Pontifı́cia Universidade Católica de Goiás
Departamento de Computação
Fundamentos IV
Clarimar J. Coelho
Essência do cálculo
◮
Conceitos matemáticos relacionados com a diferenciação e a
integração
Diferenciar
◮
Significa marcar por diferenças, distinguir,..., perceber a
diferença em ou entre
◮
No contexto da matemática, a derivada serve como o
principal veı́culo para a diferenciação
◮
Representa a razão de mudança de uma variável dependente
com respeito a uma variável independiente
Figura 1 - definição gráfica de derivada
◮
Conforme ∆x se aproxima de zero ao ir de a) até c), a
aproximação por diferenças vão se convirtendo em uma
derivada
Definição matemática de derivada
◮
Começa com uma aproximação por diferenças
∆y
f (xi + ∆x) − f (xi )
=
∆x
∆x
◮
y e f (x) são representações alternativas da variável
dependente e x é a variável independente
(1)
Primeira derivada
◮
Se ∆x aproxima de zero, como mostra a Figura de a) até c)
◮
O quociente das diferenças se converte em uma derivada
f (xi + ∆x) − f (xi )
dy
= lim
∆x→0
dx
∆x
◮
onde dy /dx, denotada por y ′ ou f ′ (xi ), é a primeira derivada
de y em relação a x calculada em xi
◮
Como mostrado na Figura, a derivada é a inclinação da
tangente à curva em xi
Integração
◮
O proceso inverso da diferenciação é a integração
◮
Integrar significa juntar partes em um todo, unir, indicar a
qantidade total ...
Integração, matematicamente
I =
Z
b
f (x)dx
a
◮
Que representa a integral da função f (x) em relação a
variável independente x
◮
Calculada entre os limites x = a e x = b
◮
A função f (x) na Equação (2) se chama integrando
(2)
Total da soma
◮
◮
A Equação (2) é o total da soma ou o valor de f (x)dx ao
longo do intervalo de x = a e x = b
R
O sı́mbolo é uma letra S estilizada antiga que representa a
estreita relação entre integração e somatório
Figura 2 - integral definida
◮
◮
Representação gráfica da integral de f (x) entre os limites
x =aex =b
A integral é equivalente a área abaixo da curva
Área sob a curva
◮
A Figura 2 representa uma manifestação gráfica do conceito
◮
Para funções que estão acima do eixo x, a integral, expressa
pela Equação (2) corresponde a área abaixo da curva de f (x)
entre x = a e x = b
Relação entre diferenciação e integração
◮
A distinção ou discriminação da diferenciação e o juntar da
integral são processos relacionados
◮
De fato, inversamente relacionados
Diferenciação
◮
Se temos uma função dada y (t) que especifı́ca a posição de
um objeto em função do tempo
◮
A diferenciação é um meio de determinar sua velocidade
v (t) =
d
y (t)
dt
Integração
◮
De manera inversa, se temos a velocidade como uma função
do tempo, a integração determina sua posição
Z t
v (t)dt
y (t) =
0
◮
De maneira geral, o cálculo da integral
I =
◮
Z
b
f (t)dx
a
É equivalente a resolver a equação diferencial
dy
= f (x)
dx
◮
Para y (b) dada a condição inicial y (a) = 0
◮
A função ser a diferenciada ou integrada deve estar em uma
das siguientes três formas:
1. Uma função contı́nua simples como um polinômio, uma função
exponencial ou uma função trigonométrica
2. Uma função contı́nua complicada que é difı́cil ou imposı́vel de
diferenciar ou integrar diretamente
3. Uma função tabulada onde os valores de x e f (x) são dados de
um conjunto discreto de pontos, como dados experimentais de
campo
No primeiro caso
◮
A derivada ou a integral da função simples é feita
analı́ticamente usando o cálculo
No segunda caso
◮
As soluções analı́ticas não são fáceis e as vezes são
impossı́veis de obter
◮
Nesse caso, como no terceiro caso de dados discretos, deve
ser usados métodos aproximados
Diferenciação gráfica
◮
Um método sem computador para determinar as derivadas a
partir de dados é conhecido como diferenciação gráfica por
áreas iguais
◮
Os dados (x, y ) são tabulados e, para cada intervalo,
emprega-se uma diferença dividida simples ∆y /∆x para
estimar a inclinação (declive)
◮
Os valores são representados como uma curva em degraus
contra x (Figura 4)
◮
É uma curva suave para aproximar a área sob a curva é então
desenhada
◮
É desenhada de modo que as áreas positivas e negativas são
equilibradas visualmente
◮
As razões para determinados valores de x pode ser lido a
partir da curva
Figura 3 - diferenciação por áreas iguais
Diferenciação por áreas iguais
a) Usamos as diferenças divididas centradas para estimar a
derivada em cada intervalo entre os dados
b) As estimativas da derivada são representadas na forma de
gráfico de barras
◮
◮
Superpomos uma curva suave sobre este gráfico para
aproximar a área debaixo do gráfico de barras
Isso é feito traçando a curva tal que as áreas iguais positivas e
negativas sejam equilibradas
c) Então, é possı́vel ler os valores de dy /dx da curva suave
Integração por áreas
◮
Podemos usar procedimentos visuais orientados para integrar
dados tabulados e funções complicadas
◮
Um procedimento intuitivo simples consiste em desenhar o
gráfico da função sobre uma quadrı́cula (Figura 5) e contar o
número de cuadros que se aproximam da área
◮
Este número multiplicado pela área de cada quadro
proporciona uma estimativa aproximada da área total sob a
curva
◮
Esta estimativa pode ser melhorada com uma grelha cada vez
mais fina
Figura 4 - uso de quadros para aproximar uma integral
Segmentos verticais
◮
Divisão da área em segmentos verticais ou barras, com um a
altura igual ao valor da função no ponto médio de cada barra
( Figura 5)
◮
A área dos retángulos são calculadas e é feita a soma para
estimar a área total
◮
Supõe-se que o valor no ponto médio da barra oferece uma
aproximação válida da altura por meio da função em cada
barra
◮
É possı́vel melhorar as estimações usando mais barras (e em
consequêcia mais finas) para aproximar da integral
Figura 5 - segmentos
Emprego da diferenciação
◮
A diferenciação é comum em engenharia devido a análise das
mudanças de variáveis, tanto no tempo como no espaço
◮
Muitas leis e outras generalizações que aparecem
constantemente baseiam-se na maneira previsı́vel que a
mudança se manifesta no mundo fı́sico
◮
Um exemplo importante é a segunda lei de Newton, que não é
expressa em termos da posição de um objeto, mas sim sobre a
alteração do posição em relação ao tempo 1
1
A força resultante sobre um corpo é igual ao produto da massa pela
aceleração.
Fluxo de calor
◮
Além deste exemplo que envolve tempo, inúmeras leis que
regem a comportamento das variáveis no espaço são expressos
em termos de derivadas
◮
Entre as mais comuns são as leis que consideram potencial ou
gradientes
◮
Por exemplo, a lei de Fourier da condução de calor quantifica
a observação de que o calor flui de regiões de maior a menor
temperatura
◮
No caso unidimensional, é expresa na forma matemática como
Fluxo de calor = −k ′
dT
dx
Derivada como medida
◮
A derivada proporciona uma medida da intensidade da troca
de temperatura, ou gradiente, que ocasiona a transferência de
calor
◮
Leis similares proporcionam modelos práticos em muitas áreas
da engenharia, entre eles incluem o modelo da dinamica dos
fluidos, a transferência de massa, a cinética das reações
quı́micas e o fluxo electromagnético
◮
A habilidade para estimar de maneira exata as derivadas é
uma qualidade importante da nossa capacidade para trabalhar
de maneira eficiente nestas áreas
Cálculo de áreas
◮
O cálculo das integrales é igualmente importante
◮
Vários exemplos relacionados diretamente com a idea da
integral como a área sob a curva
◮
A Figura 6 ilustra alguns casos onde é usada a integração com
este propósito
Figura 6 - integral para o cálculo de áreas
a) Um topógrafo pode saber a área de um campo por uma
corrente limitada e dois percursos em ziguezague
b) Um engenheiro em hidráulica pode conhecer a área da seção
transversal de um rio
c) Um engenheiro em estrutura pode determinar a força exercida
por vento não uniforme que sopra contra um lado de um
prédio
Aplicações da integral
a) Um topógrafo pode precisar de saber a área de um campo por
uma corrente limitada e dois percursos em ziguezague
b) Um engenheiro em hidráulica precisa conhecer a área da seção
transversal de um rio
c) Um engenheiro em estrutura pode determinar a força exercida
por vento não uniforme que sopra contra um lado de um
prédio
Fórmulas de integração de
Newton-Cotes ou regras de
quadratura de Newon-Cotes
Fórmulas de integração de Newton-Cotes
◮
As fórmulas de Newton-Cotes são os tipos de integração
numérica mais comuns
◮
Se baseam na estratégia de substituir uma função complicada
ou dados tabulados por um polinômio de aproximação que é
fácil de integrar:
Z b
f (x)dx
(3)
I =
a
◮
onde fn (x) = um polinômio da forma
fn (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 x n−1 + an x n , n é o grau do
polinômio
Figura 7 - segmentos
◮
A integral também pode ser aproximada através de um
conjunto de polinomios seccionalmente aplicados a dados ou a
função por segmentos de comprimento constante
Formas fechadas e abertas
◮
Existen formas fechadas e abertas das fórmulas de
Newton-Cotes
◮
As formas fechadas são aquelas onde se conhecem os dados
do inicio e ao final dos limites de integração (Figura 8a)
◮
As formas abertas tem limites de integração que se extendem
além do intervalo dos dados (Figura 8b), são similares a
extrapolação
◮
No geral, as formas abertas de Newton-Cotes não são usadas
para integração definida
◮
São usadas para integrais impróprias e para a solução de
equações diferenciais ordinárias
Figura 8 - formas abertas e fechadas
◮
Diferença entre as fórmulas de integração a) fechadas e b)
aberta
Regra do trapézio
Regra do trapézio
◮
A regra do trapézio é a primera das fórmulas fechadas de
integração de Newton- Cotes
◮
Corresponde ao caso onde o polinômio da Equação (3) é de
primeiro grau
Z b
f (x)dx ≈ f1 (x)dx
I =
a
Área sob a reta
◮
Já vimos que uma reta pode ser representada por
f1 (x) = f (a) +
◮
Z
b
a
f (b) − f (a)
f (a) +
(x − a) dx
b−a
O resultado da integração é
I = (b − a)
◮
(4)
A área abaixo desta reta é uma aproximação da integral de
f (x) entre os limites a e b
I =
◮
f (b) − f (a)
(x − a)
b−a
f (a) + f (b)
2
Que é chamda regra do trapézio
(5)
Como é obtida a regra do
trapézio
Como obter a regra do trapézio
◮
Antes da integração, a equação (4) pode ser escrita como
f1 (x) =
af (b) − af (a)
f (b) − f (a)
x + f (a) −
b−a
b−a
Como obter a regra do trapézio, cont.
◮
Agrupando os últimos termos
f1 (x) =
◮
bf (a) − af (a) − af (b) + af (a)
f (b) − f (a)
x+
b−a
b−a
ou
f (b) − f (a)
bf (a) − af (b)
x+
b−a
b−a
Que pode ser integrada entre x = a e x = b para obter
f1 (x) =
◮
I =
f (b) − f (a) x 2 bf (a) − af (b) b
+
x
a
b−a
2
b−a
Como obter a regra do trapézio, cont.
◮
Este resultado é calculado para dar
I =
◮
f (b) − f (a) 2
bf (a) − af (b)
(b − a2 ) +
(b − a)
b−a
b−a
Como b 2 − a2 = (b − a)(b + a)
I = [f (b) − f (a)]
◮
a+b
+ bf (a) − af (b)
2
Multiplicando e agrupando termos, temos
I = (b − a)
◮
f (a) + f (b)
2
Que a fórmula para a regra do trapézio
Significado da regra do trapézio
◮
Geometricamente, a regra do trapézio é equivalente a
aproximar a area do trapézio abaixo da reta que une f (a) e
f (b) na Figura 9
◮
A integral aproximada é representada como
I ≈ largura × altura média
(6)
Figura 9 - representação gráfica da regra do trapézio
Figura 10 - representação gráfica da regra do trapézio
a) A fórmula para calcular a área de um trapezóide: altura pela
média das bases
b) Para a regra do trapézio, o conceito é o mesmo mas agora o
trapézio está sobre seu lado
◮ ou
I ≈ (b − a) × altura média
(7)
Forma geral de Newton-Cotes
◮
Na regra do trapézio, a altura média é a média dos valores da
função nos pontos extremos, [f (a) + f (b)]/2
◮
Todas as fórmulas fechadas de Newton-Cotes são escritas de
modo geral como na equação (7)
◮
Só diferem na formulação da altura média
Erro da regra do trapézio
◮
Quando usamos a integral abaixo de um segmento de reta
para aproximar a integral abaixo de uma curva temos um erro
que pode ser importante (Figura 11)
◮
Uma estimativa do erro de truncamento local para uma só
aplicação da regra do trapézio é
Ei = −
1 ′′
f (ξ)(b − a)3
12
(8)
◮
ξ está em algum lugar no intervalo [a b]
◮
A equação (8) indica se a função sujeita a integração é linear,
a regra do trapézio será exata
◮
Para funções com derivadas de segunda ordem e de ordem
superior (com curva) pode ocorrer algum erro
Figura 11 - uma aplicação da regra do trapézio
◮
Representação gráfica do emprego de uma só aplicação da
regra do trapézio para aproximar a integral de
f (x) = 0.2 + 25x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5 de x = 0
a 0.8
Como obter o erro da regra do
trapézio
Como obter o erro da regra do trapézio
◮
◮
Uma maneira alternativa para obter a regra do trapézio
consiste em integrar o polinômio de interpolação de
Newton-Gregory
Z b
f ′′ (xi )
dx
I =
f (a) + ∆f (a)α +
2
a
(9)
Para simplificar a análise, considere que se a = (x–a)/h, então
dx = hd α
Como obter o erro da regra do trapézio, cont.
◮
Devido h = b–a (para um segmento da regra do trapézio), os
limites de integração a e b correspondem a 0 e 1,
respectivamente
◮
Logo, a equação (9) é expresa como
Z 1
f ′′ (ξ)α(α − 1)h2
I =h
f (a) + ∆f (a)α +
deα
2
0
◮
Supomos que para uma h pequeno, o termo f ′′ (x) é
aproximadamente constante, então o resultado da integração é
α2
I = h αf (a) +
∆f (a) +
2
α3 α2
−
6
4
′′
f (ξ)h
2
1
0
Como obter o erro da regra do trapézio, cont.
◮
Tomando os limites de integração
I =h=
◮
1
f (a) + f (b)
− f ′′ (ξ)h3
2
12
Como ∆f (a) = f (b) − f (a), o resultado pode ser escrito como
I =h=
|
f (a) + f (b)
−
{z 2
}
Regra do trapézio
◮
1 ′′
f (ξ)h3
12
| {z }
Erro de truncamento
O primeiro termo é a regra do trapézio e o segundo é uma
aproximação para o erro
Aplicação simples da regra de
trapézio
Exemplo 1 - aplicação simples da regra do trapézio
◮
Usando a equação (5) integre numericamente
f (x) = 0.2 + 25x − 200x 2 + 67x 3 − 900x 4 + 400x 5
◮
No intervalo [0, 0.8]
◮
O valor exato da integral determinado de forma analı́tica é
1.640533
Solução
◮
Calcular a função nos limites
f (0) = 0.2
f (0.8) = 0.232
◮
Substituindo na equação (5), temos
I = 0.8
0.2 + 0.232
= 0.1728
2
Solução, cont.
◮
O erro pode ser calculado como
Ei = 1.640533 − 0.1728 = 1.467733
◮
Corresponde a um erro relativo porcentual de ǫi = 89.5%
◮
A razão desse erro tão grande é evidente no gráfico da Figura
11
Solução, cont.
◮
A área sob a reta não leva em conta uma porção significativa
da integral que está acima da reta
◮
Em situações reais, talvez não conhecemos o valor verdadeiro
da integral
◮
Assim, é necessário uma estimativa do erro aproximado
Solução, cont.
◮
Para obter essa estimativa calculamos a segunda derivada da
função no intervalo, derivando duas vezes a função original
f ′′ (x) = −400 + 4050x − 10800x 2 + 8000x 3
◮
O valor médio da segunda derivada é calculado usando a
equação
Média =
′′
f (x) =
◮
R 0.8
0
Rb
a
f (x)dx
b−a
(−400 + 4050x − 10800x 2 + 8000x 3 )dx
= −60
0.8 − 0
Que é equivalente a equação (8) e o resultado é
Ea = −
1
(−60(0.8)3 ) = 2.56
12
Solução, cont.
◮
Ea é da mesma ordem e mesmo sinal do erro verdadero
◮
Existe uma discrepância, uma vez que num intervalo desse
tamanho, a média da segunda derivada não é necessariamente
uma aproximação precisa de f ′′ (x)
◮
Indicamos o erro aproximado pela notação Ea e o valor no
caso exato por Ei
Aplicação múltipla da regra de
trapézio
Aplicação múltipla da regra de trapézio
◮
Uma forma de melhorar a precisão da regra do trapézio
consiste em dividir o intervalo de integração de a até b em
vários segmentos e aplicar o método a cada um dos intervalos
(Figura 12)
◮
As áreas dos segmentos se somam para obter a integral em
todo o intervalo
◮
As equações resultantes se chamam fórmulas de integração de
aplicação múltipla ou compostas
Figura 12 - aplicação múltipla da regra do trapézio
◮
Ilustração da aplicação múltipla da regra do trapézio
a)
b)
c)
d)
dois segmentos
três segmentos
quatro segmentos
cinco segmentos
Figura 13 - formato geral e nomenclatura para integrais de
aplicação múltipla
◮
Existe n + 1 pontos igualmente espaçados (x0 , x1 , x2 , . . . , xn )
n segmentos de mesma largura
◮
Existem n segmentos de mesma largura
h=
◮
b−a
n
(10)
Se a e b são definidos como x0 e xn , respectivamente, a
integral completa é representada como
Z x1
Z x2
Z xn
I =
f (x)dx
f (x)dx +
f (x)dx + . . . +
x0
x1
xn−1
Substituir a regra de cada integral
◮
Substituindo a regra do trapézio em cada integral obtemos
I =h
◮
f (x0 ) + f (x1 )
f (x1 ) + f (x2 )
f (xn−1 ) + f (xn )
+h
+. . .+h
2
2
2
(11)
Ou agrupando os termos
#
"
n=1
X
h
f (x1 ) + f (xn )
I =
f (x0 ) + 2
2
(12)
i =1
◮
Ou usando a equação (10) para expressar a equação (12) na
forma geral da equação (7)
f (x0 ) + 2
I = (b − a)
| {z } |
Largura
Pn=1
i =1
2n
{z
f (xi ) + f (xn )
Altura média
}
(13)
Divisão por 2n
◮
Como o somatório dos coeficientes de f (x) no numerador
dividido entre 2n é igual a 1
◮
A altura média representa uma média ponderada dos valores
da função
◮
De acordo com a equação (13), aos pontos interiores são
dadas duas vezes o peso que aos dois pontos extremos f (x0 ) e
f (xn )
Adição de erro
◮
Tem um erro com a regra trapézio para múltiplas aplicações,
adicionando os erros individuais de cada segmento
Et = −
n
(b − a)3 X ′′
f (ξi )
12n3
(14)
i =1
◮
◮
◮
Onde f ′′ (xi ) é a segunda derivada num ponto xi , localizado
no segmento i
Este resultado é simplificado ao estimar a média ou valor
médio da segunda derivada em todo o intervalo como
Pn
f ′′ (ξi )
′′
¯
f ≈ i =1
(15)
n
P ′′
Logo,
f (ξi ) ≈ nf¯′′ e a equação (14) é reescrita como
Ea =
(b − a)2 ¯′′
f
12n2
(16)
Erro dividido por quatro
◮
Assim, se o número de segmentos é duplicado
◮
O erro de truncamento é dividido por quatro
◮
Observe que a equação (16) é um erro aproximado devido a
natureza aproximada da equação (15)
Exemplo 2 - aplicação múltipla da regra do trapézio
◮
Use a regra do trapézio com dois segmentos para estimar
f (x) = 0.2 + 25x–200x 2 + 675x 3 –900x 4 + 400x 5
◮
No intervalo [a = 0 b = 0.8]
◮
Use a equação (16) para estimar o erro
◮
O valor correto para a integral é 1.640533
Solução
◮
n = 2(h = 0.4)
◮
f (0) = 0.2 f (0.4) = 2.456 f (0.8) = 0.232
◮
= 1.0688
I = 0.8 0.2+2(2.456)+0.232
4
◮
Et = 1.640533–1.0688 = 0.57173, Ea = 34.9%
◮
0.8
Ea = − 12(2)
2 (−60) = 0.64
3
◮
Onde –60 é a média da segunda derivada, determinada
anteriormente no Exemplo 1
Algoritmo regra do trapézio
◮
Portugol
◮
Função f (x) = 0.2 + 25 ∗ x
−200 ∗ x 2 + 675 ∗ x 3 − 900 ∗ x 4 + 400 ∗ x 5 ;
◮
Execução i = tpzC (′ f 1′ , 0, 0.8, 2)
◮
Resultado i = 1.0688