Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A II
1 – ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
Circunferência é o conjunto de pontos
que está a uma mesma distância (chamaremos essa
distância de raio) de um ponto fixo (chamaremos de
centro da circunferência). Na prática:
Observação MUITO importante: (aprenda muito bem
porque isso cai MUITO nos vestibulares):
Toda reta tangente a uma circunferência é
perpendicular ao raio no ponto de tangência. Em uma
figura:
O
R
Figura 1 – circunferência de centro
Reta tangente: Uma reta tangente a uma
circunferência é uma reta que intercepta a
circunferência em um único ponto . Este ponto é
conhecido como ponto de tangência ou ponto de
contato.
e raio
Na figura 1, todos os pontos da curva pontos
estão à mesma distância
do centro
da
circunferência.
Teremos especial interesse no cálculo da área
do círculo e do perímetro da circunferência, dados por
as seguintes fórmulas:
Lembrando agora algumas retas e segmentos
especiais que possuem relação com a circunferência
:
Figura 3 – retas tangentes à circunferência
Temos aqui retas tangentes em dois pontos:
e .Note que em ambos, a tangente é perpendicular ao
raio
que liga o ponto de tangência ao centro da
circunferência.
Observação:
Imagine uma corda
da circunferência. Caso
baixemos um perpendicular à corda
passando pelo
centro da circunferência, encontraremos o ponto .
Este ponto será tal que
.
Figura 4 – perpendicular à corda
da circunferência
Figura 2 – circunferência e retas e segmentos especiais
2 – ÂNGULOS
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento
de reta cujas extremidades pertencem à circunferência
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência é uma
corda que passa pelo centro da circunferência.
Observamos que o diâmetro é a maior corda da
circunferência e vale o dobro do raio
Reta secante: Uma reta é secante a uma
circunferência se essa reta intercepta a circunferência
em dois pontos quaisquer.
CASD Vestibulares
Depois de aprender a medir comprimentos,
áreas e volumes na aula passada, vamos ver como
medir e calcular algo que você tem que dominar muito
bem: ângulos.
Ângulo nada mais é que a abertura entre duas
retas. Geralmente eles são medidos em graus ou em
radianos. Uma volta completa tem
ou
radianos.
Geometria
1
2.1 Classificação quanto à medida
2.2 Classificação quanto à soma
Ângulo agudo: É aquele que tem medida menor que
Dois ângulos são complementares quando
somam
. Nesse caso, dizemos que um é o
complemento do outro. Exemplos:
e
,
e
.
Figura 5 – ângulo agudo
Ângulo reto: É aquele que tem medida igual a
Figura 10 – dois ângulos complementares
Dois ângulos são suplementares quando
somam
. Nesse caso, dizemos que um é o
suplemento do outro. Exemplos:
e
,
e
.
Figura 6 – ângulo reto
Ângulo obtuso: É aquele que tem medida maior que
Figura 11 – dois ângulos suplementares
Figura 7 – ângulo obtuso
Ângulo raso ou de meia volta: É aquele que
representa meia volta de uma circunferência e vale
.
Dois ângulos são replementares quando
somam
. Dizemos que um é o suplemento do
outro. Exemplos:
e
,
e
Figura 8 – ângulo raso
Figura 12 – dois ângulos replementares
Agora bastante atenção para a próxima
definição. Será algo utilizado exaustivamente durante o
ano.
3 – CONVERSÃO DE UNIDADES
A unidade de medida mais comum e mais
importante é o grau. Ele pode ser definido da seguinte
forma:
Ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.)
Definição: o grau (º) é o ângulo cuja medida é
de uma volta completa (uma circunferência).
Figura 9 – ângulo opostos pelo vértice
possui
Ângulos opostos pelo vértice, como na figura
acima, sempre possuem mesma medida.
Da definição, tem-se que uma circunferência
. Assim, uma semicircunferência possui
e um quarto de circunferência possui
.
No entanto, o grau não é a única unidade de
ângulos. Outra unidade que é bastante utilizada
(principalmente em trigonometria) é o radiano (rad). E
como vamos saber quantos radianos um ângulo tem?
Para saber isso, temos que dividir o comprimento do
arco que o ângulo determina em uma circunferência
pelo raio da circunferência. Observe os exemplos:
2
Geometria
CASD Vestibulares
 Um ângulo de
determina um arco de uma
volta completa em uma circunferência. Se o raio da
circunferência é , o comprimento do arco de uma
volta completa é
. Dividindo esse comprimento pelo
comprimento do raio, chegamos ao número . Logo
um ângulo de
possui
radianos.
 Um
ângulo
de
determina
uma
semicircunferência em uma circunferência. Se o raio da
circunferência
é
,
o
comprimento
da
semicircunferência é
. Dividindo esse comprimento
pelo comprimento do raio, chegamos ao número .
Logo um ângulo de
possui radianos.
Exercício Resolvido 1:
Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana II
Resolução:
Sejam
o centro e
o raio
semicircunferência ̂ . Logo
. Como
, tem-se que
Então a figura do problema é a seguinte:
da
.
 Um ângulo de
determina um arco de um quarto
de circunferência em uma circunferência. Se o raio da
circunferência é , o comprimento de um quarto de
circunferência é . Dividindo esse comprimento pelo
comprimento
um ângulo de
do raio, chegamos ao número . Logo
possui
radianos.
Observe que sempre que dividimos a medida
de um ângulo em graus é diretamente proporcional à
medida do mesmo ângulo em radianos. Além disso,
observe que 1 semicircunferência
e
1 semicircunferência
. Logo:
Figura 13 – figura do exercício resolvido 1
A relação acima é muito importante quando
queremos converter graus em radianos e vice-versa.
3.1 Submúltiplos do grau
Como
( )
é um quadrado de lado
, a sua área
. Além disso, como a área de um círculo
, a área do semicírculo da figura
. Logo, a área total do canteiro é
área do quadrado mais a área do semicírculo:
é
é
é
a
Nós acabamos de ver que o grau é
de uma
circunferência. Agora, vamos conhecer os submúltiplos
do grau, que são ainda menores do que ele!
Minuto: 1 minuto ( ) é de um grau, ou seja, 1
grau equivale a 60 minutos. Portanto, pode-se dizer
que
Além disso, a área do canteiro é
. Então:
Segundo: 1 segundo ( ) é de um minuto, ou
seja, 1 minuto equivale a 60 segundos. Portanto, podese dizer que
Resposta: Alternativa E
Agora podemos falar que um ângulo pode
medir
(que precisão!). Note que não é
correto dizer que um ângulo vale
: como temos
mais de 60 minutos, devemos dividir o total de minutos
por 60, converter o excesso de minutos em graus, de
modo a sobrar apenas o resto. Observe:
Assim:
CASD Vestibulares
Exercício Resolvido 2:
Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana II
Resolução:
voltas
voltas
voltas
Resposta: Alternativa B
Geometria
3
Exercício Resolvido 3:
Determine o valor de
abaixo:
e
Exercício Resolvido 5:
de acordo com a figura
Converta
em radianos.
Resolução:
Aplicando uma regra de três simples, tem-se que:
Logo:
Figura 14 – figura do exercício resolvido 3
Resolução:
Resposta:
e
são ângulos opostos pelo
vértice, logo são iguais. Então, temos:
equivale a
Exercício Resolvido 6:
Converta
em graus.
Resolução:
e
são ângulos suplementares, logo a soma
. Então, temos:
deles é
(
)
(
Aplicando uma regra de três simples, tem-se que:
)
Logo:
Resposta:
e
Exercício Resolvido 4:
Resposta:
Qual é o ângulo cujo suplemento excede de
quádruplo do seu complemento?
o
.
Exercício Resolvido 7:
Expresse
Resolução:
equivale a
na maneira correta
Resolução:
Esta questão à primeira vista parece um pouco
confusa, mas ela fica bem bacana depois que você
organiza os dados. Vamos lá:
Seja
Para expressar
na maneira correta,
os números nas casas dos minutos e dos segundos
devem ser menores que 60. Então:
o ângulo que queremos descobrir.Logo:
Vamos converter o excesso de segundos:
Suplemento de :
Complemento de :
Quádruplo do complemento de : (
(
)
Vamos converter o excesso de minutos:
Agora, de acordo com o enunciado, o
suplemento de excede de
(isto é, tem um excesso
de
) o quádruplo do seu complemento.
Matematicamente falando:
(
(
)
)
Resposta:
.
Resposta: o ângulo cujo suplemento excede de
quádruplo do seu complemento é
4
)
expresso na maneira correta é
o
Geometria
CASD Vestibulares
8. Atividade Proposta nº 3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Os exercícios abaixo (quando indicados por “Atividade
Proposta nº ...”) referem-se às Atividades Propostas do
capítulo Geometria Plana II
9. Determine a medida do ângulo igual ao triplo do seu
complemento.
Nível I
a)
d)
1. Atividade Proposta nº 5
b)
c)
d)
e)
3. (UFTM - 11) O maior relógio de torre de toda a
Europa é o da Igreja St. Peter, na cidade de Zurique,
Suíça, que foi construído durante uma reforma do
local, em 1970.
(O Estado de S.Paulo. Adaptado.)
O mostrador desse relógio tem formato circular, e o
seu ponteiro dos minutos mede
. Considerando
, a distância que a extremidade desse ponteiro
percorre durante
minutos é, aproximadamente,
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
a)
c)
f)
e)
b)
c)
d)
Nível II
12. Você tem dois pedaços de arame de mesmo
comprimento e pequena espessura. Um deles você
usa para formar o círculo da figura I, e o outro você
corta em partes iguais para formar os três círculos da
figura II.
Se é a área do círculo maior e é a área de um dos
círculos menores, a relação entre e é dada por:
a)
4. (UFC - 04) Na figura ao lado, a razão entre o
perímetro da região hachurada e o perímetro da
circunferência é:
a)
b)
e)
11. Exprima os ângulos abaixo em graus:
2. (UFPB - 07)
Um ciclista, para vencer uma
competição, percorreu
em uma bicicleta com
rodas de raio
(incluindo o pneu). O número de
voltas completas que cada roda da bicicleta deu, para
percorrer essa distância, foi: (use
)
a)
10. Exprima em radianos os seguintes ângulos:
b)
c)
d)
e)
13. (UFV - 99) Aumentando-se
no raio de uma
circunferência,
o
comprimento
e
a
área,
respectivamente, aumentam:
a)
b)
c)
d)
e)
e (
e(
e(
e(
e(
)
)
)
)
)
14. Calcule o ângulo
abaixo
a)
5. Atividade Proposta nº 2
6. Atividade Proposta nº 10
7. Determine
a)
nos casos abaixo:
b)
b)
c)
15. Atividade Proposta nº 1
CASD Vestibulares
Geometria
5
16. A razão entre dois ângulos suplementares é igual a
⁄ . Determine o complemento do menor.
17. O complemento da terça parte de um ângulo
excede o complemento desse ângulo em
.
Determine o ângulo.
6. Note que o diâmetro do semicírculo é
, logo o
seu raio é
. Assim, a altura do retângulo é
. Agora some a área do retângulo com
a área do semicírculo (a área do semicírculo é metade
da área do círculo)
7.a) Note que
7.b) Note que (
)
18. Exprima em radianos os seguintes ângulos:
(
7.c) Note que
a)
f)
b)
g)
c)
d)
h)
e)
i)
8. Um ângulo de
possui
. Dividindo
por
, o quociente é e o
resto é
. Logo a pizza é dividida em
fatias
idênticas de
e a fatia menor mede
j)
19. Exprima os ângulos abaixo em graus:
9. Seja
a)
f)
b)
g)
c)
d)
h)
)
o ângulo que queremos descobrir.Logo:
e)
i)
Complemento de :
Triplo do complemento de : (
j)
)
Como o ângulo é igual ao triplo do seu complemento,
matematicamente falando, tem-se:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
(
1. Comprimento da circunferência (não se esqueça de
que
)
2. Comprimento da circunferência (não se esqueça de
que
)
3. Comprimento da circunferência (não se esqueça de
que o ponteiro dos minutos dá uma volta completa em
, logo ele dá
de volta em
)
4. Seja o raio da circunferência. A região hachurada
corresponde a dois pedaços, cada um sendo igual a
de um círculo. Note que o contorno de cada
pedaço é formado por dois segmentos retos (cada um
igual a ) e um arco de
de circunferência (de
comprimento
). Assim, o perímetro de cada
pedaço é:
)
10. Conversão de graus para radianos
11. Conversão de radianos para graus
12. O perímetro do círculo grande é o triplo do
perímetro de um dos círculos pequenos, logo o raio do
círculo grande é o triplo do raio de um dos círculos
pequenos.
13. Sejam
o comprimento da primeira circunferência
e
a área do primeiro círculo. Então, tem-se:
Aumentando-se
no raio , formou-se uma nova
(
) e um
circunferência de comprimento
(
)
novo círculo de área
O aumento do comprimento é:
(
Como a região hachurada é formada por dois pedaços,
o perímetro da região hachurada é:
)
O aumento da área é:
(
)
(
)
(
Como o perímetro da circunferência é
, a razão
entre o perímetro da região hachurada e o perímetro
da circunferência é
(
)
5. Diferença entre a área do quadrado e a área dos
círculos (não se esqueça de que o diâmetro é o dobro
do raio)
6
14. a) Note que
e
vértice, logo
e são suplementares, logo (
)
são opostos pelo
. Além disso,
)
14. b) Note que
e
são opostos, pelo
vértice, logo
. Além disso,
e
) (
)
são suplementares, logo (
. Resolva o sistema e calcule e . Finalmente,
note que
e
são opostos pelo vértice, logo
Geometria
CASD Vestibulares
15. Como o diâmetro da circunferência é
, o seu
raio é
e o seu comprimento é
.
̂
Dividindo o comprimento do menor arco
pelo
comprimento da circunferência, tem-se que:
GABARITO
1. B
2. B
3. B
Logo o menor arco ̂ corresponde a
do
comprimento da circunferência, correspondendo a um
ângulo de
. Como o menor arco ̂ e o
̂
menor arco
juntos formam uma semicircunferência
(que corresponde a um ângulo de
), o
menor arco ̂ corresponde a um ângulo de
. Assim, como o ângulo do setor é dobro
do ângulo do setor , o setor representa o dobro de
eleitores do setor , num total de
eleitores
5. B
6. B
7. a)
b)
c)
8. C
9. O ângulo é
16. Seja
um dos ângulos.Logo o outro ângulo é
. Como a razão entre eles é
,
matematicamente falando, tem-se:
(
4. D
10. a)
b)
d)
)
c)
e)
11. a)
f)
b)
c)
d)
12. C
Assim, o primeiro ângulo é
e o segundo ângulo
é
. Assim, o menor
ângulo é
e o seu complemento é
13. B
17. Seja
15. C
o ângulo que queremos descobrir.Logo:
14. a)
b)
16. O complemento do menor ângulo é
Complemento de :
Terça parte de :
17. O ângulo é
Complemento da terça parte:
18. a)
Agora, de acordo com o enunciado, o
complemento da terça parte de excede de
(isto é,
tem um excesso de
) o complemento de .
Matematicamente falando:
e)
f)
i)
j)
19. a)
18. Conversão de graus para radianos
b)
f)
b)
g)
c)
d)
g)
c)
h)
h)
d)
i)
e)
j)
19. Conversão de radianos para graus
CASD Vestibulares
Geometria
7