SUBMÓDULO IV
NOÇÕES DE MATEMÁTICA
1
SUBMÓDULO IV: NOÇÕES DE MATEMÁTICA
Estrutura do Submódulo
Unidade 1 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos
(Parte 1);
Unidade 2 – Revisão Geral dos Conceitos Básicos
(Parte 2);
Unidade 3 – Introdução à Álgebra.
2
Unidade 1
Revisão Geral dos
Conceitos Básicos (Parte 1)
3
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
Apresentação
Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos
conceitos básicos da matemática, abrangendo:
•Operações com números inteiros;
•Operações com números negativos;
•Potenciação;
•Lei distributiva;
•Ordem das operações.
Avançar no uso da matemática é pré-requisito para a
continuidade dos estudos profissionalizantes ou
universitários.
4
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1. Introdução: Operações com Números Inteiros
1.1 Adição (+) e Subtração (-)
Comutativo:
• Nome matemático dado a certas operações;
• Significa que se pode fazer a operação em qualquer
ordem;
• A adição é comutativa, pois que:
2  4 significa a mesma coisa que 4  2
• A subtração não é comutativa, pois:
21  6 não significa a mesma coisa que 6  21
5
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1. Introdução: Operações com Números Inteiros
1.1 Adição (+) e Subtração (-)
Pode-se rearranjar a ordem de uma soma envolvendo
adições e subtrações, mas é preciso manter o número
com o sinal exato que o precede.
Por exemplo:
a) 3  5  3  4  7  3  3  3  3  4  5  7
b) 6  7  10  2  1  2  6  7  2  10  1  2
6
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1. Introdução: Operações com Números Inteiros
1.2 Multiplicação (x ou ) e Divisão (, / ou  )
• A multiplicação é uma operação comutativa:
a) 3  4  5  5  4  3
• A justaposição indica a multiplicação quando se
utilizam letras para representar quantidades:
a) 3a significa 3  a e xy significa x  y
b) ab3a  3aab
• A divisão não é comutativa, pois 4  2  2  4.
7
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1. Introdução: Operações com Números Inteiros
1.3 Índices ou Potências
• Notações abreviadas;
• Quantas vezes um número é multiplicado por si mesmo:
 10

10  1.000
a) 10  10


3
3
X4  
X

X

X

X
b)
4
• Um índice negativo indica que a potência deve estar no
denominador, com o número um no numerador:
a) 10 2  12  1  1
10
b)
y 3 
8
10  10
1
1

y3 y  y  y
100
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1. Introdução: Operações com Números Inteiros
1.4 Regras Adicionais Associadas com
Multiplicação e Divisão
Zero:
•Qualquer quantidade multiplicada por zero é zero;
•O zero multiplicado por qualquer quantidade é zero;
a) 8  0  0  8  0
b) 0 
21
21

0  0
456 456
c) 3  a  0
9
 0 a3  0
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1.Introdução: Operações com Números Inteiros
1.4 Regras Adicionais Associadas com
Multiplicação e Divisão
Zero:
• O zero dividido por qualquer quantidade é zero:
0
0
8
0  20  0
0 2a  0
• A operação de dividir por zero “não é definida”.
Assim:
35
0
e 16b  0 não são definidos
10
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
1. Introdução: Operações com Números Inteiros
1.4 Regras Adicionais Associadas com
Multiplicação e Divisão
Um:
• A multiplicação de qualquer número por um significa
que seu valor permanece o mesmo:
a) a  1  a  1  a
b)
5 1  5  1 5
c) 478  1  478  1  478
1098
1098
1098
11
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
2. Operações com Números Negativos
Adição e subtração:
• Quando se subtrai um número positivo (ou se soma
um número negativo), se move o ponto para a
esquerda e se obtém um número menor.
• A representação abaixo é da operação 3  5  2.
12
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
2. Operações com Números Negativos
Adição e subtração:
• Quando se soma um número positivo (ou se subtrai
um número negativo), se move o ponto para a direita
e se obtém um número maior.
• A representação abaixo é da operação: 3  7  4.
13
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
2. Operações com Números Negativos
• Subtrair um número positivo e adicionar um número
negativo resulta em um movimento à esquerda;
• Adicionar um número positivo e subtrair um número
negativo resulta em um movimento à direita:
a)10  4 dá o mesmoresultadodo que 10  4
b) 2  6 dá o mesmoresultadodo que 2  6
14
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
2. Operações com Números Negativos
Multiplicação e divisão:
• Veja o que acontece com o sinal:
a) 4 5  20 e 4  5  20
b) 4 5  20
• Então:  a    b    ab por exemplo
 a    b  ab
 a    b  ab
 a    b  ab
3 2  6
por exemplo 3  2  6
por exemplo  3  2  6
por exemplo  3  2  6
15
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
2. Operações com Números Negativos
• Da mesma forma, tem-se:
 a    b    a
por exemplo
84  2
b
 a    b    a por exemplo 8  4  2
b
 a    b    a por exemplo  8  4  2
b
 a    b    a por exemplo  8  4  2
b
• Multiplicar ou dividir duas quantidades com o mesmo
sinal dá um resultado positivo;
• Multiplicar ou dividir duas quantidades com sinais
diferentes dá um resultado negativo.
16
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
3. Potenciação
O sistema numérico:
• Para a esquerda, aumenta em potências de 10;
• Para a direita, diminui em potências de 10.
No número 123.456,78:
• O número 1 diz quantos 100.000 existem,
• O número 4 indica o número de centenas (100),
• O número 7 indica o número de dezenas (10).
17
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
3. Potenciação
• Ao multiplicar dois números juntos, tal como:
200  3.000
• Usa-se o sistema do lugar do valor para representar:
(2  100) (3  1.000)
• Pode-se reescrever como:
200 3.000  2  100  3  1.000
200 3.000  2  3  100 1.000
200 3.000  6  100.000
200 3.000  600.000
18
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
3. Potenciação
3.2 Informações sobre as Calculadoras
A notação científica:
• Quando o número for muito grande ou muito pequeno;
• Consiste de escrever o número em duas partes:
• A primeira parte é um número entre 1 e 10;
• A segunda parte é a potência de 10.
Exemplos:
• 2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2  106.
• 0,00345 seria escrito como 3,45  10-3.
19
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
3. Potenciação
Exemplos:
• 2 milhões (2.000.000) seria escrito como 2  106.
• 0,00345 seria escrito como 3,45  10-3.
No caso de 1  987654321, tem-se que:
1  987654321  1,0125-09  0,0000000010125
20
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
4. Lei Distributiva
Suponha que você tenha quatro crianças e que cada
criança requer um penal ($ 2,50), uma régua ($ 1,25),
um livro de exercícios ($ 2,25) e um conjunto de lápis
coloridos ($ 12) para a escola. Uma forma de calcular o
custo é multiplicar cada item por 4 e somar o resultado:
4  $2,50  4  $1,25  4  $2,25  4  $12,00  $10  $5  $9  $48  $72
21
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
4. Lei Distributiva
Mas, não seria mais fácil calcular o custo de uma criança
e então multiplicá-lo por 4?
$2,50  $1,25  $2,25  $12  4  $18,00 4  $72
sendo que:
4  $2,50  4  $1,25  4  $2,25  4  $12,00  $2,50  $1,25  $2,25  $12  4
A Lei Distributiva na matemática:
•O cálculo envolvendo parênteses,
•Calcula-se primeiro o que está dentro dos parênteses.
22
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
5. Ordem das Operações
Considere a seguinte situação. Você trabalhou das 14h00 às
21h00 em um projeto. Como lhe foi exigido que a tarefa fosse
concluída no dia seguinte, você pode pedir horas-extras. As
taxas das 9h00 às 17h00 são de $ 25,00 por hora e das 17h00
até a meia noite aumentam para $ 37,50. Matematicamente,
isso pode ser expresso como. Quanto você ganhou?
Cálculo 1
3  $25,00  4  $37,50
 75  4  $37,50
 $2.962,50
Cálculo 2
3  $ 25,00  4  $37,50
 3  $25,00  4  $37,50
 $225,00
23
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
5. Ordem das Operações
A resposta certa é a do cálculo 2 ($ 225,00).
Convenções estabelecidas:
• Parênteses: avaliar a expressão que está dentro dos
parênteses primeiro. Ex.: 3  5  8
• Potências: avaliar as expressões elevadas à potência.
2
Ex.: 3  5  64
• Divisão e multiplicação: dividir ou multiplicar da esquerda
para a direita. Ex.: 6  5  3  30  3  10
• Adição e subtração: somar ou subtrair da esquerda para a
direita. Ex.: 4  5  2  4  9  2  4  7  4  11
24
Unidade 1: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 1)
6. Conclusões
O exercício de qualquer atividade profissional exige
conhecimentos básicos de matemática.
Nesta unidade, foram explorados:
• Conhecimentos básicos sobre operações com números
inteiros, negativos, potenciação;
• Algumas regras sobre a condução de operações, a partir
da lei distributiva e da ordem das operações.
Tais conhecimentos evitam o uso indevido da matemática
e aumentam as chances de que o indivíduo seja absorvido
pelo mercado.
25
Unidade 1: Exercícios de Fixação
1) Responda às seguintes questões com verdadeiro (V) e falso (F):
a. ( ) A soma é uma operação comutativa.
b. ( ) A subtração é uma operação comutativa.
c. ( ) A ordem dos fatores altera o produto.
d. ( ) A divisão é uma operação comutativa.
e. ( ) A operação comutativa está relacionada com a ordens dos
elementos para a realização dos cálculos.
2) Resolva as seguintes questões, apresentando os cálculos
correspondentes:
a. 55
R.:
b. 5-5
R.:
26
Unidade 1: Exercícios de Fixação
c. 1.000 .000  0
R.:
d. 0  2.000 .000
R.:
e. 2.000 .000  0
R.:
f. Represente a operação 10  500.000 na forma geral e na forma
reduzida.
R.:
27
Unidade 1: Exercícios de Fixação
g. Você tem quatro trabalhadores em sua empresa e terá de comprar
um par de botas ($ 100,00), um uniforme ($ 120,00) e um capacete
($ 50,00) para cada um. Utilizando-se a lei distributiva, demonstrar
quanto você irá desembolsar.
R.:
h) O trabalhador tem seu expediente na fábrica das 14h00 às 22h00,
pelo qual recebe $ 10,00 por hora. Quando faz hora extra, o
indivíduo recebe 50% adicionais por hora trabalhada. Digamos que
você tenha trabalhado um turno completo e feito mais duas horas
extras, quanto você recebeu no final deste dia?
R.:
28
Unidade 2
Revisão Geral dos
Conceitos Básicos (Parte 2)
29
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Apresentação
Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno nos
conceitos básicos da matemática, abrangendo:
• Cálculos envolvendo decimais;
• Cálculos envolvendo frações;
• Cálculos de porcentagens;
• Intercambiando frações, decimais e porcentagens.
30
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
Os zeros à direita de um ponto decimal não têm valor:
10,4  10,40  10,400000
No entanto, tais números têm determinada precisão:
• 10,4 diz que esse número tem a precisão decimal,
• o número 10,400000 tem uma precisão em milionésimos.
31
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
1.1 Arredondamentos
Arredondamento de 1,25687 para duas casas decimais:
1. Olhar a casa decimal que está após o número para o qual
se deseja o arredondamento. Nesse caso, é a terceira casa;
2. Se o número é 6, 7, 8 ou 9, arredondar para cima. No
exemplo, o número arredondado resulta em: 1,26;
3. Se o número é 0, 1, 2, 3 ou 4, o arredondar para baixo.
32
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
1.1 Arredondamentos
Arredondamento de 2,47568 para três casas decimais:
1. Se o número na casa decimal após a casa para a qual se
deseja arredondar é o número 5, olhar para os números que
o seguem. No exemplo, os números 568.
2. Se o número 568 estiver mais próximo de 600, arredondamos
o 5 para cima, caso contrário, para baixo. Dessa forma, o
número será arredondado para 2,476.
3. Se somente um 5 seguir a casa na qual se está interessado,
arredondar ou para cima ou para baixo, pois ele está
exatamente no meio termo entre 0 e 10.
33
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
1.2 Adição e Subtração de Decimais
Para somar ou subtrair números decimais, deve-se
primeiro alinhar o ponto decimal. Por exemplo:
25  25,5  0,025  2 ,25 e
25,000 
25,500
0,025
2,250
36,25  6 ,475
36,250 
6,475
29,775
52,775
34
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
1.3 Multiplicação de Decimais
Duas decimais são multiplicadas juntas, da mesma forma
como o são dois números inteiros:
• Primeiramente, proceder a multiplicação, ignorando as
casas decimais;
• Então, contar o número de dígitos após o ponto decimal
em ambos os números e somá-los em conjunto;
• Finalmente, retorne o ponto decimal à posição apropriada
no produto através da contagem para trás a partir do
dígito do lado direito.
35
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
1.3 Multiplicação de Decimais
Por exemplo: calcular 2,6  0,005
1. Multiplicar 26 por 5: 26  5  130;
2. Contar o número de dígitos após o ponto decimal
1 + 3  4;
3. Retornar o ponto decimal para o produto, quatro
casas antes do dígito do lado direito, somando
zeros, se for necessário:
4

0, 0130
36
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
1. Introdução: Cálculos Envolvendo Decimais
1.4 Divisão de Decimais
Para dividir números com decimais por números inteiros:
• Colocar o ponto decimal na resposta, exatamente onde ele
ocorre no número decimal. Por exemplo: 0,238  7  0,034
• Mover o ponto decimal no divisor (denominador) à direita, o
suficiente para que ele se torne um número inteiro;
• Mover o ponto decimal no dividendo (numerador) o mesmo
número de casas à direita (somando zeros se necessário);
• Realizar a divisão. Alguns exemplos:
a) 0,24  0,3  2,4  3  0,8
b) 25  0,05  2500 5  500
37
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2. Cálculos Envolvendo Frações
38
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2. Cálculos Envolvendo Frações
2.1 Alterar Números Mistos para Frações Impróprias
4
19
3
• A fração 5 pode ser expressa como
, pois existem 15
5
quintos em 3 inteiros mais 4 quintos.
• Isso pode ser feito pela multiplicação do número inteiro pelo
denominador e somando o numerador 3  5  4  19
39
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2. Cálculos Envolvendo Frações
2.2 Alterar Frações Impróprias para Números Mistos
• As frações impróprias são frações nas quais o numerador é
12
5
maior do que o denominador, como por exemplo:
• O processo para chegar no número misto apropriado é o
seguinte:
12  5  2
restam
então:
12
2
2
5
5
40
2
5
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
a
2.3 Multiplicação de Frações
• Representar as frações em sua forma b
• Multiplicar os numeradores juntos e, então, multiplicar os
denominadores juntos. Por exemplo:
1
3 1 18 1  18 18 9
4
3   

 1
2
5 2 5
2  5 10 5
5
2.4 Divisão de Frações
• É o mesmo que multiplicar por sua recíproca.
a
b
• A recíproca de uma fração b é a fração a . Assim, o
3
4
1
2
recíproco de 4 é 3 , o recíproco de 2 é 1 e o recíproco de
1
5é 5 .
2
3
• Logo, para dividir 3 por 2 é o mesmo que multiplicar por
Por exemplo:
4 2 4 3 4  3 12 6
   


7 3 7 2 7  2 14 7
41
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
2.5 Adição e Subtração de Frações
• Converter as frações, para que tenham o mesmo denominador.
• Duas frações são equivalentes se elas representam a mesma
parte de um inteiro.
• 23 é equivalente a 64 , pois elas representam a mesma quantia.
• Para encontrar as frações equivalentes, multiplicar o topo e a
base de uma fração pela mesma quantia. Por exemplo:
2 2  2 4 2  6 12 2  3 6

 



7 7  2 14 7  6 42 7  3 21
Encontrar as frações equivalentes para cada parte da soma, e,
então, somar ou subtrair os numeradores, como por exemplo:
2 1 2  3 1 7
6
7 6  7 13
a)  





7 3 7  3 3  7 21 21
21
21
b)
3 1 3  3 1 4 9
4 94 5
 





4 3 4  3 3  4 12 12
12
12
42
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
3. Cálculos de Porcentagens
• Porcentagens são frações
com o denominador de 100;
• Às vezes não há 100
elementos para expressar
uma fração ou uma
porcentagem, encontrar uma
• Encontrar uma fração equivalente de 100, multiplicando por
100, que é o mesmo que multiplicar por 1, como nos
1
1 5
5
1
1
100
exemplos: a) 20  20  5  100  5% ou 20  20  100%  20 %  5%
b)
3
3  10
30
3
3
300


 30% ou
  100% 
%  30%
10 10  10 100
10 10
10
c)
2 2  20 40
2 2
200


 40% ou
  100% 
%  40%
5 5  20 100
5 5
5
43
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
3. Cálculos de Porcentagens
Para encontrar uma porcentagem, primeiro encontrar a fração.
Se existem 15 homens, 13 mulheres e 22 crianças em um
grupo, a fração de homens no grupo é de , pois existem 50
pessoas (15+13+22) no grupo. Você pode multiplicar por
100% e verificar que os homens correspondem a 30% do
grupo 15
1500
50
 100 % 
50
%  30 %
44
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4. Intercambiando Frações, Decimais e
Porcentagens
4.1 Transformando Frações em Decimais
• Para expressar uma fração como uma decimal, dividir
o número do topo (numerador) pelo número da base
(denominador).
• Assegurar-se de colocar um ponto decimal depois do
numerador e somar alguns zeros, como por exemplo:
3
4
pode ser expressado como
45
3,00  4  0,75
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4. Intercambiando Frações, Decimais e
Porcentagens
4.2 Transformando Frações em Porcentagens
• Deve-se expressar a fração como uma decimal e, então,
multiplicar o resultado por 100%.
• Isso pode ser feito mudando o ponto decimal para duas
casas à direita, como por exemplo:
3
 3,000  8  0,375  100 %  37,5%
8
• Quando o denominador da fração a ser convertida segue
uniformemente a 100, a porcentagem pode ser
3 60
encontrada usando frações equivalentes: 5  100
3 20 60


 0,600 100%  60%
5 20 100
46
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4. Intercambiando Frações, Decimais e
Porcentagens
4.3 Transformando Porcentagens em Decimais
• Para converter uma porcentagem em uma decimal,
divide-se por 100.
• Isso pode ser feito mudando-se o ponto decimal duas
casas à esquerda.
• Se não existe um ponto decimal, colocar um ponto
decimal à direita do número inteiro, como por exemplo:
45,8%  0,458 e 0,5%  0,005 e 7%  7,0%  0,07
47
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4. Intercambiando Frações, Decimais e
Porcentagens
4.4 Ordenando Frações, Decimais e Porcentagens
• Para comparar números é usual fazer a conversão em
decimais,
• Escrever os números abaixo um do outro, alinhando-os pelos
pontos decimais.
• Preencher todos os espaços com zeros.
• Comparar primeiro o alinhamento dos números inteiros,
• então comparar o lado da fração.
Por exemplo, para expressar os números na ordem dos menores
para os maiores: 0,5; 5,3%; 0,54; 47%; 3 ; 46 ; 3
5 100
48
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
Passos:
1.Converter todos os números em decimais:
0,5; 0,053; 0,54; 0,47; 0,6; 0,46; 3
2.Alinhar os números: 0 ,5
0 ,0 53
0 ,5 4
0 ,4 7
0 ,6
0,500
0,053
3
0,540
3.Preencher todos os espaços com zeros:
0,470
0,600
0,460
3,000
0 ,4 6
49
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
4. Comparar os números inteiros. Se existe um
alinhamento, comparar o lado das frações. Como seis
dos números começam com zero, podemos comparar
o lado direito:
53  460  470  500  540  600
5. Expressar os números do menor para o maior:
46
3
5,3%;
; 47%; 0 ,5; 0 ,54;
; 3
100
5
50
Unidade 2: Revisão Geral dos Conceitos Básicos (Parte 2)
5. Conclusões
Nesta unidade, foram explorados:
• Conhecimentos básicos sobre operações com
decimais, frações, porcentagens;
• Conhecimentos de como que tais elementos
podem ser combinados nos cálculos.
Tais conhecimentos são básicos para que o indivíduo
aumente suas chances de ser absorvido pelo
mercado.
51
Unidade 2: Exercícios de Fixação
1) Resolva as seguintes questões, apresentando os cálculos
correspondentes:
a. Calcular as somas incluindo decimais:
55  75,5  2,025  10 ,25 e
40,45  6,4755
R.:
b. Calcular a multiplicação incluindo decimais:
15,8  0,0125
R.:
c. Calcular a divisão incluindo decimais:
0,555 5
R.:
52
Unidade 2: Exercícios de Fixação
d. Expressar a fração imprópria
200
150
para um número misto.
R.:
400
2
e. Expressar o número misto 550 em uma fração imprópria.
R.:
f. Proceder a multiplicação de frações: 1  2 1
2
5
R.:
g. Proceder a divisão de frações: 7  1
3 4
R.:
53
Unidade 2: Exercícios de Fixação
h. Formule a porcentagem: 10
20
R.:
i.
Formule a porcentagem: 110
20
R.:
j: Transformar a fração em porcentagem. 12
89
R.:
k: Transformar a porcentagem 77 % em decimal.
R.:
54
Unidade 3
Introdução à Álgebra
55
Unidade 3: Introdução à Álgebra
Apresentação
Este tópico dá continuidade ao resgate dos
conceitos matemáticos básicos, visando aumentar
a qualificação e aumentar as chances do indivíduo
no mercado de trabalho.
Esta unidade tem como objetivo introduzir o aluno
no uso da álgebra como forma de representar os
cálculos matemáticos, reduzindo sua
complexidade e ampliando seu alcance.
56
Unidade 3: Introdução à Álgebra
1. Introdução: Regra de Três
Procedimento para resolver problemas que envolvam
grandezas relacionadas, onde se determina por proporções
(frações) o valor de uma destas, conhecendo a relação
desta proporção com a proporção das demais grandezas.
Grandeza abrange tudo aquilo que pode ser medido ou
contado.
57
Unidade 3: Introdução à Álgebra
1. Introdução: Regra de Três
Regra de três simples:
Um avião voando a 800 km/h demora duas horas para
percorrer uma distância de 1.600 km. Qual a distância será
percorrida por esse avião, nessas condições, em 4 horas?
Grandeza1
Grandeza 2
Te mpo
Distância
2
1.600
4
x
Para resolver esse problema, basta arranjamos as
proporções:
58
Unidade 3: Introdução à Álgebra
1. Introdução: Regra de Três
2 1.600

x
4
Apóso arranjo,isolamoso zero,alternandoa ordem
da fraçãoque foi transferida de local:
x
2
0

4 1.600
Agora,pode se processara multiplicação das frações:
2x
0
1.600 4
2x
0
6.400
P odemos,agora,isolar o x :
1
2x
 0  2 x  6.400

1 6.400
e resolve- se a equação :
x
6.400
 3.200
2
59
Unidade 3: Introdução à Álgebra
1. Introdução: Regra de Três
Uma forma mais simples de se proceder, é:
2 1.600

4
x
Apóso arranjo,formula- se a função :
2  x   1.600 4
e resolve- se a equação :
2 x  6.400
x
6.400
 3.200
2
R.: em quatro horas de voo a 800 km/h, serão percorridos 3.200 km.
Nesse caso, as duas grandezas são
diretamente proporcionais, pois ao
aumento da magnitude da grandeza
tempo reflete o aumento da
magnitude da grandeza distância.
60
Unidade 3: Introdução à Álgebra
1. Introdução: Regra de Três
Regra de três composta:
Para descarregar 10 carrocerias em uma hora são necessários 5
trabalhadores. Calcular quanto tempo os 10 trabalhadores levarão para
descarregar 60 carrocerias? Te mpo(hora) C arroce rias (unidades) Trabalhadore s(unidades)
1) Arranjodas proporções(frações):
1
x
10
60
5
10
1 10 5


x 60 10
2) Verificar a relaçãode proporcionalidade :
Diret amente proporcional às carrocerias
T empo
Inversament e proporcional aos t rabalhadores
3) Formula- se a função:
x  10  10  1  60  5
e resolve- se a equação :
100x  300
x
300
3
100
R.: serão necessárias 3 horas para que 10 trabalhadores descarreguem 60
carrocerias.
61
Unidade 3: Introdução à Álgebra
1. Introdução: Regra de Três
Relação entre as grandezas dos elementos:
• O denominador da fração contendo o x foi multiplicado pelo
numerador da fração de grandeza diretamente proporcional
e multiplicado pelo denominador da fração de grandeza
inversamente proporcional x 1010
• A mesma lógica seguirá os demais elementos da relação
apresentada 1 60  5
Para obter o número de funcionários para descarregar 120
carrocerias em 6 horas, tem-se:
Te mpo (hora)
1
6
C arroce ria
s (unidades)
10
120
62
Trabalhadore s(unidades)
5
x
Unidade 3: Introdução à Álgebra
1. Introdução: Regra de Três
1) Arranjodas proporções(frações):
1 10 5


6 120 x
2) Verificar a relaçãode proporcionalidade :
Diret amente proporcional às carrocerias
T empo
Inversament e proporcional aos t rabalhadores
3) Formula- se a função:
x  10  6  1  120 5
e resolve- se a equação :
60x  600
x
600
 10 funcionários
60
63
Unidade 3: Introdução à Álgebra
2. Representação Algébrica
• A álgebra é utilizada para expressar, por meio de letras, a
relação que existe entre elementos, como as grandezas;
• No caso da regra de três,
representa-se por x.
Por exemplo, o perímetro de um retângulo é de duas vezes o
comprimento mais duas vezes a altura. Isso pode ser
expresso pela função P  2l  2h , onde:
• P representa o perímetro,
• l representa o comprimento,
• h representa a altura.
• Se o comprimento do retângulo é 4 e a altura é 7, então:
64
Unidade 3: Introdução à Álgebra
l4
2. Representação Algébrica
h7
P  2l  2h
substituindo - se, tem - se :
P  2 4  27
P  8  14  22
Outro exemplo: seja x  5 e y  7 , encontrarz quando
z  3y  4x2
substituindo - se, tem - se :
z  3  7  4  5
2
z  21  4  25
z  21  100
z  121
65
Unidade 3: Introdução à Álgebra
3. Resolvendo Equações Algébricas
Na resolução de uma equação algébrica para z, a questão
é saber qual é o valor de z, considerando a informação
restante que está do outro lado da equação.
A relação funcional entre os elementos da equação
continuará a mesma:
• Caso se multiplique, ou se divida todos os valores de
ambos os lados por um mesmo valor,
• Ou quando se soma ou se subtrai o mesmo valor de
ambos os lados da equação.
66
Unidade 3: Introdução à Álgebra
3. Resolvendo Equações Algébricas
Outro exemplo:
3 y  4  19
Subt ração de cada lado da equação pelo número4 :
3 y  4  4  19  4
3 y  15
3 y  3  15  3
y5
67
Unidade 3: Introdução à Álgebra
4. Traçando Gráficos
Considerando a tabela contendo a altura média de
crianças em diferentes idades:
x:
y:
Idade (anos)
Altura (cm)
2
85
3
95
4
100
5
110
6
115
7
122
8
127
9
132
• Duas linhas retas perpendiculares (uma linha horizontal
e uma vertical);
• Por convenção, a variável x é colocada ao longo do eixo
horizontal e a variável y ao longo do eixo vertical;
• No eixo horizontal tem-se a variável independente e no
eixo vertical tem-se a variável dependente;
68
Unidade 3: Introdução à Álgebra
4. Traçando Gráficos
• Logo a relação funcional padrão é a de que o valor de y é
função (depende) do valor de x:
y  f x 
• Escolha apropriada da escala nos dois eixos, sendo que
ela pode ser diferente para cada eixo;
• Costuma conter o maior e o menor valor da série de dados.
• A escala para a variável x, cuja grandeza é a idade,
contém os valores 2 e 9;
• A escala para a variável y, cuja grandeza é a altura,
contém os valores 85 e 132.
69
Unidade 3: Introdução à Álgebra
4. Traçando Gráficos
y : Altura (cm) 160
120
80
40
0
2
3
4
x:
70
5
6
Idade (anos)
7
8
9
Unidade 3: Introdução à Álgebra
4. Traçando Gráficos
Traçando os pontos dos pares ordenados (x, y), forma-se
um gráfico de dispersão, como o seguinte:
Altura (cm) das Crianças em Diferentes
Idades (anos)
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
2
4
6
71
8
10
Unidade 3: Introdução à Álgebra
4. Traçando Gráficos
A altura das crianças cresce de acordo com a idade, de
acordo com a seguinte relação funcional:
y  f x 
altura das crianças f idade das crianças
•As grandezas são diretamente proporcionais,
•A relação funcional é positiva,
•Quando a idade aumenta ao longo do eixo horizontal, a altura também
aumenta ao longo do eixo vertical.
Altura (cm) das Crianças em Diferentes
Idades (anos)
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
2
4
72
6
8
10
Unidade 3: Introdução à Álgebra
5. Algumas Notações Matemáticas Comuns
Algumas abreviações e símbolos usados na matemática:
Sinal
Significado
Sinal
Significado

Adição

Subtração

Multiplicação

Divisão

Igual
2
Quadrado
>
Maior que
<
Menor que

Maior ou igual a

Menor ou igual a

Aproximadamente
igual a

Diferente

Raiz quadrada

Consequentemente
73
Unidade 3: Introdução à Álgebra
6. Conclusões
 Os conhecimentos introdutórios sobre a álgebra,
explorados nesta unidade, são úteis para que o
indivíduo possa continuar seus estudos.
 A matemática é utilizada nos mais diversos campos
de estudos, como:
• Contabilidade,
• Economia,
• Finanças,
• Administração,
• Engenharia,
• Estatística,
• Ciências em geral.
74
Unidade 3: Exercícios de Fixação
1) Considere o exemplo do avião, que foi apresentado no texto. O avião voa
a 800 km/h e demora duas horas para percorrer uma distância de 1.600
km. Se o avião mudar a velocidade para 1.000 km/h, quanto tempo ele
levará para percorrer a distância de 1.600 km? A proporção entre a
velocidade e a distância é direta ou inversamente proporcional? Por quê?
R.:
75
Unidade 3: Exercícios de Fixação
2) Considere o exemplo do descarregamento de carga, que foi apresentado
no texto. Para descarregar 10 carrocerias em uma hora são necessários
5 trabalhadores. Calcular quantos funcionários são necessários para
descarregar as 10 carrocerias em meia hora?
R.:
76
Unidade 3: Exercícios de Fixação
3) Resolva as seguintes equações algébricas:
a.
Seja x  15 e y  17 , encontrarz quando z  4 y  4x3 .
R.:
b. Seja x  5 e y  5 , encontrarz quando z  5 y
R.:
77
1
 8x 3 .
Unidade 3: Exercícios de Fixação
4) Trace o gráfico correspondente ao aumento da temperatura média anual
de uma cidade em relação ao tempo e responda que tipo de relação
proporcional existe entre esses dois elementos.
78
Bibliografia de Referência
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações.
3 vols. São Paulo: Ática, 2003.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 4 vols. São
Paulo: Ática.
79