
DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS COSMOLÓGICOS
Quantidades mensuráveis
• Parâmetro de Hubble (taxa de expansão do universo)

H (t ) 
• Densidade crítica (universo em equilíbrio)
•Parâmetro de densidade

 (t )
 c (t )
R( t )
R( t )
3H 2
 c (t ) 
8G
• parâmetro de desaceleração (mede a aceleração q(t)<0

ou desaceleração da expansão do universo q(t)>0)
R
q( t )  
RH 2
Ex de valores para o parâmetro de desaceleração:
1)


R  0  R  cte  q  0
R
2)

= expansão
R0
t
quando

R
+ rápida a expansão
R 0q 0
t
quando

R 0q 0
R
expansão desacelera
t
Modo de medir q
Usa-se SNIa: suas distâncias são medidas sem necessidade
da lei de Hubble
(M absolutas de quaiquer SNIa são ~ iguais
acelera!!!
Acima de z= 0.2 deve-se
considerar o look-back time
tempo em que a radiação
foi emitida a taxa de expansão
era diferente ( e R também)
UNIVERSOS DE FRIEDMANN
Soluções da equação supondo =0
Usando a equação de movimento do fluído, com p~0 e

q( t )  

R
R
RH 2
4G 
3 p( t ) 
1
  ( t )  2  R( t )  R( t )
3 
c 
3
4G=3qH2
subs.
q = /2
3 H 2    (t )
 c (t ) 
 c (t )
8G
Usando uma das equações de Friedmann

8G
kc2
R( t )2 
 (t ) 


2
2
3
R( t )
R( t )
3
H2
qH2
Então se

q  1 / 2

q  1 / 2

q  1 / 2

ou
ou
ou
H 2 R2
k
( 2q  1)
2
c
H 2 R2
k
(  1)
2
c

  1  k  1 (    c )

  1  k  0 (  c ) 

  1  k  1 (    c )

Nos modelos de Friedmann
determinando-se observac.
qo e o, obtêm-se a
geometria do universo
Como fica a dinâmica dos universos de Friedmann??
4G 
3 p( t ) 
1
R
  ( t )  2  R( t )  R( t )
3 
c 
3


Calculando R(t)  t
partindo de:

8G
kc2 R 2
 2 
3
R
R
R0
q>0  expansão desacelera sempre
para qualquer k
 R0 
  0  
substituindo:
 R
8G 0 R0
R2 
 kc2
3R

3
3


R 
2

R
 kc
0
c.i. R(0)=0
2
R

0
2
c
R
 cdt  

t
c2
R
ct  
R
 kR
0
 kR
dR
variação do fator de escala com o tempo
dR
a) ESPAÇO COM k=0 (plano=euclidiano)
R
ct  
0
R

c
 9 
R(t )  

4


dR

R 2
H (t )  
R 3t
1/ 3
t 2/ 3
t
expansão perpétua que desacelera
2
Usando    0  R0 
 R
R
3
1
 (t ) 
6Gt 2
q=1/2 e =1
MODELO DE EINSTEIN-DE-SITTER
t→∞: →0
expansão
perpétua
b) ESPAÇO COM k < 0 e constante
R
R
ct  

0
c2
R
dR
ct  R( R   / c 2 
com  
R

2


ln 2 R(   R )  2 R   

c2
k = -1
k=0
t
Perpétua e desacelera

2
ln 
c) ESPAÇO COM k > 0 e constante
R
R
ct  

0
c2
R
dR
 R
  R(   R )
ct   arcsin

  
com  

c2
Expansão atinge um máximo com Rmax = 
 ctmax= /2  tmax= /2c é o instante em a expansão
é máxima
R
k = -1
k=0
k = +1
tmax
t
universo pulsante
com período = /c