Curso
Itaipu
2ª Parte
Prof. Pacher
Data de impressão:15/05/2006
Matemática
Aprovada Receita Federal 2002-2
4º Lugar em Aduana
ADRIANA KINDERMANN SPECK
9ª Região Fiscal
Itaipu
Prof. Pacher
Matemática
SISTEMA LEGAL MEDIDAS E EQUIVALÊNCIAS
UNIDADES DE TEMPO
12
1 1ano =
meses
1 mês
2
3
4
5
6
7
8
=
30dias
*
1 dia
=
24 horas
1 hora
=
60 min
1 min
=
60 s
* 1 ano comercial tem 360 dias, e mês com 30 dias
1 ano civil tem 365 dias, e mês com o número de dias do calendário
1 ano civil bissexto tem 366 dias, e mês com o números de dias do calendário
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE COMPRIMENTO
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE ÁREA
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
÷ 100 ← ÷ 100 ← ÷ 100 ← ÷ 100 ← ÷ 100 ← ÷ 100 ←
→ × 100 → × 100 → × 100 → × 100 → × 100 → × 100
mm2
÷ 100 ←
→ × 100
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE VOLUME
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
÷
1000 ÷
1000 ÷
1000 ÷
1000 ÷
1000
÷ 1000 ←
÷ 1000 ←
←
←
←
←
←
→
× →
× →
× →
× →
×
→ × 1000
→ × 1000
1000
1000
1000
1000
1000
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE CAPACIDADE
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
EQUIVALENCIA ENTRE: VOLUME E CAPACIDADE
1 dm3
1 litro
1 000 cm3
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ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE MASSA
kg
hg
dag
g
dg
cg
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
÷ 10 ←
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
→ × 10
mg
÷ 10 ←
→ × 10
MEDIDAS DE ÂNGULOS
Símbolos
1 Graus º
Minutos ’
Segundos ’’
2 Um giro completo na circunferência tem 360º e um ângulo reto
90º
3
4
1º
=
60’
1’
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Seu José produziu 10 litros de licor de
cupuaçu e vai encher 12 garrafas de 750 ml
para vende na feira. Não havendo desperdício,
quantos litros de licor sobrarão depois que ele
encher todas as garrafas?
= 60”
02. Um terreno de 1 km2 será dividido em 5
lotes, todos com a mesma área. A área de
cada lote, em m2, será de:
Resolução:
I) Convertendo 1 km2 em m2, veja na escala:
Resolução:
I) Os dados 10 litros e 750 ml não são
compatíveis pela unidade de capacidade,
deveremos converte ambos na mesma
unidade. Usei o procedimento, converter 750
ml para litros, veja na escala:
kl
hl
÷
÷ 10
10
←
←
→
→
×10 ×10
dal
÷
10
←
→
×10
l
÷
10
←
→
×10
0
0,
dl
÷
10
←
→
×10
7
7
cl
÷
10
←
→
×10
5
5
ml
÷
10
←
→
×10
0,
0
Resultando 0,750 litros ou 0,75 litros.
km2
÷100
←
→
×100
1,
1
hm2
÷100
←
→
×100
00
00
dam2
÷100
←
→
×100
00
00
m2
÷100
←
→
×100
00
00,
dm2
÷100
←
→
×100
cm2
÷100
←
→
×100
mm2
÷100
←
→
×100
Resultando 1000 000 m2
II) Dividir a metragem quadrada em 5 partes
iguais
Resposta:
Área 1 lote =
1 000 000
5
= 200 000 m2
II) Encher 12 garrafas com 0,750 litros,
12x0,750 = 9 litros
III) Sobrou para engarrafar
Sobra= 10 – 9 = 1 litro
2
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03. Um médico receitou a João dois
medicamentos. O primeiro deve ser tomado a
cada uma hora e trinta minutos e o segundo a
cada duas horas e trinta minutos. Sabendo que
João começou o tratamento às 7h30min da
manhã, tomando os dois medicamentos ao
mesmo tempo, a que horas da noite ele tomará
os dois medicamentos juntos novamente?
a) às 2
b) b)às 21h30min.
c) às 22h.
d) às 22h30min
e) às 23h
Resolução:
a)
b)
c)
d)
e)
Matemática
56 min
52 min
48 min
43 min
50 min
02. (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o
trabalho decorridos 5/18 de um dia e retornou
à sua casa decorridos 13/16 do mesmo dia.
Permaneceu fora de casa durante um período
de
a) 14 horas e 10 min
b) 13 horas e 50 min
c) 13 horas e 30 min
d) 13 horas e 10 min
e) 12 horas e 50 min
I) Tempo de cada remédio
Remédio 1
Remédio 2
1h 30 min = 90 min
2h 30 min = 150 min
II) Cálculo do mmc ( 90, 150)
90
45
15
5
1
-
150
75
25
25
5
1
2
3
3
5
5
mmc
(90, 150) =
2
2
2x3 x5 = 450 min =
7h 30 min
II) Determinação do horário noturno.
Começou tomando
os dois remédios
às
+
mmc
Próximo
horário
que tomará os dois
+
remédios juntos
mmc
Próximo
horário
que tomará os dois =
remédios juntos
7h
min
30 Da
manhã
7h
min
30
15h
min
00 Da
tarde
7h
min
30
22h
min
30 Da
noite
Resposta: letra D
PRATICANDO
1. Um videocassete começou a gravar um
programa de TV às 17h 35 min e desligou às
18h 23 min porque a fita havia terminado.
Quantos minutos do programa foram
gravados?
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03. (FCC) Certo dia, Jairo comentou com seu
colega Luiz: "Hoje eu trabalhei o equivalente a
4/9 do dia, enquanto você trabalhou apenas o
equivalente a 7/20 do dia."
Com base nessa informação, quanto tempo
Jairo trabalhou a mais que Luiz?
a) 1 h e 50 min
b) 2 h e 16 min
c) 2 h e 48 min
d) 3 h e 14 min
e) 3 h e 36 min
04. Cada bolacha recheada pesa 0,01 Kg.
Essas bolachas são embaladas em pacotes de
20, que são agrupadas em caixas com 100
pacotes. Quantos quilos tem cada caixa ?
a) 2
b) 8
c) 10
d) 20
e) 13
05. Um período de tempo de 500 horas
corresponde exatamente a:
a) 20 dias
b) 20,8 dias
c) 20 dias e 20 horas
d) 20 dias e 22 horas
e) 19 dias e 21 horas
06.(CESGRANRIO) Um terreno de 1 km2 será
dividido em 5 lotes, todos com a mesma área.
A área de cada lote, em m2, será de:
a) 1 000
b) 2 000
c) 20 000
d) 100 000
e) 200 000
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07. (NC.UFPR) Considere as afirmativas
abaixo relativas ao sistema métrico decimal.
I. 25 dm2 = 250 cm2
II. 25 dm2 = 2500 cm2
III. 12 m2 = 120 dm2
IV. 12 m2 = 1200 dm2
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas
verdadeiras.
b) Somente as afirmativas
verdadeiras.
c) Somente as afirmativas
verdadeiras.
d) Somente as afirmativas
verdadeiras.
e) Somente as afirmativas
verdadeiras.
I e II são
I e IV são
II e III são
II e IV são
09. (NC.UFPR) Calcule a massa total de
30.000 folhas de papel em formato 20 cm por
20 cm, sabendo que a especificação de
gramatura desse papel é 75 g/m2.
a) 120 kg
b) 90 kg
c) 60 kg
d) 12 kg
e) 9 kg
10. (FCC) Às 13h 45min iniciei um trabalho. Às
16h 45min já tinha executado 3/4 desse
trabalho. Prosseguindo nesse ritmo, terminarei
meu trabalho às:
a) 17h
b) 17h 15min
c) 17h 30min
d) 17h 45min
e) 18h
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11. (FCC) O tampo de uma mesa tem a forma
de um quadrado, cujo lado mede 120 cm. Se
ele deve ser revestido por um material que
custa R$ 18,50 o metro quadrado, a quantia
mínima a ser desembolsada para se executar
esse serviço é:
a) R$ 26,64
b) R$ 25,86
c) R$ 24,48
d) R$ 22,20
e) R$ 20,16
I e III são
08. (FCC) Num tanque temos 2.000 l de água
e 400 l de óleo. Cada litro de água pesa 1 kg,
enquanto um litro de óleo pesa 0,8 kg. Assim,
o peso total dos 2.400 l do tanque, em
toneladas, é igual a:
a) 0,0232
b) 0,232
c) 2,32
d) 23,2
e) 232
4
Matemática
12. A aluna Viviane da Escola Parque quando
está de férias, costuma bronzear-se uma hora
doze minutos e vinte e cinco segundos,
diariamente. Quantos segundos, ela ficará
exposta aos raios solares, durante três dias?
a) 12.105
b) 13.135
c) 12.035
d) 13.035
e) 12.125
13. A escola “Estrela Azul”, cumprindo uma
das determinações do Ministério da Educação,
ministra 800 horas/aulas para a 4a. Série do
ensino Fundamental. Sabendo-se que o
número máximo de faltas permitidas a um
aluno é de 25% desse total, pergunta-se:
quantas faltas ainda, no máximo, poderia ter o
aluno que já tinha faltado 145 horas/aulas?
a) 200
b) 125
c) 55
d) 65
e) 75
14. A equipe ALFA de alunos do Colégio
Signos, recebeu a tarefa de calcular a área do
campo de futebol do colégio. Sabe-se que o
comprimento é triplo de sua largura, e que
para cercar este campo de formato retangular
com 3 voltas de arame, foram gastos 720m de
arame. Daí, concluímos que o campo tem uma
área de :
a) 2.100 m2
b) 2.500 m2
c) 2.400 m2
d) 2.700 m2
e) 2.800 m2
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15. A jovem aluna Aline sempre gostou de
resolver problemas envolvendo sistema
métrico decimal. Aline sabe que o perímetro de
um determinado triângulo é 0,187m e dois de
seus lados tem 0,51dm e 92mm, logo o
terceiro mede, em centímetros:
a) 3,4
b) 4,4
c) 3,6
d) 4,3
e) 5,4
16.(UNB-CESPE) Na revisão de um livro, o
autor gastou 5h55min para rever o texto,
2h05min para rever a ordem dos exercícios e
4h25min para correção das figuras. O tempo
gasto na revisão foi de:
a) 12h35min
b) 12h30min
c) 12h25min08s
d) 12h15min
e) 12h25min
Matemática
19. (CM) O quintal de Fernanda tem a forma
de um retângulo, com os lados medindo
2,1dam e 3,02dam. Fernanda construiu no
quintal uma piscina que também tem forma de
um retângulo, com seus lados medindo 10m e
4,5m. Então ela resolveu plantar grama em
volta da piscina, em toda área restante do
quintal. Se cada metro quadrado de grama
custa R$0,60, Fernanda gastará para adquirir
a grama necessária, a quantia de:
20. O aluno Luiz é considerado um “bamba” na
matemática. Carlos, seu pai, satisfeito com o
excelente resultado do último bimestre,
resolveu presenteá-lo com uma caixa de
bombons. Mas, pediu que ele utilizasse uma
balança com seus pesos para descobrir quanto
pesava a caixa de bombons em quilos. Luiz,
colocou os pesos nos pratos, conforme a figura
abaixo, equilibrando a balança, e verificou que
a caixa pesa, em Kg:
98dag
17. (NC.UFPR) Uma dona de casa,
procurando
fazer
uso
racional
dos
equipamentos domésticos e do consumo de
água, observou que a freqüência ótima para a
utilização da máquina de lavar roupa é uma
vez em dias alternados. Sabe-se que o
consumo de água dessa máquina é de 150,9
litros em cada vez que é usada. Se essa
freqüência de uso da máquina for cumprida
rigorosamente, o volume de água gasto pela
máquina no mês de abril será de:
a) 22635 litros
b) 2,2635 m3
c) 2414,4 dm3
d) 2112,6 litros
e) 24144 litros
18. Uma sala tem 80dm de comprimento;
0,7dam de largura e 0,05hm de altura. Os
móveis ocupam um vinte avos do volume da
sala e cada pessoa deve dispor de 7m3 de ar
para sua respiração. A quantidade de pessoas
que, nessas condições, podem permanecer na
sala é:
a) 35
b) 36
c) 37
d) 38
e) 30
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Caixa de
135 g
a)
b)
c)
d)
e)
1,5
Kg
126 dg
0,6378
0,6767
0,6766
0,6676
0,6366
21. Quantos copos com capacidade de ¼ de
litro podem ser enchidos com o conteúdo de
uma jarra de 2 ½ litros ?
a) 10
b) 90
c) 8
d) 7
22. Vovô consultou o relógio, pensou um
pouco e disse : Já se passaram 3/8 deste dia
25 de junho. A que horas do dia isso
aconteceu?
a) 8h
b) 9h
c) 11h
d) 15h
e) 24h
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23. Um intervalo
corresponde a :
a) 7 minutos
b) 42minutos
c) 70 minutos
d) 1 hora e 10 min
e) 60 minutos
de
tempo
de
0,7h
primeiro dia; 2
25. (OBM) Uma fazenda retangular que possui
10 km de largura por 20 km de comprimento foi
desapropriada para reforma agrária. Se a
fazenda deve ser dividida para 200 famílias de
modo que todas as famílias recebam a mesma
área, então cada família deve receber:
a) 1 000 000 m2
b) 100 000 m2
c) 5 000 m2
d) 1 000 m2
e) 10 000 m2
26. (OBM) Hoje é sábado. Que dia da semana
será daqui a 99 dias?
a) segunda-feira
b) sábado
c) domingo
d) sexta-feira
e) quinta feira
27. (OBM) Numa certa cidade, o metrô tem
todas suas 12 estações em linha reta. A
distância entre duas estações vizinhas é
sempre a mesma. Sabe-se que a distância
entre a terceira e a sexta estações é igual a 3
300 metros. Qual é o comprimento dessa
linha?
a) 8,4 km
b) 12,1 km
c) 9,9 km
d) 13,2 km
e) 9,075 km
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28. Efetuar a seguinte operação:
7 a 5 m 3 d – 4 a 9 m 8 d, considerando:
a=ano, m=mês e d=dia.
29. Um relógio adiantou 2
24. Um aquário tem a forma de um bloco
retangular, com arestas de 60 cm, 40 cm e 30
cm. Quantos litros de água cabem no aquário
cheio?
a) 720
b) 640
c) 130
d) 72
e) 13
6
Matemática
1
3
1
2
minutos
no
minutos no segundo dia e 2
1
6
minutos no terceiro dia. Determine quanto
adiantou no total, nos três dias.
30. (CESGRANRIO) Seu José produziu 10
litros de licor de cupuaçu e vai encher 12
garrafas de 750 ml para vende na feira. Não
havendo desperdício, quantos litros de licor
sobrarão depois que ele encher todas as
garrafas?
a) 1,00
b) 1,25
c) 1,50
d) 1,75
e) 2,00
31. Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05
hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 km
e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos
dizer que essa tartaruga percorreu nos três
dias uma distância de:
a) 1.450m
b) 12.506,77m
c) 14.500m
d) 12.506m
e) n.d.a.
32.(UNB-CESPE) Quantos alfinetes de 8 cm
de comprimento podem ser feitos com um fio
de arame de 25 hm de comprimento?
a) 31 250
b) 3 125
c) 312 500
d) 312,5
33.(UNB-CESPE) Se um dia corresponde a 24
horas, então 9/12 do dia correspondem a:
a) 8h
b) 9h
c) 12h
d) 18h
e) 20h
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NÚMEROS
PROPORCIONAIS
E
GRANDEZAS
RAZÃO.
Matemática
comprimento real correspondente, ambos na
mesma unidade de medida.
Escala =
Existem várias maneiras de comparar duas
grandezas, por exemplo, quando se escreve
a>b ou a<b ou ainda a=b, estamos a comparar
as grandezas a e b. Mas essa comparação,
muitas vezes, pouco nos diz. Daí a utilizar-se,
no dia a dia, a razão entre duas grandezas,
isto é o quociente entre essas grandezas.
a é mesmo que
é mesmo que
a/b
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ a : b ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
b
Exemplo:
A razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou 6/3 .
Se eu pretendo comparar a e b determino a
razão a : b ou a/b, agora se eu disser que a
razão entre elas é 2, estou a afirmar que a é
duas vezes maior que b.
APLICAÇÕES
Entre as aplicações práticas
especiais, as mais comuns, são:
de
comprimento do desenho
comprimento real
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Em um desenho, um comprimento de 8m
está representado por 16 cm. Qual a escala
usada para fazer esse desenho?
8 m=800 cm.
Escala =
16 cm
800 cm
Isto significa que, 1 medida no desenho é igual
50 dessas medidas no real.
Densidade Demográfica
O cálculo da densidade demográfica também
chamada de população relativa de uma região,
é considerada uma aplicação de razão entre
duas grandezas. Ela expressa a razão entre o
número de habitantes e a área em uma região.
razões
Velocidade média
A velocidade média em geral é uma grandeza
obtida pela razão entre uma distância
percorrida e um tempo gasto neste percurso.
número de
habitantes
Densidade demográfica =
área total do
território
EXERCÍCIO RESOLVIDO
distância
Velocidade média =
percorrida
tempo gasto
no percurso
01. Um município paranaense ocupa a área de
100 000 km2. De acordo com o censo
realizado, tem população aproximada de 50
000 habitantes. A densidade demográfica
desse município é obtida assim:
Exemplo:
01. Suponhamos que um carro percorreu 120
km em 2 horas. A velocidade média do carro
nesse percurso, á calculada a partir da razão:
V. média =
120 km
2 horas
Densidade
demográfica =
100
000
hab
50 000 km2
Isto significa que para cada quilômetro
quadrado, esse município tem 20 habitantes.
O que significa que, por 1 hora o carro
percorreu 60 km.
Escala
Escala é a comparação da razão entre o
comprimento considerado no desenho e o
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PRATICANDO
01. Dois segmentos tem 4 cm e 20m de
comprimento, respectivamente. Determine a
razão entre o comprimento do primeiro e o
comprimento do segundo.
02. A escala da planta de um terreno na qual o
comprimento de 100m foi representado por um
segmento de 5cm é:
03. Num concurso havia 90 candidatos. Tendo
sido aprovados 30, a razão entre o número de
reprovados e o número de aprovados é:
04. (CESGRANRIO) A razão entre o número
de homens e de mulheres, funcionários da
firma W, é 3/5. Sendo N o número total de
funcionários (número de homens mais número
de mulheres), um possível valor para N é:
a) 46
b) 49
c) 50
d) 54
e) 56
05. (NC.UFPR) Em certo mapa de uma cidade,
1 cm representa 90 m. Se a distância entre
dois locais na cidade , A e B, sobre uma rua
perfeitamente reta, é de 3.735 m, então a
distância, no mapa, entre os dois pontos que
correspondem aos locais A e B é de:
a) 39,9 cm
b) 41,1 cm
c) 41,3 cm
d) 41,5 cm
e) 41,7 cm
06. A distância entre dois pontos é de 34m.
Num desenho, essa distância está expressa
por 68cm. A escala usada para fazer esse
desenho foi de:
07. Em um desenho, um comprimento de 8m
está representado por 16 cm. Qual a escala
usada para fazer esse desenho?
08. Sabendo que 1 cm no desenho
corresponde a 2,5m no real, qual foi a escala
usada para fazer esse desenho?
09. Numa carta geográfica, 1 cm representa 10
km no real. Qual foi a escala usada nessa
carta geográfica?
8
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Matemática
10. Um ônibus parte de uma cidade A às
13h15min. Após percorrer 302 Km, chega
numa cidade B às 17h15min. A velocidade
média do ônibus, nesse percurso, foi de:
PROPORÇÕES
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Sejam a, b, c, e d números reais não nulos.
I)
a
c
implica
=
b
d
axd = bxc
II)
a
b
a+b
b
∇
=
c
d
implica
=
c+d
d
∇
III)
a
=
b
c
a+c
implica
d
b+d
IV)
a
c
a2
implica 2 =
=
b
d
b
=
a
=
b
c
d
∇
GRANDEZAS
PROPORCIONAIS
c2
axc
2 =
d
bxd
DIRETAMENTE
(a, b, c) é diretamente proporcional a (m, n,
p) se, e somente se:
a
b
=
m
n
=
c
=
p
k
=
a+b+c
m+n+p
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Um elevador em movimento constante,
eleva-se em 15 segundos 3 metros.
Construímos uma tabela para mostrar a
evolução da ocorrência:
Tempo
(seg)
15
30
45
Altura
(m)
3
6
9
Observamos que quando duplica o intervalo de
tempo, a altura do elevador também duplica e
quando o intervalo de tempo é triplicado, a
altura do elevador também é triplicada.
Observações: Usando razões, podemos
descrever essa situação de outro modo.
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02. Quando o intervalo de tempo passa de 15
seg para 30 seg, dizemos que o tempo varia
na razão 15/30, enquanto que a altura do
elevador varia de 3 m para 6 m, ou seja, a
altura varia na razão 3/6. Observamos que
estas duas razões são iguais:
15
30
=
3
6
=
1
2
03. Quando o intervalo de tempo varia de 15
seg para 45 seg, a altura varia de 3 m para 9
m. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e
a altura na razão 3/9. Então, notamos que
essas razões são iguais:
15
45
=
3
9
=
1
3
Concluímos que a razão entre o valor
numérico do tempo que o elevador eleva-se e
o valor numérico da altura atingida é sempre
igual, assim dizemos então que a altura do é
diretamente proporcional ao tempo.
GRANDEZAS
PROPORCIONAIS
INVERSAMENTES
(a, b, c) é inversamente proporcional a (m,
n, p) se, e somente se:
a
=
1
m
b
1
n
=
c
1
p
=
k
=
k
ou
mxa
=
nxb =
pxc
Exemplo:
1. Um automóvel se desloca de uma cidade
até uma outra localizada a 180 Km da primeira.
Se o percurso é realizado em:
ƒ 1 hora, o carro mantém velocidade média
de 180 Km/h;
ƒ 2 horas, o carro mantém velocidade média
de 90 Km/h;
ƒ 3 horas, o carro mantém velocidade média
de 60 Km/h.
Sendo que Km/h=quilômetro por hora.
Atualizada 15/05/2006
Matemática
Construiremos uma tabela desta situação:
Velocidade
km/h
180
90
60
Tempo
h
1
2
3
De acordo com a tabela, o automóvel faz o
percurso em 1 hora com velocidade média de
180 Km/h. Quando diminui a velocidade à
metade, ou seja 90 Km/h, o tempo gasto para
realizar o mesmo percurso dobra e quando
diminui a velocidade para a terça parte, 60
Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo
percurso triplica.
Concluímos que para percorrer uma mesma
distância fixa, as grandezas velocidade e
tempo gasto, são inversamente proporcionais.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.A divisão do número de vereadores de
determinada cidade é proporcional ao número
de votos que cada partido recebe. Na última
eleição nesta cidade, concorreram apenas 3
partidos, A, B e C, que receberam a seguinte
votação: A teve 10 000, b teve 20 000 e C teve
40 000. Se o número de vereadores dessa
cidade é 21. quantos deles são do partido B?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Resolução
I)
x = número de candidatos do partido A, que é
proporcional ao nº de votos obtidos.
y = número de candidatos do partido B, que é
proporcional ao nº de votos obtidos.
z = número de candidatos do partido C, que é
proporcional ao nº de votos obtidos.
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II) Formadas as proporções, obtemos relações
entre x, y e z, que indicam o número de votos
de cada partido.
x 10000 1
x 1
=
= ⇒ = ⇒ y=2x
y 20000 2
y 2
1ª equação
x 10 000 1
x 1
=
= ⇒ = ⇒ z =4x
z 40 000 4
z 4
2ª equação
Matemática
x + y + z = 3600
II)
y
x+y+z
x
z
3600
=
=
=k =
=
=36
25 35 40
25 + 35 + 40 100
Igualando, obtemos o valor para cada amigo:
x
parte do amigo 1
= 36 ⇒ x = R$ 900,00
25
x
= 36 ⇒ x = R$ 1 260,00
35
x
= 36 ⇒ x = R$ 1 440,00
40
y 20 000 2 1
y 1
=
= = ⇒ = ⇒ z =2y 3ª equação
z 40 000 4 2
z 2
parte do amigo 2
parte do amigo 3
Resposta: letra C
III) Adicionando o número de candidatos,
obtemos a formação que segue:
X + y + z = 21...................trocando:
y por
2x e trocando z por 4x
Obtemos a nova
formação em x, siga:
X + 2x + 4x = 21.................7x = 21.........
=3
x
Para x = 3........subst. na 1ª eq. y = 2x.......y =
2(3) = 6...... y = 6
Para x = 3.........subst. na 2ª eq. z = 4x.........z
= 4(3) = 12........ z = 12
O número de candidatos do partido B,
indicados pela letra y, é: y = 6
PRATICANDO
01. Os números 6, 16, x e 40 formam, nessa
ordem, uma proporção. Nessas condições,
determine o número x.
02. Determine o valor do número racional y
para que os números racionais 4; 2y; 2,6 e
0,52 formem, nessa ordem, uma proporção.
03. Quando se usa uma escala de 1:400, uma
distância de 2,5 cm no desenho corresponde a
quantos metros no real?
04. A diferença entre medidas de dois ângulos
é de 50º. Determine as medidas dos dois
ângulos, sabendo que elas são proporcionais
aos números 8 e 3.
Resposta, alternativa A
02. Três amigos fizeram um bolão para jogar
na Megasena, no qual cada um investiu,
respectivamente, R$ 25,00, R$ 35,00 e R$
40,00. Na conferência do resultado eles
descobriram que acertaram 5 números em um
dos cartões, o que lhes deu direito a um
prêmio de R$ 3.600,00. Supondo que o prêmio
deva ser dividido em partes diretamente
proporcionais ao valor investido por cada um
nas
apostas,
cada
sócio
receberá,
respectivamente:
RESOLUÇÃO
I) Considere:
x
o valor que o amigo 1 deve
receber
y
o valor que o amigo 2 deve
receber
z
o valor que o amigo 3 deve
receber
10
Atualizada 15/05/2006
05. A soma de dois números é 162. O maior
está para 13 assim como o menor está para 5.
Nessas condições, a diferença entre os
números é:
06. Um pai dividiu R$ 3.000,00 entre dois filhos
na razão de 7 para 8. Quanto recebeu cada
filho?
07. Uma mistura está formada por 4 partes de
álcool e 3 partes de água. Quantos litros de
álcool há em 140 litros dessa mistura?
08. (FCC) Uma torneira A enche sozinha
um tanque em 10h, uma torneira B, enche o
mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta
horas as duas torneiras juntas encherão o
tanque?
09. Se uma torneira enche um tanque em 60
minutos e uma outra torneira enche o mesmo
tanque em 30 minutos, em quanto tempo as
duas torneiras juntas, enchem o tanque?
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10. Duas torneiras enchem um tanque em 2h.
Quanto tempo, em minutos, levarão 5 torneiras
iguais às primeiras, para encher o mesmo
tanque?
11.(FCC) O faxineiro A limpa certo salão em 4
horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3
horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto
tempo, aproximadamente, espera-se que o
serviço seja feito?
a) 2 horas e 7 minutos.
b) 2 horas e 5 minutos.
c) 1 hora e 57 minutos.
d) 1 hora e 43 minutos.
e) 1 hora e 36 minutos.
Matemática
07.
Três
negociantes
formaram
uma
sociedade, em que o primeiro entrou com R$
30 000, o segundo com R$ 20 000 e o terceiro
com R$ 50 000. O primeiro permaneceu 12
meses, segundo 9 meses e terceiro 4 meses.
Determine o lucro de cada um, sabendo-se
que o lucro total foi de R$ 37 000
08. Um prêmio de 4 600 reais foi repartido
entre três funcionários de uma firma em partes
inversamente proporcionais aos seus salários.
O funcionário A recebe 5 salários mínimos, o
funcionário B recebe 8 salários mínimos e o
funcionário C recebe 4 salários mínimos. Qual
a parte do prêmio que coube a cada um?
12. (FCC) Uma torneira gasta sozinha 20 min
para encher um tanque. Outra torneira sozinha
gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em
quanto tempo, as duas torneiras juntas
enchem esse tanque?
09. As massas de cobre e zinco que se
fundem para formar o latão são diretamente
proporcionais aos números 7 e 3. Quantos
quilogramas de cobre e zinco são necessários
para obter 80 kg de latão?
DIVISÃO PROPORCIONAL
10. Dividir o número 78 em três partes
inversamente proporcionais a 2, 5 e 6.
PRATICANDO
01. Reparta 45 fichas em partes inversamente
proporcionais a 3, 6 e 8.
02. O custo da construção de uma ponte foi
estimado em R$ 450 000,00 e será dividido
entre duas cidades ( A e B), de forma
diretamente proporcional à população de cada
uma. Quanto caberá a cada cidade, se A tem
população de 3 milhões de habitantes e B, 12
milhões de habitantes?
03. Reparta o número 520 em
diretamente proporcionais a 4 e 1/3.
partes
04. Certa fortuna deve ser repartida entre três
herdeiros em partes diretamente proporcionais
aos graus de parentesco que são o 2º, o 5º e o
6º. Quanto receberá cada um? O primeiro
recebeu R$ 120 000 a menos que o segundo.
05. Dividir 3 560 em três partes tais que sejam
a um tempo, diretamente proporcionais a 3, 5 e
8, e inversamente a 4, 6 e 9. Quanto cabe a
cada?
06. Dividir R$ 39 500,00 em três partes que a
um tempo sejam diretamente proporcionais a
3, 5 e 6, e inversamente proporcionais a 2, 4 e
5.
Atualizada 15/05/2006
11. Dividir o número 78 em três partes
diretamente proporcionais a 2, 5 e 6.
12. (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente
proporcionais aos números 5/4 e 3 /4.
13. (MACK-SP) Dividindo-se 660 em partes
proporcionais aos números 1/2 , 1/3 e 1/6,
obtêm-se, respectivamente:
a) 330, 220 e 110
b) 120, 180 e 360
c) 360, 180 e 120
d) 110, 220 e 330
e) 200, 300 e 160
14. (UDF) Um estado brasileiro tem a
população de 10 milhões de habitantes e uma
média de 40 habitantes por km2. Qual é a sua
superfície?
a) 100.000 km2
b) 250.000 km2
c) 500.000 km2
d) 1.000.000 km2
e) 900.000 km2
15. (U.MOGI-SP) Numa sociedade, houve um
lucro de R$ 800,00. Os capitais dos sócios A e
B são respectivamente R$ 1.500,00 e R$
900,00. Os sócios A e B receberão em reais
lucros, respectivamente, de:
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16. (NC.UFPR) Um bônus de R$ 228,00 será
repartido entre três funcionários, Maria, José e
Pedro, em partes diretamente proporcionais a
4, 6 e 9, respectivamente. A parte que cabe a
José é de:
a) R$ 72,00.
b) R$ 60,00.
c) R$ 54,00.
d) R$ 48,00.
e) R$ 36,00.
17. (NC.UFPR) Um grupo de estudantes
comprou um presente de R$ 132,00 para um
professor aniversariante, dividindo a despesa
igualmente entre todos os estudantes do
grupo. No dia de entregar o presente, outros 3
estudantes pediram para participar do grupo.
Todos concordaram e fizeram a divisão da
despesa pelo novo número de pessoas, e a
parte que coube a cada um ficou R$ 2,20
menor do que era no cálculo inicial. O novo
valor para cada estudante foi:
a) R$ 6,60
b) R$ 8,25
c) R$ 8,80
d) R$ 11,00
e) R$ 12,00
Matemática
II. O funcionário B receberá R$ 120,00.
III. O funcionário C receberá a metade do que
receberá o funcionário A.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são
verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e III são
verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são
verdadeiras.
d) Nenhuma das afirmativas é verdadeira.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
REGRA DE TRÊS
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
Uma regra de três simples direta é uma forma
de
relacionar
grandezas
diretamente
proporcionais.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de
farinha. Quantos quilogramas de trigo são
necessários para fabricar 28Kg de farinha?
GDP
18. (NC.UFPR) Uma verba de R$ 2.700,00 foi
repartida entre os departamentos A e B para
despesas com material de consumo. Após o
departamento A ter gastado 1/4 do que
recebeu, o seu saldo ficou igual ao saldo que o
departamento B tinha após gastar 2/5 do que
recebeu. Então, a razão do valor que coube ao
departamento A para o valor que coube ao
departamento B é:
a) 2/3
b) 3/4
c) 3/5
d) 4/5
e) 5/7
=
7
28
= 40
kg
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA
Uma regra de três simples inversa é uma
forma de relacionar grandezas inversamente
proporcionais para obter uma proporção.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas.
Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o
mesmo muro?
GIP
19. (NC.UFPR) Um chefe de seção dispõe de
R$ 372,00 para serem distribuídos como
prêmio a 3 funcionários, A, B e C. Os valores
que eles receberão são inversamente
proporcionais aos números de faltas desses
funcionários durante o último semestre, que
foram, respectivamente, 2, 3 e 5. Considere as
seguintes afirmativas a respeito das quantias
que eles receberão.
10
x
6
8
=
72
x
=96 kg
PRATICANDO
01. Em um banco, constatou-se que uma caixa
leva, em média, 5 min para atender 3 clientes.
Qual é o tempo que esse caixa vai levar para
atender 36 clientes, se mantiver essa média?
I. Dentre os três, o funcionário C receberá a
menor quantia.
12
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Matemática
02. Uma viagem foi feita em 12 dias,
percorrendo-se 150 km por dia. Supondo que
fossem percorridos 200 Km por dia, quantos
dias seriam empregados para fazer a mesma
viagem?
a)
b)
c)
d)
e)
03. A combustão de 30g de carbono fornece
110g de gás carbônico. Quantos gramas de
gás carbônico são obtidos com a combustão
de 48g de carbono?
13. (NC.UFPR) Uma empresa transportadora
tem 180 encomendas para serem entregues
em vários endereços da cidade. Observou-se
que foram entregues 30 delas em 2 horas e 15
minutos. Se for mantida essa média de tempo
gasto, para entregar todas as encomendas
serão necessárias exatamente:
04. Com a velocidade média de 75Km/h, um
ônibus faz um percurso em 40 min. Devido a
um pequeno congestionamento, esse ônibus
faz o percurso de volta em 1h. Qual a
velocidade média desse ônibus no percurso de
volta?
05. Em uma avaliação de 0 a 6, Cristina obteve
nota 4,8. Se o valor dessa avaliação fosse de 0
a 10, qual seria a nota de Cristina?
06. Se meu carro pode percorrer um distância
de 350Km com 25 litros de gasolina, quantos
quilômetros pode percorrer com 1litros de
gasolina?
07. Um trem percorre à velocidade de 60 km/h,
vai da cidade de Curitiba até Paranaguá, em
90 minutos. Se a velocidade for de 120 km/h,
qual será o tempo gasto?
08. Sabemos que a carga máxima de um
elevador é de 7 adultos com 80Kg cada um.
Quantas crianças, de 35kg cada uma,
atingiram a carga máxima desse elevador?
09.Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg
de farinha. Quantos quilogramas de trigo são
necessários para fabricar 28Kg de farinha?
10. Oito pedreiros fazem um muro em 72
horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para
fazer o mesmo muro?
11. Um corredor gastou 2 minutos para dar
uma volta num circuito à velocidade média de
210Km/h. Quanto tempo o corredor gastaria
para percorrer o circuito à velocidade média de
140Km/h?
a)
b)
c)
d)
e)
20 min 20 s
21 min 20 s
21 min 21 s
21 min 22 s
22 min 05 s
15 horas e 15 minutos.
14 horas e 30 minutos.
14 horas.
13 horas e 30 minutos.
1 e) 3 horas e 15 minutos.
14. (NC.UFPR) Sabendo que são necessários
162 cm2 de papelão para fazer uma caixa, qual
é a quantidade de papelão necessária para
fazer 100 caixas iguais a essa?
a) 1.620 cm2
b) 1.620 dm2
c) 16,2 m2
d) 16,2 dm2
e) 1 e) 62 m2
15. (NC.UFPR) Um trajeto pode ser feito de
automóvel, em uma hora e quarenta e cinco
minutos, à velocidade média de 80 quilômetros
por hora. Em quanto tempo se faz o mesmo
trajeto à velocidade média de 70 quilômetros
por hora?
a) 1 h 55 min
b) 2 h
c) 2 h 10 min
d) 2 h 15 min
e) 2 h 20 min
16. (NC.UFPR) Se em cada porção de 55 g de
creme alimentício 60,5 mg são de cálcio, então
o cálcio contido em 30 g desse creme é de:
a) 29 mg
b) 30 mg
c) 31 mg
d) 32 mg
e) 33 mg
12. (NC.UFPR) Se um veículo espacial, em
velocidade constante, percorre uma distância
em 1 h 25 min 28 s, então, à mesma
velocidade, o tempo que gastará para
percorrer 1/4 dessa distância será de:
Atualizada 15/05/2006
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17. (NC.UFPR) Se um projétil espacial, a uma
velocidade constante, gasta 1h 50min 20s para
percorrer uma certa distância, então um outro
projétil, com velocidade constante igual a
quatro vezes a velocidade do primeiro,
percorrerá a mesma distância em:
a) 24min 20s.
b) 25min 25s.
c) 26min 30s.
d) 27min 35s.
e) 28min 40s.
18. (NC.UFPR) Se 58,5 g de um produto
químico custam R$ 76,05, então 4,5 g do
mesmo produto custam:
a) R$ 5,65.
b) R$ 5,70.
c) R$ 5,75.
d) R$ 5,80.
e) R$ 5,85.
19.(NC.UFPR) Uma máquina gasta 2 h 25 min
36 s para construir uma peça, e uma segunda
máquina constrói peça idêntica em 1/3 desse
tempo. Sendo assim, o tempo gasto pela
segunda máquina é de:
a) 45 min 14 s
b) 46 min 20 s
c) 47 min 26 s
d) 48 min 32 s
e) 4 e) 9 min 38 s
20. Sabendo que 104 alunos de uma escola
correspondem a 20% do total, Quantos alunos
tem a escola ?
a) 580
b) 620
c) 520
d) 550
21. Para se transportar cimento para a
construção de um edifício, foram necessários
15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos
caminhões de 3m3 seriam necessários para
fazer o mesmo serviço?
22. Sete litros de leite dão 1,5 quilos de
manteiga. Quantos litros de leite serão
necessários para se obterem 9 quilos de
manteiga?
23. 15 metros de um determinado tecido
custam $ 45,00. Qual o preço de 6 metros
deste mesmo tecido?
14
Atualizada 15/05/2006
Matemática
24. ¾ de um bolo de chocolate custam $
45,00. Quanto pagarei na compra de 2/5 deste
mesmo bolo?
25. Com $ 48,00 comprei 300 metros de
determinado tecido. Quantos metros do
mesmo tecido, posso comprar com $ 36,00?
26. 30 metros de um trabalho são feitos por ¾
de uma turma de trabalhadores. 50 metros, do
mesmo trabalho, por quanto da turma será
feito.
27. Um automóvel, com velocidade de 90
km/h, vai da cidade X à cidade Z em 50
minutos. Qual a distância entre as duas
cidades?
28. Ao participar de um treino em um
kartódromo, o piloto, imprimindo velocidade
média de 80 km/h, completa a volta na pista
em 40 s. Se a sua velocidade fosse de 100
km/h, qual o tempo que ele teria no percurso?
29. Um relógio atrasa 27 s em 72 h. Quantos
segundos atrasará em 8 dias?
30. Para revestir um pátio de 600 m2 usaramse 9 600 lajotas. Quantas dessas lajotas serão
necessárias para revestir outro pátio de 540
m2?
31. Uma árvore de 4,2 m de altura projeta uma
sombra de 3,6 m. No mesmo instante, outra
árvore, ao lado dessa, projeta uma sombra de
2,8 m. Qual a altura da segunda árvore?
32. Um terreno retangular tem 12 m de
comprimento e 15 m de largura. Se
diminuirmos 2 m no comprimento do terreno,
quantos metros devemos aumentar na largura
para que a área permaneça a mesma?
33. A água mineral, sem gás, apresenta na sua
composição química 2,4 mg de sulfato de
cálcio por 1 litro. Que quantidade de sulfato de
cálcio (em mg) estará ingerindo uma pessoa
ao beber um copo de 300 ml dessa água?
34. Com o auxílio de uma corda que julgava ter
2 m de comprimento, medi o comprimento de
um fio elétrico e encontrei 80 metros. Descobri,
mais tarde que a corda media, na realidade
1,05 m. Qual é o verdadeiro comprimento do
fio?
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35. A velocidade de um veículo é de 30 m/s.
Qual será a sua velocidade em quilômetros por
hora?
Matemática
42. 2/3 + 0,6 de determinada fruta custam $
7,60. Qual o preço da fruta inteira?
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
36. UMC) Um carro consumiu 50 litros de
álcool para percorrer 600 km. Supondo
condições equivalentes, esse mesmo carro,
para percorrer 840 km, consumirá:
a) 70 litros
b) 68 litros
c) 75 litros
d) 80 litros
e) 85 litros
37. Se 2 kg de bacalhau custam R$25,00, qual
será o preço de 1,4kg de bacalhau?
a) R$ 12,50
b) R$ 13,00
c) R$ 17,50
d) R$ 19,00
38. Com 3kg de farinha, são feitos 140
biscoitos,
com
5
kg
de
farinha,
aproximadamente, quantos biscoitos podem
ser feitos?
a) 180
b) 190
c) 210
d) 230
39. Se 250 g de azeitonas custam R$ 4,60,
qual será o preço de 3/4 de quilo de
azeitonas?
a) R$ 9,20
b) R$ 10,60
c) R$ 12,80
d) R$ 13,80
e) R$ 14,60
Resolução:
Este teste está resolvido pelo “dispositivo das
setas”
DISPOSITIVO DAS SETAS
Dispondo os dados em coluna, respeitando a
mesma natureza e na mesma unidade de
grandeza, obtemos a seguinte formação:
33
x
960
60
1,2
8
0,6
6
Horas
600
Padeiros
7
Gordura
Farinha
Atualizada 15/05/2006
01. Para produzir 600 pães foram gastos 33 kg
de farinha de trigo e 1,28 kg de gordura e
foram necessários 2 padeiros, que trabalharam
4 horas por dia, durante 7 dias. Quantos dias
serão necessários para produzir 960 pães,
utilizando-se 60 kg de farinha e 0,66 kg de
gordura, com 3 padeiros trabalhando 7 horas
por dia?
a) 4 dias
b) 2,5 dias
c) 6 dias
d) 7 dias
Pães
41. Um automóvel com a velocidade de 90
km/h, vai da cidade de Tatu até a cidade de
Capivara em 50 minutos. Qual a distância
entre as duas cidades?
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Dias
40. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma
certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é
50% mais eficiente que x. Nessas condições, o
número de horas necessárias para que y
realize essa tarefa é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Regra de três composta é um processo de
relacionamento de grandezas diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou
uma mistura dessas situações.
O método funcional para resolver um problema
dessa ordem é montar uma tabela com duas
linhas, sendo que a primeira linha indica as
grandezas relativas à primeira situação
enquanto que a segunda linha indica os
valores conhecidos da segunda situação.
2
4
3
7
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Resolução por setas
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Matemática
Dias
Pães
Farinha
Gordura
Padeiros
Horas
II) Discussão verificar se as grandezas são
diretamente
e/ou
inversamente
proporcionais.
1) Mantendo o tempo fixo.
↓
7
↓
x
600
960
↓
1,2
8
↓
0,6
6
33
60
↓
2
↑
3
4
↑
A equação será formada, invertendo-se os
dados das colunas, C5 e C6, para que as
setas fiquem apontadas para baixa, como as
demais setas.
600
960
⋅
33
60
⋅
128
66
⋅
3
⋅
2
7
4
Processadas as simplificações no segundo
membro, obtemos a nova equação:
7 7
=
x 4
logo x=4
E finalmente o valor de x, x =4.
02. Para reduzir a termo pedidos orais, um
funcionário que digita, em média, 60
caracteres por minuto atende 5 pessoas em 90
minutos. Após um período de reciclagem, o
mesmo funcionário passa a atender 6 pessoas
em 80 minutos. Sendo assim, o número de
caracteres por minuto que agora ele digita é
igual a:
RESOLUÇÃO
Fazendo a montagem da tabela conforme
naturezas e grandezas, obtemos a regra de
três composta:
N°
caracteres
60
x
16
Tempo
(min)
90
80
Atualizada 15/05/2006
↓
É uma grandeza diretamente proporcional.
2) Mantendo o número de pessoas fixo.
Os dados na coluna C4, podem ser
representados,
suprimindo-se
a
vírgula
(mesmo número de algarismos após a vírgula).
=
N° caracteres
60
x
+
7
As setas no quadro acima, mostram que as
colunas C5 e C6, são inversamente
proporcionais à coluna C1, enquanto as
demais são diretamente proporcionais a C1.
7
x
N° pessoas
- 5
+ 6
N°
pessoas
5
6
Tempo (min)
+ 90
↑ - 80
N° caracteres
60
↓
x
+
É uma grandeza inversamente proporcional.
Formamos a equação.
60 5 80
= ⋅
x
6 90
⇒
x = 81
PRATICANDO
01. Numa fábrica de calçados trabalham 16
operários, que produzem, em 8 horas diárias
de serviço, 240 pares de calçados por dia.
Quantos operários são necessários para
produzir 600 pares de calçados por dia, se a
jornada de trabalho diária for de 10 horas?
02. (UFMG) Durante 60 dias, 10 máquinas,
funcionando um certo número de horas por
dia, produzem 90 000 peças. Qual é o número
de dias que 12 dessas máquinas, funcionando
o mesmo número de horas por dia, levarão
para produzir 135 000 peças?
03. Meia dúzia de datilógrafas, preparam 720
páginas em 18 dias. Em quantos dias 8
datilógrafas, com a mesma capacidade das
primeiras, prepararão 800 páginas?
04. Em uma granja, 32 galinhas produzem em
média 100 dúzias em 10 dias. Quantas dúzias
de ovos serão produzidas por 8 galinhas em
16 dias?
05. (USP-P) Uma família composta de 6
pessoas consome em 2 dias 3Kg de pão.
Quantos quilos serão necessários para
alimentar-las durante 5 dias, estando ausentes
2 pessoas?
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06. Dez máquinas fabricam 400m de tecidos
em 16 dias. Em quantos dias 12 máquinas que
têm o mesmo rendimento que as primeiras
fazem 300m desse mesmo tecido?
07. Na merenda escolar, 40 crianças
consumiram 156 litros de leite em 15 dias.
Quantos litros de leite deverão ser consumidos
por 45 crianças em 20 dias?
08. Em 3 horas, 3 torneiras despejam 2700
litros de água. Quantos litros despejam 5
dessas torneiras em 5 horas?
09. Um supermercado dispõe de 20
atendentes que trabalham 8 horas por dia e
custam R$ 3.600,00 por mês. Se o
supermercado passar a ter 30 atendentes
trabalhando 5 horas por dia, eles custarão, por
mês,
a) R$ 3.375,00.
b) R$ 3.400,00.
c) R$ 3.425,00.
d) R$ 3.450,00.
e) R$ 3.475,00.
10. (PUCCMP-SP) Operando 12 horas por dia,
20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias.
Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15
daquelas máquinas produzirão 4000 peças
em:
11. Se 25 operários trabalhando 10 horas por
dia assentaram 255 postes de luz em 17 dias,
quantos operários, com a mesma habilidade
dos primeiros, serão precisos para assentar
420 postes em 25 dias de 7 horas de trabalho?
a) 38
b) 40
c) 42
d) 44
e) 3 e) 5
12. (UF-MG) Durante 60 dias, 10 máquinas,
funcionando um certo número de horas por
dia, produzem 90 000 peças. Qual é o número
de dias que 12 dessas máquinas, funcionando
o mesmo número de horas por dia, levarão
para produzir 135 000 peças?
Atualizada 15/05/2006
Matemática
13. Ao cavar um buraco para uma piscina que
tem 25 m de comprimento, 10 m de largura e 3
m de profundidade, foi necessário remover
1200 m3 de terra. Que volume de terra do
mesmo tipo deve ser removido quando se
quiser cavar piscina de 12 m de comprimento,
6 m de largura e 2,5 m de profundidade?
14. Com uma chapa metálica retangular de 1,5
m de comprimento por 2 m de largura, fazemse 2 000 arruelas. Quantas dessas arruelas
podem-se fazer com uma chapa retangular de
2,5 m de comprimento por 3 m largura?
15. Uma placa de chumbo de 8 cm de
comprimento e 6 cm de largura pesa 36
unidades de massa. Quanto pesará outra
placa do mesmo material e da mesma
espessura, quadrada, com 10 cm de lado?
16. Um batalhão de 1600 soldados tem víveres
para dez dias à razão de três refeições diárias
para cada homem. No entanto, juntaram-se a
esse batalhão mais 400 soldados. Quantos
dias durarão os víveres, se foi decidido agora
que cada soldado fará duas refeições por dia?
17.
(FCC) Uma impressora trabalhando
continuamente emite todos os boletos de
pagamento de uma empresa em 3 horas.
Havendo um aumento de 50% no total de
boletos a serem emitidos, três impressoras,
iguais à primeira, trabalhando juntas poderão
realizar o trabalho em 1 hora e:
a) 30 minutos
b) 35 minutos
c) 40 minutos
d) 45 minutos
e) 50 minutos
18. (FCC) Uma indústria tem 34 máquinas.
Sabe-se que 18 dessas máquinas têm, todas,
a mesma eficiência e executam certo serviço
em 10 horas de funcionamento contínuo. Se as
máquinas restantes têm 50% a mais de
eficiência que as primeiras, funcionando
ininterruptamente, executariam o mesmo
serviço em:
a) 8 horas e 40 minutos
b) 8 horas e 20 minutos
c) 7 horas e 45 minutos
d) 7 horas e 30 minutos
e) 7 horas e 15 minutos
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19. (FCC) Em 3 dias, 72.000 bombons são
embalados,
usando-se
2
máquinas
embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se
a fábrica usar 3
máquinas
iguais às
primeiras, funcionando 6 horas por dia, em
quantos dias serão embalados 108 000
bombons?
a) 3
b) 3,5
c) 4
d) 4,5
e) 5
20. (FCC) Uma máquina copiadora produz
1.500 cópias iguais em 30 minutos de
funcionamento. Em quantos minutos de
funcionamento outra máquina, com rendimento
correspondente a 80% do da primeira,
produziria 1 200 dessas cópias?
a) 30
b) 35
c) 40
d) 42
e) 45
21. Em 30 dias, uma frota de 10 táxis consome
em média 100 000 litros de combustível. Em
quantos dias uma frota de 36 táxis consumirá
em média 240 000 litros desse mesmo
combustível?
22. Um folheto enviado pela SABESP
(Saneamento Básico do Estado de São Paulo)
informa que uma torneira, pingando 20 gotas
por minuto, ocasiona um desperdício de 100
litros de água, em 30 dias. Na casa de
Fernanda Lima, uma torneira esteve pingando
30 gotas por minuto durante 5 dias. Calcule
quantos litros de água foram desperdiçados
nesse período.
23. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando 16
horas por dia levam 3 dias para produzir 360
peças, então 4 máquinas iguais às primeiras
devem funcionar quantas horas por dia para
produzir 432 peças em 4 dias?
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
Matemática
apenas 6 dessas máquinas, para produzirem o
mesmo número de peças no mesmo número
de dias de funcionamento, deverão trabalhar
cada uma delas:
a) 18 horas por dia
b) 19 horas por dia
c) 20 horas por dia
d) 21 horas por dia
e) 22 horas por dia
25. (NC.UFPR) Uma fábrica de brindes leva
10 dias para produzir 1.560 unidades, quando
tem 8 funcionários trabalhando. Se forem
contratados mais 4 funcionários, que
trabalhem no mesmo ritmo dos outros
funcionários, quantos dias serão necessários
para produzir 2.340 unidades?
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
26. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando
21 horas por dia produzem 720 peças em 6
dias, então o número de peças que 4
máquinas iguais às primeiras produzirão em 7
dias trabalhando 20 horas por dia é igual a
a) 600
b) 640
c) 680
d) 720
e) 760
PORCENTAGEM
CÁLCULO DE PORCENTAGEM
Praticamente todos os dias, observamos nos
meios
de
comunicação,
expressões
matemáticas relacionadas com porcentagem.
O termo por cento quer dizer por cem
(dividido por cem). Toda razão da forma p/q
na qual o denominador q=100, é chamada taxa
de
porcentagem
ou
simplesmente
porcentagem ou ainda percentagem.
Em geral, para indicar um índice de a por
cento, escrevemos a % e para calcular a % de
um número b, realizamos o produto:
a % de b é o mesmo que: a%.b
24. (NC.UFPR) Se 8 máquinas iguais, cada
uma trabalhando 15 horas por dia, produzem
certo número de peças em determinado
número de dias de funcionamento, então
18
Atualizada 15/05/2006
a%.b
é o mesmo que :
a ⋅b
100
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ACRESCIMO PERCENTUAL
Acrescentar a% de b, em b.
b + a%.b
DECRESCIMO PERCENTUAL
Decrescer a% de b, em b.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Um aparelho de som pode ser comprado
em 4 prestações de R$ 150,00 ou à vista com
10% de desconto. Quanto será pago, em reais,
se a compra for deita à vista?
Resolução:
I) O custo final do aparelho em 4 prestações
iguais a R$ 150,00, totaliza R$ 600,00.
Custo final = 4x150 = 600,00
II) Para pagamento a vista, terá 10% de
desconto.
Custo à vista = 600 -10%x600 = 600 –
0,10x600= 600 – 60 = R$ 540,00
Resposta: R$ 540,00
02. Do total de funcionários da empresa Fios
S/A, 20% são da área de informática e outros
14% ocupam os 21 cargos de chefia. Quantos
funcionários dessa empresa NÃO trabalham
na área de informática?
a) 30
b) 99
c) 110
d) 120
e) 150
Resolução:
I) Pela regra de três diretamente proporcional,
envolvendo 14% que tem correspondência
com 21 cargos, poderemos obter o total de
funcionários da empresa.
21
x
Atualizada 15/05/2006
II) O total de funcionários que trabalham na
área de informática, é de 20%, restando para
outras funções na empresa, 80%.
Não informática = 80% de 150 = 80%.150 =
= 120
80
.150
100
120 não trabalham na área de informática.
Resposta, alternativa D
b - a%.b
Nº
de
funcionários
Matemática
Porcentagem
%
→ 14
→ 100
02. Um aparelho de TV é vendido por R$
1.000,00 em dois pagamentos iguais, sem
acréscimo, sendo o 1º como entrada e o 2º um
mês após a compra. Se o pagamento for feito
à vista, há um desconto de 4% sobre o preço
de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros
simples do financiamento é aproximadamente
igual a:
Resolução
I) Preço de venda: R$ 1.000,00
II) Preço da TV para pagamento à vista com
desconto de 4%:
(100% – 4%) R$ 1.000,00 = R$ 960,00
III) No pagamento em duas parcelas, o cliente:
• paga R$ 500,00 no ato;
• fica devendo R$ 960,00 – R$ 500,00 = R$
460,00;
• paga R$ 500,00 no mês seguinte e portanto
paga R$ 40,00 de juros.
4) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que
ficou devendo é
40, 00
460, 00
=
2
≅ 0, 0869 ≅ 8, 7%
23
Ou por uma regra de três simples.
$ 40,00
$ 460,00
.x%
100%
Reposta: letra A
PRATICANDO
01. O salário de uma pessoa era de $ 1 400,00
até ela ser promovida e receber aumento de
20%. Qual o novo salário?
02. Qual a taxa percentual de aumento da
banana no período considerado?
Caixa com 21 kg
Há um mês
R$ 8,00
Hoje
R$ 8,56
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03. (UFG) Se um acertador da loteria esportiva
ficou apenas com 5% do prêmio total,
podemos afirmar que o número de acertadores
foi de:
a) 20
b) 50
c) menor que 20
d) entre 30 e 40
04. (USP) O senhor Pitágoras contrata um
advogado; esse consegue receber 90% do
valor da questão avaliada em R$ 30 000,00 e
cobra, a título de honorários, 15% da quantia
recebida. Qual a importância que resta para o
senhor Pitágoras?
a) R$ 4 000,00
b) R$ 27 000,00
c) 25 800,00
d) R$ 4 050,00
e) 22 950,00
Uma pesquisa feita sobre o salário mensal de
20 pessoas que trabalham numa empresa
trouxe como resultado o seguinte quadro:
Salário mensal
Até 2 salários mínimos
Número
de
pessoas
6
Mais de 2 e até 5 salários 7
mínimos
Mais de 5 e até 10 salários 4
mínimos
Mais de 20 salários mínimos 3
05. Com base nos dados acima, qual a
porcentagem de pessoas que ganham até 2
salários mínimos?
06. (PUCCAMP) O chefe de um setor recebe a
incumbência de distribuir um prêmio de R$
12.000,00 entre três funcionários, de acordo
com a eficiência de cada um. Se um deles
receber 20% desse valor e o segundo receber
55%, quanto receberá, em reais, o terceiro?
a) 5 000
b) 3 000
c) 2 400
d) 1 600
e) 800
20
Atualizada 15/05/2006
Matemática
07. (UMC-SP) Em um determinado mês, o
rendimento de uma poupança foi de 4% do
capital investido. Se uma pessoa aplicar 5 000
reais, ao completar o mês terá um capital em
R$ no total de:
a) 5 020
b) 5 120
c) 5 200
d) 5 400
e) 7 000
08. (ESAL-MG) Após conseguir um desconto
de 15% no preço de uma mercadoria, foram
pagos R$ 1 700,00 por essa mercadoria. O
preço, sem desconto, seria em R$ de:
a) 1850,00
b) 1950,00
c) 2200,00
d) 1900,00
e) 2000,00
09. Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa
com o lucro de 20%; esta vendeu-a com o
lucro de 10%, e por fim, esta terceira vendeu-a
com lucro de 5%. Qual a taxa única, que
representa o valor final da mercadoria, após o
último aumento.
10. Usando o símbolo %, represente a parte
colorida da figura.
Resposta: 37,5%
11. Ao comprar uma mercadoria, pagando a
vista, obtive um desconto de 15% sobre o
preço marcado na etiqueta. Se paguei R$
357,00 pela mercadoria, qual era o preço
original?
12. Uma cidade de 120 000 habitantes
apresentou, em 1995, uma mortalidade de 3%
e uma natalidade de 3,4%. De quanto
aumentou a população dessa cidade no ano
de 1995?
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13. (FCC) Em uma pesquisa com jovens de
dezesseis anos de idade, apurou-se o
seguinte: 165 rapazes e 104 moças votavam;
345 rapazes e 206 moças não votavam. Nesse
grupo, a porcentagem de jovens que votam é,
aproximadamente, de:
a) 16 %
b) 33 %
c) 37 %
d) 67 %
e) 68 %
14. (FCC) A tabela indica o número de
crianças nascidas vivas em um município
brasileiro.
Se toda criança deve tomar uma determinada
vacina ao completar 2 anos de vida, em
relação ao total mínimo de vacinas que o posto
de saúde reservou para 2003, haverá
em 2004:
a) diminuição de2%.
b) diminuição de 3%.
c) crescimento de1%.
d) crescimento de3%.
e) crescimento de4%.
15. (FCC) Dos 120 funcionários convidados
para assistir a uma palestra sobre doenças
sexualmente transmissíveis, somente 72
compareceram. Em relação ao total de
funcionários
convidados,
esse
número
representa:
a) 45%
b) 50%
c) 55%
d) 60%
e) 65%
16.
(FCC) O preço de um objeto foi
aumentado em 20% de seu valor. Como as
vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido
em 10% de seu valor. Em relação ao preço
inicial, o preço final apresenta
a) um aumento de 10%.
b) um aumento de 8%.
c) um aumento de 2%.
d) uma diminuição de 2%.
e) uma diminuição de 10%.
Atualizada 15/05/2006
Matemática
17. (TRT) Atualmente, o aluguel da casa onde
Carlos mora é $ 320,00. Se, no próximo mês,
esse aluguel sofrer um aumento de 8% do seu
valor, o novo aluguel será:
a) $ 328,00
b) $ 337,00
c) $ 345,60
d) $ 345,60
e) $ 354,90
18. (FUVEST) Atualmente, 50% das gaivotas
de certa região são brancas e 50% são
cinzentas. Se a população da espécie branca
aumentar 40% ao ano e a da espécie cinzenta
aumentar
80%
ao
ano,
qual
será
aproximadamente, a porcentagem de gaivotas
brancas daqui a dois anos?
a) 50%
b) 38%
c) 26%
d) 14%
e) 40%
19. Na lanchonete, um sanduíche que custava
R$2,80 teve seu preço aumentado em 25%.
Esse sanduíche passou a custar :
a) R$ 3,50
b) R$ 3,05
c) R$ 2,95
d) R$ 0,70
20. Sabendo que 104 alunos de uma escola
correspondem a 20% do total, Quantos alunos
tem a escola ?
a) 580
b) 620
c) 550
d) 520
21. O preço de certa mercadoria aumentou de
250%. Para que o preço da mercadoria volte a
ser o que era antes do aumento, deve-se
diminuir o novo preço de:
1
2
1
% b) 73
% c) 73
%
7
7
7
1
3
d) 72
% e) 71
%
7
7
a) 74
22. 121 é quanto por cento de 550?
a) 19%
b) 20%
c) 21%
d) 22%
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Matemática
23. Numa eleição com 2 candidatos, votaram
3850 eleitores. O candidato A obteve 1032
votos e B obteve 2048 votos. Qual foi a
porcentagem de votos nulos ou em branco?
a) 35%
b) 30%
c) 25%
d) 20%
24. (CESPE) Na saída de um cinema, 25
pessoas foram pesquisadas para dar a sua
opinião sobre o filme. Verificou-se que 32%
dessas pessoas não gostaram do filme.
Quantas pessoas pesquisadas não gostaram
do filme?
a) 12
b) 10
c) 8
d) 6
25. (CESPE) uma prova de matemática tem
50 questões. Um aluno acertou 30 dessas
questões. Qual foi a sua taxa de erro?
a) 40%
b) 30%
c) 60%
d) 50%
26. (ESAF) Transformando a fração 2/5 em
taxa percentual, teremos:
a) 37,5%
b) 40%
c) 32,5%
d) 1,25%
e) 35,7%
22
Atualizada 15/05/2006
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GABARITOS
PROPORÇÃO
SISTEMA DE
MEDIDAS
01
02
03
04
05
06
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
C
E
B
D
C
E
E
C
B
D
A
D
C
D
B
E
B
D
353,52
D
A
B
B
D
A
C
B
2h7m25d
7
A
A
A
D
RAZÃO
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
1/500
1/2000
2
E
D
1/50
1/50
1/250
1/1000000
75,5
Atualizada 15/05/2006
07
08
09
10
11
12
15
0,4
10
80 e 30
72
1400 e
1600
80
6
20
48
D
4
DIVISÃO
PROPORCIONAL
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
24, 12 e 9
90 000
360 000
480 e 40
80 000
200 000
240 000
1 080
1 200
1 280
15 000
12 500
12 000
18 000
9 000
10 000
2 000
1 000
1 600
24 e 56
45, 18 e 15
12, 30 e 36
40 e 24
A
B
500 e 300
A
C
D
A
Matemática
REGRA DE
TRÊS SIMPLES
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
1
9
176
50
8
14
45
16
40
96
3
D
D
E
B
E
D
E
D
520
10
42
18
24
225
1,25
75
32
72
8640
3,27
3
0,72
42
108
A
C
D
D
E
75
6
REGRA DE
TRÊS
COMPOSTA
01
02
03
04
32
75
15
40
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
5
10
234
7500
A
8
B
75
288
5000
75
12
A
D
C
A
20
25
A
A
B
B
PORCENTAGEM
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1680
7%
A
E
30%
B
C
E
38,6%
37,5%
420
480
B
E
D
B
C
E
D
D
E
D
D
C
A
B
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
23