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OLIM
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D
GIONAL DE M
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EM
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
XVI OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA
PET – MATEMÁTICA
A
SA
NT
A
CATARINA - U
FS
C
Gabarito 5 – 1 a fase de 2013
Nível 1
1. (Alternativa B)Devem ser somados, no mínimo, 70 números atraentes para obter 2012. Podemos escrever
2012 = 63 × 31 + 4 × 13 + 2 × 3 + 1 × 1 onde vemos 63 + 4 + 2 + 1 = 70 números atraentes em sua soma.
2. (Alternativa E) Note que há 12 números consecutivos marcados por pontos na reta. Se iniciarmos com
o 94 no primeiro ponto, teremos dois múltiplos de 4 marcados com balõezinhos (o 96 e o 100). O mesmo
ocorre quando iniciamos com o 95 (aí o 96 e o 104 ficam marcados com balõezinhos), com 96 (aí o 96 e o
100 ficam marcados), com o 98 (aí é o 100 e o 104), com o 99 (aí é o 100 e o 108) e o 100 (aí é o 100 e
o 104 que ficam marcados). A única opção é iniciar com o 97 para termos três múltiplos de 4 marcados
com balõezinhos (nesse caso os múltiplos marcados são o 100, o 104 e o 108). E nesse caso, o maior dos
números indicados é o 108.
3. (Alternativa D)Um prego, três parafusos e dois ganchos pesam 24g. Portanto, 12 pregos, 36 parafusos
e 24 ganchos pesam 12 × 24 = 288g. Agora, dois pregos, cinco parafusos e quatro ganchos pesam 44g.
Portanto 12 pregos, 30 parafusos e 24 ganchos pesam 6 × 44 = 264g. Assim, 36 − 30 = 6 parafusos pesam
24
288 − 264 = 24g, ou seja, cada parafuso pesa
= 4g. Juquinha comprou 12 pregos, 30 + 2 = 32 parafusos
6
e 24 ganchos. Portanto o peso da sua compra foi de 264 + 2 × 4 = 264 + 8 = 272g.
M2 × A × T × E
M2 × E
=
.
A2 × T × I × C
A×I ×C
Para que essa expressão tenha o maior valor, o numerador deve ser formado pelos maiores dígitos (com M
> E) e o denominador deve ser formado pelos menores. Logo, M = 9, E = 8 e A.I.C = 3.2.1. Portanto, a
92 × 8
81 × 8
expressão resulta em
=
=108 .
1×2×3
6
4. (Alternativa C)Como letras iguais representam dígitos iguais, temos:
5. (Alternativa B)) A área total do terreno é a área do retângulo de lados 160m e 120m menos a área do
retângulo de lados 50m e 60m, ou seja, 16200m2 . Portanto, a área do terreno FEDCP deve valer metade,
ou seja, 8100m2 .Portanto, devemos ter que a área do triângulo FPC mais a área do trapézio FEDC é igual
160 + 60
a 8100m2 . A área do trapézio FEDC é igual a
· 70 = 7700m2 . Portanto a área do triângulo FPC
2
F B × 100
será igual a 8100 − 7700 = 400m2 , ou seja,
= 400 ou FP=8m.
2
6. (Alternativa B)Se 20% das famílias não têm nem gato nem cachorro, então 80% das famílias têm algum
1
tipo de animal. Se 20% das famílias que têm gatos também têm cachorros, então
das famílias que
5
1
têm gatos também têm cachorros. Se 25% das famílias que têm cachorros também têm gatos, então
4
1
das famílias que têm cachorros também têm gatos. Portanto, das famílias que têm gatos corresponde
5
1
3
a
das famílias que têm cachorros. Assim,
das famílias que têm cachorros só têm cachorros, e essa
4
4
3
quantidade corresponde
das famílias que têm gatos. Portanto a quantidade de famílias que possuem
5
3
algum animal corresponde à quantidade de famílias que possuem gatos mais dessa quantidade, o que
5
3
8
nos dá 1 +
=
das famílias que possuem gatos. Ora, essa fração corresponde a 80% de todas as
5
5
1
famílias. Portanto das famílias que têm gatos(que é a quantidade de famílias que possuem os dois tipos
5
1
de animais) corresponde a de 80% do total de famílias, ou seja, a 10% do total de famílias.
8
7. (Alternativa B)Juntando-se todas as mesas o formato da mesa maior é de um triângulo. Como deve
haver um buraco no meio, esse buraco também é retangular. Sem perda de generalidade, podemos supor
que os lados das mesinhas menores medem 1 e, sendo assim, o perímetro externo da mesa maior deve
ser 34 (as 4 mesas do canto contribuem com 2 lados cada). Para que haja um buraco no meio a menor
dimensão da mesa maior deve ser maior ou igual a 3(veja o exemplo). Como o perímetro é sempre 34, o
semi-perímetro é 17, que é a soma das duas dimensões (ou lados) da mesa maior. A tabela abaixo fornece
as possibilidades para essas dimensões:
Logo são 6 maneiras diferentes da professora arrumar as 30 mesinhas.
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